2- parametros de lineas de transmision
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Parmetros de lneas 1
PARAMETROS DE LINEAS DE TRANSMISINIntroduccin
Los modelos utilizados para representar a las lneas de transmisin de energa elctricadependern del tipo de estudio a realizar. En principio una representacin detallada de
una lnea para ser estudiada en funcionamiento dinmico (No transitorio), debera incluirlos parmetros de cada una de las fases y los parmetros de vinculacin entre ellas ycon respecto a tierra. La Fig. 1 muestra el detalle de los parmetros considerados enuna representacin trifsica.
Modelo Trifsico
Fig. 1
Para los estudios en rgimen estacionario, y considerando que las lneas funcionan
equilibradamente; condicin que nos lleva a suponer que las fases transmiten la mismacorriente; podemos en consecuencia asumir una representacin monofsica medianteun cuadripolo como se observa en la Fig. 2.
Modelo monofsico
Fig. 2
Donde R y X representan la resistencia de los conductores de una fase y la inductancia
serie2
Ccorresponde a la mitad de la capacidad de servicio, la cual resulta de
considerar las capacidades entre fases y las capacidades de las tres fases respecto a
-1-
-
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Parmetros de lneas 2
tierra. Finalmente2
Gcorresponde a la mitad de las conductancias a tierra las cuales
resultan de considerar las resistencias de prdida de los aisladores, las prdidas porefecto corona y las prdidas adicionales.
INDUCTANCIA DE LINEAS
Recordemos que la inductancia de un conductor, una bobina o una lnea, es lapropiedad o caracterstica que relaciona la fuerza electromotriz inducida debida a lavariacin del flujo con la velocidad de variacin de la corriente. La anterior definicinqueda ratificada por la expresin (2).
)2(
dt
di
eL)1(
dt
diL
dt
de
donde: = Nmero de concatenaciones de flujo (Weber)e = F.e.m. inducida (Volt)i = Corriente (Amperes)
Tambin observando la expresin (1), podemos escribir:
)4(]Henrios[i
LikSi)3(di
dL
La expresin (3) nos muestra que la inductancia tambin se puede definir como larelacin entre las variaciones de concatenaciones de flujo por unidad de variacin decorriente.Si adems la relacin entre las concatenaciones de flujo y la corriente responde a unafuncin lineal, podemos definir a la inductancia como la relacin entre lasconcatenaciones de flujo por unidad de corriente. (4).En una lnea bifilar las concatenaciones de flujo de la espira formada por los dosconductores ser la suma de las concatenaciones de flujo de cada conductor.
Aqu debemos aclarar que cuando hablamos de concatenaciones de flujo nos estamosrefiriendo a la cantidad de lneas de campo magntico que abrazan una determinadacorriente y que debe diferenciarse del flujo, por cuanto este ltimo se refiere a lacantidad de lneas de campo generadas por una corriente independientemente de quecorriente abracen.
La inductancia mutua entre dos circuitos es una propiedad semejante a la inductanciaque presenta inters cuando se trata de estudiar la influencia de las lneas de altatensin sobre lneas telefnicas o del acoplamiento de lneas de energa paralelas. Enestos casos hablaremos de las concatenaciones de flujo producidas por una corrientecirculando por una lnea de energa por unidad de corriente circulando en la lneaparalela .
-2-
-
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Parmetros de lneas 3
Los conceptos anteriores nos llevan a un anlisis donde hablaremos de lasconcatenaciones internas y externas al conductor, de donde resultar una inductanciainterna y otra externa.
Inductancia Interna de un conductor
Teniendo en cuenta la expresin (4), la inductancia interna podramos definirla como lasconcatenaciones de flujo interno al conductor por unidad de corriente. Pero aqudebemos reparar en que las lneas de flujo producidas por la corriente hasta un nivel xdel centro del conductor, no abrazan a la totalidad de la corriente. Por este motivo lainductancia interna resultar de la integracin de las concatenaciones de flujodiferenciales.Para este clculo, partimos del principio que dice La circulacin del vectorIntensidad de campo magntico a lo largo de una lnea cerrada es igual a lacorriente concatenada
Fig. 3
En la Fig.3 hemos representado el interior de un conductor en el cual observamos un
tubo de espesor dx por cuya seccin longitudinal ds pasa un flujo diferencial d queabraza a la corriente que circula por el interior del crculo de radio x. Aplicando elprincipio antes mencionado obtendremos las siguientes expresiones:
)5(IxHxx2)vuelta.Amp(Ids.H conductordelcentrodelxciatandisunahastaCorrienteIx :resultatetanconscorrientededensidadunaademsSuponiendo
)6(Ir
xHx2)5(endoreemplazantotalcorrientelaIsiendoI
r
xIx
2
2
x2
2
-3-
-
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Parmetros de lneas 4
Despejando de la (6) Hx y considerando que la permeabilidad se puede asemejar a ladel aire, podemos escribir las siguientes expresiones:
)7(m
Wb
r2
IxHB)7(I
r2
xH
22xx2x
En el tubo de espesor dx (Fig. 3) el flujo por unidad de longitud valdr
)8(m
Wbdx
r2
Ix1dxBdsBd
2xx
Este flujo diferencial es producido por una fraccin de la corriente total, a su vez los
enlaces de flujo d producidos por el flujo diferencial d , dependern de la relacin de
secciones de los crculos de radios x y r es decir: )9(dxr..2
xId
r.
