Ministerio OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMATICA Sociedad Matematica

de Educacion (ONEM 2010) Peruana

Cuarta fase - Nivel 3

07 de noviembre de 2010

- La prueba tiene una duracion maxima de 4 horas.

- No esta permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros.

- Resuelve los problemas propuestos justificando adecuadamente cada paso.

- Entrega solamente el cuadernillo de soluciones.

- Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas.

Problema 1. En cada uno de los 9 cırculos pequenos de la siguiente figura escribimosnumeros enteros positivos menores que 10, sin repeticiones.

Ademas se cumple que la suma de los 5 numeros ubicados alrededor de cada una delas 3 circunferencias es siempre igual a S. Halla el mayor valor posible de S.

Problema 2. Una progresion aritmetica esta formada por 9 enteros positivos tales que elproducto de estos 9 terminos es multiplo de 3. Prueba que dicho producto es tambienmultiplo de 81.

Problema 3. Considera A, B y C tres puntos colineales del plano tales que B esta entreA y C. Sea S la circunferencia de diametro AB y L una recta que pasa por C, queno intersecta a S y que no es perpendicular a la recta AC. Los puntos M y N son,respectivamente, los pies de las alturas trazadas desde A y B a la recta L. Desde C setrazan las dos rectas tangentes a S, donde P es el punto de tangencia mas cercano aL. Prueba que el cuadrilatero MPBC es inscriptible si y solo si las rectas MB y ANson perpendiculares.

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Problema 4. Un paralelepıpedo se dice entero cuando al menos una de sus aristas mideun numero entero de unidades. Se tiene un grupo de paralelepıpedos enteros con loscuales se arma un paralelepıpedo mayor, que no tiene huecos dentro ni en su borde.Demuestra que el paralelepıpedo armado tambien es entero.

Ejemplo. En la siguiente figura se muestra un paralelepıpedo armado con un ciertogrupo de paralelepıpedos enteros.

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