2.1 maquina sincrona_2015

ESTABILIDAD DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA

Roberto Ramírez Arcelles

2. MODELAMIENTO DEL SISTEMA DE POTENCIA



2.1 GENERADOR SINCRONO

2.1.1 Ecuaciones del generador síncrono Representación matemática Suponiendo que el devanado amortiguador se puede expresar mediante una bobina en el eje directo y dos en el eje cuadratura. Luego de reflejar al estator las bobinas del rotor se obtiene:

Modelo de Fases

Modelo de d-q (con las bobinas del rotor reflejadas al estator equivalente con bobinas d y q)



Ecuaciones eléctricas y Magnéticas en unidades rela tivas (Modelo d-q)

)( ;10

)( ;10

)( ;10

)( ;1

)( ;1

)( ;1

122220

22

211110

11

11110

11

10

2100

100

QqaqQQQQQQ

QqaqQQQQQQ

fdadDDDDDD

Ddadfffffff

QQaqqqqdr

qqaq

Dfaddddqr

ddad

iixixpwir

iixixpwir

iixixpwir

iixixpwirv

iixixwwpwirv

iixixwwpwirv

+−+=+=

+−+=+=

+−+=+=

+−+=+=

++−=++−=

++−=−+−=

ψψ

ψψ

ψψ

ψψ

ψψψ

ψψψ

Ecuación Mecánica en unidades relativas

)(

2

0

00

0

dqqdr

e

ePrr

m

r

iiw

wP

PPpww

w

w

HP

wwp

ψψ

δ

−=

++=

−=

H es la constante de inercia del generador y la turbina. Se expresa mediante la relación entre la energía cinética nominal y la potencia aparente nominal, en Joules /MVA:

nom

rnom

S

JwH

2

21

=

Parámetros de máquinas síncronas Reactancia sincrónica en eje directo (Xd), Reactancia sincrónica en eje cuadratura (Xq), Reactancia transitoria directa (X’d), Reactancia transitoria en cuadratura (X’q), Reactancia subtransitoria directa (X”d), Reactancia subtransitoria en cuadratura (X”q), Reactancia de secuencia inversa (X2), Reactancia homopolar (X0), Reactancia de Poitier o de dispersión (Xp / Xaσ), Constante de tiempo transitoria en cortocircuito de eje directo (T’d), Constante de tiempo transitoria en cortocircuito de eje en cuadratura (T’q), Constante de tiempo subtransitoria en cortocircuito de eje directo (T”d), Constante de tiempo subtransitoria en cortocircuito de eje en cuadratura (T”q), Constante de tiempo transitoria en vacío de eje directo (T’d0), Constante de tiempo transitoria en vacío de eje en cuadratura (T’q0), Constante de tiempo subtransitoria en vacío de eje directo (T”d0), Constante de tiempo subtransitoria en vacío de eje en cuadratura (T”q0), Constante de inercia H (generador + excitatriz + máquina motriz).



0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

0.10

0.50

0.72

1.25

1.53

1.70

1.88

2.00

2.30

2.88

3.50

3.75

5.63

5.72

6.00

6.26

6.54

6.56

7.05

7.50

7.80

8.00

8.75

9.90

10.7

514

.00

15.0

017

.00

20.0

022

.40

24.0

027

.50

33.5

035

.00

43.2

644

.00

49.8

163

.50

82.5

084

.00

85.0

012

0.00

120.

00

H (s

)

Potencia Aparente (MVA)

CONSTANTE DE INERCIA - MAQUINAS DE POLOS SALIENTES



0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

2.20

0.10

0.50

0.72

1.25

1.53

1.70

1.88

2.00

2.30

2.88

3.50

3.75

5.63

5.72

6.00

6.26

6.54

6.56

7.05

7.50

7.80

8.00

8.75

9.90

10.7

5

14.0

0

15.0

0

17.0

0

20.0

0

22.4

0

24.0

0

27.5

0

33.5

0

35.0

0

43.2

6

44.0

0

49.8

1

63.5

0

82.5

0

84.0

0

85.0

0

120.

00

120.

