1

2.- MODEL MAJOR. p. 1

==============

21.- LA HIPERESFERA. p. 1

211.- DIMENSIONS I PISSARRES ON DIBUIXAR FIGURES. P.1

Desitjo que aquest apartat no esdevingui patrimoni duns pocs iniciats ans eina democrtica per a tothom. Sovint es confon poble amb plebs, amb massa o amb

vulgaritat. La multitud plebea, massificada, vulgar s profundament inculta, presa

globalment, tot i poder incloure individus molt experts, si els prenem en particular, en

alguna especialitat. El mot divulgaci implica un concepte de rebaixa, dadulteraci, de reduccionisme. El poble, en canvi, s molt culte en cultura radical, general,

humanstica, universal, en memries ancestrals. T en aquest sentit un nivell alt i

gaudeix de moltes individualitats riques i variades. Sap de tot una mica. I aquella mica,

que sap de cada cosa, s selecta, s la millor essncia daquella cosa, all ms significatiu en la teoria, all ms determinant en la prctica, all que cal saber per

navegar per la vida sense fer massa disbarats. De la popularitzaci svia dels

coneixements especialitzats sen pot dir democratitzaci de la cincia. Com deia Descartes, al comenament del seu Discurs del Mtode, lenteniment est molt ben repartit en la humanitat. I, fins i tot, daquells temes intricats i potser inassequibles al no especialista, el poble en ret o en critica encertadament aquella part nuclear que pot

afectar-lo a ell, al conjunt de la humanitat o al conjunt de lunivers. El poble s ms llest del que sembla als envanits i als encastellats en llurs erudicions. Sovint aquests galls

espanten el personal popular amb el seu llenguatge crptic i pretencis i tracten

dinculcar-li un complex dinferioritat. Diu el meu estimat i anci mestre, Agust Chalaux de Subir, que una proposta cientfica no s vera si abans no ha passat per

laprovaci del poble. El poble sap, tard o dhora, descobrir les meravelles o les monstruositats que pot generar en el conjunt, una petita proposta, pro-cientfica en el

restringit camp analtic en qu es presenta. All que no s bo per al conjunt, no

solament no s tic, ans tamb en el fons deixa dsser cientfic si es considera des dun angle suficientment ampli de conseqncies. Alguna derivaci important de la cadena

de causes i efectes ha pogut haver passat desapercebuda a linventor o a lexplotador de linvent.

Tot aquest exordi s noms per a dir que, malgrat alguna part de lexposici segent pugui semblar abstrusa, demano al poble lector, tingui el grau destudis que tingui, que tracti dentrar en el tema tot i la seva aparent dificultat. Per bastir el nostre Model Major, treballarem amb un mapa de la realitat, de quatre dimensions i aix espanta a

qualsevol. Com s la quarta dimensi? Spiguen els dubitatius que la retina humana s

una pantalla de dues dimensions i que el domini i la popularitzaci de la tercera

dimensi ha estat tasca de molts milers danys i que, tanmateix, ara un nen aprn a manejar-la en uns pocs mesos. La llunyania la dedum indirectament per langle de convergncia dels dos ulls. Quan ms lluny est lobjecte ms parallels miren els dos ulls. El relleu el dedum de lombrejat. Si la font de llum s davant, la part ms fosca representa el darrera del relleu i viceversa. Els bornis perden la percepci (indirecta) de

la tercera dimensi. Els cal suplir-la amb el sentit del tacte o amb la imaginaci: saben que all s tridimensional, malgrat no ho vegin. Els egipcis, quan pintaven les cares de perfil, hi posaven els dos ulls en el mateix costat. Els nens petits encara ho fan. I, fins i

tot, Pau Picasso i altres avanguardistes de lart dels nostres temps, tamb. No fou fins a

2

Lleonard da Vinci (1452-1519) que sestabliren les primeres regles de la perspectiva que determinen la conversi dun espai de tres dimensions (E3) en un de dues (E2). Prenem-ne nota. Tamb a nosaltres ens caldr lleis de perspectiva (geometria projectiva)

per reduir a dimensions menors (3D-espai, 2D-full de paper), ms manejables, figures

en quatre dimensions (4D). Puix ac es tracta de reduir una figura el nostre model

Globlium-, dissenyada en un espai de quatre dimensions (E4), primer, a una dibuixada en un de tres (pissarra 3D) i, desprs, a una dibuixada en un de dues (pissarra corrent 2D). Cada full daquest llibre s un espai de dues dimensions. Avui tinc la difcil tasca de fer encabir una figura 4D en un espai 2D (fig. 2-1), per fer un mapa de butxaca, de la

realitat, consultable per a tothom. La dificultat que ha de superar el lector s la

daprendre a fer una bona lectura del seu mapa general de butxaca (2D) format per les figures daquest llibre, en qualsevol circumstncia.

Parlem primer de les pissarres. Una pissarra, un espai, s el lloc on es poden dibuixar i

pintar figures. Entre parntesis, no perdem mai de vista que una figura no s mai la

realitat que pot representar. Ac treballem noms amb representacions de la realitat:

realitat mentalitzada. Les pissarres ms conegudes sn les murals de 2D. Per un full de

paper, un full de clcul dun ordinador, una placa fotogrfica o un mirall, tamb sn pissarres 2D. Shi poden fer multitud de figures: lnies rectes i corbes i figures planes (angles, circumferncies, cercles, permetres, polgons) (fig. 1-23). Per ning no ens

pot impedir que fem servir una pissarra d1D, un fil, una lnia, un regle de mesurar longituds. Tamb s un lloc on es poden dibuixar i pintar algunes, poques, figures (punt,

semirrecta, segment). I tampoc sens pot impedir de fer servir pissarres de 3D, de 4D, etc. Les de 3D permeten afegir figures com lesfera i els poliedres (pirmide, tetraedre, cilindre, con, cub o hexaedre, octaedre, dodecaedre, etc.). Les pissarres 3D tenen

linconvenient que el davant tapa el darrera. Per veure-hi cal mirar per entre les figures del primer pla (2D) all que es pugui veure en altres plans posteriors. El bast punter,

clssic per assenyalar localitzacions en la pissarra 2D, s substituble en la pissarra 3D

per un punter ms modern consistent en un raig lser, que sesmuny per entremig de la xarxa tridimensional i que permet assenyalar amb precisi punts recndits de la

pissarra-volum (vegis fig. 2-25). Aquesta pissarra s molt til per a visions estreo de moltes figures tridimensionals, com poden ser les molcules gegants i enrotllades de

lADN dels cromosomes. La visi estreo tamb saconsegueix mitjanant unes ulleres especials, o mitjanant tcniques cinematogrfiques amb ms duna cambra filmadora. Comprendreu que si hi ha tanta dificultat per treballar amb tres dimensions, pitjor ho

ser amb quatre. I, tanmateix, pretenc que hi arribem, tard o dhora, amb naturalitat. Quan vegi la quantitat de metres cbics de cervell que recupera, el lector ens ho agrair. Les pissarres de 4D permeten, a ms de les possibilitats ja dites a propsit de les

dimensions menors, de dissenyar la hiperesfera i els hiperpoliedres. Recordeu les creus

hipercub amb quatre braos, amb qu corona Gaud els seus edificis o el quadre

anomenat Crist, hipercub de Salvador Dal? Sn projeccions, en 3D i en 2D respectivament, de la figura tetradimensional anomenada hipercub o, tradicionalment

tesseractis (vegis figs. 2-6 i 0-14).

No cal dir que, si volem atrapar les figures en moviment en una pissarra, cal emprar una

srie de pissarres successives, i aix s una cinta cinematogrfica fotosensible de

celluloide o magntica digital amb els fotogrames seriats.

Les pissarres concretes 2D sn un rectangle tancat. Per la pissarra abstracta 2D (fig. 2-

2) s un pla obert, infinit, controlat per dues rectes perpendiculars (ordenada vertical i

3

abscissa horitzontal) graduades que es creuen al bell mig del pla, davant del nostre nas,

cadascuna amb un origen, de valor 0, amb la determinaci duna petita unitat de longitud en cada recta, de valor 1, i amb valors positius a la dreta i amunt i, negatius a

lesquerra i avall. Cada una de les dues rectes resta aix dividida en la seva totalitat: 1, 2, 3, 4, 5..., fins a linfinit. El mateix procediment mtric cal aplicar a els tres eixos perpendiculars de la pissarra 3D (fig. 2-3) i als quatre de la pissarra 4D. Cada eix

daquestos s una coordenada i correspon a una dimensi; representa una direcci amb dos sentits, el positiu i el negatiu. Una pissarra de quatre dimensions t quatre eixos de

coordenades, tot i que sigui difcil imaginar-se el quart. Ho intentarem.

