20 capitulo ii ecuaciones diferenciales de primer orden · ahora bien,la forma general de una e.d,...

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C A P I T U L O II

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Comenzaremos nuestro estudio de las E,D, viendo las formas de como obtener

la solución general de tres tipos básicos de E.D, de primer orden que sonrías

E,D, de Variables Separables,las E,D, Exactas y las E.D. Lineales.También vere-

mos que existen ciertas clases de E.D. de primer orden que no pueden ubicarse

en los tres tipos antes mencionados y que sin embargo,mediante algunas trans-

formaciones, estas se convierten en algxma de aquellas.

2.1, TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

Por nuestro estudio hecho en Cálculo sabemos que para una cierta función f(x),

con X en cierto intervalo I,si existe otra función F(x) tal que F'(x) = f(x)

paxa todo x de I,decimos que F(x) es la primitiva a antiderivada de f(x) o que

f(x) ee integrable en 1.

Ahora bien,la forma general de una E.D, de primer orden está dada por la re-

lación F(x,y,y') = O

Si en la ecuación anterior es posible despejar y',resulta que

y' = f(x,y)

que representa una E,D, de primer orden y primer grado resuelta con respecto a

la derivada.

Entonces veamos como podemos garantizar la existencia de una solución de la

E.D.

y' = f(x,y)

para ello comenzaremos con el siguiente resultado.

^Teorema,2,l,1,- Sea f(x) una función integrable en (a,b),entonces la E,D, y' = f(x)

tiene una solución única

y = F(x)

en cada pxaito (x ,y ) donde a ^ x ^ b 0 0 ^ o ^

Prueba, a) Probaremos primero l a exis tencia de l á solución de l a E,D, dada.

Como f(x) es in tegrable en (a ,b) ,entonces exis te H(x) donde x es tá

en (a ,b) t a l que H'(x) = f(x)

Sea C = y - H(x ) Nótese que H(x ) existe porque a < x ^ b

y definamos F(x) = H(x) + C

21

la función F(x) así definida es solución de la E,D,

y' = f(x)

pues _ n M x l . á_[H(x) - cJ ^ M x l ^ áC ^ H,(^) ^ ,(^) dx dxL - ' d x dx

por ser C constante,además F(x) pasa por el punto (x >y ) ya que

F(x^) = H(x^) 4- C = H(x^) + y^ - H(x^) = y^

b) Probaremos ahora la unicidad de la solución de la E.D, dada.

Reducción al absurdo. Supongamos que G(x) es otra solución diferente

de F(x) y aimbas satisfacen la condición dada en el teorema o sea

G(x^) = y^ y r(x^) = y^.

Sea K(x) = F(x) - G(x) ,Si demostramos que K(x) = O encontramos la

contradicción que buscamos puesto quB en ese caso F(x) = G(x),

Como F(x) y G(x) son diferenciables,entonces K(x) también lo es

por tanto

K'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = O

ya que F(x) y G(x) son soluciones de y' = f(x).

De lo anterior deducimos que K(x) = C ,C constante,para todo x de (a,b);en especial

luego

K(x^) = F(X^) - G(x^) = y^ - y^ = O

K(x^) = O

P̂ °̂ K(x) = C

para todo x de (a,b),por tanto

C = O

lo que implica que

K(x) = O

Contradicción,

Luego la solución es única. El teorema antwrior nos dice que la solución de la E,D, y' = f(x) que pasa

por el punto (x ,y ) es única.

Este teorema también puede enunciarse de la siguiente forma:

" Si f(x) es continua en el intervalo x - ^ x < ^ x y si x < a ^ x

entonces cada solución y = F(x) de y'= f(x) puede escribirse en la forma

y = F(a) + J^f(t)dt x ^ < x < X 2

De este teorema obtenemos como corolario algo ya visto en Cálculo que dice

22

así: Si f(x) es continua,entonces T ~ ¡^ f(t)dt = f(x) f:

Nota,2,1,1,- Si U es función de x y otras variables,entonces

El problema que ahora se nos presenta es determinar que condiciones se necesi-

tan para que la E.D, y' = f(x,y) tenga solución única que satisfaga una condi-

ción inicial,La respuesta a lo anterior nos la dá una generalización al teorema

anterior e^ el plano cartesiano que reza así:

Teorema,2,1,2,- Si f representa una función en términos de x e y,entonces

y' = f(x,y)

tiene una única solución y = F(x) tal que y = ^^^n^ siempre y

cuaindo todos los valores de x e y considerados en una región S

definida por |x-x^|0

están en S y que tanto f como su derivada parcial con respecto

a y. sean reales y continuas en S,

Este teorema expresa l̂ ŝ condiciones suficientes para la existencia de la so-

lución única del problema de Cauchy para la ecuación y' = f(x,y),pero estas coa-

diciones no son necesarias porque puede existir una solución única de la ecua-

ción y' = f(x,y) que satisface la condición de pasar por el punto (x ,y ) a pe-

sar de que en dicho punto no se cumpla que f o su derivada parcial con respecto

a y sean continuas como se verá en los ejemplos siguientes,

Nota,2,1,2.- Existen teoremas que garantizan la existencia y unicidad de la so-

lución de E,D, con condiciones iniciales y orden mayor que uno.

Ej.2.1.1.- En la E.D. r' - 1 ^^ /3 y = 2 y

observamos que f(x,y) = ^ y es continua en todos los puntos del

plano XY,pero la derivada parcial de f con respecto a y

Í ± - y-1/5 ^>' a i

se hace infinita cuando y toma el valor cero luego -r̂ í no es con-

tinua en el eje áe las X de modo que no se cumplen totalmente las

condiciones de existencia y unicidad,Por consiguiente,es posible

que no haya unicidad en los puntos del eje X (puntos que tienen la

forma (x ,0)). Fácilmente se comprueba que la función y = 1/8 ( x - x )-̂ es

23

solución de la E.D. considerada y además pasa por el punto (x ,0)

pero la E.D. dada tiene además otra solución evidente que es y = O

(función nula ),Así pues,por cada punto del eje X pasan al menos dos

soluciones de la E.D. y por consiguiente queda infringida la unicidad, -2 -2

La E.D. y' = y tiene la propiedada que tanto f(x,y) = y como

^ ^ = -2y~ son discontinuas en el eje X,por tanto no se cumplen

las condiciones del teorema 2.1.2, y sin embargo por cada ptmto del

eje X pasa una única solución de la forma ^ ̂ ®^ ^ S 1) y = [3( x-x^)] 1/3

Fig 1

2h

2.2. E.D. DE VARIABLES SEPARABLES

Sabemos que la E.D. de primer orden es de la forma F(x,y,y') = O y que si po-

demos despejar y' obtenemos una expresión de la forma

y' = f(x,y)

que representa la E.D. de primer orden y primer grado.

Ahora bien,si hacemos

podemos escribir , _ _ M(x,y?

^ - N(x,y)

o sea

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 >

que también representa la E.D. de primer orden y primer grado, '̂ '̂ Def,2,2.1.- Se dice que la ecuación general de primer orden y primer grado

y ' = f(x,y)

tiene variables separables si f(x,y) puede expresarse como el cocien-

te ( o producto ) de una función exclusivamente de x y otra funci&i

exclusivajnente de y.

Lo anterior quiere decir que

f(x v) - ^ ^

y = f(x,y) = ^

lo que implica que

h(y)dy = g(x)dx

por lo que .

/h(y)dy - íg(x)dx = A A cte

es su solución, ^ Nota,2,2,1.- Observe que para aplicar lo anterior,las funciones h(y) y g(x) de-

ben ser continuas y la E.D, debe cumplir las hipótesis del teorema

2,1,2. además,los resultados son válidos menos para aquellos valo-

res de h(y) y de g(x) que hagan sus denominadores iguales a cero,

Nota.2.2,2,- Si consideramos a M(x,y)dx + N(x,y)dy = O como la ecuación general

de primer orden y primer grado,esta ecuación será de variables se-

parables si

M(x,y) = P(x)Q(y) y N(x,y) = R(x)S(y)

y pot tanto la E,D, M(x,y)dx + N(x,y)dy = O

se con vierte en P(x)Q(y)dx + R(x)S$y)dy = O

que puede e s c r i b i r s e como

P U l d x + ^ ^ dv - O R ü r ^ Q(y) ^ " °

y su solución es

Im^̂ îw -̂̂ -̂ - -Ej.2,2,1.- Eesolver ^ 5x -H xy^

dx y + x2y

si y(l) = 3.

La E,D, dada la podemos expresar así

ÉL ^ ^(3+y ) ^ _ x 3+y .

^ ' y(Ux2) " 1^x2 y

luego es de variables separables por tanto

dy = ^ - ^ dx 2 •' ~ -2

3 + y 1 + x"̂ integrando obtenemos

1 2 i Lñ( 3 ,+ y^) = i Ln( 1 + x^) + C

2 2

Ln ( ̂ * y_ ) = 2C 1 + x"̂

Como y = 3 cuando x=l entonces

Ln(6) = 2C

y la solución es P

Ln( ^ ^ ^ ) = Ln(6) 1 + x"̂

de donde obtenemos 2

1 + X

2 2 o sea y = 3( 2x + 1 )

Ej,2,2,2,- Resolver la siguiente E,D,

( 3xy^ + 3x )dx + ( x^y + 2y ) dy = O

La E.D, dada la podemos expresar de la siguiente manera

3x( y^+ l)dx + y(x^ + 2 )dy = O

que es de variables separables (Nótese que la E,D, es de la forma

Mdx + Ndy = O y tanto M como N son el producto de una función de x

por otra de y)

por tanto

^ dx + — ^ dy = 0 2 V*-- . 2

x"̂ + 2 y + 1 integrando lograunos

26

I" Ln( x^ + 2 ) + 1 Ln ( y^ + 1 ) = Ln(C) '̂ 2 '

Ln ( x^ + 2 )̂ (ŷ + 1 ) = Ln C^

o sea ( ̂ 2 ̂ 2 )5( y2 .H 1 ) = c^

Ej,2.2,3,- Resolver ,

T^ + 2x cosh(x)cosh(y) = O

La E.D, es de variables separables luego

sech(y)dy + 2xcosh(x)dx = O

/ s e c h ( y ) d y +j2xcosh(x)dx = A

2 como sech(y) = e^ + e - y

entonces Jsechiy)áy = í ^^^ _^ = 2 í - ^ dy = 2 t e - \ e ^ )

e l o t r o i n t e g r a l l o hacemos por p a r t e s

sea u = X . dv = cosh(x)dx

du = dx V = senh(x)

luego ^ -

[xcosh(x)dx = xsenh(x) - ysenh(x)dx

= xsenhv.x) - cosh(x)

•por l o que l a soüiución de l a E,D, dada es

2tg~^(e"^) + 2 l^xsenh(x) - cosh(x)J . = A

Ej.2.2,if.- Resolver la siguiente E.D. 2

yLn(j:)dx - ( x + 1 ) dy = O

Esta E.D. es de variables separables pues

( X + 1 ) 2 y

usando la integración por partes en la expresión de la izquierda

hacemos u = Ln(x) dv = P dx du = ldx ( W x ) ' ^ -

X _ X ''' ~ 1 + X

luego { Ln(x)

j( X + 1 ) • dx = x( 1 + X )~̂ Ln(x) -ln( 1 + x)

lo que implica que la solución de la E.D, es

x( 1 + X )" Ln(x) - Ln( 1 + x) - Ln(y) = LnC

x( 1 + X )"^ _i

y( 1 + X ) = Ax A = C

27

En algunos casos,las E,D. no son de variables separables y sin embargo,pueden

reducirse a otra que si lo sea mediante un cambio de variables.

Así,en la ecuación dx -dx

donde a y b son constantes,podemos hacer z = ax + by ,si eliminamos y tendremos

dx = f( ax + by )

1 / \ -I dy 1 / d z X

y = :̂ ( z - ax ) por lo que dx = b^ d^ ~ ̂ ̂ reemplazando en la E.D. tenemos

de donde obtenemos

i( g - a ) = f(z)

H - a =bf(z)

||=bf(z) . a

dz j = dx bf(z) + a

que es una E.D. de variables separables por tanto al obtener su solución debemos

reemplazar z por su equivalente que es ax + by.

Ej.2.2.5.- Resolver la E.D. S -̂ ̂ ̂ 2y = O

Nótese que ésta E.D. es de la forma d^ - f( x + bv ") donde

f( ax + by ) = - ( X + 2y ).

Sea z = X + 2y entonces y = ~ ( z - x ) y d x ~ 2 ^ d x ~ ^ ^ reemplazando en la E.D. tenemos

2^ dx 1 ^ - 2

^ - 1 - -2z dx ^ - ^^

luego / ^ ^ = dx

f 1 - 2z integrando obtenemos

^Ln I 1 - 2z I = X + A

1 - az = e-^( ̂^ * * >

2z = 1 - e-2' - * '̂ >

reemplazando e l v a l o r de z tenemos o ^ I , - 2 ( X + A ) 2x + ify = 1 - e

Zf y '= 1 - 2x + B e " ^ ^ B = - e " ^ ^

28

Teorema,2,2,l.- La E,D, ( a.x + b.y + c.)dx + ( a2X + b y + c )dy = O si

cumple que a,b - apb = 0 es reducida mediante la transfor-

mación z=a.x+b.y a una E.D, de variables separables.

