2014_espacio de estados

Notas de clase: profesora Lucelly Reyes 1

Espacio de estados

Una representación de espacios de estados es un modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. Un sistema complejo posee muchas entradas y muchas salidas que se relacionan entre sí de una forma complicada. Para analizar un sistema de este tipo es esencial reducir la complejidad de las expresiones matemáticas, y desde este punto de vista el enfoque en ecuaciones de estados es el más conveniente para el análisis de estos sistemas.

Definimos en primer lugar el concepto de estado, el estado de un sistema dinámico es el conjunto de variables más pequeño (llamadas variables de estado), de forma que el conocimiento de estas variables en 𝑡 ≥ 𝑡 , junto con el conocimiento de la entrada para 𝑡 ≥ 𝑡 , determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier 𝑡 ≥ 𝑡 .

Se debe tener en cuenta que las variables de estado no necesitan ser físicamente medibles o cantidades observables, tal libertad en la elección de las variables de estado es una ventaja de los métodos en el espacio de estados. Sin embargo en la práctica es conveniente seleccionar para las variables de estado cantidades físicamente medibles, si esto es posible, porque las leyes de control en el espacio de estados requerirán realimentar todas las variables de estado con una ponderación adecuada.

Las ecuaciones de estado, son el conjunto de ecuaciones que describen la dinámica de un sistema mediante la relación entre las variables de entrada, las variables de salida y las variables de estado. El modelado de sistemas dinámicos en el espacio de estados permite describir el comportamiento de todo tipo de sistemas; SISO, MIMO, lineales, no lineales, invariantes, variantes,…. La descripción genérica para las ecuaciones de estado es

�̇� (𝑡) = 𝑓 𝑥 (𝑡), 𝑥 (𝑡), … , 𝑥 (𝑡); 𝑢 (𝑡), 𝑢 (𝑡), … , 𝑢 (𝑡); 𝑤 (𝑡),𝑤 (𝑡), … ,𝑤 (𝑡)

En donde 𝑖 = 1,2, . . , 𝑛. La i-ésima variable de estado se representa por 𝑥 (𝑡); 𝑢 (𝑡) denota la j-ésima entrada para 𝑗 = 1,2, . . , 𝑝. y 𝑤 (𝑡) denota la k-ésima entrada de perturbación, con 𝑘 = 1,2, . . , 𝑣.


Sean las variables 𝑦 (𝑡), 𝑦 (𝑡), … 𝑦 (𝑡) las q variables de salida del sistema. En general, las variables de salida son funciones de las variables de estado y de las variables de entrada. Ejemplo Levitador magnético

En el sistema se regula el valor de la corriente 𝑖(𝑡) del circuito del electroimán, de tal forma que la esfera se mantenga suspendida a una distancia constante 𝑥, del electroimán. La tensión o voltaje aplicado al circuito es 𝑉(𝑡) y actúa como variable de control. Las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico del sistema son:

𝑚𝑑 𝑥(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑚𝑔 − 𝑓 (𝑥, 𝑡)

𝑉(𝑡) = 𝐿 ( ) + 𝑅 𝑖(𝑡) 𝑓 (𝑥, 𝑡) = 𝐶 ( )( )

Donde 𝑖(𝑡) es la corriente del circuito y 𝑥(𝑡) es el desplazamiento de la esfera medido desde el electroimán, L es la inductancia de la bobina del electroimán, C es una constante conocida y 𝑓 (𝑥, 𝑡) es la fuerza de atracción que ejerce el magneto sobre la esfera. Un levitador magnético de un grado de libertad es un sistema SISO, así que únicamente tendremos una variable de entrada y una variable de salida. La variable de entrada siempre será la tensión de entrada al circuito y la variable de salida siempre será la altura. Ahora faltaría definir las variables de estado para tener la representación del sistema en el Espacio de Estados, y para un levitador magnético genérico habitualmente se escogen las siguientes

𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑥 = 𝑑𝑥(𝑡)𝑑𝑡 , 𝑥 = 𝑖(𝑡)

