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Series y Transformada de Fourier

S C

y Discretas en el Tiempo.

A j

Javier Gonzlez Barajas

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Series y Transformada de Fourier para Seales Continuas y Discretas en el Tiempo.

Algoritmos para el desarrollo de ejercicios prcticos

Autor:

Javier Gonzlez Barajasvzzb@..

F I E

Dv I

Uv S T D Aq

B D.C., Cb

ISBN: 978-84-944229-6-6

DOI: h://x../10.3926/.23

OS (O Pbh SL) 2015

D b: OS

Db b: 3--6: M Th CC-BY 3.0 Abk w

bw: bkh - F.

OS h b b

b q x.

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Agradecimientos

E x , q x-

b x

x. L h -

F I E, Uv S T- Cb.

I. Dv M, x b

T Wv C.

I. C Jv M, b x b

T R F.

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5

Contenido

Presentacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Captulo1A

F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Captulo2

L T F. M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Captulo3

M T

F D: L FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Captulo4

C

: M Lb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Captulo5

P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

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SeriesyTransformadadeFourierparaSealesConnuasyDiscretasenelTiempo.

Algoritmosparaeldesarrollodeejerciciosprccos

6

Captulo6

M . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Captulo7

T C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Captulo8

I T Wv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Captulo9

A T Wv vz . . . . . . . . 79

Captulo10E b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Captulo11

M b . . . . . . . . . . 93

B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

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Xxxx

xxxx

7

Presentacin

Dv , -

h b

,

. E v

z , x

.

A ,

q T F

v

b q h .

C b v T F -

b -

q x .

A, v - , (T

Wavelets).

E x q v -

h Mb q h z -

v

.

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8

E x v

F v . L

, b x

x.

L b x, -

, v vz h

b, q b

.

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9

Introduccin

L T F, h J

B F x

-

. P v,

b x x

.

E x bv q ,

v F. S h

h Mb q

h

. E -

z

. P q F

q , z q

.

E b

T F, DFT (D F T).

S DFT v

q z x T

F . E bv

b .

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10

E , q

q

. Tb x b z

F b,

.

E h -

, b

. E b Lb, h

T F .

EL v T

F, C - vz x

.

P , x T O Wv, v -

q x-

b z : M Sb

Mx.

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11

Captulo 1

Algoritmo para reconstruccin

F

Contenido

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12

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13

L F, z

. E

. S F, b .

T T h T1, -

F 1. S F b E (1).

01

( ) jkw t

k

T

a x t e dt T

(1)

Figura 1. Onda cuadrada peridica, con periodo T= 4 seg. y ancho T1= 1 seg.

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14

T E (1) a0:

1

0

2Ta

T

01 ( )

T

a x t dt T

(2)

k 0 E (3):

0 10

2sink

kw Ta

kw T

01 jkw tk

T

a e dt T

(3)

S0 0

2w F

A v Mb,

q F P T h T

1:

N=100;

k=-N:N;

T1=1;

T=4;

wo=(2*pi)/T;

ak=2*sin(k*wo*T1)./(k*wo*T);ak(N+1)=2*T1/T;

E F 2 F N= 100.

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15

AlgoritmoparareconstruccindesealesperidicasaparrdesuscoecientesdeFourier

P hz, b q

v K, qv k x W0 /.

P , E (4):

0

( )

Nlkw t

k

k Nx t a e

(4)

A v Mb

. S b 5 5

0.001 . L x(t) F 3.

t=-5:0.001:5;

L=length(t);for i=1:L

c=0;

for k=-N:N

c=c+ak(k+1+N)*(cos(k*wo*t(i))+j*sin(k*wo*t(i)));

end

x(i)=real(c);

end

Figura 2. Serie de Fourier con N= 100.

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16

L F 3 N= 20.

E b q

N v-

. E F 4 -

N= 100 F.

Figura 3. Reconstruccin con N = 20.

Figura 4. Seal cuadrada reconstruida para N= 100.

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17


L F 5 N= 200.

E F 6 h N= 1000.

Figura 5. Reconstruccin con N= 200.

Figura 6. Seal cuadrada reconstruida para N= 1000.

