20problemesresoltsd'optimització-curs2009-10

IES “La Plana” – Castelló Francesc Beltran Castell

1

�� PROBLEMES RESOLTS D’OPTIMITZACIÓ .

1. La concentració (en mil·ligram ) d’una substància durant les tres hores en les quals ha actuat un reactiu 0 ≤≤≤≤ t ≤≤≤≤ 3, vé donada per la funció C (t) = - 2t3 + 9t2 – 11t + 8 . Troba els instants que s’aconsegueix el valor màxim i mínim de concentració.

Solució: Sabem que el valor màxim i mínim de la funció continua en l’interval [0, 3] es buscarà entre els punts següents: 1) Punts C’(t) = 0 ; 2) Punts no existeix derivada ; 3) x = 0 ; x = 3 (extrems de l’interval)

Procedirem, però, estudiant el gràfic de C(t) a partir de la taula de monotonia ja que així podrem deduir el valor màxim i mínim de la funció. Considerarem els punts C ‘ (t) = 0 ⇒ -6t2 + 18 t – 11 = 0 ⇒ t = 0.85 ; t = 2. 15

0 0< t < 0.85 0.85 0.85 < x < 2.15 2.15 2.15<x<3 3

Signe C ’ - 0 + 0 - 0

Valor C(t) min MAX

La forma del gràfic obliga a estudiar el que passa en t = 0 i en t = 3. Substituint obtenim que C(0) = 8; C(0.85) = 3.92 ; C(2.15) = 6.08; C(3) = 2 , per tant, el valor màxim s’aconsegueix quan t =0 i el valor mínim quan t = 3 (observem que no són els extrems relatius, cosa que com veurem en els exercicis successius no és lo habitual)

2. Un pastor aprofitant una paret existent de 60 metres que li servirà com a tot o una part d’un dels costats vol construir una tanca rectangular per al seu ramat. Si disposa de 100 metres de tanca i es designa x la mesura de cadascuna de les parets laterals i 100 – 2 x la mesura de la paret frontal: a) expressa l’àrea de la tanca en funció de x b) quin és el domini d’aquesta funció c) com aconseguirà la tanca d’àrea més gran ? d) Quant val aquesta àrea?

Solució: a)

Substituint, resulta Àrea = x · (100 – 2x) ⇒ f (x) = 100 x – 2 x2 b) Evidentment x >0, ja que és un problema real.

- Si agafem tota la paret y = 60; llavors 2x + 60 = 100 ; 2x = 40 ; x = 20

- També y >0; 100 – 2x >0 ; per tant x < 50 ( també es pot treure de lògica). Per tant Dom(f) = [20, 50)

c) FUNCIÓ A OPTIMITZAR f (x) = x · (100 –2x) ⇒ f (x) = 100x – 2 x2 , Domini: 20 ≤ x < 50

Es tracta d’una paràbola (cap avall). El valor màxim estarà en el vèrtex.

Càlcul del vèrtex: v

b 100x 25

2a 4

− −= = =−

; ⇒ y = 50 m.

Per tant l’àrea màxima s’aconsegueix quan el rectangle de 50 x 25.

d) ÀREA màxima = 50 ·25 = 1250 m2 o també f(25) = 100 ·25 – 2 · 252 = 1250 m2

3. Es desitja construir un celler amb forma de paral·lelepíped rectangular de 100 m3 de volum de manera que el llarg de la seua base siga 4/3 de l'amplària x de la seua base. Se sap que els preus d'un metre quadrat de sòl, sostre i de paret lateral són, respectivament, 225 €/m2, 300 €/m2 i 256 €/m2. Determinar raonadament: a) El valor x de l'amplària de la base que minimitza el cost. b) El cost mínim.

Sol: a) Si x és l’amplària de la base, el llarg de la base serà 4x/3 i si l’altura del celler la denotem . El cost del sòl,

sostre i de paret lateral vindrà donat per la funció C =

2 24 4 4225· x +300· x +256 2· x+2x y

3 3 3

Com el volum del paral·lelepíped vé donat per V = x · 4x/3 · y = 4x2y / 3 i es vol construir-ne un de 100 m3, substituint 100 =4x2y / 3 i aillant obtenim y = 75/x2

� Substituint i operant en la funció cost resulta C(x) = 2 89600700x +

x (funció racional); Domini = (0, +∞∞∞∞)

� Estudi de la funció: busquem el mínim: Monotonia Punts a considerar: 2

89600C'(x)= 1400x -

x= 0 ⇒ x = 4

0< x < 4 4 x>4

Signe C’ - 0 +

C Minim

Funció a maximitzar: AREA = x·y (depén de 2 variables)

Relació entre les variables (restriccions): 2x + y = 100 → y = 100 – 2x

Nota: També es pot resoldre a partir de la derivada: buscar els punts on f ‘(x) = 0 i fer l’estudi dels màxims i mínims.