212.- LA HIPERESFERA, UNA FIGURA EN QUATRE DIMENSIONS.

Per tal que el lector sen faci una idea fcil i manejable del nostre model assajarem la seva presentaci des de diferents punts de vista, els primers ms imaginatius, els segons

ms sistemtics i els tercers ms operatius. Per a tots els gustos. Per als especialistes en

matemtiques que arriben a treballar fins amb 15 i 20 dimensions, la hiperesfera no t

cap secret. Desitjo que, tot i que costi, tothom pugui arribar a establir aquesta mena

despai mental pluridimensional en el seu cap. Com he dit abans, qui faci lesfor, desprs mho agrair.

212.1.- LUNIVERS HIPERESFRIC DEINSTEIN.

Lunivers fsic, on sn situades totes les coses fsiques que existeixen, o, si ms no, que sabem, s, segons Einstein, un espai tridimensional corbat en un espai

quatridimensional. Com lexplicava? Primerament ens feia pensar en el mateix cas per amb una dimensi menys: un espai bidimensional corbat en un espai

tridimensional. s el cas de la superfcie esfrica de la terra. Joan Sebasti Elcano fou el

primer home, que nosaltres sapiguem, que don la volta a la terra. Per a ell, com per a

nosaltres, la superfcie de la terra s de dues dimensions corbades i tancades. Sort de

Sevilla el 1519, don la volta al mn i torn a Sanlcar de Barrameda el 1522. Sempre

an seguint la via occidental, la dels exploradors espanyols, lamericana, i, oh misteri!, retorn a la pennsula per la via oriental, la dels exploradors portuguesos, lafricana.

Procurem entendre que en una superfcie esfrica (2R) la circumferncia mxima

sempre uneix la distncia ms curta entre dos punts i, per consegent, equival a una

recta en un pla (2D).

Si som a Sevilla i anem cap a ponent, tornarem per llevant. Si anem cap al nord,

tornarem pel sud. Si anem cap al sudest, tornarem pel nordoest. Etc. Aix si sempre

anem arrapats a la superfcie de la terra.

Einstein amplia aquesta descripci a una dimensi ms. Prescindim ara de la figura de

la terra. Som en lespai de tres dimensions, que tots coneixem. Som tamb a Sevilla. s de nit. Es veuen les estrelles. Miro cap a llevant en lnia recta. La llum que ve de les

estrelles que hi veig no sarrapa a la superfcie de la terra, com fan les naus dElcano. Diem que la llum viatja en lnia recta. Suposem que veiem, mirant a llevant, la regi

celeste de la constellaci de Lle. A ponent veurem la regi celeste de la constellaci

dAquari. Al nord, la de Taure. I al sud, la de lEscorpi. Al zenit veurem la regi de lEstrella Polar. I, si la Terra fos transparent, al nadir, sota els nostres peus, veurem la regi de la Creu del Sud. Si lunivers s tridimensional, no corbat, com ens pensvem,

4

la cosa acaba aqu. No veiem ms enll. Per caldria que nhi hagus. Com en la Terra medieval, lAtlntic era a ponent i sia a llevant, lrtic al nord i lAntrtic al sud. Per Einstein, com un nou Joan Sebasti Elcano csmic, ens diu: Si cavalcant damunt dun raig de llum anem de Sevilla a la constellaci del Lle, tot i que ens sembli que anem

en lnia recta, travessarem el Lle, passarem per les antpodes (no de de noasaltres a la

Terra si no) de nosaltres a lunivers, on hi trobarem unes estrelles desconegudes fins ara, seguirem endavant cap a Aquari i tornarem dAquari cap a Sevilla per la banda occidental. Molt grficament, Einstein ens explica: Si amb un telescopi prou potent mirem Lle, ms enll veurem aquelles estrelles de la constellaci Antpoda. Per, oh

meravella!, si amb el telescopi mirem cap a ponent, de primer, com pertoca, veurem

Aquari, per desprs, si allarguem la mirada, arribarem a veure la mateixa constellaci

Antpoda per lesquena. I afegeix Einstein amb humor: Si disposvem dun telescopi doble potent, mirant cap a la constellaci de Lle, des de Sevilla, desprs dhaver vist Lle, la constellaciAntpoda i, tamb, la d Aquari, arribarem a veurens el propi clatell a Sevilla. Encara que sembli recta la llum segueix el corbament en les quatre

dimensions de la pissarra tridimensional csmica. Si mirem Taure al nord, desprs de

veure tamb alineada la mateixa constellaci Antpoda, passarem per Capricorni i

tornarem a Sevilla. Si mirem lestrella Polar, veurem, alineada de nou la mateixa constellaci Antpoda i a travs de la Creu del Sud, tamb retornarem a Sevilla. A

travs de qualsevol direcci que triem, si disposem de prou fora visual, la nostra

mirada donar la volta a lunivers i retornar al punt de partida pel cant oposat, sempre, desprs dhaver passat per la mateixa constellaci Antpoda nostra.. Aix s un espai tridimensional corbat en un espai de quatre dimensions. En les tres primeres

dimensions, les rectes semblen rectes, per, si nafegim una altra, all que ens sembla recte s un cercle mxim i, per consegent, corb i tancat. Aix com una superfcie

esfrica sembla plana (recta en les dues dimensions) en un espai petit i ja es veu corba i

tancada en lespai conjunt de tota la superfcie esfrica, aix un volum hiperesfric, sembla recte (en les tres dimensions) en un espai petit i s corb i tancat en lespai conjunt de tot el volum hiperesfric. Per simplificar, dun volum hiperesfric en direm simplement hiperesfera, com duna superfcie esfrica en diem esfera. El nostre

model mental-real, Globlium, s tamb una hiperesfera, com la einsteniana, per no en lespai fsic sin en lespai ontolgic..

212.2.- EL CAMP MAGNTIC S HIPERESFRIC.

De vegades ens sembla que lespai quatridimensional s una pura fantasia humana. I, evidentment ls. Per respon a una necessitat dexplicar coses que passen en la natura i es resisteixen a ser explicades en un espai merament tridimensional. Einstein lha hagut de menester per explicar les dades subministraders pel cosmos en el seu conjunt. Ara

veurem com sel torna ha necessitar per explicar lestructura dels camps fsics clssics, com sn el gravitatori i el magntic.

Aquest darrer camp representa la presa de possessi de lespai circumdant per part dun objecte magntic, dun imant. Sabem que limant t dos pols, nord (convencionalment positiu) i sud (convencionalment negatiu). Sabem que aquests dos pols, de signe

oposat, atreuen els dos pols dun altre imant (per exemple, el petit imant que s una brixola), talment que satreuen els pols de signes oposats i es repelleixen els de signes iguals.

5

Si posem un paper damunt dun imant i escampem llimadures de ferro, cadascuna funciona com un petit imant, i sorienten en cadena: Nord imant Sud imant Nord llimadura 1 Sud llimadura 1 Nord llimadura 2 Sud llimadura 2- etc., tot seguint unes lnies, anomenades lnies de fora (fig. 2-4). Aquestes lnies de fora que orienten totes les llimadures, no solament en el pla del paper (2D) si no que tamb en tot

lespai (3D), surten com les fulles duna palmera, dun pol de limant i van parar al pol oposat. Nhi ha de dues classes, les interiors, que passen de pol a pol per dintre de limant i les exteriors, que passen de pol a pol per lespai circumdant. Nhi ha que, abans danar a raure a laltre pol, surten del full de paper i es perden en lespai. Encara que sembli estrany, elles tamb fan llur volta, molt ms ampla, per tornen a laltre pol inexorablement. Fins i tot la que surt dun pol, en sentit estrictament contrari i marxa del full per la banda esquerra, dna la volta a lunivers sencer i torna a entrar en el full per la banda dreta, tot seguint la mateixa direcci per des del sentit contrari cap a laltre pol. Podem anar en avi de Sevilla a Lisboa per la lnia curta, tot sobrevolant la

provncia de Huelva i lAlentejo portugus, o per la llarga: Sevilla Roma Istambul Teheran Nova Delhi Manila Hawai Los ngeles Miami - Lisboa. Tamb hi ha trajectes intermedis: Sevilla Badajoz- Lisboa. Del pol nord al pol sud dun imant shi pot anar per la via curta interior i per les vies ms o menys llargues exteriors, fins i tot

donant tota la volta a lunivers. Es veuen dibuixades en la figura tamb les vies intermedies com i N i S i.

