260436210 metodos numericos y su programacion en c copia

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15/Enero/2015

Alumno:Ramos Albarrn Fernando

Instituto Politcnico NacionalEscuela Superior de Ingeniera

Mecnica y Elctrica

Asesor: M.C. Jess Reyes Garca.

Curso Propedutico para la

Maestra en Ciencias en Ingeniera

Elctrica.

[PROGRAMACIN Y MTODOSNUMRICOS]

In!eniera "lctrica


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"scuela #u$erior de In!eniera Mecnica Pro!ramaci%n y Mtodos

Curso &

NDICEINTRODUCCIN......................................................................................................................... '

I. RAICES DE ECUACIONES..............................................................................................(

Mtodos cerrados....................................................................................................................

(

"l Mtodo de )isecci%n........................................................................................... ..........*

"l Mtodo de Re!la Falsa...............................................................................................&'

Mtodos abiertos..................................................................................................................'&

Mtodo de Ne+ton , Ra$-son.......................................................................................''

Mtodo de la #ecante...................................................................................................... '

Races de $olinomios........................................................................................................... /0

Mtodo de 1in )airsto+............................................................................................... .../0

II. SISTEMAS DE ECUACIONES ALGERAICAS LINEALES!.................. ...........

/2

"liminaci%n Gaussiana #im$le y #ustituci%n -acia atrs......................................../2

Gauss ,Jordan..........................................................................................................................((

Matri3 In4ersa y Multi$licaci%n de Matrices.................................................................(

Mtodo Iterati4o de Gauss................................................................................................. 50

III. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES!...................................................55

Mtodo de Ne+ton 6 Ra$-son $ara n ecuaciones................................................... ..55

I7. A"USTE DE CUR#AS....................................................................................................*&

Mnimos Cuadrados..............................................................................................................

*'Inter$olaci%n Polinomial de Ne+ton en 8i9erencias 8i4ididas........................ ......**

Polinomios de Inter$olaci%n de 1a!ran!e..................................................................../

7. ECUACIONES DI$ERENCIALES ORDINARIAS!..................................................

Mtodo de "uler....................................................................................................................

Mtodos de Run!e ,;utta de cuarto orden....................................................................0

Com$araci%n Grrden......................................................................................................................................../

C%di!o de las 9unciones en MA=1A) de los mtodos usados................................


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INTRODUCCIN1os mtodos numricos son tcnicas mediante las cuales es $osible 9ormular$roblemas de tal 9orma ?ue $uedan resol4erse usando o$eracionesaritmticas. Aun?ue -ay muc-os ti$os de mtodos numricos@ todoscom$arten una caracterstica comn: In4ariablemente los mtodos

numricos lle4an a cabo un buen nmero de tediosos clculos aritmticos. Noes raro ?ue con el desarrollo de com$utadoras di!itales e


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embar!o@ a di9erencia de satis9acer una sola ecuaci%n@ se busca unconunto de 4alores ?ue satis9a!a simultneamente a un conunto deecuaciones al!ebraicas. 1as ecuaciones lineales simultneas sur!en enel conteBto de una 4ariedad de $roblemas y en todas las disci$linas dela in!eniera. "n $articular@ se ori!inan a $artir de modelos

matemticos de sistemas !randes de elementos interconectados@como:


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estructuras@ circuitos elctricos y redes de Kuo de Kuidos@ aun?uetambin $uedenencontrarse en otras reas de los mtodos numricos como el auste decur4as.

! A*(,e )e '*r3%(! Con 9recuencia se $resentar la o$ortunidad deaustar cur4as a un conunto de datos re$resentados $or $untos. 1astcnicas ?ue se -an desarrollado $ara este


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I. RAICES DE ECUACIONES

M6,o)o( 'err%)o(!1os mtodos cerrados consisten en dar ' $untos tales ?ue stos encierrenel 4alor de la ra3@ dic-os $untos es cuando al sustituirlos en la 9unci%n@ sta

cambia de si!no. "n ste caso se a$lica un anlisis de la cur4a mediante laim$lementaci%n de un $ro!rama tabula.c$$ en cHH@ el cual e4ala la 9unci%n$ara 4alores obtenidos a tra4s de un inter4alo dado y un nmero de $untosen los cuales se di4ide dic-o inter4alo. "l $ro!rama tabula.c$$ muestra al


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ay cambio de si!no enH0.5500y H&.&000ay cambio de si!noenH(.2500 y H5.5000,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Process eBited a9ter .((* seconds +it- return

4alue 0Presione una tecla $ara continuar . . .


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Fi!ura &.&. Pro!rama tabula.c

"l $ro!rama indica $ara ?ue inter4alos de la 9unci%n -ay un cambio de si!no$or lo tanto@ esos4alores lo ms $robable es ?ue encierren una o ms races.


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E. M6,o)o )e +(e''+7n!#e sabe ?ue un $olinomio de !rado DnE tiene DnE races las cuales $ueden ser:

Reales y distintas.

Reales e i!uales.

Com$leas conu!adas.

8e acuerdo a ello un $olinomio de !rado im$ar tendr $or lo menos una ra3real@ $ara dic-asraces ocu$aremos los mtodos numricos de )isecci%n@Re!la Falsa@ Ne+ton Ra$-son.

"n !eneral@ si 9B es real y contina en el inter4alo ?ue 4a desde Bl -asta Bu y9Bl y 9Bu tienensi!nos o$uestos@ es decir@

9IBlJ9IBuJ S 0 I'J

"ntonces -ay al menos una ra3 real entre Bl y Bu. 1os mtodos de bs?ueda

incremental a$ro4ec-an esta caracterstica locali3ando un inter4alo en el?ue la 9unci%n cambie de si!no. "ntonces@ la locali3aci%n del cambio desi!no y@ en consecuencia@ de la ra3 se lo!ra con ms eBactitud al di4idirel inter4alo en 4arios subinter4alos. #e in4esti!a cada uno de estossubinter4alos $ara encontrar el cambio de si!no. "l $roceso se re$ite y laa$roBimaci%n a la ra3 meora cada 4e3 ms en la medida ?ue lossubinter4alos se di4iden en inter4alos cada 4e3 ms $e?ueos. Por lo ?uesabemos ?ue eBiste@ al menos@ una ra3 real. A $artir de este $unto se 4areduciendo el inter4alo sucesi4amente -asta -acerlo tan $e?ueo comoeBia la $recisi%n ?ue -ayamos decidido em$lear. "n se!uida se eB$licara a9ondo y $aso a $aso el mtodo:

Fi!ura &.'. Mtodo de )isecci%n.


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Curso

"scuela #u$erior de In!eniera Mecnica y "lctrica. Pro!ramaci%n yMtodos Numricos.

Fi!ura &./. Ilustraci%n de las 9ormas !enerales en ?ue $uede ocurrir unara3 en un inter4alo $reescrito $or los lmites in9erior Bl y su$erior Bu. 1as

Cr+,er+o )e 'on3eren'+%!

#e debe desarrollar un criterio obeti4o $ara decidir cundodebe terminar elmtodo. Tna su!erencia inicial sera


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Curso

H( H0.5*/ H0.'50 H0.20* H0.0(/5 H0.&/& ,&.020 ,0.(*(*H5 H0.5*/ H0.20* H0./( H0.0''' H0.&/& ,0.(*(* ,0.&*('H* H0.5*/ H0./( H0.*( H0.0&&' H0.&/& ,0.&*(' ,0.0&5


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H H0.5*/ H0.*( H0.*05 H0.005* H0.&/& ,0.0&5 H0.05'H: H0.*05 H0.*( H0.*' H0.00' H0.05' ,0.0&5 H0.0'&/H2 H0.*' H0.*( H0.*/ H0.00&( H0.0'&/ ,0.0&5 H0.00'

H&0 H0.*/ H0.*( H0.*(/ H0.000 H0.00' ,0.0&5 ,0.00*(H&& H0.*/ H0.*(/ H0.*(0 H0.000( H0.00' ,0.00*( ,0.00&

H&' H0.*/ H0.*(0 H0.*/2 H0.000' H0.00' ,0.00& H0.0005H&/ H0.*/2 H0.*(0 H0.*(0 H0.000& H0.00' ,0.00& H0.0005

"l MVtodo C>N7"RG"aH&/iteraciones.1A RAIY "#:H0.*/202(/,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Process eBited a9ter '0./& seconds +it- return4alue 0Presione una tecla $ara continuar . . .