xd
4
3
2
2
m
Hy1041Siendo 70r
)10(m
vuelta.Wb10
2
I
8
I104
8
Idx
r2
xI 7r
0
7
4
3
int
Teniendo en cuenta la (4) podemos obtener de la (10) la inductancia interna delconductor
m
Hy10
2
1
IL 7int
int(11)
Vemos que la inductancia interna es constante e independiente de la geometra delconductor. No obstante debemos aclarar que los conductores en general estnconstruidos con materiales no magnticos donde la permeabilidad a considerar es la delaire, pero si se tratara de un conductor magntico, habr que tener en cuenta supermeabilidad relativa y en tal caso la inductancia interna valdr:
)12(m
Hy10
2
1L r
7int
Inductancia debida al flujo externo de un conductor
Para calcular la inductancia de un conductor debida al flujo externo al mismo,aplicaremos el principio antes mencionado y haremos la circulacin del vector campomagntico a lo largo de una lnea cerrada externa al conductor. En este caso debemostener en cuenta que las lneas de campo concatenan a la totalidad de la corriente, por loque hablar de flujo externo y de concatenaciones ser numricamente igual.
-4-
-
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Parmetros de lneas 5
Fig. 4
x2
IHIHx2 xx
(13)
x2
IHB xx
(14)
El flujo diferencial en el tubo de espesor dx ser:
dxx2
Id
(15)
Los enlaces de flujo externos comprendidos entre los puntos P1 y P2, se obtienenintegrando la (15) entre las distancias D1 y D2 que corresponden a los radios de lascircunferencias que pasan por los puntos mencionados.
2D
1D 1
221
D
Dln
2
Idx
x2
I(16)
Finalmente la inductancia debida al flujo externo comprendido entre D1 y D2 ser:
1
2721
D
Dln102L (17)
Las expresiones (12) y (17) nos permiten calcular las inductancias internas y externasde un conductor por el que circula una corriente I. Aqu debemos aclarar que no se
consider la posible influencia de ningn otro conductor vecino que pudiera estaraportando campo magntico. Veremos a continuacin distintos casos dondeconductores vecinos aportan nuevas concatenaciones.
Inductancia de una lnea bifilar monofsica
Analizaremos el caso de una lnea bifilar compuesta por dos conductores por los quecirculan corriente iguales y de sentido contrario, de manera tal que la suma de las
corrientes en cada instante es nula (Fig. 5). Es decir 21 -II
Fig. 5
-5-
-
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Parmetros de lneas 6
Para calcular la inductancia total haremos una superposicin de efectos. Comenzandocon el conductor 1 tendremos las concatenaciones internas del conductor 1 mas lasconcatenaciones debidas al flujo externo hasta el lmite de la distancia D al conductor 2,donde para distancias mayores a D ya no habr concatenaciones ya que la suma de las
corrientes II 21 ser nula. Igual criterio aplicaremos para el conductor 2.
En definitiva la inductancia total ser la suma de las inductancias interna y externa decada uno de los conductores.
4
1
1
7
1
4
1
7
1
77ext1int1
er
Dln102)
r
Dlne(ln102
r
Dln10210
2
1LL1L
)18(r
Dln1021L
'1
7 En igual forma podramos calcular:
'2
7ext2int2
r
Dln102LL2L
En definitiva la inductancia total de la lnea compuesta por los dos conductores 1 y 2ser:
m
Hy
'r'r
Dln1042L1LLT
21
7(19)
La expresin (19) nos da la inductancia total de la lnea en Hy por metro. La inductanciade cada uno de los conductores se calcula con las expresiones de L1 o L2.En general los radios de los conductores de una lnea bifilar son iguales es decir
rrr 21 en este caso la inductancia total ser:
mHy
rDln104L'
7 (20)
Enlaces de flujo de un conductor en un grupo
Hasta aqu hemos supuesto que los conductores de las lneas son macizos. En laprctica se utilizan cables formados por hebras dispuestas regularmente en capas. Paraestudiar estos casos analizaremos primero las concatenaciones de flujo de unconductor inmerso en el campo magntico generado por si mismo y por un conjunto deconductores y de manera que la sumatoria de las corrientes sea nula (Fig. 6).
Fig. 6
-6-
-
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Parmetros de lneas 7
La Fig. 6 nos muestra un conjunto de n conductores por los que circulan las corrientes
I,,I,I,I n321 y un punto P ms all del cual; en principio; despreciaremos el flujo quepudieran aportar cualquiera de los conductores.Las concatenaciones de flujo producidas por los n conductores hasta el punto P, laspodemos calcular a partir de las expresiones (17) y (18).
)D
DlnI........