Per tant, en x = 4 tenim el mínim absolut del cost (també és mínim relatiu) b) Substituint C(4) = 33 600 €

x x y


2

4. Volem anar del punt A al punt B atravesant nadant el canal de la figura adjunta. Si nadem a una velocitat de 1m/s i caminem a una velocitat de 2m/s, quin ha de ser el punt C per arribar a B en el menor temps possible ? I en el major temps?

� Estudi de la funció: busquem el temps mínim.

Considerem els punts t ‘ (x) = 0 → t ‘(x) = 2

2x 1-

22 1600+ x= 0 → x 40 3=

0 0 < x < 340 340 340 < x < 100 100

Signe t ’ - 0 +

t Min

- La forma del gràfic de la funció en l’interval, ens indica clarament que en x = 340 hi ha un míxim relatiu, que també és el mínim absolut de la funció.

I el valor màxim? Observant la forma de la funció i calculant els valors en x = 0 i x = 100, que donen f (0) = 90 s ; f (100) = 107,70 s. , concluim que en x = 100 m, es a dir si nada tota l’estona des de A fins a B fa com era de preveure, s’inverteix el major temps possible 5. Troba les dimensions del cilindre de volum màxim que es pot inscriure en un con de radi 25 cm. i altura 50

cm. Quin és el volum màxim?

� FUNCIÓ A MAXIMITZAR f (x) = π x2 ( 50 – 2x ), Domini: 0 < x < 25

( observem que x = 0 ; x = 25 no són realment cilindres)

� Estudi de la funció: busquem el valor màxim.

Monotonia: Punts f ‘(x) =0 → π (100x – 6x2) =0 → x = 0; 3

50=x

0< x < 50/3 50/3 x> 50/3

Signe f ’ + 0 -

f Max

. Si x = 50/3 (radi) , llavors y = 50/3 (altura). Aquest és el radi i l’altura del cilindre de volum màxim.

Substituint, resulta Vmax = f (50/3) = 125000

27

πcm3

6. En una determinat camp quan es planten 25 arbres per hectàrea el rendiment mitjà de cada arbre és de 370 fruits. D’altra banda, s’ha comprovat sobre el terreny que quan es planten més de 25 arbres per hectàrea comença a produir-se “saturació” i disminueix el rendiment de cada arbre en 10 fruits per arbre addicional plantat. Quin és el nombre òptim d'arbres que cal plantar per hectàrea per a obtenir la màxima producció? I quin nombre d’arbres s’haurien de plantar per aconseguir la mínima producció?

Solució: a)

� FUNCIÓ A OPTIMITZAR f (x) = 9250 + 120 x – 10 x2 , Domini: 0 ≤ x ≤ 37

Mesures: PC= x ; CB= 100 – x =

Funció a minimitzar: Temps ; t = 2

100

1

1600 2 xx −+

+ ; Domini 0 ≤ x ≤ 100

Dimensions del cilindre: x (radi de la base) , y (altura) Funció a maximitzar: VOLUM = π x2 y ( depén dues variables)

Relació entre les variables : Semblança de triangles x

y

−=

2525

50 ; y = 50 – 2x ;

50

25

x

y

La forma de la funció ens indica que en x = 50/3 s’aconsegueix el valor màxim de la

funció (també és màxim relatiu)

Funció a maximitzar: f(x) = (25 + x) · (370 – 10x) , sent x = nbe d’arbres addicionals que es planten: x

Restriccions: x ≥0 ; x≤37 ja que 370 – 10x ≥ 0 ; x ≤37

100 m

A

C B P

40 m

100 - x x


3

� Estudi de la funció: busquem el valor màxim. (en l’interval tancat [0, 37] ) (*)

Taula de monotonia de la funció. Punts a considerar f ‘(x) = 0 → 120–20x = 0 → x = 6

0 0< x < 6 6 6< x <37 x=37

Signe f ’ + 0 -

f 9250 MAX 0

La forma del gràfic de la funció en l’interval, ens indica clarament que el valor màxim de la funció s’aconsegueix en x = 6: és el màxim absolut de la funció i també relatiu. Per tant, el nombre òptim d’arbres per aconseguir la màxima producció serà 25 + 6 = 31 arbres.