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Fi!ura &.(. Pro!rama de )isecci%n


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Curso &

A-ora ?ue se encontr% una ra3@ se di4ide el $olinomio ori!inal entre el 9actorde dic-a ra3 "sto es@ intercambiando el si!no de la ra3@ $ara obtener unnue4o $olinomio ?ue se usar en el mtodo de la re!la 9alsa $ara

determinar la se!unda ra3. #e eecuta el $ro!rama8i4ideZdosZ$olinomios.c$$. "l cual $ide tanto los !rados como los coe


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Curso &

'./*'0cocienteQH/L,&/.020/8atos delResiduo:residuoQH0LH0.00

000residuoQH&LH0.00000residuoQH'LH0.00000residuoQH/LH0.00000


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Curso &

residuoQH(L,0.000*5,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Process eBited a9ter '(0 seconds +it- return4alue 0Presione una tecla $ara continuar . . .

Como $uede obser4arse@ el nue4o $olinomio es:

9IBJ L B/ M (.'/*0/B' M './*'0B M &/.020/ I(J

"l c%di!o del $ro!rama ?ue di4ide $olinomios se muestra en la


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de mtodo de la 9alsa $osici%n@ o en latn@ re!ula 9alsi. =ambin se le conocecomo mtodo de inter$olaci%n lineal.


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Tsando trin!ulos semeantes@ la intersecci%n de la lnea recta con el eede las B se estimamediante

I5J

"n la cual se des$ea Br

I*J

[sta es la 9%rmula de la 9alsa $osici%n. "l 4alor de Br calculado con laecuaci%n *@ reem$la3ar@ des$us@ a cual?uiera de los dos 4alores iniciales@Bl o Bu@ y da un 4alor de la 9unci%n con el mismo si!no de 9Br. 8e esta

manera@ los 4alores Bl y Bu siem$re encierran la 4erdadera ra3. "l $roceso sere$ite -asta ?ue la a$roBimaci%n a la ra3 sea adecuada. "l al!oritmo esidntico al de la bisecci%n

Fi!ura &.* Re$resentaci%n !r


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$ro!rama -arW una noti


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Inter4alo su$erior Bu:5.5"rror de Con4er!encia 8ado en Por Tnidad:0.000&Numero de Iteraciones 8e $re9erencia use un nXmeroentre &00 y &50:'0 iteracion Bi Bu Br "a yi

yu yr

H& H(.2500 H5.5000 H5.'&&/ H0.0000 ,2.&(05 H&0.025* ,0.*&2H' H5.'&&/ H5.5000 H5.'/(& H0.00(/ ,0.*&2 H&0.025* ,0.00H/ H5.'/(& H5.5000 H5.'/52 H0.000( ,0.00 H&0.025* ,0.005H( H5.'/52 H5.5000 H5.'/*& H0.0000 ,0.005 H&0.025* ,0.0005

"l MVtodo C>N7"RG"aH(iteraciones.1A RAIY "#:H5.'/*050500,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Process eBited a9ter &*.* seconds +it- return4alue 0Presione una tecla $ara continuar . . .


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Curso &



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Fi!ura &.. Pro!rama de Re!la Falsa.

#e usa nue4amente el $ro!rama $ara di4idir $olinomios@ usando el 9actor de lase!unda ra3 comodi4isor y el $olinomio de tercer !rado como di4idendo. 1a

salida del $ro!rama es la si!uiente:

,,,,Pro!rama ?ue di4ide ' $olinomios,,,,Introduce el !rado del di4isor: &Introduce el 4ector asociado al di4isor de mayor a menor!rado:di4isorQ0L&di4isorQ&L,5.'/*05Introduce el !rado del di4idendo: /Introduce el 4ector asociado al di4idendo de mayor amenor !rado:di4idendoQ0L&di4idendoQ&L,(.'/*0/di4idendoQ'L,'./*'0di4idendoQ/L,&/.020/8atos del8i4isor:di4isorQH0LH&.00000di4isorQH&L,5.'/*058atos del8i4idendo:

di4idendoQH0LH&.00000di4idendoQH&L,(.'/*0/di4idendoQH'L,'./*'0di4idendoQH/L,&/.020/8atos delCociente:


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cocienteQH0LH&.00000cocienteQH&LH&.0000'cocienteQH'LH'.(

22258atos delResiduo:residuoQH0LH0.00000residuoQH&LH0.00000


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residuoQH'LH0.00000residuoQH/L,0.000(

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Process eBited a9ter *0.** seconds +it- return

4alue 0Presione una tecla $ara continuar . . .

#e obtiene un $olinomio de se!undo !rado.

9IBJ L B' H B H '.5 IJ

#e $uede a$reciar ?ue su discriminante es ne!ati4o@ $or lo tanto se obtendrnraces com$leas@ se $uede usar la 9ormula !eneral de se!undo orden. #eeecuta el $ro!rama "cuacionZ!eneralZ'doZorden.c$$@ y se obtienen dic-asraces com$leas. 1a salida del $ro!rama im$lementado en cHH es lasi!uiente:

,,,,Pro!rama $ara calcular las ra\ces de un $olinomio de se!undo !rado,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Tsando la 9rmula !eneral aB]'HbBHc,,,,,,,,,,,,,,,,,,aL&bL&cL'.51as raices son $ares de C>MP1"J>#C>NJTGA8>#B&L,0.5000H&.5000iB'L,0.5000,&.5000i

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Process eBited a9ter &0.( seconds +it- return4alue 0Presione una tecla $ara continuar . . .


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Fi!ura &.. Pro!rama de "cuaci%n General de 'do. >rden.


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A 4eces es necesario multi$licar dos $olinomios@ como es el caso de lasinter$olaciones de Ne+ton y 1a!ran!e sin embar!o@ esos mtodos se basanen el uso de matrices y arre!los im$lementados ya dentro del $ro!rama delmtodo@ $or lo cual ense!uida se muestra un $ro!rama indi4idualdesarrollado $ara multi$licar ' $olinomios. #i multi$licamos el $olinomio dese!undo !rado de la ecuaci%n $or el 9actor de la se!unda ra3 encontrada$or el mtodo de re!la 9alsa@ se tiene ?ueobtener el $olinomio de tercer !radode la ecuaci%n (. 1a salida del $ro!rama es:

,,,,Pro!rama ?ue multi$lica '$olinomios,,,, Introduce el !rado del$rimer $olinomio: & Introduce el 4ectorasociado al $rimer $olinomio:$ol&Q0L,5.'/*05

$ol&Q&L&Introduce el !rado del se!undo $olinomio:' Introduce el 4ector asociado al se!undo$olinomio:$ol'Q0L'.5$ol'Q&RL&

$ol'Q'RL&

8atos del Polinomio &:$ol&QH0L,5.'($ol&QH&LH&.008atos del Polinomio ':$ol'QH0LH'.50$ol'QH&LH&.00$ol'QH'LH&.008atos del Polinomio/:$ol/QH0L,&/.02$ol/QH&L,'.($ol/QH'L,(.'($ol/QH/LH&.00,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Process eBited a9ter '/.' seconds +it- return4alue 0Presione una tecla $ara continuar . . .

#e $uede a$reciar ?ue el resultado es correcto.


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Curso '

Fi!ura &.2. Pro!rama ?ue multi$lica ' $olinomios.


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Curso '

M6,o)o( %+er,o(!"n los mtodos cerrados del ca$tulo anterior la ra3 se encuentra dentro deun inter4alo $redeterminado $or un lmite in9erior y otro su$erior. 1a

a$licaci%n re$etida de estos mtodos siem$re !enera a$roBimaciones cada4e3 ms cercanas a la ra3. #e dice ?ue tales mtodos son con4er!entes$or?ue se acercan $ro!resi4amente a la ra3 a medida ?ue se a4an3a en elclculo

"n contraste@ los mtodos abiertos descritos en este ca$tulo se basan en9%rmulas ?ue re?uieren nicamente de un solo 4alor de inicio B o ?ueem$iecen con un $ar de ellos@ $ero ?ue no necesariamente encierran lara3. [stos@ al!unas 4eces di4er!en o se alean de la ra3 4erdadera a medida?ue se a4an3a en el clculo

r$ido ?ue los mtodos cerrados.

Fi!ura &.&0. Re$resentaci%n !r


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M6,o)o )e Ne8,on 9 R%:;(on!=al 4e3@ de las 9%rmulas $ara locali3ar races@ la 9%rmula de Ne+ton,Ra$-son

una a$roBimaci%n meorada de la ra3.