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18

1. P z

S F, x(t)

ak, E (5) b b

to.

0 0

0( )

jkw t

kx t t a e

( )k

x t aSi

E (5)

A v q q -

ak x(t), (((k*w*)+ *(k*w*))), z , x(t) b

.

S :

ak=(2*sin(k*wo*T1)./(k*wo*T)).*(cos(k*wo*to)-j*sin(k*wo*to));

E k

((k*w*)+ *(k*w*)).

L F 7 ak , N= 100.

T ak , z , b-

v x(t) z to,q

F 8.

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19


Figura 7. Magnitud y fase de los coecientes akpara N= 100, al ser modicados

para obtener un retraso en la seal reconstruida.

Figura 8. Seal reconstruida con los coecientes akcon desfase

para generar un retraso con to= 2.5 segundos.

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20

2. Propiedad de linealidad

L F, E

(6), x(t) Y(t), T.

( )

ky t b

( ) ( )k k

x t y t a b

( )k

x t aSi

E (6)

E x q q -

vz F 1. E -

T1 = 1 T2 = 2.4.

E , ak b

k, T,

:

N=100;

k=-N:N;

T=4;

% Periodo de la sealwo=(2*pi)/T;

% Coeficientes para seal de ancho T1

T1=1;

ak=(2*sin(k*wo*T1)./(k*wo*T));

ak(N+1)=2*T1/T;

% Coeficientes para seal de ancho T2

T2=2.4;

bk=(2*sin(k*wo*T2)./(k*wo*T));

bk(N+1)=2*T2/T;

E F 9 ak b

k.

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21


Uz , ak b

k

x(t) y(t).

t=-5:0.001:5;

L=length(t);

for i=1:L

c=0;

for k=-N:N


end

x(i)=real(c);

endfor i=1:L

c=0;

for k=-N:N

c=c+bk(k+1+N)*(cos(k*wo*t(i))+j*sin(k*wo*t(i)));

end

y(i)=real(c);

end

Figura 9. Coecientes aky b

k.

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22

E F 10 x(t) y(t), N= 100.

C ck -

ak b

k. C

z(t), F 11. L z(t) qv x(t) y(t).

ck=ak+bk;

for i=1:L

c=0;

for k=-N:N

c=c+ck(k+1+N)*(cos(k*wo*t(i))+j*sin(k*wo*t(i)));

end z(i)=real(c);

end

Figura 10. Seales x(t) y (t) reconstruidas para N= 100.

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23


3. R S E F

E q F z

F0. L

hv coef.mat.

E hv . F q

, vb XF1.

XF1 = 0.0306 - 0.2912

0.1045 + 0.1070

0.1660 0.1993

0.4851 + 0.2971

0.2363 0.4382

0.5624 + 0.2922

0.6417 0.2724

0.6869 + 0.0461

0.5682 0.0270

0.5402 0.4401

0.5121 + 0.6731

0.0299 0.6975

0.2187 + 0.8459

0.5696 0.7458

0.9622 + 0.7620

1.0227 0.6641

0.9484 + 0.2450

1.1413 + 0.1069

0.3722 0.3293

0.2926 + 0.1378

1.2148 0.0371

1.5213 0.6171

2.2415 + 1.5051

3.0091 2.9823

3.4763 + 3.8879

Figura 11. Seal z(t) creada a parr de la reconstruccin de los coecientes k= a

k+ b

k.

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24

3.2797 5.3207

2.9091 + 6.2133

1.8076 7.8318

0.9435 + 8.5737

0.2066 9.4362

2.6475 + 8.7986

4.6682 8.6571

7.0514 + 8.6604

7.7367 6.6058

8.2304 + 2.8991

7.5862 + 0.1233

3.0050

7.5862 0.1233

8.2304 2.8991

7.7367 + 6.6058

7.0514 8.6604

4.6682 + 8.6571

2.6475 8.7986

0.2066 + 9.4362

0.9435 8.5737

1.8076 + 7.8318

2.9091 6.2133

3.2797 + 5.3207

3.4763 3.8879

3.0091 + 2.9823

2.2415 1.5051

1.5213 + 0.6171

1.2148 + 0.0371

0.2926 0.1378

0.3722 + 0.3293

1.1413 0.1069

0.9484 0.2450

1.0227 + 0.6641

0.9622 0.7620

0.5696 + 0.7458

0.2187 0.8459

0.0299 + 0.6975

0.5121 0.6731

0.5402 + 0.4401

0.5682 + 0.0270

0.6869 0.0461

0.6417 + 0.2724

0.5624 0.2922

0.2363 + 0.4382

0.4851 0.2971

0.1660 + 0.1993

0.1045 0.1070

0.0306 + 0.2912

C z

F 12.

