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M A R T E S , 1 1 D E A G O S T O D E 2 0 0 9
La matriz generadora de rotación
Hemos visto ya cómo es posible tomar una matriz Q que representa a la posición, y con la ayudade la matriz P que representa al momentum hemos visto cómo es posible efectuar una traslacióndel objeto en cierta dirección.
Si es posible efectuar una traslación, también debe ser posible llevar a cabo una rotación. Elprincipal problema que enfrentamos es que, a diferencia de las traslaciones sobre tres ejescoordenados (que supondremos como coordenadas Cartesianas rectangulares), en donde elorden de las traslaciones es conmutativo, las rotaciones no son conmutativas. En el caso de lastraslaciones, un movimiento de 3 unidades hacia la derecha seguido de otro movimiento de 8unidades hacia arriba nos lleva al mismo lugar que si efectuáramos primero un desplazamiento de8 unidades hacia arriba seguido de una traslación de 3 unidades hacia la derecha. Esto esconmutatividad pura. Pero tratándose de rotaciones, basta ver la siguiente figura para darnoscuenta de que el “orden de los factores” (o mejor dicho, las rotaciones) sí altera “el producto” (omejor dicho, la posición final):
En la figura de arriba, se toma primero el eje-z usándolo para girar el marco de coordenadasCartesianas en sentido contrario a las manecillas del reloj (visto desde arriba), imprimiendo unarotación al sistema de coordenadas rectangulares Cartesianas (x,y,z) a través de un ángulo θ1manteniendo el eje-z en su lugar. Tras esto, tomamos el eje-x (en su nueva posición) para girar elsistema de coordenadas Cartesianas cambiando la posición del eje-z en un ángulo θ2. Laposición del marco de coordenadas Cartesianas es diferente del que habríamos obtenido usandoprimero el eje-x para imprimir un giro de un ángulo θ2 y posteriormente usando el eje-z paraimprimir un giro de un ángulo θ1. Esto mismo lo podemos comprobar de modo más evidente conel simple hecho de tomar un libro en nuestras manos imprimiendo una rotación de 90 grados conrespecto a la portada del libro y otra rotación de 90 grados con respecto a otra referente,repitiendo el experimento pero invirtiendo el orden de las operaciones.
Antes de poder definir una matriz de rotación que nos pueda ser útil dentro de la MecánicaMatricial para imprimirle rotaciones a los objetos matriciales propios de la Mecánica Matricial,tenemos que repasar primero los resultados que nos son ya conocidos en la mecánica clásica,con la esperanza de poder extender lo que ya se sabe al territorio de la Mecánica Cuántica.
La rotación más sencilla es aquella mediante la cual tomamos un vector situado en el plano x-ygirándolo en sentido contrario a las manecillas del reloj, lo cual equivale a tomar un eje-z (novisible) perpendicular al plano dándole un giro por un ángulo θ, moviendo el vector v0 a su nuevaposición v’:
A R C H I V O D E L B L O G
▼ 2009 (136)▼ agosto (136)
Indice
Prólogo
El modelo atómico planetario de Bohr I
El modelo atómico planetario de Bohr II
La espectroscopía de rayos-X
La extraña ecuación de Max Born
Vectores y matrices I
Vectores y matrices II
El análisis de Fourier
La regla de multiplicación de Heisenberg
Observables compatibles e incompatibles
Oscilador armónico simple: soluciónmatricial
Matrices y probabilidad
El principio de incertidumbre I
El principio de incertidumbre II
El experimento Stern-Gerlach
El spin del electron
Momento angular: tratamiento matricial I
Momento angular: tratamiento matricial II
Momento angular: tratamiento matricial III
La energía rotacional
Matrices y sub-matrices
Solución matricial del átomo de hidrógeno
Funciones matriciales
De la mecánica clásica a la mecánicamatricial
La matriz momentum como generadora detraslación
La matriz generadora de rotación
Rotaciones de las matrices de Pauli
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La Mecánica Cuántica
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En todo momento, la longitud del objeto que es rotado debe permanecer inalterada, no lepermitimos a la operación de rotación “estirar” o “comprimir” al objeto.