"l mtodo de Ne+ton,Ra$-son se deduce a $artir de esta inter$retaci%n!eomtrica un mtodo alternati4o basado en la serie de =aylor. 8e la

I:J

^ue se arre!la $ara obtener:

I2J

1a cual se conoce como 9%rmula de Ne+ton,Ra$-son.

No -ay un criterio !eneral de con4er!encia $ara el mtodo de Ne+ton,Ra$-son. #u con4er!encia de$ende de la naturale3a de la 9unci%n y de laeBactitud del 4alor inicial. 1a nica soluci%n en estos casos es tener un 4alorinicial ?ue sea Dsu


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Aun?ue en !eneral el mtodo de Ne+ton,Ra$-son es muy e

Para el si!uiente $olinomio.

9IBJ L B# M (B( H 5B/ M *B H ( I&0J

#e obtendr la $rimera ra3 con el mtodo de Ne+ton,Ra$-son.Primeramente se e4ala la 9unci%n $ara un inter4alo usando el $ro!ramatabula.c$$ c%mo se muestra ense!uida@ de manera de tener un 4alor inicialcercano a la ra3 y el mtodo $ueda con4er!er o di4er!ir r$idamente.

,,,,,Pro!rama ?ue "4alua una 9uncin,,,,,,,Inter4alo in9erior Ba:,'Inter4alo su$erior Bb:/Numero de inter4alosn$:'0BQH0L,'.0000yQH0L,&'0.0000BQH&L,&.500 yQH&L,**.''5*BQH'L,&.5000 yQH'L,/&.&BQH/L,&.'500yQH/L,&&.0/0BQH(L,

&.0000 yQH(LH0.0000

BQH5L,0.500yQH5LH(.BQH*L,0.5000 yQH*LH*.02/BQHL,0.'500yQHLH5.(05/BQHLH0.0000yQHLH(.0000BQH2LH0.'500


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yQH2LH'.5*/5BQH&0LH0.5000yQH&0LH&.(0*'BQH&&LH0.500yQH&&LH0.5&&

BQH&'LH&.0000yQH&'LH0.0000BQH&/LH&.'500yQH&/L,0.(('BQH&(LH&.5000yQH&(L,0.&'


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BQH&5LH&.500 yQH&5L,0.05BQH&*LH'.0000yQH&*LH0.0000BQH&LH'.'500yQH&LH'.*0'5

BQH&LH'.5000yQH&LH.5/&'BQH&2LH'.500yQH&2LH&2.225&BQH'0LH/.0000yQH'0LH(0.0000ay una ra\3 entre,&.'500 y,0.500` la ra\3 es: ,&.0000ay una ra\3 entreH0.500 yH&.'500` la ra\3 es:H&.0000

ay una ra\3 entreH&.500 yH'.'500` la ra\3 es:H'.0000,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Process eBited a9ter (.&& seconds +it- return4alue 0Presione una tecla $ara continuar . . .

Fi!ura &.&/. Tna meora de $ro!rama tabula.c$$ $uede ser si encuentra un 4alor $ara el cual la9unci%n sea cero@ indicar ?ue -ay una ra3 en ese 4alor@ ste c%di!o se a!re!a dentro de la

9unci%n tabula@ $ero $ara a$licar el mtodo tambin se $uede indicar dentro de los inter4alos en

los ?ue est dic-a ra3. "n dado caso se $odra am$liar el nmero de $untos o el inter4aloele!ido.

#e selecciona el $rimer inter4alo entre,&.'500 y ,0.500 $ara usar el mtodode Ne+ton,Ra$-son. Al momento de introducir la 9unci%n del $olinomio en lasdirecti4as de


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Como el mtodo de Ne+ton,Ra$-son re?uiere s%lo un 4alor inicial@ se toma el$unto ,&.'5 con un criterio de con4er!encia de 0.000& a '0 iteraciones. 1asalida del $ro!rama es:

,,,,,Pro!rama MVtodo de Ne+ton,Ra$-son,,,,,,,

OON>=A: #e es$eci


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36/115

Fi!ura &.&(. Pro!rama de Ne+ton,Ra$-son


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38/115

,,,,,Pro!rama MVtodo de la #ecante,,,,,,,


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OON>=A: #e es$eci


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Fi!ura &.&*. Pro!rama de la #ecante


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Curso /

"l nue4o $olinomio reducido es:

9IBJ L B/ M (B' H *B M ( I&5J

"ste resultado se usar $ara a$roBimar un 9actor cuadrtico en el cual el

9actor cuadrtico inicial consiste en los 9actores de las ' races ?ue se -anencontrado con los mtodos abiertos@ el 9actorcuadrtico ?ue se encontrar alresol4erlo $or la 9%rmula !eneral de se!undo !rado $ro$orcionar las racescom$leas@ al di4idir el $olinomio de tercer !rado de la ecuaci%n &5 se -abrobtenido un ltimo 9acto ?ue al i!ualarlo a cero y des$ear@ ser la ltima ra3real del $olinomio de 5to ordende la ecuaci%n &0.

R%&'e( )e :o.+no-+o(

M6,o)o )e L+n %+r(,o8"l mtodo de )airsto+ es un mtodo iterati4o relacionado de al!una manera

con los mtodos de Mfller y de Ne+ton,Ra$-son. Antes de -acer ladescri$ci%n matemtica de ste@ recuerde la 9orma 9actori3ada de un$olinomio@ $or eem$lo

5IBJ L IB H lJIB 6 (JIB 6 5JIB H /JIB 6 'J I&*J

#i se di4ide entre un 9actor ?ue no es una ra3 $or eem$lo@ B H *@ el cocientees un $olinomio de cuarto !rado. Aun?ue@ en este caso@ -abr un residuodi9erente de cero.

Con estas consideraciones se $uede elaborar un al!oritmo $ara determinar la

ra3 de un$olinomio:& 8 un 4alor inicial $ara la ra3 B L t.' 8i4ida el $olinomio entre el 9actor B 6 t/ 8etermine si -ay un residuo di9erente de cero. #i no@ el 4alor inicial es

$er9ecto y la ra3 es i!ual a t. #i eBiste un residuo@ se austa el 4alorinicial en 9orma sistemtica y se re$ite el $rocedimiento -asta ?ue elresiduo desa$are3ca y se localice la ra3. Tna 4e3 -ec-o esto@ se re$iteel $rocedimiento totalmente@ a-ora con el cociente $ara locali3ar otrara3.

Por lo !eneral@ el mtodo de )airsto+ se basa en esta manera de $roceder.Por consi!uiente@ de$ende del $roceso matemtico de di4idir un $olinomioentre un 9actor.

Por eem$lo@ el $olinomio !eneral:

n IBJ L a0 H a&B H a'B' Hggg H anBn I&J

#e di4ide entre el 9actor B 6 t $ara dar un se!undo $olinomio ?ue es de un !radomenor:


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Curso /

n6 & IBJ L b& H b'B H b/B' H ggg H bn Bn6 & I&:J


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Curso /

Con un residuo R L b0@ donde los coe


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Curso /

obtiene un sistema de ecuaciones de deri4adas $arciales d%nde las 4ariablesson incrementos de los 9actores de la a$roBimaci%n del 9actor cuadrtico@ hr y

hs. )airsto+ demostr% ?ue las deri4adas $arciales se obtienen $or di4isi%nsinttica de las b en 9orma similar a como las b mismas 9ueron obtenidas:

en L bn

I'/.&J


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enM& L bnM& H ren

I'/.'J

ei L bi H reiH& H seiH' $ara i L n 6 ' a &

I'/.'J

1as deri4adas $arciales se obtienen $or la di4isi%n sinttica de las b y sesustituyen en el sistemade ecuaciones de deri4adas $arciales unto con las b$ara dar el si!uiente sistema:

e'hr H e/hs L 6 b& I'(.&J

e&hr H e'hs L 6 b0 I'(.'J

"stas ecuaciones se resuel4en $ara hr y hs@ las cuales@ a su 4e3@ se

em$lean $ara meorar los4alores iniciales de r y s. "n cada $aso@ se estimaun error a$roBimado en r y s:

'5.&

'5.'

Cuando ambos errores estimados caen $or debao de un criterio es$eci


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Para el $olinomio de ?uinto !rado de la ecuaci%n &0@ 9IBJ L B# M (B(

H 5B/ M *B H ( se

obtu4ieron las races ,& y H& y se reduFo al $olinomio de tercer !rado de

la ecuaci%n &5@ 9IBJ LB/ M (B' H *B M (. "n el 9actor cuadrtico inicial@ r

se toma como & y s como ,& a un criterio de con4er!encia de 0.000& y '0

iteraciones. 1a salida del $ro!rama en CHH es la si!uiente IN%tese ?ue los4alores de r y s se cambian de si!no al introducirlos como el 9actor

cuadrtico B' 6 rB 6 sJ.