Prueba. Sea z = a,x + b y entonces dy = 1_ ( dz - a. dx) por tanto la E.D, se trans-

forma en , 1

(z+c.|)dx + ra2X + ̂ ( z-a.x) + c II r ( dz - a., dx) j = O

f a -1 Hz+c.,) - -^ (b2Z + b^C2) I dx + - ^ i \î -z. + b^C2)dz = O L b̂ J b̂

luego

ya que a b - a.b = O

entonces .. -2( b2Z-. b^C2)

dx + — dz = O a. ĵ (z.ĉ ) - -i( b2Z^b^C2)J 1

que es una E,D, de variables separables.

Este teorema establece que si se tiene una E,D, en donde los coeficientes de

dx,dy son rectas paralelas,entonces la sustitución z = a.x + b y la convierte

en una E.D, de variables separables.

Teorema.2.2,2,- Una E.D, de la forma

yf(xy)dx + xg(xy)dy = O

mediante la transformación z = xy se convierte en una E.D, de

variables separables.

Prueba. Sea z = xy entonces dy = ^ por tanto la E.D, dada se trans-

forma en

|f(z)dx + xg(z)( 2dz_̂ _zd2L.) ̂ Q

Lf(z) - g(z)J dx + g(z)dz = O

luego dx ^ RJz) dz = O X " z [̂ f(z) - g(z)J

que es una E,D, de variables separables.

El teorema anterior nos dice que si se tiene una E,D, en donde el coeficiente

de dx es y multiplicada por una función dada en términos de xy,y el coeficiente

dy dy es X multiplicada por una expresión dada en términos de xy,la transfor-

mación z = xy convierte la E,D. en una de variables separables.

29

Nota,2,2,3»- En la mayoría de los casos,la forma en que está escrita la E,B,

nos dice la sustitución que debemos hacer;así por ejemplo si en

una E,D, nos aparece en uno de sus miembros la expresión

xdy + ydx

sabemos que esta expresión es d(xy) lo que implica la sustitución

z = xy.

Si aparece la expresión xdy - ydx notamos que d( 2L ) . ^^Y - .Ydx

X 2 X

y por t a n t o podemos hacer l a s u s t i t u c i ó n z . _ X.

En a lgunos casos es n e c e s a r i o hacer dos s u s t i t u c i o n e s .

E j , 2 , 2 , 6 , - Resolver , , \ / j , j \ í i ^ J N

•̂ x( X + y ) ( dx + dy ) = ^( xdy - ydx )

En pr imer lugar ,obse rvamos e l término xdy - ydx l o que i m p l i c a l a

s u s t i t u c i ó n w = "- o sea y = wx y probaremos que e s t a s u s t i t u c i ó n

no c o n v i e r t e l a E,D, en una de v a r i a b l e s s e p a r a b l e s . , xdy - ydx dw "> * 2

X

luego x^( l + w )^dx + x^ f x ( 1 + w ) - wl dw = O

o sea „/• 1 j . \ /i , x ( 1 + w ) - w j ^ dx + —̂ ^—5— dw = O ( 1 + w )'^

que no es de v a r i a b l e s s e p a r a b l e s ,

Pero s i observajaos detenidsunente l a expres ión dada, vemos que dx+dy

da l u g a r a l a s u s t i t u c i ó n z = x + y luego dz = dx + dy

o sea z = x + y = x + w x = x ( 1 + w )

por tanto _ z 1 + w

reemplazando en la E,D. tenemos

z dz = w ( T—-— ) dw 1 + w ^ 1 + w

i n t eg rando

dz = —r-- dv/ 1 + w

z = w - L n | l + w | + C

o sea X + y = ^ _ Ln!1 + ^ j + C

30

Veamos ahora algunas aplicaciones de las E,D. de variables separables,

Ej,2.2.7,- Hallar la ecuación de la curva tal que la longitud de la tangente a

ella desde el punto de corte con el eje X sea constante.

Supongamos que el punto F(x,y) pertenece a

esa curva,por tanto

además

pero

luego

AD = yctg(O) = 3

2 2 2 AP"̂ = y + AD''

AP = k = cte

dx dy

dx ,2 2 2, dx v2 2 r, ^ , v^ X,

k = y ^ y ( ^ ) = y L^ ^ ^ d7 ^

de donde se deduce que

. , 2 2J/2 dx _ + ( k - y ) dy ~ ~ y

integrando obtenemos

+ ( X + C ) = ( k̂ - yW^^ -kLn

= ( k" - y")

per» y = k cuando x = O

2J/2

K.(k^-y^)^/^

-kcosh - \ , k ( - ) y

'X luego la ecuación de la cxirva es

+x = ( k^ -y^)^'^^ - kcosh-^ \ )

Ej,2.2,8,- Un circuito tiene una resistencia de R ohmios,una inductancia de L

henryos y está conectado a una batería de voltaje constante E,Hálle-

se la corriente i,en amperios,que circula por el circuito t segundos

después de cerrarlo.

La inductancia y la resistencia casusan caídas de voltaje.La caída

debido a la resistencia es Ri 4ley de Ohm) y la debida a la inductan-

cia es L ^ .Se supone que el voltaje proporcionado por la batería es

igual a las caídas de voltaje producidas por la inductancia y la

resistencia.

En síntesis

L ^ + Ri = E

di luego "E - Ri

lo que implica que

dt L

-¿Ln|E-Ri|=^+A

íi

R

pero i = O cuando t

por tanto Lnj

1 0 de donde obtenemos que A = - Ln(E)

R ' E - Ri É _ Rt

1 - " T. E

31

de donde se deduce que R .

i = | ( 1 - e " ^ )

EJERCICIOS 2 . 2 , v

Resolver l a s s i g u i e n t e s E.D,

sen (y)dx + eos (x)dy = O donde y( 7" ) = r

( ^ , , ) d | _ ^ _ _ ^

2 Es ta ecuación r e p r e s e n t a l a pend ien te de una f a m i l i a djL _ _ 3x + xy dx "" 2y 2 de curvas en c u a l q u i e r punto ( x , y ) . E n c u e n t r e l a e-

+ X y cuación de a q u e l l a que pasa por e l punto ( 2 , 1 ) .

2 r dr sen(9) + e sen (9) j j r. ^ r. "K — = ^̂ •̂ 2—^—^ donde r = O ciiando 6 = 0 dtt 3 ^ ^ + e^cos(29) '̂ x^e^^^-^^y^d^ - y^e-^^-^y^dy = O y^( x2 - 1 ) g - x^í y ^ - 1 ) = O

L n ( y ) ^ + xy Ln( 1 + X ) = O

dy dx ~

dy dx ~

y ^ + y 2x

1 - y ^ . 2 , - 1

2 2 2 2 (xy + x)dx = ( X y +x + y + 1 )dy ( 1 ífc ( y ' ) ^ ) y ' " - 3 y ' ( y " ) ^ = o donde y " / 0

g + ( X + ify )^ = o 2 2

X + y y ' = X + y , X + y - 1 1

y = e '' - 1

y ' = sen( x -H y )

y ' = [Ln( 2 x + y + 3 ) + l ] " ^ - 2 ? 2

y ' = X * y - 1 Sug, Haga u = x + 2x + y

xy(xdy + ydx) = 6y dy

dx + dy = (x + y ) ( 1 + ^) (xdy - ydx)

(x + y )(xdy + ydx) -yx(xdx + ydy) = O

(x - 2y + 5 )dx - ¡2(x - 2y) + 9 ] dy = O

y ' + sen( ^ ^ - ^ ) = sen ( ^^- |-^)

2 2 (xy + 2xyLn y + yLn y)dx + (2x Ln y + x)dy = O (x^ - 2x^ + 2x^ - y^ + ifx^y)dx + (xy^ -¿|X^)dy = O

33

25) (x^y^ + y + X - 2)dx + (x^y^ + x)dy = O

26) (1 + x^y^)y + (xy - l ) ^xy '= O

27) ( x V + l)dx + 2x^dy = O

28) ( c t g X + t g x) dx - Ln( tg x)dy = O

29) d i _ 1 + y^ dx 1 + x'-

30) (x - y + 1 )^dy

EJERCICIOS 2 . 2 .

Tg(x) tg(y> = 1

y * b = c ( x + a ) ' '

( x ^ + 2 ) ( y ^ + 3) = 2/f'^

2 t g " ^ ( e ^ ) + t g " ^ ( c o s 9 ) = I 2 2

25(3x^ - l ) e ^ ^ + 9(5y^ + D e ' ^ ^ = c (x - l ) ( y + 1) = A(x +1)(y - De^y ¡ "̂̂

(Ln y )^ + (x^ - l ) L n ( l + x ) + x - | = A 2 X

y = c-^TT t g ' V y ) + tgh"^ (x ) = C 2

(1 -H y ) ^ = A ( x ^ + 1) e - ^ y - ^^ ? ? 2 2 2 2 2 2

x + y + A x + B y + C = 0 o a x + a y + 2abx + 2ady +d + b - 1 = 0

que representa la familia de circuios con centro en cualquier punto y radia

cualquiera.

8y = ctgh(2x . A) - 2x o 1 Ln|i-Í^{f-f^| - x = A

y*̂ + x"̂ = Ae"̂ ^

X + ê - ̂ - y =0

X + tg( f - 2_i_2L) ^ c o X + ^—y-rr- = ^ ^ ^ 1 + tg( ̂ y-^)

(2x + y + 3)Ln(2x + y + 3 ) = x + C 2 X

2x + X + y + 1 = Ce 2 2 2 y(x - 3 y ) = C con la sustitución z = xy

- 2 y (2fr * Cx)(x + y) + X = O con las sustituciones z = x + y, w = --2 2 2 2 ~ 2 2

xy =C(x + y ) con las sustituciones z = x +y jW = xy

(x - 2yl^ + 10(x -2y) + 2y = C

Ln(tg( f)) = C -2sen( | ) 2̂ 2

2x + (2xLn y + 1 ) = C con la sustitución xLn y = t

-x-̂ - X + 2x + y-̂ - -^ *= C con la sustitución y = tx

' 3x3 ^ 2 ^5

3x - 12x + ax y + 6xy = C con la sustitución t = xy _1

Cy = e ^ -txy; ^^^ ̂ ^ sustitución z = xy + TT Ln X = C con la sustitución m = xy

1 - xy 2

y = C Ln(tg x) o tg X = e y y = C + X o y = Cx + 1

-Cx +1 C - x

Zkx = 2(x - y)(x - y + 5) + 9Ln(2x - 2 y - 1) + A

3k 2.3. E.D. HOMOGÉNEAS

Antes de entrar a definir lo que es una E.D, Homogénea,veamos primero algunos

resultados ya vistos en cálculo.

Def,2.3,1.- Sea D una región en el plano Xí,Supongamos que los puntos (hx,hy),

con h^parámetro)mayor que cero,estén en D si (x,y) está en D,Una

función f = f(x,y) definida en D se dice que es Homogénea de grado

k si ,

f(hx,hy) = h'̂ f(x,y)

para todo punto (x,y) en D y todo h mayor que cero,

Ejs,2,3,1,- a) La función f definida por

f(x,y) = x(2y^- x^)

es homogénea de grado cinco en cualquier dominio D contenido eh

el plano XI pues

f(hx,hy) = (hx)[2(hy)^-(hx)^J= h^ [x(2y^ - x^)] = h^f(x,y) b) La función g definida por

/ N / 3 2 3 2 . 1 / 5 g(x ,y) = (x-^ + X y + y - xy )

es homogénea de grado 3/5 en cualquier dominio D contenido en el

plano Xí pues

g(hx,hy) = [(hx)^ + (hx)^(hy) + (hy)^ -(hx)(hy)^J^/^

= [h^(x^+ x^y-h y^-xy2)]^/5

= ĥ '̂ (̂x̂ + x^y + y^ - xy^)^^^

= h^/^ g(x,y) c) La función H definida por

H(x,y) = ^2 ' "^ ' ^̂ 2 ^ ^^^^ 7 ̂

X - xy + y

es homogénea de grado cero en cualquier dominio D contenido en

el plano XY donde xy ^ O pues

H(hx,hy) = (hx)^ . (hx)(hy) . (hy)^ , ^^^^ h^ )

(hx)^ - (hx)(hy) + (hy)"^ ""y

* ^2 " ""̂ " \ - -en( I ) X - X y +y

= h°H(x,y)

d) La función i d e f i n i d a por

xy "̂ (x -y ) '

es homogénea de grado cero en c u a l q u i e r dominio D donde

| x | > | y / , y / O contenido en e l plano XY,pues

35 . -3

u.x.^). eC'-'̂ c-)-. ^ .[^^^ly 4 { i » ]

= h ° i ( x , y )

e) La función j d e f i n i d a por • I s k 3 2 2 3 ^ h

j ( x , y ) = x^ - x^y + X y - xy^ + y^

e« homogénea de grado cuatro en cualquier dominio D contenido en

el plano XY pues

j(hx,hy) = (hx)^-(hx)^(hy) + (hx)^(hy)^-(hx)(hy)^ + (hy)^

= h'^(x^-x\ + x^y^-xy^ +y^)

= h^j(x,y)

f) La función k definida por

k(x,y) = ax + by + c a, b , c ctes

no es homogénea si c / O pues

k(hx,hy) = a(hx) + b(hy) + c

^ h(ax + by + c)

g) La función 1 definida por

L(x,y) = sen(x+y) cos(x-y)

no es homogénea pues

L(hx,hy) = sen(jChx) + (hy)] cos n (hx ) - (hy ) ]

pero s e n t h ( x + y ) J ^ h sen(x+y)

cos r h ( x - y ) j / hcos (x -y )

y por t a n t o

L(hx,hy) ̂ h°- L(x,y)

Entre las muchas propiedades que poseen las funciones,algunas nos serán de

gran utilidad sobre todo en lo concerniente a las funciones homogéneas,Así,po-

demos decir lo siguiente:^) Cualquier polinomio cuyos términos sean del mismo

grado en X e y,es homogéneo,Lo anterior es equivalente a decir que si en ;ma ex-

presión dada cada sumando es tal que la suma de los exponentes de x e y es siem-

pre el mismo,la expresión dada es homogénea, X Y

b) Cualquier función dada en términos de — o de íJ: y X

es homogénea de grado cero.

