2. energía de deformación
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Estructuras II (CON-131)
2. Energía de Deformación
Prof. Rodrigo Thiers
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1. Trabajo de una Fuerza
2
Definición: El trabajo W que ejerce una fuerza sobre un
cuerpo es igual al producto entre la magnitud de dicha fuerza y
la proyección del desplazamiento sobre la dirección de la
fuerza
𝑑𝑊 = Ԧ𝐹 ∙ 𝑑 Ԧ𝑟
𝑑𝑊 = Ԧ𝐹 𝑑 Ԧ𝑟 cos 𝛼
𝑑𝑊 = 𝐹𝑑𝑠 cos 𝛼
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1. Trabajo de una Fuerza
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Trabajo a lo largo de una trayectoria
𝑊 = නԦ𝑟1
Ԧ𝑟2Ԧ𝐹 ∙ 𝑑 Ԧ𝑟
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1.1 Trabajo asociado a deformación de un sólido
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- Si Ԧ𝐹𝑖 y Ԧ𝑑𝑖 apuntan en la misma dirección:
• Trabajo asociado a la fuerza Ԧ𝐹𝑖
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Caso Lineal-Elástico
- Trabajo asociado a la fuerza Ԧ𝐹𝑖
- Trabajo asociado a un conjunto de fuerzas puntuales
1.1 Trabajo asociado a deformación de un sólido
𝑊 = න0
𝐷𝑖
𝐹𝑖 𝑑𝐷𝑖
𝑊 = න0
𝐷𝑖
α𝐷𝑖 𝑑𝐷𝑖
𝑊 =1
2𝛼𝐷𝑖
2=1
2𝐹𝑖𝐷𝑖
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2. Energía de Deformación
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Teorema de Clapeyron: El trabajo realizado por las fuerzas externas se
transforma completamente en energía de deformación de la estructura
(caso ideal, sin pérdida de energía)
Ejemplo: Barra de área transversal 𝐴 sometida a carga axial
𝑊 = 𝑈• W: Trabajo asociado a las fuerzas
externas
• U: Energía de deformación
𝜎𝑥𝑥 =𝐹
𝐴
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2. Energía de Deformación
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Ejemplo: Barra de área transversal 𝐴 sometida a carga axial
𝑊 =1
2𝐹∆
- Energía de deformación –análisis de elemento
infinitesimal e integración
𝑑𝑈 =1
2𝜎𝑥𝑥 𝑑𝐴 𝜀𝑥𝑥 𝑑𝑥
𝑈 =1
2න𝐿
න𝐴
𝜎𝑥𝑥𝜀𝑥𝑥 𝑑𝐴 𝑑𝑥
𝑈 =1
2න𝑉
𝜎𝑥𝑥𝜀𝑥𝑥𝑑𝑉
- Trabajo asociado a fuerzas externas:
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2. Energía de Deformación
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Ejemplo: Barra de área transversal 𝐴 sometida a carga axial
𝜀𝑥𝑥 =𝜎𝑥𝑥𝐸
- Energía de deformación:
𝑈 =1
2න𝑉
𝜎𝑥𝑥2
𝐸𝑑𝑉
𝑈 =1
2𝐸න𝑉
𝐹2
𝐴2𝑑𝑉
𝑈 =𝐹2𝐿
2𝐸𝐴
- De las relaciones esfuerzo - deformación:
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2. Energía de Deformación
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Caso General: En el caso general, la energía de deformación involucra
todas las componentes de esfuerzo y deformaciones asociadas
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2.1. Energía de Deformación – Fuerzas Axiales
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Energía de deformación asociada a fuerzas axiales
• De las ecuaciones de equilibrio y
relaciones esfuerzo –deformación se
tiene que:
1 𝜎𝑥𝑥 =𝑁
𝐴
2 𝜎𝑥𝑥 = 𝐸 𝜀𝑥𝑥
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2.1. Energía de Deformación – Fuerzas Axiales
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Energía de deformación asociada a fuerzas axiales
• Energía de deformación
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2.2. Energía de Deformación – Fuerzas Axiales
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Energía de deformación asociada a fuerzas axiales
Casos Típicos
• Elemento prismático
