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Estructuras 2009 METODO DE CROSS – ESTRUCTURAS SIMETRICAS Pág. 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

ESTRUCTURAS

Ejercicios Resueltos de: Método de Cross – Estructuras Simétricas Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido: GUTAWSKI Alex

Ejercicio Nº1:

1t

1

2 4 2´

1´

q = 2t/m

I° I°

4I°

En las estructuras simétricas cualquier estado de cargas puede ser transformado en la suma de un estado de cargas simétricas más otro asimétrico, mediante la aplicación del principio de superposición de efectos.

0,5t

1

2 4 2´

1´

q = 2t/m

I° I°

4I°

0,5t

1

2 4 2´

1´

I° I°

4I°

0,5tq = 1t/m q = 1t/m

0,5t

simetrico

asimetrico



ESTRUCTURAS


CARGA SIMETRICA:

Si consideramos la barra que corta el eje de simetría, como el momento flector es

simétrico, podemos suponer que en un determinado instante sobre la barra actúan dos momentos. Consideramos que soltamos dos nudos a la vez y analicemos que ocurre con el coeficiente

de rigidez angular de la barra, si EJ = cte.

[ ]M

EJl

si

MEJ

l

AA

AAAA

= + = = −

⇒ = =

′

′

22 1 1

2

ω ω ω ω

α

` `

`

Se deberá entonces resolver una estructura que sea la mitad de la estructura original. Con

los momentos de los nudos y las cargas podemos dibujar los diagramas y por condiciones de simetría extender a toda la estructura.

10,67-3,83 6,84-3,83

-0,50

-0,50-3,00

-1,921

2 4 2´

1´

I° I°

4I°

simetrico

-3,00 3,00

-3,83 3,83

-1,92 1,92

6,84 -6,84

CARGA ASIMETRICA:

Por condición de simetría el punto 4 no puede descender y además en ese punto el momento flector es nulo. Bajo estas condiciones se puede considerar que hay un apoyo con una articulación y se resuelve la mitad de

la estructura solamente.

MEJ

lsi

MEJ

l

como l lEJ

l

BB B

B BBB B

BB BA BAB A

= = + ′ = ′ =

⇒ = =

= ⇒ =

′

′′

′

22 1

6

23

( )ω ω ω ω

α

α



ESTRUCTURAS


Con las cargas asimétricas considero el desplazamiento de la estructura hacia la derecha con un momento en la barra 1-2 de 1tm, entonces las iteraciones de los estados 0 y 1 serán:

-0,75-0,25

-0,75

-0,25 1,00

-0,12

-0,75 1,00-0,25 0,75

-0,75

-0,25

0,88-0,12 1,00

Ecuaciones de compatibilidad

22,00)82,0(18,00

11

110

=⇒=−⋅+=+

kkHkH

Momentos flectores

Las solicitaciones serán entonces:

1

1 kiMkkiMkiM += o

M12 = -0,12+0,22 * 0,88 = 0,07tm M21 = -0,25+0,22 * 0,75= -0,08tm M24 = -0,75+0,22 *- 0,75 = -0,91tm M2v = 1,00+0,22 * 0,00= 1,00tm

M12 = -0,12+0,22 * 0,88 = 0,07tm M21 = -0,25+0,22 * 0,75= -0,08tm M24 = -0,75+0,22 *- 0,75 = -0,91tm M2v = 1,00+0,22 * 0,00= 1,00tm

´Momentos flectores finales

Por superposición de efectos los momentos finales de la estructuras serán los finales de la simétrica mas los de la asimétrica. M12 = -1,92 + 0,07 = -1,85tm M21 = -3,83 - 0,08 = -3,91tm M24 = 6,84 - 0,91= 5,93tm M2v = -3,00+1,00 = -2,00tm

M12 = 1,92 + 0,07 = 1,99tm M21 = 3,83 - 0,08 = 3,75tm M24 = -6,84 - 0,91 = -7,75tm M2v = 3,00+1,00 = 4,00tm