,,,,,Pro!rama de 1in )airsto+,,,,Introduce el !rado del $olinomio a reducir:/ Introduce el 4ector asociado a dic-o$olinomio:$olinomioQ0L,($olinomioQ&L*$olinomioQ'RL,

($olinomioQ/L&Introduce el 4ector asociado al 9actorcuadrWtico el coeNOOOOO:H'bQH/LH&.00000bQH'L,'.00000bQH&LH2.00000


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bQH0LH0.00000cQH/LH&.00000cQH'LH0.00000cQH&LH&*.00000


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"r:H0.00000"s:H(.50000FAC=>R:H&.00000B]','.00000BH'.00000

OOOOOOI="RACI>NOOOOO:H/bQH/LH&.00000bQH'L,'.00000bQH&LH0.00000bQH0LH0.00000cQH/LH&.00000cQH'LH0.00000cQH&L,'.00000"r:H0.00000"s:H0.00000"l MVtodo C>N7"RG"aH/iteraciones."l 9actorcuadrWtico es:H&.00000B]','.00000BH'.00000,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Process eBited a9ter /*./ seconds +it- return4alue 0Presione una tecla $ara continuar . . .

#e usa el $ro!rama de ecuaciones de se!undo !rado $ara resol4er dic-o 9actorcuadrtico.

,,,,Pro!rama $ara calcular las ra\ces de un $olinomio de se!undo !rado,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Tsando la 9rmula !eneral aB]'HbBHc,,,,,,,,,,,,,,,,,,aL&bL,'cL'1as raices son $ares de C>MP1"J>#C>NJTGA8>#B&L&.0000H&.0000iB'L&.0000,&.0000i

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Process eBited a9ter .5&5 seconds +it- return4alue 0Presione una tecla $ara continuar . . .

` se obser4a ?ue se obtienen races com$leas.


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1a ?uinta y ltima ra3 se encuentra al di4idir el $olinomio de tercer !radode la ecuaci%n &5@entre el 9actor encontrado y des$ear usando la ecuaci%n'.

,,,,Pro!rama ?ue di4ide '

$olinomios,,,, 8atos delCociente:cocienteQH0LH&.00000cocienteQH&L,'.000008atos del Residuo:residuoQH0RLH0.00000

residuoQH&RLH0.00000

residuoQH'RLH0.00000

residuoQH/RLH0.00000

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Process eBited a9ter (0.'5 seconds +it- return4alue 0Presione una tecla $ara continuar . . .

Claramente la ?uinta ra3 es i!ual a '.0.


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Curso /



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Fi!ura &.&. Pro!rama de 1in )airsto+


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II. SISTEMAS DE ECUACIONESALGERAICAS LINEALES!

E.+-+n%'+7n G%*((+%n% S+-:.e < S*(,+,*'+7n;%'+% %,r=(

1as ecuaciones al!ebraicas lineales simultneas ?ue en !eneral se re$resentancomo:

'

8onde las a son los coe


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8onde los 4alores de an@m y bn se calculan como $ara kL&@'@/@@N ,& Q=amaodel sistema:

'2


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Curso (

8onde el su$erndice $rima indica ?ue los elementos -an cambiado sus4alores ori!inales. "l elemento ak@kse denomina el coe


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Curso (

bQH/RLH&.0000

'Introduce la matri3 de terminosde$endientesAQH&QH&L&


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Curso (

AQH&QH'L'AQH&QH/L*AQH'QH&L(AQH'QH'LAQH'QH/L,&AQH/QH&L,'

AQH/QH'L/AQH/QH/L5MA=RIY 8" ="RMIN># 8"P"N8I"N="# AQH&QH&LH&.0000 AQH&QH'LH'.0000 AQH&QH/LH*.0000 AQH'QH&LH(.0000 AQH'QH'LH.0000 AQH'QH/L,&.0000 AQH/QH&L,'.0000 AQH/QH'LH/.0000 AQH/QH/LH5.0000Se +n,er'%-+% .% >.% ?2 'on .% >.% ?1A MA=RIY =RIANGT1AR #TP"RI>R "#: uQH&QH&LH&.0000 uQH&QH'LH'.0000 uQH&QH/LH*.0000uQH'QH&LH0.0000 uQH'QH'LH.0000

uQH'QH/LH&.0000 uQH/QH&LH0.0000uQH/QH'LH0.0000 uQH/QH/L,'5.00007"C=>R IN8"P"N8I"N=" :yQH&RLH&.0000yQH'RLH/.0000yQH/L,/.0000A:.+'%n)o (*(,+,*'+@n;%'+% %,r(7"C=>R#>1TCI>N:BQH&LH0.005BQH'RLH0.&/&BQH/RLH0.&'00

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Process eBited a9ter &.* seconds +it- return4alue 0Presione una tecla $ara continuar . . .


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Curso (



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Fi!ura '.&. Pro!rama de "liminaci%n Gaussiana y sustituci%n -acia atrs

G%*((9"or)%n"l mtodo de Gauss,Jordan es una 4ariaci%n de la eliminaci%n de Gauss. 1a$rinci$al di9erencia consiste en ?ue cuando una inc%!nita se elimina en elmtodo de Gauss,Jordan@ sta es eliminadade todas las otras ecuaciones@ nos%lo de las subsecuentes. Adems@ todos los ren!lones se normali3an aldi4idirlos entre su elemento $i4ote. 8e esta 9orma@ el $aso de eliminaci%n!enera una matri3 identidad en 4e3 de una trian!ular

Aun?ue la tcnica de Gauss,Jordan y la eliminaci%n de Gauss $odran $arecercasi idnticas@ la $rimera re?uiere ms trabao@ in4olucra a$roBimadamente50 $or ciento ms o$eraciones ?ue la eliminaci%n de Gauss. Por tanto@ laeliminaci%n de Gauss es el mtodo de eliminaci%n sencilla ?uese $re


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#e introduce el mismo sistema ?ue se resol4i% $or "liminaci%n Gaussiana#im$le $ara el $ro!rama desarrollado $ara Gauss,Jordan. "l 4ector detrminos inde$endientes se !uarda en una misma matri3 donde se !uardanlos elementos de la matri3 de trminos de$endientes. 1a salida del$ro!rama en CHH es:

,,,,,,,,,,,Metodo de "liminacion de Gauss,Jordan,,,,,,,,,,,,,Numero de "cuaciones:/8ame los 4alores de lamatri3:aQ&Q&L &aQ&Q'L 'aQ&Q/L *aQ&Q(L &aQ'Q&L ,'aQ'Q'L /

aQ'Q/L 5aQ'Q(L &aQ/Q&L (aQ/Q'L aQ/Q/L ,&aQ/Q(L olucionBQ&RL0.005&(':BQ'L0.&/&(/BQ/L0.&'Presione una tecla $ara continuar . . .


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Curso (



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Curso (



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Curso 5


Fi!ura '.(. Pro!rama Matri3 In4ersa y Multi$licaci%n de Matrices

M6,o)o I,er%,+3o )eG%*((

Para ste mtodo@ se considera el si!uiente sistema de

ecuaciones.

` se re$resenta cada una de las 4ariables en trminosde ellas mismas.

1o cual su!iere el si!uiente es?uema iterati4o desoluciones.

I/'J

I//J

I/(J


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Curso 5

"n !eneral se $uede escribir como:/5

"l criterio de con4er!encia ?ue se manea $ara ste mtodo es el 4alorabsoluto de la norma del 4ector de soluciones de la iteraci%n anteriormenos la norma del 4ector de soluciones de la iteraci%n actual@ entre lanorma del 4ector de soluciones de la iteraci%n anterior@ tanto $ara stemtodo c%mo $ara el Ne+ton,Ra$-son $ara soluci%n de n ecuaciones nolineales ?ue se 4er ense!uida. Para $robar el mtodo de Gauss Iterati4oim$lementado en CHH@ se usa el si!uientesistema de ecuaciones.