Procediendo de igual manera, para cada plano podemos definir una rotación diferente:
Si trabajamos confinados a un solo plano, por ejemplo el plano x-y, entonces nos basta con lasiguiente matriz de rotación 2x2:
Esta matriz de rotación, aplicada como un operador a un vector v, nos produce un vector v’ cuyalongitud es la misma que la del vector original, aunque las proyecciones verticales y horizontaleshayan cambiado:
v’ = Rzv
Para un rotación de 60 grados, por ejemplo, la matriz de rotación será igual a:
El aspecto estadístico de la MecánicaMatricial
Evolución temporal de los sistemas físicos
Matrices continuas
Ondas de materia
La ecuación de Schrödinger
Solución matemática de la ecuación deonda
Solución numérica de la ecuacion deSchrödinger
Interpretación probabilista de ψ I
Interpretación probabilista de ψ II
Operadores y esperanzas matemáticas I
Operadores y esperanzas matemáticas II
Oscilador armónico simple: soluciónondulatoria
La función delta de Dirac
Transmisión y reflexión de partículas I
Transmisión y reflexión de partículas II
Transmisión y reflexión de partículas III
Transmisión y reflexión de partículas IV
El potencial delta de Dirac
Ondas de simetría circular y esférica
La notación bra-ket de Dirac
El espacio de Hilbert I
El espacio de Hilbert II
Operadores Hermitianos
Los operadores escalera I
Los operadores escalera II
El principio de incertidumbre, revisitado
El acto de medición
Momento angular orbital: análisisondulatorio I
Momento angular orbital: análisisondulatorio II
Momento angular orbital: funciones de ondaI
Momento angular orbital: funciones de ondaII
Polinomios de Legendre: aspectosmatemáticos
La función de onda radial
La función de onda del momento angulardel spin
El principio de exclusión de Pauli
El proceso de construcción Aufbau
El acoplamiento LS
La suma de momentos angulares
Las reglas de selección
Técnicas de aproximación I
Técnicas de aproximación II
Técnicas de aproximación III
El método de aproximación WKB I
El método de aproximación WKB II
El método de aproximación WKB III
El método de aproximación WKB IV
El enlace molecular I
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De este modo, si las componentes horizontal y vertical del vector original v son a=3 y b=1, susnuevas componentes a’ y b’ después de la rotación serán:
a’ = (0.5) a - (0.86) b = 1.5 - .86 = 0.64
b’ = (0.86) a + (0.5) b = 2.58 + 0.5 = 3.08
Sin embargo, si lo que vamos a describir son rotaciones en un sistema de coordenadastridimensional, entonces no nos basta con una sola matriz 2x2; necesitamos tres matrices 3x3,las cuales serán (el ángulo θ puede ser y será de hecho diferente en cada matriz):
La primera matriz nos dá una rotación alrededor del eje-z, la segunda matriz nos dá una rotaciónalrededor del eje-x, y la tercera matriz nos dá una rotación alrededor del eje-y. Las rotacionesindicadas por estas tres matrices son rotaciones válidas para cualquier ángulo,independientemente de su magnitud.