La mínima producció s’aconseguiria quan x =37, es a dir 25 + 37 = 62 arbres.

(*) NOTA: També en tractar-se de l’estudi d’una funció en un interval tancat podríem procedir com es fa habitualment per a calcular els extrems absoluts: localitzats els punts x=0 ; x = 6; x = 37 s’obtenen els valors f (0) = 9250 ; f (6) = 9610; f (37)=0, observant-se clarament que en x = 6 hi ha el màxim i en x = 37 hi ha el valor mínim

7. Troba un punt de la paràbola y = 4 - x2 , en el que la tangent a la paràbola en aquest punt, i en el primer quadrant, determina un triangle d'àrea mínima amb els eixos.

Solució:

Designem P (a , 4- a2) , el punt de la paràbola.

La recta tangent a f en P, tindrà per equació y – (4 – a2 ) = -2·a (x – a)

Aquesta recta talla els eixos en els punts M, i N talls amb l’eix d’abscisses i ordenades respectivament.

Punt M y = 0 ; substituint x = a

aa

a

a

2

4

2

4 22 +=+− → M (

a

a

2

4 2+, 0 )

Punt N x = 0; substituint, queda y = 4 – a2 +2 a2 = 4 + a2 → N ( 0, 4 +a2 )

� FUNCIÓ A MINIMITZAR : àrea del triangle rectangle de vèrtexs OMN

Substituint, ÀREA =

22

2 24 a

·(4 a )base·alt (4 a )2a2 2 4a

+ + += = ⇒ 2 416 4

( )4

a af a

a

+ += , Domini : 0 ≤ a ≤ 2

� Estudi de la funció: busquem el mínim.

� Monotonia. Punts a considerar: 1) f ‘ (a) = 4 2

2

3 8 16

4

a a

a

+ −=0 ⇒ a = ± 2 i ; a = ± 2 3 ; 2) a = 0

0 0< a <2 3 2 3 2 3 < a ≤ 2

Signe f ’ - 0 -

f Min

Per tant el valor del triangle d’àrea mínima s’aconsegueix agafant el punt P (2 3 , 8/3). (és també mínim realtiu)

8. Es vol tancar un camp rectangular que hi ha a la vora del camí. Si la tanca que dóna al camí, que no volem de longitud inferior a 150m ni superior a 200 m, costa a 8 €/m i la dels altres costats a 1 €/m, troba l'àrea màxima de camp que es pot tancar amb 2 880 €. I quina és l’àrea mínima?

Solució: a)

FUNCIÓ A MAXIMITZAR Substituint queda f (x) = 2

22880x 9x1440x 4,5x

2

− = − , Domini: 150 ≤ x ≤ 200

Funció a maximitzar: ÀREA = x · y (depén de dos variables)

Relació entre variables: 8 x + x + y + y = 2 880 → y = 2

92880 x−

Restriccions x ≥150 ; x ≤ 200; y > 0 ; 2880 – 9x > 0 → x < 320 que no afecta ja que x ≤ 200:

x

y


4

La funció és f (x) = -4,5 x2 + 1440x ⇒ paràbola (cap avall) : el valor màxim està en el vèrtex ⇒ v

b 1440x 160

2a 9

− −= = =−

- Àrea màxima: El valor màxim de la funció s’aconsegueix en x =160 : és el màxim absolut de la funció i també relatiu. Si x = 160 m ⇒ y = 720 m. Per tant, el recinte d’àrea màxima serà de 160 x 720 m.

