2 - elementos finitos. sistemas discretos

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22.. SSIISSTTEEMMAASS DDIISSCCRREETTOOSS

1111


2 . 1 . I N T R O D U C C I Ó N

Los procedimientos matriciales de mecánica estructural comparten un buen número de

operaciones con el MEF. Son similares los procedimientos de ensamblado de elementos

para formar la matriz de rigidez global, la imposición de condiciones de contorno o

soporte, la solución del sistema de ecuaciones y el procesamiento de elementos para

obtener las tensiones o deformaciones que en ellos aparecen.

En este capítulo consideraremos las estructuras planas de barras articuladas, tipo simple

de estructura que utilizaremos para introducir los conceptos y métodos indicados en el

párrafo anterior. Este tipo de estructuras está compuesto por elementos discretos: barras

articuladas en sus extremos, ver F igura 1. Sin entr ar en las consideraciones relativas a

cómo se idealiza mediante el MEF el comportamiento de los elementos finitos,

introduciremos en este capítulo los procedimientos necesarios para plantear y resolver el

problema de una estructura previamente discretizada.

F

2

F

F5

6

7

4

3

2

18

1

3

6

5

4

10

9

8

11

13

12

7

4 tramos de 12 m

4 m

Figura 1. Estructura plana de barr as articuladas.

Supondremos que las solicitaciones son estáticas, todas las barras son uniformes, con

comportamiento lineal, articuladas en sus extremos y que por lo tanto sólo puedentransmitir fuerzas en la dirección de la propia barra. Supondremos también que los

desplazamientos que se producen bajo el efecto de las fuerzas aplicadas son muy

pequeños, de forma que si θθ es el ángulo de rotación de una barra cualquiera, debido a las

fuerzas aplicadas, ent onces 1 cos ysen ≈≈ θθθθθθ .

Grados de libertad (gdl): Una estructura tiene N gdl si para definir unívocamente su

configuración deformada es necesario considerar un mínimo de N parámetros




1122

independ ientes. La matriz de rigidez de la estructura r elaciona las fuerzas aplicadas en los

gdl con los desplazamientos de los mismos.

[ ]{ } { }FUK = (Ec. 1)

donde [K] es la matriz de rigidez global de la estructura y {F} y {U} son los vectores defuerzas aplicadas y desplazamiento s producidos en los gdl respectivament e. E sta ecuación

define el comportamiento global de la estructura. La matriz de rigidez de la estructura

será por lo tanto de NxN. En el caso de una estructura plana de barras articuladas, la

configuración deformada de la misma se puede definir completamente mediante los

desplazamientos de sus extremos, que en definitiva definen los nodos de la estructura.

Cada nodo tiene dos gdl, corre spondientes a los desplazamientos u y v en las direcciones x

e y del sistema de coordenadas. Por lo tanto N será igual a dos veces el número de nodos

que p ueden desplazarse.

El significado físico de la matriz de rigidez [K] es el siguiente. La columna j de [K] es el

vector de fuerzas que debe aplicarse a los gdl para mantener un estado de deformación

con valor unidad en el desplazamiento del gdl j y cero en el resto de gdl. Una

interpretación idéntica puede hacerse con respecto a la matriz de rigidez de los elementos

[ ]ek , que relaciona las fuerzas externas aplicadas con los desplazamientos en los gdl del

elemento. Esta interpretación física permite, para elementos discretos sencillos, la

obtención directa de la matr iz de rigidez de los elementos.

2 .2 . E C U AC I O N E S D E E L E M E N T O

Para calcular la matriz de rigidez global de la estructura [K] es conveniente calcular

previamente las matrices de rigidez de cada uno de los elementos discretos que la

componen, [ ]e

k .

[ ]{ } { }eeef uk = (Ec. 2)

Donde [ ]ek es la matriz de rigidez del elemento, { }e

f el vector de fuerzas ap licadas en sus

gdl y { }eu el vector de d esplazamientos corre spondientes.

β

i

j

x

yL

u

v

β + ∆β

i

j

u i

u i.cosb.

q i

p i

q j

p j

Desplazamientos nodales impuestos 01 ==== ji ji vvuu ,

Figura 2. Elemento barr a ar ticulada.




1133

Considerese un elemento bar ra art iculada tal y como se muestra en la Figura 2. Este tipo

de elemento tiene un total de 4 gdl, desplazamientos u y v en las direcciones x e y en cada

uno de sus extremos. De esta forma la matriz de rigidez del elemento será de 4x4.