D
DlnI
D
DlnI
r
DlnI(102
n1
Pnn
31
P33
21
P22'
1
P11
7P1
(21)
Si desarrollamos la expresin (21) en trminos de logaritmo de un producto, porejemplo para el trmino n sera:
n1Pnn DlnInDlnI
Adems si reemplazamos )III-(II 1-n321n
Finalmente si hacemos tender el punto P hacia el infinito, en cuyo caso las distanciasD...DD nP2P1P son todas prcticamente iguales. Resulta la siguiente expresin
general de las concatenaciones de flujo de un conductor inmerso en un conjunto de nconductores.
)D
1lnI.........
D
1lnI
D
1lnI
r
1lnI(102
n1n
313
212'
1
17
1P/P1
(22)
Inductancia de lneas formadas por cables
Analizaremos a continuacin una lnea monofsica formada por dos cables X e Y con n
y m conductores respectivamente.
Fig. 7
Las concatenaciones del conductor a del cable X, teniendo en cuenta todos losconductores de X e Y ser:
)Dam
1ln...
'Dab
1ln
'Daa
1(ln
m
I102)
Dan
1ln.....
Dab
1ln
ar
1.(ln
n
I102 77a
-7-
-
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Parmetros de lneas 8
na
m7
aDan....DacDab'r
Dam...'Dac'Dab'DaalnI102
Dividiendo miembro a miembro por n
I, tendremos por definicin la inductancia del
conductor (hebra) a, es decir:
na
m7a
Dan...DacDab'r
Dam...'Dab'Daaln10n2
n
ILa
(23)
En igual forma podramos calcular la inductancia de las hebras Ln...Lb,La,nc,b, La inductancia del cable X es decir del conjunto de hebras en paralelo a, b, c,, n lapodemos calcular a partir de la inductancia promedio de todas las hebras es decir:
2n
Ln...LcLbLaLx
n
Ln...LcLbLaLav
(24)
Reemplazando por los respectivos valores de las inductancias de cada hebra resultarla siguiente expresin:
2n
nm7
)Dnn...DnbDna(...)Dbn...DbbDba()Dan...DabDaa(
)Dnm...'Dnb'Dna(...)Dbm...'Dbb'Dba()Dam...'Dab'Daa(ln102Lx
(25)
En la (25) hemos reemplazado los radios medios geomtricos propios de cada
conductor )r..,.,r,(rn,c,b,a, 'n'b
'a por las expresiones Dnn,Dbb,Daa, simplemente
para homogeneizar la escritura.
Si observamos la expresin 25 podemos ver que el numerador es una mediageomtrica de las distancias de las hebras del conductor X con respecto al Y. A su vezel denominador es una media geomtrica de las distancias entre las hebras delconductor X. Por lo tanto la podemos reemplazar por la siguiente expresin final:
m
Hy
D
D
ln102Lxs
m7
(26)
Donde: Dm=Distancia media geomtrica mutua entre las hebras del conductor X e YDs= Distancia media geomtrica entre las hebras del conductor X
Finalmente la inductancia total de la lnea monofsica ser LyLxLt .Normalmente los cables X e Y son iguales, por lo que la inductancia total ser el doblede Lx; Lx2Lt
-8-
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Parmetros de lneas 9
Inductancia de lneas trifsicas
Aqu debemos distinguir dos tipos de lneas. Con disposicin simtrica y con disposicinasimtrica.Las primeras no necesitan transposiciones para equilibrar sus parmetros, en cambio
las asimtricas deben ser transpuestas a lo largo de su recorrido.
Lneas con disposicin simtricaImaginemos una lnea formada por conductores macizos, ubicados como los vrtices de
un tringulo equiltero (Fig. 8), por los cuales circulan las corrientes ,I,I,I cba de
manera que su suma sea igual a cero en cada instante, es decir se trata de una lnea
equilibrada, 0III cba
Fig. 8
Lnea trifsica con disposicin simtrica
De acuerdo a la expresin (22) que nos permite calcular las concatenaciones de flujo deun conductor inmerso en el campo magntico propio y de otros, podemos escribir:
m
vuelta.WbD
1lnID
1lnIr
1lnI102 cb'a
7a (27)
De la condicin de equilibrio de corrientes, podemos obtener: )I-(II cba luego
factoreando el 2 y 3 trmino de la (27) y reemplazando I-II acb tendremos
'a7
a'a7
ar
DlnI102)
D
1lnI
r
1lnI(102 (28)
Aplicando la definicin de inductancia:
m
Hy
r
Dln102
IL
'
7
a
a
a(29)
La expresin (29) nos da la inductancia por fase de una lnea trifsica con disposicinsimtrica.
Lneas con disposicin asimtrica
-9-
-
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Parmetros de lneas 10
Como dijimos anteriormente, en una lnea con disposicin asimtrica lasconcatenaciones de flujo no son iguales para todos los conductores. Esta situacinpuede superarse haciendo que cada conductor recorra un tercio de la longitud de lalnea en cada posicin de manera que el promedio de inductancias en las tresposiciones resulte igual para las tres fases.