- Àrea mínima: Hi haurà que calcular f (150)= 11 4750 ; f(200) = 108 000 per tant, el camp d’àrea mínima tindrà dimensions de 200 x 540 m

(*) NOTA: En tractar-se de l’estudi d’una funció en un interval tancat podríem procedir així: 1) possibles extrems absoluts: x=160 (punt f’(x) = 0) i x = 150; x =200 ( extrems de l’interval) ; 2) es calculen f (160) = 115200; f (150)= 11 4750 ; f(200) = 108 000 i s’observa que en x = 160 hi ha el màxim i en x = 200 el mínim

9. Un full de paper ha de contenir 18 cm2 de text imprès. Els marges superior i inferior han de tenir 2 cm d’altura cadascun i els laterals 1 cm. Troba les dimensions del full perquè la despesa de paper siga mínima?

� FUNCIÓ A MINIMITZAR. Substituint , obtenim f (x) = 2

104 2

−+x

xx, Domini: 2 < x

� Busquem el valor mínim de la funció: Estudi de la funció. Monotonia

Punts a considerar f ‘ (x) = 0; f ‘(x) =2

2

2

2

2

544

2

1042108

)x(

)xx(

)x(

)x()x)(x(

−−−=

−−−−+

= 0 → x = 5 ; x = -1

2 < x < 5 5 x > 5

Signe f ’ - 0 +

f min

La forma del gràfic de la funció en l’interval ens indica que en x = 5 tenim el valor mínim. Si x = 5, llavors y = 10 cm. Aquestes són les dimensions del paper.

10. De tots els cilindres inscrits en una esfera de radi 1 metre troba el volum del que el tinga màxim.

Solució: Siga r el radi del cilindre inscrit, h la seua altura i V el volum. - Funció a maximitzar: Hi ha que maximitzar la funció V = π r2 h, que en principi depén de les variables r, h.

- Condició que compleixen les variables: Observem de la figura que es compleix 12 = r2 + 4

2h

Aïllant r2 = 1 - 4

2h =

4

4 2h−

� Funció a maximitzar: Substituint en la funció, resulta V = )hh( 344

−π ; 0 < h < 2

� Valor màxim de la funció. Estudi de la funció. Monotonia

Punts a considerar V’ = 0344

2 =−π)h( ⇒ 4 – 3 h2 = 0 ⇒ h = ±

3

2= ± 1.15

0< h < 32 32 h > 32

Signe V ’ + 0 -

Volum V MAX

Nota: També es pot resoldre a partir de la derivada: buscar els punts on f ‘(x) = 0 i fer l’estudi dels màxims i mínims.

Funció a minimitzar: A= x · y ; sent x , y són les dimensions del full

Relació entre les variables:

(x – 2 ) (y – 4 ) = 18 ; aïllant “y” resulta → y = 18 4x 10

4; yx 2 x 2

++ =− −

.

Altres restriccions: observar que x >2 ; y > 4

1h/2

r

La forma de la funció ens indica que si la funció pren el seu valor màxim en el seu

màxim relatiu h = 2 3 . En tal cas, r2 = 3

2

i el volúm màxim resulta, VMAX = 33

4π m3

x

y


5

11. Trobeu les dimensions del cartell d’àrea màxima amb forma de rectangle que té dos vèrtexs subjectes a una

estructura rígida parabòlica d’equació y =12 – x2 , i els altres dos vèrtexs estan situats sobre l’eix OX .

Solució: La figura ens ajuda al plantejament del problema

- Vèrtexs del rectangle sobre la paràbola (x, 12-x2) ; (-x , 12 – x2) FUNCIÓ A MAXIMITZAR: Rectangle de base 2x i altura 12 – x2

Area = 2x ·(12 – x2) ; 0 <x< 12 ; Operant queda A(x) = 24x – 2x3

- Valor màxim de la funció en el seu domini Punts a considerar A’(x) = 24 – 6x2 =0 ⇒ x = 2 ; x = -2 (aquest el rebutgem)

0< x < 2 2 2<x< 12

Signe A ’ + 0 -

Àrea MAX

12. Uns alts forns produeixen al dia x tones d’acer de baixa qualitat i 40 - 5x

10 - x tones d’acer d’alta qualitat. La

producció màxima diària d’acer de baixa qualitat és de 8 tones. Si el preu d’una tona d’acer de baixa quali-tat és de 100 euros i el preu d’una tona d’acer d’alta qualitat és de 250 euros, demostreu que s’han de pro-duir 5 tones per dia d’acer de baixa qualitat per a que el valor de venda de la producció diària siga màxim

� FUNCIÓ A MAXIMITZAR: substituint resulta f (x) = 40 - x

100x+25010 - x

, Domini: 0 ≤ x ≤ 8

� Busquem el valor màxim . Estudi de la funció (monotonia) en el seu domini

Punts a considerar: f ‘(x) = 100 - 2

2500

(10 - x)= 0 → → x = 15 (no vàlida) ; x = 5

0 0< x <5 5 5 < x < 8 8

Signe f ’ + 0 -

f Max

13. Un triangle isòsceles que té 10 cm de perímetre gira al voltant de la seua altura engendrant un con. Troba les mesures dels costats del triangle per a que el volum engendrat siga màxim.