I/*J

Con un 4ector de condiciones iniciales de &@' y '. Para un criterio decon4er!encia de 0.00000& y'0 iteraciones. 1a eecuci%n del $ro!rama es:

,,,,,,Pro!rama de MVtodo Iterati4o de Gauss Jacobi,,,,,,&Introduce el 4ector de terminos

inde$endientesbQH&LbQH'RL,'&bQH/L&5

'Introduce la matri3 de terminos

de$endientesAQH&QH&L(AQH&QH'L,&AQH&QH/L&AQH'QH&L(AQH'QH'L,AQH'QH/L&AQH/QH&L,'AQH/QH'L&AQH/QH/L5MA=RIY 8" ="RMIN># 8"P"N8I"N="# AQH&QH&LH(.0000 AQH&QH'L,&.0000 AQH&QH/LH&.0000 AQH'QH&LH(.0000 AQH'QH'L,.0000 AQH'QH/LH&.0000 AQH/QH&L,'.0000 AQH/QH'LH&.0000 AQH/QH/LH5.0000

/Introduce el 4ector de condicionesincialesBQH&L&BQH'RL'BQH/RL'

(Introduce el nXmero de iteraciones: '05Introduce un criterio de con4er!encia: 0.00000&


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Fi!ura '.5. Pro!rama Gauss Iterati4o

III.SISTEMAS DEECUACIONES NOLINEALES!

M6,o)o )e Ne8,on R%:;(on :%r% ne'*%'+one(

8ado el caso !eneral $ara resol4er n ecuaciones no linealessimultneas.

I/J

Ttili3ando la serie de =aylor se $uede -acer una a$roBimaci%n lineal$ara una 9unci%n

en un incremento como:


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/

#i se escribe el sistema en 9orma matricial@ se tiene:

/2


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"n 9orma com$acta:

I(0J

8onde JB es la matri3 de $rimeras deri4ada o Jacobiano. Como se ?uiereencontrar el cero de la 9unci%n@ la a$roBimaci%n lineal ?ue se debe resol4er es:

8onde las actuali3aciones se -acen como:I(&J

I('J

"n el $ro!rama desarrollado en CHH la matri3 Jacobiana in4ersa $or el 4ectorde 9unciones@ sede


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dentro de la 9unci%n ne+tonZra$-son. [ste $ro!rama se $odra im$lementarms 9cilmente@usando un so9t+are como MA=1A) ya ?ue $ermite el maneo con 4ariablessimb%licas.

,,,,,,Pro!rama de Ne+ton,Ra$-son $ara n ecuaciones,,,,,,

&Introduce las 9unciones y la matri3 acobiana deN8ICI>N"#INICIA1"#:oQH&LH&.500000oQH'LH/.500000MA=RIY JAC>)IANA "7A1TA8A C>N 1A# C.I.:

JacobQH&QH&LH*.500000JacobQH&QH'LH&.500000JacobQH'RQH&RLH/*.50000JacobQH'RQH'RLH/'.500000 7"C=>R 8" FTNCI>N"# "7A1TA8> C>N 1A#C.I.:FBQH&L,'.500000FBQH'LH&.*'5000

/Introduce el numero de iteraciones: '0(Introduce un criterio de con4er!encia $ara el mVtodo: 0.000&

OOOOOOIteracinH&OOOOOOOOOOdeltaQH&L ,0.5/*0'2deltaQH'LH0.*5*&'5BkH&QH&LH'.0/*0'2 BkH&QH'L

H'.(/5MA=RIY JAC>)IANA 8" 1A H' I="RACI>N "#:

JacobQH&QH&LH*.2&52//JacobQH&QH'LH'.0/*0'2JacobQH'RQH&RLH'(.'*':JacobQH'RQH'RLH/5.(&'0 7"C=>R 8" FTNCI>N"# 8" 1A H' I="RACI>N"#:FBQH&L,0.0*(/5FBQH'L,(.5*'0OOOOOOIteracinH'OOOOOOOOOOdeltaQH&L H0.0//'deltaQH'L ,0.&5(&/BkH&QH&LH&.220&BkH&QH'LH/.00''2MA=RIY JAC>)IANA 8" 1A H/ I="RACI>N "#:

JacobQH&QH&LH*.222*20JacobQH&QH'LH&.220&JacobQH'RQH&RLH'.0(&'&0JacobQH'RQH'RLH/.00(05* 7"C=>R 8" FTNCI>N"# 8" 1A H/ I="RACI>N"#:FBQH&L,0.00(5'0


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FBQH'LH0.0(25&OOOOOOIteracinH/OOOOOOOOOOdeltaQH&L ,0.00&'22deltaQH'LH0.00''2BkH&QH&LH'.000000 BkH&QH'L

H'.222222


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MA=RIY JAC>)IANA 8" 1A H( I="RACI>N "#:JacobQH&QH&LH*.222222JacobQH&QH'LH'.000000JacobQH'RQH&RLH'*.2222:2JacobQH'RQH'RLH/*.22222/ 7"C=>R 8" FTNCI>N"# 8" 1A H( I="RACI>N"#:FBQH&L,0.00000&

FBQH'L,0.0000''OOOOOOIteracinH(OOOOOOOOOOdeltaQH&L ,0.000000deltaQH'L ,0.00000& BkH&QH&LH'.000000 BkH&QH'LH/.000000"l mVtodo con4er!e aH(iteraciones1a solucines:BkH&QH&L H'.000000BkH&QH'L H/.000000

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Process eBited a9ter &/.5 seconds +it- return4alue 0Presione una tecla $ara continuar . . .


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Curso *


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Curso *

Fi!ura /.&. Pro!rama de Ne+ton 6 Ra$-son $ara la soluci%n de n ecuaciones nolineales.

I7. A"USTE DE CUR#AS

"s comn ?ue los datos se dan como 4alores discretos a lo lar!o de un

continuo. #in embar!o@ ?ui3s usted re?uiera la estimaci%n de un $untoentre 4alores discretos. Adems@ usted $uede necesitar la 4ersi%nsim$li


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Curso *

calor


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M&n+-o( C*%)r%)o(Para entender el $rocedimiento de mnimos cuadrados $ara el auste de datoscon un $olinomio de !rado n. abra ?ue su$oner ?ue se austa un $olinomiode se!undo !rado o cuadrtico:

y L a0 H a&B H a'B' H e I(*J

"n este caso@ la suma de los cuadrados de los residuos es:

I(J

Al se!uir el $rocedimiento de la secci%n anterior@ obtenemos la deri4ada de laecuaci%n ( con res$ecto a cada uno de los coe


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"l caso bidimensional se eBtiende con 9acilidad a un $olinomio de m,simo!rado como si!ue

y L a0 H a&B H a'B' H g g g H amBm H e I50J

"l anlisis anterior se $uede eBtender 9cilmente a este caso ms !eneral. As@

se reconoce ?ue la determinaci%n de los coe


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Fi!ura (.&. Pro!rama de Mnimos Cuadrados $ara a$roBimar $olinomios de !rado n


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1a inter$olaci%n $olinomial consiste en determinar el $olinomio nico de n,simo !rado ?uese auste a n H & $untos. "ste $olinomio@ entonces@ $ro$orciona una 9%rmula$ara calcular 4alores intermedios. Aun?ue -ay uno y s%lo un $olinomio de n,simo !rado ?ue se austa a n H & $untos@eBiste una !ran 4ariedad de 9ormasmatemticas en las cuales $uede eB$resarse este $olinomio. #e describirn

dos alternati4as ?ue son muy adecuadas $ara im$lementarse encom$utadora: los$olinomios de Ne+ton y de 1a!ran!e.

In,er:o.%'+7n Po.+no-+%. )e Ne8,on en D+eren'+%(D+3+)+)%(

Como se dio antes@ eBiste una !ran 4ariedad de 9ormas alternati4as $araeB$resar una inter$olaci%n $olinomial. "l $olinomio de inter$olaci%n deNe+ton en di9erencias di4ididas es una de las 9ormas ms $o$ulares y tiles.Antes de $resentar la ecuaci%n !eneral@ estudiaremos las 4ersiones de$rimero y se!undo !rados $or su sencilla inter$retaci%n 4isual.

1a 9orma ms sim$le de inter$olaci%n consiste en unir dos $untos con unalnea recta. 8ic-a tcnica@ llamada inter$olaci%n lineal@ se ilustra de manera!r

Reordenndose se tiene:

I5/J

^ue es una 9%rmula de inter$olaci%n lineal. 1a notaci%n 9&B desi!na ?ue stees un $olinomio de inter$olaci%n de $rimer !rado. >bser4e ?ue adems dere$resentar la $endiente de la lnea ?ue une los $untos@ el trmino Q9B& 69B0B& 6 B0 es una a$roBimaci%n en di9erencia di4idida


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Fi!ura (.' ."em$los de inter$olaci%n $olinomial: a de $rimer !rado lineal ?ue une dos $untos@b de se!undo !rado cuadrtica o $arab%lica ?ue une tres $untos y c de tercer !rado cbica?ue une cuatro $untos.


