Ricarda Guerrero Reyes Pedagogia 4º “B”

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES

Definición. Los Números Irracionales son aquellos que se pueden representar por expansiones decimales infinitas no periódicas.

Un número irracional no puede ser representado por una fracción donde m y n

son enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Va a ser todo número real que no es racional.

No existe una notación universal para indicarlos, la razón es que no constituyen una estructura algebraica como los números ( enteros , racionales ,

reales y complejos (C), mientras que los irracionales se denota con el símbolo .

No existen números que sean racionales e irracionales a la vez, simbólicamente

esto se indica de la siguiente manera:

En si toda expresión en números decimales es una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo: el numero racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del numero irracional de la raíz cuadrada de 2 el cual posee infinitas cifras decimales no periódicas.

Por lo tanto el número de la raíz cuadrada de 2 es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales o bien es igual 1,4142135… donde los tres puntos decimales hacen referencia a los tres números que faltan y que jamás terminaríamos de escribir.

Los números irracionales son identificados mediante símbolos especiales, son tres:

1.- La longitud de una circunferencia y su diámetro.

2.-

3.-

Los números irracionales se clasifican en dos tipos: número algebraico y número trascendente.

Número algebraico: son la solución de una ecuación algebraica y se representa por un numero finito de radicales libres o anidados.

Por ejemplo: el número áureo es una de las raíces de la ecuación

algebraica por lo que es un número irracional algebraico.

Número trascendente: proviene de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas exponenciales, etc.) pueden ser números decimales no periódicos al azar o con un patrón no definido.

Por ejemplo: …

…

EXPONENTES ENTEROS Leyes de los exponentes enteros para la multiplicación. Los exponentes se han utilizado para indicar el número de veces que se repite un factor en un producto. Por ejemplo, la notación exponencial proporciona un modo sencillo para multiplicar expresiones que contienen potencias de la misma base. Primera ley de los exponentes. Los exponentes se suman para multiplicar dos potencias de la misma base. Considera que m y n son enteros positivos: Esta regla significa que para multiplicar expresiones con la misma base, mantenemos la base y sumamos los exponentes. Antes de aplicar la regla del producto, hay que asegurarnos de que las bases sean las mismas.

Segunda ley de los exponentes.

Los exponentes se multiplican par elevar una potencia a otra potencia.

Si m y n son enteros positivos:

Cuando se eleva una potencia a una potencia, mantenemos las bases y

multiplicamos los exponentes.

Considera la expresión , que significa que está elevado al cubo. Esta

expresión puede simplificarse como se muestra enseguida:

Tercera ley de los exponentes.

Mediante las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación es posible

escribir que una potencia de un producto es igual al producto de las potencias de

cada uno de los factores.

Simbólicamente:

E j e m p l o :

Un producto de números iguales por lo general se escribe en notación exponencial. Ejemplo:

5 5 5 se escribe como 53. En este caso se dice que 53 es un notación exponencial de 125.

b) (-3)4 = (-3) (-3) (-3) (-3) = 8. En este caso se dice que (-3)4 es una notación exponencial de 81.

c) (4)1 = 4. En este caso se dice que (4)1 es una notación exponencial de 4.

NOTACIÓN EXPONENCIAL Notación científica es un formato de cómo escribir los números grandes o pequeños de tal forma que puedan manejarse con facilidad. En algunos casos lo podemos nombrar como notación exponencial. La notación exponencial es basada en usar potencia teniendo como base el 10. Esta notación se utiliza para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o muy pequeños.La ecuación general es la siguiente:

Donde: a = número mayor que la unidad y menor que 10 n = es el exponente de 10.

Multiplicación

Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican los

coeficientes y se suman los exponentes.

Ejemplo:

(4×1012)× (2×105) =8×1017

División

Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen los coeficientes y

se restan los exponentes.

Ejemplo: (48×10-10)/(12×101) = 4×10-11

Potenciación

Se eleva el coeficiente a la potencia y se multiplican los exponentes.

Ejemplo: (3×106)2 = 9×1012.

Radicación

Se debe extraer la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el índice de la

raíz.

Ejemplos:

MODELOS ALGEBRAICOS ELEMENTALES.

Término algebraico

Es el producto y/o división de una o más variables (factor literal) y un coeficiente o

factor numérico. Por ejemplo:

Concepto de variable

Es la expresión simbólica representativa de un elemento no especificado comprendido en un conjunto. Este conjunto constituido por todos los elementos o variables, que pueden sustituirse unas a otras es el universo de variables. Se llaman así porque varían, y esa variación es observable y medible.

Las variables pueden ser cuantitativas, cuando se expresan en números, como por ejemplo la longitud o el peso. Las variables cualitativas expresan cualidades, por ejemplo, designar con letras las preferencias de los estudiantes por sus materias de estudio.