La Fig. 9 muestra el ciclo de transposiciones a lo largo del recorrido de la lnea. En lamisma puede observarse que las fases salen y arriban al final del recorrido en la mismaposicin, lo cual nos obliga a realizar transposiciones en tres lugares. Una alternativasera trasponer en dos lugares pero la salida y arribo de las fases sera en distintaubicacin.
Fig. 9
Una ventaja adicional de la transposicin es la no interferencia sobre otras lneas quepudieran correr paralelas a las lneas de energa.Haciendo referencia a la Fig. 9, calcularemos las concatenaciones de flujo; por ejemplode la fase a; para cada posicin del ciclo de transposiciones y luego haremos el
promedio, el cual ser igual para las otras dos fases (b y c).Con a en posicin 1, con b en posicin 2, con c en posicin 3, aplicando la (21),
tendremos:
)D
1lnI
D
1lnI
r
1ln.I(102
13c
12b'a
71a
Con a en posicin 2, con b en posicin 3 y con c en posicin 1, aplicando la (21)tendremos:
12c
23b'a
72a
D
1lnI
D
1lnI
r
1lnI102
Con a en posicin 3, con b en posicin 1 y c en posicin 2, aplicando la (21)tendremos:
23c
31b'a
73a
D
1lnI
D
1lnI
r
1lnI102
-10-
-
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Parmetros de lneas 11
El promedio de los enlaces de flujo a lo largo del ciclo de transposiciones ser:
'
3132312
a7
132312a'a
73a2a1aa
r
DDDlnI102
D.D.D
1lnI
r
1lnI3(10
3
2
3
La raz cbica de las tres distancias D12, D13 y D23 es la media geomtrica de lasdistancias entre fases, por lo que la expresin final de la inductancia ser:
m
Hy
D
Dln102
IL
s
eq7
a
aa (30) donde '
s
3132312eq
rD
DDDD
Observando las expresiones (29) y (30), vemos que son similares excepto que en la(29) la distancia D es la nica entre fases, mientras que en la (30) la distancia aconsiderar es la media geomtrica de las tres distancias entre fases (D12, D13, D23).
Tambin hemos reemplazado r por Ds, generalizando de este modo al radio mediogeomtrico propio de cada conductor por el radio medio geomtrico de cada fase (Ds).
Lneas trifsicas de circuitos paralelos
Si bien el tratamiento matemtico es similar , aqu debemos distinguir entre circuitosparalelos debidos al uso de sub conductores por fase y circuitos paralelos por tratarsede dos lneas en paralelo (Doble terna). Analizaremos en primer trmino una dobleterna formada por las fases a, b, c y a, b, y c. Las fases de cada una de las ternas setrasponen como se indica en la Fig. 10 y de manera que las fases homlogas (a y a, by b, c y c) permanezcan lo mas alejadas posible. Esta forma de trasponer tiene porfinalidad aumentar el valor de Ds en la expresin (30) de manera de disminuir lainductancia total.
Fig.10
Para calcular la inductancia total de la doble terna aplicaremos la (30) considerandoque la fase A esta formada por a y a, B por b y b y C por c y c, resultando enconsecuencia:
ByAfaseslasentreDMGDdonde)31(DDDD AB3
ACBCABeq
-11-
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Parmetros de lneas 12
Por lo tanto gdg.dgdD 4AB
En igual forma hd2hd2hd2DtambingdgdgdD 4AC4
BC
La Deq se calcula en cualquiera de las posiciones del ciclo por cuanto da lo mismo.Con respecto a Ds, podemos observar que todas las fases tendrn el mismo Ds, peroeste vara segn la posicin, por lo que el Ds a considerar ser la media geomtrica delos Ds correspondientes a cada posicin, es decir:
)32(DDDD 3 3S2S1SS
Siendo:
f'rDtambinh'rD:formaigualEnf'rf'rf'rD 3S2S4
1S
Reemplazando en (31) y (32), tendremos los valores de Deq y Ds y finalmenteaplicando la (30) tendremos la inductancia de la fase A (a y a) o de las fases B o C. Siquisiramos la inductancia por fase de una sola terna, tengamos en cuenta que ambasestn en paralelo por lo que el valor para una terna ser el doble.
m
Hy
hf)r(
hgd2ln102L
6/13/12/1'
6/13/12/16/17
A (33)
Veamos ahora una lnea trifsica formada por dos sub conductores por fase, como es elcaso de nuestras lneas de 220 Kv y analicemos como aplicar la expresin (30)
Fig. 11
En este caso la Deq ser:
3 ACBCABeq DDDD
DddddD 4 baba'ababAB
-12-
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Parmetros de lneas 13
33eqACBC 2DD2DDDD2DyDDtambin
Con respecto a Ds observemos que al efectuar las transposiciones, la posicin relativade los sub conductores a y a o b y b o c y c permanece inalterable es decir que el Ds
ser el mismo en cualquier posicin del ciclo.
d'rd'rd'rDDDD 4 a'a'aaaa3S2S1SS
Reemplazando en la (30) tendremos la inductancia de lnea con sub conductores.
m
Hy
d'r
2Dln102L
37
A (34)
La (34) nos da la inductancia por fase de una lnea con dos sub conductores por fase.