load coef

L=length(XF1);

N=(L-1)/2;

k=-N:N;ak=XF1;

subplot(2,1,1)

stem(k,abs(ak))

title(magnitud coeficientes ak)

subplot(2,1,2)

stem(k,angle(ak))

title(magnitud coeficientes bk)

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25


L F 13 .

Figura 12. Coecientes de Fourier en magnitud y fase de un ciclo

completo del complejo cardiaco.

Figura 13. Periodo del complejo cardiaco.

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26

P v , v-

riable F0q , q

.

Fo=0.5;

wo=2*pi*Fo;

t=-5:0.001:5;

L=length(t);

for i=1:L

c=0;

for k=-N:N


end

x(i)=real(c);

end

L F 14 b F0= 0.5 Hz,

2 .

Figura 14. Reconstruccin de una seal electrocardiogrca

con frecuencia fundamental F0= 0.5 Hz.

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27


E v F0 v 2Hz, b

F 15,

.

Figura 15. Reconstruccin de una seal electrocardiogrca

con frecuencia fundamental F0= 2 Hz.

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28

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Captulo 2

La Transformada de Fourier.

Mtodo computacional

Contenido

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30

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31

E v

q z T F -

. E b v . E b -

x q

RC. E

T F . P

T

F: DFT.

A x

x(t) q v RC, 100 1000 h.

Ts=0.001;

C=100E-6;

R=1000;

tao=1/(R*C);

t=0:Ts:5;

x=exp(-tao*t);

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32

L F 16 x(t) 0.001 .

P T F x(t).

E , z X(w).

N=length(x);

k=-N/2:N/2;

F=(k-1)/(N*Ts);

% Transformada de Fourier terica X(w) de la funcin x(t)

w=2*pi*F;

XW=1./(tao+j*w);

XWM=abs(XW);plot(w,XWM)

Figura 16. Seal x(t) que representa la cada de voltaje de un condensador.

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33

LaTransformadadeFourier.Mtodocomputacional

E F 17 T F x(t)

500 500 Hz.

Uz v T F DFT, z .

N=length(x);

for k=1:N

c=0;

for n=1:N

c=c+x(n)*(cos(2*pi*n*k/N)+j*sin(2*pi*n*k/N));

end XF(k)=c;

end

k=1:N;

F=(k-1)/(N*Ts);

figure

plot(F,abs(XF))

Figura 17. Transformada de Fourier de x(t).

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34

L F 18 b v T

F v DFT.

L F 19 T F

b .

E x b . P, b

q T F ,

, W= 2xpixF.

P v ,

KxFs/N.

C , F 19 q

q v T F

v .

Figura 18. Calculo de la Transformada de Fourier de la seal x(t)

a travs del mtodo de la DFT.

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35

LaTransformadadeFourier.Mtodocomputacional

Figura 19. Comparacin entre el resultado obtenido con el algoritmo de la DFT

y los datos obtenidos a travs de la Transformada de Fourier.

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36

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37

Captulo 3

M de la Transformada de Fourier Discreta:

La FFT matricial

Contenido

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38

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39

M T F -

x(t) E (7).

( ) j tX w x t e dt

(7)

P x(t), h z

b Nmuestrasx(n), z T D

F (T.D.F.) x E (7).

21

0

( )

knNj

N

n

X k x n e

(8)

E q T

D F v , b -

. P v -

T.D.F. vh .

S N x(n), zA(n,k) N N b v

x q b

T.D.F. (v E (3)).