ESTRUCTURAS


DIAGRAMA MOMENTO FLECTOR

2tm

5,93tm

3,91tm

1,85tm

6,64tm

6,64tm

4tm

3,75tm

1,99tm

DIAGRAMA ESFUERZO CORTANTE

7,09t

1t

2,88t

4t

2,88t

8,91t



ESTRUCTURAS


DIAGRAMA ESFUERZO NORMAL

-8,09t

-2,88t

-12,91t

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

1t

1

2 4 2´

1´

q = 2t/m

I° I°

4I°

2,88t 2,88t8,09t

1,85tm 1,99tm

12,91t



ESTRUCTURAS


Ejercicio Nº2:

1 1´

q = 1,5t/m 0,5t

3I° 5I° 3I°

I° I°

1 1´

q = 1,5t/m 0,25t

3I° 5I° 3I°

I° I°

1 1´

q = 0,75t/m0,25t

3I° 5I° 3I°

I° I°

0,25tq = 0,75t/m q = 0,75t/m

0,25tq = 0,75t/m

simetrico

asimetrico

CARGA SIMETRICA:

Cuando el eje de simetría corta un apoyo, dada la simetría, el nudo del eje no tendrá rotación. Luego se está comportando como un empotramiento y puede ser resuelta la mitad de la estructura a la cual se la considera como empotrada en el apoyo de referencia.



ESTRUCTURAS


1,125 0,48 1,60 0,07

-0,87

-0,13-1,93

0,04

-1,125 0,24 -0,88

0,25

CARGA ASIMETRICA:

Cuando el eje de simetría corta un apoyo, por condición de carga, en el apoyo es nulo el momento flector; por lo tanto podemos considerar que existe una articulación y calcular con esta condición la mitad de la viga solamente.

Con las cargas asimétricas considero el desplazamiento de la estructura hacia la derecha con un momento en la barra 1-2 de 1tm, entonces las iteraciones de los estados 0 y 1 serán:

-0,57-0,12

-0,83

-0,17 0,94

-0,06

-0,25

-0,83 1,00-0,17 0,83

-0,83

-0,17

0,92-0,08 1,00



ESTRUCTURAS



46,00)88,0(41,00

11

110

−=⇒=−⋅+−=+

kkHkH

Momentos flectores


1

1 kiMkkiMkiM += o

M12 = 0,06-0,46 * 0,92 = -0,48tm M21 = -0,12-0,46 * 0,83= -0,50tm M24 = -0,57-0,46 *- 0,83 = -0,19tm M2v = -0,25-0,46 * 0,00= -0,25tm M23 = 0,94-0,46*0,.00= 0,94tm

M12 = 0,06-0,46 * 0,92 = -0,48tm M21 = -0,12-0,46 * 0,83= -0,50tm M24 = -0,57-0,46 *- 0,83 = -0,19tm M2v = -0,25-0,46 * 0,00= -0,25tm M23 = 0,94-0,46*0,.00= 0,94tm


Por superposición de efectos los momentos finales de la estructuras serán los finales de la simétrica mas los de la asimétrica. M12 = 0,04 - 0,48 = -0,44tm M21 = 0,07 - 0,50 = -0,43tm M24 = 1,60 - 0,19= 1,41tm M2v = 0,25-0,25 = 0,00tm M23 = -1,93 + 0,94= -0,99tm M42 = -0,88 + 0,00= -0,88tm

M12 = -0,04 - 0,48 = -0,52tm M21 = -0,07 - 0,50 = -0,57tm M24 = -1,60 - 0,19= -1,79tm M2v = -0,25-0,25 = 0,50tm M23 = 1,93 + 0,94= 2,87tm M42 = 0,88 + 0,00= 0,88tm



ESTRUCTURAS

Ejercicio Resuelto de: Método de Cross – Estructuras Simétricas Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquin C-3064/3 Año: 2009 Corregido:GUTAWSKI Alex