Es de aclarar que la función dada en el ejemplo c) está dada en términos de

^ pues ^2 Z 1+ ÍS + ( X )2 ^ H(x,y) = 2 £ - l ^ ^ + sen( ̂ ̂ = _ Z 1 ^ L I _ ^ 3en( ̂ )

X -xy+y"̂ ^ 1_ i +( X N2 y y y

36

y la función dada en ejemplo d) está dada en términos de ̂ pues

i(^»y) . e ^ Í ^ \ tg( ¿ Í ¿ ) . Ln(g^) . Í 4 - V 1 X

1/2

,3 f i + ( ^ )^1 1 + í 1 - í A

xy (x -y )

ri.iiii!l = '̂ ^ ' ' ^ *«l-7Tfr- | * ^ ( 7 - 1 ' y, 'y.211/2 X f - < | ) ^ J

Téorema,2.3.1.- Si f(x,y) es una función homogénea de grado n,entonces f(x,y)

se puede expresar como el producto de un^ función de x por otra

üe

X

Prueba, Como f(x,y) es homogénea de grado n,entonces

f(hx,hy) = h°-f(x,y)

Además,h es cualquier cantidad y por tanto podemos hacer h = — por lo que .

f(hx,hy) = f( I , ̂ ) = f( 1 , I ) = ~ f(x,y)

X

de las dos últimas expresiones concluímos que

f(x,y) = x'̂ f( 1 , I )

pero f( 1 , ~ ) es una función que depende de uno y de ̂ y por tanto po-

demos escribirla como íf( ̂ ),luego

f(x,y) = x"" (2f( ̂ )

El teorema anterior nos dice que una función homogénea de grado n se puede

expresar como el producto de dos funciones,la una dada en términos de *- y la

otra en términos de x donde esta última siempre es x elevada al grado de homo-

geneidad.

De lo anterior es fácil ver que si una función f(x,y) es homogénea de grado

cero,entonces esa función se puede expresar en términos de ̂ ,

Ej,2,3.2,- La.función M definida por

M(x,y) = y(x^ + xy % y^)

es homogénea de grado tres y esta función,según el teorema anterior

se puede expresar como 2 „3 M(x,y) = y(x^ + xy - y^) = x^( ^ +J__ - ^ )

x2 -̂

donde la función que depende de ̂ es

íD^^ ' i ' ' ] X

37

Def,2,3»2.- Una E.D, de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = O es llamada Homogénea

si M$x,y) y N(x,y) son homogéneas y del mismo grado,

Ej,2.3,3,- Las siguientes E.D, son Homogéneas,

a) (x^ - y^)sen ( J- )dx + x^sen( ey'̂ )̂dy = O

pues M(x,y) = (x - y )sen( ^ )

y N(x,y) = X sen( ey^^)

son homogéneas de grado dos,

^^ ¿ ^ dx -K (x^ - y2)l/2 L^( ¿ ^ ^ ),y ^ O (X - y)

1/2 -- - V- - J / ---v xy

x^/2 pues M(x,y) = r-r

(x-y)^/2 2 2

y N(x,y) = (x^ - y^)^/^n( "" ^ ^ )

son homogéneas de grado uno.

Nótese que:ula E.D, M(x,y)dx + N(x,y)dy = O la podemos escribir como

di M(x,y) _ dx N(x,y) " ̂

siempre y cuando N(x,y) / O,Entonces,si la E.D, es homogénea es porque M(x,y) y

N(x,y) son homogéneas y del mismo grado y por tanto la f\inción f definida por

fU,y) - jj(̂ ŷ)

es homogénea de grado cero,o sea que la función f la podemos escribir en térmi-

nos de ^ , digamos (̂ (, "^),Entonces la E.D, anterior toma la forma

^ + ijSi ^ ) = O dx "̂^ X Nota,2,3.1.- Següjci. lo anterior,la expresión ^ desempeña un papel importante en

las E.D, Homogéneas por lo que es de esperar que la sustitución

z = ~ transforme las E,D, Homogéneas de primer orden y primer gra-

do en E.D, de variables separables.

Teorema,2,3,2,- La sustitución z = ^ en una E,D, Homogénea de primer orden y _

primer grado conduce a una E.D, de variables separables.

Prueba, Sea z = ̂ y M(x,y)dx + N(x,y)dy = O cualquier E,D, Homogénea de primer

orden y primer grado,Según el teorema 2 , 3 .1. podemos escribir

M(x,y) = X Q( -̂ ) y N(x,y) = x°^( ^ ) donde m representa el grado

de homogeneidad de M y N,

Luego la E,D, M(x,y)dx + N(x,y)dy = O puede escribirse como

x\( I )dx + x"'p( I )dy = O

Como z = ̂ entonces y = zx y por tanto dy = zdx + xdz

Reemplazando en la E,D, equivalente a la dada tenemos

33

x"̂ [Q(z)dx + P(z) (zdx + xdz)J = O

y de aquí logramos

[Q(Z) + zP(z)'] dx + xP(z)dz = O

luego dx P(z) "^ „

X •*• q(z) + zP(z) = "

que es de variables separables.

El teorema anterior nos dice que la solución general de una E.D.Homogénea se

obtiene al resolver la E.D. de variables separables que.se logra mediauate la

sustitución z = "̂ ,teniendo presente reemplazar z por su valor en la solución

de la E.D. de variables separables.

Ej,2.3,if,- Resolver la siguiente E,D, dy __ X - y dx X + y

Observamos que 1 - ^

áü_ ^ x_ dx 1 + í.

X

o sea que y'se puede escribir como una función de *• por lo que la X E,D, es Homogénea, h '

Sea z = ~- entonces en la E.D, tenemos Sea z = X entonces y = zx luego dx ~ ̂ "*" ^dx ^^^ ^^® reemplazando

dẑ _ 1 - z ^ ^ d x ~ 1 + z 2

dẑ _ 1 - 2z - z dx ~ 1 + z dx 1 + z X " , _ 2 1 - 2z - z


Lnjxj - Ln(C( = - ^ Lnjl - 2z - z^|

Ln|x^(1 - 2z - z^)| = Ln C^

así que o p o X (1 - 2z - z'̂ ) = C"̂

reemplazando z por su valor logramos 2 2 2 x^ - 2xy - y"̂ = C^

Ej,2,3,5.- Encontrar la solución general de la E.D, xy' = y - ( x^ + y2)l/2

Despejando y 'obtenemos

que es una E.D, Homogénea,

Sea z = i entonces y = zx y por tanto dy dz

http://que.se

39

reemplazando en la E.D, dada tenemos dz , , ̂ 2v1/2 z + x ^ = z - ( 1 + z ) '

o sea que

dx dz

- (1 . z^)^/2 -

integrando obtenemos ^ ^

Ln|xj+ Ln I z + (1 + z^)^'^^| = Ln C

luego x [ z + tl + z^)^/^^ = ""

y por tanto 2 2,1/2 = C

y + (x + y ) '

Ej,2.3.6,- Encontrar la solución general de la siguiente E,D,

(6x^ - 5xy - 2y^)dx - (6x^ - 8xy + y^)dy = O

Observamos que ̂ ^^^^^ ^ ^^2 _ 3 ^ _ 2y2 2 2

y N(x,y) = -(6x - 8xy + y )

que son funciones homogéneas de grado dos pues

M(hx,hy) = 6(hx)^ - 5(hx)(hy) - 2(hy)^

= h^(6x^ - 5xy - 2y^)

= ĥ Fi(x,y)

> J í ^ '

N(hx,hy) = -[6(hx)^ - 8(hx)(hy) + (hy)^J

= - h (6x - 8xy + y )

= h^ N(x,y)

luego la E,D, dada es homogénea.

Sea w = ̂ entonces dy = wdx + xdw y reemplazando en la E.D, tenemos

(6x^ - 5x^w - 2x^w^)dx - (6x^ - 8x w + x̂ v/̂ )(wdx + xdw) = O

luego 2 3 2 (6 - 1 Iw + 6v/ - w^)dx - (6 - 8w + w )xdw = O

por tanto ^ 6 - 8w -H W^ ,

~ ^ I ,, , . 2 3 "̂̂ 6 - 11 v/ + 6v/ - w^

así que integrando (por fracciones parciales) obtenemos como solución a la expresión „ ip

(y - x)(y - 3x)^ = C (y - 2x) "̂

Teorema.2,3,3,- La E,D, (a x + b y + c )dx + (a2X + b2y + C2)dy = O domde

a.b - a b ^ O se puede reducir a una E.D. Homogénea de la forma ,

(a^X + D^Y)dX + (a2X + b2Y)dy = O

mediante la transformación

X = x - h y = y - k en donde (h,k) satisface las ecuaciones

a.x + b y + c = O

a2X + h^^ + C2 = O

Prueba. Sea (h,k) el punto de intersección de las rectas

a^x + b^y + ĉ = O

a^x + b2y + C2= O

entonces v . x. 1 n

a-h + b.k + c. = O

a h + b k + c = O

restando,respectivamente,estas ecuaciones obtenemos

a^(x - h) + b^(y - k) = O

a2(x - h) + b2(y - k) = O

que representan,respectivamente,a las rectas

a,x + b y + c = O

a X + b y + C2 = O

Sea

X = x - h Y = y - k

entonces dX = dx dY = dy

así que reemplazando en la E.D dada tenemos

(a^X + b^Y)dX + (a2X + b2Y)dY = O

que es una E,D, Homogénea,

Nótese que la eonáición a.b - a_b / O es importante pues nos garantiza que ^^^ ̂ ^^^^^ a^x f b^y -H ĉ = O

^2^ + l>2y + ^2 = o

se intersectsin en el punto (h,k) y por tanto el teorema anterior nos dice que

cuando tenemos una E,D, en donde los coeficientes de dx,dy son rectas no para-

lelas,la sustitución X = x - h , Y = y - k la convierte en una E,D, Homogénea,

Ej,2,3.7.- Resolver la siguiente E,D,

(x - y + 3)dy - (3x - y - 1)dx = O

Las rectas x - y + 3 = O

-3x + y + 1 = O

se cortan en el punto (2,5) luego

x - y + 3 = (x - 2)-(y - 5) =O

-3x + y + 1 =-$(x - 2) + (y - 5)

así que hagamos X = x - 2 Y = y - 5

por tanto dX = dx dY = dy

reemplazando en la E.D, tenemos

(X - Y)dY + (-3X + Y)dX = O que es una E,D, homogénea pues

M(X,3f)= X - Y N(X,Y) = -3X + Y Y

son homogéneas de grado uno,así que si hacemos z = y la E,D, ante-rior se transforma en 2

Y áz _ 3 - z _ z -2z + 3 ^ d X - l - z " ^ : 1 - z

por tanto z - 1 , dX „ —̂ dz +. ̂ = O integrando legramos

|Ln|z^ - 2z + 3| + Ln|X|= Ln|A|

luego P T r i z - 2z + 3) = A"̂

reemplazando z por su equivalente y X,Y por x - 2 y y - 5 respectiva-mente tenemos P P ?

(y - 5) - 2(x - 2)(y - 5) + 3(x - 2)^ = A"" 2 2

3x - 2xy + y - 2x - 6y = C donde c = A^ - 17

Algunas E,D, no homogéneas pueden convertirse en E.D, homogéneas con el cambio

de variables y = v o x = t,Para utilizar estos casos es recomendable escri-

bir la E.D, como y' = f(x,y) pues de esta manera es fácil ver la sustitución

que hay que hacer,

Ej,2,3.8.- Resolver la siguiente E,D,

(2xy - 4x^)dx - (2y - x^)dy = O

Es fácil darse cuenta que dicha E,D, no es homogénea pero 3 2

dy _ 2xy - 4x'̂ _ 2x(y - 2x ) dx ~ ̂ 2 - ^ 2

2y - X 2y - X 2

por tanto L_ d^ _ y - 2x 2x dx ~ _ 2

2y - X 2 así que si hacemos t = x la E,D, se convierte en homogénea pues

dt _ p„dx dy " dy

o sea que ^ y - 2t dt - 2y - t

si hacemos z = r obtenemos

- ^ 2 . ^ dz = - 2 ^ 2 t

z^ - z + 1

integrando logramos

Ln/z^ - z + l / = - 2 L n | t | + L n / c /

luego " p (z"^ - z + l ) t ^ = C

r reemplazando z y t por sus respectivos valores tenemos

kz 5

"y ̂ que es la solución general de la E.D, dada,

2 2 k n y - x y + x = C

/

k3

fiJERCICIOS 2 , 3 .

Resolver l a s s i g u i e n t e s E,D.

1) (x^ + y^)dx - xy^dy = 0 y ( l ) = O

.2 ) . u ' ^ y y ' ^ ^ •' " X

3) y 4 < 7 * I ) h) (x^ - y^)dx - 2xydy = O

5) y ._ (x-H y ) ^ / ^ . - ( X - y ) ^ / ^

' - ( x . y ) l / 2 . ( x - y ) ^ / ^

6) (3x - y - 9)dy - (10 - 2x + 2y)dx = O

7) (3x + y - 5)dy - (2x + 2y - 2)dx = O

8) (ifx + 3y - 7)dx + (3x - 7y + k)dy = O

9) (x^ + y^ - 2x - 4y + 5)dy - (xy - 2x - y + 2)dx = O

10) 3y ' = - 2

y + xy

3y^ - X

11) ( W ^ ^ - 6y)dx + iky^^^ - 3x)dy = O

12) ^ . . _ . 5 L ^ ^ U x - 2yx

13) Suponga que y '= f ( x , y ) donde f ( x , y ) es una función homogénea de grado c e r o .