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"n 9orma similar@ la n,sima di9erencia di4idida


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I*0J


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`Q5L (0.20`Q*L *&.&0MA=RIY 88

0 0 '.& 5.* 0.&5 &.'//// ,0.*'5& & . 5.2 /.5 ,&.'*** 0.5//// 0

' ' &/.* &/.* 0.050000' &.0*** 0 0/ / '.' &/. /.'5 0 0 0( ( (0.2 '0.' 0 0 0 05 5 *&.& 0 0 0 0 0

7alores de )bQ&L '.&bQ'L 5.*bQ/L 0.&5bQ(L&.'////bQ5L ,0.*'5bQ*L0.'(&**

MA=RIY Polinomios& 0 0 0 0 0& 0 0 0 0 0& ,& 0 0 0 0& ,/ ' 0 0 0& ,* && ,* 0 0& ,&0 /5 ,50 '( 0

MA=RIY Polinomios Multi$licados'.& 0 0 0 0 05.* 0 0 0 0 00.&5 ,0.&5 0 0 0 0

&.'//// , '.(*** 0 0 0,0.*'5 /.5 ,*.:5 /.5 ,0 ,0

0.'(&** ,'.(&** .(5// ,&'.0// 5.: 0

Po.+no-+o PF 2!1H0? 1J!4KKJH1? 922!50H2? 1!441JH? 9!041KJH4? 0!241KKJH5Presione una tecla $ara continuar . . .


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Curso


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Curso



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Fi!ura (.( Pro!rama de Inter$olaci%n de Ne+ton $ara un $olinomio de !rado n,& $untosdados


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Po.+no-+o( )e In,er:o.%'+7n )e L%r%ne"l $olinomio de inter$olaci%n de 1a!ran!e es sim$lemente una re9ormulaci%ndel $olinomio deNe+ton ?ue e4ita el clculo de las di9erencias di4ididas@ y se

re$resenta de manera concisa como

I*&J

8onde

I*'J

8onde p desi!na el D$roducto deE. Por eem$lo@ la 4ersi%n lineal n L & es

I*/J

` la 4ersi%n de se!undo !rado es

I*(J

"l ra3onamiento detrs de la 9ormulaci%n de 1a!ran!e se com$rendedirectamente al darse cuentade ?ue cada trmino 1iB ser & en B L Bi y 0en todos los otros $untos. 8e esta 9orma@ cada $roducto 1iB 9Bi toma el4alor de 9Bi en el $unto Bi. "n consecuencia@ la sumatoria de todos los$roductos en la ecuaci%n *& es el nico $olinomio de n,simo !rado ?ue$asa eBactamente a tra4s de todos los n H & $untos@ ?ue se tienen comodatos.

Para el $ro!rama en CHH. #e com$rueban los mismos $untos ?ue seem$learon $ara encontrar el $olinomio de di9erencias di4ididas de Ne+ton@$ara el $olinomio de inter$olaci%n de 1a!ran!e. [ste tiene ?ue ser

eBactamente el mismo.,,,,,,,,,,,Metodo de Inter$olacion de 1a!ran!e,,,,,,Numero de datos de tulista * Introduce los4alores de BQiBQ0L 0BQ&L &BQ'L 'BQ/L /BQ(L (BQ5L 5


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Introduce los 4alores de 9B

9B0L'.&09B&L.0

9B'L&/.*09B/L'.'09B(L(0.209B5L*&.&0

n "l $olinomio de 1a!ran!e :

0.'(&***B]5 H ,/.0(&*B]( H &/.((&B]/ H ,''.50/B]' H

&.(**B]& H '.&B]0 H,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Process eBited a9ter '2.0/ seconds +it- return4alue 0Presione una tecla $ara continuar . . .


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Fi!ura (.5 Pro!rama de Inter$olaci%n de 1a!ran!e $ara un $olinomio de !rado n,&$untos dados


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7. ECUACIONESDI$ERENCIALESORDINARIAS!

#ea una ecuaci%n di9erencial ordinaria de la 9orma I*5J

` sea

I**J

1a ecuaci%n de $endiente ordenada al ori!en. 8e acuerdo con esta ecuaci%n@la $endiente estimada 9 se usa $ara eBtra$olar desde un 4alor anterior yi a unnue4o 4alor yiH& en una distancia-

Nue4o 4alor L 4alor anterior H $endiente q tamao de $aso

Fi!ura 5.& Ilustraci%n !r


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M6,o)o )e E*.er1a $rimera deri4ada o9rece una estimaci%n directa de la $endiente en Bi

c L Bi@ yi *

8onde Bi@ yi es la ecuaci%n di9erencial e4aluada en Bi y yi. 1a estimaci%nse sustituye en laecuaci%n '5.&:

y iH& L yi H IBi@ yiJ- I*:J

"sta 9%rmula se conoce como mtodo de "uler o de "uler,Cauc-y o de$unto $endiente. #e$redice un nue4o 4alor de y usando la $endiente i!ual ala $rimera deri4ada en el 4alor ori!inal deB $ara eBtra$olar linealmente sobre el tamao de $aso -.

Para el $ro!rama im$lementado en CHH la ecuaci%n di9erencial ordinaria de$rimer orden seescribe en la $rimera librera de. "l $ro!ramamuestra en 9orma tabulada los resultados $aso a $aso.

,,,,, Pro!rama MVtodo de "uler ,,,,,,,ONota: Introducir datos en 9ormato decimal sin indicar

o$eraciones."em$lo: *.'/'@ en 4e3 de 'OPI o 'O/.&(&*1imite in9erior del inter4alo ti:01imite su$erior del inter4alot9:*.'/'Condicin inicialBi:0Condicin inicialyi:0Anc-o deinter4alo -:0./Bi yi ytrue 9B@y

H0.000000H0.000000H0.000000H'.000000H0./00000H0.*00000H0.(&'2H0.0(550H0.*00000H0.(&/*5H0.5&&5&(,0.&&/'

H0.200000H0.0'/0H0./252/,0.50*(H&.'00000H0.*//0'5H0.'0/((*,0.*(*(/H&.500000H0.(//'H0.0/&(,0.(/''H&.00000H0.'2*(,0.0/&(,0.''//&H'.&00000H0.''25',0.&0*/0,0.0&//(&H'.(00000H0.''550,0.020/0H0.&0*'(5H'.00000H0.'5*'(,0.05&2/(H0.&/'((H/.000000H0.'22,0.0&/2&&H0.&025&2H/./00000H0.//&*5'H0.0&&(2&H0.05*05H/.*00000H0./(2'/(H0.0'&**H0.0&&552


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Curso

Fi!ura 5.' Pro!rama de "uler.

M6,o)o( )e R*ne9*,,% )e '*%r,o or)en"l ms $o$ular de los mtodos R; es el de cuarto orden. Como en el caso delos $rocedimientos dese!undo orden@ -ay un nmero inbser4e ?ue con las "8> ?ue estn en 9unci%n s%lo de B@ el mtodo R; clsicode cuarto orden es similar a la re!la de #im$son &/. Adems@ el mtodo R;de cuarto orden tiene similitud con el $rocedimiento de eun en cuanto a?ue se usan mlti$les estimaciones de la $endiente $araobtener una meor$endiente $romedio en el inter4alo. Como se muestra en la


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Curso

Fi!ura 5./. Re$resentaci%n !rrden

Para R; de (to orden@ se usa la misma 9unci%n ?ue se us% $ara "uler@ conel mismo $aso ycondiciones iniciales.

