Observen los siguientes prismas; utilicen la versión transparente para contar sus vér-

tices y señálenlos con puntos rojos.

1

Escriban los nombres de tres objetos que tengan forma de prismas.

Prismas

5 Irina pintó una de las caras de un prisma y la

apoyó sobre un papel, donde dejó esta marca:

¿De qué tipo de prismas puede tratarse? Nom-

bren dos.

A

CB

El prisma transparente de la actividad anterior

también se puede utilizar como guía para con-

tar las aristas de la figura. En este prisma, 3

de sus aristas fueron marcadas con verde.

Señalen con otro color las demás aristas y de-

terminen cuántas son en total.

Cuenten las aristas de los prismas de la acti-

vidad 2.

3

4

De las dos figuras dadas, la de la izquierda es la imagen de

un prisma de base triangular. Se pueden observar sólo 2 de

sus 5 caras y 5 de sus 6 vértices, señalados con puntos ro-

jos. La figura que está a su derecha representa el mismo

prisma, pero sus caras son transparentes. Allí se pueden ver

todos sus vértices y todas sus caras.

1

2

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6

7

Pirámides

8

9

Indiquen a qué pirámide corresponde cada desarrollo.

Completen la tabla.

Si una pirámide tiene como base un polígono de 42 lados, ¿cuántos vértices tiene?

¿Y aristas?

Una pirámide tiene 7 vértices. ¿Cómo es la base de la figura?

Número de lados de la base

Triangular

Cuadrangular

Pentagonal

Hexagonal

Octogonal

Número de aristas de la pirámide

Base de la pirámide

A CB 1 2

3 4

P

P

P

Sugerencias para estudiar

Dibujar un polígono regularLos polígonos que tienen todos sus lados y todos sus ángulos de la misma medi-

da se llaman polígonos regulares. Algunos, como el hexágono regular (seis lados), pue-

den construirse utilizando regla y compás.

Paso 1. Tracen una circunferencia y marquen un punto sobre ella. Sin cambiar la

abertura del compás, fíjenlo en ese punto y tracen un arco sobre la circunferencia,

para obtener el punto P.

Paso 2. Ahora fijen el compás en el punto P y, con la misma abertura, tracen otro ar-

co; obtendrán un nuevo punto. Repitan esta operación hasta dar la vuelta comple-

ta a la circunferencia.

Paso 3. De esta forma, obtienen seis puntos sobre la circunferencia, que son los

vértices del hexágono regular. Utilizando una regla, unan esos vértices.

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2

Polígonos y poliedros regulares

Utilicen compás y transportador para decidir cuáles de los siguientes po-

lígonos son regulares.

12

13 Desde hace 2 300 años, se sabe que solo existen 5 sólidos

regulares (los de la actividad 12). Si toman dos tetraedros

regulares iguales y los pegan haciendo coincidir dos de sus

caras como muestra la figura, obtienen un poliedro con seis

lados que son triángulos equiláteros iguales. ¿Por qué este

nuevo cuerpo no es un sólido regular? Construyan con car-

tulina ese poliedro para observar sus características.

Consulten las primeras páginas del tema e indiquen a qué poliedro regu-

lar corresponde cada uno de los siguientes desarrollos planos.

10

11

Con los desarrollos planos de la actividad anterior, pueden construirse los 5 po-

liedros regulares, con cartón o madera. Utilizando alguno de los modelos

propuestos en todo el tema, completen la siguiente tabla.

¿A qué conclusión pueden llegar?

Tetraedro

Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

Poliedro regularNúmero de vértices (V)

Número de aristas (A)

Número decaras (C)

Caras + Vértices - Aristas(C + V - A)

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3

Cuerpos redondos

14

15

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17

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19

Nombren 3 objetos que tengan forma cilíndrica, 3 que ten-

gan forma cónica y 3 que sean esféricos.

Averigüen a qué se llama “cono de sombra lunar”.

¿Qué cuerpo se obtiene al girar el siguiente triángulo rectán-

gulo? ¿Y al girar el rectángulo?

Sandra y Lorena creen que al girar un círculo

pueden obtener una esfera.

Sandra propone pegar una varilla que pase por

el centro del círculo, y luego girar la varilla. Lo-

rena, por su parte, propone pegar la varilla a un

punto de la circunferencia y luego girarla. ¿Es

cierto que las dos obtienen una esfera?

A cada una de estas esferas se le cortó una parte. Unan, mediante fle-

chas, las partes que forman esferas.

