2012-07-02-madrid-fisica1

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Proceso selectivo profesores secundaria Madrid 2012, Física y Química 2 de julio de [email protected] evisado ! julio 201!

1. Sobre la garganta de una polea de radio R se coloca un hilo flexible de longitud l+πR de

densidad ρ. En los extremos del hilo cuelgan dos masas M y M'. a mayor de ellas M'! se

encuentra! al principio! en su posici"n m#s alta $x%&! medida desde el di#metro horiontal de

la polea( y desciende hasta su posici"n m#s ba)a $x%l(! a la *ue llega con una elocidad .,alcular! en funci"n de la posici"n de la masa M'-

a( a aceleraci"n suponiendo *ue la polea no tiene masa ni existe roamiento en ella.

b( a elocidad y las tensiones del hilo en los puntos extremos y / del di#metro horiontal

de la polea. 0,u#l es el alor de la elocidad con *ue la masa M' llega a su posici"n m#s

ba)a

a( Calcular la aceleración en este caso se puede hacer con dos planteamientos:

2lanteamiento din#mico- La polea no tiene masa, no tiene momento de inercia y no podemos

relacionar aceleración angular de polea con aceleración lineal; puede que la polea gire y el hilo con

ella ó que la polea esté inmóvil y el hilo

deslice sobre la polea sin rozamiento,

pero eso no aporta información a resolver el movimiento de las masas y el hilo. e

hecho, es m!s pr!ctico visualizarlo como

que es media polea que no gira, y lo

"nico que aporta al problema es curvatura

al trozo de el hilo apoyado sobre esa

media polea.

#in embargo s$ que hay que tener en

cuenta que el hilo s$ tiene masa, y sobre

todo, que el tramo de hilo curvo y

apoyado también tiene masa.

#e indica densidad %, pero asumimos quees densidad lineal.

&o se indica e'pl$citamente, pero

asumimos grosor despreciable e

indeformable ( ine'tensible.

)omamos en diagrama criterio de signos

para *+ y *, sabiendo que al ser el hilo

indeformable a*+a*a

Como %masa-longitud, masa de un trozo

de hilo longitud ' ser! %'

/l trozo de hilo de longitud 01 apoyado sobre la polea:

2#$ contribuye a la masa total que hay que acelerar 3si la 1 fuera infinito, habr$a que acelerar un

trozo de hilo muy pesado y las masas no se mover$an45.

&o se puede 6despreciar7 totalmente la polea como si 1 fuese cero4

2 &o contribuye a que acelere m!s deprisa ya que est! apoyado de manera simétrica y las partes que

tiran hacia aba8o se compensan con las partes que tiran hacia arriba. #i fuera una figura no

simétrica, como un tri!ngulo escaleno, s$ habr$a que tenerlo en cuenta. /n este caso se puede pensar

que es equivalente a una cadena que est! apoyada no sobre una polea sino sobre un trozo de mesa

sin rozamiento de longitud 01; aporta masa que hay que acelerar.

Los trozos de hilo a cada lado verticales si tienen pesos que contribuyen a la aceleración.

mailto:[email protected]


http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/


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9plicamos ley de &e<ton a cada uno de los tres cuerpos, 3consideramos hilo y tramo de hilo

vertical hasta polea el mismo cuerpo5

=>ara *+ y su tramo de hilo vertical 3?, la m!s elevada, e8e ' vertical, dirigido hacia aba8o ya que es

la masa mayor5

M ' g + ρxg −T M ' =( M ' + ρx)a

=>ara * y su tramo de hilo vertical 3, la m!s ba8a, e8e ' vertical, dirigido hacia arriba ya que la

masa es la menor5:

T M − Mg − ρ( l − x ) g =( ρ(l − x)+ M )a

=>ara el tramo apoyado

T M ' −T M =(ρπ R)a#umando las dos primeras e'presiones y restando la tercera:

M ' g + ρxg − Mg − ρ( l − x) g =( M ' + ρl + M − ρπ R)a

a= g ( M ' + ρx− M + ρ(l − x))

M ' + M + ρ(l +π R)

a= g ( M ' + ρx− M − ρl + ρx)

M ' + M + ρ(l +π R)

a= g ( M ' − M + ρ(:'−l ))

M ' + M + ρ(l +π R)@alidaciones lógicas-f$sicas del resultado:

2ependencias: ( a depende '; si 'A y lA, aBA al ser *+B*

( a depende de 1: si 1A y lA, a ser$a B A solamente debida a diferencia de masas





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2#ituaciones l$mite:

( #i masas iguales y colgando a misma distancia polea, no se mueven: *+* y 'l- aA

( #i 1D, aA, ya que *+ tendr$a que mover una masa apoyada infinita.

