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Centro Preuniversitario de la UNS S-15 y 16 Ingreso Directo

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS CICLO 2014 – III

ALGEBRA “Funciones”

I) DEFINICION: Sean A y B dos subconjuntos de R = <-, +>

y “F una relación binaria de A en B”, es decir: F A x B Notación F es una función para cada x A existe un

único y B, tal que y = f(x)

Donde las siguientes notaciones son equivalentes:

y = f(x) (x,y) f Se lee: “y es función de x” o “y es la imagen de x por f”

F(-2) = 3 (-2, 3) F.

II) Definición Simbólica: “f” es una función de A en B si [(x1 ,

y) f (x1 , z) f] y = z

III) Definición Geométrica: “f” es una función cualquier recta vertical perpendicular al eje “x” corta al gráfico de “f” en un solo punto.

Es decir: graf (f) L = {1 punto}

Ejemplos:

01.

P

si 02.

P

P

No

03.

P

o

Si

Propiedad Importante: Toda función es una relación, pero toda relación no necesariamente es una función.

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION

Sea la función f : A B

Conjunto Conjunto de Partida de llegada

Dominio de F: Es el conjunto de las 1ras componentes de los pares: ( x , f (x) )

Rango de F: Es el conjunto de las segundas componentes de los pares ( x1 f (x) )

Nota Una forma muy sencilla de reconocer que un conjunto de pares ordenados es una función, es observando que todas sus primeras componentes deben ser diferentes.

FUNCION DE APLICACIÓN DEFINICION. Una función “f” se llama APLICACIÓN de A en B Si y solo si Dom F = A IV) CLASES DE FUNCIONES FUNCION INYECTIVA (UNIVALENTE)

Dado F: A B una función de A en B, se dice que “f” es una FUNCION INYECTIVA O UNIVALENTE si cada elemento f(a) del rango f(A) es la imagen de solamente un elemento a es el Dominio de F.

[Dom F = A]. Es decir, si para cada par de elementos x1 , x2

Dom F, DISTINTOS, x1 x2, sus imágenes también son DISTINTAS.

a

b

c

1

2

3

4

A Bf

F(x1) F(x2)

OBSERVACION Una función “f” no es inyectiva, si existen dos elementos distintos

x1, x2, x1 x2, en el dominio de f, que tengan la misma imagen. F(x1) = F(x2)

a

b

c

1

2

3

4

A Bf

DEFINICION FORMAL

Una función “F” es INYECTIVA, sí para cada x1 , x2 Dom f.

F(x1) = f(x2) x1 = x2

“F” es INYECTIVA si para cada par de elementos x1 , x2 Dom f:

x1 x2 f(x1) f(x2)

2. FUNCION SURYECTIVA O SOBREYECTIVA Una función F : A B una función de A en B, se dice que f es una

función sobreyectiva si el rango de “f” coincide con el conjunto de llegada B; es decir, si es que:

Rang (f) = B, donde Ran (F) = F(A)

Nota De la definición de FUNCION SOBREYECTIVA, se sigue que toda función

de la forma f : A Ran(f), siempre será subyectiva, pues el rango (F) coincide

Semana Nº 14

“Corpo nato della prospettiva di Leonardo Vinci discepolo della

sperientia”

Lic. Iván Saavedra Ponte Álgebra.

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INTERPRETACION GEOMETRICA

“F” es sobreyectiva toda recta “l” paralela al eje “x” corta al gráfico de f.

Es decir: graf(f) l

FUNCION BIYECTIVA:

La función f: A B es BIYECTIVA , “F” es a la vez: a) Inyectiva y b) Sobreyectiva ACLARACION: A la función INYECTIVA, también se le llama, función BIONIVOCA.

II. FUNCIONES NOTABLES O ELEMENTALES 01. Función Lineal

* Regla de correspondencia 0a ; ax)x(f

* Dom (f) = IR * Ran (f) = IR

* Gráfico: Recta inclinada que pasa por el origen.

Caso Especial: (cuando a = 1) Función Identidad

Regla de correspondencia f(x) = x

Dom (f) = IR

Ran (f) = IR

Gráfico: Recta que pasa por el origen y forma un ángulo de 45° con el semieje positivo de las x.