Supongase un módulo de elasticidad, E, del material y que el área transversal, A, de la

barra es constante. Para calcular la matriz de rigidez del elemento [ ]ek sólo es necesario

conocer E, A y las coordenadas de sus nodos ( )ii

yx , y j j yx , . Definimos en primer

lugar, en base a la geomet ría del elemento:

( ) ( )[ ]

L

xxc

L

yys

yyxxL

i j

i j

212

i j

2

i j

−==

−==

−+−=

ββ

ββ

cos

sen

/

(E c. 3)

Para calcular las columnas de la matriz de rigidez del elemento supondremos un

desplazamiento en un gdl, manteniendo nulos los desplazamientos de los gdl restantes.Las fuerzas exteriores necesarias para mantener tal configuración servirán para definir la

columna correspondiente de [ ]ek .

Consideremos en primer lugar el caso mostrado en la Figura 2: desplazamientoi

u . Este

desplazamiento produce un acortamientoi

cu de la barra (y un pequeño giro que se

considerará despreciable por la suposición de pequeños desplazamientos). Este

acortamiento debe equilibrarse por una fuerza de compresión de valor ( )i

cuLEAF / = ,

cuyas componentes en x e y son respectivamente Fcpp ji =−= y Fsqq

ji =−= . Estas

componen tes definen e l equilibrio estático, con lo que

=

−

−

j

j

i

i

i2

2

q

p

q

p

u

cs

c

cs

c

L

EA(E c. 4)

Este procedimiento se puede aplicar sucesivamente a los desplazamientos nodales

restantes j ji vuv y,, . Si todos los desplazamientos nodales pueden ser simultáneamente

no nulos, super poniendo los resultados, se obtiene :

=

−−

−−−−

−−

j

j

i

i

j

j

i

i

q

p

q

p

v

u

v

u

scsscs

csccsc

scsscs

csccsc

L

EA

22

22

22

22

(E c. 5)

con ββ cos=c y ββ sen=s .

De forma abr eviada la ecuación 5 puede escribirse como




1144

[ ]{ } { }eeef uk = (Ec. 6)

que representa la ecuación matricial de comportamiento del elemento.

2 .3 . E N S AM B L AD O D E E L E M E N T O S

Aunque estemos considerando el caso del análisis de estructuras planas de barras

articuladas, el procedimiento de ensamblado depende muy poco del tipo de elemento

considerado, con lo cual el procedimiento es genera l.

Considerare mos el caso más simple en cuanto a fuerzas exteriores aplicadas. Supondre mos

que las únicas fuerzas exteriores que actúan están aplicadas directamente en los nodos.

Buscamos definir las ecuaciones de comportamiento globales de la estructura sobre la

base de las ecuaciones de comportamiento de cada elemento. Tendremos pues que

considera r en este proceso las condiciones de equilibrio estático y las de compatibilidad de

desplazamientos.

Para definir el proceso de ensamblado es conveniente considerar conceptualmente la

expansión de las matrices de element o al tamaño global del problema. Para ello definimos

{U} como el vector cuyas componentes son los desplazamientos nodales de todos los gdl

de la estructura. De esta forma, la matriz de rigidez expandida del elemento [ ]eK se

formará a partir de los elementos de la matriz, [ ]ek , posicionándolos según la numeración

global de los gdl de la estructura. De la misma forma se expandirá el vector { }ef a { }e

F .

Para que todos los nodos de la estructura estén en equilibrio estático es necesario que el

conjunto de fuerzas que inciden en cada uno de ellos sea igual a la fuerza exterior

aplicada. Las fuerzas que actúan en cada elemento están definidas por el vector { }e

F , quesegún la ecuación 6 es igual a [ ]{ }ee

UK . Definiendo {F} como el vector (tamaño de la

estructura global) que contiene todas las fuerzas externas aplicadas

{ } { } { } [ ]{ }∑∑==

=→=ee n

1e

en

1e

eUKFFF (Ec. 7)

donde n e es el número de elementos que componen la estructura. Si definimos

[ ] [ ]∑=

=en

1e

eKK (Ec. 8)

se obtiene la ecuación matricial de comportamiento global de la estructura.

[ ]{ } { }FUK = (Ec. 9)

En el proceso de ensamblado no es necesario expandir realmente la matriz de rigidez de

cada elemento. Se puede entender el proceso de ensamblado partiendo de una matriz [ ]K

nula de NxN a la que se va añadiendo la contribución de cada elemento, considerando las

posiciones definidas por sus gdl globales.