Si amb la nostra imaginaci anssim separant a poc a poc els dos pols dun mateix imant, les lnies interiors anirien fent-se ms llargues i les exteriors, ms curtes.

Suposeu que separem els dos pols de forma que un sigui lantpoda csmic de laltre. Les lnies interiors, sortides en totes direccions, i les exteriors, entrades en totes

direccions, esdevindrien digual longitud. Tot lunivers esdevindria un immens imant. I les lnies de fora, dues a dues, formarien cercles mxims de la hiperesfera de lunivers. Ms encara, com nosaltres serem, pobrets, un punt de lunivers, aquest punt convertit en pol magntic estaria reclamant en la part oposada de lunivers lantpoda, laltre pol magntic que en estar tan lluny ni el veurem. Per aix els fsics moderns reclamen

lexistncia dimants monopols, dunes partcules elementals magntiques, els monopols magntics o magnetons.

Per evitar la intractable llunyania dels dos pols csmicament oposats o de laltre pol si ens situem en un de determinat, en el nostre model hiperesfric posem (fig. 0-13) els

dos pols a prop un de laltre. Qualsevol distncia menor duna a laltre amidar limitadament 2 radis o un dimetre. Envoltem cada pol en una superfcie esfrica com un equador 3D, a mig cam entre els dos pols- talment que engloba totes les branques de palmera que surten dun pol o entren en laltre. Cada punt de la superfcie dun pol es correspon amb un sol punt simtric de la superfcie de laltre. Aix sempre hi ha una lnia de fora que sortint dun pol i passant per lequador que s la primera esfera, arriba a laltre pol pel cam corresponent de la segona esfera, i que surt per la banda oposada del segon pol i, travessant de nou lequador de la segona esfera per un punt oposat al primer, arriba al pol primer, tamb pel cam corresponent de la part

oposada de la primera esfera.

La mateixa consideraci es podria fer pel que fa al camp gravitatori. Tenim, doncs, ja

tres imatges ben fsiques del que representa ser la nostra hiperesfera.

6

212.3.- PROCS PROJECTIU: UN MAPA MUNDI.

Estudiem la fig. 0-11.

A) Una circumferncia s un espai duna dimensi corbat en un de dues. El podrem projectar (reduir) a un espai duna dimensi, partint-lo pel mig i abatent cada semicercle sobre el costat corresponent de la recta (1D), com indica la figura. No

oblidem que hi ha una convenci important: els dos extrems del mapa

unidimensional resultant sn un nic i el mateix extrem tot i que els nostres ulls

els veuen extremament separats. Si sortim per lesquerra entrem automticament per la dreta i viceversa, sense soluci de continutat.

B) Una superfcie esfrica s un espai de dues dimensions corbat en un de tres. Per presentar-la tal com s ens cal una figura construda en un volum de tres

dimensions, tot i ser una superfcie all que ens interessa representar. Per sort,

sens ha acostumat des de petits a manejar el globus terraqi muntat sobre un peu que permet girar-lo per la banda que volguem. Per el globus tridimensional

no cap a la cartera, ni menys en les planes dun llibre de geografia o de viatges. Aleshores, lhome sha inventat el procs de projectar-lo en un espai de dues dimensions, el pla dun mapa. Observem un dels procediments possibles, dissenyat en la figura a base de partir lesfera pel mig i presentar-la en forma de dos hemisferis rodons i plans. Des de lescola tots sabem interpretar b aquesta projecci carregada de convencionalismes inexactes en la realitat: 1.- De fet els

dos hemisferis no sn plans. La projecci els ha aixafat. La part central resta

comprimida (sembla ms petita del que s) i les parts exteriors, expandides

(semblen ms extenses del que sn). 2.- Lextrem est i lextrem oest sn el mateix punt tot i que semblin punts oposats. 3.- Els dos pols nord sn un de sol.

Igual es pot dir dels dos pols sud. 4.- En general, cal acceptar que les dues

circumferncies limitadores dels dos hemisferis sn la mateixa circumferncia.

Els punts de les dues es corresponen respectivament dos a dos, segons simetria

bilateral. 5.- Mai no se surt dels dos hemisferis que sn diferents en cada interior

(un cont el continent americ i laltre, Eurasifrica) i iguals en el marc (una mena dequador vertical entre les dues grans masses continentals). Quan intentes sortir del marc dun, indefectiblement entres dins del marc de laltre, pel punt simtric corresponent.

C) Doncs, i ara cal fer lesfor dextrapolar el que hem dit fins aqu, un volum hiperesfric (una hiperesfera) s un espai de tres dimensions corbat en un de

quatre. s impossible de presentar-lo tal com s. Ens caldria una figura, un

volum de quatre dimensions, tot i ser un volum de tres all que ens interessa

representar. Si fem un parallelisme amb el recurs als hemisferis del globus

terraqi, lhome sha inventat el procs de projectar-lo en un espai de tres dimensions, en lestructura duna figura tridimensional. Observem un dels procediments possibles, presentat en la figura a base de partir la hiperesfera pel

mig i presentar-la en forma de dos hemihiperesferis rodons i massissos, dues

esferes amb llur volum interior (vegis 0-13, 2-1 i 2-25). Tamb aquesta projecci s carregada de convencionalismes inexactes que cal saber interpretar.

Tenim dues boles en tres dimensions. Doncs: 1.- En realitat les dues boles

(hemihiperesferis) no tenen rectes els dimetres interiors. La projecci els ha

aixafat. En la realitat cadascun fa un arc de 180 igual com sn els meridians

7

exteriors. Cal, doncs, reinflar linterior, per assolir la idea de la quarta dimensi. 2.- Lextrem esquerre de la primera bola i lextrem dret de la segona sn el mateix punt, tot i que semblin punts extremament oposats. 3.- Els dos nord sn

el mateix punt. Els dos sud, tamb. 4.- Els dos punts de davant sn el mateix

punt i els dos punts de darrera tamb. 5.- En general, cal acceptar que les dues

superfcies esfriques (esferes) limitadores de les dues boles (dels dos

hemihiperesferis sn la mateixa superfcie esfrica, els punts de les quals es

corresponen respectivament, dos a dos, segons simetria bilateral. 6.- Mai no se

surt de les dues boles (dels dos hemihiperesfris) (vegis 212.541) que sn diferents en cada interior i iguals en el marc. Quan intentes sortir, en qualsevol

direcci de lespai tridimensional, del marc dun, indefectiblement entres dins del marc de laltre, pel corresponent punt simtric. A la fundaci Randa tenim el mapa tridimensional del nostre model amb vuitanta punts marcats. Una forma de

reduir-lo encara ms (a 2D) s lexpressada en la fig. 2-1.

Cal fer prctiques de navegaci en lespai tridimensional del nostre mapa, com els aviadors o els astronautes aprenen a moures en lespai tridimensional fsic, per afegint-hi les correccions que cal fer pel fet dhaver passat de les 4D del model a les 3D de l hipermapa.

212.4.- PROCS GENERATIU FONAMENTAL.

Tractem aqu del procs seguit en la tesi doctoral. s el ms sistemtic. La figura que

millor lexpressa s la 0-1.

0) Dialctica 0, o monisme, que tamb es pot anomenar dogmtica. Tot s , o es redueix a . Aquest tamb sanomena Mnada. Sexpressa geomtricament per un punt sense dimensions i per tant en un espai de zero dimensions

Confondre alguna realitat parcial amb la nica realitat total, sempre

incognoscible en la seva totalitat, obre pas als dogmatismes, fonamentalismes,

integrismes i fanatismes.

1) Dialctica 1, o dualisme, que en snscrit es diu dvaita i que els xinesos anomenen yin yang. La realitat es defineix com a compresa entre un parell dextrems. Aquesta oposici oscillant, contradictria i complementria rep tamb el nom de Dade. Sexpressa geomtricament mitjanant un segment limitat pels dos punts extrems, que anomenem cardinals, amb una direcci i amb

els seus dos sentits oposats. Explicar la realitat com oscillacions entre dos

extrems s ms intelligent que fer-ho a travs del monisme. Tanmateix no deixa

dsser una grollera simplificaci. Hom sacosta ms a la realitat total si utilitza ms duna parella doposats. Nosaltres treballem en conjunt amb quatre dualismes (22) i, per consegent, amb vuit punts cardinals o categories bsiques

primries (P1), que anotem sempre en color verd (figs. 0-1/3). Tamb

simplifiquem la realitat, per no tant com amb un sol monisme o dualisme. Hi

ha dualismes que sn monismes encoberts perqu saccepta un extrem amb tots els honors i es condemna laltre a lexili, lempresonament o la decapitaci (b / mal, veritat / falsedat, etc.).