,,,,, Pro!rama MVtodo de Run!e,;utta de (to orden ,,,,,,,ONota: Introducir datos en 9ormato decimal sin indicaro$eraciones."em$lo: *.'/'@ en 4e3 de 'OPI o 'O/.&(&*1imite in9erior del inter4aloti:0 1imite su$erior delinter4alo t9:*.'/'Condicininicial Bi:0Condicin inicialyi:0Anc-o deinter4alo -:0./

Bi yi y true k& k' k/ k( Pend tot

H0.000000H0.000000H0.000000H'.000000H&./20&5H&./20&5H0.0(550H0.(&'*'H0./00000H0.(&'*'H0.(&'2H0.0(550H0.'2/'(&H0.'2/'(&,0.&&/'H0.02/&H0.*00000H0.5&&((2H0.5&&5&(,0.&&/',0.(0(/55,0.(0(/55,0.50*(,0.&&552(H0.200000H0./2555H0./252/,0.50*(,0.*55/22,0.*55/22,0.*(*(/,0.&2'(2*H&.'00000H0.'0//52H0.'0/((*,0.*(*(/,0.525/,0.525/,0.(/'',0.&&25(H&.500000H0.0/&(05H0.0/&(,0.(/'',0./(22*,0./(22*,0.''//&,0.&0(*'2

H&.00000,0.0/''5,0.0/&(,0.''//&,0.&0&&,0.&0&&,0.0&//(&,0.0//55H'.&00000,0.&0*00,0.&0*/0,0.0&//(&H0.05525H0.05525H0.&0*'(5H0.0&*/*(H'.(00000,0.020(/5,0.020/0H0.&0*'(5H0.&/&/&5H0.&/&/&5H0.&/'((H0.0/(/H'.00000,0.05&22,0.05&2/(H0.&/'((H0.&'('&H0.&'('&H0.&025&2H0.0/0''H/.000000,0.0&/2*,0.0&/2&&H0.&025&2H0.0(2'H0.0(2'H0.05*05H0.0'5(0&


102/115

Curso

H/./00000H0.0&&('5H0.0&&(2&H0.05*05H0.0//('H0.0//('H0.0&&552H0.0&0&2(H/.*00000H0.0'&*&2H0.0'&**H0.0&&552,0.00555,0.00555,0.0&0',0.00&(5H/.200000H0.0'0&((H0.0'0'&',0.0&0',0.0'5/(,0.0'5/(,0.0'/2,0.00/2

H(.'00000H0.0&'(H0.0&'&5,0.0'/2,0.0'',0.0'',0.0'('',0.00'/H(.500000H0.00(5&0H0.00(5,0.0'('',0.0'0&*5,0.0'0&*5,0.0&(/,0.00*0&/H(.00000,0.00&50/,0.00&(/5,0.0&(/,0.002/5*,0.002/5*,0.00(((',0.00'/'H5.&00000,0.00(//5,0.00('*,0.00(((',0.000/5,0.000/5H0.00'*5,0.000&*/H5.(00000,0.00((2,0.00((/0H0.00'*5H0.00(*H0.00(*H0.00502H0.00&/55H5.00000,0.00/&((,0.00/0*H0.00502H0.0052'(H0.0052'(H0.0055&/H0.00&(*H*.000000,0.00&/2,0.00&//0H0.0055&/H0.00(*H0.00(*H0.00/*02H0.00&/2'H*./00000,0.00000*H0.0000*'H0.00/*02H0.00'(*2H0.00'(*2H0.00&/H0.000((


103/115


,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Process eBited a9ter (.2& seconds +it- return4alue 0Presione una tecla $ara continuar . . .


104/115


105/115

Para b=2


106/115

syms x f;f='exp(-x)*(2*cos(2*x)-sin(2*x))';ti=0;tf=2*pi;Xi=0;Yi=0;h=0.3;

Euler!etho"(f#ti#tf#Xi#Yi#h);$eun!etho"(f#ti#tf#Xi#Yi#h);!i"!etho"(f#ti#tf#Xi#Yi#h);%un&eutt2%lston(f#ti#tf#Xi#Yi#h);%un&eutt3(f#ti#tf#Xi#Yi#h);%un&eutt(f#ti#tf#Xi#Yi#h);%un&eutt+utcher(f#ti#tf#Xi#Yi#h);title(',omprcin "e los mto"os "e %un&e utt con l funcinori&inl');xl/el('iempo t (se&)');yl/el('f(t)');le&en"('Euler'#'1olucin er""er'#'$eun'#'unto !e"io'#'%lston'#'%un&eutt 3'# '%un&e utt '#'%un&e utt (+utcher)');

1.2

1

0.8

0.6

Comparacin de los mtodos de Runge Kutta con la funcin original

Euler

Solucin verdadera

eun

!unto "edio

Ralston

Runge Kutta #

Runge Kutta $

Runge Kutta % &'utc(er)

0.$

0.2

0

*0.20 1 2 # $ % 6

+iempo t &seg)

Fi!ura 5.5 Com$araci%n !ra


107/115

Salida en la ventana de comandos

primiti =

sin(2*x)*exp(-x)

i x Y4er""ero YEuler en"iente Y56Euler

+ =

0 0 0 0 0 0

6.0000 0.3000 0.673 0.8000 2.0000 0.80002.0000 0.8000 0.66 0.76 0.70 0.763.0000 0.9000 0.399 0.70:2 -0.6637 0.70:2

.0000 6.2000 0.203 0.8330 -0.70: 0.8330.0000 6.000 0.036 0.37: -0.8:8 0.37:8.0000 6.7000 -0.0:36 0.298: -0.:33 0.298::.0000 2.6000 -0.608: 0.2297 -0.2233 0.22977.0000 2.000 -0.090 0.22: -0.0633 0.22:9.0000 2.:000 -0.069 0.2:8 0.6082 0.2:860.0000 3.0000 -0.0639 0.2977 0.63:2 0.297766.0000 3.3000 0.066 0.336: 0.609 0.336:62.0000 3.8000 0.026: 0.392 0.078 0.39263.0000 3.9000 0.0202 0.32: 0.0668 0.32:6.0000 .2000 0.0627 0.3:3 -0.0670 0.3:36.0000 .000 0.008 0.3377 -0.027 0.337768.0000 .7000 -0.006 0.3363 -0.027 0.33636:.0000 .6000 -0.003 0.3289 -0.067 0.3289

67.0000 .000 -0.00 0.328 -0.00 0.32869.0000 .:000 -0.0036 0.328 0.002: 0.32820.0000 8.0000 -0.0063 0.3276 0.00: 0.3276

x Y4er""ero Y$eun

+ =

0 0 0

0.3000 0.673 0.20:0.8000 0.66 0.230.9000 0.399 0.2066.2000 0.203 0.239

6.000 0.036 0.08::6.7000 -0.0:36 -0.03872.6000 -0.608: -0.0:222.000 -0.090 -0.0732.:000 -0.069 -0.02673.0000 -0.0639 0.0623.3000 0.066 0.003.8000 0.026: 0.0603.9000 0.0202 0.000.2000 0.0627 0.030


108/115

.000 0.008 0.036.7000 -0.006 0.0296.6000 -0.003 0.0282.000 -0.00 0.0280.:000 -0.0036 0.02:28.0000 -0.0063 0.0279

+ =

x

0

Y4er""ero

0

Yunto!e"io

0

0.3000 0.673 0.6:60.8000 0.66 0.000.9000 0.399 0.373:6.2000 0.203 0.67:66.000 0.036 0.06326.7000 -0.0:36 -0.0962.6000 -0.608: -0.6262.000 -0.090 -0.608

2.:000 -0.069 -0.08:63.0000 -0.0639 -0.02783.3000 0.066 -0.00363.8000 0.026: 0.00893.9000 0.0202 0.002.2000 0.0627 -0.002.000 0.008 -0.0607.7000 -0.006 -0.0687.6000 -0.003 -0.0698.000 -0.00 -0.069:.:000 -0.0036 -0.06738.0000 -0.0063 -0.0688

x Y4er""ero Y%un&eutt2%lston

+ =

0 0 0

0.3000 0.673 0.6760.8000 0.66 0.63:0.9000 0.399 0.0666.2000 0.203 0.26096.000 0.036 0.0026.7000 -0.0:36 -0.0822.6000 -0.608: -0.09722.000 -0.090 -0.0722.:000 -0.069 -0.08

3.0000 -0.0639 -0.00873.3000 0.066 0.0673.8000 0.026: 0.027:3.9000 0.0202 0.02:.2000 0.0627 0.0206.000 0.008 0.0669.7000 -0.006 0.009.6000 -0.003 0.0036.000 -0.00 0.0029.:000 -0.0036 0.002


109/115

8.0000 -0.0063 0.0080

+ =

x

0

Y4er""ero

0

Y%un&eutt3

0

0.3000 0.673 0.6730.8000 0.66 0.660.9000 0.399 0.3996.2000 0.203 0.2036.000 0.036 0.0366.7000 -0.0:36 -0.0:322.6000 -0.608: -0.60872.000 -0.090 -0.0902.:000 -0.069 -0.0203.0000 -0.0639 -0.0603.3000 0.066 0.066

3.8000 0.026: 0.02683.9000 0.0202 0.0206.2000 0.0627 0.062:.000 0.008 0.00.7000 -0.006 -0.006.6000 -0.003 -0.003.000 -0.00 -0.00.:000 -0.0036 -0.00368.0000 -0.0063 -0.006