Finalmente debemos aclarar que en su forma mas general la expresin (30) se aplica alneas formadas por sub conductores o doble ternas, donde cada uno de ellos soncables, lo que significa que debemos considerar el RMG de cada cable en lugar del r.
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Parmetros de lneas 14
Capacidad de Lneas
La diferencia de potencial entre dos conductores de una lnea, hace que estos secarguen como las placas de un condensador. En el caso de lneas de corriente alternalos conductores se cargan y descargan de acuerdo con los valores instantneos de la
tensin en cada punto.Tal como vimos en la introduccin, las capacidades a tener en cuenta en los estudiosdinmicos, son las capacidades entre conductores y las capacidades a tierra. Ambas sepueden representar por una capacidad que llamamos Capacidad de servicio y queresulta de hacer el paralelo de ambas. Este hecho se justifica admitiendo que en casode funcionamiento simtrico el potencial de tierra y el potencial del centro de estrella delas capacidades equivalentes a las capacidades entre fases, son iguales.La importancia de la capacidad se pone de manifiesto de acuerdo a la potencia reactivaque su presencia genera. Por ejemplo en las lneas de 132 kV la capacidad de las
lneas; cuyo valor esta en el orden de loskm
nF8 ; absorbe una potencia reactiva del
orden de loskm
kVAr50 . En los estudios dinmicos la capacidad de las lneas cobra
importancia a partir de longitudes de 80 km . Es decir para longitudes menores lacapacidad puede ser despreciada.La capacidad de las lneas, tal como veremos depende de la geometra o disposicin delos conductores en el espacio, lo que a su vez es funcin de los niveles de tensin.
Campo elctrico de un conductor de gran longitud
Las lneas de campo elctrico nacen en la superficie donde se encuentran las cargas yson normales a esta (Fig. 1). Suponiendo un conductor cilndrico de longitud infinita, la
densidad de cargas por unidad de longitud valdr:
Fig. 1
x..2
qD
(1) donde q = Carga por unidad de longitud en Coulomb
X = Distancia desde el centro del conductor al puntodonde analizamos la densidad de cargas.
-14-
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Parmetros de lneas 15
La intensidad de campo elctrico (Fuerza por unidad de carga), valdr:
m
V
k.x..2
qE (2) donde k= Es la constante dielctrica del medio .
Tomando como referencia el vaco donde la constante vale
m
F10..36
1Ko9
Tendremos: KoKrkK
kkr
0
(3)
El lneas de alta tensin, donde los conductores estn al aire, kr = 1, por su parte enlneas subterrneas la constante dielctrica kr depender del aislante utilizado y ser unnmero comprendido entre 2 y 5.
Diferencia de potencial entre dos puntos debida a la presencia de una carga
Recordando que la diferencia de potencial entre dos puntos P1 y P2 (Fig 2) que estnbajo la influencia del campo elctrico creado por una carga, es igual numricamente altrabajo necesario para desplazar la carga unitaria entre esos dos puntos, podemosescribir:
Fig. 2
VD
Dln
k2
qdx
x.k2
qdx.EV
1
22D
1D
2D
1D
12
(4)
La Fig. 2 nos muestra que en el camino de integracin el trabajo se hace nulo almovernos sobre una superficie equipotencial por cuanto el vector intensidad de campoes perpendicular al camino a recorrer. Es decir el trabajo tendr valor al pasar de unasuperficie equipotencial a otra.Los signos de la expresin (4) pueden ser positivo o negativo dependiendo del signo deq y de que D2 sea mayor o menor que D1. Si por ejemplo q es positiva, D2 >D1 y en elpunto P1 la carga a desplazar es positiva, el trabajo para desplazar a la carga de P1 aP2 ser negativo (Cada de potencial). Por el contrario si la carga a desplazar estuvieraen P2 y hubiera que desplazarla hasta P1, el trabajo a realizar sera positivo.
-15-
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Parmetros de lneas 16
Capacidad de una lnea bifilar
Imaginemos una lnea formada por dos conductores de radios distintos y separados unadistancia D (Fig.3). En este caso se define la capacidad como la carga de los
conductores por unidad de diferencia de potencial entre ellos.
mF
Vqc (5)
Fig. 3
Si reemplazamos V por la expresin calculada en (4), obtendramos la capacidadteniendo en cuenta la carga de cada uno de los conductores a y b. Para elloaplicaremos el principio de superposicin es decir calcularemos la diferencia depotencial entre a y b considerando la carga a y luego la de b.
D
rln
k2
qVtambin
r
Dln
k2
qV bbqb/ab
a
aqa/ab
Siendo qa = -qb , tendremos finalmente la diferencia de potencial total entre a y b ser:
ba
2
aba
aqb/abqa/ababrr
Dlnk2
q]D
rlnr
D[lnk2
qVVV (6)
De acuerdo a la (5) tendremos:
m
F
r.r
Dln
k..2
V
qC
ba
2ab
aab
(7)
Normalmente los conductores son iguales es decir rrr ba , en consecuencia lacapacidad ser:
r
Dln
k.Cab (8)
Reemplazando k = Ko y pasando de logaritmo natural a decimal y pasando akm
F
resulta:
-16-
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Parmetros de lneas 17
km
F
r
Dlog
01206,010
elog
r
Dlog
1036
1
C 99
ab(9)
La (9) da la capacidad entre dos conductores de una lnea bifilar.Si nos interesara la capacidad respecto al neutro (En caso de alimentar nuestra lneadesde un transformador con punto medio a tierra Fig. 4), la capacidad aumentar aldoble de Cab ya que la tensin disminuye a la mitad. A esta capacidad la designaremoscomo Can o Cbn.
