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INTEGRAL DEFINIDA

Dada una función () y un intervalo [,], la integral definida es igual al área limitada

entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales = = .

La integral definida se representa por ∫ () .

∫ es el signo de integración.

límite inferior de la integración.

límite superior de la integración.

() es el integrando o función a integrar.

es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de

integración.

()

= − ()

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero .

()

= 0

3.

Si c es un punto interior del intervalo [,], la integral definida se descompone

como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [,] y [,].

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()

= ()

+ ()

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

( () +())

= ()

+ ()

5.

La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante

por la integral de la función.

∙ ()

= ()

PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO:Sea f un función continua en a;b . La función g definida por:

x

a

g(x) f(t)dt; a x b

es continua en a;b ; derivable en a;b y

g'(x) f(x)

Consecuencia:

Sif

es continua en ℝ, g y h son diferenciables en ℝ se tiene:

g(x)

a

df(t)dt f g(x) g '(x) x

dx

La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un

intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función

primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

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ALICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

I. AREA DE UNA REGION COMPRENDIDA ENTRE UNA CURVA:

Si f(x) es una función continua en el intervalo a;b

entonces el área limitada por la gráfica de f(x) , el

eje x

y las rectas verticales x a

e y b viene dada

por:

b

a

Área f(x) dx

Ejemplos:

1. Hallar el área de la región limitada por la curva 2

f(x) x 3 5 , el eje x y las

rectas x 1 y x 4 .

Solución:

El valor del área bajo la curva se determina por:

b

a

Área f(x)dx

Donde:

a. 2

f(x) x 3 5

b. a 1 b 4

Entonces:

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44 3 3 3

2

1 1

2

(x 3) 1 ( 2)Área (x 3) 5 dx 5x 20 5

3 3 3

12 u

2.

Hallar el área de la región limitada entre el eje x y por la curva 2f(x) 4 4x 3x .

Solución:

Hallemos los puntos de intersección de la función 2

f(x) 4 4x 3x con el eje x .

Para esto hacemos f(x) 0 , es decir:

2

4 4x 3x 0

2 3x 2 x 0

2 x x 2

3

El valor del área bajo la curva se determina por:

b

a

Área f(x)dx

Donde:

a. 2

f(x) 4 4x 3x

b.

2a b 2

3

Entonces:

2 2

2 2 3

2/32/3

2 32 3

2

Área 4 4x 3x dx 4x 2x x

2 2 28 2 2 2 4 2

3 3 3

9.48 u

3. Hallar el área de la región limitada por el eje de coordenadas y la curva

2x y y 1 .

Solución:

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Hallemos los puntos de intersección de la función

2x f(x) y y 1

con el eje y . Para esto hacemos

x 0 , es decir:

2y y 1 0

y 0 y 1

Según la gráfica observamos que la función f(y)

es

negativa, es decir f(y) 0 , entonces el valor del área

bajo la curva se determina por:

d

c

Área f(y)dy

Donde:

a.

2

f(y) y y 1 b. c 0 d 1

Entonces:

1

1 1 4 32 3 2

0 0 0

4 3 4 3

y yÁrea y y 1 dy y y dy

4 3

1 1 0 0 1 1

4 3 4 3 4 3

1 1 unidades cuadradas12 12

4. Hallar el área de la región limitada por la curva

2x 9 4y y el eje y .

Solución:

Hallemos los puntos de intersección de la función

21f(y) 4 y

9 con el eje y . Para esto hacemos f(y) 0 , es

decir:

214 y 0

9

1 1 2 y 2 y 0

3 3 y 6 y 6

Donde:

a.

21f(y) 4 y

9

b. c 6 d 6

Entonces:

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6

6 6 3 3 32 2

6 0 0

2

1 1 y 6 0Área 4 y dy 2 4 y dy 2 4y 2 4 6 4 0

9 9 27 27 27

32 u

Área de una Región limitada por la gráfica de una función que cambia de signo en el

intervalo a;b

Entonces:

b c d b

a a c d

f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx

Como el área de una región siempre es

positiva, entonces tenemos que:

c d b

1 2 3

a c d

A f(x)dx; A f(x)dx y A f(x)dx = + +

Ejemplos:

5. Hallar el área de la región comprendida entre el eje x, la gráfica de 3 2

y x x 6x y

2 x 3 .