2) Dialctica 2, o trialisme, que en snscrit en diuen trimurti. La realitat es defineix com a compresa dins un triangle de tres diferents extrems no en lnia

8

recta. Aquesta oposici bidimensional, oscillant, contradictria i

complementria rep tamb el nom de Trade. Sexpressa, en el nostre model per una circumferncia (inequvocament determinable, com un triangle, per tres

punts que no estiguin en lnia recta), en un espai de dos dimensions

perpendiculars i quatre sentits oposats dos a dos, amb quatre punts cardinals

tamb oposats dos a dos. En filosofia la circularitat ha estat sempre un arquetip

molt til per explicar les relacions finites per illimitades entre les parts dun tot. En el nostre model (23) els quatre dualismes possibles, presos dos a dos

perpendicularment, permeten sis cercles tridics. Entre cada dos punts cardinals

vens (a 90) verds, intercalem una categoria nova (P2) , de color negre (figs. 0-

4/5). Quatre en cada cercle multiplicat per sis cercles fa vint-i-quatre categories

secundries. Quan els tres o ms extrems sn en lnia recta estem davant un

dualisme encobert. No s el nostre cas.

3) Dialctica 3, o tetralisme. La realitat es defineix com a compresa dins un tetraedre de quatre diferents extrems no en un mateix pla. Aquesta oposici

tridimensional, oscillant, contradictria i complementria rep tamb el nom de

Ttrade. Sexpressa en el nostre model per una esfera (inequvocament determinable, com un tetraedre, per quatre punts que no estiguin en un mateix

pla) en un espai de tres dimensions perpendiculars i sis sentits oposats dos a dos,

amb sis punts cardinals tamb oposats dos a dos. Algunes filosofies sacosten al tetradisme afegint un element nou extern a un triangle harmnic arquetpic. En

el nostre model (24) els quatre dualismes possibles, presos tres a tres

perpendicularment, permeten quatre esferes tetrdiques. Entre cada tres punts

vens en triangle (a 90, presos dos a dos) verds, intercalem una categoria nova

(en el baricentre del triangle) (P3), de color roig (figs. 0-6/7). Vuit en cada

esfera multiplicat per quatre esferes fa trenta dues categories terciries. Quan

els quatre o ms extrems sn en un mateix pla estem davant dun trialisme encobert: quadres, pentagrames, hexagrames, octogrames, eneagrames,

dodecagrames,.... No s el nostre cas.

4) Dialctica 4 o pentalisme. La realitat es defineix com a compresa dins duna pentacella de cinc diferents extrems no en un mateix espai tridimensional.

Aquesta oposici tetradimensional oscillant, contradictria i complementria

rep tamb el nom de Pntade. Sexpressa en el nostre model per una hiperesfera (inequvocament determinable per cinc punts que no estiguin en un

mateix espai 3D), en un espai de quatre dimensions perpendiculars i vuit sentits

oposats dos a dos, amb vuit punts cardinals tamb oposats dos a dos. A part de la

nostra, no coneixem una altra filosofia que treballi a aquest nivell dialctic. En el

nostre model (25), els quatre dualismes, presos quatre a quatre

perpendicularment, noms permeten una hiperesfera pentdica, representada per

dues boles (dos hemihiperesferis) tridimensionals. Entre cada quatre punts vens,

no en un mateix pla, ans en forma de tetraedre (a 90, presos dos a dos) verds,

intercalem una categoria nova (en el baricentre del tetraedre) (P4) de color blau

(figs. 0-9/10 i 0-15). Vuit noves categories en cada bola multiplicat per dues

boles fan setze noves categories quaternries. Quan els cinc o ms extrems sn

en un mateix espai 3D estem davant un tetralisme encobert. No s el nostre cas.

Vuit categories verdes primries + vint-i-quatre, negres secundries + trenta dues, roges

terciries + setze, blaves quaternries fan un total de vuitanta categories determinades

9

en el nostre model: estrelles lluents duna gran constellaci en forma dhiperesfera, que

anomenem Globlium (vegis fig. 0-12).

212.5.- CONSTRUCCIONS POLIDRIQUES DE LA HIPERESFERA.

Podem imaginar que som nens petits i que juguem amb quatre trencaclosques diferents.

Cada trencaclosques t les seves peces iguals entre elles i diferents de les dels altres

trencaclosques. Malgrat aix, si muntem adequadament totes les peces de cada

trencaclosques obtindrem, en cada cas, una magnfica projecci en 3D duna hiperesfera. Proposem, doncs, quatre construccions diferents de la mateixa hiperesfera

(fig. 2-5). La primera construcci s a base de vuit cubs hiperesfrics o hexaedres

hiperesfrics regulars iguals (fig. 0-14). La segona, a base de vint-i-quatre octaedres

hiperesfrics regulars i iguals (fig. 2-11). La tercera, a base de trenta dues bipirmides

trigonals hiperesfriques iguals (fig. 2-12). I la quarta, setze tetraedres hiperesfrics

regulars iguals (fig. 0-15). Parlem de poliedres hiperesfrics per indicar que en la figura estan rectes i per tant desinflats o aixafats en 3D i que cal, per construir amb ells la hiperesfera, inflar els poliedres 3D. Parlem de figures iguals quan sn superposables amb exactitud. Parlem de figura regular quan t els seus costats iguals i les seves cares tamb iguals. Parlem de figures canniques quan les prenem com a referncia bsica de tota altra figura.

212.51.- Els vuit cubs hiperesfrics iguals, regulars i cannics (figs. 2-6 i 0-14).

Si observem b les figures alludides veurem que podem dividir les dues boles de la

hiperesfera en vuit regions iguals de forma (hiper)cbica regular, centrades en les vuit

categories verdes o punts cardinals: dos cubs hiperesfrics (centrats en el mateix centre

de cada bola). Els altres sis estan compartits, mig en cada bola: dos (esquerra i dreta),

dos (amunt i avall) i dos (davant i darrera). Cada cub hiperesfric (fig. 2-7) t, doncs,

una categoria verda en el centre, dotze categories negres en el mig de les seves dotze

arestes, sis categories roges en el mig de les seves sis cares i vuit categories blaves en

els seus vuit vrtexs. En total, cada cub hiperesfric s una constellaci 3D, octava part

de la hiperesfera completa, amb 27 categories prpies. Les cares de cada cub

hiperesfric es repeteixen en els altres cubs hiperesfrics encarats amb ell. Repetim que

la rectitud dels costats i la planicitat de les cares sn aparents. Cal, com fiem en el

mapa mundi, abombar les perspectives aixafades. Cada aresta s un arc de cercle mxim

de 60. La creu que resulta de la posici conjunta dels vuit cubs hiperesfric s una

figura peculiar, tradicionalment anomenada tesseractis, del llat (tessera dau), fet amb daus, construda amb els vuit cubs en forma de creu,, amb els quatre braos gaudinians i dalinians (dret, esquerre, davant i darrera). Veurem com a travs della aprenem a mourens en 4D. En realitat s un desplegable en 3D duna figura 4D. Talment com una creu plana 2D, de sis quadrats s el desplegable dun cub 3D (vegis fig. 2-24). Cal, doncs, aprendre a plegar el tesseractis per obtenir la hiperesfera. 1.- Totes les rectes del

primer sn trajectes darc de cercle mxim de la segona. 2.- Per aprendre a orientar-nos i mourens resulta til caminar pels eixos, determinats entre els centres verds, dels cubs hiperesfrics encarats: centre verd del 1r. cub hiperesfric 45 - centre negre de la cara comuna dels dos primers cubs hiperesfrics encarats 45 - centre verd del 2n. cub hiperesfric 45 - centre negre de la cara comuna del 2n i del 3r. cubs hiperesfrics encarats 45 - centre verd del 3r. cub hiperesfric 45 - centre negre de la cara comuna del 3r. i 4t. cubs hiperesfrics encarats 45 - centre verd del 4t. cub

10

hiperesfric antagnic 45 - centre negre de la cara comuna del 4t. i 1r. cubs hiperesfrics encarats 45 - es tanca el cercle hiperesfric amb el centre verd del 1r. cub hiperesfric. 3.- Observis que en 3D sajunten 4 cubs en cada aresta comuna; en canvi en la hiperesfera noms sajunten 3 cubs hiperesfrics, perqu sn inflats. 4.- Similarment en 3D sajunten 8 cubs en cada vrtex com; en canvi en la hiperesfera noms sajunten 4 cubs hiperesfrics per la mateixa ra. 5.- Vegis tamb que no resta cap cara oberta a lexterior. Sencaren talment les unes amb les altres que totes miren endins de la hiperesfera, que no t superfcie exterior! s tan fascinant la hiperesfera

que el nostre geni de larquitectura, Antoni Gaud, encisat, la collocava al cim dels seus edificis en forma de creu hipercbica. Tamb el nostre gran pintor, Salvador Dal, influt

per Gaud i el misteri de la hiperesfera, realitz un quadre memorable El Crist Hipercub, on Jess s crucificat en una creu hipercbica.