Ahora trataremos de “tranportar” lo que hemos visto a las rotaciones propias de la MecánicaMatricial. Procederemos con cautela empezando con rotaciones infinitesimales, entendiéndosepor “infinitesimal” no una cantidad típica del cálculo diferencial como dx a la cual no es posibleasignarle un número, sino por una cantidad lo suficientemente pequeña como para que seaposible asignarle un número lo suficientemente pequeño como para permitirnos ignorar lostérminos de orden superior que aparezcan en las series de Taylor que sean utilizadas, y en estecaso las series a las que nos estamos refiriendo son las series que corresponden a las funcionestrigonométricas seno y coseno:
Para valores “infinitesimales” de la variable independiente, o mejor dicho para valores losuficientemente pequeños que nos permitan despreciar los términos de orden superior en lasseries sin incurrir en márgenes apreciables de error, podemos tomar lo anterior como:
Esto nos permite escribir las tres matrices de rotación de la manera siguiente:
El enlace molecular II
La hibridación de los orbitales atómicos
La teoría de los orbitales moleculares
Teoría del campo cristalino
Operadores clase T
El espacio-posición y el espacio-momentum I
El espacio-posición y el espacio-momentum II
El espacio-posición y el espacio-momentum III
El espacio-posición y el espacio-momentum IV
La partícula libre I
La partícula libre II
La ecuación de movimiento de Heisenberg
Mecánicas Matricial y Ondulatoria:equivalencia
Evolución temporal de las ondas de materiaI
Evolución temporal de las ondas de materiaII
El operador de traslación
El operador de evolución del tiempo
Las representaciones de Heisenberg ySchrödinger
Operadores de rotación I
Operadores de rotación II
Los grupos de rotación I
Los grupos de rotación II
Los grupos de rotación III
La simetría como piedra angular
Representaciones irreducibles I
Representaciones irreducibles II
Los coeficientes Clebsch-Gordan I
Los coeficientes Clebsch-Gordan II
Los coeficientes Clebsch-Gordan III
Operadores tensoriales
El momento de cuadripolo
El teorema Wigner-Eckart I
El teorema Wigner-Eckart II
Mecánica Estadística Cuántica I
Mecánica Estadística Cuántica II
Mecánica Estadística Cuántica III
Mecánica Estadística Cuántica IV
Mecánica Estadística Cuántica V
Mecánica Estadística Cuántica VI
La matriz densidad I
La matriz densidad II
El láser
El teorema virial
Espectroscopías de resonancia magnéticaI
Espectroscopías de resonancia magnéticaII
Espectroscopías de resonancia magnéticaIII
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Si en cualquiera de las tres matrices hacemos ε = 0, podemos ver que el elemento identidad pararotaciones será igual a la matriz identidad:
Rx(0) = Ry(0) = Rz(0) = I
Llevaremos a cabo ahora una operación compuesta con dos de estas matrices, la operaciónRxRy, la cual equivale a una rotación alrededor del eje-y seguida de una rotación alrededor del eje-x (el orden de las rotaciones debe leerse de derecha izquierda) que por multiplicación matricialdirecta podemos ver que es igual a:
Por otro lado, la operación RxRy, la cual equivale a una rotación alrededor del eje-y seguida deuna rotación alrededor del eje-x es igual a:
Si comparamos ambos productos matriciales, podemos ver que las rotaciones infinitesimales entorno a ejes de rotación diferentes conmutan si ignoramos los términos de orden ε².
Es importante destacar que lo que hemos hecho hasta aquí no tiene absolutamente nada que vercon la Mecánica Cuántica; no hemos utilizado conceptos propios de la Mecánica Cuántica. Cadamatriz R es una matriz ortogonal que actúa sobre un vector columna v. Se trata de resultadosclásicos que ahora trataremos de extender hacia la Mecánica Matricial.