Demostrar que l a t r ans fo rmac ión a coordenadas p o l a r e s x = rcos9 ,y = r sen9

l a t rans forma en una E,D. de v a r i a b l e s s e p a r a b l e s .

EJERCICIOS 2 , 3 ,

1

7

8

y 9

10

l í 12

y ^ = 3x-^ Ln X

y^ + y ( x ^ + y W ^ ^ + x ^ n ( y + (x^ + y ^ ) ^ / ^ ) - 3x^Ln x = Cx^

x^ - y ^ = Cx

x^ - 3xy^ = C

X + (x - y ) '

X + ifxy + y = C

(y - X + 3 ) ^ = A(y + 2x - 3 )

h x - + 6xy - 7y^ - U x + 8y = C

Ln(y - 2) - ^ ' ' " ' ' ^p = A 2 ( y - 2 ) ^

X- + 2xy^ - 3y = c V = y-^

y - 3 x y ' / 2 , 2y , o V = y ' / ^

2x * y x ' / 2 - y^ = C t = x ' / 2

Z.k . ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Def,2,if,1,- Dada una función f = f(x,y) continua y con derivadas parciales con-

tinuas en una cierta región R del plano XY,sabemos que el diferencial

total de f está dado por

df = 4^dx + ^dy

A la expresión —¿dx + .^dy la denominaremos diferencial exacta

y cuaindo sea igual a cero la llamaremos E,D, Exacta,Luego,la expre-

sión f(x,y) = C la llamaremos integral de la E,D, Exacta,

Ei,2.it. 1.- Hallar la E.D, Exacta de la expresión

f(x,y) = X y + x^ = C

De la Def,2,¿f,l, sabemos que la E.D. Exacta de f está dada por

i£dx ^^dy = 0 o sea 2 2

(2xy + 3x )dx + X dy = O

Obsérvese que cuando se tiene la función f = f(x,y) y se quiere hallar la E.D.

Exacta no tropezamos con dificultades,entonces el problema se presenta cuando

se tiene una E.D. Exacta y se desea saber cual es su solución general.Analicemor

esto último por intermedio de un ejemplo,

Ej,2.A-.2.- Resolver la E.D, Exacta

(1 - x^y)dy + (1 - xy^)dx = O

(Nótese que se afirma que la E,D, es exacta o sea que existe una

función de la forma f(x,y) = C que es solución de ella)

Primer Método, Agrupando términos tenemos 2 2

(dx + dy) - (xy dx + x ydy) = O

d(x + y) - d(xf¿) = O 2

y su solución es 2 2

X + y - X y = C

Este métoao no siempre se puede aplicar a E,D, exac-

.tas.

Segundo Método, Como la E.D. dada es exacta,entonces tiene la forma

ijf dx + ^ d y = O donde f(x,y) = C dX o sea que

^ = 1 - xy2 y >i = , - x^y

así Que integrando la expresión

it = 1 - xy2

con respecto a x,observamos que la constante de in-

tegración que resulta depende de y.

luego

^5 2 2 f = X - ̂ + eí(y)

como f es solucióndte la E.D, dada debe satisfacer a

ii. = 1 - x^y

por tanto - P -X y + íf'(y) = 1 - X y

de donde resulta que

dJ2̂ (y) = , dy ^

por lo que 2̂ (y) = y

y la solución general de dicha E.D, es

f = X - ^ ^ + y = C

Se presenta ahora el siguiente problema: Si sé tiene la E.D,

M(x,y)dx + N(x,y)dy = O

como sabemos si ésta E,D, es exacta?

Antes de contestar la pregunta,notemos que la E,D, es de primer ordeh y primer

grado.La respuesta que tenemos,hasta ahora,es la siguiente:Si existe f(x,y) = C

tal que ZJL = M(x,y) y ̂ = N(x,y) la E.D. es acacta.

Por tanto,debemos buscar una respuesta mas general a la pregunta anterior y que

está dada por el siguiente teorema.

Teorema,2,¿f. 1 .- La condición suficiente y necesaria para que


sea una E.D, Exacta es que ^

En otras palabras,M(x,y)dx + N(x,y)dy = O es exacta si y solo

si id =áí

Prueba. (:=:̂ ) Condición necesaria.

Sabemos que M(x,y)dx + N(x,y)dy = O es exacta y demostraremos que

Como M(x,y)dx + N(x,y)dy = O es exac ta entonces,existe f(x,y) =C

tal que |¿ = M(x,y) y 1£= N(x,y)

Por hipótesis sabemos que M y N tienen primera derivada parcial

continua en una determinada región R del plano XY (Def.2,^.1.)

por tanto .̂ ,

5ydx y "Ráy son continuas. Por Cálculo sabemos que

dY¿% ^ X 3 / y como

entonces

¿ y ¿)f ) Condición suficiente.

Sabemos que M(x,y)dx + N(x,y)dy = O y que - ^ = r—- debemos

demostrar que M(x,y)dx + N(x,y)dy = O es exacta o sea que existe

f(x,y) = C tal que3¿= M(x,y) y ii" = N(x,y). o A wy

Para ello supongamos que existe esa función f(x,y) = C tal que ¿¿ = M(x,y) y probemos que esa función también cumple que

|i = N(x,y).

Veamos,como

f = ÍM(x,y)dx + í?(y)

demostraremos que

•^jM(x,y)dx + (2í(y)l = N(x,y)

o lo que es lo mismo

íf'(y) = N(x,y) - ^r/M(x,y)dx

osea que

N(x,y) -^JyLÍx,y)áx solamente depende de y lo que se cumple si

^fN(x,y) -j^I(x,y)dx J = O

Entonces p * "1

ax ^x^y/

= Z P M ) . Jíl- /Mx,y)cyx

^ o pues ^ .

aV6 .̂y) .

Luego (2̂ *(y) depende solamente de y lo que Implica que


es exacta.

El teorema anterior nos dice que si deseamos saber si la E.D.


es exacta basta demostrar que zij = r^Z y ̂ ara encontrar su solución general . se procede como en la segunda parte de dicho teorema.

El teorema anterior también puede enunciarse de la siguiente forma

Teorema,2,4.2.- Sean las funciones M y N continuas que poseen primeras derivadas

parciales continuas en el interior de un rectángulo R definido

"̂"̂ |x-x,l¿a |y-yj ^b Entonces una condición suficiente y necesaria para que la ecua-

ción


sea exacta es que

enJR..'Cuando está condición se satisface,la solución es dada por f(x,y) = y*M(s,y)ds +yVN(xQ,t)dt

donde (x ,y ) es un punto fijo en R y (x,y) u4 punto arbitrario

en R.

Ej.2.¿+.3.- Resolver la siguiente E.D.

~ l y T 7 ) ^ ^ ' ^ , ( / . , a , , / 2 "^ = o En e s t a E.D.

^^^>y^ = , 2 ^ 2,1/2 N^^'y)- = 7 Z 2 1/2 (x^ + y^)'^"" y y(x^ + y '^r^^

Veamos si es exacta ¿M _ y ^ ^ " (x^ . y^)3/2

^ E _ _ i f c ^ ^ + y^)^^^ - I 2 ^ 2,1/2 ax y 2 2

X + y

c ^ + y )

= -l_yÍ ^ Cx2 + y2)3/2

( x^ -H y2)3/2

48

luego jri = •^ lo que implica que la E.D. es exacta.

entonces existe f(x,y) = C tal que ̂ = M y jl = N

por tanto r ^ '

f = /Ndy + Í2f(x) o f = J ñ á x + ̂ (y)

Como se puede observar,es mus fácil integrar M,luego

f = JMdx + 9(y) = /"(x^ + ŷ )"̂ ''̂ dx + 9(y)

haciendo uso de la sustitución x = ytg z se obtiene

pero -^ = N

por tanto

, ^ I,,, xiJxii^£l|£|^ ̂ (y,

X * i.y:yy^

i, 2 ~ 271/2 ^x + y )

, 2 2 , 1 / 2 1 - X - ( x + y ) '

4- 9 ' ( y ) = y ( x 2 ^ y 2 ) l / 2

_ X12CLLJ¿11^LL^^ y ( x

•̂ y ^ ) ^ ^ ^ -̂ X^ , _ + Q ' (y ) - i _ S ^ ^ 2 , l / 2 r ^ , 2 2 , 1 / 2 1 ^y-" ~ y , 2 ^ 2 , 1 / 2 +y ) I x+(x + y ) J ^ y(x +y )

y(x 2 2 , 1 / 2 + ® ' ( y ) - y - 2 2,1/2 + y ) '' y(x +y )

lo que implica que e'(y) =

o sea

Luego

9(y) = Ln y

2x1/21

+ Ln y = C

de donde Ln | x + (x^ + y^) '̂ |̂= C

que también podemos escribir como ^ ( Z 2,1/2 C

X + (x + y ) ' = e

si hacemos e = B entonces

X + (x^ + y W ^ ^ = B es la solución general de la E.D. dada.

Ej,2,¿f.¿f.- Resolver la E.D, JL [• (x+y)' 1

En esta E.D,

]-Í '-^ dy = O M(x,y) =

( X + y)' -̂ 1 N(x,y) = 1 -

X

(x+y)'

entonces

¿fg 3 r t ^ (xH-y)^-2y(x+y) ^ x-y * ^ (x+y)^ (x+y)5

^hl _ _ (x+y) -2x(x+y) _ _ y-x _ x-y ^^ ~ (x+y)^ (x+y)^ (x+y)^

luego -^^ = ¿í¿ y por tanto l a E.D es exacta,Entonces exis te f(x,y) = C t a l que 2 i . = —^—~- - 1 Ü . = 1 -

»«' (x+y)^ ^^ (x+y)^

f = jN(x,y)dy + 9(x) = A f 1 - - ^ — j dy + 9(x)

= y + - ^ — + 9(x) •' x+y

pero A t = M(x,y)

(x+y) (x+y)

^ + 9 ' ( x ) = ^ - 1 (x+y) (x+y)

lo que implica que 9 ' (x ) = -1

o sea 9(x) = - x Luego ^ ^ ^ _ ^ _ _^ ^ c

J' x + y

o lo quw es lo mismo

y^ - X + X = C(x + y)

que es la solución general de la E.D, dada,

Ej,2./4.,5,- Probar que una Condición suficiente y necesaria para que la ecua-

ci'ón f(x)dx + g(x)h(y)dy = O

sea exacta es que g(x) sea cosntante.

El problema dado es equivalente a demostrar que

f(x)dx + g(x)h(y)dy = O es exacta si y solo si g(x) es constante

Supongamos que f(x)dx + g(x)h(y)dy = O es exacta y demostremos que

g(x) es constante.

Como f(x)dx + g(x)h(y) dy = O es exacta entonces

^[^(-n = |í[s(x)h(T)] O = g'(x)

por tanto g(x) - C donde C es constante.

Supongamos ahora que g(x) es constante y demostremos que

f(x)dx + g(x)h(y) dy = O

es exacta.

Sea g(x) = A A constante,entonces la E.D, daéa se convierte en

f(x)dx + Ah(y)dy = O

50

en donde M$x,y) = f(x) y N(x,y) = Ah(y)

luego M i4¿- - O

por tanto la E,D, es exacta.

A veces cierto tipo de E.D. no son exactas así ydx - xdy = O no es exacta

pues M = y y N = -x y por tanto ̂ = 1 , ¿íi = -1 luego 1 ^ ^ ^ ¿ ^

pero,observando la E.D. vemos que si la multiplicamos por la expresión _2

u(x,y) = y

tenemos dx x j„ _, - - -2

51

La anterior definición nos dice que un factor de integración transforma una

E,D. no exacta en una que sí lo es,O sea que si


no es exacta y u(x,y) es un factor de integración de dicha E,D,,entonces

u(x,y)K(x,y)dx + u(x,y)N(x,y)dy = O

es una E.D, exacta.

En base a lo anterior conviene recordar lo siguiente:

d(xV) = px^'V^dx + qy^y'^'li^ = xP~V^"^(pydx + qydy)

d( ̂ ) = x"^(xdy - ydx)

d( j ) = y" (ydx - xdy)

d(tg"U^))= (x^ + y^)""Uxdy - ydx)

d(tgh"^|))=(x^ - y^)"Uxdy - ydx)

2 2 d(px +qy ) = 2pxdx + 2qydy = 2(pxdx + qydy)

en donde las E,D, encerradas en paréntesis soó no exactas y los términos que la

acompañandos que multiplican) a su izquierda son los factores de integración de

dichas ecuaciones.

Nótese que el factor de integración de una E,D, no es único,

Nota,2,if.1 ,- Si u(x,y) es un factor de integración de la E,D,


entonces,ésta E,D, tiene un número infinito de factores de integra-

ción dada por

u(x,y)f(g)

donde f es una función arbitraria de g que es una solución de la

E.D.

Para ver esto notemos que

uMdx + uNdy = O

es exacta o sea que existe g(x,y) = C tal que

z A = uM y ^ = uH o sea que

ui^Idx + viNdy = dg

multiplicando la anterior E.D. por f(g),donde f es una función con-

tinua arbitraria de g,obtenemos

u(x,y)f(g)Mdx + u(x,y)f(g)Ndy = f(g)dg

que es una E.D. exacta y por tanto

u(x,y)f(g) es también un factor de integración de la E.D.