02. Función Afin Lineal

Regla de correspondencia: bax)x(f ; 0a

Dom (f) = IR

Ran (f) = IR

Gráfico: Recta inclinada que no pasa por el origen, y cuya ordenada en el origen es b.

03. Función Constante

Regla de correspondencia c)x(f ; IRc

Dom (f) = IR

Ran (f) = {c}

Gráfico: Recta paralela al eje x desplazada en “c” unidades.

04. Función Raíz Cuadrada

* Regla de correspondencia: x)x(f

* Dom (f) = ;0

* Rang (f) = 0;

* Gráfico: Curva semejante a una semiparábola.

05. Función Cuadrática

Regla de Correspondencia: cbxax)x(f 2 ; 0a

Dom (f) = IR

Ran (f) =

0a ; 2a

b-F ; y

0a ; ; a2

bFy

Gráfico: Parábola con vértice en

a2

bf;

a2

bV

Si: 0a , La parábola se abre hacia arriba.

Si: 0a , La parábola se abre hacia abajo.

06. Función Cúbica

Regla de correspondencia: 3x)x(f

Dom (f) = IR

Ran (f) = IR

Gráfico: Se muestra a continuación:

√ En general podemos extender las definiciones previas y definir la FUNCIÓN POTENCIA ELEMENTAL:

07. Función Valor Absoluto

Regla de correspondencia: x )x(f

Y se define como:

0x ; x

0x ; xx y

Dom (f) = IR

Ran (f) = ; 0

Gráfico: Se muestra a continuación (tiene forma de V) con el vértice en el origen.

08. Función Signo

Regla de correspondencia: )xsgn()x(f

Y se define como:

0x ; 1

0x ; 0

0x ; 1-

)xsgn(y

Dom (f) = IR

Ran (f) = 1 ; 0 ; 1


Propiedad: IRx ; sgn(x) x |x|

09. Función Escalón Unitario

Regla de correspondencia: )x(aU)x(f

Y se define como:

ax ; 0

ax ; 1Uy )x(a

Dom (f) = IR

Ran (f) = 1 ; 0


Propiedad: )ax(a(x))ax(a)x( UU ; UU

10. Función Máximo Entero

Regla de correspondencia: )x(f x

Se define el MÁXIMO ENTERO de x como el mayor de todos lo números enteros menores o iguales que x y se denota por

x es decir: x Z n 1n x n n

con lo cual: Dom ( ) = IR ; Ran ( ) = Z


3


PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Sean los conjuntos:

cbaBA 3;2;9;6;4 Si AxB=BxA

calcule el mayor valor de "" cba Considere

que: cba ;; enteros.

A) 8 B) 13 C) 10 D) 11 E) 14

2. Si el punto 24;8 mmQ pertenece a la

grafica de la función .xxf Indique la

alternativa correcta.

A) Q está en el 2º cuadrante

B) Q está en el 4º cuadrante.

C) m es un número negativo

D) m + 2 < 0

E) m – 2 > 0

3. Sea bmxxf una función lineal.

,021 ff calcule .1f

A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 1/2

4. Halle las coordenadas del vértice de la grafica de la

función xxxf 22

A) (1;1/2) B) (1/4;1/4) C) (1/4;1/8)

D) (-1/4;-1/8) E) (1/4;-1/8)

5. Si la función:

22;2,8;5,3;2

,23;5,3;

nmnm

nmnmf es

inyectiva, calcule el valor de 2f .

A) 3 B) 4 C) 5 D) 10 E) 13

6. Sea 4;1,2;2,3;6,6;5 f . Halle

ff . (f es la inversa de f ).

A) 3;6,2;2 B) 4;2,5;6 C) 8;6,4;2

D) 9;6,4;2 E) 4;2,9;5

7. Determinar el rango de la función h , si

1;1

12

x

x

xxh

A) 0, B) ;0 C) 0;2

D) 0; E) 2;

8. Halle el dominio de la función:

2

32

16

112153

x

xxxg x

A) 3,4 B) 4;3 C) 5;4

D) 45;3 E) ;53;

9. Determinar el dominio de la función f siendo

20

375

2

2345

xx

xxxxf x y ;0Ranf

A) ;53,4 B) ;3 C) 1;03;4

D) 1;0;53,4 E) 1;53,4

10. Halle el rango de la función f si 1

1

2

2

xx

xxf

A)

2;

3

2 B) 2;0 C) ;0

D) ;2 E)

;

3

2

11. Si el rango de la función g , tal que

12012

2013

x

xg x es ;; bba

Calcule el valor de 22 ab

A) 0 B) 3 C) 1 D) -1 E) 4025


4


12. De la función 0/;21 2 ttttf , halle su

regla de correspondencia y su dominio.