,A n k e

2 kn

jN

(9)

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40

P N= 4, z :

N=4;

for k=1:N

for n=1:N

A(n,k)=cos(2*pi*(k-1)*(n-1)/N)-j*sin(2*pi*(k-1)*(n-1)/N);

end

end

S b z:

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

1.0000 0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 + 1.0000

1.0000 1.0000 0.0000 1.0000 + 0.0000 1.0000 0.0000

1.0000 0.0000 + 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000

Al tener la matrizAv , b h

q v z 2*N2 .

C b z x(n):

x(n) = [1 2 3 4]

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41

MtodoecienteparaelclculodelaTransformadadeFourierDiscreta:LaFFTmatricial

L T.D.F. z zA(n,k)

x(n):

XF = x*A

XF = 10.0000 2.0000 + 2.0000i 2.0000 0.0000i 2.0000 2.0000i

E q x(n)

N= 100, 200, 300, 400, 500, 1000, 2000, 3000

4000 . E bz T F FFT v

DFT.

L F 20 v T-

F DFT.

Figura 20. Tiempo de cmputo para clculo de la DFT.

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42

L F 21, T F-

v . S q v

b v DFT.

Figura 21. Tiempo de cmputo para clculo de la Transformada de Fourier

por medio del mtodo matricial.

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43

Captulo 4

Clculo de la densidad espectral de

potencia para seales con muestreo

irregular: Mtodo de Lomb

Contenido

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45

P T FX(w) (v E (7))

b b b

, (PSD). V E- (10).

2

X w (10)

A v , h q

x(t), q Ts

Nq b x(n). T -, PSD v T F (v

E 8).

E b

, Lb, 1976,

bv -

. E x, q x q

q q bv

.

E Lb xn(t

n)

q -

v f bv E (11).

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46

2 2

1 1

2 2 2

1 1

.cos 2 .sin 21

2 cos 2 sin 2

N N

n n n n n nn n

N N

n nn n

x t x f t x t x f tP f

f t f t

(11)

E E (4), 2 vz xn(t

n)

vb z v E (12).

1

1

sin(4 )tan 4

cos(4 )

N

nn

N

nn

t

t

(12)

P Lb h

q b (N= 500 )

(30Hz, 80Hz

120Hz) Fs= 1000 /, q z q

Ts= 0.001 .

N=500;

Fs=1000;Ts=1/Fs;

n=1:N;

f1=30;

f2=80;

f3=120;

x=cos(2*pi*f1*Ts*n)+cos(2*pi*f2*Ts*n)+cos(2*pi*f3*Ts*n);

L F 22 b .

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47

Clculodeladensidadespectraldepotenciaparasealesconmuestreoirregular:MtododeLomb

A v T F, -

b. C v F 23, PSD

b v b -

v .

Figura 22. Seal de prueba, compuesta por la suma de tres sinusoides de frecuencias: 30Hz,

80Hz y 120Hz. Con frecuencia de muestreo F= 100Hz y candad de muestras N= 500.

Figura 23. PSD de la seal de prueba, compuesta por tres impulsos unitarios

ubicados en las frecuencias: 30Hz, 80Hz y 120Hz. Con frecuencia de muestreo

F= 100Hz y candad de muestras N= 500.

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48

L b v x

. E q

q x b.

c=0;

for i=1:N

t(i)=c+Ts;

c=t(i);

end

c=round(rand(N,1));

x1=x.*c;

k=0;

for i=1:N

if x1(i)==0

x1(i)=x1(i);

else

k=k+1;xr(k)=x1(i);

tr(k)=t(i);

end

end

E b v xr(t

n),

v . E r, v - xr.

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49


L F 24 b z -

.

P Lb, b vz

b:

xm=(1/N)*sum(xr);

var=(1/(N-1))*sum((xr-xm).^2);

P b v (Hz) -

q PSD.

for h=1:N/2

f(h)=Fs*(h-1)/(N);

end

Figura 24. Seal con muestreo irregular.

