Lgica Matemtica y Conjuntos

Juan Carlos Damin Sandoval

Universidad San Martin de Porres

Marzo del 2013

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PRINCIPALES LEYES LGICAS OTAUTOLOGAS

En la lgica existen los llamados PRINCIPIOS LGICOS o LEYESLGICA que vienen a ser FORMAS PROPOSICIONALESTAUTOLGICAS de carcter general. A partir de lasLeyes Lgicasse pueden generar otras tautologas y a la vez cualquier tautologa sepuede reducir a una de las "leyes Lgicas". Las Principales LeyesLgicas las podemos clasificar en tres grupos:. Leyes Lgicas Clsicas.. Equivalencias Notables.. Implicaciones Notables.

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LOS TRES PRINCIPIOS LGICOS CLSICOS

Ley de Identidad (Reflexiva)p p; p pUna proposicin slo es idntica en s mismo.

Ley de no Contradiccin (p p)

Una proposin no puede ser verdadera y falso a la vez.

Ley del Tercio Excluidop p

Una proposicin o es verdadera o es falsa, no hay una terceraposibilidad.

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EQUIVALENCIAS NOTABLES

Ley de la doble negacin ( p) p La negacin de la negacin es una afirmacin.

La Idempotencia1. p p p2. p p p

En general:1. p p p p p p2. p p p p p p

Las variables redundantes es una cadena de conjunciones o en unacadena de disyunciones, se eliminan.

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Leyes Conmutativas1. p q q p2. p q q p3. p q q p

La conjuncin, la disyuncin y la bicondicional de dos proposicionesson conmutativas.

Leyes Asociativas1. p (q r) (p q) r2. p (q r) (p q) r3. p (q r) (p q) r

Leyes Distributivas1. p (q r) (p q) (p r)2. p (q r) (p q) (p r)3. p (q r) (p q) (p r)4. p (q r) (p q) (p r)J.C.Damin . S (USMP) Lgica Matemtica y Conjuntos Marzo del 2013 5 / 14

Leyes de Morgan1. (p q) ( p q)2. (p q) ( p q)

las Leyes del Condicional1. p q p q2. (p q) p q

las Leyes del Bicondicional1. (p q) (p q) (q p)2. (p q) (p q) ( p q) (p M q)

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Leyes de la Absorcin1. p (p q) p2. p ( p q) (p q)3. p (p q) p4. p ( p q) p q

Leyes de Transposicin1. (p q) ( q p)2. (p q) ( q p)

Leyes de Exportacin1. (p q) r p (q r)2. (p1p2p3. . . pk) r [(p1p2p3. . .pk1)] (pk r)

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Elementos Neutros para la Conjuncin y DisyuncinSi V =verdadero(Tautologa=T) y F =falso(Contradiccin=C)1. T T T2. T p p3. C p C4. C C C5. C p p6. T p T

Elementos Neutros para la Contradiccin y Tautologa1. p C C2. C T T3. p T T

Adems se tiene :1. p p T2. p p CJ.C.Damin . S (USMP) Lgica Matemtica y Conjuntos Marzo del 2013 8 / 14

EjemploDetermina la menor expresin que representa al siguiente esquemamolecular:1. [ (p q) (q p)] (p q)2. [(p q) (p q)] ( p q)

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CUANTIFICADORES

Funcin ProposicionalLa funcin proposicional es un enunciado abierto de la forma p(x), esdecir, se trata de una expresin que contiene alguna variable que alser sustituida por un valor particular se convierte en proposicin.

Ejemplop(x) : x2 + 5 > 10, es un enunciado abiertop(2) : 22 + 5, es una proposicin falsa.p(3) : 32 + 5, es una proposicin verdadera.

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CuantificadoresLos cuantificadores sirven para transformar un enunciado abierto ofuncin proposicional en una proposicin para lo cual su misin esindicar cuantos elementos de un conjunto dado, cumplen con ciertafuncin proposicional.

Cuantificador UniversalRepresentado por se emplea para afirmar que todos los elementosde un conjunto dado, cumplen con determinada funcin proposicional.De:x A : se lee: Para todo x que pertenece al conjunto A secumple que

Cuantificador ExistencialRepresentado por , se usa para indicar que al menos un elemento deun conjunto cumple con determinada funcin proposicional.De:x A/ se lee: Existe algn x que pertenece al conjunto A talque se cumple que

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Negacin de los Cuantificadores

[x A/p(x)] x A : p(x) la negacin de una existenciada un universal

[x A : p(x)] x A/ p(x) la negacin de un universal daun existencial

ObservacinEn general, la proposicin universal x A : p(x) es verdadera si lapropiedad p(x) lo es, es decir, si cumple con cada uno de loselementos A y es falso si hay al menos un elemento de A que nocumple la propiedad p(x).En general, la proposicin existencial x A : p(x) es verdadera sien A hay al menos un elemento x que cumple p(x), y es falsa siningn elemento de A cumple con p(x), esto es todo elemento de Ano cumple p(x).

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EJERCICIOS

1. Consideremos el conjunto A = {x Z/ 5 < x < 8},diga sison verdaderos o falsas las siguientes proposiciones, justificandosu respuesta.1. x A, x2 + 4 > 8.2. x A/3x + 2 = 133. x A, 2x + 4 7.4. x A/3x25 > 55. x A, 3x12 > 7.6. x A/4x 2 > 127. x A, x3 3 > 5.8. x A, 3x 7 6= 21.9. x A/(x + 8)(x2 + 1) = 010. x A/ x25 > 5

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EJERCICIOS

2. Dado el conjunto A = {2,1, 0, 1, 3, 4, 5, 7} negar cada una delas siguientes proposiciones y dar su valor de verdad.1) x A : x2 + 5 > 162) x A : x2 4 453) x A/3x + 1 = 84) x A/2x32 > 105) x A : x2x4 = 26) x A/(x 8)(x 2) = 07) x A : 3x 4 208) x A/5x + 3 6= 109) x A : 2x 1 = 2510) x A/5x + 2 > 13

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