Fig. 4
km
F
r
Dlog
02413.0CC bnan (10)
aban C2C
Las expresiones (9) y (10) no son rigurosamente exactas pues se supuso que lascargas se distribuyen uniformemente sobre las superficies de los conductores, lo cualno es exacto. De cualquier manera el error que se comete al utilizar estas expresioneses muy pequeo, sobre todos cuando se trata de relaciones D/r grandes. De igual formaen el caso de utilizar cables en lugar de conductores macizos el error no supera el 1% .
Capacidad de lneas trifsicas
La capacidad de lneas trifsicas se calcula a partir de la expresin (5), pero teniendoen cuenta que este caso hablaremos de diferencia de potencial respecto al neutro ycarga de cada conductor.Comenzaremos analizando la expresin genrica que nos da la diferencia de potencialentre dos conductores inmersos en el campo elctrico creado por n conductores Fig. 5.
Fig. 5
-17-
-
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Parmetros de lneas 18
Supondremos que la carga resultante de todas las cargas es nula esto es
ni
1ii 0q
La diferencia de potencial entre los conductores a y b ser:
na
nbnca
cbcba
bba
abaabDDlnq...
DDlnq
Drlnq
rDlnq
k21V (11)
Cada trmino de la (11), representa el aporte a la diferencia de potencial creada entre
los conductores a y b por causa de la carga ncba q,,q,q,q
En forma semejante se podr calcular ancbac V,,V,V , expresiones con las que
podremos obtener la capacidad respecto al neutro de lneas trifsicas.
Capacidad de lneas trifsicas con disposicin simtrica
Sea la lnea trifsica con disposicin simtrica indicada en la Fig. 6
Fig. 6
Lnea trifsica simtrica
A partir de la expresin (6) calcularemos las diferencias de potencial y VV acab
resultando:
V)D
Dlnq
D
rlnq
r
Dlnq(
k2
1V cbaab
V)D
rlnq
D
Dlnq
r
Dlnq(
k2
1V cbaac
(12)
Sumando las diferencias de potencial abV y acV resulta:
:resultaqqqcomopero]D
rln)qq(
r
Dlnq2[
k2
1VV
acbcbaacab
)13(r
Dln
k2
q3VV aacab
La expresin (13) es la expresin de la suma de las diferencias de potencial VV acab
a partir de la geometra de la lnea. Veamos a continuacin cuanto da esa misma suma
-18-
-
7/23/2019 2- Parametros de Lineas de Transmision
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Parmetros de lneas 19
a partir del diagrama vectorial de tensiones de la Fig.7, el cual corresponde a la ternade tensiones simtricas y equilibradas con las que alimentamos a la lnea trifsica.
Fig. 7
)14(V3VV)2
1j
2
3(V3VVtambin)
2
1j
2
3(V3V anacabancaacanab
Igualando las expresiones (13) y (14) resulta:
r
Dln
k2
qV
r
Dln
k2
q3V3 aan
aan
(15)
Aplicando la definicin de capacidad (5), resulta:
m
F
r
Dln
k2
V
qC
an
aan (16)
Reemplazando en la (16) la constante k por Ko, pasando de ln a log y llevando akm
F,
resulta:
kmF
r
Dlog0241,0Can (17)
La expresin (17) nos da la capacidad respecto al neutro de cualquiera de las fases deuna lnea trifsica con disposicin simtrica.
Capacidad de lneas trifsicas con disposicin asimtrica
Cuando los conductores estn dispuestos en forma asimtrica, la capacidad de cadauno de ellos respecto del neutro es diferente. Para solucionar este inconveniente sehacen transposiciones a lo largo del recorrido de la lnea. Evidentemente la capacidad
en cada posicin del ciclo de transposiciones ser diferente, pero el valor medio de lacapacidad de cada conductor ser el mismo.
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-
7/23/2019 2- Parametros de Lineas de Transmision
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Parmetros de lneas 20
Fig. 8
Lneas trifsicas asimtricas
La Fig. 8 nos muestra una de la tres configuraciones posibles en las que pueden estarcada fase.Calcularemos en consecuencia la capacidad media de la fase a, por ejemplo,haciendo que sta ocupe las tres posiciones posibles a lo largo del recorrido.