Mdx + Ndy = O

3Z

Ej.2.if.6.- Resolver la ecuación

ydx - X dy = O

En base a lo anterior,ésta E.D. tiene como factores de integración

entre otros a los siguientes: —2 2 2-1 2 2-1

u^(x,y) = y , iy:x,y) = (x + y ) ,u^(x,y) = (y - x )

^^^»y^ = h donde x / O,y 4 O.Si multiplicamos la E.D, dada por u.|,U2»u^ y u,

respectivamente obtenemos

idx - ^ dy = O , 2 ^ ^ ^ x - - f 2̂̂ y = O " ^ y x + y x + y

^ ^ ^ 2 ^ - ^^^—2^y = O ' i d x - i d y = 0 y - x y a X

que son E,D, exactas cuyas soluciones respectivas son

^ = Ĉ , tg-^ I ) = tg-^C2 , tgh-^ I ) = tgh"^C^ , Ln( I ) = C^

que conducen a la ecuación

X = Cy

Debido a la nota,2,if,l , ,1a E,D. ydx - xdy = O tiene un número infini-

to de factores de integración y para encontrarlos basta encontrar

uno de ellos. _2

En este ejemplo supongamos que u,(x,y) = y es el factor de inte-gración conocido;entonces la solución de la E.D, es x = Cy que re-presenta la función g de la nota 2.Í4-, 1. y que la escribiremos así:

X n

g = - = C y

Entonces,si tomamos f(g) = —p tenemos g + 1

u, (x,y)f(g) = y"^ 1 = y"^ ( „ p = ^ 2 , ^ - )'̂+ 1

g + 1 y ' — ^ — 2 =^2^^»y^ x + y

2 si tomamos f(g) = g entonces

u,(x,y)f(g) =y-2( S )2 ̂ £ y h

y es otro factor de integración,

si tomamos f(g) « g~̂ tenemos ^(x,y)f(g) = y-2( JL ) = J_ ^ ^ y .

X xy ¿i^^>y^

53

Cual es la funci'on f(g) para obtener el factor de integración u^?

Nótese que el .método anterior de encontrar loa factores de integra-

ción de la E.D. dada depende de la solución obtenida con el primer

factor de integración u,.Sin embargo,si podemos encontrar dos facto-

res de integración de la E.D. Mdx + Ndy = O por inspección o por

cualquier otro método,entonces podemos encontrar la solución general

de dicha ecuación sin hacer uso de integraciones(ver ejercicios).

De lo anterior,surge la siguiente pregunta:Dada una E.D. no exacta Mdx + Ndŷ

= O,será siempre posible encontrarle el factor de integración? La respuesta es

afirmativa pero en algunos casos encontrar ese factor de integración es demasia-

do laborioso,sin embargo existen algunos métodos que se emplean a menudo y que

a continuación explicamos.

Teorema,2.4,3,- u = u(x,y) es un factor de integración de Mdx + Ndy = O si y

solo sí u satisface la E.D, Parcial

ay >x ^ ¿X ¿ly '

Prueba, u es un factor de integración de Mdx + Ndy = O si y solo sí

uMdx + uNdy = O

es exacta lo que se cumple si y solo sí

dy ^ ^

M|^-//^,^C^-f7^) y 'Tx

Casos especiales del teorema 2,^,3,

a) u es una función que solamente depende de x. ( u = u(x))

Como u es una función que solamente depende de x,la derivada parcial

de u con respecto a y es cero y la derivada parcial de u con respecto a X se convierte en la derivada total o sea ^ = 0 y ' ^ ^ = ^

dV yrá. dx por lo que la E,D, Parcial

se convierte en , .̂ .-

^̂ dx - ^ ^ d ^ Tf ' que es equivalente a

du u

luego

o sea

N

L n u = - / ^ \ ^ clx

a - Q ^ N

dx H(x,y) / O

3k En síntesis,el factor de integración u depende solamente de x si la

expresión SH » í̂l ^ x -ay

está dada en términos de x.

Ej.2.4.7.- Resolver la E.D, 3 z z

ixy + l ) d x + x y d y = 0 = OXV V _ La E,D, no es exacili pues -«- = 3xy y ^ = 2xy

entonces DM / ̂ í^ ^̂ . - ̂

-iU -bjA 2 ^x ¿y -x¿ 1 p"^° Ty ' Sy = -^y y — Ñ = ; ; 2 ^ = - X

ai/ - :£il o sea que ¿X b^ es tfna fxinción que depende de x y por t a n -

N to el factor de integración de la E,D. dada depende solamente de x.

- r. i dx A , 7 2c J X

Luego _ ,̂ ̂ ̂ . , ̂ dx j^^^ u = e ' ' = e ' " = e = x

por tanto la E,D, 2 5 3 2

(x y^ + x)dx + X y dy = O a / 2 3

es exacta o sea que existe una función f(x,y) = C tal que _£ =x y +x if 3 2 ^X

y 'ú^ Como es más fácil integrar —^ entonces

f = f x ^ y ^ á y + 9(x)

= ^ «©(x)

|I = ̂ V -̂ X luego ^2y3^ e,(̂ j ^^2y3 ^ ̂

©'(x) = X

©(x) = ¿ 2

pero

por lo quw 3 3 2

^ - 3 * 2 - ̂

es la solución de la E,D. dada,

b) u es una función que solamente depende de y,( u = u(y))

Como u solo depende de y,entonces la derivada parcial de u Bon res-

pecto a X es cero y la derivada parcial de u con respecto a y se

convierte en la derivada total o sea ~ . = 0 y r—r = -r-¿X ^y °y

y por tanto la E,D, parcial

33 se convierte en

que es equivalente a a»/ _ •^t\

^ = ^ " „ ^ dy M(x,y) ̂ O

Ln U = i rr ^ dy

o sea I ^̂ Tj dy u = e

j_Jl_21_

En resumen,el factor de integración u depende solamente de y si la

expresión r ̂ « 5/l

-Uí iZ_ M •

está dada en términos de y. Ej,2,/i.,8.- Resolver la siguiente E.D.

2 3 X dx - (x y

La E.D. dada no es exacta pues

x^dx - ( x ^ + 3y^)dy = O

en ay = ° y por t a n t o

^^/ ^M P^^° SX - ¿>y

m o sea que "Ĵ x

y

, 2 2 = -3x y y

7>rA ay es una

0 = - 3='̂^̂

>x >y _3xV . z M - ^2 - ^

X

función que depende de y por l o M

que el factor de integración de la E.D. dada depende solamente de y

luego r ^ 2 , _, 5 u = e ^ ^ y '̂ y = e-y '

entonces, 3 3 2 p . J > X e -̂ dx - (x^y + 3y )e -̂ dy = O

V ̂ 2 —y"

es exacta,o sea que existe g(x,y) = C tal que 'I = x e '' » | = - (x\= . 3y")e-^

como es más f á c i l i n t e g r a r SliL en tonces

y 2 -y^ g = / x e - ^ d x + 0(y) ,3

f- e -y" + ef(y) 3

pero I * - = - (x^y + 3y^)e~y

1^^S° _ x V e - y ^ - í? ' (y) = - (x^y2 + 3y^) -y^ e "̂

56 2 -y^ r(y) = -3y e y

o sea 3 fií(y) = e-y

y por tanto

g ^ | i e-y^ -̂ e-y = C

es la solución general.

c) u está dada como el producto (o cociente) de dos funciones donde una

depende de x y la otra de y,( u = u.(x)Up(y))

En este caso / v ^ = u, ( x ) 2 V £ i = u. (x)u:(y) ¿y 1 -yy 1 2

iü = u_(y).^V£. = Up(y)u:(x) >X 2 ĝ ĵ 2 1

y la expresión

¿y " ÍX

se convierte en

t ,^.Hy U2(y) u^(x)

y como M,N y ^ "~'5v' ^'^^ conocidas,el problem^ se reduce a escri»-

bir TíT ̂ ̂ ^ en términos de M y N donde el coeficiente de M depen-

de exclusivamente de y y el de » depende únicamente de x.

Ej.2,it.9.- Resolver la E.D, -1 2 X d x - ( l + x y ) d y = 0

Esta E.D. no es exacta pues

y por tanto - r ^ 4

^ - - y ^

>ir dX pero § ^ _ ¿ í í . 2 , , . , . ,,, 1 ,

dx t r = - y = M(i.) - N(- - ) = x"̂ - - (1 + xy2) (- i )í

entonces ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

ü^ÜT "" ̂ û (x) "̂ - X de donde obtenemos

Lnu2(y) = y Lnu^(x) = - Ln x

Y 1 U2(y> = e-' u^(x) = t -

f o sea que

y por tanto

u = UT(X)U (y) = e^

57

4 dx - ^-^^^ e^6y = O X „

^h e es exacta, o sea que existe una función h(x,y) = C tal que ^ = —

2 ^ ^ 1 * xy ^y y ^ =

Como es más fácil integrar X-i entonces

/ ; h = / ̂ dx •̂ eí(ŷ

X

=• 7- + Í2f(y) 2

^ /) 1 + xy y pero ^ = - - ^ ^ e

luego y 1 + XY^ Y

- |- + í̂ '(y) = - ¡ ""̂ ey

riy) = - yV o sea que ^^^^ ^ _^y2 _ ^^ ^ ^^^y

y por tanto ŷ ? v

h(x,y) = - ̂ - (y -2y+2)ey = C

es su solución general,

Ej,2.4,10,- Demuéstrese que si la ecuación Mdx + Ndy = O es tal que

es decir í / ^M- - — 1 ) es una función de xy,entonces x M - y ^ y ^ * y '

Aíxy)J(KW w' ' es un factor de integración de la E,D, Mdx+Ndy = O

Como Mdx + Ndy = O no es exacta,suponemos la existencia de un fac-

tor de integración u que depende de xy o sea u = g(x;.0 entonces

uMdx + uNdy = O

es exacta,o sea que

y por tanto ^ ^ _*^ ̂ ^ ^ ( ^ ^ _ ití.)

pero "' ^"^

^y ¿» ay •" d T ó i ^ 6^ d2 í̂x d-^ ^^ donde z = xy

entonces ; ^ - X J ^ ^ ^ y d í <

reemplazando en ia E,D, Parcial v, , v.» \ j J \

obtenemow

(xM.yN)£ü - u í i ^ - ^ ^ ;

entonces

58

du "ax " >y u xM - yN -dz

pero 1 ( i f í . Ü i ) _ F ( ^ ) _ FCz)

xM - yN "̂ 8X M ' ' ^ ^ ~ ^ '

luego ^ = F(z)dz

Ln u = y F ( z ) d z o sea

u = Jnxy)dixy) = g(xy)

Veamos ahora un e j e r c i c i o en e l cual e l f a c t o r de i n t e g r a c i ó n no es de l a fo r -

ma de l o s t r e s casos a n t e r i o r e s ,

E j , 2 . / + . l l , - Resolver l a E,D,

r y + ( x + y ) e sen x J d x - xdy = O

Es ta E,D. no e s exac ta pues

- j y = 1 + 2ye^sen x , - ^ = - 1

y por t a n t o

ay * >x pero ^ ,

^ - I d , o o X ¿X "5>7 = -2 - 2ye sen x

y por c o n s i g u i e n t e ^ ^ ^ »x " l y " _ -2 - 2ye^sen x

N ~ - X

es una función que no depende de x lo que implica que el factor de

integración no depende de x,

d-K >y _ -2 - 2ye sen x M " . 2 2, X

y + ( x + y ) e sen x

es una función que no ddpende solamente de y lo que Implica que el

factor de integración no depende de y.

Tampoco ^ ^ - í y se puede expressir como una combinación lineal en

términos de M y N donde el coeficiente de M dependa únicamente de y

y el coeficiente de N dependa exclusivayiiente de x.

Entonces,observando la E,D, supondremos que el factor de integración dependa de x^ ̂ . y2 ^ ^^^

2 2 u = u( X + y ) 2 2

Sea z = X + y en tonces u = u ( z )

óA - . ^ iz. ^2véd ^^-é:!í i5. s;¿x s!íi Ty" a-2 ^y ' í^z ^ dx ^ z ax ^ ^

Entonces l a E.D, P a r c i a l j j »

59

se convierte en

o sea

(2yM-2xN)Í| = u ( | ^ - : ^ )

u 2yM - 2xN ®^ .̂ í'̂

-2 - 2yye sen x' , ~ ^ r . / ' 2 2, X T ^ Z "̂ 2y I y + (x +y )e sen xJ + Zx

_ -(1 + ye^sen x) - 2 2 X (x+y )(1 + ye sen x)

luego

por lo que

es e l f a c t o r

Por t a n t o

es exac ta o

^ f

^y " :

1 H

= - - d z Ln u - -Ln z + T.n B

= Tm ^ z

1, S ^

de i n t e g r a c i ó n de l a E,D,

.Y + (x^ + y^)e^sen x ' P " ¿ ' ox -x + y

sea que e x i s t e f ( x , y ) = C

^ n n l L .u -^ ;

c +y

dada.