Empezaremos por tomar a la matriz Rz descomponiéndola en una suma de matrices en funciónde los términos del parámetro ε. En base a esto, tenemos lo siguiente:
Espectroscopías de resonancia magnéticaIV
Esparcimiento clásico de partículas
Esparcimiento de las ondas de luz
Aspectos matemáticos de las ondasesféricas
El método de las ondas parciales
La aproximación de Born I
La aproximación de Born II
El teorema óptico
La ecuación Lippmann-Schwinger
El teorema adiabático I
El teorema adiabático II
La Mecánica Cuántica Relativista
Recursos de software
Constantes fundamentales y factores deconversión
Bibliografía
D A T O S P E R S O N A L E S
A R M A N D O M A R T Í N E ZT É L L E Z
V E R T O D O M I P E R F I L
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Observando que la matriz que corresponde al tercer término se puede obtener elevando alcuadrado la matriz que corresponde al segundo término, podemos representar lo anterior de unamanera más compacta como:
I - iεMz - (ε²/2) Mz²
en donde:
de este modo, una rotación pequeña alrededor del eje-z se puede describir mediante esta matrizde la manera señalada arriba. Esta matriz no debe ser confundida en ningún momento concualquiera de las matrices que representan cantidades físicas.
Tomaremos ahora a la matriz Rx descomponiéndola también en una suma de matrices en funciónde los términos del parámetro ε. En base a esto, tenemos lo siguiente:
Al igual que en el caso anterior, observando que la matriz que corresponde al tercer término sepuede obtener elevando al cuadrado la matriz que corresponde al segundo término, podemosrepresentar lo anterior de una manera más compacta como:
I - iεMx - (ε²/2) Mx²
en donde:
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Por último, tomaremos a la matriz Ry descomponiéndola en una suma de matrices en función delos términos del parámetro ε. En base a esto, tenemos lo siguiente:
Como en los dos casos anteriores, observando que la matriz que corresponde al tercer término sepuede obtener elevando al cuadrado la matriz que corresponde al segundo término, podemosrepresentar lo anterior de una manera más compacta como:
I - iεMy - (ε²/2) My²
en donde:
En cada uno de los casos que hemos considerado, el cambio de ε a -ε producirá una rotacióninversa, en sentido contrario al sentido de la rotación original, descrito por la matriz:
I + iεM - (ε²/2) M²
Puesto de otra manera:
lo cual nos dá:I + ε²M² - (1/2) ε²M² - (1/2) ε²M² = I
Del mismo modo:
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también nos produce un giro en un sentido que es cancelado por un giro de igual magnitudaplicado en el sentido opuesto.
A continuación, evaluaremos el producto matricial MxMy:
Por otro lado, el producto matricial MyMx será:
Obviamente, el producto matricial MxMy es diferente del producto matricial MyMx. Veamos acontinuación cuál es esa diferencia:
Podemos compactar esto un poco recurriendo a la notación del conmutador:
[Mx, My] = iMz
Procediendo del mismo modo, obtenemos también:
[Mx, My] = iMz
[My, Mz] = iMx
[Mz, Mx] = iMy
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Esto parece ya familiar. Y debe serlo, cuando hacemos las siguientes substituciones:
Mx → Lx___My → Ly___Mz → Lz
Estas son esencialmente las relaciones de conmutación para el momento angular. Puesto queestamos utilizando las matrices M como generadoras de las matrices de rotación que estamosbuscando, esto sólo puede significar una cosa: el momento angular es el generador de lasmatrices de rotación, al igual que en la mecánica clásica el momento angular es el generadorde rotaciones.
Aquí puede surgir cierta desconfianza porque las matrices con las cuales empezamos, Rx, Ry yRz, son las matrices clásicas para llevar a cabo la rotación de un objeto sólido en el espaciotridimensional Euclideano y ciertamente no de una matriz. Esto se puede solventar tomando unamatriz A, la cual supondremos que puede ser de cualquier dimensión (por ejemplo, una matriz2x2), tomando como operador esencial para llevar a cabo una rotación infinitesimal alrededor deleje-z al siguiente operador matricial (la cantidad infinitesimal ε usada arriba será simbolizadaahora como un ángulo pequeño φ expresado en radianes, con el fin de destacar el hecho de queel desarrollo lo estaremos llevando a cabo ahora de modo que la rotación actúe sobre los objetospropios de la Mecánica Cuántica):
U = I - iφJz
haciendo también:
U-1 = I + iφJz
con lo cual, despreciando el término que contiene a φ²:
U-1·U = (I + iφJz)(I - iφJz) ≈ I
y del mismo modo:
U·U-1 = (I - iφJz)(I + iφJz) ≈ I
justificando así el considerar a U-1 como el inverso de U.