Con la fase a en la posicin 1, la fase b en la posicin 2 y la fase c en la posicin 3,
aplicando la (11) resulta:
V)D
Dlnq
D
rlnq
r
Dlnq(
k2
1V
31
23c
12b
12a1/ab
(18)
Con la fase a en la posicin 2, la fase b en la posicin 3 y la fase c en la posicin 1resulta:
V)D
Dlnq
D
rlnq
r
Dlnq(
k2
1V
12
31c
23b
23a2/ab
(19)
Con la fase a en la posicin 3 , la fase b en la posicin 1, y la fase c en la posicin2 resulta:
V)D
Dlnq
D
rlnq
r
Dlnq(
k2
1V
23
12c
31b
31a3/ab
(20)
La diferencia de potencial abV media ser:
)VVV(3
1V 3/ab2/ab1/abab_
(21)
Si adems suponemos que la carga de cada conductor es igual en cada posicin delciclo de transposicin (Supuesto que no es rigurosamente exacto), reemplazando en(21) obtendremos la siguiente expresin:
)DDD
DDDlnq
DDD
rlnq
r
DDDlnq(
k.6
1V
132312
132312c
132312
3
b3
132312aab
_
-20-
-
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Parmetros de lneas 21
)22()D
rlnq
r
Dlnq(
k2
1V
eqb
eqaab
_
)23(DDDDSiendo 3 132312eq
En forma anloga podemos obtener acV , resultando:
)D
rlnq
r
Dlnq(
k2
1V
eqc
eqaac
_
(24)
Y teniendo en cuenta la expresin (14), obtendremos:
)D
rlnq
D
rlnq
r
Dlnq2(
k2
1VVV3
eqc
eqb
eqaac
_
ab
_
an
Pero como 0qqq cba resulta entonces
r
Dlnq
k2
3V3
eqaan
(25)
Finalmente teniendo en cuenta la definicin de capacidad (5), resulta:
m
F
r
D
ln
k2
V
qC
eqan
aan
(26)
Reemplazando k por Ko, ln por log y expresando el resultado en
km
Fresulta:
km
F
r
Dlog
0241,0C
eqan
(27)
La expresin (27) nos permite calcular la capacidad con respecto al neutro de cada fasede una lnea trifsica con disposicin asimtrica en la que se han hechotransposiciones.
A esta capacidad tambin se la suele nombrar como capacidad de servicio.
Efecto del suelo sobre la capacidad de las lneas trifsicas
Es sabido que el suelo influye en la capacidad de las lneas pues su presencia modificael campo elctrico entre conductores.
-21-
-
7/23/2019 2- Parametros de Lineas de Transmision
22/26
Parmetros de lneas 22
Para tomar en cuenta este fenmeno, aplicaremos el mtodo de las imgenes, queconsiste en remplazar a la tierra por un conductor imagen del conductor real, ubicadobajo tierra a una distancia igual a la del conductor real hasta la tierra. El conductorimagen tiene una carga de igual magnitud y signo contrario a la del conductor real.El mtodo puede ser aplicado a un sistema trifsico como el indicado en la Fig. 9.
Fig. 9
Lneas trifsicas y su imagen
Para calcular la capacidad en este caso, se aplica el mismo mtodo que utilizamos paralas lneas con disposicin asimtrica pero tomando en cuenta los conductores reales y
las imgenes virtuales. El mtodo consiste en calcular las diferencias de potencial abV y
Vac para las tres posiciones del ciclo de transposiciones y promediar dichos valores.
Posteriormente se igualan las suma de VV acab obtenida por va del anlisisgeomtrico con la obtenida por va del anlisis del diagrama vectorial de tensiones.Para la disposicin indicada en la figura 9; por la va geomtrica; obtendramos lassiguientes expresiones:
)]H
Hln
D
D(lnq)
H
Hln
D
r(lnq)
H
Hln
r
D(lnq[
k2
1V
31
23
31
23c
12
2
12b
1
1212aab
)]H
Hln
D
r(lnq)
H
Hln
D
D(lnq)
H
Hln
r
D(lnq(
k2
1V
31
3
13
c
12
23
12
23b
1
1313aac
En igual forma calculamos estas tensiones para las otras dos posiciones, ypromediando y sumando lo igualaramos finalmente a la suma obtenida por va deldiagrama vectorial, esto es:
anacab V3VV
(28)
-22-
-
7/23/2019 2- Parametros de Lineas de Transmision
23/26
Parmetros de lneas 23
De la igualdad (28), podemos finalmente despejar la capacidad respecto al neutro deuna lnea trifsica con disposicin asimtrica teniendo en cuenta el efecto del suelo,resultando la siguiente expresin:
km
F
HHH
HHHlog)r
Dlog(
0241,0C
3321
3 132312eqn
(29)
Comparando la (27) con la (29), podemos evaluar el efecto de introducir la presencia dela tierra. Como conclusin de dicha evaluacin podemos decir que cuanto mayor sea ladistancia de los conductores reales al suelo en relacin con la distancia de separacinentre ellos, menor ser el efecto del suelo. En caso contrario observaremos un aumento
de la capacidad nC .
Capacidad de lneas trifsicas de circuitos paralelos o lneas con subconductores
Estudiaremos tres casos, pudiendo hacerse un estudio semejante para cualquierdisposicin, utilizando como metodologa la misma que utilizamos para las lneastrifsicas simples con disposicin simtrica o asimtrica.Veamos a continuacin el caso de una lnea de doble terna con los conductoresdispuestos como vrtices de un hexgono regular (Fig. 10).