� FUNCIÓ A MAXIMITZAR: substituint resulta f (x) = 2

π x 25 -10x

3, Domini: 0 < x < 2,5

� Busquem el valor màxim . Estudi de la funció (monotonia)

Punts a considerar: f ‘(x) = 3 4

4 5

100 x - 50xπ

6 25x -10x= 0 → 100x3 - 50x4 = 0 → x3(100 -50x) = 0 → x = 0 ; x = 2

0< x <2 2 2 < x < 2,5

Signe f ’ + 0 -

f Max

La forma del gràfic, indica que en x = 2 tenim el màxim absolut de la funció.

Si x = 2 m, llavors y = 3 m. Les dimensions del triangle isòsceles són: Base = 2x = 4 cm; costats iguals y = 3 cm.

La forma de la funció mostra que quan x = 2 tenim àrea màxima. Si x = 2 ; y = 12 – 22 = 8. Les dimensions del cartell seran 4 x 8

La forma del gràfic indica que si x =5 s’obté el valor de venda màxim ( x = 0 i x = 8 són candidats a valor mínim)

x

hy y

Dimensions del con: x (radi de la base) , h (altura) Funció a maximitzar: Volum del con ⇒ En aquest cas V = π x2 h / 3

Relació entre les variables 2x + 2 y = 10 ; x2 + h2 = y2 Operant y = 5 – x ; x2 + h2 = ( 5 – x )2; x2 + h2 = 25 – 10 x + x2 ⇒ h2 = 25 – 10 x

⇒ xh 1025 −= Restriccions: Queda clar que h existeix quan 25 – 10x > 0 ; és a dir quan x < 2,5


6

14. Atesa la funció real 2

8( )

1f x

x=

+ es demana que calculeu raonadament la pendent màxima de les rectes

tangents a la corba y = = = = f (x) (Selectivitat 2009)

Solució: La pendent de la recta tangent en un punt d’abscissa x sabem que és la derivada de la funció, o siga, f ’(x)

Per tant , hem de buscar el valor màxim de la funció g(x) = f ’ (x) = 2 2

16

(1 )

x

x

−+

Punts a considerar g’(x) = 0 ⇒ f ’’ (x) = 0 ⇒ 2

2 3

48 16

(1 )

x

x

−+

= 0 ⇒ 248 16 0x − = ⇒ x = 1/ 3 ; x = -1/ 3

x < -1/ 3 -1/ 3 -1/ 3 < x < 1/ 3 1/ 3 1/ 3 < x

Signe g ’ + 0 - 0 +

Pendent g MAX rel min rel

La forma del gràfic de la funció que s’observa en la taula no assegura en principi el màxim absolut.

Observem que g (-1/3 ) = 3 3 i lim ( ) 0x

g x→+∞

= , per tant, queda clar que en x = -1/ 3 la funció f(x) assoleix la

seua pendent màxima sent 33 el valor d’aquesta pendent. 15. A un terreny rectangular se’l vol tancar exteriorment i també dividir-lo amb tres rectangles iguals

mitjançant dues tanques divisòries paral·leles als costats més xicotets del terreny. Si únicament disposem de 80 metres de tanca, quines dimensions del terreny maximitzen l’àrea? Quant val aquesta àrea?

Solució: La figura ens ajuda al plantejament del problema

- FUNCIÓ A MAXIMITZAR: Area = 3x y ( depèn de dues variables)

- Condició que compleixen les variables 6x + 4 y = 80

Substituint, resulta A(x) = 3 x 80 6x

4

−

= 23(80x 6x )

4−

La funció és una paràbola cap avall A(x) = - 4.5 x2 + 60 x Domini = (0, 40/3 )

El valor màxim està en el vèrtex⇒ v

b 60 20x

2a 9 3

− −= = =−

.⇒ Si x = 20

3 ; y = 10 → ÀREA MÀXIMA = 200 m2

16. Una finestra té la forma de semicercle muntada sobre un rectangle. El rectangle és de cristall transparent, mentre que el semicercle és de cristall d’un color que transmet la meitat de llum per unitat d’àrea transparent. Si el perímetre total de la finestra és de 100 m, com s’ha de construir la finestra per aconseguir la major quantitat de llum?