• Enrejado compuesto por elementos
prismáticos
𝑈 =1
2
𝑁2𝐿
𝐸𝐴
𝑈 =1
2
𝑖
𝑛𝑁𝑖
2𝐿𝑖𝐸𝑖𝐴𝑖
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2.2. Energía de Deformación – Flexión Simple
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Energía de deformación asociada a flexión simple
• De las ecuaciones de equilibrio y
relaciones esfuerzo –deformación se
tiene que:
1 𝜎𝑥𝑥 = −𝑀
𝐼𝑧𝑧𝑦
2 𝜎𝑥𝑥 = 𝐸 𝜀𝑥𝑥
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2.2. Energía de Deformación – Flexión Simple
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Energía de deformación asociada a flexión simple
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2.3. Energía de Deformación – Corte
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Energía de deformación asociada a corte
• De las ecuaciones de equilibrio y
relaciones esfuerzo –deformación se
tiene que:
1 𝜏𝑥𝑦 =𝑄 𝑦′ 𝑉
𝐼𝑧𝑧 𝑡
2 𝜏𝑥𝑦 = 𝛾𝑥𝑦 𝐺 = 𝛾𝑥𝑦𝐸
2(1 + ν)
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2.3. Energía de Deformación – Corte
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Energía de deformación asociada a corte
• Energía de deformación
𝑈 =1
2න𝑉
𝜏𝑥𝑦 𝛾𝑥𝑦 𝑑𝑉
𝑈 =1
2න𝑉
𝜏𝑥𝑦2
𝐺𝑑𝑉
𝑈 =1
2න𝐿
න𝐴
𝑄(𝑦′)2 𝑉2
𝑡2 𝐼𝑧𝑧2 𝐺
𝑑𝐴 𝑑𝑥
𝑈 =1
2න𝐿
𝑉2
𝐺𝐴
𝐴
𝐼𝑧𝑧2න
𝐴
𝑄(𝑦′)2
𝑡2𝑑𝐴 𝑑𝑥
κ: Factor de Forma
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2.3. Energía de Deformación – Corte
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Energía de deformación asociada a corte
• Energía de deformación
𝑈 =1
2න𝐿
κ 𝑉2
𝐺𝐴𝑑𝑥
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2.4. Energía de Deformación –Torsión
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Energía de deformación asociada a torsión
• De las ecuaciones de equilibrio y
relaciones esfuerzo –deformación se
tiene que:
1 τ =𝑇 𝑟
𝐽
2 τ = 𝛾 𝐺 = 𝛾𝐸
2(1 + ν)
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2.4. Energía de Deformación –Torsión
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Energía de deformación asociada a torsión
• Energía de deformación:
J: Inercia Polar
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2.4. Energía de Deformación –Torsión
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Energía de deformación asociada a torsión
• Energía de deformación:
*Válido para secciones
circulares
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2.5. Energía de Deformación – Comb. Esfuezos Normales
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Energía de deformación: Contribución esfuerzos normales
𝑈𝜎 =1
2න𝐿
𝑁2
𝐸𝐴𝑑𝑥 +
1
2න𝐿
𝑀𝑧2
𝐸𝐼𝑧𝑧𝑑𝑥 +
1
2න𝐿
𝑀𝑦2
𝐸𝐼𝑦𝑦𝑑𝑥
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2.6. Energía de Deformación – Comb. Esfuezos de Corte
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Energía de deformación: Contribución esfuerzos de corte
𝑈τ =1
2න𝐿
κ𝑦 𝑉𝑦2
𝐺𝐴𝑑𝑥 +
1
2න𝐿
κ𝑧 𝑉𝑧2
𝐺𝐴𝑑𝑥 +
1
2න𝐿
𝑇2
𝐺𝐽𝑑𝑥
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2.7. Energía de Deformación – Energía Total
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Energía de deformación: EnergíaTotal
𝑈 =1
2න𝐿
𝑁2
𝐸𝐴𝑑𝑥 +
1
2න𝐿
𝑀𝑧2
𝐸𝐼𝑧𝑧𝑑𝑥 +
1
2න𝐿
𝑀𝑦2
𝐸𝐼𝑦𝑦𝑑𝑥 +
1
2න𝐿
κ𝑦 𝑉𝑦2
𝐺𝐴𝑑𝑥 +
1
2න𝐿
κ𝑧 𝑉𝑧2
𝐺𝐴𝑑𝑥 +
1
2න𝐿
𝑇2
𝐺𝐽𝑑𝑥
𝑈 = 𝑈𝜎 + 𝑈𝜏
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2.8. Ejemplo
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Encontrar la deflexión en la mitad de la luz de la viga simplemente apoyada
- Propiedades sección transversal:𝐸,𝐺,𝐼,𝜅,𝐴