2. problemas resueltos propiedades geométricas (1)

2. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL Y DISTRIBUCIONES DE VELOCIDAD Y PRESIONES

Universidad Nacional de Colombia Ramiro Marbello Pérez

Sede Medellín Escuela de Geociencias y Medio Ambiente

13


Problema 2.1

Para un flujo paralelo, en un canal de pendiente favorable, como el mostrado en la figura, probar que la presión en el fondo se puede calcular con la expresión pF = γ y cos2θ ; siendo γ, el peso específico del líquido, θ, el ángulo que forma la rasante del fondo con la horizontal, y y, la profundidad del flujo en la sección vertical.

Solución:

Atendiendo la geometría de la figura siguiente, y partiendo del hecho de que la distribución de presiones del flujo paralelo, en un canal abierto, sigue la ley hidrostática de presiones, la presión en el fondo se puede expresar de la siguiente manera:

pF = γ h (1)

PROBLEMAS RESUELTOS DE HIDRÁULICA DE CANALES ABIERTOS



14

En el triángulo rectángulo STF, se tiene:

cosFT d

yFSθ = = (1)

∴ cosd y θ= (2)

Así mismo, en el triángulo rectángulo TRF, se tiene:

d

h

FT

FR ==θcos (3)

∴ cosh d θ= (4)

Reemplazando (3) en (5), se tiene:

( )cos cosh y θ θ= (5)

2cosh y θ= (6)

Finalmente, reemplazando el valor de h dado por (7) en (1), se obtiene:

2cos

FP yγ θ= (7)




15

Problema 2.2

Para un flujo no paralelo, en un canal de pendiente favorable, como el mostrado en la figura, probar que la

presión en el fondo se puede calcular con la expresión θφ

γtantan1

1

⋅+= ypF ; siendo γ, el peso

específico del líquido, φ es el ángulo que forma la línea de la superficie libre con la horizontal, θ, el ángulo que forma la rasante del fondo con la horizontal, y y, la profundidad del flujo en la sección vertical.

Solución:

Como en el caso del flujo paralelo, para el flujo convergente se puede suponer que la variación de la presión sigue la ley hidrostática de presiones, por lo cual la presión en el fondo también será:

pF = γ h (1)

En el triángulo rectángulo TRF, se tiene:

cosFR h

dFTθ = = (1)




16

cos

hd

θ= (2)

Además, senn

dθ =

senn d θ= (3)

En el triángulo rectángulo SRT, se tiene:

senSR m y h

l lSTφ −= = = (4)

senm y h l φ= − = (5)

senh y l φ= − (6)

Además,

cosn

lφ =

∴ cosn l φ= (7)

Combinando (4) y (8), se tiene:

sen cosd lθ φ= (8)

sen

cosl d

θφ

= (9)

Reemplazando (10) en (7)

sen

sen sen tancos

h y d y dθ φ θ φφ

= − = −

(10)

Reemplazando en (11) el valor de d hallado en (3)

sen tancos

hh y θ φ

θ= − (11)




17

( )

tan tan

tan tan

1 tan tan

h y h

h h y

h y

θ φθ φθ φ

= −+ =

+ =

1 tan tan

yh

θ φ=

+ (12)

Finalmente reemplazamos h dado por (13) en (1):

1 tan tanF

yP γ

θ φ=

+ (13)

Obsérvese que para flujo paralelo (φ θ= ), sustituyendo tanφ = tanθ en (14), se tiene:

2 2

22

1 tan sec1

cossec

y yh

h y y

θ θ

θθ

= =+

= =

θ2cosyh =

Resultado idéntico al encontrado en el problema inmediatamente anterior.

Problema 2.3. Deduzca las expresiones que permiten calcular el área mojada, el perímetro mojado, el ancho superficial, la profundidad hidráulica y la profundidad centroidal de la sección vertical de una canal circular, en términos de su diámetro, ., y de la profundidad del flujo, y.

Caso a.

Figura 1. Geometría del canal circular, caso a.




18

1. Expresión para el ángulo, .

De la simetría circular y a partir de la figura 1 vemos que:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Por otro lado, a partir de la figura 1 vemos que:

(6)

Reemplazando (6) en (5):

(6)

(7)

(8)

(9)

2. Expresión para el área mojada, A

Figura 2. Composición de áreas del canal circular, caso a.

Como se puede ver en la figura, el área se obtiene como la suma del área del sector circular y del triángulo mostrado, de esta manera:

- Área del sector circular:

Empleando coordenadas polares, se tiene:

(10)

(11)




19

(12)

- Área del triángulo:

La base y la altura del triángulo están dadas por las siguientes expresiones:

(13)

(14)

Además: (15)

(16)

(17)

(18)

Luego el área se calcula de la siguiente manera:

(19)

(20)

Reemplazando (13) y (14) en (20).

(21)

(22)

(23)

- Área total:

(24)

(25)

3. Expresión para el ancho superficial, T.

De la figura se puede apreciar

(26)

(27)

(28)

(29)

Reemplazando (27) en (24)

(30)

(31)




20

Caso b.

Figura 3. Geometría del canal circular, caso a.

1. Expresión para el ángulo, .

Igualmente, gracias a la simetría del círculo y haciendo uso ahora de la figura 3, se encuentra:

(32)

(33)

(34)

2. Expresión para el cálculo del área mojada, A.

Figura 4. Composición de áreas del canal circular, caso a.

- Área del sector circular:

Usando coordenadas polares:

(35)

(36)




21

(37)

- Área del triángulo:

La base y la altura del triángulo están dadas por las siguientes expresiones:

(38)

(39)

Reemplazando en la fórmula para el cálculo del área, se obtiene:

(40)

(41)

(42)

- Área total:

(43)

(44)

3. Expresión para el cálculo del ancho superficial, T.

De la figura se observa que:

(45)

(46)

Obsérvese que las ecuaciones resultantes para el cálculo del ángulo; (9) y (34), el área; (25) y (44), y el ancho superficial; (31) y (46) son idénticas sin importar el caso, por tanto se puede afirmar que estas tres ecuaciones son válidas siempre para el canal circular.

4. Expresión para el cálculo del perímetro mojado, P

El perímetro se encuentra con la fórmula de la longitud de arco del sector circular, dicha fórmula es válida sin importar en donde se halle el nivel de la superficie libre.

5. Expresión para el cálculo del radio hidráulico, RH

El radio hidráulico se calcula como el cociente del área sobre el perímetro, debido a que las fórmulas para el área y el perímetro son igual en los casos a y b entonces la del radio hidráulico también lo es.




22

6. Expresión para calcular el factor de sección, Z

Problema 2.4 La sección transversal de un canal triangular con fondo redondeado se compone de dos taludes redondeados

en el fondo, según el arco de círculo , como se muestra en la figura. Deducir las expresiones para

calcular el área, el perímetro mojado, el ancho superficial, el radio hidráulico, la profundidad hidráulica, el factor de sección y la profundidad centroidal.