212.52.- Els vint-i-quatre hiperoctaedres iguals, regulars i cannics (fig. 2-11).

Si diem que una categoria verda tenia com a vens propers vint-i-sis punts: 6 negres,

que estan a 45 de distncia, un al mig de cada cara; 12 roigs, a 57 de distncia, un al

mig de cada aresta i 8 blaus, a 60 de distncia, un a cada vrtex, tot plegat en forma

dhipercub, i hi havia vuit cubs hiperesfrics, que formaven tota la hiperesfera, perqu hi ha noms vuit categories verdes, aix ara direm que cada categoria negra t com a

vens propers deu punts (fig. 2-8): 2 verds, a 45 de distncia, un en cada extrem de cada

octaedre hiperesfric, quatre blaus tamb a 45 de distncia, un a cada vrtex de

lequador de la figura i quatre roigs a 35 de distncia, un en cada punt mig de les quatre arestes de lequador, tot muntat en forma doctaedre hiperesfric. I hi ha vint-i-quatre octaedres hiperesfrics, que formen tota la hiperesfera, perqu hi ha vint-i-quatre

categories negres. Caldr aqu tamb aprendre a navegar dun octaedre hiperesfric a un altre de ve, com qui passa duna comarca a una altra.

212.53.- Les trenta dues bipirmides trigonals hiperesfriques iguals i canniques

(fig. 2-12).

Semblantment, diem que cada categoria roja t com a vens propers vuit punts (fig. 2-9):

dos blaus a 30 de distncia, un en cada extrem de la bipirmide trigonal hiperesfrica,

tres de verds a 55 de distncia, un a cada vrtex de lequador de la figura i tres negres a 35 de distncia, un en cada punt mig de les tres arestes de lequador, tot plegat en forma de bipirmide trigonal hiperesfrica. I hi ha trenta dues bipirmides trigonals

hiperesfriques, que formen tota la hiperesfera, perqu hi ha trenta dues categories

roges. Caldr tamb aqu exercitar-se a moures gilment duna bipiramide trigonal hiperesfrica a una de vena seva, amb tota facilitat.

212.54.- Els setze tetraedres hiperesfrics iguals, regulars i cannics (fig. 0-15).

Finalment tenim que cada categoria blava t com a vens propers catorze punts (fig. 2-

10): quatre verds a 60 de distncia, un a cada vrtex del tetraedre hiperesfric, sis

negres a 45 de distncia, un en la meitat de cada aresta i quatre roigs a 30 de distncia,

un en el mig de cada cara, tot plegat en forma de tetraedre hiperesfric. Hi ha setze

tetraedres hiperesfrics, que formen tota la hiperesfera, perqu hi ha setze categories

blaves. Com exemple de la sorprenent i inquietant naturalesa corba de la hiperesfera,

construda mitjanant qualsevol dels models polidrics hiperesfrics esmentats, em

permeto dinserir aqu un excurs sobre les rares qualitats de la hiperesfera de setze

11

tetraedres hiperesfrics, escrita ja fa temps, amb unes certes pretensions literries, per

reposar una mica daquestes darreres explicacions tan rides per a aquells als qui no agrada la geometria. Es podrien descriure semblantment els moviments i les

metamorfosis en linterior de la hiperesfera de cubs hiperesfrics (212.51), de la hiperesfera doctaedres hiperesfrics (212.52) o de la hiperesfera de bipirmides trigonals hiperesfriques (212.53).

212.541.- CASTELL GTIC DE LES SETZE CAMBRES CRISTALLINES.

Sn les sis de la tarda dun dilluns dhivern, 23 de desembre de 1996. Ja s fosc.

Enceto la redacci del Castell gtic de les setze Cambres cristallines, en una sala de treball, tranquilla i ordenada, que mira a la Plaa Real de la Ciutat Vella de Barcelona.

Estic sol. La plaa, sempre bulliciosa, s, de moment, miraculosament callada. Les

llargues palmeres guaiten per la meva finestra, de fora a dins, encuriosides, a veure que

faig. Damunt la taula, noms lordinador i un plnol aproximat del complicat Castell, per no perdre-mhi.

Aquest s un castell estany, esgarrifa de pensar-hi. s exageradament esquerp, kafki. No t portes ni finestres, no t entrades ni sortides. No t parets externes ni teulada ni

fonaments. Inimaginable! Abans de comenar a descriurel, jo ja hi era. No hi he entrat. He estat concebut, he nascut i mhe criat a dins. En sc presoner de tota la vida. Caldr, doncs, descriurel des de dins dell mateix.

T setze cambres, en forma de tetraedre regular que s una pirmide de tres cares (triangles equilters) iguals entre elles i iguals a la base. Les setze cambres tamb sn

iguals entre elles, mgicament transparents, les unes respecte de les altres,

darquitectura semblant a la gtica, amb les seves corbes caracterstiques. Lector, potser que prenguis paper i llapis i tractis de fer algun dibuix que representi all que testic descrivint. El castell podria distribuir-se internament daltres maneres, per exemple amb vuit cambres cbiques iguals i regulars (212.51), amb vint-i-quatre cambres

octadriques (212.52) o amb trenta dues cambres en forma de bipirmide trigonal

(212.53).

Si no hi ha cap espai defora que permeti mirar-se les setze cambres a ttol despectador extern, caldr mirar cada cambra des de dins della mateixa o des de qualsevol de les altres cambres. Tamb ac la visi ens sorprn. Cada cambra s un tetraedre rar, inflat

(tcnicament sen diu hiperesfric) en els costats o arestes, en les parets o cares i, fins i tot, de forma difcil de dir i dimaginar, inflat en linterior dell mateix. Tot trajecte intern, aparentment recte, s en realitat corb, com quan camines sobre la superfcie de la

terra. Per aix sesdev fins i tot en la direcci vertical.

Les quatre parets, que formen cada cambra, fetes del cristall ms fi, sn triangles equilters iguals, tamb superficialment inflats (esfrics), de costats tamb linealment

corbats, (arcs de circumferncia de 90), talment que per tot arreu apareixen ogives i

voltes que recorden una catedral gtica, sense base o amb tantes bases com costats,

surant en un espai sense gravetat. Qualsevol de les quatre parets cristallines de cada

cambra pot funcionar com si fos el terra per posar-hi els peus, un terra triangular, ogival,

abombat cap a baix, cncau. Les altres tres parets o cares, preses conjuntament,

12

esdevindran, aleshores, una cpula de pirmide triangular gtica amb tres ogives, tamb

cncaves. Per he dit que no hi ha gravetat. No hi ha amunt i avall. La cambra ogival es

pot posar en qualsevol posici, talment estigus surant en lespai exterior lluny de tota atracci gravitatria. No hi ha ni terra ni sostre o tot pot ser terra o sostre.

La transparncia essencial permet a un imaginari colom, fet de llum, de voleiar, duna cambra a laltra, sense barreres de cap classe. Hi ha, tanmateix, com uns estels, uns punts de llum (P) especials, tot i que tamb transparents, travessables, per de diferent

qualitat de lluminositat: P1 de llum verda, P2 de llum negra, P3 de llum vermella, P4

de llum blava, que representen senyals de referncia i llocs dacolliment, on el colom-llum voleiador pugui trobar reps de tant en tant i, si ms no, orientaci de posici en el

vol. Passarem a descriure breument aquestes quatre classes destrelles:

Vuit, en total, estels primers verds (8 P18), cadascun dels quals illumina simultniament vuit cambres, confluents en ell per llurs vrtexs. Quatre daquests estels primers verds ocupen els quatre vrtexs de cada cambra gtica. [El subndex del punt

marca el nombre de cambres tetradriques que conflueixen en ell].

Vint-i-quatre, en total, estels segons negres (24 P24), cadascun dels quals mira simultniament a quatre cambres, confluents en ells per llurs arestes. Sis daquests estels segons negres ocupen el punt mig de cadascuna de les sis arestes o nerviacions de

cada cambra gtica.