, . .rf .. r^ii- r\ 2 2 ^̂ - °

x + y

t a l qjie _ - _ * ^ X +y

, X ±e sen x

f = ( i . 2? 2 "̂ ®^̂ ®^ ^^^^ "̂ ®^y^ / x'^+y

1 ^ = tg" ( - ) + r—(sen x - cos x) + 9(y)

pero ^/

^ y " x^ + y2

luego . . ^ ^ , Q , ( y j = - - 2 ^ x'̂ + y^ x̂ '+y''

9'(y) = O

9(y) = A

por lo que f = tg""'( X \ + S.̂ (sen X - cos x) + A = C

y ' 2

o sea

^*^ ( - ) + ex( sen x - cos x) = B - ^ - A)

es la solución general

6í)

EJERCICIOS 2.¿f,

Resolver l a s siguientes E.D,

¿ | 2 ¿ ^^ , 2 ¿ ¿ ^y ̂ Q xy -x^ y^-x y

^ y dx + (2yLn ^ \ ^ + 3sen y)dy = O

X +J>X

(x^ + J-)dx + (Ln X + 2y)dy = O

dy _ y(y-e ) dx X _

e -2xy d i _ _ 2xy + 2y^e ^ , . _ dx - 2 ^ 2x y''^^ - '

X + 2ye dx X sec^y , ^ x _ T dy " sen2x - tgy J ^ n j - ¡^ x(1 - y)dx - dy = O

2 sen x(2 + 3ysen x)dx + sec j : dy = O

(-3y^ + x^y)dx + (xy^ - 3x^)dy = O

y(y^ + l)dx + x(y^ - l)Ln x dy = O

(sen X - xcos x)dx + 2( —r- x —-—)dy = O y

y(x^ + y^ - l )dx + x(x^ + y^ + l)dy = O

( x - y + 1 ) d x - d y = 0

2 xdy -ydx + (y - 1)dy = O

x^y^dx + (x-̂ y + y + 3)dy = O . #

2 2 2 2 (xy +x y + 3)dx + x ydy =0

2 2

(x + 2x + y)dx + (1 -X -y)dy = O

(cos X - sen x + sen y)dx + (cos x + sen y + cos y)dy = O

y'= -(ye^+Zfy^)(xe^ + 12xy^ - 2y)~^ y(o) = 2

y'= ( 3 x ^ n X + x^ - y)x"^ y(4) = 5

[y - y(x + y )" x~^+ 2 x 1 dx + [2xy + (x.+ y)~ + 2y7 dy = O 2 2 2

(ey - CSC y CSC x) dx +(2xyey - esc y ctg y ctg x) dy = O

(2xye^ y + y ^ e ^ + 2x)dx + (x^e^*^ + Zxye^^ + 2y)dy = O

fcosh 2x cosh 2y]dx + (senh Zx senh 2y)dy = O 2

(3x + 2x ± ycos xy)dx + (sen y + x cos xy)dy = O

61

26) (x + y ~ b d x - (xy"^ - y ) d j = O

27) [ y + - ~ ^ o s ( L n x) | dx + xdy = O X y J

^^^ (1 + ¿ sen^x)dx + - (x + \ — )dy = O y y cos (2y)

29) (ey + xey + t g e^)dx + xwydy = O

30) (2y^ + 3xex^)dx + 3xy^dy = O

5 2x 31) (y + x-^ye )dx - (x + xy)dy = O

32) a) Suponga que l a función f = f ( x , y ) es homogénea de grado k y que f posee

pr imera de r ivada p a r c i a l cont inua .Demost rar que

X I t + y |A^ ^ kf ¿X ? y

Efeta expresión es conocida con el nombre de relación de Euler.

b) Demostrar que si la relación de Euler se cumple,entonces la función f es

homogénea de grado k,

33) Suponga que la E.D. M(x,y)dx + N(x,y)dy = 8 es homogénea.(M y N homogéneas

de grado k). a) Si M X + N y / O demostrar que - — — = es un factor de integración

de la E.D,

b) Si Mx + Ny = O demostrar que la solución general de la E,D, es y = Cx

3h) Suponga que la E.D, es de la forma

Mdx + Ndy ± yf(xy)dx + xg(xy)dy = O

a) Si Mx - Ny / O demostrar que rz ^ es un factor de integración de

la E,D,

b) Si Mx - Ny = O demostrar que la solución general de la E,D, es xy = C,

35) Suponga que f(x,y) = C es la silución generóil de la E,D, Mdx + Ndy = O

Demostrar que los valores comunes de las proporciones dadas por

¥^ ^7 ^x _ bV

M ~ N

es un factor de integración de la E.D, dada,

36) a) Demostrsir que si u, (x,y) y Up(x,y) son factores de integración de la

E,D, M(x,y)dx + N(x,y)dy = O entonces

u^(x,y)

u^(x,y)

es una fimciÓn de f donde f es solución de la E,D,

b) Demostrar también que si ̂ no es constante,la solución general de la

E.D, es dada por , v U2(x,y) u^(x,y) "" ^

62

37) Probar que xina condición suficiente y necesaria para que la ecuación

[f^(x) + g^(y)J dx + ] j ^ i x ) + g2(y)] dy = O sea exacta es que

g^(y)dx + f2(x)dy = O

sea una E,D, exacta.

EJERCICIOS Z,h»

1 xV(x^ - y^) = C

y Ln Jx_ - 3cos y = C X + 3

x^ + 3yLn X + 3y^ = c

X 2 „ ye - xy = C

2 ^ 2 2x X y + y e = 1

2xTg y + cos 2x = 2 l f + 1

(1 - y )e ' ' / 2 = C u = e x^/2

ye

y

^6-3/4)sen^x , ^ j ^ ^ ^ ^ ^^^ ^ 3 (3 /^ ) sen^x ^^ __ ,

^ + x^ = C(xy)^ /^

(y^ + y)Ln x = Cy^

2xy - y^ = Cx

xy + tg"^ ( ^ ) = C

e ' ' (x - y) = C

y^ -X + 1 = Cy

l ( x \ ^ + y^) + | y 2 = c

e^ ' ' (x^y^ + 3) = C

e ' ' -y(x^ + y) = C

e^ y ( c o s X + sen y) = C

,xy + 4xy^ - y^ + 3 = I)

x-̂ Ln X - xy + 5 = O

x^ + xy^ + y^ + Ln ^^i^ = C

y^ xe'' + CSC y c tg x = C e^^y + e ^ ' + x^ + y^ = C

senh 2x cosh 2y = C

x3 + x2 + sen(xy) - cos y = C

2 3 yx + 2x + y = Cy

2x^y^ + 3x r sen(Lnx) + cos(Ln x) J = C

l6xy+2x^+8tg(2y)-2x(2x^-3)sen(2x)-3(2x^-1)cos(2x)=C

u = cos xe (3/it)sen^x

^ ^ 3,-(13/¿^)y-(13/4)

u =

u =

u =

u =

u =

u =

-1 - 2 X y '̂

x-V 1

x 2 . y 2

e ^

- 2 y

y

u = e 2x

u = e x-y

x+y u = e

exac t a

exac ta

exacta

exacta

exacta

exacta

exacta

2 2 u = X y

u = y

u

u

u

=

=

=

X

e

X

1 xy

29) xe^'^y ' - Ln(cos e^) = C

30) x-y^ + e^ = C

31) i fLn( ^ ) + e ^ ^ ( 2 x ^ - 2x + 1) - ¿fy = C

32) a) Supongamos que f = f ( x , y ) es homogénea de grado k , e n t o n c e s

f (hx ,hy) = h ^ f ( x , y )

Sea u = hx, v = hy , f(u,v) = h f(x,y) derivando con respecto a h y uti-

lizando la regla de la cadena tenemos

pues

si hacemos h = 1 tenemos que u = x,v = y ,h ~ =1 por tanto

x|> + y |Í= kf(x,y)

b) Supongamos que la relación de Euler se cumple,Demostraremos que la fun-

ción f = f(x,y) es homogénea de grado k.

Si la función f es homogénea de grado k es porque

f(hx,hy) = h^f(x,y)

y si hacemos h = -- tenemos

X

a s í que s i u = x , v = ^ se t i e n e

i ^ f ( x , y ) = l ^ f ( u , v u ) = F(u ,v) X u

que no depende de u ,o sea que -—-* = O

veamos.

x ' ^ l ¿X X a y ; j^K*i

- - U /^d¿ ^ yi±) .- i

33) a) Debemos demostrar que

M N dx + — dy = O Mx + Ny / O Mx + Ny Mx + Ny

es exac t a por t a n t o demostraremos que

Jy^Mx+Ny-' Jy M^+^y entonces ^

^ y M V _ N y l 7 - MK - My 1 7 3r,V.x+Ny^ = ^^^ ̂ ^^^^2

^ Mx ̂ - I4N - Nx ^

Iĵ ^Mx+Ny' - (̂ ^̂ ^ ^yj2

entonces , ^ TJMV _ ij^f^VÍ+ ^ r ^ )

> ? ^ ^ ^ ^ ^ - ;^4vIx+Ny^ = ( ^ ^ jjyj2

por problema anterior,las expresiones encerradas en paréntesis en el

numerador de la fracción imediatamente anterior,son respectivamente

iguales a kM y kN por lo que la diferencia anterior es igual a cero

lo que prueba nuestro problema, . M y

b) Si Mx + Ny = O entonces — = - "̂ por lo que Mdx + Ndy = 0 se convier-

® ®" !• dx + dy = o = - ̂ dx + djf entonces - ^ = ^ y por tanto

y = Cx

3k) a) Como Mdx + Hdy = yf(xy)dx + xg(xy)dy = O entonces M = yf(xy) , N =

xg(xy) por lo que Mx - Ny = xyf(xy) - xyg(xy) =xy ĵ f(xy)-g(xy)J

Para demostrar que rr es xm. factor de integración de la E,D, dada

debemos demostrar que

k S yf(>^y) 1 ^ 1.1 MS^LI Il ^l^xy f(xy)-g(xy)J .̂ x|.xy f(xy)-g(xy)J

o sea

i Lx_1 _&! ^ ^yU(í-g)J ~ dXly(f - g) i ^2 ^

i .r í 1 _ - gt4 ^ f^ >r ^ 1 - í A — E 3 k

iVl^óf^i)] - ,^f_g)2 'MyCf-s) J " y(f-g)%, v \

entonces SvlT^TIf)] ^ r í J - ^ ) } - \y(j.^4^

iy Tx"^ '̂ Ŷ Jx

pero

y por tanto

b) Si Mx - Ny = O entonces w = "̂ luego Mdx + Ndy = 0 se convierte

®^ |dx + dy = 0 = ^ dx + dy y por tanto ^ + ^ = 0 que tie-

ne por solución a la expresión xy = C.

35) Supongamos que f(x,y) = C es solución (la general) de Mdx % Ndy = O enton-

^^^ df = Ü dx + ^ dy Í X ^y

luego i>=kM ,i£.= kN

por lo aue los valores comunes de

>ic _ dy

M ~ N

es un f a c t o r de i n t e g r a c i ó n de Mdx + Ndy = 0

36) a ) Supongamos que u. y Up son f a c t o r e s de i n t e g r a c i ó n de l a E.D,

M$x,y)dx + N(x,y)dy = 0

en tonces u.Mdx + u.Ndy = O es exac t a luego e x i s t e f t a l que

df = u-Mdx + u.Ndy

en tonces

^ df = U2Mdx + u Ndy

y como UpMdx + UpNdy = O

es exacta entonces u- es una función de f solamante.

b) Supongamos aue _2 no es constante,entonces de la parte a) sabemos que

>'2 "l — es uaa función de f solamente,digamos g(f) .Claramente g'(f) ;/ 0.

1

Multiplicando la E.D. df = u Mdx + U-Ndy por g'(f) obtenemos

u^g'(f)Mdx + u^g'(f)Ndy = g'(f)df = dg

entonces la solución de Mdx + Ndy = 0 es dada por dg = O

o sea

' = - i - C

^2

donde G es una . constante arbitraria.

37) Este problema,en otras palabras dice lo siguiente:

rf^(x) + g^(y)J dx + [̂ 2̂ ^̂ "̂ S^^y)^ ^y = 0 ^^ exacta si y solo si

g,(y)dx + f (x)dK = O es exacta.

63

Z , 3 , LA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN

Def,2,5.1.- Una E,D, Lineal de orden n es una ecuación de la forma ,n ,n-1 ,

dx dx u . i y j ^ u .

donde a.(x) donde i = 0,1,2, ,n,h(x) son continuas en un inter-

valo I y a (x) / O para todo x de I,

Def,2.5.2,- Una E,D, Lineal de primer orden es una ecuación de la forma

a^(x) g + a^(x)y = h(x)

donde a (x),a-(x) y h(x) son continuas en un intervalo I,además,

a (x) / O para todo x de I,

De la anterior definición es fácil ver que una E,D, Lineal de primer orden

se. puede escribir com& â (x)

dx * a (x) ^ = O ^ ) 41 + ^1^ :; y ^ iiíxi

o sea

donde

g + P(x)y = Q(x)

I Í .U.C

A l a expresión

P(x) = a^(x)

a^(x)

g - PCx)y

y

= Q(x)

^̂ ""̂ - a $x)

la llamaremos representación normal de la E,D, Lineal de primer orden,

Teorema,2,5.1.- Dada la E,D, Lineal de primer orden

g + P(x)y = Q(x)

la expresión J-^^^>^^^

es un factor integrante de dicha E,D.

Prueba. La E.D. Lineal de primer orden

g + P(x)y = Q(x)

la podemos escribir como

dy + [p(x)y - Q(x)J dx = O

y observamos que esta ecuación no es exacta pues

M(x,y) = P(x)y - Q(x) y N(x,y) = 1

de donde

luego

^ - P(x) ^ - O

¿y * dX

salvo cuando P(x) . O en cuyo caso la E.D. es de variables separables

pero aN « líl

^ ^ = -P(x)

por tanto ^X ^V es una función que solamente depende de x lo

N que implica que la E.D. tiene un factor de integración que es

-y^P(x)dx y1p(x)dx u = e

= ê por tanto la expresión

/P(x)dx /p(x)dx e dy + e £P(x)y - Q(x)J dy = O

es una E.D. exacta que puede e sc r ib i r s e como

yp(x)dx , fpU)dx fi>ix)±x ^ + P(x) e y = Q(x) e dx

pero

entonces

luego

/ p ( x í d x , / P ( x ) d x , r /P(x)dx -I ¿ + P ( x ) e y = d iL=^^ J

/f(x)dx -I /p(x)dx Q(x) e

r 7 í ' (x )dxn

/p(x)dx z' fiix)dx y e = / Q(x) e dx+ C

donde C es constante .