Por tratarse de un círculo tangente a los taludes laterales del canal, el radio de aquel es perpendicular a éstos en los puntos C y D. Por otro lado, observando los triángulos rectángulos EFB y ODE, se deduce que el ángulo EOD es igual al

ángulo FBE (= ), por tener sus lados respectivamente perpendiculares entre sí. Además, por simetría de la

sección del canal, el ángulo COE también es igual a .




23

Deducción de una expresión para la expresión para el perímetro mojado, P: De la figura:

(1)

Por simetría, ; por lo tanto:

(2)

(3)

Del triángulo rectángulo ODE, se tiene:

(4)

(5)

Del triángulo rectángulo EFB, se tiene:

(6)

Además, en el mismo triángulo: (7)

(8)

Sustituyendo (5) y (6) en (3), se tiene:

(9)

Por otra parte:

(10)

Dado que:

(11)




24

(12)

Reemplazando (9) y (12) en (2), se obtiene una expresión para el perímetro mojado; así:

(13)

(14)

(15)

Deducción de una expresión para el área mojada, A:

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

Deducción de una expresión para el ancho superficial, T: De la figura, se tiene:

(23)

(24)

(25)

Luego,

(26)

(27)

(28)

(29)

Así,

(30)

Finalmente,

(31)




25

(32)

Así la expresión para el ancho superficial, T, es:

(33)

PROBLEMA 2.5

Por un canal rectangular, de ancho B = 5.36 m, circula cierto caudal con una profundidad yo = 1.89 m, y una distribución de velocidades dada por:

y 2.5y 0.75v2 +−= ; [ ]oyy0 ≤≤ ; con v (m/s), y (m)

Se pide calcular:

a. La velocidad máxima del flujo y el punto donde se produce.

b. El caudal y la velocidad media del flujo.

c. La energía cinética y la cantidad de movimiento de la masa de agua que atraviesa la sección, por unidad de tiempo, ρagua = 1000 kgm/m

3 .

d. Los coeficientes de Coriolis y Boussinesq.

e. El número de Froude.

Solución:

Figura 2.5.a. Perfil de velocidades del flujo en el canal

Para dar solución a este problema se cuenta con los siguientes datos:

v = - 0.75 y2 +2.5 y; con v en (m/s) y y en m. (1)

Además [ ]oyy0 ≤≤

yo = 1.89 m; y B = 5.36 m




26

a. Para determinar la velocidad máxima se deriva la función de la velocidad con respecto a y, y se iguala a cero, para hallar los puntos críticos.

( ) 2.5y 0.75 2dy

dv +−=

(2)

02.5y 1.5dy

dv =+−=

(3)

Despejando y de la ecuación (2), se tiene:

m 1.66671.5

2.5y == (4)

Sustituyendo el valor de y = 1.6667 m en la ecuación (1), resulta el valor de la velocidad máxima, así:

( ) ( )s

m 2.0833331.6667 2.51.6667 0.75VV 2

m 1.6667ymáx =+−===

Por tanto, la velocidad máxima del flujo es:

s

m2.083vmáx = (5)

y ocurre para: y = 1.667 m, véase la Figura 2.5.b.

Figura 2.5.b. Perfil de velocidades

b. Para el cálculo del caudal y la velocidad media del flujo se utilizará la ecuación de continuidad. Véase la Figura 2.5.c.




27

Figura 2.5.c. Sección del canal rectangular

∫==A

dA A VQ v (6)

( ) dy B y 2.5y 0.75Qoy

0

2

∫ +−= (7)

∫∫ +−=oo y

0

y

0

2dy y B 2.5dy y B 0.75Q

( )

+−=

+−=

+= 2

o3o

2o

3o

y

0

2y

0

3

y4

5y

4

1 By

2 2

5y

4

1 B

2

y 2.5

3

y 0.75- BQ

oo

( ) ( ) ( )s

m

3

88636954.1489.14

589.1

4

1m36.5Q 23 =

+−=

s

m 14.8864Q

3

= (8)

Ahora, despejando v de la ecuación de continuidad, (6), se tiene:

oy B

Q

A

QV == (9)

s

m1.469475

m 1.89m 5.36s

m 414.8863695

V

3

=×

=

s

m1.47V = (10)

c. Cálculo de la energía cinética y la cantidad de movimiento de la masa de agua que atraviesa la sección por unidad de tiempo:

Sean:

qk: Flujo de energía cinética que atraviesa la sección.

qm: Flujo de momentum lineal (o de cantidad de movimiento) que atraviesa la sección.




28

c.1 Cálculo del flujo de energía cinética, qk

∫∫∫ ===A

3

A

2kk dA υ ρ

2

1dA υ υρ

2

1q dq (11)

( )∫ +−=oy

0

32k dy B y 2.5y 0.75 ρ

2

1q (12)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+−+

+−+−=

∫∫

∫∫oo

oo

y

0

33y

0

22

y

0

42y

0

63k

dy y 2.5dy y 2.5 y 0.75 3

dy y 2.5 y 0.75 3dy y 0.75 B ρ2

1q

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

+−+

−+−=oooo y

0

43

y

0

52

y

0

62

y

0

73

k4

y 2.5

5

y 2.5 0.75 3

6

y 2.5 0.75 3

7

y 0.75 B ρ

2

1q

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

+−+−+−=

4

y 2.5

5

y 2.5 0.75 3

6

y 2.5 0.75 3

7

y 0.75 B ρ

2

1q

4o3

5o2

6o2

7o3

k (13)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )m

s

m

4

1.89 2.5

5

1.89 2.5 0.75 3

6

1.89 2.5 0.75 3

7

1.89 0.75 m 5.36

m

kg1000

2

1q

3

343

52

62

73

3m

k

+−+

+

−+−

=

(14)

( )( )

=s

m

s

mkg 518.87289262 m 5.36 500q

2mk

s

mN 35523779.3522q k

⋅=

s

J 23779.35q k =

W23779.35q k =

kW 23.78q k = (15)

c.2 Cálculo del flujo cantidad de movimiento, qm:




29

( ) ( )∫∫∫ υ=υυ==A

2

Amm dA ρ dA ρdqq (16)

( )∫ +−=oy

0

22m dy By 2.5y 0.75 ρq

( ) ( ) ( ) ( )

+−+−= ∫∫∫ dy y2.5dy y 2.5 y 0.75 2dy y0.75 B ρq

ooo y

0

22y

0

2y

0

42m

( ) ( )( ) ( )

+−+−=ooo y

0

32

y

0

4y

0

52

m3

y2.5

4

y 2.5 0.75 2

5

y0.75 B ρq (17)

( ) ( ) ( ) ( )