0,44tm

0,43tm

0,99tm0,88tm

1,79tm

2,87tm

0,57tm

0,52tm


0,17t

2,08t 0,22t

2,43t

2,07t

1,95t

2,55t

3,72t

2,22t0,27t



ESTRUCTURAS



-4,51t -6,57t

-0,22t


1 1´

q = 1,5t/m 0,5t

3I° 5I° 3I°

I° I°

0,22t4,51t

0,27t6,27t

0,17t 4,02t 2,28t

0,44tm 0,52tm



ESTRUCTURAS


Ejercicio Nº3:

q = 2t/m

2t2t

1

3 2 3´

I°

5I° 5I°

q = 2t/m

2t2t

1

3 2 3´

I°

5I° 5I°

1

3 2 3´

I°

5I° 5I°

q = 1t/m q = 1t/m

q = 1t/mq = 1t/m

simetrico

asimetrico

CARGA SIMETRICA:El nudo 4 no puede tener rotación ni desplazamiento, luego, se lo considera como empotrado y se resuelve la mitad de la estructura. Se debe, sin embargo, tener en cuenta que en la columna actúa un esfuerzo normal que es el doble del esfuerzo de corte que actúa en el empotramiento.



ESTRUCTURAS


-6,25 1,25-5,00

2,50-1,00

-2,50

CARGA ASIMETRICA: Podremos resolver una estructura que sea la mitad de la original, en la cual el coeficiente de rigidez de la columna que pasa por el eje de simetría tiene un momento de inercia que vale la mitad del original y por lo tanto su coeficiente de rigidez valdrá la mitad del original. Con las cargas asimétricas considero el desplazamiento de la estructura hacia la derecha con un momento en la barra 1-2 de 1tm, entonces las iteraciones de los estados 0 y 1 serán:

-0,90

-0,10 0,50

0,01

-0,50 0,11-0,11 0,02-0,02-0,50

-0,25 0,22-0,05 0,04-0,01 0,01-0,04

0,02 0,01 0,01 0,04

-1,00

-0,90

-0,10

0,94-0,01-0,05 1,00

-0,45 0,45-0,10 0,10-0,02 0,02 0,00

-0,90 0,22-0,20 0,05-0,04 0,01-0,01-0,87

1,00-0,10-0,02-0,01 0,87

-1,00



ESTRUCTURAS



01,0072,001,00

11

110

−=⇒=⋅+=+

kkHkH

Momentos flectores


1

1 kiMkkiMkiM += o

M12 = 0,02-0,01 *1,88 = 0tm M21 = 0,08-0,01 * 1,74= 0,06tm M23 = -0,04-0,01 * 0,87 = -0,05tm M32 = -0,50-0,01 * 0,00= -0,50tm M2v = 0,50-0,01*0,.00= 0,50tm

M23 = -0,04-0,01 * 0,87 = -0,05tm M32 = -0,50-0,01 * 0,00= -0,50tm M3v = 0,50-0,01 * 0,00 = 0,50tm


Por superposición de efectos los momentos finales de la estructuras serán los finales de la simétrica mas los de la asimétrica. M12 = 0tm M21 = 0+ 0,06 = 0,06tm M23 = -5,00- 0,05= -5,05tm M32 = -0,50+2,50 = 2,00tm M3v = 0,50 - 2,50= -2,00tm

M23 = 5,00 - 0,05 = 4,95tm M32 = -0,50 - 2,50 = -3,00tm M3v = 2,50 + 0,50= 3,00tm



ESTRUCTURAS



0tm

0,06tm

5,05tm 4,95tm

2tm

3tm


2t

4,39t

5,61t

5,39t

4,61t

4t

2t



ESTRUCTURAS



-11t


q = 2t/m

2t2t

1

3 2 3´

I°

5I° 5I°

6,39t 8,61t

11t0,012t

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