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50

Tb v . S z v

v .

s=0;

for i=1:N

W2= 0.54+0.46*cos(2*pi*t(i)/t(N));

xr(i)=xr(i)*W2;

s=s+W2;

end

A PSD v

Lb:

NOR=N/(s*s);

R=length(f);

N=length(xr);

for r=1:R

c=0;

b=0;

Sh=0;Ch=0;

S2=0;

C2=0;

for i=1:N

Sh=Sh+( (xr(i)-xm)*sin( 2*pi*f(r)*(tr(i)) ) );

Ch=Ch+((xr(i)-xm)*cos(2*pi*f(r)*(tr(i))));

S2=S2+sin(2*pi*f(r)*(tr(i)));

C2=C2+cos(2*pi*f(r)*(tr(i))) ;

endtao=(atan(S2/C2))/(4*pi*w(r));

A=Ch*cos(2*pi*f(r)*tao)+Sh*sin(2*pi*f(r)*tao);

B=Sh*cos(2*pi*f(r)*tao)-Ch*sin(2*pi*f(r)*tao);

A2=(N/2)+0.5*C2*cos(4*pi*f(r)*tao)+0.5*S2*sin(4*pi*f(r)*tao);

B2=(N/2)-0.5*C2*cos(4*pi*f(r)*tao)-0.5*S2*sin(4*pi*f(r)*tao);

P(r)=NOR*(((A^2)/A2)+((B^2)/B2));

end

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51


figure

plot(w,P)

title(espectro de lomb(muestreo uniforme))

xlabel(Frecuencia)

ylabel(Magnitud)

L F 25, b PSD

Lb .

Figura 25. PSD calculada por medio del mtodo de Lomb,

para muestras tomadas irregularmente.

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Captulo 5

Promediado de espectros

Contenido

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55

Ex , b

. A v

, b - bv q q .

E bv vz h v

z

.

E vz b

44100 Hz, hv .. L

vz q v v v. S v ,

b b 28000 .

A1=load sonido;

a1=A1.sonido.

plot(a1)

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56

L F 26 vz .

P z v

(v F 27).

N=length(a1);

k=1:N/2;

F=(k-1)*44100/N;

a1f=abs(fft(a1.*(hamming(N))));

plot(F,a1f(1:N/2));

Figura 26. Seal de voz.

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Promediadodeespectros

P z , b

. C b

. E q v :

15000, 54000, 132000 170000.

ma1=a1(15000:15000+27999);

L=length(ma1);

ma2=a1(54000:54000+27999);

ma3=a1(132000:132000+27999);

ma4=a1(170000:170000+27999);

Figura 27. Magnitud del espectro de la seal de voz.

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58

L F 28 .

D , b v z

(v F 29).

W=hamming(L);

ma1w=ma1.*W;

ma2w=ma2.*W;

ma3w=ma3.*W;

ma4w=ma4.*W;

ma1f=abs(fft(ma1w));




Figura 28. Segmentado de la seal.

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59

Promediadodeespectros

E z .

maf= (ma1f + ma2f + ma3f + ma4f)/4;

figure

plot(f,maf(1:3000))

title(Espectro promedio vocal a)

Figura 29. Espectros en magnitud de cada segmento.

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L F 30 -

b F 29 bv z v .

E F 30 v v -

. S z.

Figura 30. Promedio del espectro.

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Captulo 6

Manipulacin del espectro

de una seal unidimensional

Contenido

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E x(n), -

q . E -

v b: b . E z

x(n)

b.

S h ,

v

.

E -.

N=500;

n=1:N;

Fs=500;

Ts=1/Fs;

x=cos(2*pi*10*n*Ts)+ cos(2*pi*20*n*Ts)+ cos(2*pi*30*n*Ts)+

cos(2*pi*100*n*Ts)+ cos(2*pi*150*n*Ts)+ cos(2*pi*200*n*Ts);

E F 31 b.

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P ( ) v

h T F (v F 32).

xf=(fft(x));

k=1:N/2;f=(k-1)*Fs/N;

Figura 31. Seal de prueba x(n).

Figura 32. Espectro en frecuencia de la seal x(n).

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Manipulacindelespectrodeunasealunidimensional

D b vb

x1f , b.

xf1=xf;

xf1(50:449)=0;

C x2 v h

T v F. E b

F 33.

x2=real(ifft(xf1));

S b

(v F 34).

xf1(1:201)=0;

xf1(801:N)=0;

Figura 33. Seal con efecto pasa bajos.