+−+−=

3

y2.5

4

y2.50.75 2

5

y0.75 B ρq

3o2

4o

5o2

m (18)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

s

m

3

1.892.5

4

1.892.50.752

5

1.890.755.36m

m

kg1000q

2

232

452

3m

m

+−+−

= (19)

( )2m2mms

mkg7544105.81225

s

mkg28158123900.43605q ==

N75.81225qm = (20)

d. Cálculo de los coeficientes de Coriolis, α, y de Boussinesq, β:

d.1 Coeficiente de Coriolis, α:

∫ υ=A

3

3dA

VA

1α (21)

Sustituyendo el resultado de a integración de le ecuación (13) en (21), se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+++−

=

4

y 2.5

5

y 0.752.53

6

y0.752.53

7

y0.75B

VA

1α

4o

35o

26o

27o

3

3 (22)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+++−

=

4

y 2.5

5

y 0.752.53

6

y0.752.53

7

y0.75B

VyB

1α

4o

35o

26o

27o

3

3o

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+++−

=

4

y 2.5

5

y 0.752.53

6

y0.752.53

7

y0.75

Vy

1α

4o

35o

26o

27o

3

3o




30

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

s

m

4

1.89 2.5

5

1.89 0.752.53

6

1.890.752.53

7

1.890.75

s

m1.469475m1.89

1α

3

34352

6273

3

++

+

+−

=

( ) ( ) 1021.479506291.4694751.89

518.87289262α

3=

= (23)

1.4795α = (24)

Otra forma más rápida de calcular α sería de la siguiente manera:

kk qαq ′=

( ) ( ) ( )8831.47950628

m1.895.36s

m1.469475

m

k1000

2

1s

N.m23779.3522

dAVρ2

1

dAρ2

1

q

qα

2

3

33

3g3

3

k

k =

=

υ=

′= ∫

1.4795α =

d.2 Coeficiente de Boussinesq

∫ υ=A

2

2dA

VA

1β (25)

Reemplazado el resultado de la integración

( ) ( ) ( ) ( )

+−+−

=

3

y 2.5

4

y 0.752.52

5

y0.75

Vy

1β

3o

24o

5o

2

2o

(26)

( ) ( ) ( ) ( )

+−

=

3

y 2.5

4

y 0.752.52

5

y0.75

Vy

1β

3o

24o

5o

2

2o

(27)

Reemplazando los valores numéricos, se tiene

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

s

m

3

1.89 2.5

4

1.89 0.752.52

5

1.890.75

s

m1.469475m1.89

1β

2

232452

2

+

−+

= (28)

( ) ( ) 3111.180003651.4694751.89

0024.81581239β

2=

=




31

1.18β = (29)

Otra forma más rápida de calcular β sería:

mm qβq ′=

( ) ( ) ( )1.18

m1.895.36s

m1.469475

m

k1000

2

1s

mK10525812.7544

dAVρ

dAρ

q

qβ

2

2

22

3g

2g

3

3

k

k =

=

υ=

′= ∫

1.18β =

e. Cálculo del número de Froude, F

Dg

VF = (30)

55980.34126896

s

m7014.30591453

s

m1.469475

m1.89s

m9.81

s

m1.469475

yg

VF

2

o

==

×

== (31)

10.34F = (32)

PROBLEMA 2.6

En la sección transversal de un puente, las velocidades medias, en m/s, correspondientes a nueve sub-áreas, son las que aparecen en la Figura 2.2.

Calcular los valores de α y β para dicha sección.

Solución:

Como ayuda auxiliar para la resolución de este problema, se construirá la siguiente tabla, en la cual se registrarán los datos y los resultados parciales requeridos en la determinación de los coeficientes α y β.




32

Sub- sección

Base (m)

Altura (m)

Área, A i (m2)

Veloc. media, vi (m/s)

Caudal parcial, q i (m3/s)

Vi2.Ai

(m3/s2)

V i3.Ai

(m3/s2)

1 16 8 64 3 192 576 1728

2 10 8 80 3.1 248 768.8 2383.28

3 10 8 80 3.2 256 819.2 2621.44

4 10 8 80 3.3 264 871.2 2874.96

5 10 8 80 3.3 264 871.2 2874.96

6 10 8 80 3.2 256 819.2 2621.44

7 10 8 80 3.1 248 768.8 2383.28

8 10 8 80 3 240 720 2160

9 16 8 64 3 192 576 1728

Sumatorias ∑= 688 ∑= 2160 ∑= 6790.4 ∑= 21375.36

i. Cálculo del área total, A:

2m688n

1i iAA =∑=

= (1)

ii. Cálculo del caudal total, Q:

( )s

m2160

n

1i iViAn

1i iqQ3

=∑=

=∑=

= (2)

iii. Cálculo de la velocidad media, v :

De la ecuación de continuidad AVQ = (3)

s

m3.1395

m688

s

m2160

A

Q V

2

3

=== (4)

iv. Cálculo del coeficiente de Coriolis, α:

( )

( )1.004

m688s

m43.13953488

ms

m21375.36

AV

n

1iAV

α2

3

33

2

3

3

3

i

3

i

=

⋅

=∑==

(5)

v. Cálculo del coeficiente de Boussinesq, β:




33

( )

( )1.001

m688s

m43.13953488

ms

m6790.4

AV

n

1iAV

β2

2

22

2

2

2

2

i

2

i

=

⋅

=∑== (6)

PROBLEMA 2.7

El salto de esquí, o cubeta de escurrimiento, del canal de descarga mostrado en la Figura 1.5, tiene un radio de 20 m. Si el perfil de velocidades en la sección B-B’ es v = 0.4 + 0.6 y/h, y la profundidad del flujo es de 5.0 m, calcule la presión en los puntos C, D y E. D está en el punto medio. Además, γagua = 1000 kgf/m

3 .

Figura 2.7

Solución:

Para hallar las presiones en canales cóncavos o convexos, se empleará la siguiente fórmula:

±=

rg

υ1θcos y γp

22

(1)

Donde h

y0.60.4υ +=

(2)

cos2θ por estar la sección en la parte más baja de la curva del fondo del canal, el cual es cóncavo hacia arriba.

g = 9.81 m/s2;

r: radio de curvatura. r = 20 m

y ( m )




34

El cálculo de la velocidad de la corriente, en los puntos C, D y E se hará empleando la ecuación (2), teniendo en cuenta que sus respectivas posiciones son: yC = 0.0 m; yD = 2.5 m; yE = 5.0 m.