A) 1;12 xxxf

B) 1;12 xxxxf

C)

1;4

12

xx

xf

D) 1;4

12

xx

xf

E) 1;2

12

xx

xf

13. Halle el rango de la función h con regla funcional

xxxh 2

A)

;

4

1 B)

4

1;

4

1 C)

;

4

1

D)

4

1; E)

4

1;

14. La inversa de la siguiente función

xxxxf 155 está dada por.

A) 0;36

20 2

xx

B) 0;36

180 2

xx

C) 0;36

202

xx

D) 0;36

1802

xx

E) 0;180

36 2

xx

15. El valor mínimo de la función 12 xxxf es

""a y el valor máximo de la función

163 2 xxxg es ""b . Calcule: ""b

a

A) 4

3 B)

2

3 C)

8

3 D) 2 E)

3

3

16. Halle el dominio de la función f .

41

2 411sgn xxxxf

A) 4;11; B) 1, C) 4,1

D) ;4 E) ;1

17. Halle el dominio de la función f .

xx

x

x

xxxf

7

3

2

1

14

A) 5,4 B) 5;4 C) 7;13

D) 5;4 E)

18. Del gráfico:

g

f

x

y

- 2 1

Calcule (m + n), si:

F(x) = mx2 ; g(x) = nx + 2

A) 0 B) 1 C) 2 D) - 1 E) 4

19. Calcule la suma de valores de “x” tal que la relación:

5;,6;5,5;4,4;3,3;2,2;1 xF

No sea una función:

a) 15 b) 13 c) 7 d) 20 e) 11


5


20. La gráfica de la parábola dada por f(x) = x2 – mx + m

+ 15 es como se muestra en la figura.

Calcular E = m2 – m + 1.

A) 63 B) 73 C) 91 D) 111 E) 133

21. Obtener el número de elementos enteros del dominio

de: 4

552

x

xxxF

A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 6

22. El dominio de la función:

F(x) = 1x +

x6

1 es :

A) [0;4] B) R C) [1;5] D) [2;5] E) [1;6[

23. Hallar el rango de la siguiente función:

F(x) = x2 - 4x + 9; x R

a) [5; +[ b) [2;+[ c) [-2;+[

d) [7;+[ e) [2;5]

24. Obtener el rango de la función: 12

13)(

x

xxF

A) R B) R+ C) R-

2

3

D) R- E) R -

2

1;

3

1

25. Hallar el rango de la función:

F(x) = x2 - 4x + 7; si x <0; 5>

a) [1;5[ b) [3;12[ c) [7;9]

d) [1;+[ e) [7;12[

26. Dada las funciones: xx

xxxf

3

12)(

2

2

; y

xxxg 3)( , hallar la suma de los valores

enteros positivos de: Dom (f) Rang(g)

Rpta.: ...............

27. Calcular (a+b) para que: f[a,b] [-1,5] definida por

3 1-xf(x) sea biyectiva.

Rpta.: ...............

28. f(x) = 3x2 - 12x + 13, x [3,5]. Hallar el valor de verdad

de cada función:

1. f es inyectiva

2. Rang(f) = [4, 28]

3. x, xDom(f) tal que f(x)=0

Rpta.: ...........

29. Un carpintero puede producir carpetas a un costo

unitario de S/. 50. Si las vende a “k” soles c/u; podrá

vender aproximadamente (120-k) carpetas al mes. La

utilidad mensual del carpintero depende del precio de

ventas de las carpetas. Calcule el precio de venta si la

utilidad es máxima.

Rpta.: ...............

