2. el cálculo a través de la historia

Daniel Merchán López. 2013

25 Historia del software en computación aplicado a la informática educativa.

2. El cálculo a través de la historia.

Hasta ahora hemos visto de dónde viene la noción de información, acabando con la máquina de Turing y de qué manera influyó ésta en la computación. En éste punto veremos el cálculo a lo largo de la historia. Llegaremos hasta la automatización del mismo para que quede explicada la segunda palabra de la definición de informática: automática.

La historia de la computación ha estado llena de grandes y notables esfuerzos, la computadora no fue inventada por una sola persona, al contrario, ha sido el resultado de ideas, descubrimientos y trabajos de muchas personas relacionadas con diversos ámbitos, como la electrónica, mecánica, lógica, álgebra, materiales semiconductores y programación.

Desde que el hombre aprendió a contar se ha necesitado el apoyo del cálculo para manipular cantidades y buscar métodos para facilitarlo. Estos métodos fueron bastante rudimentarios hasta que los sabios y astrónomos hindúes recogieron la herencia greco-babilónica inventando la numeración posicional actual. La necesidad de procedimientos de cálculo también surge de las limitaciones que tiene el cálculo manual cuando el volumen de cálculos es grande. Las principales limitaciones las encontramos en la velocidad de cálculo del ser humano, pues es reducida y limitada, y en la facilidad de cometer errores en operaciones complejas.

Con el desarrollo de estos métodos, fue necesario anotar números, apareciendo así los primeros instrumentos de cómputo: el uso de los dedos con tal objeto condujo a las primeras técnicas de cálculo digital; y parecida finalidad tuvo el uso de las piedras entre los romanos, las muescas practicadas por diversos pueblos como el chino sobre varas de madera, o el de los nudos (quipu) sobre una cuerda desarrollado por las civilizaciones andinas.



El quipu (Fig. 6), consistía en una cuerda principal a la que se ataban varias cuerdas secundarias, cada una con diferentes tipos de nudos. La forma del nudo de la cuerda secundaria indicaba el digito representado y la distancia a la que se encontraba cada nudo de la cuerda principal representaba el valor relativo (1,10,100). De esta forma un quipu almacenaba varios números de varias cifras cada uno. Fig. 6. Nudos quipu.

El término cálculo proviene del latín calculus-i que significa piedra. Su uso más común es el lógico-matemático, así desde esta perspectiva,

"el cálculo consiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos debidamente formalizados y simbolizados" [17].

2.1. Los sistemas de numeración.[11][18][19][7]

La numeración es antigua, pero no universal ni uniforme; no todos los pueblos la han desarrollado de la misma forma y hay algunas tribus como los Pirahä del Amazonas que no la tienen. Las pruebas más remotas del empleo de los números son los huesos con marcas hallados en excavaciones arqueológicas. El más antiguo descubierto hasta la fecha posee 35000 años de antigüedad, es un hueso de papio (primate más conocido como el babuino) encontrado en la cordillera de Lebombo, en Suazilandia (África), durante una excavación realizada en 1973 (Fig. 7). Contiene 29 marcas y se cree que debía utilizarse como contador de las fases lunares. Su aspecto es parecido al de los bastones que aún hoy en día utilizan los bosquimanos de Namibia. Otro ejemplar parecido es el hueso de Ishango, que fue hallado en el Congo en 1960 y tiene alrededor de 20000 años de antigüedad.



El hueso de Ishango es una de las primeras pruebas arqueológicas del uso de los números.

Fig. 7. Huesos de Lebombo e Ishango.

La mejor definición para sistema de numeración es "el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la representación de datos numéricos o cantidades" [7].

Se sabe que el ser humano por medio de las distintas culturas, ha utilizado distintas bases de numeración, entre las que se encuentran las bases 4, 5, 10, 13, 18 y 20. La mayor dificultad que se encontraban los pueblos primitivos era contar los grandes números. Por eso, la mayoría de las culturas primitivas utilizaban las bases 5, 10 ó 20, ya que se ayudaban en los cálculos de los dedos, como ahora lo hacen los niños. Por ejemplo los esquimales utilizaban la base 20, ya que decían 5 (dedos), ó 1 hombre y 6 dedos (para representar 26). Se sobreentiende que el hombre tiene 20 dedos.

Los pueblos indo-europeos también utilizaron el sistema base 20. Se deduce de la forma de escribir ciertos números franceses como por ejemplo el 99 quatre-vingt-dix-neuf (cuatro-veintes-diecinueve). También la numeración inglesa cuenta con vestigios de los conceptos antiguos: eleven (once) y twelve (doce) proceden respectivamente de one left, <<uno que queda>>, y two left, <<dos que quedan>> (en el sentido de que <<quedan>> después de diez).

Los sistemas de numeración, desde un punto de vista histórico, pueden clasificarse en sistemas aditivos y sistemas posicionales.

El sistema aditivo acumula los símbolos sin importar el orden, aunque para mantener un cierto orden, hay una determinada disposición preferencial.