Los resultados son los siguientes:

PUNTO y (m) υ [m/s]

C 0.0 0.4

D 2.5 0.7

E 5.0 1.0

Para el cálculo de la presión, se empleará la ecuación (1), teniendo en cuenta que los radios de curvatura se miden desde el centro de curvatura hasta la línea de flujo correspondiente. Los resultados son los siguientes:

Punto y (m) υ [m/s] r (m) p (kgf/m2)

E 5.0 1.0 15.0 5033.98

D 2.5 0.7 17.5 2507.14

C 0.0 0.4 20.0 0.00

PROBLEMA 2.8

Calcular el radio hidráulico, RH, la profundidad hidráulica, D, y el factor de sección, Z, de la sección del canal mostrado en la Figura 2.8.

6m

6 0 °

4m

6 0 °

X

Figura 2.8




35

La profundidad del flujo es dada y es: y = 4,00 m

Para calcular los valores de los demás elementos geométricos de la sección transversal, es necesario conocer el valor de s. Para ello, se procede de la siguiente manera. Véase la siguiente figura auxiliar:

m 4.6188 60sen

m 4

60sen

h s

s

4

s

h 60sen

=°

=°

=∴

==°

a. Cálculo del perímetro mojado, P:

( ) m15.24m6.0m4.6188 2B2yP =+=+= (1)

b. Cálculo del área mojada, A:

El cálculo del área mojada precisa conocer el valor del ancho superficial; T. Para ello, debe calcularse, primero, el valor de x.

m 2.309460tan

m4.0

60tan

h x

x

h60tan ===∴= (2)

c. Cálculo del ancho superficial, T:

( ) m1.38m2.3094 2m6.0x2BT =−=−= (3)

d. Cálculo del área mojada, A

El área mojada, corresponde al área de un trapecio:

2m14.76m4.00 2

m1.38m6.00h

2

TBA =

+=

+=

(4)

e. Cálculo del radio hidráulico, RH:

m0.9685m15.24

m14.76

P

AR

2

H === (5)

f. Cálculo de la profundidad hidráulica, D:

m10.6956m1.38

m14.76

T

AD

2

=== (6)




36

g. Cálculo del factor de sección, Z:

2

5

2 m48.2812m10.70m14.76DAZ === (7)

PROBLEMA 2.9

El área mojada y el perímetro mojado de un canal trapecial, de taludes laterales 2H:1V y 1H:1V, son 12.835 m2 y 11.1294 m, respectivamente. Si el caudal de agua que fluye por el canal es 8.4711 m3/s y la viscosidad cinemática del agua es ν = 1.02x10-6 m2/s, ¿qué tipo de flujo se tiene?

Figura 2.9. Sección del canal trapecial

Datos:

2m1 = ; 1m2 = ; 2m835.12A = ; m1294.11P = ; s

m4711.8Q

3

= ; s

m1002.1

26−×=ν

Solución:

De acuerdo con la Figura 2.9, se tiene:

321 AAAA ++= (0)

2

yx

2

yxByA 21 ++= (1)

donde:

ymx 11 = (2)

ymx 22 = (3)

Reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en (1), se tiene:

y 2

y m

2

y mBA 21

++= (4)

y 2

mm yBA 21

++= (5)

De la ecuación (5), se tiene:




37

5.12

12

2

mmm 21 =+=

+= (6)

Reemplazando (6) en (5), resulta:

( )yymBA +=

( )( ) yyB 5.1 835.12 += (7)

Por otra parte, el perímetro mojado se obtiene de la siguiente manera:

22

21 m1ym1yBP ++++= (8)

ym1m1BP 22

21

++++= (9)

( ) yB 1121 1294.11 22 +++−= (10)

Resolviendo (7) y (10) simultáneamente, se tienen los siguientes resultados:

m734.1y1 = , m798.4B1 =

m441.3y 2 = , m432.1B2 −=

Se descarta y2, porque produce un ancho B negativo, lo cual es físicamente imposible; por lo tanto:

m734.1y = m798.4B = (11)

Para el cálculo del número de Froude, F, se tiene:

2

3

2

1

Ag

TQ

T

AgA

Q

D gA

Q

D g

VF ==== (12)

Donde

ymymBT 21 ++=

( ) ymmBT 21 ++=

( )y

2

mm2BT 21 ++=

ym2BT += (13)

Además,




38

( )( )[ ]23

2

1

yy mB g

y m 2B QF

+

+= (14)

Reemplazando los valores numéricos en la ecuación (14), se tiene:

( )( )( )

( )( )( )[ ]2

3

2

2

13

m1.734m1.7341.5m4.798s

m9.8

m1.7341.52m4.798s

m8.4711

+

+

=F (15)

1861.0F = (16)

Como 11861.0F <= , entonces el flujo es subcrítico.

Para el cálculo del número de Reynolds, R, se tiene:

ν P

Q

ν

Rv R

H=

==νP

A

A

Q

(17)

ν

++++

=

R22

21 m1m1yB

Q (18)

Reemplazando los valores numéricos, se tiene:

×

++++

=−

s

m1002.11121m734.1m798.4

s

m4711.8

2622

3

R (19)

7191.746221=R (20)

Como 125007191.746221 >=R , entonces el flujo es turbulento.

En conclusión el tipo de flujo que se tiene es flujo turbulento y subcrítico.

PROBLEMA 2.10

El área y el perímetro mojados de la sección transversal de un flujo, en una canal circular, son 1.0374 m2 y 2.5948 m, respectivamente. Si el caudal que fluye por dicho canal es 5.5 m3/s, y ν = 1.02x10-6 m2/s , ¿Cuánto valen los números de Reynolds y de Froude?




39

Figura 2.10

Datos:

ν = 1.02x10-6 m2/s; Q = 5.5 m3/s; A = 1.0374 m2; P = 2.5948 m

Con estos datos y con las fórmulas geométricas características de un canal circular, es fácil hallar la información requerida en este problema: el número de Reynolds, R, y el número de Fraude, F.

Solución:

Ángulo, θ:

−= −

o

1

d

y212cosθ (1)

Área, A: ( )θsenθ8

dA

2o −= (2)

Ancho superficial, T: ( )2

θsen dydy 2T oo =−= (3)

Perímetro mojado, P: odθ2

1P = (4)

Radio hidráulico, RH: P

AR H = (5)

Profundidad hidráulica, D: T

AD = (6)

a. Cálculo del Número de Reynolds, R: ν

RV

ν

LVR H== (7)

Donde,

V: velocidad media del flujo

L: longitud característica; en este caso es el RH

υ :viscosidad cinemática.




40

νP

Q

ν

P

A

A

Q

ν

RVR H =

== (8)

Reemplazando valores numéricos en (8), se tiene:

( ) ( )092078062.61

s

m101.02m2.5948

s

m5.5

R2

6

3

=

=

−

2078062.61=R

b. Cálculo del Número de Froude, F:

2

3

2

1

2

1

2

1

2

1

Ag

TQ

T

AgA

Q

Dg

A

Q

Dg

VF ====

(9)

Para hallar el valor de número de Froude es necesario conocer el ángulo θ y el diámetro del canal, para ello se resolverán simultáneamente las ecuaciones (2) y (4).