Fig. 10
Doble terna simtrica
Por tratarse de una disposicin simtrica no necesita transposiciones, obtenindose lassiguientes expresiones:
-23-
-
7/23/2019 2- Parametros de Lineas de Transmision
24/26
Parmetros de lneas 24
)]3ln3
1(lnq)
3
2ln
D
r(lnq)
2
3ln
r
D(lnq[
k2
1V cbaab
)30(Vr2
D3lnqq(
k2
1V )baab
. De igual forma:
)31(Vr2D3ln)qq(
k21V caac
Sumando (30) y (31) , e igualando a anV3 tendremos:
Vr2
D3ln)qqq2(
k2
1V3VV cbaanacab
:resulta0qqq:Siendo cba )32(r2
D3ln
k2
q3V3 aan
Teniendo en cuenta la definicin de capacidad obtendremos:
)33(
r2
D3ln
k2
V
qC
an
an
Reemplazando en la (33) la constante k por su valor correspondiente al vaco es decir
para un 1kr , transformando ln en log y llevando las unidades akm
Fobtendremos
finalmente:
)34(km
F
r2
D3log
0241,0Cn
La expresin (34) da la capacidad respecto al neutro de cada conductor de una de lasfases. Si quisiramos la capacidad de la fase completa la misma resultara el doble dela calculada para cada conductor.
Capacidad de una doble terna convencional
Se trata de una doble terna con los conductores dispuestos asimtricamente como seindica en la Fig. 11. En la misma podemos observar las fases en las tres posiciones delciclo de transposicin.
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7/23/2019 2- Parametros de Lineas de Transmision
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Parmetros de lneas 25
Fig. 11
Doble terna asimtrica, transposiciones
Como puede observarse en la Fig. 11 las fases homlogas o los subconductorespertenecientes a la misma fase se trasponen de forma tal que permanezcan lo msalejados posible. Esta opcin para trasponer hace disminuir la inductancia por fase peroaumenta la capacidad respecto al neutro.
Para el clculo de la capacidad se utiliza el mismo mtodo que el utilizado para laslneas trifsicas con disposicin asimtrica. Esto es calcular abV y acV para las tres
posiciones del ciclo y tomar el valor medio. Posteriormente a partir de la igualdad (28)
anacab V3VV
Podemos obtener la capacidad respecto al neutro de cada uno de los subconductores.
conductorkm
F
)fg.(d
r2log
0241,0C
3
23n
(35)
La capacidad del conjunto de los dos subconductores por fase respecto al neutro serel doble de lo indicado en la (35).Un mtodo alternativo para calcular la capacidad de las lneas de circuitos paralelos ocon subconductores por fase es el de la distancia media geomtrica modificada (Ds).Para ello partimos de la expresin genrica para lneas trifsicas asimtricas (27) yreemplazamos r por Ds resultando:
kmF
'D
Dlog
0241,0
C
S
eqn (36)
Aplicando la (36) a la fig.11 obtendremos:
BC4
AB3
ACBCABeq Dg.dg.dg.dDdondeDDDD
-25-
-
7/23/2019 2- Parametros de Lineas de Transmision
26/26
Parmetros de lneas 26
)37(hd2gdDhd2h.d2.hd2D 3eq4
AC21
Por su parte Ds ser la media geomtrica de las Ds correspondientes a cada posicindel ciclo, esto es:
)38(hrfr'Dhr'D'Dfr'D:donde'D'D'D'D 3S23S1S3 3S21SS 21
Reemplazando (37) y (38) en (36) y multiplicando y dividiendo por 2 obtenemos:
fasekm
F
]f
gd
r
2log
0241,02C
32
3n
(39)
La expresin (39) nos da la capacidad respecto al neutro por fase (dos subconductores)de la lnea de la figura 11. Esto demuestra que el mtodo de la DMG modificada esaplicable a las lneas con subconductores o de circuitos paralelos.Debe aclararse que las expresiones obtenidas por los dos mtodos son aproximadaspor cuanto se supuso una distribucin de cargas uniforme sobre los conductores, comoas mismo se supuso que cada conductor tiene la misma carga en cualquier posicindel ciclo y por haber despreciado el efecto del suelo. De cualquier manera estasdiferencias son despreciables en la mayora de las lneas areas.
NOTA: Verificacin del denominador de la expresin (39) (ver Fig.11)
3
3
21
21
21
21
hrfrdh2gdlog
3hrfr
dh2gdlog
S'DDeqlog
3
2
21
213
223
32
23
21
2
3
f
gd
r
2log
2
12
r
d
f
glog
2
1
fr
2gdlog
2
2 323
BIBLIOGRAFA
1. Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia.-Willian D. Stevenson. Ed.Mcgraw-Hill.2. Redes Elctricas.- Jacinto Viqueira Landa.-Ed. Rep. y Servicios de Ingeniera.3. Sistemas Elctricos de Gran Potencia B. M. Weedy Ed. Revert S.A.