00


REACTANCIAS EN EJE DIRECTO - MAQUINAS DE POLOS SALIE NTES

Xd X'd X"d

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.10

0.50

0.72

1.25

1.53

1.70

1.88

2.00

2.30

2.88

3.50

3.75

5.63

5.72

6.00

6.26

6.54

6.56

7.05

7.50

7.80

8.00

8.75

9.90

10.7

514

.00

15.0

017

.00

20.0

022

.40

24.0

027

.50

33.5

035

.00

43.2

644

.00

49.8

163

.50

82.5

084

.00

85.0

012

0.00

120.

00

Potencia Aparente (MVA

REACTANCIAS EN EJE CUADRATURA -MAQUINAS DE POLOS SA LIENTES

Xq X'q X"q



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.6

0.7

1.1

1.4

1.5

1.5

2.2

2.3

2.5

3.1

3.1

3.2

12.5

17.0

22.1

22.1

23.0

24.2

24.2

27.9

28.8

29.4

29.4

29.4

32.0

37.0

37.0

45.8

46.6

52.9

52.9

57.4

70.1

70.1

81.2

81.2

119.

211

9.2

119.

215

0.0

167.

020

0.0

200.

020

0.0

201.

020

1.0

202.

021

5.0

216.

021

6.0

216.

023

0.0

316.

135

0.0

H (s

)


CONSTANTE DE INERCIA - MAQUINAS DE ROTOR CILINDRICO

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0.63

0.68

1.14

1.42

1.51

1.51

2.20

2.25

2.50

3.13

3.13

3.15

12.5

017

.00

22.0

622

.06

23.0

024

.19

24.1

927

.88

28.8

029

.41

29.4

129

.41

32.0

037

.00

37.0

045

.82

46.6

352

.94

52.9

457

.41

70.1

270

.12

81.1

881

.18

119.

2011

9.20

119.

2015

0.00

167.

0020

0.00

200.

0020

0.00

201.

0020

1.00

202.

0021

5.00

216.

0021

6.00

216.

0023

0.00

316.

1235

0.00


REACTANCIAS EN EJE DIRECTO - MAQUINAS DE ROTOR CILI NDRICO

Xd X'd X"d



0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0.63

0.68

1.14

1.42

1.51

1.51

2.20

2.25

2.50

3.13

3.13

3.15

12.5

017

.00

22.0

622

.06

23.0

024

.19

24.1

927

.88

28.8

029

.41

29.4

129

.41

32.0

037

.00

37.0

045

.82

46.6

352

.94

52.9

457

.41

70.1

270

.12

81.1

881

.18

119.

2011

9.20

119.

2015

0.00

167.

0020

0.00

200.

0020

0.00

201.

0020

1.00

202.

0021

5.00

216.

0021

6.00

216.

0023

0.00

316.

1235

0.00


REACTANCIAS EN EJE CUADRATURA - MAQUINAS DE ROTOR CI LINDRICO

Xq X'q X"q

Simplificaciones en estudios de grandes sistemas Se presenta un resumen de:

Se simula una falla trifásica en F, despejada en 90 ms considerando y despreciando las tensiones de tipo transformador del estator. Se muestra las corrientes de armadura en ejes d y q, así como la desviación de la velocidad del rotor (r/s) y el ángulo del rotor.



a) Se desprecia las tensiones de tipo transformador ♦ Representan los transitorios en el estator y su inclusión determina irremediablemente la

incorporación de los transitorios en la red. ♦ Su representación genera componentes transitorias de alta frecuencia. Por esta razón se

requieren pequeños pasos de integración, que provoca un incremento en el costo computacional. Por otro lado, los tiempos de respuesta de las variables del sistema que contienen componentes de alta frecuencia son difíciles de analizar e interpretar desde el punto de la estabilidad del sistema.