Entonces, de (2) se tiene que:

θsen-θ

A 8do = (10)

Sustituyendo (10) en (4), se tiene:

( ) ( ) 2

1

2

1

2

1

senθθ

θA2

senθθ

θA2

θsenθ

A8θ

2

1P

−

=

−

=−

= (11)

( ) 2

1

θsenθ

θ

A2

P

−

=

( ) θP

A2senθθ 2

1

=− (12)

Elevando al cuadrado la ecuación (12), se tiene:




41

2

2θ

P

A2θsenθ

=−

0θsenθθP

A2 2

2=+−⋅

(13)

Reemplazando los valores de numéricos de A y P, en la la ecuación (13), se tiene:

( )0senθθθ

m2.5948

m1.03742 2

2

2

=+−⋅

× (14)

0θsenθθ1540.30814462 2 =+−

Resolviendo el polinomio anterior, se obtiene: θ = 2.5946047261 rad

Reemplazando el valor de θ en la ecuación (10), se obtiene:

m00.26192.59460472sen -6192.59460472

m 1.03748d

2

o =×= (15)

Reemplazando (15) en (39), se tiene:

( ) m9257.12

6192.59460472sen m 2.000T =

= (16)

Finalmente, reemplazando (16) en la ecuación (9), se tiene:

( )

( )31.2

2

32

1

2

1

2

3

2

1

2

1

2m 1.03742

81.9

9257.13

5.5

Ag

TQ==

=

s

m

ms

m

F

31.2=F

PROBLEMA 2.11

Para el canal de la Figura 2.11.a, en términos de los elementos señalados en la misma, demuestre que el radio hidráulico y la profundidad centroidal se pueden expresar, respectivamente, como:




42

y

B

T

αα

Figura 2.11.a

( )αcsc2y B

αcotyByR H +

+= (A)

( )αcoty B6

αcot2y3Byy

22

G −−= (B)

Solución:

αα

B

y

T

A2A1

A3l l

xx

Figura 2.11.b

a. Cálculo del ancho superficial, T

De acuerdo con la Figura 2.11.b, se tiene

x2BT −= (1)

y x

ytan =α

α=

tan

yx (2)

Reemplazando la ecuación (2) en (1), se obtiene:

αtan

y2BT −= (3)

b. Cálculo del área, A




43

y 2

TBA

+= (4)

Reemplazando la ecuación (3) en (4), se tiene:

y 2

αtan

y2BB

A

−+=

α−=

tan

yByA (5)

c. Cálculo del perímetro, P

l 2BP += (6)

Donde

22yx +=l (7)

Sustituyendo la ecuación (2) en (7), se obtiene:

+

α=+

α= 2

2

22

2

ytan

yy

tan

yl

α+=

2

2

tan

11yl

α+=

2tan

11yl (8)

Ahora, reemplazando la ecuación (8) en (6):

α++=

2tan

11y2BP (9)

d. Cálculo del radio hidráulico, RH

P

AR H = (10)

Reemplazando las ecuaciones (5) y (9) en (10), se tiene:

αtan

11y2B

tan

yBy

R

2

H

++

α−

=




44

( ) ( )αcscy2B

αcotyBy

αcot1y2B

αcotyByR

22H+

−=++

−=

Finalmente, se obtiene el resultado esperado en la ecuación (A):

( )α+α−=

cscy2B

cotyByRH (11)

e. Cálculo de la profundidad centroidal

( )∑=

=3

1i

i2iT AyAy

A

AyAy2

AAA

AyAyAyy 2211

321

332211G

+=

++++

= (12)

−

−+

=

tanα

yB y

y tanα

y 2B

2

yy

tanα

yy

3

2

yG (13)

−

−+=

tanα

yBy

tanα

2yBy

2

1

tanα

y

3

2

y

23

G

ycotαB

cotαyyB2

1cotαy

3

2

tanα

yB

tanα

y 2By

2

1

tanα

y

3

2

y

22

2

G −

−+=

−

−+

=

αcotyB6

αcoty2yB3

αcotyB

yB2

1αcoty

3

1

y

22

G −

−

=−

+−= (14)

Finalmente, se obtiene lo solicitado en la ecuación (B):

( )αycotB 6

αcoty 2y B 3y

22

G −−= (16)

PROBLEMA 2.12

Para el canal de sección circular, mostrada en la Figura 2.12, dados los valores de dos de sus elementos, calcular y completar los restantes elementos, solicitados en la Tabla 2.6.

Nota: los problemas relacionados con secciones circulares, deberán resolverse empleando los valores de los ángulos en radianes.




45

Figura 2.12

CASO

No. y

(m) α

( rad.) 2

θ

(º)

d0

(m) RH

(m) Z

( m2 .5 ) yG

(m) T

(m)

1 80.406 1.183

2 1.0853 1.5

3 2 0.6

Tabla 2.12.1. Datos de elementos geométricos

a. Caso No. 1:

o80.4062

θ = : La superficie libre está por debajo de la mitad del círculo, es decir 2

dy o<

m 183.1T = (1)

oo160.812)80.406( 2θ ==

rad 72.80669887θ = (2)

En la Figura 2.12, es fácil observar que:

o1802

θα =+

o99.59480.406180

2

θ180α =−=−= °°°

rad 51.73824321α = (3)




46

2

θsen

2

d

2

T 0=

( )απsendT 0 −=

( )πα−απ= cossencossendT 0

( )( )1senαdT 0 −−=

α= sendT 0 (4)

Despejando d0 de la ecuación (4) y reemplazando los datos del problema, se tiene:

( )rad1.73824321sen

1.183m

αsen

Td0 ==

m1.2d0 =

• Para el cálculo de la profundidad, y, se tiene:

)yd(y2T 0 −= (5)

4

T)yd(y

2

0 =−

04

Tydy

2

02 =−+−

( )0

4

1.183my1.2y

22 =+−

00.34987225y1.2y2 =+− (6)

m 0.7y1 = (7)

m 0.5y2 = (8)

1y se descarta ya que m0.6

2

dy o =< ; por tanto:

m 0.5y =

• Cálculo del radio hidráulico, RH




47

( )

0

20

H

dθ2

1

dsenθθ8

1

P

AR

−== (9)

0H dθ

senθ1

4

1R

−= (10)

Reemplazando los datos del problema en la ecuación (10), se obtiene:

( ) ( ) m 0.26487m1.2rad2.8066989

rad2.8066989sen1

4

1R H =

−=

m 0.265RH = (11)

• Cálculo del factor de sección, Z

Para una sección circular, se tiene:

( )2

5

0

2

1

2

3

d

2

θsen

θsenθ

32

2Z

−= (12)

Reemplazando valores numéricos en (12), se tiene:

( )( ) ( ) 2.52

5

2

1

2

3

m 0.27386m1.2

2

rad2.8066989sen

rad2.8066989senrad2.8066989

32

2Z =

−=

(13)

2.5m 0.274Z = (14)

Cálculo de la profundidad centroidal, y

A12

T

2

dyy

30 +−= (15)

donde:

( ) 20d θsenθ

8

1A −= (16)

2m)1.2())rad80066989.2(senrad2.8066989(

8

1A −=




48

2m 0.446A = (17)

Reemplazando los datos numéricos en la ecuación (15), se obtiene:

( ) ( ) ( )( ) m 0.20948

m0.44612

m1.183

2

m1.2m0.5y

2

3

=+−=

m0.209y = (18)

b. Caso No. 2:

o962.1831094rad1.0853α == (19)

m1.5d0 = (20)

• Cálculo del ancho superficial:

( ) )rad1.0853(sen m 1.5senαdT 0 == (21)

m 1.327T = (22)

• Cálculo de 2

θ:

o1802

θα =+ (23)

oo 962.18310941802

θ −=

o117.8172

θ = (24)

• Cálculo de la profundidad, y

04

Ty dy

2

02 =−− (25)

( )0

4

51.326665171.5yy

22 =−−

00.441.5yy2 =−− (26)

m 1.1y1 =

m 0.4y2 =

m 0.4y2 = Se descarta ya que o

180θ > , por lo tanto m0.752

dy 0 =>

Entonces:




49

m 1.1y = (27)

• Cálculo del radio hidráulico, RH

)θ

θsen1(

4

dR o

H −= (28)

( ) ( ) m 0.450268m1.5 rad4.1126

rad4.1126sen1

4

1R H =

−=

m0.450RH = (29)


( )2

5

0

2

1

2

3

d

2

θsen

θsenθ

32

2Z

−=

( )( )( )

( ) 2.52

5

2

1

2

3

m 1.42102m1.5

2

rad4.1126sen

rad4.1126senrad4.1126

32

2Z =

−=

2.5m 1.421Z = (30)

• Cálculo de la profundidad centroidal, y

A12

T

2

dyy

30 +−=

( ) 20d θsenθ

8

1A −=

2)m1.5()rad07(4.1125853senrad74.11258530(

8

1A −=

2m31.38882143A =

( )( ) m0.490099

m 1.389 12

m 1.327

2

m 1.5m 1.1y

2

3

=+−=

m 0.490y = (31)

c. Caso No. 3:

m2.0d0 = (32)




50

m0.6R H = (33)

De la ecuación

P

ARH = (34)

Se tiene:

HR PA = (35)

Donde:

( ) 20dθsenθ

8

1A −= (36)

0dθ2

1P ⋅= (37)

Reemplazando (35) y (36) en (34), se tiene:

( ) H020 Rdθ

2

1dθsenθ

8

1 ⋅=− (38)

( )θsenθdRθ4 0H −=

( ) θsendd4Rθ 00H −=−

θsen d4R

dθ

0H

0

−−= (39)

Reemplazando los datos del problema, se obtiene:

( ) θsenm2.0m0.64

m2.0θ

−−=

θsen 5θ −= (40)

Resolviendo la ecuación (38) se obtienen los siguientes resultados:

rad 4.906θ1 −=

rad0θ2 =

rad4.906θ3 =

rad 4.105θ4 =

De donde 1θ y 2θ se descartan, por ser negativa, la primera, y nula, la segunda. Las dos soluciones

restantes, 3θ y 4θ , son matemática y físicamente posibles, dado que, para valores de do/2 < y < do, el

ángulo θ y la profundidad del flujo, y, toman dos valores que satisfacen un mismo valor del radio hidráulico, RH.




51

Para continuar con la solución de este tercer caso, se trabajará con rad 4.906θ3 = , dejando claridad de

que, con rad 4.105θ4 = , se operaría de manera similar, obteniendo sus respectivos y diferentes

resultados.

o281.11 rad4.90629506θ == (41)

o140.555

2

θ = (42)

Para calcular α, se tiene:

2

θ180α −= o (43)

oo140.555180α −=

o39.445α =

rad0.6884α = (44)

• Cálculo del ancho superficial, T

αsendT 0=

( ) ( ) m270674442.1rad0.6884sen m2.0T ==

m1.271T = (45)

• Cálculo de la profundidad, y

04

Tydy

2

02 =−− (46)

04

)21.27067444(y2.0y

22 =−−

040.40365338y0.2y2 =−− (47)

Al resolver la ecuación (47) se obtienen dos valores posibles de la profundidad de flujo:

m12

m2

2

dm 1.772y o

1 ==>=

m12

m2

2

dm 0.2277y o

2 ==<=

Para o281.11θ = se descarta m 2277.0y2 = , por tanto:

m 1.772y = (48)




52


( )2

5

0

2

1

2

3

d

2

θsen

θsenθ

32

2Z

−=

( )( ) ( )2

5

2

1

2

3

m2.0

2

rad4.90629506sen

rad4.90629506senrad4.90629506

32

2Z

−=

2.5m14.48064180Z = (48)

• Cálculo de la profundidad centroidal, y

( ) 20d θsenθ

8

1A −=

2)m2()rad90629506.(4senrad90629506.4(

8

1A −=

2m377705494.2A =

A12

T

2

dyy

30 +−=

( )( ) m 830064073.0

m2.94412

m1.2706

2

m2.0m1.772y

2

3

=+−=

m830064.0y = (49)

y (m)

α (rad)

θ/2 (º)

d0

(m) RH

(m) Z

(m2.5) y

(m)

T (m)

0.5 1.738 80,406 1.2 0.26487 0.27386 0.20948 1.183

1.1 1.0853 117.8168906 1.5 0.450268 1.42102 0.490099 1.327

1.772 0.6884450781 140.5550026 2 0.6 4.480641 0.830064 1.2706

Tabla 2.12.2. Resultados del problema




53

PROBLEMA 2.13

¿Qué diámetro debe tener un conducto circular para que un flujo semilleno tenga el mismo radio hidráulico que el del flujo en un canal rectangular, de ancho igual a 2.0 m y profundidad iguala a 1.0 m?