Tomando la entrada 𝑢 como el voltaje aplicado a la bobina y la salida 𝑦 como el desplazamiento de la esfera, el sistema queda descrito por el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden:

�̇� = 𝑥 , �̇� = 𝑔 − , �̇� = − 𝑥 , 𝑦 = 𝑥


Representación de las ecuaciones de estado Las ecuaciones de salida se pueden expresar como:

𝑦 (𝑡) = 𝑔 𝑥 (𝑡), 𝑥 (𝑡), … , 𝑥 (𝑡); 𝑢 (𝑡), 𝑢 (𝑡), … , 𝑢 (𝑡); 𝑤 (𝑡),𝑤 (𝑡), … ,𝑤 (𝑡)

En donde 𝑗 = 1,2, . . , 𝑞. En conjunto las n ecuaciones de estado y las q ecuaciones de salida forman las ecuaciones dinámicas del sistema. Por facilidad de expresión y manipulación, es conveniente representar las ecuaciones dinámicas en forma matricial. Se definen los siguientes vectores:

�⃗�(𝑡) =⎣⎢⎢⎢⎡𝑥 (𝑡)𝑥 (𝑡)..

𝑥 (𝑡)⎦⎥⎥⎥⎤, �⃗�(𝑡) =

⎣⎢⎢⎢⎡𝑢 (𝑡)𝑢 (𝑡)..

𝑢 (𝑡)⎦⎥⎥⎥⎤

Vector de estado (𝑛𝑥1) Vector de entrada (𝑝𝑥1)

�⃗�(𝑡) =

⎣⎢⎢⎢⎡𝑦 (𝑡)𝑦 (𝑡)..

𝑦 (𝑡)⎦⎥⎥⎥⎤, �⃗�(𝑡) =

⎣⎢⎢⎢⎡𝑤 (𝑡)𝑤 (𝑡).

.𝑤 (𝑡)⎦

⎥⎥⎥⎤

Vector de salida (𝑞𝑥1) Vector de perturbación (𝑣𝑥1)

Mediante la utilización de estos vectores, las n ecuaciones anteriores se pueden expresar en formato matricial.

𝑑�⃗�(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓 �⃗�(𝑡), �⃗�(𝑡), �⃗�(𝑡)

�⃗�(𝑡) = 𝑔 �⃗�(𝑡), �⃗�(𝑡), �⃗�(𝑡)


Ejemplo Levitador magnético

Las ecuaciones de estado se pueden escribir como:

�̇⃗�(𝑡) =�̇� (𝑡)�̇� (𝑡)�̇� (𝑡)

=

⎣⎢⎢⎢⎡

𝑥𝑔 − 𝐶

𝑚𝑥𝑥

𝑢𝐿 −

𝑅𝐿 𝑥 ⎦

⎥⎥⎥⎤=

𝑓 𝑥, 𝑖(𝑡)𝑓 𝑥, 𝑖(𝑡)𝑓 𝑥, 𝑖(𝑡)

𝑦(𝑡) = 𝑥 (𝑡)

Linealización Aunque casi todo sistema real tiene características no lineales, muchos sistemas pueden describirse razonablemente por modelos lineales al menos dentro de ciertos rangos de operación. Como normalmente un sistema de control opera en las cercanías de un equilibrio, se hace una linealización alrededor de este equilibrio. El resultado es un modelo lineal, mucho más simple, pero adecuado para el diseño de control. Para un mismo sistema no lineal, la linealización alrededor de distintos puntos de equilibrio dará, en general, distintos modelos linealizados. Consideramos la linealización del modelo general en ecuaciones de estado

𝑑�⃗�(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓 �⃗�(𝑡), �⃗�(𝑡), �⃗�(𝑡)

�⃗�(𝑡) = 𝑔 �⃗�(𝑡), �⃗�(𝑡), �⃗�(𝑡) alrededor de un punto de equilibrio, o punto de operación. Un punto de equilibrio está definido por un conjunto de valores constantes (𝑥∗, 𝑢∗, 𝑤∗, 𝑦∗) que satisfacen las ecuaciones de estado.