Concepto de expresión algebraica

Es toda constante o variable o bien toda combinación de constantes y potencias que están ligadas por algunos de los símbolos +, -, × y ÷, en un numero finito.

Si es una constante o una variable y una variable entonces indica el

producto de o sea:

Ejemplo de expresión algebraica:

Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas, como lo son: monomios, binomios, trinomios, polinomios, etc.

Una expresión algebraica se puede definir por grados y este se va relacionar con el exponente, ejemplo:

En las expresiones algebraicas se utilizan corchetes, paréntesis, llaves, para indicar términos que están considerados como una sola cantidad, los cuales al realizar la ecuación se van suprimiendo y así reducir términos semejantes, utilizando las leyes de los signos:

Monomio.

Es una expresión algebraica en la que se utilizan potencialidades naturales de variables literales que constan de un solo termino (si hubiera + o – seria binomio), un numero llamado coeficiente.

Elementos de un monomio.

Un monomio posee una serie de elementos con denominación específica.

Dado el monomio, se distinguen los siguientes elementos:

Coeficiente: (incluye al signo o número)

Parte literal (exponente natural)

Grado (la suma de los exponentes de las variables que lo componen)

Grado 1 = 4x+y (exponente 1)

Grado 2 = 4x+8y-3x2 (exponente 2)

Grado 3 = 4x+5y+2x3 (exponente 3)

Grado 4 = x+2y+4x4 (exponente 4)

+×+ = +

+×- = -

-×- = -

- ×- = +

El signo se indica si es negativo (–). Se omite si es positivo (+) y si es el primer término positivo de un polinomio.

Si un monomio carece de signo, equivale a positivo (+). Si un monomio carece de coeficiente, este equivale a uno. Si algún término carece de exponente, este es igual a uno.

Dada una variable, un número natural y un número real la expresión es un monomio.

Ejemplo de monomios:

a) (3x2) b)(2x2 y4)

Monomios semejantes

Se llaman semejantes a los monomios que tienen la misma parte literal.

Suma y resta de monomios

Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes, el resultado se obtiene sumando o restando sus coeficientes, si los monomios no son semejantes, el resultado de la suma o resta es un polinomio.

Ejemplo: 3x2 + (y2-4z)-3(2x-3y+4z)=

Así pues primero se suprimen los paréntesis para reducir los términos semejantes.

Quedando:

3x2+y2-4z-2x+3y-4z= 3x2+y2-8z-2x+3y

Producto de monomios

Dos monomios se pueden multiplicar, efectuando el producto de los coeficientes y de las partes literales, respectivamente.

Cociente de dos monomios

El cociente de dos monomios será otro monomio sólo cuando la parte literal del dividendo es múltiplo de la parte literal del divisor.

POLINOMIOS

Del griego “poli” muchos y “voyoc” división y del latín binomius, es una expresión constituida por un conjunto finito de variables y constantes que utilizan únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación así como exponentes enteros positivos.

Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.

Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.

Funciones polinomicas.

Una función polinómica es una función matemática expresada mediante un polinomio. Dado un polinomio P[x] se puede definir una función polinómica asociada a él dado substituyendo la variable x por un elemento del anillo

Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.

En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.

Polinomio de grado 2: f(x) = x2 - x - 2= (x+1) (x-2). Polinomio de grado 3:f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2= 1/5 (x+5) (x+1) (x-2).

Ejemplos de expresiones algebraicas: Resta:

Se desarrolla de la siguiente manera: 2x2-3xy+5y2 de 10x2-2xy-3y2

= 10x2-2xy-3y2

-2x2+3xy-5y2

8x2+xy-8y2 Por lo tanto el resultado es 8x2+xy-8y2 Multiplicación: (-3x+9+x2)(3-x)=

Se desarrolla de la siguiente manera:

x2-3x+9

-x+3

-x3+3x2-9x

+3x2-9x+27

-x3+6x2-18x+27

Por lo tanto el resultado es: -x3+6x2-18x+27 División de dos monomios

24x4 y2 z3 ÷ -3x3 y4 z

Se desarrolla de la siguiente manera: 24x4 y2 z3 = -8x z2

-3x3 y4 z y2

División de polinomios:

×2 + 2x4 -3x3 + x -2

x2 -3x + 2

Se desarrolla de la siguiente manera:

x2 -3x + 2

-2x4 +6x3 -4x 2

+3x3 -3x2 +x

-3x3 +9x2 -6x

+6x2 -5x -2

-6x2 +18x -12

13x -14 El resultado será: 13x -14

2x4 -3x3 +x2 +x -2

Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de reducción

Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

Se resuelve la ecuación resultante.

El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iníciales y se resuelve.

Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

2x+4(3)=16 2x + 12= 16 2x=16-12 2x=4 x= X= 4