Los primeros en utilizar este sistema de numeración son los egipcios, pues hay documentos referentes a su notación numérica y métodos aritméticos de hace 3000 años a.C., siendo estos de tipo jeroglífico. Utilizaban un símbolo para cada una de las potencias de 10. Así, existía un símbolo para las unidades, otro para las decenas, y así sucesivamente. Este sistema permitía representar números grandes, además de facilitar las operaciones de suma y resta. Un poco más abajo veremos una ilustración con diferentes sistemas de numeración, tanto aditivos como posicionales (Fig. 8).

El sistema de numeración griego se desarrolló hacia el siglo V a.C. en Jonia y presenta algunas similitudes con el sistema hierático egipcio. Pues dispone de un símbolo para cada uno de los números del 1 al 9, otro símbolo para cada decena del 10 al 90, y otro símbolo para cada centena del 100 al 900. Éstos símbolos se corresponden con las letras griegas y tres letras fenicias: la digamma (que representa el 6), la koppa (que representa el 90) y la sampi (que representa el 900). Los símbolos griegos permiten representar cualquier número entre el 1 y el 999. Para representar los millares utilizaban las unidades precedidas de una coma.

Fig. 8. Evolución de los sistemas de numeración.

La diferencia que tenía éste sistema con el egipcio es que el orden importa, pues sigue el orden de lectura occidental: el número empezaba por la izquierda con los valores de mayor peso. Esto permitió eliminar las comas cuando no eran necesarias y así poder entender su significado. El principal problema de este sistema era que, como los números se representaban con letras, era necesario diferenciar los números del texto. Para solucionarlo los griegos incluían una marca al final del número o añadían una barra encima de él.

Otro pueblo que utilizó este sistema fueron los romanos, éstos utilizaban 7 símbolos: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), y M(1.000), y con estos números podía



expresarse cualquier número menor de 5.000 con una secuencia de símbolos, sin repetir cada uno de ellos más de cuatro veces.

En el sistema posicional un mismo símbolo cambia de valor de acuerdo con la posición que ocupa en la secuencia de dígitos. Esto suele llamarse el valor relativo de esa cifra. Además, los sistemas posicionales tienen una base; como el sistema que utilizamos en la actualidad, decimal o de base 10.

El primer sistema de este tipo fue el babilónico, era sexagesimal, de base 60, es decir, cada dígito se corresponde a un número entre el 0 y el 59.

Su representación es cuneiforme, pues se inscribía sobre tablillas de arcilla húmeda (Fig. 9). Era posicional porque una misma figura representa un valor diferente según la posición que ocupa; en este caso una potencia de 60. En lo que respecta al cero, se tiene constancia de que ya en el año 2000 a.C. los Babilónicos utilizaban un símbolo (predecesor del cero) para las posiciones vacías dentro del numero, pero les era inconcebible utilizar el cero aisladamente en las posiciones finales (por ejemplo, para representar las dos últimas posiciones de 200).

Fig. 9. Tabla cuneiforme babilónica.

Otro pueblo que empleo este sistema fue el chino. Su sistemas más antiguo se remonta al siglo IV a.C. Consistía en unas barritas para calcular, que se conocían con el nombre de suan o chou. Con el tiempo, este sistema sería desplazado por el ábaco. Estas barritas representaban los números del 1 al 9 adoptando dos series de disposiciones distintas. La primera jugaba con la posición vertical de las barritas (se utilizaba para las unidades, las centenas, etc.) mientras que la segunda con la posición horizontal (utilizada para las decenas los millares..). Se aplicaba en unos tableros jugando con la posición. El mismo sistema se utilizaba para representar los números negativos, para diferenciarlos se utilizaban barritas de diferente color, para los números positivos eran rojas y para los negativos negras.

Por el siglo I o II, los hindúes (en el este de Indochina), dieron en lo que respecta a los sistemas de numeración, tres pasos transcendentes, pues la cifras se representan posicionalmente, hay un base decimal (la que utilizamos hoy en día) y se concibe el cero como un digito más. Las figuras de los números fueron sufriendo modificaciones en su viaje a Occidente, por lo que las formas que se emplean hoy en día no se corresponden con aquellas primeras representaciones. Las cifras tal y como las



conocemos son la versión de aquellos antiguos números prácritos que llegaron al norte de África tras varias alteraciones, y se propagó por Europa durante la Edad Media. Fueron los musulmanes quienes incorporaron las fracciones a la notación posicional, que se había desarrollado solo para los números enteros. También los términos aritmética y álgebra son árabes. Al-Khowârizmî es el creador del concepto de algoritmo, que introdujo al desarrollar reglas basadas en operaciones muy elementales para realizar las operaciones aritméticas básicas.