Trenta dos, en total, estels tercers vermells (32 P32), cadascun dels quals mira simultniament a dues cambres, confluents en ell. Quatre daquests estels ocupen el punt mig (baricentre de cara) de cadascuna de les quatre cares o parets triangulars de

cada cambra gtica.

En el centre (baricentre de cambra) de cadascuna de les setze cambres hi ha un punt quart blau (16 P41), que illumina des del centre i caracteritza tota la cambra, a la qual

donar el seu nom.

En resum, cada cambra forma una petita constellaci de punts lluminosos clavats en les seves parets. T un estel central (P4). En t catorze de perifrics, que limiten amb les

cambres venes: 4 P32 vermells, al mig de cada cara, els ms propers al centre, 6 P24

negres, al mig de cada aresta i 4 P18 verds, un en cada vrtex, els ms allunyats del

centre.

La suma dels estels de les quatre classes de tot el castell fan vuitanta. s, doncs, un rutilant palau desentenebrit per vuitanta lluminries que es reflecteixen i repeteixen fins

a linfinit per les parets acristallades que amb llur concavitat o curvatura recullen i concentren els esverats raigs de llum que tendeixen a dispersar-se.

Tot saltant dun punt a laltre, a travs daquestes fites lluminoses, que en direm categories, es pot passar duna cambra a qualsevol de les seves venes i aix successivament fins a les ms allunyades, en totes les direccions de lespai. Aix s

vlid per a les vuitanta referenciades, P4 P1, P4 P2, P4 P3, etc., i per a les innombrables que podrem anar situant en lendemig.

13

Per no oblidem que les direccions, per rectes que semblin, sempre sn corbes i, tant si es vol com si no, en recrrer-les, es van donant voltes ms o menys amples i, tard o

dhora, sempre es pot retornar al punt de partida. s la conseqncia daquella propietat daquest castell, esmentada ms amunt: tot i que no ho sembli, no es pot fer cap trajecte recte. El castell s tridimensional. En aix no hi ha misteri. Hi ha, tanmateix, una

curvatura permanent en tots els llocs del castell en una dimensi desconeguda, la quarta.

Com tamb he dit, no hi ha cap paret que limiti amb lexterior. Totes limiten amb les daltres cambres, de les que no es poden desenganxar. Tanmateix, per a fer aix possible, aquest castell gaudeix dunes parets singulars. Com si fossin elstiques.

Si et situes al bell mig duna cambra, en el seu estel quart blau (P41); veurs, com sescau, les quatre cares triangulars cncaves amb els seus corresponents estels tercers vermells (P32) al mig; veurs, tamb, els sis nervis o arestes corbs i cncaus de les

ogives amb els corresponents lluents estels negres segon (P24) i veurs els quatre

vrtexs amb els corresponents lluentssims estels verds primers (P18), que marquen

quatre punts cardinals no estrictament oposats, que no tenen res a veure amb el nord, el

sud, lest i loest.

Quan, per, et bellugues i tacostes a una paret o a una aresta, aquestes es van aplanant o tornant rectes. En el moment de travessar-les, semblen plana la paret o recta laresta.

En passar a la cambra vena, parets i arestes, es van blegant al revs en la nova direcci.

I, en situar-te al centre de la cambra vena, arestes i parets esdevenen cncaves per a la nova posici i, semblen convexes per a lantiga.

Aquestes sn les principals caracterstiques del Castell gtic de les setze Cambres cristallines. No s damunt duna terra aliena a ell. Sura en un cel buit on res no hi ha, o, millor, no sura enlloc. No hi ha ms lloc que el que sestn en el seu interior, sense gravetat externa, sens cap cosa que el reclami des de lexterior. I els vuit estels verds primers, ms els vint-i-quatre estels negres segons, ms els trenta dos punts lluminosos

vermells tercers, ms els setze punts lluminosos blaus quarts formen el magnfic conjunt

de vuitanta estels lluminosos que configuren la Gran Constel.laci general -la imatge de

la meva realitat hiperconscient completa, de moment, mentre no sorgeixin sorpreses

novadores- en mig de la nit no mental.

La singular i fascinant constellaci general sorg, en esclat admirable, dun gran cos celestial nic incandescent, la Mnada, misteris Ou primigeni, on tot hi era i on res

encara no hi era.

Cada estel pot ser visitat, un a un, en lactual grau de desplegament del conjunt del castell. Cada estel s tot un mn, una riquesa pregona, un tresor en ell mateix,

independentment del valor dels altres estels. Sestimen molt. Juguen junts, en diverses combinacions. De llur combinaci dinmica sobtenen meravelles, el desplegament de la infinita varietat del mn. Malgrat els aparents i convencionals nmeros dordre, no hi ha un que valgui ms que un altre. Hem pres els vuit estels primers com a explicadors

de tots els altres, per haurem pogut prendre vuit altres estels, convenientment triats

14

com a punt de referncia bsic i els actuals estels primers esdevindrien segons, tercers o

quarts. Cadascun t la seva grcia peculiar que, en all, el fa autoritat devers els altres.

Recomano deturar-se reverencialment en cada un dells i revisar lentorn des daquell punt de vista, des daquella talaia estellar. No tots hem de viure-ho tot. Per la revisi de tots els punts de referncia duu a major comprensi dels altres, a millor collaboraci

amb ells i a una ms acurada conscincia de les prpies mancances i febleses. Cada estel

puntual t vens ms o menys propers. Es pot prendre com a unitat de distncia corba

(riemanniana) la distncia mxima entre un punt i ell mateix desprs dhaver donat la volta ms gran possible per tot el castell (el cercle mxim). La resta de distncies seran

decimals de la unitat. Les indicarem entre parntesi amb el superndex (c). Tamb es

poden expressar en graus () de circumferncia mxima, la totalitat de la qual s de

360.

Cadasc pot triar lamplitud del salt que vulgui fer al punt segent. Els alegres i agosarats metafsics, artistes i mstics faran salts llargs. Els calculadors i seriosos

cientfics i filsofs caminaran pas a pas, dun estel al seu ve ms immediat. Tot saltant de lun a laltre es pot recrrer tot lespai. Per es pot explorar de mil maneres diferents. Invito el lector a seguir, segons el seu gust, trajectes ben variats. Cada punt s una

crulla que marca moltes direccions possibles, i es poden triar seqncies ben diferents

amb lobtenci de visions tamb ben diferents de la realitat global. El lector pot esdevenir aix actor dun seu viatge i autor dun seu llibre.

212.6.- LA SIMETRIA MN PLASMA (de Josep Colet) (figs. 2-13/22).

Josep Colet, poeta i collaborador nostre, fidel i crtic, en la investigaci de Globlium, sadon que, si polaritzvem la hiperesfera de forma que un pol fos MN i laltre, PLASMA, els dos nous puntsa cardinals de la nova quarta dimensi voltant, restava el conjunt dividit aproximadament en tres esferes, la neutral (fig. 2-16), la mundana (fig.

2-15) i la plsmica (2-17). Com si tot plegat fos una esfera 3D (ara hiperesfera 4D) on el

pol nord fos, per exemple, MN (una categoria); el trpic de Cncer, lesfera mundana (26 categories); lequador, lesfera neutral (26 categories); el trpic de Capricorni, lesfera plsmica (26 categories) i el pol sud, PLASMA (una categoria). Total: les 80 categories del Model Major.

Aquesta manera de veure la hiperesfera t laventatge que enmig hi ha lesfera neutra que coincideix amb el Model Menor (1), que ja tenim estudiat abastament i que, per

tant, s prou coneguda. Ac recomano repassar el Model Menor, aprendre de memria

les seves 26 categories i imaginar-se-les mentalment (si cal ajudada la imaginaci per

un dibuix fet de memria per un mateix). I, a continuaci, noms cal afegir per una

banda la corresponent categoria mundana i per laltra, la plsmica. Apareixen aix 26 trades, cadascuna centrada en una categoria del Model Menor. Cada trade palesa un

inters filosfic gran. Caldr, ac tamb, memoritzar les 26 trades i llur lloc en les

esferes. Aquest procediment s molt til i simple en la prctica de ls del Model Major.

No cal dir que, tal com lhem presentat en lexposici i en les figures, aquest mtode esdev molt polaritzat en el quart eix voltant (MON PLA), novetat del Model Major. Si volem assolir una agilitat madura en ls del Model haurem, a ms a ms, dexercitar-nos en el maneig de la hiperesfera polaritzada segons les altres possibilitats: TEO PRA, FEN NOU i SUB - OBJ. En aquests altres casos la distribuci de les

15

categories en les tres esferes (neutral, dreta i esquerra) seria diferent. Pot constituir un

exercici prctic dissenyar les tres esferes amb cadascuna de les altres tres polaritzacions.