Figura 2.13

Solución:

a. Canal rectangular:

y 2B

y B

P

AR

R

RHR +

== (1)

Reemplazando los datos del problema en la ecuación (1), se obtiene:

( )( )( ) ( ) m

2

1

m 4

m 2

m 1 2m 2

m 1 m 2R

2

HR ==+

= (2)

b. Canal Circular:

2

dπ

4

dπ

2

1

P

AR

o

2

o

C

CHC ==

4

dR o

HC = (3)

Igualando las ecuaciones (2) y (3):

RC HH RR = (4)

m2

1

4

do = (5)

Despejando de la ecuación (5), se obtiene:

m 2m2

4do ==

m 2do = (6)




54

PROBLEMA 2.14

La distribución de velocidades en un río muy ancho y 3.0m de profundidad se aproxima satisfactoriamente con la ecuación

2

1

h

y21υ

+= (0)

B

hdy

Figura 2.14

Solución:

a. Cálculo de la velocidad media, V:

El caudal Q, que fluye a través del río se puede expresar como:

∫ υ==A

dAAVQ (1)

Por tanto, para la velocidad se tiene

∫ υ=A

dAA

1V (2)

Reemplazando la ecuación (A) en (2) y resolviendo, se tiene:

dyBh

y21

hB

1V h

0

2

1

∫ +=

(3)

+= ∫ ∫h

0

h

0dy

h

y2dy

h

1V

2

1




55

]

+=

h

0

h

02

3

2

1y

3

2

h

2y

h

1V

+= 2

3

2

1h

h3

4h

h

1V

=

+= h3

7

h

1h

3

4h

h

1V

3

7V = (4)

b. Cálculo de α

∫=A

3

3dAυ

VA

1α (5)

∫∫ ==h

0

3

3

h

0

3

3dyυ

hV

1dyBυ

hBV

1α (6)

Reemplazando la ecuación (A) en (6), se tiene:

∫

= +h

0dy

h

y

h

1α

3

2

1

321

V

( ) ( )

+

+= ∫ ∫ ∫ ∫+h

0

h

0

h

0

h

0

2

3

2

1

3dy

h

y8dy

h

y43

h

y23

Vdydy

h

1α

]

+

+

+=

h

0

h

0

2

h

0

h

02

5

2

32

3

2

13y

h

yy

h

yh

1α

5

28

h

6

3

26

V

+++= 2

5

2

32

3

2

13h

h

hh

h

h

hh

1α

5

1664

V

2




56

+=

+++= h5

16h

5

55

Vh

1h

5

16h6h4h

Vh

1α

33

= h5

71

Vh

1α

3

3V5

71α =

Finalmente,

3

3

75

71α

=

1.1178α = (7)

c. Cálculo de β

∫ υ=A

2

2dA

VA

1β (8)

Reemplazando la ecuación (A) en (6), se tiene:

dyBh

y21

hBV

1β

h

0

2

2

1

2 ∫

+= (9)

+

+∫ ∫ ∫=h

0

h

0

h

0dydy

h

y4

h

y4

hV

1β

2

1

2

]

+

+=

h

0

2h

0

h

02h

4

3

24

hV

1β

yy

h

y 2

3

2

12

++= 22

3

2

12h

h

2h

h3

8h

hV

1β

=

++= h3

17

hV

12hh

3

8h

hV

1β

22




57

2V3

17β =

Reemplazando el valor numérico de la velocidad.

2

3

73

17β

=

1.0408β = (10)

PROBLEMA 2.15

La distribución de velocidades en un canal semicircular de diámetro 2 R0 sigue la ecuación:

7171

v yR

vo

o= (0)

En la ecuación (0), y es la distancia normal a la superficie, en la cual la velocidad es v, y V0 es la velocidad en el centro del semicírculo.

Si R0 = 2.0 m y s

m0.2Vo = , encontrar V, α y β

Solución:

Figura 2.15.a

Si y = 0, 00

R

vv 7

1

7

1

o

o ==

Si y = Ro 07

1

o

7

1

o

vR

R

vv o ==

a. Cálculo de la velocidad media, V




58

Por la ecuación de continuidad, se tiene:

∫==A

dAAVQ v (1)

Despejando la velocidad media de la ecuación (1), se obtiene:

∫=A

dAA

1V v (2)

El elemento diferencial de área, dA, es:

dyx2dA = (3)

Para hacer X en términos de y, se hace la siguiente construcción auxiliar:

Ro - y

x

Ro

Figura 2.15.b

en donde:

2o

2o )yR(Rx −−=

2o

2o

2o yyR2RRx −+−=

20 yyR2x −= (4)

Reemplazando en la ecuación (3) el valor de x obtenido en (4):

dyyyR22dA 2

o −= (5)

Luego, reemplazando dA en la ecuación (2), se tiene:

( ) dyoR

0

2

o7

1

7

1

0

yyR22y

R

ov

A

1V ∫

−=

∫ −=

oR

oo

7

1

7

1

o

dy2yyR2y

RA

ov2V (6)




59

Resolviendo la integral de la ecuación (6), su valor es 3.14290749795.

Para los siguientes valores:

A = 6.2831853072; Ro = 2 m; y vo = 2.0 m/s,

se obtiene:

s

m 5697.00292969V = (7)

b. Cálculo de α

Para hallar el valor de α, se utiliza la siguiente ecuación:

∫=A

3 dAVA

1α

3v (8)

Conocido el valor de la velocidad media, V, y la expresión para la distribución de velocidades, v , se reemplazan en la ecuación (8) y se resuelve la integral, obteniendo el valor correspondiente α

c. Cálculo de β

∫=A

2 dAVA

1β

2v (10)

De la misma manera, sustituyendo el valor de la velocidad media, V, y la expresión para la velocidad, v , se resuelve la integral de la ecuación (10), obteniendo el valor correspondiente β .

PROBLEMA 2.16

La distribución de velocidades en un río muy ancho y 3.0 m de profundidad se aproxima satisfactoriamente con la ecuación

2

1

h

y 21V

+= (1)

Figura 2.16

Solución:




60

a. Cálculo de la velocidad, V:

El caudal Q, que fluye a través del río se puede expresar como:

∫==A

dA υA VQ

Por tanto, para la velocidad se tiene

∫=A

dA υA

1V (2)

Reemplazando (1) en (2) y resolviendo

dyBh

y21

h B

1V

h

0

2

1

∫

+=

∫ ∫+=

h

0

h

0dy

h

y2dy

h

1V

2

1

]

+=

h

0

h

0 2

3

2

1y

3

2

h

2

h

1V y

+= 2

3

2

1h

3h

4h

h

1V

=

+= h3

7

h

1h

3

4h

h

1V

3

7V =

b. Cálculo de α

∫=A

3

3dA υ

A V

1α

∫∫ ==h

0

3

3

h

0

3

3dy υ

h V

1dy B υ

h B V

1α




61

∫

+=h

0

3

dyh

y 21

V h

1α

2

1

3

( ) ( )

∫ ∫ ∫ ∫+++=

h

0

h

0

h

0

h

0 dy

h

y8dy

h

y4 3dy

h

y2 3dy

Vh

1α

2

3

2

1

3

]

