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Diploma GMM Diseo Minero U. de Chile / Ing. de Minas Octubre, 2011 1

DISEO MINEROEsfuerzos en roca

DIPLOMAGEO-MINERO-METALURGIA

Para Codelco

Dr. Ing. Javier VallejosOctubre 2011


En 3D es un concepto no familiar: es una cantidad tensorial que no se encuentra cotidianamente

Escalar: cantidad con solo magnitud independiente de una rotacin (ej: temperatura, tiempo, masa, energa)

Vector: cantidad con magnitud y direccin (ej: fuerza, velocidad)

Tensor: cantidad con magnitud y direccin, dependiente del plano de referencia utilizado (ej: esfuerzo, deformacin)

Concepto de esfuerzo



En su forma ms sencilla puede ser calculado en una dimensin, como la carga divido por el rea sobre la cual acta



Los esfuerzos actuando en un plano pueden tener dos componentes:

Normal (): perpendicular a la superficie compresin Corte (): paralelo a la superficie distorsin angular

Normal Corte

En un volumen producen: Normal (): compresin Corte (): distorsin angular


}}}

Consideremos un apilamiento de bloques de concreto de distintos tamaos que soportan un gran peso W

Cuando el cuerpo del slido considerado cambia, tambin lo hacen las fuerzas

Si se utiliza el esfuerzo (fuerza/rea) vemos que cada bloque est sometido al mismo esfuerzo, independiente del tamao del bloque

Por lo tanto, si el cuerpo slido se divide en elementos, el tamao de los elementos individuales no afecta a los valores de esfuerzos

Este bloque soporta WEl rea es 4ab

Estos bloques soportan W/2 cada unoEl rea de cada bloque es 2ab

Estos bloques presentan W/4 cada unoEl rea de cada bloque es ab

abW4

=

abW

abW

422 ==

abW

abW

44 ==

peso W

a a a ab



=

F

=n

FA

Cuando la componente de fuerza Fn es determinada en una direccin con respecto a F el valor es: FcosCuando la componente de esfuerzo normal es determinada en la misma direccin el valor es: cos2La razn de esto es que en el primer caso solo la fuerza debe ser proyectada, mientras que, en el segundo caso se proyectan la fuerza y el rea

Concepto de esfuerzoA


Esfuerzos como propiedad puntual

Un cuerpo en equilibrio esttico (velocidad nula) est sometido a tres condiciones de equilibrio:


Esfuerzos como propiedad puntual

En cualquier rea A de la superficie, creada al cortar el cuerpo, el equilibrio interno es mantenido por la fuerza normal (N) y de corte (S)

Debido a que estas fuerzas varan de acuerdo a la ubicacin de A en la superficie, resulta ms til considerar el esfuerzo normal (N/A) y el esfuerzo de corte (S/A) considerando un rea pequea que eventualmente se aproxima a cero

AN

An = 0lim normal, esfuerzo A

SA

= 0lim corte, de esfuerzo

Si bien hay limitaciones prcticas en reducir el rea hasta cero, es importante entender que las componentes de esfuerzos se definen matemticamente de esta manera, con el resultado de que los esfuerzos son una propiedad puntual

Se desea estimar los esfuerzos al interior del cuerpo:


Componentes de esfuerzos Se consideran las componentes de esfuerzos con referencia a un

sistema cartesiano x-y-z

[ ]

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

Se tienen 9 componentes de esfuerzos (3 normales y 6 de corte)

zz : acta en un plano normal al eje z en la direccin z

zx : acta en un plano normal al eje z en la direccin x


xx : acta en un plano normal al eje x en la direccin x

xy : acta en un plano normal al eje x en la direccin y

[ ]

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

Cara negativa: normal a la cara apunta en direccin negativa al eje Esfuerzos normales: compresin es positiva (contrario a la normal) Esfuerzos de corte: direccin positiva en caras negativas

El tensor es simtrico (3 normales y 3 de corte). Porque?

z (dedo medio)

y (ndice)

x (pulgar)

Componentes de esfuerzos


Es posible descomponer el tensor de esfuerzos en un tensor hidrosttico [m ] y uno deviatrico [d ]:

Componentes de esfuerzoEsfuerzos hidrosttico y deviatrico

+

=

mzzzyzx

yzmyyyx

xzxymxx

m

m

m

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

000000

( ) 13131 Izzyyxxm =++=

Deviatrico [d ]

Hidrosttico [m ]

Por qu hacer esta distincin? Esfuerzos hidrosttico producen cambios volumtricos Esfuerzos deviatricos producen distorsin


'x

x

y'y

''xx''yy

( )

2cos2sin21

sincos2cossin

sincos2sincos

''

22''

22''

xyyyxxyx

xyyyxxyy

xyyyxxxx

+=+=++=

''yx

invariante'''' =+=+ yyxxyyxx Notar:

Anlisis de esfuerzos 2DRotacin de esfuerzos


Anlisis de esfuerzos 2DRotacin de esfuerzos/Aplicacin

Las ecuaciones se pueden utilizar para estimar los esfuerzos normales y de corte en una discontinuidad de manera de examinar su potencial a deslizamiento causado por una cambio en los esfuerzos debido a excavaciones

n

R


Anlisis de esfuerzos 2DRotacin de esfuerzos/Aplicacin

Las ecuaciones se pueden utilizar para determinar los esfuerzos de borde que deben ser aplicados en modelos numricos

Seccin


Anlisis de esfuerzos 2DRotacin de esfuerzos/Esfuerzos principales

Mismo estado de esfuerzos Orientaciones distintas del elemento

\

(MPa)

40101020

yyxy

xyxx

Ej:

\

Esfuerzos principales

1 'x'y

24131336

35=36

24

13

160044

'x'y

5,67=44

16


Totales Esto es lo que se mide. Suma de todas las fuentes posibles

1 y 2 Campo lejano (far-field) Lejos de las excavaciones, aplicado como condicin de borde a los modelos numricos

1 Tectnico Componente del campo lejano producido por el desplazamiento relativo de las placas tectnica

2 Gravitacional Componente del campo de esfuerzo totales debido al peso del macizo rocoso

1 y 2 In-situ El estado de esfuerzos que existe antes de actividades mineras

3 Inducido Componente resultante de las actividades mineras

3 Campo cercano (near-field) Cercano a las excavaciones

4 Residual (lock-in) Estado de esfuerzos que permanecen en el macizo rocoso aun cuando el mecanismo que lo origino ha cesado de operar

4 Trmico Estado de esfuerzos producidos por cambios de temperatura

Tipos de esfuerzos


Dos razones bsicas para medir/estimar los esfuerzos in-situ en el contexto de la ingeniera de mecnica de rocas:

Existe un estado de esfuerzos pre-existente en el terreno, que es necesario entender (magnitud y orientacin)

Es una de las condiciones de borde ms importantes para el anlisis y diseo de excavaciones subterrneas

En la mayora de los casos de ingeniera de rocas los esfuerzos no son aplicados directamente como tales, sino que, el estado de esfuerzos es alterado por las actividades ingenieriles. Esto se debe a que el material removido, que contiene un estado de esfuerzos previos, debe re-distribuir las cargas.

Esfuerzos in-situ


totalesEsfuerzosaResistenci=FS

Criterios de falla

Difciles de estimar

Esfuerzos in-situ

Envolvente de falla

Esfuerzos totales

Esfuerzos inducidos

Esfuerzos totales = esfuerzos in-situ + esfuerzos inducidos

Esfuerzos in-situ


Como primera aproximacin los esfuerzos principales in-situ pueden asumirse que actan vertical (una componente) y horizontal (dos componentes)

vzzp =

yypxxp

v =3En muchos lugares se cumple:

zp vzz 027,0==

Estimacin de esfuerzos in-situ vertical

Esfuerzo vertical, v (MPa)


Utilizando la teora de la elasticidad (Hooke)/material lineal- elstico- istropo dado por:

( )[ ]zzyyxxxx E += 1

Supuestos:

Deposito sedimentario no perturbado por procesos tectnicos

Los dos esfuerzos horizontales son iguales

No hay deformacin horizontal

( )[ ]zzxxyyyy E += 1 ( )[ ]zzyyzzzz E += 1

Estimacin de esfuerzos in-situ horizontal Ejercicio:

Desarrolle una expresin que le permita estimar el esfuerzo horizontal in-situ, k = h /v . Evale k para =0,25 y 0,5.


Serie1

Serie2

Serie4

( ) zzyyxx pppk 2+=

zk 15003.0 +=

3.0=k Elasticidad, v = 0,25Elasticidad, v = 0,5

Canadian Shield (Maloney and Kaiser, 2006)

Estimacin de esfuerzos in-situ horizontal


World Stress Map Project: http://www.world-stress-map.org

Tipos de datos:

Mecanismo focal de terremotos (63%)

Fracturas en sondajes (23%)

Medicin de esfuerzos in-situ (overcoring, facturacin hidrulica) (9%)

Datos geolgicos jvenes (anlisis de deslizamiento de fallas) (5%)

Se ha recopilado informacin relativa a la orientacin del esfuerzo horizontal mximo



Esfuerzos principales mayores esperados en Chile:

Horizontal, E-W




Una fuente importante de informacin de esfuerzos in-situ (aunque solo cualitativa) puede ser obtenida de observaciones de fracturas inducidas por esfuerzos (breakouts) alrededor de excavaciones (galeras, sondajes, piques)

La evidencia indica que los breakouts ocurren en la direccin paralela al esfuerzo in-situ principal menor (3 ) en el plano

Otros indicadores de esfuerzos in-situ - breakouts

L

j

u

n

g

g

r

e

n

e

t

a

l

.

(

2

0

0

3

)


Breakouts en un pique en una mina de oro en Sudfrica

Breakouts en el tnel URL en Canad

D = 1,75 m

Otros indicadores de esfuerzos in-situ - breakouts


Razones para esfuerzos in-situ horizontales altos

Tectonismo: diferentes formas de actividad tectnica (por ejemplo zonas de subduccin) pueden producir esfuerzos horizontales altos

Z

o

b

a

c

k

e

t

a

l

.

(

1

9

8

9

)



Erosin: Si los esfuerzos horizontales son residuales (lock-in) entonces la erosin/remocin de capas superiores (disminucin de v ) puede resultar en un aumento de k

M

a

r

t

i

n

e

t

a

l

.

(

2

0

0

3

)



Ejercicio:

Utilizando el resultado del ejercicio anterior y suponiendo que la erosin ha removido una altura de material igual a H y que el esfuerzo horizontal inicial permanece lock-in, es decir, inalterado durante la erosin, calcule la nueva razn entre las tensiones horizontal y vertical k a la profundidad original H.

Una medicin de esfuerzos ha sido realizada en el sector a una profundidad de 500 m, determinado una razn de esfuerzos k=1,5. Utilizando la expresin derivada anteriormente calcule la cantidad de erosin que ha ocurrido.

Superficiedeterrenooriginal

Profundidadoriginal Nuevasuperficiedeterrenodespusdelaerosin



Ejercicio:


Notar el cambio de direccin de 1 a travs de la zona fracturada

Esfuerzos in-situ y estructuras geolgicas

M

a

r

t

i

n

(

1

9

9

0

)


Esfuerzos in-situ y estructuras geolgicas

50 m


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Referencias

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