2 #i %A, la e'presión se simplifica con la e'presión 6habitual7 g3*+2*5-3*+E*52Cualitativamente 6suma de todas las fuerzas en el sentido del movimiento7, dividido entre 6suma

de todas las masas que hay que mover7 3el tramo de hilo de longitud 01 hay que moverlo y aparece

en denominador, aunque su peso no es una fuerza que contribuya al movimiento y por eso no

aparece en numerador5

2lanteamiento energ3tico- viendo que en apartado b5 se pide velocidad, se puede calcular primero

la velocidad del apartado b5 energéticamente y luego calcular la aceleración como la derivada.

b( Las tensiones en ambos e'tremos no son iguales, o no se mover$a el tramo de hilo apoyado.

#e despe8an de las e'presiones din!micas anteriores 3calcular tensiones implica obligatoriamente

planteamiento din!mico5

#ustituimos e'presión de a directamente en ?

M ' g + ρxg −T M ' =( M ' + ρx) ·( g ( M ' − M + ρ('−l )) M ' + M + ρ(l +π R)

)

−T M ' =(− M ' g − ρxg )( M ' + M + ρ( l +π R))+( M ' + ρx) · g ( M ' − M + ρ('−l ))

M ' + M + ρ(l +π R)

−T M ' = g −( M ' + ρx)( M ' + M + ρ(l +π R))+( M ' + ρx)( M ' − M + ρ(:'−l ))

M ' + M + ρ(l +π R)

−T M ' = g ( M ' + ρx)− M ' − M − ρl − ρπ R+ M ' − M + ρ('− l )

M ' + M + ρ(l +π R)

−T M ' =:g ( M ' + ρx)

− M + ρ( x−l −π R

: )

M ' + M + ρ(l +π R)

T M ' =g( M ' + ρx) M + ρ(l − x+

π R

)

M ' + M + ρ(l +π R)espe8ando de la tercera

T M =T M ' −(ρπ R)a

T M =:g ( M ' + ρx) M + ρ( l − x+

π R

: )

M ' + M + ρ(l +π R)−(ρπ R)(

g ( M ' − M + ρ(:'−l ))

M ' + M + ρ( l +π R) )

T M =g ( M ' + ρx)( M + ρ(l − x+

π R

))−ρπ R g ( M ' − M + ρ('−l ))

M ' + M + ρ(l +π R)

T M = g

( M ' + ρx)( M + ρl − ρx+ ρ π R

)−ρπ R( M ' − M − ρl +%')

M ' + M + ρ(l +π R)

T M = g

( M ' + ρx)( M + ρ(l − x))+( M ' + ρx)( ρπ R

)−ρπ R(− M − ρ(l − x ))−ρπ R( M ' + ρx)

M ' + M + ρ(l +π R)

T M = g ( M + ρ( l − x))( ( M ' + ρx)+ρπ R)+( M ' + ρx )( ρπ R)−ρπ R( M ' + ρx)

M ' + M + ρ(l +π R)

T M =g (( M ' + ρx)+ρπ R) ( M + ρ(l − x )) M ' + M + ρ( l +π R)





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>ara la velocidad se pueden realizar varios planteamientos:

2 2lanteamiento din#mico $el l"gico si en apartado a se utili" el planteamiento din#mico( :

adv-dt, luego hallar v integrando a respecto de t. 9 priori parece no viable, ya que para integrar

necesitar$amos conocer variación de ' respecto de t, y esa variación es precisamente v que es lo quenos piden.

#e trata de ver que s$ tenemos la e'presión de la aceleración; la relacionamos con v

a=dv

dt =

dv

dx ·

dx

dt =

dv

dx v⇒a·dx=v·dv ⇒(

g ( M ' − M + ρ(:'−l )) M ' + M + ρ(l +π R)

)dx=v·dv

Fntegramos entre A y '

∫A

x

( g ( M ' − M + ρ('−l ))

M ' + M + ρ(l +π R) )dx=∫

A

x

v·dv

g ( M ' − M − ρl ) M ' + M + ρ(l +π R)

x+ gρ

M ' + M + ρ(l +π R) x

=v

v=

√:g( ρx

:

+( M ' − M − ρl ) x M ' + M + ρ(l +π R)

)

@alidaciones lógicas-f$sicas del resultado:

( #i 1D, vA, ya que *+ tendr$a que mover una masa apoyada infinita.