212.7.- EL JOC DE LES VUITANTA CARTES .

Primerament oferim el llistat de les 80 categories, ordenades per colors (fig. 0-12). A

continuaci presentem les vuitanta cartes corresponents, concentrades en un foli (fig. 2-

23). Existeix el joc de les 80 cartes separades.

1.- Les 8 primeres, les verdes, tenen un smbol simple cadascuna. Sn les bsiques. Cal

explicar-les sense referncia a altres categories com no sigui loposada. Les altres sexplicaran a partir daquestes primeres.

2.- Les 24 segents, les negres, tenen els smbols compostos de dos dels smbols senzills

verds. Cada categoria negra s el punt mig entre dues categories verdes venes. Per

saber, doncs, qu significa cada categoria negra cal consultar i ajuntar les dues

categories verdes simbolitzades en ella. Aix: AMOR t de smbol una aspa i un petit

cercle ple central. Laspa s el smbol de NOMEN. El cercle s el smbol de la PRCTICA. AMOR, doncs, ser el nomen portat a la prctica.

3.- Les 32 segents, les roges, tenen els smbols compostos de tres dels smbols senzills

verds, o dun de verd i un de negre. Cada categoria roja s el punt mig (baricentre) entre tres categories verdes venes o el punt mig entre una de verda i una de negra venes. Per

saber que significa cada categoria roja cal consultar i ajuntar les tres categories verdes o

les dues, verda i negra, venes, simbolitzades en ella. Aix MSTICA t de smbol una

aspa, un cercle ple i una creu. Equivalen a NOMEN + PRCTICA + SUBJECTE:

nomen prctic subjectiu. O b AMOR + SUBJECTE: amor subjectiu. O b METAPSQUICA + PRCTICA: metapsquica prctica. O b SENTIMENT + NOMEN: sentiment noumnic.

4.- Les setze segents, les blaves, tenen els smbols compostos de quatre dels smbols

senzills verds, o de dos de negres, o dun verd i un roig. Cada categoria blava s el punt mig (baricentre) entre quatre categories verdes venes , el punt mig entre dues de negres

o el punt mig entre una de verda i una de roja venes. Per saber que significa cada

categoria blava cal consultar i ajuntar les quatre categories verdes o les dues negres o la

verda i la roja venes, simbolitzades en ella. Aix ECUMENE t de smbol laspa, el cercle ple, la creu i quatre punts en els extrems. Equivalen a NOMEN + PRCTICA +

SUBJECTE + MN: nomen prctic subjectiu del mn. O b AMOR + INTENCI: amor intencional. O b COMUNI + SENTIMENT: comuni de sentiments. O b METAPSQUICA + COSMOS: metapsquica csmica. MN + MSTICA: mn mstic. O b REGNE + SUBJECTE: el Regne com a subjecte. O b NOMEN + DESIG: nomen desitjs. O b GENI + PRCTICA: genialitat prctica.

Amb aquestes cartes es poden fer mil jocs i establir milers de relacions ms o menys

amples. Aclareix amb precisi implicacions de cada tema triat amb els altres temes

afins, llunyans o antagnics. Amb una mica dentrenament es pot fer servir sense entendre la geometria de la hiperesfera. Els smbols et van guiant per la xarxa, sempre

corba, del Model, sense haver-ten de preocupar. No s un joc de sort, daquells que tant agraden a la gent, de tirar les cartes a veure que en surt. Cal saber seleccionar la carta que a un en un moment determinat linteressa i saber-se bellugar pel seu entorn per

16

veure les derivacions, els condicionaments, les tendncies i fins i tot les oposicions,

incomprensions etc., que voleien al seu entorn. Val per a persones individuals i per a

grups. En parlarem ms a lexposici analtica de cada categoria (22-25) i a les aplicacions (26).

212.8.- ITINERARIS DIRECTES .

Les vuitanta categories vuitanta idees- sn les vuitanta bases del joc. Cada idea t un nucli poders i cents de ramificacions o connexions que et duen a una comprensi

ampla i reveladora (Josep Oliv. La Vangurdia. Barcelona, 27.6.2006). Podem imaginar la hiperesfera com una gran ciutat, on les categories serien estacions o parades

de metro. El metro enllaaria totes les categories amb totes les categories sempre, amb

un criteri econmic, per les vies ms directes (arcs de cercles mxims). Cada lnia de

metro tindria un nmero per distingir-la de les altres. Cada lnia de metro donaria la

volta a la hiperesfera sencera tot passant sempre per lestaci, pol oposat a lestaci, punt de partida. Cada categoria t un pes especfic propi i esdev una crulla o

correspondncia entre lnies de metro coincidents. El clcul s complex. Ja el tenim fet.

Ens surten 362 cercles mxims que passen sobre les vuitanta categories. Hi ha 1.808

salts o trams mnims entre estaci i estaci. En cada categoria verda conflueixen tretze

lnies de metro. En cada categoria negra en conflueixen vint-i-una. En cada categoria

roja o blava en conflueixen vint-i-cinc. Est tot molt ben comunicat pel servei pblic. La xarxa s francament densa. Representa un petit model de com les paraules del nostre

cervell estan relacionades inconscientment les unes amb les altres. Tamb s un

exemple de com podrien arribar a ser les nostres enciclopdies i diccionaris amb les

seves relacions exhaustives i ben determinades. Evidentment aqu no excloc de cap

manera la potestat, exercida des de sempre pels poetes, de transgredir el significat

socialment establert de les paraules per crear paraules, continguts i relacions nous.

El tram ms curt entre dues categories s de 30 (1/12 de cercle mxim) entre els P3 i

els P4 ms propers. Hi ha 64 daquests trams. Desprs, el tram de 352 entre els P2 i els P3 ms propers. Nhi ha 96. Desprs, el tram de 45 entre els P1 i els P2 (48) i entre els P2 i els P4 (96). Desprs, el tram de 4819 entre els P3 i els P3 (96). Desprs, el tram de 5473 entre els P1 i els P3 (96). Desprs, el tram de 60 entre els P1 i els P4 (64) i entre els P2 i els P2 (96). Desprs, el tram de 659 entre els P2 i uns P3, ms llunyans (192). Desprs, el tram de 7322 entre els P3 i uns P4 ms llunyans (192).Desprs, el tram de 90 entre els P2 i uns P3 llunyans (192), entre els P2 i uns P4 llunyans (192) i

entre els P3 i uns P3 llunyans (192). I finalment, el tram ms llarg de 10678 entre els P3 i uns P4 llunyans (192).

Posem noms un exemple per tal que el lector es faci una idea dun daquests trajectes de cercle mxim i distncia mnima: (Lnia 3.01) PRA 60 - ECU 30 - GEN 30 - DIV 60 - TEO 60 - IDT 30 - ONA 30 - ACC 60 - PRA. El lector trobar en apndix la relaci dels 362 trajectes (cercles mxims) cannics a travs de les

vuitanta categories i un ndex amb totes les lnies que passen per cada categoria, amb les

estacions immediata anterior i immediata posterior.

17

22.- LA PISSARRA DE LUNIVERS. p. 15.

Vist el Model Major del Globlium en el seu conjunt passem ara a descriure les vuitanta categories una a una. Recordem que en la primera part (1) ja hem explicat a

fons les vint-i-sis categories del Model Menor. Per aqu hi tornarem a insistir perqu, a

ms de les relacions superficials (en 2D) de cada categoria amb les venes de lesfera, ara, apareixen noves relacions en lespai 3D.

221.- Cernent (c). p.

221.1.- Discerniment (+c): Teoria. p.

221.2.- Concerniment (-c): Prctica. p.

222.- Parena (p). p .

222.1.- Aparena (+p): Fenomen. p.

222.2.- Desparena (-p): Noumen. p.

223.- Tensi (t). p.

223.1.- Extensi (+t): Objecte. p.

223.2.- Intensi (-t): Subjecte. p.

224.- Voltant (v). p.

224.1.- Evoluci (+v): Mn. p.

224.2.- Involuci (-v): Plasma. p.

224.3.- Els deu nivells. Els cent subnivells.

23.- ELS CARRERS DE LUNIVERS. p.

231.- Cernent Parena (c, p). p.

