.2 Variables Aleatorias Discretas

Variable aleatoriaMagnitud de interés que vienen determinadas por el resultado de un experimento

Variable aleatoria discreta Cuando sus posibles valores forman una sucesión de puntos separados de la recta real

Sea X una variable aleatoria discreta que puede tomar los nposibles valores posibles: x1, x2, … , xn, P[X=xi] representará laprobabilidad de que X se igual a xi. El conjunto de estas probabilidades se denomina distribución de probabilidades deX, por el axioma 2 se sabe: n P[ X xi ] 1 i 1

3. Ejercicio:Supongamos que X es una variable aleatoria que puede tomar unode los valores 1, 2 o 3. Si P[X=1] = 0.4 y P[x=2]= 0.1 ¿cuál es el valorde P[X=3]?

Sea X una variable aleatoria discreta que puede tomar los nposibles valores posibles: x1, x2, … , xn, el valor esperado deX, denotado por E[X], se define como: E[ X ] xi P[ X xi ]Otros nombres utilizados para identificar E[X] son esperanza de Xy media de X

4. El concepto de valor esperado es análogo al concepto físico delcentro de gravedad de una distribución de masas.Considere una variable aleatoria cuyas probabilidades sonp(xi), i≥1.Si se imagina una barra en la que se cuelgan pesos p(xi) en lospuntos xi, el punto en el que la barra se encontraría enequilibrio se conoce como centro de gravedad.

Aunque el valor esperado representa la media ponderada de todoslo valores posibles de la variable aleatoria, no proporcionainformación alguna de la variación, o dispersión de dichos valores.Dado que uno espera que la variable aleatoria tome valoresalrededor de su media E[X], una forma razonable de medir lavariación de X es considerar en qué medida X tiende a separarse desu media. La medida más conveniente de la dispersión es la: Varianza Si X es una variable aleatoria con un valor esperado E[X] = µ, la varianza de X, denotada por Var(X), se define como: 2 Var ( X ) E [( X ) ] Desviación estándar SD ( X ) Var ( X )

Familia Familia Poisson. Familia Binomial. Ensayo de Bernoulli.6. Binomial Negativa

7. Algunas gráficas de miembros de esta familia Número de ensayos n = 10 con probabilidades de éxito, p = .2 p = .5 p = .8

8. Si X es Binomial con parámetros n y p, se tiene que: E[X] = np Var (X) = np(1-p)La pruebas independientes con iguales probabilidades deéxito fuero inicialmente estudiadas por el matemático suizoJacques Bernoulli (1654 – 1705). En su libro Ars Conjectandi(El arte de la conjetura), publicado en 1713 por su sobrinoNicholas, ocho años después de su muerte, Bernoullidemostró que, si el número de pruebas era suficientementegrande, la proporción de éxitos es próxima a p con unaprobabilidad próxima a 1.

9. 0.30.25 0.2 0.20.15 0.1 0.15 0.120.05 0.1 0.1 0 0.08 0 5 10 15 20 0.05 0.06 0 0.04 0 5 10 15 20 0.02 2 0 0 10 20 30 5 15

10. Gráfica de Binomial Negativa donde xi es el número de fracasosantes de lograra r = 5 éxitos, para probabilidades p = .2, p =.5, p = .8 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.5 0 2 4 6 0.4 0.35 0.3 0.3 0.2 0.25 0.1 0.2 0 0.15 0 2 4 6 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 La distribución binomial negativa también se puede definir como el número de pruebas hasta la aparición de r éxitos

11. Algunas consideraciones que permiten la elección de los modelos de probabilidad aquí presentados.

12. Referencia: INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA ROSS, SHELDON M. Editorial REVERTE ISBN: 978-84-291-5039-1

http://www.slideshare.net/ConsueloValle/32-variables-aleatorias-discretas-15797552