Solució: Funció a maximitzar: Quantitat llum ⇒ Àrea total = Àrea rectangle + Àrea semicercle

Àrea total = x · y + ( )2x 21

·2 2

π = x ·y + 2x

16

π ⇒ Area total = x ·y + 0,19625 x2 (depen dos variables)

Relació entre les variables: Les variables x, y compleixen la següent equació x + 2y + 2 π (x 2)

2 = 100

Operant i aïllant y, resulta 2y = 100 – x - 2

xπ →

x xy 50 50 0,5x 0,785x

2 4

π= − − = − − → = y 50 - 1,285 x

Substituint en la funció, resulta f (x) = x·( )50 1,285x− + 20,19625x ⇒ f (x) = 50x - 1,08875 x2

És tracta d’una paràbola. El valor màxim està en evidentment el vèrtex(*) x = b 50 50

2a 2( 1,08877) 2,1775

− −= =−

= 22,96

Per tant, les mesures que permeten la major quantitat de llum són x = 22, 96 m ; Substituint y = 50 – 1.285 x = 20,4964 m (*) NOTA: El valor màxim també es podria buscar utilitzant derivades

x x x

yy yy

x x x

x

y


7

17. Amb una corda de 6 m de longitud quin és el triangle isòsceles d’àrea màxima que podem construir? Solució: Dimensions del triangle : 2x (base) , y (costats iguals)

� FUNCIÓ a optimitzar f(x)= x· 9 -6x, Domini: 0 < x < 3/2

� Busquem el valor màxim. Estudi de la funció (monotonia)

2 3f (x) 9x 6x= − ; f ‘(x) =2

2 3

18x 18x

2 9x 6x

−

−

Punts a considerar f ‘(x) =2

2 3

18x 18x

2 9x 6x

−

−= 0 → x = 0 ( no vàlid) ; x = 1

Taula de monotonia de la funció

0< x < 1 1 1 < x < 3/2

Signe f ’ + 0 -

f MAX

La forma del gràfic indica que el valor màxim de la funció s’aconsegueix en x = 1 (és també màxim relatiu)

Si x = 1 m, llavors y = 2 m. Per tant, el triangle d’àrea màxima té base 2x = 2 m i costats iguals y = 2 m, o siga un triangle equilàter.

18. a) Determineu raonadament el punt (s) del gràfic de la funció f(x) = x2 - 2x que està a distància mínima del punt P (1, 3/2 ) i el valor d’aquesta distància. b) Hi ha algun punt a distància màxima? Raoneu la resposta.

Solució: Si Q és un punt qualsevol del gràfic de f(x), tenim que Q (x, x2 – 2x )

La distancia de P a Q ve donada per l’expressió d = 2 2 2( 1) ( 2 3/ 2)x x x− + − −

Operant, resulta la següent funció a optimitzar d(x) = 4 3 24 2 4 9 / 4x x x x− + + +

- Valor mínim de la funció en el seu domini

Punts a considerar d’(x) = 0 ⇒ 4x3 – 12x2 + 4x + 4 = 0 ⇒ x = 1 ; x = 1+ 2 ; x = 1- 2

x < 1 - 2 1 - 2 1 - 2 < x <1 1 1 < x < 1+ 2 1+ 2 1+ 2 <x

Signe d ’ - 0 + 0 - 0 +

distància min rel MAX rel min rel

La forma del gràfic de la funció mostra que la distància mínima es pota conseguir en x = 1 - 2 i x = 1 + 2

Calculant, resulta d (1 - 2 ) = 3/2 i d (1+ 2 ) = 3/2

Per tant, hi ha dos punts a distància mínima, que son Q 1 ( 1 - 2 , 1 ) i Q 2 ( 1 + 2 , 1 ) La forma del gràfic que s’observa en la taula de monotonia no assegura l’existència de màxim absolut. Observem que lim ( ) ; lim ( )

x xd x d x

→+∞ →−∞= +∞ = +∞ , per tant, no hi ha cap punt a distància màxima.