231.1.- Discerniment Aparena (+c, +p): Anlisi p. 231.2.- Discerniment Desparena (+c, -p): Sntesi. p. 231.3.- Concerniment Aparena (-c, +p): Experincia. p. 231.4.- Concerniment Desparena (-c, -p): Amor. p.

232.- Cernent Tensi (c, t). p.

232.1.- Discerniment Extensi (+c, +t): Significat. p. 232.2.- Discerniment Intensi (+c, -t): Sentit. p.

232.3.- Concerniment Extensi (-c, +t): Signe. p. 232.4.- Concerniment Intensi (-c, -t): Sentiment. p.

233.- Cernent Voltant (c, v). p.

18

233.1.- Discerniment Evoluci (+c, +v): Cosmovisi. p. 233.2.- Discerniment Involuci (+c, -v): Caovisi. p.

233.3.- Concerniment Evoluci (-c, +v): Cosmos. p. 233.4.- Concerniment Involuci (-c, -v): Caos. p.

234.- Parena Tensi (p, t). p.

234.1.- Aparena Extensi (+p, +t): Cincia. p. 234.2.- Aparena Intensi (+p, -t): Art. p. 234.3.- Desparena Extensi (-p, +t): Metafsica. p. 234.4.- Desparena Intensi (-p, -t): Metapsquica. p.

235.- Parena Voltant (p, v). p.

235.1.- Aparena Evoluci (+p, +v): Exactitud. p. 235.2.- Aparena Involuci (+p, -v): Atzar. p. 235.3.- Desparena Evoluci (-p, +v): Comuni. p. 235.4.- Desparena Involuci (-p, -v): Confinament. p.

236.- Tensi Voltant (t, v). p.

236.1.- Extensi Evoluci (+t, +v): Afinitat. p. 236.2.- Extensi Involuci (+t, -v): Bos. p. 236.3.- Intensi Evoluci (-t, +v): Intenci. p. 236.4.- Intensi Involuci (-t, -v): Felicitat. p.

24.- ELS TERRENYS DE LUNIVERS. p.

241.- Cernent Parena Tensi (c, p, t). P

241.1.- Discerniment Aparena Extensi (+c, +p, +t): Lgica. p. 241.2.- Discerniment Aparena Intensi (+c, +p, -t): Esttica. p. 241.3.- Discerniment Desparena Extensi (+c, -p, +t): Ideica. p. 241.4.- Discerniment Desparena Intensi (+c, -p, -t): Mtica. p. 241.5.- Concerniment Aparena Extensi (-c, +p, +t): Tcnica. p. 241.6.- Concerniment Aparena Intensi (-c, +p, -t): Psquica. p. 241.7.- Concerniment Desparena Extensi (-c, -p, +t): tica. p. 241.8.- Concerniment Desparena Intensi (-c, -p, -t): Mstica. p.

242.- Cernent Parena Voltant (c, p, v). p.

242.1.- Discerniment Aparena Evoluci (+c, +p, +v): Precisi. p. 242.2.- Discerniment Aparena Involuci (+c, +p, -v): Probabilitat. p. 242.3.- Discerniment.- Desparena Evoluci (+c, -p, +v): Harmonia. p. 242.4.- Discerniment Desparena Involuci (+c, -p, -v): Sublimitat. p. 242.5.- Concerniment Aparena Evoluci (-c, +p, +v): Polidesa. p.

19

242.6.- Concerniment Aparena Involuci (-c, +p, -v): Turbulncia. p. 242.7.- Concerniment Desparena Evoluci (-c,-p, +v): Regne. p. 242.8.- Concerniment Desparena Involuci (c, -p, -v): Magma. p. 243.- Cernent Tensi Voltant (c, t, v). p.

243.1.- Discerniment Extensi Evoluci (+c, +t, +v ): Convenci. p. 243.2.- Discerniment Extensi Involuci (+c, +t, -v): Raresa. p. 243.3.- Discerniment Intensi Evoluci (+c, -t, +v): Astcia. p. 243.4.- Discerniment Intensi Involuci (+c, -t, -v): Follia. p. 243.5.- Concerniment Extensi Evoluci (-c, +t, +v): Obligaci. p. 243.6.- Concerniment Extensi Involuci (-c, +t, -v): Prodigi. p. 243.7.- Concerniment Intensi Evoluci (-c, -t, +v): Desig. p. 243.8.- Concerniment Intensi Involuci (-c, -t, -v): Ebrietat. p.

244.- Parena Tensi Voltant (p, t, v). p.

244.1.- Aparena Extensi - Evoluci (+p, +t, +v): Funci. p. 244.2.- Aparena Extensi - Involuci (+p, +t, -v): Ona. p. 244.3.- Aparena Intensi Evoluci (+p, -t, +v): Agudesa. p. 244.4.- Aparena Intensi Involuci (+p, -t, -v): Trnsit. p. 244.5.- Desparena Extensi Evoluci (-p, +t, +v): rgan. p. 244.6.- Desparena Extensi Involuci (-p, +t, -v): Org. p. 244.7.- Desparena Intensi Evoluci (-p, -p, +v): Geni. p. 244.8.- Desparena Intensi Involuci (-p, -t, -v): Letargia. p.

25.- LES CAMBRES DE LUNIVERS. p.

251.- Cernent Parena Tensi Voltant (c, p, t, v). p.

251.01.- Discerniment Aparena Extensi Evoluci (+c, +p, +t, +v): Determinaci. p.

251.02.- Discerniment Aparena Extensi Involuci (+c, +p, +t, -v): Indeterminaci. p.

251.03.- Discerniment Aparena Intensi Evoluci (+c, +p, -t, +v): Bellesa. p. 251.04.- Discerniment Aparena Intensi Involuci (+c, +p, -t, -v): Glria. p. 251.05.- Discerniment Desparena Extensi Evoluci (+c, -p, +t, +v): Arquetip. p.

251.06.- Discerniment Desparena Extensi Involuci (+c, -p, +t, -v): Arkh. p. 251.07.- Discerniment Desparena Intensi Evoluci (+c, -p, -t, +v): Divinitat. p. 251.08.- Discerniment Desparena Extensi Involuci (+c, -p, -t, -v): Tiamat. p. 251.09.- Concerniment Aparena Extensi Evoluci (-c, +p, +t, +v):Economia. p. 251.10.- Concerniment Aparena Extensi Involuci (-c, +p, +t, -v): Acci. p. 251.11.- Concerniment Aparena Intensi Evoluci (-c, +p, -t, +v): Comunitat. p. 251.12.- Concerniment Aparena Intensi Involuci (-c, +p, -t, -v): Passi. p. 251.13.- Concerniment Desparena Extensi Evoluci (-c, -p, +t, +v): Ecologia. p.

251.14.- Concerniment Desparena Extensi Involuci (-c, +p, +t, -v): peiron. p.

251.15.- Concerniment Desparena Intensi Evoluci (-c, -p, -t, +v): Ecumene. p.

20

251.16.- Concerniment Desparena Intensi Involuci (-c, -p, -t, -v): Akaixa. p.

26.- ALGUNES APLICACIONS. p.

Teoria del coneixement: el conflicte Ment cos, Jo cervell (esquema cbic). Conflicte: experincia (sentits, verificaci tcnica i psquica) / imperincia

(nomen, verificaci tica i mstica)

Analtica: (esquema D2, aigua, esquemes D3, D4)

Definicions (exemple prctica). Eixamplament de les dimensions mentals

Pensament corb

Filosofia: el conflicte tica convencional / tica natural

Conflicte metafsic i cientifico-metafsic: els objectes de la cincia

Histria de la filosofia: (esquemes de pensament global)

Psicologia, test, cartes, procediments, orientaci professional.

Cincia (esquema).

Pedagogia.

Medicina i terpia: kata i ana plasma (esquema).

Dileg intercultural (esquema, mapa).

Teologia: el conflicte de La fe salva. s bo davisar, malgrat les aparences, que aquesta caritat catlica, que salva, s la mateixa fe protestant, que salva. La fe protestant

que est extreta de gaireb tots els escrits de Pau de Tars, no s la fe catlica, compendi

de veritats revelades; s la suma de fe, esperana i caritat en el sentit catlic i, per tant,

salvadora universal com la caritat catlica. Lequvoc entre fe catlica i fe protestant ha alimentat terribles divisions histriques, alienes al ver sentit de lAmor u i com. Iniciaci, pastoral: (esquema de diferents religions) (esquemes genrics: indiv. i coll.).

Sociologia, demtica i poltica: (cub scic).

Arquitectura, etc.

Economia i empresa (esquema tetradric).

Hipertext, diccionari i enciclopdia integrats.

Temes de llibres.