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Derivadas parciales
Definición 3.1
Si z=f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a x y a y son las funcionesfx y fy respectivamente, definidas mediante
siempre y cuando existan los límites.
Esta definición indica que si z=f(x,y), entonces para calcular fx consideramos que y
es constante y derivamos con respecto a x. De forma análoga, para
obtener fy consideramos que x es constante y derivamos con respecto a y.
Ejemplo 3.1
Calcular fx y fy para la función
Solución
Considerando y constante y derivando con respecto a x, resulta
Considerando x constante y derivando con respecto a y, resulta
Existen notaciones diferentes para las derivadas parciales primeras. A continuación
damos una lista de las más comunes:
Si z=f(x,y), las derivadas parciales primeras fx y fy se denotan
Ejemplo 3.2
Para la función encontrar fx y fy y evaluar cada una de ellas en el
punto (1, ln2)
Solución
Como la derivada parcial de f con respecto a x en (1, ln2)
es
Como la derivada parcial de f con respecto a y en (1,
ln2) es
Las derivadas parciales de una función de dos variables, z=f(x,y), tienen una
interpretación geométrica útil. Si y=c, entonces z=f(x,c) representa la curva
formada por la intersección de la superficie z=f(x,y) con el plano y=c, como
muestra la figura 3.1. Por lo tanto,
figura 3.1
representa la pendiente de esta curva en el plano y=c (observar que tanto la curva
como la tangente pertenecen al plano y=c).
De forma similar,
representa la pendiente de la curva obtenida por la intersección de z=f(x,y) y el
plano x=c como se observa en la figura 3.2.
figura 3.2
Se dice que los valores de fx y fy en el punto (x0,y0,z0) denotan la pendiente de la superficie en las direcciones x e y respectivamente.
Ejemplo 3.3
Encontrar la pendiente de la superficie dada por en el
punto (1/2,1,2) en las direcciones x e y.
Solución
En la dirección x, la pendiente viene dada por
(ver figura 3.3)
En la dirección y, la pendiente viene dada por
(ver figura 3.4)
Independientemente de cuántas variables estén involucradas, las derivadas
parciales pueden interpretarse como razones de cambio.
figura 3.3 figura 3.4
Derivadas parciales de orden superior
Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadas
parciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero y
superiores, supuesto que tales derivadas existen. Denotamos las derivadas de
orden superior por su orden de derivación. Por ejemplo, hay cuatro formas distintas
de encontrar una derivada parcial segunda de z=f(x,y).
1. Derivar dos veces respecto de x:
2. Derivar dos veces respecto de y:
3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:
4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:
Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas. Se
debe observar que hay tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas,
según convenio se utilice para indicar el orden de derivación. Así, la parcial
Orden de derecha a izquierda
indica que la primera derivación es con respecto a x, pero la parcial
(fy)x=fyx Orden de izquierda a derecha
indica que la primera derivación es con respecto a y. Observar que con ambas
notaciones se drivaprimero respecto de la variable que está más cercana a f.
Ejemplo 3.4
Encontrar las derivadas parciales segundas de y calcular
el valor de fxy(-1,2)
Solución
Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a x y a y:
Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta
Finalmente, fxy(-1,2)=12-40=-28
Se observa que las derivadas parciales cruzadas son iguales. Esto sucede
frecuentemente, como se indica en teorema siguiente.
Teorema 3.1
Si f es una función de x e y tal que f, fx, fy, fxy y fyx son continuas en la región abierta R, entonces para cada (x,y) en R,
Ejemplo 3.5
Probar que las derivadas parciales cruzadas son iguales para la
función
Solución
Las parciales primeras son,
Y las parciales cruzadas son,
Ejercicios
Ejercicio 3.1
Encontrar las derivadas parciales primeras con respecto a x e y
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Ejercicio 3.2
Evaluar fx y fy en el punto que se indica
1. , (2,-2)
2. , (1,0)
3. , (2,-2)
4. , (1,0)
Ejercicio 3.3
Encontrar las segundas derivadas parciales f xx, fyy, f xy y fyx
1.
2.
3.
4.
Ejercicio 3.4
Demostrar que fxy=fyx
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ejercicio 3.5
Verificar que la función satisface la ecuación de Laplace
Ejercicio 3.6
Utilizar la definición mediante límites de las derivadas parciales para
encontrar fx(x,y) y fy(x,y)
Ejercicio 3.7
Dibujar la curva de intersección de la superficie y del plano dados. Encontrar la
pendiente de la curva en el punto que se especifica
superficie plano puntox=2 (2,3,6)y=1 (2,1,8)y=3 (1,3,)x=1 (1,3,0)
Evaluación
1) Se N el número de candidatos a una universidad, p es el costo de alimentación y
alojamiento y t el precio de la matrícula. Supongamos que N es una función de p y
de t talque Np<0 y Nt<0. ¿Cómo interpretaría el hecho de que ambas derivadas
parciales fueran negativas?
2) El alcance de un proyectil disparado con un ángulo de elevación sobre la
horizontal y con velocidad
Evaluar cuando v0=2000 m/s y =5º
3) La temperatura en todo punto (x,y) de una placa metálica viene dada por
donde x e y se miden en metros. En el punto (2,3), encontrar la razón de cambio de
la temperatura respecto de la distancia al movernos sobre la placa en las
direcciones de los ejes x e y.
4) Según la ley de los gases ideales, PV=kT, donde P es la presión, V el volumen, T
la temperatura y k una constante de proporcionalidad. Hallar
5) Consideremos la función definida por
a) Encontrar fx(x,y) y fy(x,y) para (x,y) distinto de (0,0)
b) Utilizar la definición de derivadas parciales para hallar fx(0,0) y fy(0,0)
c) Utilizar la definición de derivadas parciales para hallar fxy(0,0) y fyx(0,0)