Este resul tado puede cesumirse en e l s iguiente teorema.

Teorema.2.5.2.- Supongamos que ^ + P(x)y = Q(x)

está definida en el intervalo I.Entonces,la solución general de esta E.D. es

-/p(x)dx r / /P(x)dx T y = e ^ [ /Q(X) e dx + Cj

donde C es una constante arbitraria.

Nota.2.5.1.- Los teoremas 2.5.1. y 2.5.2 nos dicen que si tenemos la E.D. Lineal de primer orden escrita en su forma normal,o sea

^ + P(x)y = q(x) dx

yp(x)dx la expresión e"

es un factor de integración de dicha E.D. y por tanto si la mul-

tiplicamos por el factor de integración tenemos

^ 65 ^ ^ /P(x)dx , /f'(x)dx , r jl>(x)dx'| /P(x)dx

e^ ^ + P(x) e'' y = ̂ rlyé I = Q(x) ê^ dx ''

y por consiguiente basta resolver la última igualdad.De esta for-

ma encontramos ia solución general de dicha E.D,

Ej,2,5.1.- Resolver la siguiente E.D,

(xsen x)y'+ (sen x + xcos x) y = xe^

Esta E,D, es lineal de primer orden por tanto la escribimos en su for-

ma nonnal obtenÉjfendo

g + ( - + ctg x)y =(csc x) e^

aplicando el teorema 2,5.1 sabemos que ésta E,D, tiene por factor de

integración a la expresión /̂ /v̂ ¿v

e

luego y5(x)dx Vi 7 + ctg x)dx „ Ln X + Ln(sen x) ^ „

e =e =e = x sen x por lo que

dy X sen X ¿ + ( sen X + xcos x) y = ¿fx I ^̂ ^̂ Jî x)yl = xe

lo que implica que

(xsen x)y = J x e dx X X -

= xe - e + C de donde obtenemos

ê (x - 1 ) + C y ~ X sen X

que es la solución general de la E,D, dada.

Otra forma de resolver esta E,D, consiste en aplicar el resultado del

teorema 2,5.2, pero 'tiene la desventaja de que es necesario memorizar

la fórmula de la solución general de la E.D, Lineal de primer orden.

Es necesario llamar la atención del lector sobre el hecho que /( 1 + ctg x)dx T I I / — ^ Ln I X sen x I , , e x = e ' ' = I xsen xy

y por tanto X e (x - 1) + C ĝ I xsen x|= xsen x ̂ O X sen X I I * '

_ ̂ (X - 1) + C ^ î ggĵ ̂ 1^ _3j3gĵ X

66

Ej.2,5.2.- Obtener la solución general de la E,D,

(y - l)dx = y(x + y)dy

Consideremos primero si la E,D, es lineal en la variable y o sea,si

se puede escribir de la forma

^ + P(x) y = Q(x) dx

.¿'' t

entonces , 2 , di ^ y - 1 dñ y(x + y) A'

1 x + y y(x + y)

y observamos que es imposible escribirla en la forma antes anotada.

Veamos ahora si la E,D, es lineal en la variable x o sea,si la pode-

mos escribir de la forma

§ + P(y)x = Q(y)

entonces j / , \ „ „2 dx _ y(x + y) 2!__ X + J dy - 2 _ , - 2 _ ,^ ;7 y - 1 y - 1 y - 1

luego 2

4^+ - ^ ^ - ^ x = -^ d$ , 2 2 , ^ 1 - y y - 1

es una E,D, lineal de primer orden y por tanto su factor de integra-

Cisnes T T ^ c l y - | ^nf - y ^ _ ^ é ' y = e = TT/2

(1 - yn^"^^ por tanto

^ r 1 2 2 d I X I 2. '] ^ s T ^ T y ^ J ' (y' - U(1 - y^)"'2 ° ' (. - y^)^/^

de donde obtenemos

X

"̂" JTTT^-(̂ _ y2)l/2" ~]r. ,,2,3/2 -dy para Eesolver ésta integral hacemos y = sen 9 , dy = cos 9 d9

reemplazando tenemos

/(T^Tv^^^^ = /cos^ °̂̂ ®̂® = h^̂ "-̂ =f̂ ''̂ ^ - '^"^

= tg © - 9 + C

-1

(1 - y ]^^ sen y + C

pues como y = sen 8 en tonces tg 9 = ^^^ 9. _ cos 9 (1 - y2)^/2

67 entonces

—"" 2 1/2 = - ''^21/2 ^ ̂ ®^" y + C

(1 - yW^^ (1 - yW^^ donde 6'= - C y por tanto la solución general es

X = _ y + (1 - y W ^ ^ sen "̂ y + C (1 - y^)^/^

Ej,2,5,3.- Si y.|>yp son soluciones particulares de la E,D, Lineal de primer or-

den , g + P(x)y = Q(x)

Demostrar que la solución general de dicha ecuación es dada por

y -y.

y - y2 1 =K

donde K es \xna constante arbitraria,

(La importancia de este problema radica en el hecho de que no es ne-

cesaria la integraci'on para obtener la solución general de la E,D,

Lineal si se conocen dos soluciones particulares)

Como y.»yp son soluciones de la E.D, entonces

dy, - ^ + P(x)ŷ = Q(x)

dy ^ + P(x)y2=Q(x^

por tanto

luego

o sea

g - + P(x)y - 5LL - P(x)y = O dx

g + P(x)y - ̂ - P(x)y = O dx

y' - y/ = -P(x)(y - y^)

y' - y2' = -P(x)(y - y2)


Ln(y- y^) = J '-9{x)dx + LnC^ , Ln(y - y2) = J -V{x)dx + LnC,

3 que

y^P(x)dx J-P{x)dx ^ - ŷ = ̂ 1 r

luego

de donde se deduce aue

y - ŷ = Ĉ e

y - y .

y - y2 ~

, y - y2 =

i -: C 2 e

donde K es una constante a rb i t ré i r ia .

68

Def,2.5.3.- (LA ECUACIÓN DE BERNOULLI) Cualquxer E,D, de primer orden,escrita

en su forma normal,de la forma

y ' + P(x)y = Q(x)y^

en donde n es un número real distinto de cero y uno,es llamada una

E.D, de Bernoulli,

Es fácil ver que la E.D. de Bernoulli es no lineal para los valores

de n distinto de cerro y,si n es uno la E.D, es de variables separa-

bles. Dicha ecuación se puede resolver como una E.D, Lineal mediante

un cambio de variables en la forma que sigue:

y' + P(x)y = Q(x)y°'

puede escribirse como

+P(x)i 1-n

y ' ^ ' y ' +P(x)y^" ' ' = Q(x)

hagamos z = y ( t á c i t a m e n t e hemos supuesto qjje y / O)

luego dz _ / , „s -n d^

¿2J. - U n ; y ^ ^

a s í que reemplazando obtenemos

^ fe + P(x)z = Q(x) 1 - n dx

que es una E.D, Lineal de primer orden y por tanto podemos resolver-

la para z y después reemplazar z por su vsilor y ~ •

Ej,2,5.^.- Resolver la siguiente E.D. 1 2/3

( 7- sen 2x)y' + y = (1 + cos x)y ' ^ Escribiendo la anterior E,D, en su forma normal obtenemos

y '"̂ ̂ „̂ o" y = 6 CSC 2x (1 + eos x)y sen ¿X

que es una E.D, de Bernoulli donde n = 2/3 y podemos escribirla como

y-2/3y*^__|__.^ yl/3 ̂ 6 CSC 2x(1 * cos x)

sea z = y^/^ entonces g = i y-2/3 á^

reemplazando en la E,D, sinterior tenemos 3 dz •̂ TT— + (6csc 2x) z = 6 CSC 2x(1 + cos x)

o sea di. , ̂ ^ ^ ^ -̂ / , \ • ^ + (2csc 2x)z = 2CSC 2x(l + cos x)

que es una E.D, lineal de primer orden cuyo factor de integración es

f z CSC Zx dx Ln(csc 2x - ctg 2x) e = e

= CSC Zx - ctg 2x

luego

69 (esc Zx - ctg 2 x ) ^ + 2CSC 2x(csc 2x - ctg 2x)z =T— IZ(CSC 2X - ctg 2x) I

= 2csc 2x(1 + cos x)(csc 2x - ctg 2x) entonces

z(csc Zx - ctg 2x) = Jzcsc 2x(l + cos x)(csc 2x - ctg 2x)dx

= í-̂ (1 + cos x),-^-^2af2L_ dx / 2sen X cos x 2sen x cos x

= j s e c xdx + Jsec x dx

= tg X + Ln \ sec x + tg x | + C

por tanto la solución general es

y '^(csc Zx - ctg 2x) = tg X + Ln I sec x + tg xj + C

Def,2,5,/f,- Una E,D, dé-primer orden y primer grado de la forma

^ = P(x) + Q(x)y+ Ri)y^

es llamada E,D, de Riccati,

Nótese que la E,D, Lineal de primer grado es un caso particular de

la ecuaciónde Riccati.pues basta hacer R( x ) = O,

Teorema.2.5.3.- Sea y-(x) una solución particular de la ecuación de Riccati

^ = P(x) + Q(x)y + R(x)y^

Entonces la solución general de dicha ecuación es dada por _1

y = y.j(x) + z

donde - f i q , + 2Ry, )dx r / f i q , + 2Ry.)dx T

L ^ " J ̂ R(x)dxJ z = e y C es una constante arbitraria.

Prueba. Sea y = y + u donde u es una nueva variable y y. una solución parti-

cxilar de la E.D. de Riccati.O sea,

'̂ l 2 ^ = P - Qy, ̂ «yi

entonces dy dy, . ,,, dx = T-*- T^ dx dx

sustituyendo en la ecuación de Riccati obtenemos

¿ ^ ^ g = P -̂ Qy, - QU +^R(y^ + u)2 ^

luego ^^

= P + Qy^ + Ry^ + Qu + 2Ry^u + Ru

^ = (Q + 2Ry^)u + Ru2

que es una E.D, de Bernoulli que puede escribirse cono

u"^ g - (Q + 2Rŷ )u-l = R

por tanto si hacemos z = u~ la £,D, anterior la podemos escribir como

70

f|+ (Q + 2Rŷ )z = -R

que es una E,D, Lineal en la variable z cuya solución es

-/(Q + 2Ry,)dx r /^ /(Q + 2RyJdx "\ z = e ^ l c - / R e ' ^ dx\

Ej.2,5,5,- Resolver la E,D. dv 2 Y 4a: = x2 + i - ^ dx X

Notamos que esta E,D, es de Riccati pues puede escribirse como

g=x2.(i)y*(-,)y^

donde P(x) = x^, Q(x) = ^ y R(x) = -1

Observando la E,D, vemos que y.. = x es solución de ella pues

ŷi , 2 ̂ X 2 d ^ = 1 = ^ -̂ X - ^

entonces según el teorema 2,5.3 la solución general de dicha E,D, es ^ -1 y = X + z

donde

z = e -/( i - 2x,dx 1̂ ^ _y;_^^/i-2x,ax^j

x + x r n ^ r L n x 4 . x , l Le + Je dxJ

I C +J X e" ̂ dxj

-2 - 21 x2 -x'^ = Ce^ 1

X 2x

luego x^ 2x y = X + ( ̂ - - - ) = x + — ^

2Ce'' - 1

es la solución general de la E.D, dada.

Nota.2.5,2.- Es importante hacer resaltar el papel que desempeña la función y

como solución de la E.D. de Riccati pues sin ella el teorema 2.5.3

no tendría Validez.Esta función y. por lo general es fácil de hallar

por inspección.

Teorema»2.5.4.- Supongamos que y.,y2 son dos soluciones distintas pero particu-

lares de la E.D. de Riccati.Entonces la solución general de di-

cha ecuación es dada por

— ' = / < - yp y

y -Ln( '-) = / (y, *- y,,)Rdx + c

y - y2 y i 2 donde C es una constante arbitraria.

71

Prueba, Como yi»yp son soluciones de la E.D, de Riccati se tiene

^ = P(x) + Q(x)y^ + R(x)y^^

dy P - ^ = P(x) + Q(x)y2 + R(x)y2

además y,_ y^,^ p^^j ^ ^(^^^^ ^ R(x)y^ - F(X) - QÍX^y, - R(x)y,^

= (y - y^) Q(x) + (y + y^)R(x)

o S®a y'_ y ' L = Q(x) + (y + y,)R(x)

y - ŷ - ''̂ '̂ • ̂ «' • "1

s imi larmente se o b t i e n e

y ' - y ' - ^ = Q(x) + (y + yp)R(x^

y - y2

y por t a n t o y ' - y ' , y p '

i n t eg rando obtenemos

Ln(y - y.,) - Ln(y - y2) = Ky^ - y M ^ ) d x + C y - y r"

Lî ( y _ y^) = j C y i - y2)R(x)dx + c

E i , 2 . 5 . 6 . - Reso lver l a E.D.