+

+

+=

h

0

h

0

2

h

0

h

02

5

2

32

3

2

13y

5

28y

h

6

3

2

h

6

Vh

1α

h

yy

+++= 2

5

2

32

3

2

13h

h5

16h

h

64

Vh

1α 2h

h

h

+=

+++= h5

16h

5

55

Vh

1h

5

16h 6h 4h

V h

1α

33

= h5

71

V h

1α

3

3V 5

71α =

Finalmente, 3

3

7 5

71α

=

1.1178α =

c. Cálculo de β

dy Bh

y21

h B V

1 β

h

0

2

A

2

2

2

1

2 dA υ

A V

1∫∫

= +=

∫ ∫ ∫++=

h

0

h

0

h

0 dy

h

y4

h

y4dy

h V

1β

2

1

2




62

]

+

+=

h

0

h

0

h

02

y

h

4

3

2

h

4

h V

1β

2

2

3

2

12yy

++= 2hh

2

h 3

8

h V

1β 2

3

2

12hh

=

++= h3

17

h V

1h 2h

3

8h

h V

1β

22

2V 3

17β =

Reemplazando el valor numérico de la velocidad, se tiene:

0408.1

3

7 3

17β

2=

=

1.0408β =

PROBLEMA 2.17

La velocidad de un fluido de alta viscosidad, moviéndose entre placas planas convergentes, como se muestra en la figura, varía de acuerdo con la siguiente ecuación:

( )yTT

y4v

2o −=ν (1)

L

Tdy

y

dA = L dy

A

VISTA FRONTAL

Figura 2.17

Calcular:

a. Q = f ( vo , T, L )

b. V

c. α y β




63

L es la dimensión de las placas, perpendicular al plano del papel.

Solución:

a. Cálculo de la velocidad, V:

∫⋅=A

dA υAV Q (2)

∴ ∫=A

dA υA

1V (3)

Sustituyendo las expresiones para la velocidad, ν, y el diferencial de área, dA, se tiene:

( )∫=T

o 2o dy L y-TT

y 4v

L T

1V (4)

( )

−== ∫∫∫

T

o

2T

o3o

T

o2o dy ydy y T

T

v 4dy y-Ty

T

L 4v

L T

1V (5)

−=

−

=

3

T

2

TT

T

v 4

3

y

2

yT

T

v4V

32

3o

T

o

3T

o

2

3o (6)

3

v 2

6

T

T

v4

3

T

2

T

T

v4V o

3

3o

33

3o =

=

−= (7)

3

v2V o= (8)

b. Cálculo del caudal, Q:

AVQ ⋅= (9)

L T3

v2L T VQ o== (10)

L Tv3

2Q o= (11)

c. Cálculo del coeficiente de Coriolis:

∫=A

3

3dA υ

VA

1α




64

( )

−+−== ∫∫∫∫∫

T

o

6T

o

5T

o

42T

o

33

7

T

o

33

6

3o

3

3o

3

3

dy ydy yT 3dy yT 3dy yTT

216dy L y-T y

T

v4

v2 L T

3α

−

+

−

=

T

o

7T

o

6T

o

52

T

o

43

7 7

y

6

yT 3

5

yT 3

4

yT

T

126α

1.5429140

216

7

T

2

T

5

T 3

4

T

T

216α

7777

7==

−+−=

1.54α =

d. Cálculo del coeficiente de Boussinesq:

∫=A

2

2dA υ

VA

1β

( )

+−== ∫∫∫∫

T

o

4T

o

3T

o

22

5

T

o

22

4o

2

2o

2

2

dy ydy yT 2dy yTT

36dy L y-T y

T

v 4

v2 L T

3β

==

+−=

+

−

= 1.2

30

36

5

T

2

T

3

T

T

36

5

y

4

yT 2

3

yT

T

36 β

555

5

T

o

5T

o

4T

o

32

5

1.2β =

Problema 2.18. Demostrar que el momento flector sobre los muros laterales de un canal empinado, con el fondo inclinado según un ángulo θ, para una profundidad del flujo, y, es MF = γ y3 cos4θ/6

Figura 18




65

SOLUCIÓN: Integrando elementos diferenciales de momento, dM,, a partir de contribuciones elementales de fuerza, dF, (véase la Figura 18 a), se tiene:

Figura 18 a. En el triángulo rectángulo, se tiene:

d

h=θcos (1)

θcosdh = (2) En el triángulo rectángulo FTV, se tiene:

y

d=θcos (3)

θcosyd = (4)

Reemplazando (4) en (2), resulta:

θ2cosyh = (5)

Por otra parte, en todo punto de la sección transversal (ST), ubicado a una profundidad d, medida desde la superficie libre del líquido, la presión de éste es:

hp γ= (6)

siendo h la profundidad del punto, medida verticalmente desde la superficie libre del líquido.




66

Sustituyendo (2) en (6), se tiene:

θγ cos dp = (7)

La fuerza elemental, dF, debida a esta presión, actuando sobre un elemento diferencial de área, dA, situado en la vecindad del punto, es:

dF = p dA (8) Dicho elemento diferencial de área es un rectángulo de base l y altura dd,, como se puede ver en la figura. Luego, dA= l dd (9) Llevando (7) y (9) a (8), se tiene:

ddlddF cos θγ= (10)

La fuerza elemental dF produce un momento elemental dM, respecto al punto F, ubicado en el fondo del canal, así:

dM = dF.b (11)

Además, b = ddo − (12)

Llevando (10) y (12) a (11), se tiene:

)( cos ddddlddM o −= θγ (13)

Expresando, ahora, d, ,od y dd, en términos de y, ,oy y dy, respectivamente, se tiene:

θcosyd = , θcosoo yd = , θcosdydd = (14)

Sustituyendo el conjunto de ecuaciones (14) en (13), se tiene:

)coscos(cos coscos θθθθθγ yydylydM o −= (15)

dyyylydM o cos)( cos3 θθγ −= (16)

dyyylydM o )(cos 4 −= θγ (17)

Finalmente, integrando la ecuación (17) entre 0 y oy , se tiene:

∫ ∫ −==oy

oF dyyylydMM0

4 )(cos θγ (18)




67

∫ −=oy

oF dyyyylM0

4 )(cos θγ (19)

−= ∫∫

oo yy

oF dyydyyylM0

2

0

4 cos θγ (20)

] ]

−=

−=

32cos

3

2.cos

32

.40

30

24 oo

o

yy

oF

yyyl

yyylM

oo

θγθγ (21)

3433

4 cos6

1

6

23cos o

oo

F ylyy

lM θγθγ =

−= (22)

Dividiendo la ecuación (19) por una longitud unitaria, l , a lo largo del canal, se tiene el momento unitario con respecto al fondo, F, así:

θγ 43 cos6

1 o

FFm y

l

MM == (23)

Observaciones:

1. Cuanto más grande sea el ángulo θ , menor es el FmM en el fondo del canal.

2. θ4cos actúa como un factor corrector de 3

6

1oFm yM γ=

2. problemas resueltos propiedades geométricas (1)

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