♦ Por lo tanto el análisis de estabilidad de sistemas de potencia que tienen cientos de barras y generadores sería imposible sin la simplificación que resulta de despreciar los transitorios en el estator de las máquinas.

b) Se desprecia el efecto de las variaciones de velocidad ♦ En sistemas muy fuertes se puede asumir que ω = ωr / ω0 es igual a 1,0 en las ecuaciones de

tensión del estator. No es lo mismo que decir que la velocidad es constante; se está asumiendo que los cambios en la velocidad son pequeños y no tienen un efecto significativo sobre las tensiones. Este supuesto ω ≅ 1,0 en las tensiones del estator no contribuye a la simplicidad computacional por si mismo. La razón fundamental es que con este supuesto se produce una especie de balance (contrapeso) al efecto de despreciar los términos pψd, pψq.

Al implementar las simplificaciones se obtiene el modelo de 6to orden:



)( ;10

)( ;10

)( ;10

)( ;1

)( ;

)( ;

122220

22

211110

11

11110

11

10

21

1

QqaqQQQQQQ

QqaqQQQQQQ

fdadDDDDDD

Ddadfffffff

QQaqqqqdqaq

Dfaddddqdad

iixixpwir

iixixpwir

iixixpwir

iixixpwirv

iixixirv

iixixirv

+−+=+=

+−+=+=

+−+=+=

+−+=+=

++−=+−=

++−=−−=

ψψ

ψψ

ψψ

ψψ

ψψψψ

dqqde

ePrm

r

iiP

PPpww

HP

wwp

ψψ

δ

−=

++=

−=

0

0

2

2.1.2 Estado estacionario En estado estacionario el generador síncrono esta operando a la velocidad síncrona, con una carga determinada que se expresa por un cierto ángulo δ. Las ecuaciones algebraicas del estator quedan reducidas a:

fff

qqqdqaq

faddddqdad

irv

ixirv

ixixirv

=

−=+−=

+−=−−=

ψψψψ

;

;

Reemplazando en estas ecuaciones las expresiones de ψ d y ψ q se obtiene:

fff

fadddqaq

qqdad

irv

ixixirv

ixirv

=

+−−=

+−=

;

;

Por lo tanto haciendo:

qqdd jvvvv ==−−

; , qqdd jiiii ==−− ; ,

−−−+= qd vvV e

−−−+= qd iiI se obtiene:

dqddqdqaqqddai IxxjEIxxjIjxIrVIjxIjxIrVE−−−−−−−−−−−

−+=−+++=+++= )( )(

Siendo −−−−

++= IjxIrVE qa

(a) El modelo de la máquina síncrona para operación en estado estacionario.



Donde:

• El módulo de −E es ))(( dqdi IxxE −− y su ángulo es δ.

• fadi ixE = es la f.e.m. de excitación referida al estator. Es directamente

proporcional a la corriente de campo. (b) El diagrama fasorial de la máquina síncrona para estado estacionario:

Las ecuaciones algebraicas del estator, también se pueden escribir como:

En el eje q: ddqaqi IXIrVE +=−

En el eje d: qqdad IXIrV −=− 0

2.1.3 Modelo Transitorio en ambos ejes



El modelo cuasi estacionario del estator para esta condición se obtiene por analogía, a

partir de la tensión −

V y la corriente −I utilizando:

qqdda IjxIjxIrVE−−−−−

+++= '''

'E : Tensión detrás de la impedancia transitoria o tensión interna transitoria, cuyas

componentes son 'dE y '

qE .

Las ecuaciones algebraicas del estator son:

qqdadd

ddqaqq

IxIrVE

IxIrVE''

''

−=−

+=− (Las entradas son '' y , , ddqd EEVV y las salidas qd II e )

Por otro lado, las ecuaciones diferenciales del rotor se reducen a:

''''

''''

)(

)(

dqqqdqo

qdddfdqdo

EIxxpET

EIxxEpET

−−=

−−−= ( fdE es una entrada)

Donde, f

fdo rw

xT

*0

' = (Ver demostración en Anexo.)

Se ha definido:



(i) ffadfd rvxE /= es la f.e.m. del sistema de excitación referida al estator y que es

directamente proporcional a la tensión aplicada al campo y que en general depende del regulador automático de tensión.

(ii) )(/'ffadq xxE ψ= es la f.e.m. del estator que es directamente proporcional al flujo

concatenado de excitación.