+ =

x

0

Y4er""ero

0

Y%un&eutt

0

0.3000 0.673 0.6730.8000 0.66 0.660.9000 0.399 0.3996.2000 0.203 0.2036.000 0.036 0.0366.7000 -0.0:36 -0.0:322.6000 -0.608: -0.60872.000 -0.090 -0.0902.:000 -0.069 -0.020

3.0000 -0.0639 -0.0603.3000 0.066 0.0663.8000 0.026: 0.02683.9000 0.0202 0.0206.2000 0.0627 0.062:.000 0.008 0.00.7000 -0.006 -0.006.6000 -0.003 -0.003.000 -0.00 -0.00.:000 -0.0036 -0.0036


110/115

8.0000 -0.0063 -0.006

+ =

x

0

Y4er""ero

0

Y%un&eutt+utcher

00.3000 0.673 0.6730.8000 0.66 0.660.9000 0.399 0.3996.2000 0.203 0.2036.000 0.036 0.0366.7000 -0.0:36 -0.0:362.6000 -0.608: -0.608:2.000 -0.090 -0.0902.:000 -0.069 -0.0693.0000 -0.0639 -0.06393.3000 0.066 0.0663.8000 0.026: 0.026:

3.9000 0.0202 0.0202.2000 0.0627 0.0627.000 0.008 0.008.7000 -0.006 -0.006.6000 -0.003 -0.003.000 -0.00 -0.00.:000 -0.0036 -0.00368.0000 -0.0063 -0.0063

C7)+o )e .%( *n'+one( en MATLA )e .o( -6,o)o(*(%)o(

Cdigo para el Mtodo de Euler:

function Euler!etho"(f#ti#tf#Xi#Yi#h)n=(tf-ti)h;x6=tf?;y6(6)=Yi;y2(6)=Yi;@(6)=0;for A=6>n

x=x6(A);y=y6(A);fp(A56)=el(f);y2(A56)=y6(A)5(fp(A56))*h;y6(A56)=y2(A56);@(A56#6)=A;

en"plot(x6#y6#'-r')primiti=int(sym(f))B=len&th(x6);for u=6>B


111/115

en" x=x6(u);y3(u)=el(primiti);

hol" onplot(x6#y3#'-/')"isp(' i x Y4er""ero YEuler en"ienteY56Euler')+=@# x6'# y3'# y6# fp'# y2'?

en"

Cdigo para el Mtodo de Heun:

function $eun!etho"(f#ti#tf#Xi#Yi#h)n=(tf-ti)h;x6=tf?;y6(6)=Yi;y2(6)=Yi;@(6)=0;for A=6>n

x=x6(A);y=y6(A);fp(A56)=el(f);y2(A56)=y6(A)5(fp(A56))*h;y=y2(A56);x=x6(A56);fp2(A56)=el(f);fel(A56)=(fp(A56)5fp2(A56))2;y6(A56)=y6(A)5fel(A56)*h;@(A56#6)=A;

en"

plot(x6#y6#'-&')primiti=int(sym(f));B=len&th(x6);for u=6>B

x=x6(u);y(u)=el(primiti);

en""isp(' x Y4er""ero Y$eun')+=x6'# y'# y6?

en"

Cdigo para el Mtodo de Punto Medio:

function !i"!etho"(f#ti#tf#Xi#Yi#h)n=(tf-ti)h;x6=tf?;


112/115

Curso 2

y6(6)=Yi;y2(6)=Yi;@(6)=0;for A=6>n

x=x6(A);y=y6(A);fp(A56)=el(f);

y2(A56)=y6(A)5((fp(A56))*h)2;y=y2(A56);x=x6(A)5h2;fp2(A56)=el(f);y6(A56)=y6(A)5(fp2(A56))*h;@(A56#6)=A;

en"plot(x6#y6#'-m')primiti=int(sym(f));B=len&th(x6);for u=6>B


en""isp(' x Y4er""ero Yunto!e"io')+=x6'# y'# y6?en"

Cdigo para el Mtodo de Runge Kutta de 2do. rden !Ralston":

function %un&eutt2%lston(f#ti#tf#Xi#Yi#h)n=(tf-ti)h;x6=tf?;

y6(6)=Yi;y2(6)=Yi;@(6)=0;

for A=6>nx=x6(A);y=y6(A);A6(A56)=el(f);y2(A56)=y6(A)5((A6(A56))*3*h);y=y2(A56);x=x6(A)53*h;A2(A56)=el(f);y6(A56)=y6(A)5((63)*A6(A56)5(23)*(A2(A56)))*h;@(A56#6)=A;

en"plot(x6#y6#'-c')primiti=int(sym(f));B=len&th(x6);for u=6>B


en""isp(' x Y4er""ero Y%un&eutt2%lston')+=x6'# y'# y6?


113/115

Curso 2

en"

Cdigo para el Mtodo de Runge Kutta de #er. rden:

function %un&eutt3(f#ti#tf#Xi#Yi#h)n=(tf-ti)h;

x6=tf?

y6(6)=Yi;y2(6)=Yi;@(6)=0;for A=6>n

x=x6(A);y=y6(A);A6(A56)=el(f);y2(A56)=y6(A)5((A6(A56))*h)2;y=y2(A56);x=x6(A)5h2;A2(A56)=el(f);

y3(A56)=y6(A)-h*A6(A56)52*h*A2(A56);y=y3(A56);x=x6(A)5h;A3(A56)=el(f);y6(A56)=y6(A)5(68)*(A6(A56)5*(A2(A56))5(A3(A56)))*h;@(A56#6)=A;

en"plot(x6#y6#'oA')primiti=int(sym(f));B=len&th(x6);

for u=6>Bx=x6(u);y(u)=el(primiti);

en""isp(' x Y4er""ero Y%un&eutt3')+=x6'# y'# y6?

en"

Cdigo para el Mtodo de Runge Kutta de $to. rden:

function %un&eutt(f#ti#tf#Xi#Yi#h)n=(tf-ti)h;x6=tf?y6(6)=Yi;y2(6)=Yi;@(6)=0;for A=6>n

x=x6(A);y=y6(A);A6(A56)=el(f);y2(A56)=y6(A)5((A6(A56))*h)2;y=y2(A56);


114/115

Curso 2

en"

x=x6(A)5h2;A2(A56)=el(f); y3(A56)=y6(A)5((A2(A56))*h)2; y=y3(A56);x=x6(A)5h2;A3(A56)=el(f);y(A56)=y6(A)5(A3(A56))*h;y=y(A56);

x=x6(A)5h;A(A56)=el(f);y6(A56)=y6(A)5(68)*(A6(A56)52*(A2(A56))52*(A3(A56))5A(A56))*h;@(A56#6)=A;

plot(x6#y6#'*y')primiti=int(sym(f))B=len&th(x6);

for u=6>Bx=x6(u);y(u)=el(primiti);

en"

"isp(' x Y4er""ero Y%un&eutt')+=x6'# y'# y6?en"

Cdigo para el Mtodo de Runge Kutta de %to. rden !&utc'er":

function %un&eutt+utcher(f#ti#tf#Xi#Yi#h)n=(tf-ti)h;x6=tf?y6(6)=Yi;y2(6)=Yi;

@(6)=0;for A=6>n

x=x6(A);y=y6(A);A6(A56)=el(f);y2(A56)=y6(A)5((A6(A56))*h);y=y2(A56);x=x6(A)5h;A2(A56)=el(f);y3(A56)=y6(A)5((A6(A56))*h)75((A2(A56))*h)7;y=y3(A56);

x=x6(A)5h;A3(A56)=el(f);y(A56)=y6(A)-((A2(A56))*h)25(A3(A56))*h;y=y(A56);x=x6(A)5h2;A(A56)=el(f);y(A56)=y6(A)5(368)*(A6(A56))*h5(968)*h*(A(A56));y=y(A56);


115/115

x=x6(A)5(3)*h;A(A56)=el(f);y8(A56)=y6(A)-(3:)*(A6(A56))*h5(2:)*(A2(A56))*h5(62:)*(A3(A56))*h-

(62:)*(A(A56))*h5(7:)*(A(A56))*h;y=y8(A56); x=x6(A)5h;A8(A56)=el(f);

y6(A56)=y6(A)5(690)*(:*(A6(A56))532*(A3(A56))562*(A(A56))532*(A(A56))5:*(A8(A56)))*h;

@(A56#6)=A;en"plot(x6#y6#'xA')primiti=int(sym(f))B=len&th(x6);for u=6>B


en""isp(' x Y4er""ero Y%un&eutt+utcher')

+=x6'# y'# y6?en"

260436210 metodos numericos y su programacion en c copia

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