0 = 𝑓(𝑥∗, 𝑢∗, 𝑤∗)

𝑦∗ = 𝑔(𝑥∗, 𝑢∗, 𝑤∗) Vamos a considerar la linealización del sistema alrededor de un punto de equilibrio (alternativamente, también podría ser alrededor de una trayectoria).


Si las funciones f y g son suficientemente regulares, las ecuaciones de estado pueden aproximarse por

�̇�(𝑡) ≈ 𝑓(𝑥∗, 𝑢∗, 𝑤∗) + 𝜕𝑓𝜕𝑥 𝑥∗,𝑢∗,𝑤∗

∆𝑥(𝑡) + 𝜕𝑓𝜕𝑢 𝑥∗,𝑢∗,𝑤∗

∆𝑢(𝑡) + 𝜕𝑓𝜕𝑤 𝑥∗,𝑢∗,𝑤∗

∆𝑤(𝑡)

𝑦(𝑡) ≈ 𝑔(𝑥∗, 𝑢∗, 𝑤∗) + 𝜕𝑔𝜕𝑥 𝑥∗,𝑢∗,𝑤∗

∆𝑥(𝑡) + 𝜕𝑔𝜕𝑢 𝑥∗,𝑢∗,𝑤∗

∆𝑢(𝑡) + 𝜕𝑔𝜕𝑤 𝑥∗,𝑢∗,𝑤∗

∆𝑤(𝑡)

Donde ∆𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡) − 𝑥∗ , ∆𝑢(𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝑢∗ y ∆𝑤(𝑡) = 𝑤(𝑡) −𝑤∗

Como 𝑓(𝑥∗, 𝑢∗, 𝑤∗) = 0 = �̇�∗ y 𝑔(𝑥∗, 𝑢∗, 𝑤∗) = 𝑦∗, se obtiene finalmente el sistema linealizado

∆�̇�(𝑡) = 𝜕𝑓𝜕𝑥 ∗, ∗, ∗

∆𝑥(𝑡) + 𝜕𝑓𝜕𝑢 ∗, ∗, ∗

∆𝑢(𝑡) + 𝜕𝑓𝜕𝑤 ∗, ∗, ∗

∆𝑤(𝑡)

∆�̇�(𝑡) = 𝐴∆𝑥(𝑡) + 𝐵∆𝑢(𝑡) + 𝐸∆𝑤(𝑡)

𝑦(𝑡) ≈ 𝑦∗ + 𝜕𝑔𝜕𝑥 ∗, ∗, ∗

∆𝑥(𝑡) + 𝜕𝑔𝜕𝑢 ∗, ∗, ∗

∆𝑢(𝑡) + 𝜕𝑔𝜕𝑤 ∗, ∗, ∗

∆𝑤(𝑡)

∆𝑦(𝑡) = 𝐶∆𝑥(𝑡) + 𝐷∆𝑢(𝑡) + 𝐻∆𝑤(𝑡) Donde A;B;C;D;E;H son las matrices Jacobianas de f y g evaluadas en el punto de operación.

𝐴 = 𝜕𝑓𝜕𝑥 ∗, ∗, ∗

, 𝐵 = 𝜕𝑓𝜕𝑢 ∗, ∗, ∗

, 𝐸 = 𝜕𝑓𝜕𝑤 ∗, ∗, ∗

𝐶 = 𝜕𝑔𝜕𝑥 ∗, ∗, ∗

, 𝐷 = 𝜕𝑔𝜕𝑢 ∗, ∗, ∗

, 𝐻 = 𝜕𝑔𝜕𝑤 ∗, ∗, ∗

Si las variables de estado son escalares entonces A,B,C,D,E y H son también escalares y representan las pendientes de las superficies f y g en el punto de operación. En sistemas directamente lineales las ecuaciones de estado se pueden expresar como

𝑑�⃗�(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐴�⃗�(𝑡) + 𝐵�⃗�(𝑡) + 𝐸�⃗�(𝑡)