30. Hallar el área de la intersección de las relaciones

definidas por:

}1||/),{( 2

1 yxRyxR

}2/),{( 2

2 yRyxR

Rpta.: ...............

y

x

f(x)


6


EXAMENES UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

01. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – I

Determinar el dominio de la siguiente función

62

41)(

x

xxxf

a) 4,33,1 b) 4,1 c) 4,33,1

d) 4,1 e) 5,43,1


En la figura adjunta se muestra la gráfica de una

función exponencial, si 32aM donde “a” es la

base de esta función, entonces el valor de M es igual

a:

a) 16

b) 54

c) 1/4

d) 2/27

e) 1/9


El conjunto solución de la inecuación

2)1(log3

1 x es:

a) 9

10;1 b)

10

9;1 c) 1;0

d) 3;1 e) 9

10;

10

9

04. SEGUNDO EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – II

Halla el valor de S en el sistema decimal:

sumandos 20

)6()5()4()3( ...45342312 S

a) 3519 b) 3520 c) 3521 d) 3580 e) 3600

05. SEGUNDO EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2012 – II

Si : 15)4( 2 xxg , hallar )6(g .

a) 17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 25


Dados los conjuntos L = {2, 3, 5} y M = {3, 6, 7, 10}.

Escriba V ó F, si los siguientes conjuntos:

}/),{(1 yxMLyxR

}2/),{(2 xyMLyxR

}5/),{(3 xMLyxR

Son relaciones de L en M. Considere el orden

correlativo de las relaciones dadas para dar su

respuesta.

a) VVV b) VFV c) FVV d) VVF e) FFV


Dada la función 2

1)(

x

xxf , 3 < x <4. su rango

está dado por:

a) 5

2;

5

1 b) 5

4;

5

3 c)

6

5;

5

4

d) 6

5;

5

1 e)

5

3;

5

2

08. EXAMEN ORDINARIO DE ADMISIÓN 2013 – I

El gráfico que corresponde a f(x), si se tiene que:

2)3(83

53)(2 1

2

3

x

x

xxf , es:


7



Sea 0,2

1)(

a

bx

axxF ; hallar a y b tal que F

= F* Dom(F*) = IR – {2}.

Dar como respuesta a – b.

a) -4 b) -2 c) 0 d) 4 e) 8

10. EXAMEN ORDINARIO DE ADMISIÓN 2012 – II

La gráfica que representa a la función inversa de la

figura

11. EXAMEN ORDINARIO DE ADMISIÓN 2012 – II

El dominio de la función 82)( xxh , es:

a) [3,+∞> b) [2, +∞> c) [1/3, +∞>

d) [1/2,+∞> e) <2,+∞>


Sea la función f cuya regla de correspondencia está

dada por 2)( xxf .

De las siguientes afirmaciones:

1. f no tiene inversa en 2;2

2. f tiene inversa en 2;0

3 f no tiene inversa en 0;2

Son ciertas:

a) Solo 1 b) Solo 2 c) Solo 3

d) 2 y 3 e) 1 y 2


Siendo a > 0 a 1, resolver:

aaxax

axa

1log)(log)(log 2

y señale una

de sus soluciones.

a) 1 b) a c) a2 d) a-1 e) a-2

14. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – III

Si F(x) = x2 – x – 2 es una función con dominio

2

9,

2

5Df , entonces, la regla de correspondencia

de su inversa f*(x), si existe, está dada por:

a) 4

9

2

1)(* xxf


8


b) 4

9

2

1)(* xxf

c) 4

9

2

1)(* xxf

d) 4

9

2

1)(* xxf

e) )(* xf no existe

15. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – III

La suma de los cuadrados de las soluciones de:

32

xe , es:

a) 3ln b) 3ln2 c) 3ln2

d) 0 e) 3ln2

16. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – II

Si f(n) es la suma de “n” miembros de una progresión

aritmética, entonces el valor de

S = f(n+3) – 3f(n+2) + f(n+1) – f(n), es:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 2 e) 7

17. TERCER EXAMEN SUMATIVO CEPUNS 2011 – II

Si 19log32

19

2

x

, el valor de x, es:

a) 8 b) 1/8 c) 2 31 d) -1 e) 1


Si 1,33,fD es el dominio de la

función 3

72)(

x

xxf , entonces, el dominio de la

inversa de f es:

a) ,2

b) ,4

92,

c) ,4

92,

d) ,24

9,

e) ,22,


Si 416log 3 x

, evaluar xx 2log

a) 4

3 b) 3

4 c) 2

1 d) 4

1 e) N.A


Si f(x) es una función cuadrática tal que: f(2)=6 f(0)=4,

f(-1)=7, entonces, la suma de los coeficientes de f es:

a) 5

4 b) 3

11 c) 6 d) 7 e) 8

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