1155

La numeración global de los grados de libertad de la estructura de la figura 1 se presenta

en la figura 3. Y en la figura 4 se presenta el cálculo de la matr iz de rigidez de la barra 1

de esta estructura asumiendo un valor para el módulo de elasticidad del material, E, y una

sección tra nsversal, A, como se indican en la tab la 1. Obsérvese que los índices de la

matriz de rigidez del elemento se ha n hecho corre sponder con la num eración global de losgrados de libertad de la estructura para el posterior ensamblado del sistema.

2

1

3

6

5

4

10

9

8

11

13

12

7

Figura 3. Numeración global de los gra dos de libertad.

Tabla 1. Da tos del elemento 1 de la estructura ( ver figura 1).

elem xi yi x j y j L (Ec. 3) c (Ec. 3) s (Ec. 3) A E

1 0 0 12 4 12.6491 0.9487 0.3162 0.002 207*105

1

2

5

6

(0, 0)

(12, 4)

−−

−−

−−−−

=

=

5555

5555

5555

5555

1

66

1

65

1

42

1

41

1

56

1

55

1

32

1

31

1

26

1

25

1

22

1

21

116

115

112

111

1

1052700105810110527001058101

1058101107429410581011074294

1052700105810110527001058101

1058101107429410581011074294

*.*.*.*.

*.*.*.*.

*.*.*.*.

*.*.*.*.

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

k

Figura 4. Matr iz de rigidez del elemento 1 de la estr uctura (ver figuras 1 y 3).

En la Figura 5 se muestra la matriz de rigidez ensamblada correspondiente a la estructura

de la Figura 1. Cada componente de la matriz representa la rigidez asociada a los grados

de liberta d globales, que apar ecen como subíndices. Estas se obtienen al sumar la

participación de las rigideces individuales de todos los elementos conectados a los nodos

en que se definen dichos grados de libertad. Así, por ejemplo la component e 43143 , ,k ,

representa la rigidez asociada a los grados de libertad 4 y 3 de la estructura y se forma

sumando las rigideces correspondiente s a estos grados en las correspondientes mat rices de

rigidez de los elementos 1, 3 y 4, esto es:

4

43

3

43

1

43

431

43kkkk ++= , ,

Si existieran fuerzas aplicadas en los elementos, en primer lugar se deberá calcular las

fuerzas equivalentes en los nodos. El vector de carga global estará en este caso definido




1166

por las fuerzas directamente aplicadas en los nodos y las provenientes de cada elemento.

Estas últimas llevarían asociado un proceso de ensamblado similar al de la matriz de

rigidez.

21

11

,k 21

12

,k

1

13k 1

14k2

15k 2

16k

21

21

,k 21

22

,k

1

23k 1

24k2

25k 2

26k

1

31k 1

32k431

33

, ,k 431

34

, ,k 3

35k 3

36k 4

37k 4

38k

1

41k 1

42k431

43

, ,k 431

44

, ,k

3

45k 3

46k 4

47k 4

48k

2

51k 2

52k3

53k 3

54k 6532

55

, , ,k6532

56

, , ,k 5

57k 5

58k 6

59k6

105k

2

61k 2

62k 363

k 3

64k 653265

, , ,k 6532

66

, , ,k 5

67k 5

68k 6

69k 6106

k

4

73k 4

74k 5

75k 5

76k 98754

77

, , , ,k 98754

78

, , , ,k 7

79k7

107k 8

117k 8

127k 9

137k 9

147k

4

83k 4

84k 5

85k 5

86k 98754

87

, , , ,k 98754

88

, , , ,k 7

89k7

108k 8

118k 8

128k 9

138k 9

148k

6

95k 6

96k 7

97k 7

98k1076

99

, ,k1076

109

, ,k 10

139k 10

149k

6

510k 6

610k 7

710k 7

810k1076

910

, ,k 1076

1010

, ,k 10

1310k 10

1410k

8

711k 8

811k

12118

1111

, ,k 12118

1211

, ,k 11

1311k 11

1411k 12

1511k 12

1611k

8

712k 8

812k

12118

1112

, ,k 12118

1212

, ,k 11

1312k 11

1412k 12

1512k 12

1612k

9

713k 9

813k 10

913k 10

1013k 11

1113k 11

1213k 1311109

1313

, , ,k 1311109

1413

, , ,k13

1513k 13

1613k

9

714k 9

814k 10

914k 10

1014k 11

1114k 11

1214k 1311109

1314

, , ,k 1311109

1414

, , ,k13

1514k 13

1614k

12

1115k 12

1215k 13

1315k 13

1415k 1312

1515

,k 1312

1615

,k

12

1116k 12

1216k 13

1316k 13

1416k 1312

1516

,k 1312

1616

,k

Figur a 5. Ensam blado de la matr iz de rigidez.