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Figura 34. Seal con efecto pasa altos.

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Captulo 7

Transformada Cepstrum

Contenido

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69

E C T F.

S

q v T F.

E b z -

. E

b q

.

E vz hv .

A1=load sonido;

Fs=44100;

Ts=1/Fs;

a1=A1.andreaa;

E q -

z v a(v F 35).

ma1=a1(15000: 15000 + 27999);

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70

P b q b

v, v (v F 36).

c=zeros(1,1000);x1=[ma1 c ma1 c ma1 c];

N=length(x1);

x1=x1/max(x1);

t=(1:N)/44100;

figure

plot(t,x1)

Figura 35. Segmento de seal de voz que representa

la pronunciacin de la vocal a.

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TransformadaCepstrum

T q , C

.

c = cceps(x1);

figureplot(t,c)

E F 37, bv b, q

v , z .

Figura 36. Repeciones del segmento de voz, emulando un eco.

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72

E F 38 z -

C.

c=c/max(c);

figureplot(t,x1,t,c)

xlabel(Tiempo(Seg))

legend(Seal de voz, Coeficientes Cepstrum)

Figura 37. Coeentes Cepstrum de la seal que conene un eco emulado.

Figura 38. Coecientes Cepstrum indicando cuando empieza

cada repecin de la seal de la voz.

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Captulo 8

Introduccin a la Transformada

Wv

Contenido

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E bv

-

.

E b .

Ts=0.01;

Fs=1/Ts;

t=-10:Ts:10;

x=cos(2*pi*1*t)+cos(2*pi*1.5*t)+cos(2*pi*2*t);

subplot(2,1,1)plot(t,x)

E F 39, b .

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76

E . P z

Sb x (v F 40).

L=length(t);f=0.01:0.05:5;

N=length(f);

for u=1:N

ta=t/f(u);

mex(u,:)=((pi^(0.25))/sqrt(3))*(1-ta.*ta).*exp(-ta.*ta/2);

end

figure

mesh(t,f,mex)

Figura 39. Seal de prueba conformada por una sumatoria de sinusoidales.

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77

IntroduccinalaTransformadaWaveletconnua

E b.

for u=1:N TW(u,:)=filter(mex(u,:),1,x);

end

figure

t=-10:Ts:10;

mesh(t,f,TW)

L F 41 b.

Figura 40. Ondaleta Sombrero Mexicano.

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78

Figura 41. Anlisis de la seal de prueba a travs de la Transformada Wavelet connua.

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Captulo 9

Aplicacin de la Transformada Wavelet

vz

Contenido

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80

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81

E bv

vz.

E hv vz h z

z, b .

Fs=44100;

Ts=1/Fs;

A1=load sonido;

ma1=A1.andreaa;x1=ma1(15000: 15000 + 27999);

xa=decimate(x1,5);

x=xa(1:4000);

Fs=8000;

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82

L F 42 b.

E . P z M.

t=-2:Ts:2;

L=length(t);

f=0.1:1:10;

N=length(f);

for u=1:N

ta=t/f(u);mor(u,:)=(exp(-(ta.*ta)/2)).*cos(5*ta);

end

figure

mesh(t,f,mor)

Figura 42. Seal de Voz de prueba.

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83

AplicacindelaTransformadaWaveletconnuaensealesdevoz

L F 43 M.

P vz, b -

F 44.

for u=1:N

TW(u,:)=filter(mor(u,:),1,x);

end

figure

t=(1:4000)/Fs;mesh(t,f,TW)

Figura 43. Ondaleta Morlet en el dominio del empo y frecuencia.

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Figura 44. Resultado obtenido despus de analizar la seal de voz a travs

de la Transformada Wavelet usando la ondaleta Morlet.

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Captulo 10

Espectro de una seal discreta

bidimensional

Contenido

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P bA(x,y), x T-

D F :

2 21 1

0 0

1, ( , )

ux vy M Nj

M N

x y

A u v A x y eMN

(13)

E q -

b T D F b.

P b, - z q v

0 255.