La esfera se utiliza para gran diversidad de jue-

gos y deportes. Reúnanse en grupos y escri-

ban un listado de todos los que conocen.

¿Cuántos pudieron nombrar?

BA C D E

1 2 3 4 5

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4

Actividades integradoras20

21

En los dados que se usan habitualmente para jugar a distintos juegos, las 6 caras están numera-

das del 1 al 6, de tal manera que las caras opuestas siempre suman 7. ¿Cuánto suman en cada ca-

so las caras que están tocando la mesa?

.c.b .a

Determinen de qué cuerpo geométrico se trata, según las características indicadas.

Tiene 2 bases, que son heptágonos. Las caras laterales son rectángulos.

Es un cuerpo redondo con una sola base.

No tiene vértices. y

Tiene una base, que es un rectángulo, y sus caras laterales son triángulos.

Tiene 2 bases, que son triángulos. Sus caras laterales son rectángulos.

No tiene vértices. No tiene bases.

¿Cuál de los cubos se formó al plegar el desarrollo?

En la actividad 14 observaron que en los poliedros regulares se cumple esta condi-

ción: Caras + Vértices - Aristas = 2.

Verifiquen si esta igualdad, llamada fórmula de Euler, se cumple en el cuerpo dibu-

jado a la derecha.

¿Puede una pirámide tener todas sus caras iguales?

¿Es posible construir una pirámide que tenga 25 aristas? ¿Por qué?

22

23

24

25

A B C D

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5

Para hacer con mate

Un hexágono de origamiEl origami es un antiguo arte de origen japonés que consiste en rea-

lizar figuras mediante el doblado de papel. Esta tradición, reservada en

un principio a la nobleza, tiene como uno de sus objetivos desarrollar la

calma y la paciencia en quienes la practican.

En esta actividad, les proponemos construir un hexágono regular sin

regla ni compás, utilizando la técnica del origami.

1. Corten una tira larga de papel de

color:

3. Desdoblen:

9. Desdoblen:

5. Desdoblen nuevamente:

7. Desdoblen nuevamente:

6. Vuelvan a doblar hacia arriba siguien-

do el doblez anterior:

8. Otra vez doblen hacia abajo siguiendo

el doblez anterior:

11. Corten los triángulos irregulares de las

puntas. Plieguen por los lados marcados

en rojo y quedará armado el hexágono.

Así queda el hexágonoterminado.

2. Doblen hacia arriba en cualquier

ángulo:

4. Doblen hacia abajo siguiendo el do-

blez anterior:

10. Continúen doblando alternativa-

mente hacia arriba y hacia abajo, siem-

pre siguiendo el doblez anterior:

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6

El baúl matemático

Los prismas y la luz

Al hacer pasar un rayo de luz por un

prisma de cristal, se produce un efecto óp-

tico que da como resultado un haz con una

dirección diferente de la original y con sus

componentes separados. Es el mismo efecto

que se produce en la naturaleza cuando se

forma el arco iris.

Figuras imposibles

M. C. Escher (Holanda, 1898-1972) fue

un importante artista plástico que, sin ser

matemático, reflejó en su obra parte de las

ideas matemáticas modernas. Muchos de

sus dibujos con perspectivas imposibles pre-

sentan poliedros como elementos de su com-

posición.

En la terraza de este castillo pintado por

Escher, por ejemplo, hay dos hileras de mon-

jes. Unos bajan y bajan, pero siempre regre-

san al mismo lugar; mientras tanto otros, por

la misma escalera, suben infinitamente.

Por más que sepamos que eso es impo-

sible, el dibujo está tan bien hecho que en-

gaña nuestra razón.

Descomposición de la luz al pa-sar por un prisma de cristal.

Los cuerpos en la pintura del Renacimiento

La pintura muestra al fraile franciscano Luca Pacio-

li dictando una lección de geometría. Luca Pacioli se

dedicó a la matemática y trabajó, en colaboración con

Leonardo Da Vinci, en un famoso tratado de geometría

llamado La divina proporción.

El retrato que ven en esta estampilla italiana, hecha

en conmemoración de los 500 años de la publicación de

su obra Suma de aritmética, geometría, proporción y

proporcionalidad, muestra a Pacioli realizando una cons-

trucción geométrica. En la mesa, además de su libro y un

reloj de arena, pueden verse un dodecaedro y un mode-

lo esférico.

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