Para formar [ ]K hemos considerado que se debe satisfacer el equilibrio de fuerzas. Las

condiciones de compatibilidad se satisfacen automáticamente en cada nodo ya que los

desplazamientos del mismo son comunes para todos los elementos que inciden e n él.




1177

2 . 4 . P R O P I E D AD E S D E L A M AT R I Z D E R I G I D E Z G L O B AL

La matriz de rigidez global de la estructura tiene ciertas propiedades que pueden ser muy

útiles tanto para seleccionar métodos numéricos para su resolución como procedimientos

de almacenamiento, etc.

En primer lugar hay que indicar que la matriz de rigidez [ ]K es simétrica. Esto puede

comprobarse a partir del ejemplo presentado. Las matrices de rigidez de elemento [ ]ek

son simétricas, las expandidas [ ]eK también lo serán y en consecuencia la matriz global

(ensamblada a partir de las de los elementos) será también simétrica. El Teorema de

Reciprocidad de Maxwell-Betti define esta prop iedad de forma más general.

Otra característica importante de la matriz [ ]K es que e s semidefinida positiva. Una ma triz

se dice que es semidefinida positiva si para cualquier vector { }U arbitrario, diferente d el

nulo, { } [ ]{ } 0UKUT ≥ . En este caso, la expresión { } [ ]{ }UKU

Trepresenta el doble de la

energía de deformación almacenada en la estructura en el estado definido por el vector

{ }U . Por de finición, la energía de deformación es siempre positiva, con lo que la matriz

[ ]K es semidefinida positiva. La energía almacenada será nula para un vector de

desplazamientos nodales { }U si tal vector representa una configuración en la que no

existen deformaciones. Esto puede ocurrir si el sistema discreto es un mecanismo. Otra

posibilidad es que existan movimientos de cuerpo rígido, en los que toda la estructura se

desplaza o gira sin que se produzcan deformaciones. En general, para realizar el análisis

será necesario considerar las restricciones o soportes de la estructura de forma que [ ]K no

sea singular. Si éstos son suficientes para eliminar los movimientos de cuerpo rígido, la

matriz de rigidez resultant e será definido positiva.

Por último, la matriz de rigidez global tiene gran parte de sus coeficientes nulos, y

mediante una numeración correcta de los gdl tales coeficientes pueden agruparse en

ciertas zonas de la matriz de rigidez. La forma de agrupamiento más sencilla de los

coeficiente s nulos es la que produce matr ices en banda, es decir, matrices en las que todos

los coeficientes ijK son nulos para

bsi j +> . A sb se le denomina semiancho de banda. Si

tenemos un semiancho de banda pequeño en comparación con el número total de gdl,

podremos disminuir notablemente las necesidades de almacenamiento de los coeficientes

de [ ]K , considerando únicamente los contenidos en el semiancho de banda. Además, en la

resolución del sistema de ecuaciones resultante operaremos exclusivamente con los

coeficientes no nulos, haciendo má s eficientes los algoritmos de resolución.

Un coeficiente ijK de la matriz de rigidez global será nulo si no existe ningún elemento

que conecte los gdl asociados a i y j. Esto es debido a que [ ]K se forma mediante el

ensamblado de mat rices de element o. A la vista de e sto, si variamos la numeración de los

gdl (asociada a la de los nodos) variaremos la posición de los coeficientes nulos.

Conseguiremos un semiancho de banda mínimo cuando la máxima diferencia entre los

números de gdl que conecta cualquier elemento sea mínima. Cuando el número de grados

de libertad es elevado o el sistema a modelar es complejo, no es sencillo predefinir la




1188

numeración óptima. Por este motivo, los programas de elementos finitos incorporan

algoritmos de renumeración destinados a generar una numeración eficiente.

2 .5 . AP L I C AC I Ó N D E C O N D I C I O N E S D E CO N T O R N O .R E S O L U CI Ó N E N D E S P L A Z A M I E N T O S

Como se ha comentado en el apartado anterior, la matriz de rigidez global [ ]K es singular

y en consecuencia no existe una única solución de la ecuación [ ]{ } { }FUK = . Será por lo

tanto necesario simular las condiciones de contorno reales de la estructura, con lo que en

general e liminaremos la singularidad. Existen diversos tipos de condiciones de contorno a

aplicar, aunque en este apartado únicamente consideraremos la más sencilla que consiste

en suponer que ciertos desplazamientos nodales son nulos (soporte s).