/n la posición m!s ba8a, 'l, sustituyendo

v=√:g( ρl

:+( M ' − M − ρl ) l

M ' + M + ρ(l +π R) )=√:g(

( M ' − M ) l

M ' + M + ρ( l +π R))

2 2lanteamiento energ3tico $ser4a el primer paso para realiar luego el apartado a sin

planteamiento din#mico(. /l trozo de hilo apoyando en la polea tiene momento de inercia, ya no

es equivalente a que estuviera apoyado en una mesa. /n razonamiento din!mico el radio 1 del

enunciado se utiliza solamente para calcular la masa del trozo de hilo apoyado.9l no haber rozamiento, utilizamos la conservación de la energ$a

)omamos hA en 'l.

Situaci"n 3Fnicial, bloque *+ en 'A, hl, v es nula5:

/cA 3Gloques e hilo5

/p/p bloquesE/p hilo/p3*+5E/p3*5E/p3hilo tramo recto5E/p3hilo tramo curvo5

/p3*+5*+gl

/p3*5A

/p3hilo tramo recto5 %lg3l-5, tomamos h en su centro de masa, a mitad.

/p3hilo tramo curvo5; no la calculamos porque se cancela, se calcula como una integral.

3Hacemos el c!lculo aunque no es necesario5 /p %01ghC*;

ycm=∫ y dm

∫ dm

m=ρ s⇒dm=ρds

Usamos polares⇒ s= Rθ⇒ds= R d θ

ycm=∫A

π R senθρ R d θ

∫A

π

ρ R d θ

ycm=ρ R

:[−cos ]Aπ

ρ Rπ = R

(−(−?)−(−?))π =

:1 π ≈A,IJ R

/p%01g1-0%g1

Situaci"n /3Gloque *+ se ha desplazado, en posición ', hl2', v no es nula5:/c medio aro de hilo K F ; >ara un aro F*1 , aunque sea medio toda la masa est! a distancia

1 y se llega a la misma e'presión F*1 , siendo simplemente la masa la mitad del aro completo





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/c medio aro de hilo K 3%011 5v-1 K %01v

Los tramos de hilo rectos también tienen masa y energ$a cinética: en total es una longitud l a

velocidad v.

E c=? M ' v+ ? M v+ ? ρ l v + ? I ω=? ( M ' + M +ρ(l +π R)) v

/p/p bloquesE/p hilo/p3*+5E/p3*5E/p3hilo tramos rectos5E/p3hilo tramo curvo5

/p3*+5*+g3l2'5

/p3*5*g'

/p3hilo tramos rectos5 %3l2'5g33'E3l2'5-5 E %'g3l2'-5 ; tomamos h en su su centro de masa a

mitad del tramo.

/p3hilo tramo curvo5 igual al caso anterior

9plicando conservación:

/m3952/m3G5A ; la /p 3hilo tramo curvo5 se anula

M ' gl +ρ gl :

: − M ' g (l − x )− Mgx−ρ( l − x) g ( :'+l − x

: )−ρ xg ( :l− x

: )−?

:( M ' + M +ρ(l +π R))v

:=A

M ' gx− Mgx+ρ gl

−ρ g

( l − x

)

−ρ g (l'− x

)=

?

( M ' + M +ρ( l +π R)) v

:g' ( M ' − M )+ρ g ( x:−:l'+ x:)=( M ' + M +ρ π

R)v

:

:g'( M ' − M +ρ( x−l ))=( M ' + M +?

:ρ(l +π R))v

:

v=√g(ρ x

+( M ' − M −ρ l ) x)

( M ' + M +ρ (l +π R))

/'presión idéntica a la obtenida din!micamenteLa aceleración se podr$a obtener derivando la velocidad.

a=dv

dt =

dv

dx ·

dx

dt =

dv

dx · v

a=√ :g

( M ' + M +ρ(l +π R))d

dx √ ρ x

:+( M ' − M −ρ l ) x ·√:g(ρ x

:+( M ' − M −ρ l ) x)

( M ' + M +ρ(l +π R))

a=:g √ (ρ x

:+( M ' − M −ρ l ) x )

( M ' + M +ρ(l +π R))?

:

:ρ x+ M ' − M −ρ l

√ ρ x:+( M ' − M −ρl ) x

a= g ( M ' − M + ρ(:'−l ))

M ' + M + ρ(l +π R)/'presión idéntica a la obtenida din!micamente.





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