N=200;

n=1:N;

x=128*cos(2*pi*10*n*0.01);

x=uint8(x+128);

for i=1:N

A(i,:)=x;

end

mesh(double(A))

figure

imshow(A)

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88

E F 45 b (

mesh). S q q x

y, v .

L b, b b , v 0 x 255. L F 46

( z imshow).

Figura 45. Funcin sinusoidal bidimensional.

Figura 46. Funcin sinusoidal representada como una imagen monocromca.

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Espectrodeunasealdiscretabidimensional

A v , -

T F b.

AF=fftshift(abs(fft2(double(A))));

figure

mesh((AF))

figure

imshow(uint8(AF))

L F 47 b T-

F b b .

C F 47, b

b hz. E b

T F

.

Figura 47. Magnitud de la Transformada de Fourier Bidimensional.

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90

A v ,

b v v.

for i=1:N

B(:,i)=x;

end

figure

mesh(double(B))

figure

imshow(B)

L F 48 v .

Figura 48. Funcin sinusoidal bidimensional travs del eje .

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91

Espectrodeunasealdiscretabidimensional

Uz T F b-

, .

BF=fftshift(abs(fft2(double(B))));

figure

mesh((BF))

figure

imshow(uint8(BF))

L F 49 b T-

F b v y.

Figura 49. Magnitud de la Transformada de Fourier bidimensional (funcin rotada).

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Captulo 11

Manipulacin del espectro

de una seal discreta bidimensional

Contenido

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94

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E b,

x .

E bA(x,y), -

b z.

A=ones(200,200);

A(1:50,1:50)=0;

A(1:50,100:150)=0;

A(100:150,1:50)=0;

A(50:100,50:100)=0.4;

L F 50 b A(x,).

Figura 50. Funcin bidimensional A(x,).

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E v Bwh

A(x,y). E v:

b .

[a,b]=size(A);

for i=1:a

for j=1:b

D(i,j)=(((i-(a/2))^2)+((j-(b/2))^2))^(0.5);

end

end

Do=10;

n=4;

for i=1:a

for j=1:b

d=D(i,j);

Hpb(i,j)= 1 / (1+ (d/Do)^(2*n) );

%pasa bajos

Hpa(i,j)= 1 / (1+ (Do/d)^(2*n) );

%pasa altos

end

end

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Manipulacindelespectrodeunasealdiscretabidimensional

E F 51 b.

E T b F

A(x,y) (v F 52).

AF=(fft2(double(A)));

Figura 51. Mscara para efecto pasa bajos y para efecto pasa altos.

Figura 52. Magnitud del espectro de la funcin A(x,).

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P z q

H(u,v).

AF2=fftshift(AF);

Y b.

AG=AF2.*Hpa;

E b

F 43.

Figura 43. Magnitud del espectro de la funcin A(x,)

despus de la aplicacin de la mscara pasa bajos.

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Manipulacindelespectrodeunasealdiscretabidimensional

E vv z b v

A2(x,y) T v F

b.

AG=fftshift(AG);

A2=ifft2(AG);

figure

imshow(A2)

L F 54 b .

E b . E F 55 A(x,y)

.

E F 56, z

b A(x,y).

Figura 54. Resultado en el dominio espacial de la aplicacin de la mscara pasa bajos.

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Figura 55. Magnitud del espectro de la funcin A(x,)

despus de la aplicacin de la mscara pasa altos.

Figura 56. Resultado en el dominio espacial de la aplicacin de la mscara pasa altos.

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101

Bibliografa

L z x h b q -

.

Transformada de Fourier

Oh A, Wk A. S S. P H. Mx 2011.

Pk Jh, Mk DI. T D S. P. E 2010.

M S. P D S D. M Gw H. E 2008.

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Seales Bidimensionales

Gzz R. W Rh. D I P. 2007.

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Gzz Jv M Dv. A Tx Tv P-

D I. E USTA. Cb, 2013.

Contenido

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102

Voz humana

Fz Z M. T D Vz I. A M-

b. Mx 2001.

Transformada Wavelet

M Dv. P b -

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Algoritmo de la Tcnica de Lomb

P W. N R C: Th A S C. E. C-

b USA 2002.

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