Usando estos operadores infinitesimales de rotación aplicándolos sobre una matriz A paraproducir una matriz rotada A’, tenemos lo siguiente:
U-1AU = (I + iφJz)A(I - iφJz) = A’
Llevando a cabo el doble producto matricial y despreciando el término que contiene a φ², se tieneentonces:
U-1AU = A - iφ(AJz - JzA)
En el caso de la rotación identidad, φ es igual a cero de modo tal que U es igual a I y lasmatrices A que representan cantidades físicas permanecen iguales. Para rotaciones pequeñas enlas cuales φ es un ángulo pequeño pero no igual a cero, el cambio en la matriz A que representauna cantidad física es proporcional al ángulo φ, el cambio es proporcional a la rotación imprimida.
Podemos hacer más preciso el efecto de la rotación infinitesimal tomando en cuenta términos queincluyan a φ², definiendo lo siguiente:
U = I - iφJz - [φ²/2]K
siendo K cualquier matriz que necesitemos en la siguiente aproximación en donde se requieraconservar los términos en φ y φ² pero pudiéndose despreciar los términos en φ3 y φ4. La rotacióninversa se obtiene cambiando en lo anterior de φ a -φ:
U-1 = I + iφJz - [φ²/2]K
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Despreciando los términos en φ3 y φ4, esto significa que:
U-1·U =_______________________
(I + iφJz - [φ²/2]K)·( I - iφJz - [φ²/2]K) = I
Desarrollando el producto matricial:
I + φ²Jz² - [φ²/2]K - [φ²/2]K = I
φ²Jz² - φ²K = O
K = Jz
Hemos encontrado el valor que debe tener la matriz K, con lo cual:
U = I - iφJz - [φ²/2]Jz
U-1 = I + iφJz - [φ²/2]Jz
Del mismo modo, puesto que la designación simbólica de las coordenadas rectangularesCartesianas es arbitraria, debe de haber matrices Jx y Jy tales que para cualquier valor pequeñode φ:
I - iφJx - [φ²/2]Jx
y:
I + iφJy - [φ²/2]Jy
correspondan a rotaciones pequeñas alrededor del eje-x y del eje-z. Los productos de estasmatrices para rotaciones alrededor del eje-x, del eje-y y del eje-z corresponderán a los productosde las rotaciones. Para cualquiera de estas rotaciones, una matriz A que represente una cantidadfísica será cambiada a una cantidad A’ = U-1AU, siendo U la matriz que corresponda a la rotaciónllevada a cabo.
A continuación, formaremos el siguiente producto matricial cuádruple involucrando rotacionessucesivas alrededor de dos ejes distintos (para apreciar la razón del por qué el orden a serseguido no es U-12U-11U1U2 es necesario aplicar los operadores sobre un vector columna X ydesarrollar en pleno):
U-12 U-11 U2 U1 =____________
(I + iφJy - [φ²/2]Jy)(I + iφJx - [φ²/2]Jx)×(I - iφJy - [φ²/2]Jy)(I + iφJx - [φ²/2]Jx)
Desarrollando el producto matricial:
I + iφJy + iφJx - iφJy - iφJx+ iφJy(-iφJy) - [φ²/2]Jy² - [φ²/2]Jy²
+ iφJx(-iφJx) - [φ²/2]Jx² - [φ²/2]Jx² + iφJyiφJx+ iφJy(-iφJx) + iφJx(-iφJy) - iφJy(-iφJx)
Esto se simplifica a lo siguiente:
I + φ²(JxJy - JyJx)
Si estuviéramos limitados a manejar ángulos infinitesimales, lo que hemos hecho no nos serviríade mucho, ya que estamos interesados en ángulos finitos que podamos medir de alguna manera
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o con los cuales podamos hacer cálculos numéricos. Al igual que como ocurrió cuando obtuvimosel operador matricial eiaP/ħ necesario para producir una traslación finita usando a la matrizmomentum P como generadora de la traslación, aquí podemos obtener una rotación finita llevandoa cabo una rotación infinitesimal tras otra, acumulando una composición de rotacionesinfinitesimales.