Quien expandió realmente los números arábigos fueron los italianos y hay un nombre propio, Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. El Liber Abaci de Fibonacci mostraba las aplicaciones comerciales de la aritmética y para ello presentaba los numerales arábigos y los algoritmos para operarlos con un propósito específico. Fue el primer libro escrito en Europa que utilizaba números arábigos. Este libro era empleado para el comercio y al ser elevado su precio, los estudiantes no se lo podían permitir y solo se podía encontrar en las casas comerciales. La época que siguió a la publicación del Liber Abaci se considera una etapa de transición, es decir se cambia de modelo. En esta época hay cuatro tipos de obras. Los tratados teóricos, que seguían los escritos de Boecio, los ábacos aritméticos, los algoritmos y los cómputos, que describían los sistemas de cálculo para determinar el calendario eclesiástico.

El primer libro de tema matemático impreso en la historia es la llamada Aritmética mercantil de Treviso, ciudad italiana donde fue publicado en 1478. Otro hecho relevante en los métodos de cálculo lo dio hacia 1580 el francés Françoise Viète, que propuso el empleo de diferentes letras para la representación de los números desconocidos.

El sistema de numeración utilizado por los circuitos digitales de las computadoras es el sistema binario. El número de símbolos que utiliza es 2, el 0 y el 1 por lo tanto es un sistema de numeración de base 2. Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos binarios), que suelen representar cualquier mecanismo capaz de usar dos estados mutuamente excluyentes. Para la medida de cantidades de información representadas en binario se utilizan una serie de múltiplos del bit que poseen su propio nombre; son los siguientes:

Nibble o cuarteto: Es el conjunto de cuatro bits. Byte u octeto: Conjunto de ocho bits. Kilobyte (Kb): Conjunto de 1.024 bytes. Megabyte (Mb): Conjunto de 1.024 kilobytes. Gigabyte (Gb): Conjunto de 1.024 megabytes. Terabytes (Tb): Conjunto de 1.024 gigabytes.

El motivo por el que se utiliza el factor de multiplicador 1.024 en lugar de 1.000, como en cualquier otra magnitud física, es por ser el múltiplo de 2 más próximo a 1.000. El



byte u octeto es considerado como la unidad básica de medida de la información representada mediante este sistema.

En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. Para calcular el valor de un número binario en el sistema decimal tendríamos que multiplicar cada posición por una potencia de base dos elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno.

Como ejemplo vamos a calcular el valor en decimal del número binario 1011:

1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 , o lo que es lo mismo:

8 + 0 + 2 + 1 = 11

El número binario 1011 en el sistema decimal corresponde al número 11.

2.2. Stonehenge. [20][21]

El hombre siempre se ha preocupado por la medición del tiempo, esto es algo que también se debe calcular. Hoy en día disponemos de calendarios, relojes, etc. Pero el origen de todo esto se encuentra en el Stonehenge.

El Stonehenge (Stone = piedra; Henge = monumento con borde circular), está situado en el condado de Wiltshire, al sur de Inglaterra (Fig. 10). No hay actualmente nada en el mundo que de manera alguna pueda compararse con este misterioso santuario, construido no con argamasa y piedra, sino simplemente con grandes bloques rectangulares de piedras. Fig. 10. Stonehenge.

Gracias al análisis con el carbono C-14 se ha podido precisar que este monumento tiene una antigüedad de cerca de 2800 años a.C. Puesto que no se sabe con exactitud la utilidad de este santuario, lo más acertado sería decir que tuvo una utilidad astronómica.



Sus piedras y dinteles estaban colocados de manera que se pudiera seguir el curso del Sol en el cielo y, por lo tanto, marcar el principio de las correspondientes estaciones, por lo tanto se puede decir que era un observatorio práctico.

La "piedra de altar" y la "piedra talón" se alinean para mostrar el punto de salida del Sol en el solsticio de verano, mientras que los dos montículos y menhires ubicados junto al foso circular están alineados para apuntar hacia las salidas y puestas de sol durante los solsticios de verano e invierno. También marcan las salidas y puesta de la Luna durante los solsticios de invierno.

2.3. El mecanismo de Anticitera.[22]

Este mecanismo (Fig. 11) es el precursor de los calendarios astronómicos bizantinos. Se cree que data del 87 a.C. y este mecanismo consiste en un complejo sistema de 32 ruedas y placas con inscripciones relativas a los signos del zodíaco y a los meses. Es uno de los primeros mecanismos de engranajes conocido, y se diseñó para seguir el movimiento de los cuerpos celestes. De acuerdo con las reconstrucciones realizadas, es un mecanismo que utiliza engranajes diferenciales. Hay muchas teorías sobre el verdadero funcionamiento de este dispositivo y sobre cuál era su finalidad. Algunos lo llaman el primer dispositivo de computación analógica, mientras que otros lo catalogan como el primer dispositivo de computación mecánica.

Fig. 11. Mecanismo de Anticitera.

Este mecanismo, tras ajustar de forma manual una fecha concreta, nos mostraría la posición del sol, la luna y los cinco planetas conocidos entonces. Esto no se volvería a conseguir hasta el siglo XIV con la aparición de los relojes de precisión.

Además, algunas investigaciones recientes señalan que el dispositivo utiliza una serie de engranajes especiales para tener en cuenta la excentricidad de la órbita lunar y considerar esta trayectoria elíptica.

2. el cálculo a través de la historia

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