1. Nacimiento de la axiomtica
2. La historia entera de la geometra atestigua una tendencia constante a restringir cada vez ms su dominio y acrecentar otro tanto las exigencias lgicas.
Pero en el siglo XIX con la aritmetizacin del anlisis el movimiento acelero, separaciones sorprendentes se manifestaron as entre las sugestiones falaces en la intuicin y las enseanzas indubitables de la demostracin.
3. Dos ejemplos memorables: no es verdad que a una curva continua se pueda trazar siempre una tangente (weierstrass), no es falso que una curva, lnea sin anchura, pueda cubrir toda la superficie de un cuadrado (peano).
4. Es pasch quien en 1882 intent la primera axiomatizacin de la geometra.
para que la geometra llegue a ser verdaderamente unaciencia deductiva, es necesario que la manera como se sacan las consecuencias sea en todas partes independiente del sentido de los conceptos geomtricos, comodebe serlo de las figuras; solo deben tomarse en consideracin las relaciones establecidas por las proposiciones entre los conceptos geomtricos.
5. He aqu las condiciones fundamentales a las que para ser verdaderamente rigurosa, debe satisfacer una exposicin deductiva:
1.- que sean enunciados explcitamente los trminos primeros, con ayuda de los cuales se propone uno definir los otros
2.- que sean enunciadas explcitamente las proposiciones primeras con ayuda de las cuales se propone uno demostrar todas las otras.
3. que las relaciones enunciados entre los trminos primeros sean puras relaciones lgicas y permanezcan independientes del sentido concreto que se pueda dar a los trminos
4.- que solo estas relaciones intervengan en las demostraciones, independientemente del sentido de los trminos(lo que prohbe tomar prestado algoala consideracin de las figuras)
6. La anterioridad de un sistema
Las reglas establecidas por Pasch conllevan la distincin clara entre trminos y proposiciones propias al sistema axiomatizado y aquellos que, lgicamente, le son anteriores.
Un sistema geomtrico, aparte de la lgica, da por supuesto a la aritmtica, pues para definir un tringulo es necesario utilizar el tres; asimismo, para demostrar que la suma de sus ngulos es igual a dos rectos, se hace necesario admitir la validez de los teoremas aritmticos relativos a la adicin.
7. INDEFINIBLES E INDEMOSTRABLES. LOS SISTEMAS EQUIVALENTES
Una de las caractersticas que definen en forma ms visible que una teora deductiva ha sido puesta en forma axiomtica es, como se ha visto, que se comienza a despejar y enunciar en forma expresa y exhaustiva lo que son los indefinibles y los indemostrables de la teora.
8. Las definiciones por postulados
El estatuto lgico de los postulados queda bastante claro, no quedan afirmados a ttulo de verdades generadoras de otras verdades, sino que slo se les coloca a ttulo de hiptesis que permiten deducir un conjunto dado de proposiciones o de las que uno se propone investigar las consecuencias que implican.
9. El conjunto de postulados euclidianos constituye, de hecho, una definicin implcita del conjunto de las nociones euclidianas puede verse mejor ahora que los postulados de una teora no son proposiciones, esto es, que pueden ser verdaderas o falsas, puesto que contienen variables que, relativamente, se encuentran indeterminadas.
10. Un sistema de postulados es comparable a un sistemade ecuaciones con varias incgnitas, correspondiendo estas incgnitas a los trminos primeros de la axiomtica considerada: su valor no es cualesquiera, pero no est determinado sino implcitamente, solidaria, equvocamente.
11. Los modelos el isomorfismo
El estatuto lgico de los postulados queda bastante claro, no quedan afirmados a ttulo de verdades generadoras de otras verdades, sino que slo se les coloca a ttulo de hiptesis que permiten deducir un conjunto dado de proposiciones o de las que uno se propone investigar las consecuencias que implican.
12. Independencia, economa
La independencia de los postulados de un mismo sistema no es lgicamente indispensable para su validez, solamente si esta condicin no se satisface hay una superabundancia de posiciones primeras y se juzga ordinariamente preferible en un designio de economa reducir su numero al mnimo.
13. Los sistemas debilitados o saturados
Es ste el caso de la geometra euclidiana, con la condicin de que no se incluyan en ella como postulados adicionales aquellos que, sin estar expresamente formulados, no estaban menos admitidos implcitamente en las demostraciones.