(I+ [iφ/3]Mx)(···)(I+ [iφ/3]Mx)A(I-[iφ/3]Mx)(···)(I-[iφ/3]Mx)
que viene siendo lo mismo que:
(I + [iφ/3]Mx)3A(I - [iφ/3]Mx)3
Esto lo podemos generalizar de la siguiente manera:
(I + [iφ/n]Mx) n A (I - [iφ/n]Mx) n
para cualquier valor del exponente n.
Puesto que dos rotaciones sucesivas, una tras otra, en el mismo plano, (por ejemplo, alrededordel eje-z) son aditivas (una rotación de 45° seguida de una rotación de 20° es igual a una rotaciónde 65°):
Rz(φ1) Rz(φ2) = Rz(φ1 + φ2)
esperamos entonces que la multiplicación de dos matrices de rotación sea igual a la suma desus argumentos, lo cual nos sugiere que busquemos una representación exponencial de nuestrosoperadores rotacionales, para poder así cumplir con la propiedad aditiva:
Tal y como ocurrió en nuestra búsqueda del operador de traslación, si tomamos el valor límite delproceso de composición de rotaciones infinitesimales para cualquiera de las matrices Mx, My yMz:
(I + [iφ/n]M) n A (I - [iφ/n]M) n
haciendo n→∞ con el objeto de acumularlas hacia una rotación finita, llegaremos entonces a ladefinición de nuestro operador de rotación como una función exponencial matricial:
Así pues, cada uno de nuestros operadores de rotación será una función matricial exponencial.
¿Y qué aspecto tendrán los operadores de rotación ya desarrollados para cada caso enparticular? Ello depende del tipo de momento angular del que estemos hablando. Tratándose delmomento angular orbital J, se tiene, metiendo dentro del panorama a la constante física ħ:
Jx = ħLx___Jy = ħLy___Jz = ħLz
Entonces, para el momento angular orbital:
Estos son los valores matriciales que debemos darle a cada una de las matrices M para obtenerlos operadores de rotación que corresponden al momento angular orbital para una rotación finita a
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lo largo de un ángulo φ. De este modo, los operadores de rotación serán:
Naturalmente, de las relaciones de conmutación obtenidas arriba para las matrices Mgeneradoras de rotación, podemos recuperar las relaciones de conmutación para el momentoangular orbital J, empezando por la primera:
[Mx, My] = iMz
que viene siendo:
siendo las otras dos relaciones de conmutación para el momento angular orbital:
[Jy, Jz] = iħJx
[Jz, Jx] = iħJy
Ahora bien, tratándose del momento angular del spin, cuando hacemos las siguientessubstituciones:
Mx → σx/2
_My → σy/2
_Mz → σz/2
empleando las matrices de Pauli:
obtendremos a partir de las relaciones de conmutación para las matrices M de arriba lasrelaciones familiares de conmutación para las matrices de Pauli. Por lo tanto, tratándose delmomento angular del spin S (metiendo dentro del panorama a la constante física ħ), en donde setiene a los componentes del momento angular del spin S en función de las matrices de Pauli:
Sx = (ħ/2)σx___Sy = (ħ/2)σy___Sz = (ħ/2)σz
se tendrán entonces los siguientes operadores de rotación para el momento angular del spin:
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PROBLEMA: (1) Constrúyase una matriz de transformación T que tenga como vectores columnaa los eigenvectores normalizados de la matriz Sx, haciéndolo de tal manera que los elementos
puestos a lo largo de la diagonal principal sean positivos reales. (2) Demuéstrese que la matriz Tes una matriz unitaria que transforma a la matriz Sx haciéndola diagonal. (3) Demuéstrese que la
matriz T también puede ser construída como uno de los operadores de rotación:
(4) ¿Cuál es el significado de esta transformación, desde el punto de vista de una rotación en elespacio tridimensional real? (5) ¿Cuál es el significado de esta transformación, desde el punto devista de una rotación en el espacio complejo de dos dimensiones?