�⃗�(𝑡) = 𝐶�⃗�(𝑡) + 𝐷�⃗�(𝑡) + 𝐻�⃗�(𝑡)

Donde:

𝐴 =𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎

⋮ ⋱ ⋮𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎

, 𝐵 =⎣⎢⎢⎡𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏

⋮ ⋱ ⋮𝑏 𝑏 ⋯ 𝑏 ⎦

⎥⎥⎤, 𝐶 =

𝑐 𝑐 ⋯ 𝑐 𝑐 𝑐 ⋯ 𝑐

⋮ ⋱ ⋮𝑐 𝑐 ⋯ 𝑐

𝐷 =⎣⎢⎢⎡𝑑 𝑑 ⋯ 𝑑 𝑑 𝑑 ⋯ 𝑑

⋮ ⋱ ⋮𝑑 𝑑 ⋯ 𝑑 ⎦

⎥⎥⎤, 𝐸 =

𝑒 𝑒 ⋯ 𝑒 𝑒 𝑒 ⋯ 𝑒

⋮ ⋱ ⋮𝑒 𝑒 ⋯ 𝑒

, 𝐻 =ℎ ℎ ⋯ ℎ ℎ ℎ ⋯ ℎ

⋮ ⋱ ⋮ℎ ℎ ⋯ ℎ


�̇� (𝑡)�̇� (𝑡)�̇� (𝑡)

=

⎣⎢⎢⎢⎡

𝑥𝑔 − 𝐶

𝑚𝑥𝑥

𝑢𝐿 −

𝑅𝐿 𝑥 ⎦

⎥⎥⎥⎤=

𝑓 (𝑥, 𝑖(𝑡))𝑓 (𝑥, 𝑖(𝑡))𝑓 (𝑥, 𝑖(𝑡))

, 𝑦(𝑡) = 𝑥 (𝑡)

𝐴 =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡𝑑𝑓𝑑𝑥

𝑑𝑓𝑑𝑥

𝑑𝑓𝑑𝑥

𝑑𝑓𝑑𝑥

𝑑𝑓𝑑𝑥

𝑑𝑓𝑑𝑥

𝑑𝑓𝑑𝑥

𝑑𝑓𝑑𝑥

𝑑𝑓𝑑𝑥 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎤

=

0 1 02𝐶𝑚

𝑥𝑥 0 −2𝐶

𝑚𝑥𝑥

𝑑𝑓𝑑𝑥

𝑑𝑓𝑑𝑥

𝑑𝑓𝑑𝑥 , ,

=

0 1 02𝑔𝑥 0 −2 𝐶𝑔

𝑚𝑥

0 0 −𝑅𝐿

𝐵 =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡𝑑𝑓𝑑𝑢𝑑𝑓𝑑𝑢𝑑𝑓𝑑𝑢 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

=001𝐿, 𝐶 = 𝜕𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑥

𝜕𝑦𝜕𝑥 = [1 0 0]


Solución de la ecuación de estado

La solución de la ecuación diferencial �̇⃗�(𝑡) = 𝐴�⃗�(𝑡) + 𝐵�⃗�(𝑡) + 𝐸�⃗�(𝑡), correspondiente a un sistema multivariable de cualquier orden lineal, es la suma de una solución homogénea y una solución particular.

�̇⃗�(𝑡) = 𝐴�⃗�(𝑡) + 𝐵�⃗�(𝑡) + 𝐸�⃗�(𝑡)

Parte homogénea Funciones de excitación

La solución homogénea se obtiene a partir de la ecuación del sistema libre:

�̇⃗�(𝑡) = 𝐴�⃗�(𝑡) Donde 𝑢(𝑡) = 0, �⃗�(𝑡) = 0 Matriz de transición de estado La matriz de transición de estado se define como una matriz que satisface la ecuación de estado lineal homogéneo:

�̇⃗�(𝑡) = 𝐴�⃗�(𝑡) Sea 𝜑(𝑡) una matriz de (𝑛𝑥𝑛) que representa la matriz de transición de estado; entonces debe satisfacer la ecuación:

�̇�(𝑡) = 𝑨𝝋(𝑡) Aún más, sea 𝑥(0) el estado inicial en 𝑡 = 0; entonces 𝜑(𝑡) también se define mediante la ecuación matricial:

�⃗�(𝑡) = 𝝋(𝑡)�⃗�(0)

Solución de la ecuación homogénea para 𝑡 ≥ 0. Una forma de determinar 𝝋(𝑡) es tomar la transformada de Laplace en ambos miembros de la ecuación siguiente

𝑑�⃗�𝑑𝑡 = 𝐴�⃗�(𝑡) ⇒ 𝑠𝑿(𝑠) − 𝒙(0) = 𝑨𝑿(𝑠)

(𝑠𝑰 − 𝑨)𝑿(𝑠) = 𝒙(0) 𝑿(𝑠) = (𝑠𝑰 − 𝑨) 𝒙(0)

Se observa que

𝝋(𝑠) = (𝑠𝑰 − 𝑨)


donde 𝝋(𝑠) = ℒ{𝝋(𝑡)}. Por tanto, para obtener la matriz de transición, nos esforzaremos en encontrar 𝝋(𝑠) y entonces simplemente tomaremos la transformada inversa de Laplace para encontrar 𝝋(𝑡)

𝒙(𝑡) = ℒ {𝝋(𝑠)}𝒙(0) = ℒ (𝑠𝑰 − 𝑨) 𝒙(0) 𝑡 ≥ 0

𝝋(𝑡) = ℒ (𝑠𝑰 − 𝑨) Las condiciones de que (𝑠𝑰 − 𝑨) exista son:

1. (𝑠𝑰 − 𝑨) es una matriz cuadrada 2. (𝑠𝑰 − 𝑨) debe ser singular, esto implica que el determinante es igual a cero. 3. 𝑆𝑖 (𝑠𝑰 − 𝑨) existe, la matriz inversa está dada por:

(𝑠𝑰 − 𝑨) = 𝐴𝑑𝑗 (𝑠𝑰 − 𝑨)|𝑠𝑰 − 𝑨|

El valor del determinante se halla obteniendo los menores y cofactores de los determinantes. Cofactor de 𝑎 = 𝛼 = (−1) 𝑀 donde 𝑀 es el menor de 𝑎 .

det 𝐴 = 𝑎 𝛼 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑔𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎, 𝑜

La matriz adjunta de una matriz cuadrada A se forma remplazando cada elemento 𝑎 por el cofactor 𝛼 y transponiéndolo. Por tanto, La inversa de A esta dada por:

𝑨 = 𝐴𝑑𝑗 (𝑨)|𝑨| =

𝛼 𝛼 ⋯ 𝛼𝛼 𝛼 ⋯ 𝛼⋮ ⋮ ⋯ ⋮

𝛼 𝛼 ⋯ 𝛼𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎⋮ ⋮ ⋯ ⋮

𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎

=

𝛼 𝛼 ⋯ 𝛼𝛼 𝛼 ⋯ 𝛼⋮ ⋮ ⋯ ⋮

𝛼 𝛼 ⋯ 𝛼∑ 𝑎 𝛼

Otra forma de resolver la ecuación de estado homogénea es suponer una solución como en el método clásico de solución de ecuaciones diferenciales lineales.