Funció a maximitzar: AREA = 2x·h

= xh2

, sent h l’altura del triangle

Restriccions: 2x + 2y = 6 → y = 3 – x

y2 = h2 + x2 → h2 = y2 – x2 = 9 – 6x → h 9 6x= − x >0 ; y> 0 ; h >0 → 0 < x < 3/2

y y

2x


8

19. Considerem el triangle rectangle de vèrtexs O(0, 0), A (x, 0) i B(x, y), x >0, y >0 estant el vèrtex (x, y) sobre l’el·lipse d’equació x2 + 2y2 = 2 tal com indica la figura. Troba les coordenades del vèrtex B per a que el triangle rectangle tinga àrea màxima.

Solució:

� FUNCIÓ A MAXIMITZAR : Àrea = yx2

1, que en principi depèn de dues variables.

Substituint f (y) = 2222

1yy − = 22

y 1 y2

− ⇒ 2 4f(y)= 0'71 y - y Domini = (0, 1]

� Busquem el valor màxim . Estudi de la funció (monotonia)

f ‘ (y) = 3

2 4

2y 4y0'71

2 y y

−

− ; Punts f ‘ (y ) = 0 ⇒ 2y – 4y3 = 0 ⇒ y = 0 ; y = 2 2 0'71± = ±

Punt a considerar y = 0’71 per ser y > 0.

0 0< y < 0,71 0,71 0,71<y <1 1 Signe f ’ No ∃ + 0 - No ∃

Àrea f MAX 20. Provar que el volum de qualsevol con recte inscrit en una esfera es menor que el 30% del volum de la

mateixa. (Selectivitat Juny 2005 A) Si el con de volum màxim que podem inscriure en una esfera té un volum menor que el 30% del volum de l’esfera, estarà comprovat l’enunciat. Es tracta, per tant, bàsicament d’un problema d’optimització.

Funció a maximitzar: VOLUM DEL CON = π r2 h / 3 ⇒ V = π x2 (R + y) / 3 Relació entre les variables (restriccions): R2 = x2 + y2 ⇒ x2 = R2 - y2 Substituint, queda V = π (R2 – y2) (R + y) / 3 que és una funció de “y”

Funció a maximitzar f (y) = ( ) ( )2 2 3 2 2 3R y (R y) f (y) R R y Ry y3 3

π π− + ⇒ = + − −

Busquem el valor màxim: 2 2f '(y) (0 R 2Ry 3y )3

π= + − −

f ‘(y) = 0 → R2 – 2Ry – 3y2 = 0 Equació de 2n grau.

Solucionat l’equació 3y2 + 2Ry – R2 =0 , queda y = 2 2 y R /32R 4R 12R 2R 4R

6 6 y R

=− ± + − ±= == −

ր

ց

Valor a considerar y = R/3 ; És màxim? Ho comprovarem pel mètode de la segona derivada

f ''(y) ( 2R 6y)3

π= − − substituint R R

f '' 2R 6 03 3 3

π = − − <

Per tant és MÀXIM

El cón de volum màxim s’aconsegueix quan y = R/3, es a dir quan les seues dimensions són:

- altura h = y + R = R/3 + R = 4R/3 ; - radi base x = 2 2 2 2 2R y R R 9 8R /9 8 R /3− = − = =

Volum Con Màxim = 2 3 3 3 3 3 3 3

3 2R R R R 27R 9R 3R R 32R 32 Rf R R R

3 3 3 9 27 3 27 3 27 81

π π + − − π π = + − − = = =

Volum esfera = 34 R

3

π Relació entre els volums =

3con

3esfera

V 32 R 81 32 /81 8

V 4 / 3 274 R 3

π= = =π

= 0,296 < 30%

O A

B

Funció a maximitzar: Àrea = x · y /2 ; x , y base i altura triangle rectangle

Relació entre les variables : x2 + 2y2 = 2 ;x2 = 2 - 2y2 ; x = 222 y−±

La forma de f indica que el seu valor màxim és y = 2 2 0'71=

⇒ Si y = 2 2 0'71= , x = 1 ;

per tant el vèrtex B(1, 2 2)

R

R

yx

20problemesresoltsd'optimització-curs2009-10

Documents