S=-^^ Esta E.D. es de variables separables pero es también una E.D, de Ri-

ccati Dues puede escribirse como

g = 1 - Oy + y2

donde P(x) = 1 , q(x) = O y R(x) = 1

además,y (x) = tg x y y2(x) = -ctg x son soluciones de dicha E.D

2 2 2 2 pues sec x = 1 + tg x y esc x = 1 + (-ctg x)

luego según el teorema 2.5.4 la solución general es

Ln( y ; ^gg\) = ^(tg X + ctg X) dx = -Ln(c9s x) + Ln(sen x) + Ln C

T Csen X eos X

O sea

y - •̂ g ^ = P ^^^ ^ = Ctg X y + ctg X cos X

por tanto y - t g x = C y t g x + C

y( l - C t g x) = C + t g X

en tonces

72

y = C + t g X 1 - C t g X

EJERCICIOS 2 . 5 . /

Resolver l a s s i g u i e n t e s E.D.

y \

2

3

h

5

6

7

c8

9

10

11

12

En

E.:

13

15

16

17

18

19

20

21

- 1 2 y - 2x y = X sen 3x

y '= ay + b sen x a y b c t e s

/ 2 l e

xy'+y(1 - x ^ ) - l / 2 ^ [ l + (1 - x ^ ^ / 2 ] ^

(x^ + l ) y ' - (1 - x)^y=xe"^

(1 + sen x )y '+ (2cos x)y tg x

(x^+ 1)y '+ xy = (1 -2x) (x^ + 1)^^^

2 dx ^ - , 2 y ^ + xy = 2y + 1

^ 2 2 ,_ y sen x - y cos x

sen X cos x

( x 2 + l ) y ^ / V = x e ( 3 / 2 ) x ^ (^ - x ) 2 y y ^ / 2

xy'+ (Ln x)~ y = x(x + Ln x ) (y Ln x)

(x - 1)y'-2y = [(x^ - t)y] ^̂ ^ ' (xy2) '= (xy)^(x^ + 1)

l o s s i g u i e n t e s e j e r c i c i o s e n c o n t r a r l a so luc ión gene ra l de cada una de l a s

. de R i c n a t i .

j ^ = (1 + xy)P(x) + y Note que y, = - — es una so luc ión p a r t i c u l a r djL _ 1 + xy + „2 dx ~ • 3 y "

X sen X + ycos x + y Note que y,=- eos x es una solución particular - ^ = sen X + ycos x + y^

T^ =- —2 + ^ - y Note que y,= — es una solución particular

dy 1 2 -I ^ = — - 2y + (x-l)y Note que y.= x es una solucáón particular

-T̂ = - •̂ —T + T- -X y + —(x -l)y Note que y,= x" es una solución part. ox 2x^ ¿ 2 1

-^ =(sen X - Osen x + cos x + y(1 - 2sen x)sen x + y sen x dx

Note que y. = sen x es una solución particular

^ = x(Ln x)^ - 2xLn x + x"^ + 2x(1 - Ln x)y + xy^

Note que y,=Ln x es una solución particular

Verifique aue y,= x .y,, = x-̂ fv̂ D̂ ~l 1 *"'2 ^ U - 2) son soluciones de la E.D.

Ií= - x2 +(2x + x'^y _ /

Encuentre la solución general aplicando el teorema 2.5.4.

74 22) Una ecuación del tipo

^ + Q(x)lír + P(x)y = O dx '^

es llamada una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.Asu-

miremos que las funciones P y Q son continuas en un intervalo I,

a) Demostrar que la sustitución ^ /i(x)dx y = e

reduce la E.D, dada a una E.D, de Riccati que es

Il = - P(x) - Q(x)u - u^

Note que de y=e ' obtenemos y'= yu y por tanto y"= y(u'+u )

b) Demostrsir que cada E.D. de Riccati puede transformarse en una E.D. Lineal

Homogénea de segundo orden

23) Si y- es una solución particular de la E.D, Lineal de primer orden demos-

trar que la sustitución y = y. + Y reduce la E.D, Lineal de primer orden

a la ecuación ,„ g + P(x)Y = O

Entonces la solución general de la E.D. Lineal de primer orden es dada por

y=y^ + Ce--^^^^^^^

24) La E.D, dy _ sen x - ( x-y )cosx dx ~ sen x

tiene como soluciones particulares a las expresiones

y- = X y = X + sen x

a) Hallar la solución general usando el ejercicio 23.

b) Hallar la solución general sin usar el ejercicio 23 pero haciendo uso

de las soluciones particulares.

EJERCICIOS E,S.

1

8

9

10

11

2 / n e o s 3XN y = X ( C 1— )̂

_ a x b -• . V

y = Ce - p- (cos x + a senx) 1 + aT

y ^ ^ •" 0 ^ - ^ i> ( e"" + C) en (-1 , O ) o (O , 1)

Ce ^ - (2x + l ) e ~ ^ y = ^ ¿r 2 ^ —

^'^x +1) y = - sen x + Ln(1 - sen x) + C ^ ^ = ^ T Í < x < % ^ T

(1 + sen x)^ 2 >v \ 2

y __ Ln(x+ O ^ x V - " ^ ? - 1 . C(1 + x 2 ) - l / 2 (1 ± x^)^/^

Ln y . C X = y + ü±i--í- + ii-y y

y = (sen x Ln(csc 2x + ctg 2x) + Csen x)

k na tura l

[ 1 + C ( x 2 . 1 ) -3 /2 ] 2/3

r ^ - ^ ^ É f " ) - ¥ ^ ^ ^ ' l ( 3 x - -72X +c ^1 1, L 2 Ln X 2 (Lnx)2 4 (^n x)^ J

y = (í̂ l - x) [ c + 2 ^ n ( ( x ^ - l ) ^ / 2 - x)] - (x^ - l ) ^ ^ ^ } ^ en ( -oo , - i^

= - | ( 1 - K) [ c + I cos - ^ x ] + (x^ - ^ ) ^ ^ ^ \ ^ en (-1 , 1)

= 0 en (-cD,oo)

= [(x - 1) [ c + ^Ln (x + (x^ - 1)^/^)1 - (x^ - 1 ) ^ / ^ } ^ en (1,oo)

12) y = -5(x3 + 3x + C( | x | )^^^)~^

13) ^ _ 1 ^ . ^/xF(x)dx

x^(C - T i g/xP(x)dx ) x2 - \ \

2 - ' ' 14) yx + X + 1 = Cxe^ (yx + 1) . r - \ . -sen X/ -, f - s e n x , , , - 1

15) y = - c o s x + e ( C - ^ e dx))

16) yx= Cx(yx - 2) + 1

17) (Cx - xLn X r 1)(yx - 1) = 1

18) 8x = (C + 4x - x ^ ) ( y x ^ -1 )

19) (06^=°^ ^ - l ) (y - sen x) = il x^ 2 20) 2e - I r X . , ^ ^ ^^ - (C - e )(y - Ln x)

ZZ) a) Sea y = e'̂ '̂ ^ entonces y'= ^ ^ ^ u = yu 2 2

y"= y'u + yu '= yu + yu' = y(u + u') sustituyendo en la E.D, tenemos

y(u +u') + Q(x)yu + P(x)y = O como y / O por ser y = e'^ ̂ entonces la anterior E.D, puede escribir-se como , P

g = - P(x) - qi(x)u - u^

que es de Riccati.

b) Sea y = e ^ entonces y'= yu o sea u = ̂ por lo que uáx "' entonces y = yu o sea u =

.*^2 ^ u'̂ yy" -^{r) y sustituyendo ^^ g = _ p(x) - Q(x)u - u^ tenemos

^ " - ^ r f ._ . p(x) - Q(.) z \ ( y-)2 y y y

que condñce a y " + Q(x)y' + P(x^ y = O

23) Como y es solución de la E.D. L. de primer orden

y^'+ P(x)y^ = Q(x)

Sea y = y. + Y entonces y'= y..' + Y' reemplazando tenemos

y^' + Y' + P(x)y^ + P(x)Y = Q(x)

luego Y' + P(x)Y = O

integrando obtenemos -/p(x)dx

^ r -/P(x)dx por lo que y = y + Ce ̂

24) y = X + Csen x

75 2.6. APLICACIONES DE LAS E. D. DE PRIMER ORDEN

En Física.

AAAA

X ^ veíA^ó L «

htnrytí I

HI

Si tenemos el siguiente circuito donde E representa

la fuerza electromotriz^ ( voltaje l,i la corriente,

Q la Carga o cantidad de electricidad en el condensa-

dor,! la inductancia,R la resistencia y C la capaci-

dad del condensador y aceptamos que la suma de las

caídas de potencial (voltaje consumido) es igual al

potencial inicial,entonces

donde Ep = iR

entonces

^ = ̂ R ̂ \ ^ ̂ C

^ = ̂ i y ĉ = ̂ ^"' = "̂̂

E = L ^ + Ri ̂ I

Â ^

si utilizamos el hecho que i = -r̂ obtenemos la ecuaci'ón

E - L ̂ + R ̂ + ^ ^ - -̂ ̂ ^2 * " dt C

Ej.2.6.1.- Estudiar la carga de un condensador en un circuito que tiene una

fuerza electromotriz constante E,;ma resistencia R y que carece de

inductancia. Como el circuito carece de inductancia,L = O entonces

-1 E = R II + QC

sabemos que Q = ) cuando t = O luego

dt CR ~ R

que es una E.D. lineal de primer orden cuyo factor de integración es

/ RC ^^ RC * = e

luego

por tanto

^ t ^ t d , RC %, , E ̂ RC dt ^ " ^ ^ = R ̂ 1

Q R C T-irt R ^ e = ECe kt

+ A

pero Q = O cuando t = O entonces A. =- EC o sea que

-(l/RC)t q = EC( 1 - e )

s i t t iende a i n f i n i t o es porque Q tiende a EC

s i t = RC es porque Q = EC( 1 - e " ^ = 0,632EC dO como 1 = ̂ entonces i = EC g -1 -(l/RC)t

si t = O entonces i = ER

si t tiende a infinito es porque i tie§íje a cero

76

Ej,2»6.2.- Resolver el siguiente problema de valor inicial

L ^ + Ri = E^ sen(wt) i(o) = i^

donde E (voltios) y w (rad/seg) son constsuites.

Este problema ocurre en un. circuito en serie RL en donde la corrien»-te inicial es i y la fuerza electromotriz es E = E sen (wt) o "̂ o Note que la fuerza electromotriz E = E sen(wt) tiene las siguientes

2 ° propiedades \ „ i.- x. -• „ T ^ d E . 2„ ^ ^ a) Satxsface la E.D. — - + w E = O w mayor que cero, dt

que es la E.D, del movimiento armónico simple

fica I vs t)

b) Su amplitud es E (el máximo desplazamiento de la grá-

c) Su período es 2lT/w

d) Su frecuencia es w/2T Escribajaos la E.D» en su forma normal

f . S i = fa. .en(wt)

y observamos que es lineal ,por tanto su factor de integración es

e(RA)t

lo que implica que ^ d , . ( R A ) t , o ^ ( R A ) t f . , ^ i e ^ ' ' ) = — e ^ ' sen(wt)

luego . __ ,-(RA)t^y\ 3,„(„„ e^ /̂̂ ^dt . c]

i n t eg rando por p a r t e s y s impl i f i cando encontramos

•p Rsen(wt) - wLcos(wt) „ - ( R / L ) t X = ¿1^ _ _ — + o e

o T-.2 . 2 T 2 R + wTi

pero i(o) = i entonces ° E wL

C = i + ° ° A ^ V

por t a n t o j , ^j^ . „ Rsen(wt) - wLcos(wt) . , . ^ _o \ - ( R A ) t

o _2 2.^2 o -.2, 2 , 2 R + w L R +wTi

E o s e n ( w t ) - cos(wt) I

Í R ^ + w ^ 2 j l / 2 ( R 2 ^ W 2 L 2 ) I / 2 J (R^+w^2

/ . E^ WL - ( R A ) t + f i + —'̂—• )^ o o2 2 ,2 R + W L

Sea 2f tal que O ^ íf < "t/Z tg (? = ̂ entonces

a

O sea que ^ wL ,cos (2̂ =— - z—„ _• • ._

al reemplazar en i obtenemos

^ = 2 V 2 1/2 ̂ ^̂ '̂'̂ - í̂^ ̂ ̂ ô ̂ ^''L ^ e-(̂ /L>t (R'^iwn.'^)^/'^ S'̂ +wT.'̂

Ej.2.6.3.- Un tanque contiene 400xlts de salmuera en la que están disueltos 25

Kg de sal.Supongamos que entra al ümque salmuera que contiene I/4

Kg/lt de sal a razón de 12 Its/mxn y que la mezcla,que se mantiene

uniforme por agitación,abandona el tanque a razón de 8 Its/min.Encon-

trar la cantidad de sal al cabo de 30 min en el tanquB.

Sea X el número de Kg de sal en el tanque al cabo de un tiempo t.

Calculemos ^ x ^ osea el aumento de la cantidad de sal, durante el ia— tervalo de tiempo A t .

A x = cantidad de sal que entra - cantidad de sal que sale

Cantidad decsal que entra,Como en el tanque entran 12 Its/min en una

proporción de I/4 Kg/lt entonces entran

(12 i^")( 1 í^ ) - 3 ^ '̂''̂ min -"̂ 4 It ̂ - -* min

luego al cabo de A t min entran $ A t Kg de sal

Cantidad de sal que sale.Como al tanque entran 12 Its/min y salen

8 Its/min entonces,en el tanque hay un aumento dev4 Its/min de sal-

muera que contienen „ 400+ 4t if ^̂ - ^

Esta mezJtla fuye a razón de 8 Its/min de modo que en cada minuto sa-

•"-̂ ^ / X K £ w . 1 1 V _ 2x K£ *- /fOO + 4 t 1.V^^ min^ "100+ t min

a

20 capitulo ii ecuaciones diferenciales de primer orden · ahora bien,la forma general de una e.d,...

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