𝑑𝑥(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐴𝑥(𝑡) → 𝑥(𝑡) = 𝑥(0)𝑒

Esto implica para la ecuación de estados

�⃗�(𝑡) = 𝑒𝑨 �⃗�(0) Para 𝑡 ≥ 0, donde 𝑒𝑨 representa la siguiente serie de potencias de la matriz 𝑨𝑡, y

𝑒𝑨 = 𝑰 + 𝑨𝑡 + 12!𝑨 𝑡 + 1

3!𝑨 𝑡 + ⋯

Obteniéndose una nueva expresión para la matriz de transición de estado:

�̇�(𝑡) = 𝑨𝝋(𝑡) → 𝝋(𝑡) = 𝑒𝑨 = 𝑰 + 𝑨𝑡 + 12!𝑨 𝑡 + 1

3!𝑨 𝑡 +⋯

Debido a que la matriz de transición de estado satisface la ecuación de estado homogénea, representa la respuesta libre del sistema. En otras palabras, gobierna la respuesta que es debida a las condiciones iniciales solamente. La matriz de transición de estado depende solamente de la matriz A. Define por completo la transición de estado desde el tiempo inicial t=0 a cualquier tiempo t cuando las entradas son nulas. Ejemplo Levitador magnético

𝐴 =

0 1 00 −2

0 0 −

𝐵 =001𝐿, 𝐶 = [1 0 0]

𝝋(𝑡) = ℒ (𝑠𝑰 − 𝑨)


𝑠𝑰 − 𝑨 =𝑠 0 00 𝑠 00 0 𝑠

−

0 1 02𝑔𝑥 0 −2 𝐶𝑔

𝑚𝑥

0 0 −𝑅𝐿

=

𝑠 −1 0−2𝑔𝑥 𝑠 2 𝐶𝑔

𝑚𝑥

0 0 𝑠 + 𝑅𝐿

La matriz inversa de (𝑠𝑰 − 𝑨) es:

(𝑠𝑰 − 𝑨) = 𝐴𝑑𝑗 (𝑠𝑰 − 𝑨)|𝑠𝑰 − 𝑨|

Lo primero será calcular el determinante del denominador.

|𝑠𝑰 − 𝑨| =

𝑠 −1 0−2𝑔𝑥0

𝑠 2 𝐶𝑔𝑚𝑥02

0 0 𝑠 + 𝑅𝐿

= 𝑠 𝑠2 + 𝑠 𝑅𝐿 − 2𝑔𝑥0

𝑠 + 𝑅𝐿 = 𝑠3 + 𝑠2 𝑅𝐿 − 2𝑔

𝑥0𝑠 − 2𝑔𝑅

𝑥0𝐿

Al ser el determinante diferente de cero, la matriz tendrá inversa. Cálculo de la matriz de adjuntos Los cofactores de los nueve elementos de A son:

𝐴 =𝑠 2

0 𝑠 += 𝑠 + 𝑠, 𝐴 = −

2

0 𝑠 += 𝑠 + , 𝐴 = 𝑠

0 0= 0

𝐴 = −−1 00 𝑠 + = 𝑠 + , 𝐴 =

𝑠 00 𝑠 + = 𝑠 𝑠 + , 𝐴 = − 𝑠 −1

0 0 = 0

𝐴 =−1 0𝑠 2 𝐶𝑔

𝑚𝑥02= −2 𝐶𝑔

𝑚𝑥02, 𝐴 = −

𝑠 0−2𝑔𝑥0

2 𝐶𝑔𝑚𝑥02

= 2𝑠 𝐶𝑔𝑚𝑥02

,

𝐴 =𝑠 −1

−2𝑔𝑥0

𝑠 = 𝑠 − 2𝑔𝑥0


Por tanto, la matriz adjunta es:

(𝑠𝑰 − 𝑨) = 𝐴𝑑𝑗 (𝑠𝑰 − 𝑨)|𝑠𝑰 − 𝑨| = ⎣

⎢⎢⎢⎢⎡ 𝑠2 + 𝑅

𝐿 𝑠2𝑔𝑥0 𝑠 + 𝑅

𝐿 0

𝑠 + 𝑅𝐿 𝑠 𝑠 + 𝑅

𝐿 0

−2 𝐶𝑔𝑚𝑥02 2𝑠 𝐶𝑔

𝑚𝑥02 𝑠 − 2𝑔𝑥0 ⎦⎥⎥⎥⎥⎤

𝑠 −1 0−2𝑔𝑥0 𝑠 2 𝐶𝑔

𝑚𝑥02

0 0 𝑠 + 𝑅𝐿

𝝋(𝑠) = (𝑠𝑰 − 𝑨) = 1𝑠 + 𝑠 𝑅

𝐿 − 2𝑔𝑥 𝑠 − 2𝑔𝑅

𝑥 𝐿

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 𝑠 + 𝑅

𝐿 𝑠 𝑠 + 𝑅𝐿 −2 𝐶𝑔

𝑚𝑥

2𝑔𝑥 𝑠 + 𝑅

𝐿 𝑠 𝑠 + 𝑅𝐿 2𝑠 𝐶𝑔

𝑚𝑥

0 0 𝑠2 − 2𝑔𝑥 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Función de transferencia

La función de transferencia de un modelo de espacio de estados continuo e invariante en el tiempo puede ser obtenida de la siguiente manera:

Tomando la transformada de Laplace de

�̇�(𝑡) = 𝐴�⃗�(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡)

tenemos que

𝑠𝑋(𝑠) = 𝐴𝑋(𝑠) + 𝐵𝑈(𝑠)

Luego, dividimos entre 𝑋(𝑠) , dando

(𝑠𝐼 − 𝐴)𝑋(𝑠) = 𝐵𝑈(𝑠)

𝑋(𝑠) = (𝑠𝐼 − 𝐴) 𝐵𝑈(𝑠)

esto es sustituido por 𝑋(𝑠) en la ecuación de salida

𝑌(𝑠) = 𝐶𝑋(𝑠) + 𝐷𝑈(𝑠), nos queda


𝑌(𝑠) = [𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴) 𝐵 + 𝐷]𝑈(𝑠)

Como la función de transferencia está definida como la señal de salida sobre la entrada de un sistema, tomamos

𝐹(𝑠) = 𝑌(𝑠)𝑈(𝑠)

y sustituimos las expresiones previas por 𝑌(𝑠)con respecto a 𝑈(𝑠), quedando

𝐹(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1𝐵 + 𝐷

𝐹(𝑠) = 𝐶 𝐴𝑑𝑗 (𝑠𝑰 − 𝑨)|𝑠𝑰 − 𝑨| 𝐵 + 𝐷

Claramente 𝐹(𝑠)debe tener q por p dimensiones, así como un total de qp elementos. Entonces para cada entrada hay q funciones de transferencias con uno por cada salida. Esta es la razón por la cual la representación de espacios de estados puede fácilmente ser la elección preferida para sistemas de múltiples entradas, múltiples salidas (MIMO, por sus siglas en inglés: Multiple-Input, Multiple-Output).

Igualando el denominador de la matriz de funciones de transferencia a cero, se obtiene la ecuación característica del sistema

|𝑠𝑰 − 𝑨| = 0


𝐴 =

0 1 02𝑔𝑥 0 −2 𝐶𝑔

𝑚𝑥

0 0 −𝑅𝐿

𝐵 =001𝐿, 𝐶 = [1 0 0]


Si se toma los siguientes parámetros para el sistema, se tiene el valor de las matrices.

parámetros valor 𝑥 0.02 𝑚 C 0.5 m 0.01 𝐾𝑔 R 10: L 0.2 𝐻 g 10 𝑚/𝑠

𝐴 =0 1 0

1000 0 −2236.10 0 −50

, 𝐵 =005, 𝐶 = [1 0 0]

|𝑠𝑰 − 𝑨| =𝑠 −1 0

−1000 𝑠 2236.10 0 𝑠 + 50

= 𝑠3 + 50𝑠2 − 1000𝑠 − 50000

Por tanto la ecuación característica del sistema es:

𝑠 + 50𝑠 − 1000𝑠 − 50000 = 0

(𝑠 − 1000)(𝑠 + 50) = 0

Los polos del sistema están ubicados en 𝑠 = 31.6228, 𝑠 = −31.6228, 𝑠 = −50 . Se observa que hay un polo en el semiplano derecho del plano de la frecuencia compleja 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝑤. De esto se deduce que el sistema de levitación es inestable.

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