Para considerar tal tipo de condiciones de contorno supongamos que subdividimos los

grados de libertad globales de la estructura en dos grupos: los que están re stringidos, { }rU

(desplazamiento nulo), y los libres, { }l

U . De esta forma

{ }

=r

l

U

UU (E c. 10)

Subdividiendo la matriz de rigidez global [ ]K y el vector de fuerzas aplicadas { }F de forma

análoga.

=

r

l

r

l

rrrl

lrll

F

F

U

U

KK

KK(E c. 11)

La pr imera de las dos ecuaciones mat riciales descritas por la ecuación 11 es

[ ]{ } [ ]{ } { }lrlrlll

FUKUK =+ (E c. 12)

y si consideramos que { } 0Ur= , resulta un sistema de ecuaciones lineales del que es

posible obtener el vector de desplazamientos libres { }l

U . La matriz de coeficiente s de tal

sistema de ecuaciones es la correspondiente global del sistema en la que no se han

ensamblado las rigideces asociadas a los grados de libertad con desplazamiento nulo. De

la segunda ecuación se obtiene

[ ]{ } [ ]{ } { }rrrrlrl

FUKUK =+ (E c. 13)

Calculados los desplazamientos libres{ }lU con la ecuación 12, mediante la ecuación 13 es

posible calcular las fuerzas que aparecen en los desplazamientos de los gdl restringidos

(reacciones { }r

F ), de forma que se satisfaga el equilibrio.




1199

2 . 6 . CAL C UL O D E T E N S I O N E S

En el ejemplo sencillo que nos ocupa, las tensiones que aparecen en cualquier elemento

barra serán únicamente uniaxiales (tracción o compresión). Calculados los

desplazamientos nodales, { }U , es inmediato el cálculo de la variación de longitud, L∆ , de

cualquier barr a

( ) ( )[ ]LLL

yyxxL

vyyuxx

vyyuxx

f

i ji jf

j j j j j j

iiiiii

−=∆

−+−=

+=+=

+=+=

2122 /

' ' ' '

' '

' '

(E c. 14)

donde ( )ii

yx , y j j

yx , son las coordenadas de los nodos del elemento; ( )ii vu , y j j vu ,

son los desplazamientos en las direcciones en el sistema de referencia xy los cuales se

extrae n de la solución { }U y, L , es la longitud inicial del elemento (Ec. 3).

Y en base a su módulo de e lasticidad se pueden calcular la tensión a la que e stá sometida.

L

EL ⋅∆=σ (E c. 15)

2 . 7 . R E S U M E N D E L P R O C E D I M I E N T O D E AN Á L I S I S

Las fases computacionales fundamentales de un análisis lineal estático mediante el

método de los elementos finitos se pue den r esumir en las siguientes:

i) Entrada de datos e inicialización. Se entr an los datos de número de nodos y

elementos, coordenadas nodales, definición de los elementos mediante los nodos que

conecta, propiedades de material, fuerzas actuantes, condiciones de contorno, etc. Se

define el tamaño global del problema y se reserva e inicializa el almacenamiento para

los diferentes vectores y matrices.

ii) Cálculo de ecuaciones de comportamiento de todos los elementos. Para cada

elemento se calcula su matriz de r igidez [ ]ek y el vector de fuerzas equivalentes en los

nodos de las directamente aplicadas sobre el elemento { }ef , si es que existen.

iii) Ensamblado de la estructura . Se ensambla la matriz global de la estructura a par tir de

las matrices de rigidez de los elementos [ ]e

k . También se ensambla el vector defuerzas externas aplicadas { }F a partir de la contribución de las fuerzas actuantes en

los elementos { }ef y las directamente aplicadas en los nodos. Se aplican las

condiciones de contorno, si éstas no se han aplicado directamente en el proceso de

ensamblado.

iv) Resolver el sistema de ecuaciones [ ]{ } { }FUK = para calcular { }U .




2200

v) Cálculo de tensiones. Para cada elemento se extrae de { }U el vector de

desplazamientos nodales de cada elemento { }eu . A partir de este vector de

desplazamientos se pueden calcular las tensiones que aparecen en cada elemento.

Las fases anteriores describen un programa básico, sin preprocesadores opostprocesadores, numeración automática de nodos, y otras facilidades de utilización.

También es posible modificar ligeramente el proceso para mejorar su eficiencia

computacional.

2 - elementos finitos. sistemas discretos

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