Solución:

Hallemos los puntos de intersección entre la función

3 2y x x 6x y el eje x. Para esto hacemos y 0 , es decir:

3 2x x 6x 0

2

x x x 6 0

x x 3 x 2 0

x 0 x 2 x 3 Estos puntos dividen al intervalo 2;3 en dos subintervalos:

2;0 0;3 . En

la gráfica de

3 2y x x 6x observamos que:

a. La función

3 2y x x 6x es positiva en el intervalo 2;0 . Entonces el área de

la región sombreada 1A se determina por:

0

3 2

1

2

A x x 6x dx

b. La función

3 2y x x 6x es negativa en el intervalo 0;3 . Entonces el área de

la región sombreada 2A se determina por:

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3

3 2

2

0

A x x 6x dx

Entonces, el área de la región sombreada en el intervalo 2;3 se determina por:

0 3

3 2 3 21 2

2 0

0 34 3 2 4 3 2

2 0

2

Área A A x x 6x dx x x 6x dx

x x x x x x6 6

4 3 2 4 3 2

8 810 4 12 9 27

3 4

16 81 +36

3 4

= 21.08 u

II. AREA DE UNA REGION COMPRENDIDA ENTRE DOS O MAS CURVAS:

AREA ENTRE DOS CURVAS

Sean f

y g

dos funciones continuas en el intervalo a;b

tal que se cumpla

f(x) g(x) x a;b . Entonces, el área de la región limitada por las gráficas de f y g

y

las rectas x a x b está dada por:

b

a

Área f(x) g(x) dx

Veremos dos casos. El primero de ellos cuando las funciones dependen de x y cuando

las funciones dependen de y .

Sean y f(x) e y g(x)

dos funciones continuas en

el intervalo

a;b

tal que se cumpla

f(x) g(x) x a;b . Entonces, el área de la región

limitada por las gráficas de f

y g

y las rectas

x a x b está dada por:

b

a

Área f(x) g(x) dx

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Sean x f(y) y x g(y)

dos funciones continuas en el

intervalo c;d tal que se cumpla

f(y) g(y) y c;d . Entonces, el área de la región

limitada por las gráficas de f y g

y las rectas

y c y d está dada por:

d

c

Área f(y) g(y) dy

6. Hallar el área de la región comprendida entre las gráficas de

2f(x) 4 3x y

g(x) 2x 4 .

Solución:

Los límites de integración serán los puntos donde se

intersectan las gráficas de las funciones. Hallando los puntos

donde las funciones se intersecten

2

4 3x 2x 4

2

3x 2x 0

x 3x 2 0

2

x x 03

El valor del área encerrada por las funciones f(x) y g(x) se determina por:

0

0 0 32 2

2/3 2/3 2/3

2

xÁrea f(x) g(x) dx 4 3x (2x 4) dx x

3

4 80

9 27

4 u

27

EJERCICIOS PROPUESTOS

En los siguientes ejercicios, esboce la gráfica y calcule el área de la región bajo la curva.

1. y 2x 3; x 1;2

2. y 2x 4; x 2;4

4. 2y 3x 2; x 1; 2

5. 2y x x; x 0;1

7. x

y ; x 0;1x 1

8. y sin x; x 0; 2π

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3. 2

y 3x 2; x 0;3

6. 2

y ; x 1;e 1x 1

En los siguientes ejercicios, esboce la región acotada por las gráficas de las funciones y

calcule su área. 1. 2

y x 2x 1, y 3x 3

2.

2y 4x e y 2x 4

3. y x, y 2 x, y 0

4. y 3x 1, g(x) x 1

5.

3 2y x 3x 10x , y 6x .

6. 3 2 2y 3x x 10x, y x 2x

7. 2x 3 y , x y 1

8. 2x y , x 2 y

9. π 5π

y sen(x), y cos(x), x4 4

10.

2x , x 2

f (x) x 0, x 3x 6, x 2

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