(1) Para obtener los eigenvectores de la matriz Sx, montamos la ecuación característicahaciéndola actuar sobre un vector v:
Sxv = λv
De este modo, tenemos la siguiente ecuación matricial:
Llevando a cabo la multiplicación matricial del lado izquierdo y pasando el lado derecho hacia laizquierda, tenemos entonces:
Esto nos dá el siguiente par de ecuaciones simultáneas:
Podemos resolver este sistema de ecuaciones despejando para en la segunda ecuación:
Substituyendo esto en la primera ecuación, podemos obtener los eigenvalores λ para estesistema:
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Tenemos pues dos eigenvalores. Usando el eigenvalor positivo de λ en la segunda ecuación,obtenemos la condición general x1 = x2 que podemos satisfacer dándole a ambos el valor de 1para así poder construír el primer eigenvector columna v1 que finalmente podemos normalizarpara que sea de longitud unidad:
Utilizando el eigenvalor negativo de λ, podemos obtener el segundo eigenvector columna v1 quetambién podemos normalizar:
Con los dos eigenvectores columna normalizados que hemos obtenido, podemos construírfinalmente la matriz de transformación T deseada:
Obsérvese que se ha construído la matriz T de modo tal que los elementos a lo largo de ladiagonal principal sean positivos reales.
(2) Para demostrar que la matriz T es unitaria, obtenemos primero el inverso T-1 de la matriz:
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Es obvio que la matriz inversa T-1 es también la transpuesta T* de la matriz T. Puesto que latranspuesta de la matriz T es también igual a su inversa, o sea T* = T-1, se concluye entoncesque la matriz T es unitaria. Para demostrar que transforma Sx a una forma diagonal, llevamos a
cabo el triple producto matricial T-1SxT, con lo cual obtenemos una matriz diagonal que resultaser la matriz Sz:
(3) Para demostrar que la matriz T también puede ser construída como uno de los operadores derotación señalados a partir de la matriz Sy, usando el hecho fácilmente verificable de que:
llevaremos a cabo el siguiente desarrollo exponencial por series de Maclaurin aplicadas al casomatricial:
Podemos reconocer los términos real e imaginario, puestos entre paréntesis, como lasexpansiones en serie de Maclaurin para las funciones cosenoidal y senoidal, permitiéndonosreducir todo a:
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Entrada más reciente Entrada antigua
Esta es la misma matriz T que la que habíamos obtenido previamente, pero obtenida ahora apartir de un operador matricial de rotación desarrollado y simplificado como una función matricialexponencial.
(4) El significado de una transformación de este tipo, visto desde el punto de vista de una rotaciónen el espacio tridimensional real y considerando al eje-z como fijo, se puede apreciar tomando lamatriz de rotación clásica en el plano x-y dándole al ángulo de rotación un valor de θ = π/4, con locual obtenemos a la matriz que puede tomar cualquier vector v en el plano x-y girándolo ensentido contrario de las manecillas del reloj en un ángulo de 45 grados:
(5) Desde el punto de vista de una rotación llevada a cabo en el espacio complejo de dosdimensiones, la matriz T es la matriz que puede tomar ya sea a la matriz Sx ó a la matriz Szimprimiéndole un giro de 90 grados para transformarla en una matriz Sz ó en una matriz Sx.
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