(iii) 'dE , se define de modo análogo a '

qE , es decir: )(/ 11'

QQaqd xxE ψ= y Q

Qqo rw

xT

10

1'

*=

La ecuación mecánica es:

ePrm

r

PPpww

HP

wwp

++=

−=

0

0

2

δ

Asimismo, se cumple que: dqqde iiP ψψ −= , por lo tanto se obtiene:

( )dqqdqqdde xxIIIEIEP ′−′+′+′=

Al despreciar la resistencia de armadura esta expresión se reduce a:

dqqde IVIVP +=

2.1.4 Modelo Subtransitorio en ambos ejes El modelo cuasiestacionario del estator se obtiene por analogía al caso anterior:

qqdadd

ddqaqq

IXIrVE

IXIrVE""

""

−=−

+=−

Las ecuaciones diferenciales del rotor se reducen a:

qqddqo

ddqqqdo

qqqddqo

dddqfdqdo

IxxEpET

IxxEEpET

IxxEpET

IxxEEpET

q

d

)(

)(

)(

)(

'''''''''

''''''''''

''''

''''

−+−=

−−−=

−+−=

−−−=


ePrm

r

PPpww

HP

wwp

++=

−=

0

0

2

δ

Asimismo, se cumple:



( )dqqdqqdde xxIIIEIEP """" −++=


dqqde IVIVP +=

2.1.5 Modelo Transitorio en un eje (sin devanados amortiguadores)

Esta aproximación se logra utilizando las ecuaciones de 2.1.4, haciendo E’ d = 0 y T

‘qo = 0 en la

ecuación diferencial correspondiente del rotor. El estator se puede expresar por:

qqdad

ddqaqq

IXIrV

IXIrVE

−=−

+=−

0

''

En el rotor solo se tiene una ecuación diferencial:

dddqfdqdo IxxEEpET )( '''' −−−=


ePrm

r

PPpww

HP

wwp

++=

−=

0

0

2

δ

Asimismo, se cumple que: ( )dqqdqqe xxIIIEP ′−+′=


dqqde IVIVP +=

2.1.6 Modelo Clásico

Se obtiene del modelo de tercer orden, aceptando que E’q = constante y X

’q = X

’d.

Por lo tanto este modelo esta formado por la ecuación algebraica que expresa el circuito

equivalente mostrado, en el cual el módulo de E’q se mantiene constante, y las ecuaciones

diferenciales del sistema mecánico.



ePrm

r

PPpww

HP

wwp

++=

−=

0

0

2

δ

Al despreciar la resistencia de armadura se obtiene:

δsenX

VEP

d

qe '

' ´=

2.1.7 Interface Máquina-Sistema Eléctrico de Potenc ia

En la figura se muestra como van a acoplarse las ecuaciones de la máquina con las ecuaciones de

la red.

Se observa:

• El Sistema (d, q) que rota a la velocidad angular eléctrica ω del generador. Cada generador

tiene un sistema de coordenadas d, q.

• El Sistema Único, Re (real), Im (imaginario) para toda la red, rotando a la velocidad sincrónica

ω b .



La idea es que qdt jVVV += e qdt jIII += expresan a la tensión en terminales y la corriente

del generador respecto de los ejes d-q.

Por lo tanto imret jVVV += e imret jIII += están expresados respecto de los ejes real e

imaginario del sistema de potencia (que coincide con las coordenadas de los flujos de potencia).

Figura: Sistema de coordenadas rotantes para el gen erador ( d, q) y (Re, Im) para la Red

Ambos sistemas de coordenadas están desfasados, el desfasaje entre el Eje Real y el Eje q es el

ángulo δ dependiente del tiempo, cuando la máquina esta sometida a un proceso transitorio. A

partir de la figura se obtienen las siguientes expresiones para las transformaciones de

coordenadas:

−=

d

q

im

re

V

V

sen

sen

V

V

δδδδ

cos

cos ;

−=

im

re

d

q

V

V

sen

sen

V

V

δδδδ

cos

cos



2.1.8 Cálculo de condiciones iniciales Los valores iniciales en estado estacionario de las variables del generador son función de sus

condiciones de operación caracterizadas por la tensión en bornes Vt y por las potencias activa y

reactiva ttt jQPS += entregadas a la red.

