1

OBJETIVOS:1. Definir unidad imaginaria.2. Conocer y simplificar potencias de

i.3. Definir el conjunto de los números

complejos.4. Operar con los números complejos.

2

DEFINICIÓN:Los Números Imaginarios surgende la necesidad de resolver ecuacionescuadráticas sin solución en el campo real.Este conjunto se representa por I

Este conjunto posee elementos que se obtienen a partir deraíces cuadradas con cantidad subradical negativa.

3

7 3 2 3 10

4

Definición:Entenderemos como Unidad Imaginaria a:

La que se conoce como Raíz Imaginaria.i= -1

Nota: 2i =-1

NÚMEROS IMAGINARIOS

Luego:

16

16 1

16 1

4i

E inventaron un número cuyo cuadrado es -1 después del año 1777, Euler lo denominó con la

letra “i”.

2i = -1

Calcule las siguientes raíces: 4 1

11 i

25 1

7

1) 4

2) 25

3) 12

4) 11

i2

i5

2 3 i4 3 1

Raíces pares de Números Negativos

NÚMEROS COMPLEJOS

Hallar los números reales que verifican que lasuma entre el quíntuplo de su cuadrado y 20, esigual a cero.

En símbolos:

25 20 0x

NÚMEROS COMPLEJOS

Al resolver la ecuación obtenida, nos damoscuenta que la raíz cuadrada de un númeronegativo no existe en los reales, por lo tantoesta ecuación no tiene solución en este conjunto,es decir que no existe ningún número real queresuelva este problema.

(Sin solución real)

25 20 0x

NÚMEROS COMPLEJOS

Para que la ecuación anterior tenga solución, losmatemáticos buscaron una ampliación delconjunto de los Números Reales (IR).

A este Conjunto se definió como losNúmeros Complejos:

/ , ;a bi a bi I

11

© copyw

riter

i) Los números reales y losimaginarios están incluidos enel conjunto ampliado.ii) Las propiedades delconjunto real se siguencumpliendo en el conjuntoampliado.

Sus características son:

NÚMEROS COMPLEJOS

Se llama número complejo a un número “z”que puede escribirse de la forma

a y b son números reales Al número a se le llama parte real (a=Re[z]) Al número b se le llama parte imaginaria

(b=Im[z])

z=a+bi

a + b i ( a , b )

IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS: Dos Números complejos son iguales si y sólo si,

tienen igual parte real e igual parte imaginaria

si

Entonces: 1 2z =z

1 2 1 2Re z =Re z Im z =Im z

Ó sí a + bi = c + di entonces a = c y b = d.

Ejemplos de Números Complejos:

14

i35)1

i47)2

i61)3

i5)4

7)5

15

81)5 1 4 2 1

1 2 2 i

1 4 2 1

Ejemplo:Determine el valor de y de si

16

ibia 5626

66Si a 2 5y b

0a2

5b

a b

OPERACIONES CON NÚMEROSCOMPLEJOS

17

a bi c di 1.Suma:

idbca

Ej 5em 1: 6plo 2 i i

5 6 1 2 i

i11

18

a bi c di 2.Resta:

idbca

3Ejemplo 1: 2 6 3 i i

3 2 6 3i i

9 5i

a bi c di

Obs:La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraendo.

19

Ejemplo 2 : 8 18 5 50

8 3 2 5 5 2i i

8 3 2 5 5 2i i

3 8 2 i

20

a bi c di 3.Multiplicación:

ac bd ad bc i

Nota: La multiplicación se puede llevar a cabo comosi fuera una multiplicación de polinomios.

a bi c di ac ad i bc i 2bd i

1ac ad bc i bd

ac bd ad bc i

21

Ejemplo 1: 4 2 3 5 i i21062012 iii

1 2 1 4 1 0i

i1422

12 20 6 10 1i i

22

2Ejemplo 2: 4 5 i

254016 i

i409

4 5 4 5i i 21 6 2 0 2 0 2 5i i i

1 6 4 0 2 5 1i

23

3Ejemplo 3: 2 3 i

46 9i

22 3 2 3i i

2 4 12 9 2 3i i i

4 12 9 1 2 3i i

4 12 9 2 3i i 5 12 2 3i i

210 15 24 36i i i 10 15 24 36i i

24

.El conjugado de

Conjugado de un C

z=a+bi sedefin

ompl

e po

ejo:Definició

r Z=a+bi=an

-bi:

E n c u e n t r a e l c o n j u g a d o d e c a d a

E j e m p lo

n ú m

s :

e r o :

1. 2 4

2. 2 4

3. 64

4. 12 24

5. 13

i

i

i

i

i42

2 4i

64i

12 24i

13

25

8 7:

1 3

i

i

Ejemplo 1

(8 7 ) •(1 3 )

(1 3 )

(1 3 )

ii

i i

2

2

91

217248

i

iii

La División se hace multiplicando por el conjugadodel denominador. (similar a la racionalización)

a bi

c di

4.División: .

a bi c di

c di c di

26

8 17 21 1

1 9 1

i

8 17 21

1 9

i

10

1729 i

i10

17

10

29

27

4 5:

3

i

i

Ejemplo 2 (4 5 ) •

3

3

3i i

i i

2

2

9

1512

i

ii

9

1512

i

28

9

1512

i9

15

9

12

i

3

5

3

4 i

i3

4

3

5

Ejercicios:Resuelve la operación indicada.

29

1) 5 7 2i i

2) 3 12 6 3i i

3) 12 23 16 13i i

4) 13 32 36 53i i

5) 3 2 6 3i i

30

6) 5 7 2i i

7) 3 12 6 3i i

1 28)

6 3

i

i

3 29)

6 3

i

i

31

1) 5 7 2i i 12 i

2) 3 12 6 3i i

3 12 6 3 i i 3 15 i

3) 12 23 16 13i i

12 23 16 13 i i 28 36 i

32

4) 13 32 36 53i i 49 21 i

5) 3 2 6 3i i 218 9 12 6 i i i

18 21 6 1 i12 21 i

6) 5 7 2i i 235 10 7 2 i i i35 3 2 i

37 3 i

33

7) 3 12 6 3i i 218 9 72 36 i i i

18 63 36 i54 63 i

1 28)

6 3

i

i

1 2 6 3

6 3 6 3

i i

i i

2

2

6 3 12 6

36 9

i i i

i6 9 6

36 9

i 12 9

45

i 4 3

15

i

34

3 29)

6 3

i

i3 2 6 3

=6 3 6 3

i i

i i

218 9 12 6 =

36 9

i i i

18 3 6 =

36 9

i

24 3 =

45

i 8 =

15

i

REPRESENTACIÓN GRÁFICA: Para representar un número complejo, de la

forma se utiliza un sistema de coordenadasrectangulares, en el cual la parte real serepresenta en el eje horizontal y la imaginaria enel eje vertical.

Obs:

a + b i

a + b i ( a , b )

Ejemplos:

Módulo de un Complejo: Es la distancia entre el origen y el punto que representa

al número complejo. El módulo de un número complejo

está definido como:

Ejemplo: 2 2a+ bi = a + b

2 2(-4) +2 = 20=2 5-4+2i

a + b i

POTENCIAS DE I:1. Divida el exponente por 4 y el resultado será elevado al resto de

la división.2. luego para simplificar use;3. Sí

39

2i =-1 3 2 i = i i = - 1 i = - i

4 2 2 i =i i = -1 -1 =1Este último resultado hace que las potencias de “i”solotengan como resultados a: i, -i, 1 y -1

0i = 11i = i

n 4m+p pi =i =ii= -1

EJEMPLOS:

40

4 1 2 2 1i i

6 : 4 1

2

4 2 3 3i i i 111)i

5402) i 4 135 0 0 1i i

11: 4 2

3

540 : 4 135

14

020

0

63)i

3i

41

134) i i

2275) i i

2856) i 1

i

11277) i i

285 4 71 1

i1127 4 281 3

3i