La posición relativa de las coordenadas (d, q) del generador con respecto a las coordenadas (Re,

Im) de la red, se define con la ecuación (del punto 2.1.3):

IjXRVE qat ).( ++=

La f.e.m. E se ubica en el eje cuadratura, a un ángulo δ’ de la tensión en bornes tV y a un ángulo

δ del eje Re del plano complejo de la red.

Los valores iniciales de las variables de la máquina sincrónica se obtienen utilizando el siguiente

procedimiento:

(1) De la solución del flujo de potencia en la red se conocen para el generador la potencia

activa y reactiva en bornes y la tensión. La corriente del generador y el ángulo del factor

de potencia se calculan con las siguientes expresiones:

IP Q

Vtt t

t=

+2 2

=

tt

tt IV

Qarcsenφ

Este ángulo Φ puede ser positivo o negativo, dependiendo de si el generador entrega a la

red potencia reactiva inductiva o potencia reactiva capacitiva.

(2) Con el valor conocido de δ las componentes (d, q) de la tensión y corriente en el estator

son:

)( βδ −= senVV td

)cos( βδ −= tq VV

)( ttd senII φβδ +−=

)cos( ttq II φβδ +−=

(3) Reemplazando las componentes d, q de Vt e It en las ecuaciones del acápite 2.1.4, por

ejemplo, se obtienen las tensiones transitorias de la máquina sincrónica, es decir:

ddqaqq IxIrVE ′++=′

qqdadd IxIrVE ′−+=′



Problema. 1. Para el sistema de potencia de la Figura 1, 1.1 Expresar todos los parámetros del circuito equivalente en una base común de 100 MVA. 1.2 Obtener el circuito equivalente Generador-Línea-SEP. 1.3 El sistema está operando en estado estacionario. La unidad de generación entrega por sus

bornes una potencia activa y reactiva de 59.161 - j 29.000 MVA, siendo 143.244 kV la tensión en la barra de conexión con el SEIN. Utilizando el modelo transitorio en eje directo se desea calcular la condición inicial previa a un determinado evento, calcular: • La tensión en bornes y la corriente del generador (modulo y ángulo).

• Los valores iniciales de E’q, E

‘d, Efd, el ángulo δ de estabilidad y la potencia mecánica

Pm.

Figura 1

1.4 El sistema de la Figura 1 está operando como se indica en 1.3 y el interruptor abriera de manera intempestiva, • Bosquejar la evolución en el tiempo e indicar los valores iniciales y finales de la

tensión en bornes y la corriente de excitación del generador. • Si se hubiera registrado las características V-t e If-t, explicar, sobre que eje de la

máquina se desarrolla el transitorio?. Que parámetros del generador podrían obtenerse de estos resultados?.

• Si la sobrefrecuencia registrada en la unidad luego de perder toda la carga fuera el registro de la Figura 2. Para que servirían estos valores?



ANEXO ECUACION DIFERENCIAL DEL ANGULO DEL ROTOR

Si en un intervalo de tiempo el rotor se acelera, e ntonces se cumple:

ECUACION DIFERENCIAL DEL DEVANADO DE EXCITACIÓN-MOD ELO TRANSITORIO EN DOS EJES

fadfdqdo

qdofadfd

ff

ad

f

ffadfd

ffff

ad

f

adf

ffff

ixEEpT

EpTixE

x

xp

rw

xixE

pwirr

x

r

xv

pwirv

−=

+=

+=

+=

+=

)(

)(

)(*

)1(

;1

''

''

0

0

0

ψ

ψ

ψ

dddqfad

fadddddq

fadddd

dqaq

ddqaqq

ixxEix

ixixixE

ixix

irV

ixirVE

)( ''

''

''

−−−=−

+−+=

+−=

+−=

+=−

ψψ

δ∆=∆− twwr )( 0



CIRCUITO EQUIVALENTE OPERACIONAL DEL MODELO UTILIZA DO

2.1 maquina sincrona_2015

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