2 bach tema 1 matrices curso 08 09

TEMA 1.TEMA 1.TEMA 1.TEMA 1.---- MATRICES MATRICES MATRICES MATRICES ---- MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II –––– IES MONTES ORIENTALES (IZNALLOZ) IES MONTES ORIENTALES (IZNALLOZ) IES MONTES ORIENTALES (IZNALLOZ) IES MONTES ORIENTALES (IZNALLOZ) ---- CURSO 08/09CURSO 08/09CURSO 08/09CURSO 08/09

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 1 -

TEMA TEMA TEMA TEMA 1111....---- MATRICESMATRICESMATRICESMATRICES

1.1.1.1.---- CONCEPTO DE MATRIZCONCEPTO DE MATRIZCONCEPTO DE MATRIZCONCEPTO DE MATRIZ

Una matrizmatrizmatrizmatriz es un rectángulo de números dispuestos en

filas y en columnas. Por ejemplo, 1 3 4

0 5 2

− −

es una

matriz de 2 filas y 3 columnas.

Diremos que el orden o dimensión de esta matriz es 2 x 3.

En general, una matriz que tiene m filas y n columnas es de

ordenordenordenorden o dimensión o dimensión o dimensión o dimensión m m m m xxxx nnnn

Ejercicio 1Ejercicio 1Ejercicio 1Ejercicio 1 Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes

cantidades de fruta:

A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas.

B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas.

C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas.

Expresa matricialmente la cantidad de fruta (peras, manzanas y

naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C)

*************************

Dos matricesmatricesmatricesmatrices son igualesigualesigualesiguales si tienen el mismo orden y sus

elementos respectivos coinciden

EjercicioEjercicioEjercicioEjercicio 2222 Calcula los valores de x, y , z para que las matrices x y y z

A2 x 2x 4

− + = + −

y 8 1

B7 6

=

sean iguales

**************************

Una matriz nulamatriz nulamatriz nulamatriz nula o ceroo ceroo ceroo cero es aquella en la que todos sus

elementos son 0. Por ejemplo, 0 =

0 0

0 0

0 0

es la matriz

nula de orden 3 x 2

Una matriz cuadradamatriz cuadradamatriz cuadradamatriz cuadrada es la que tiene el mismo número de

filas que de columnas. Por ejemplo, 2 3

1 5

− −

es una

matriz cuadrada de orden 2 x 2 ( o simplemente

una matriz cuadrada de orden 2)

Diagonales de una matriz cuadradaDiagonales de una matriz cuadradaDiagonales de una matriz cuadradaDiagonales de una matriz cuadrada:

1 3 0

1 2 4

1 1 2

− −

Los elementos 1 2 2 forman la diagonal principal

Los elementos 0 2 1 forman la diagonal secundaria

Una matriz diagonalmatriz diagonalmatriz diagonalmatriz diagonal es una matriz cuadrada que tiene

nulos todos los elementos de fuera de la diagonal

principal

Por ejemplo, la matriz

5 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 2

es diagonal

Se llama matriz identidadmatriz identidadmatriz identidadmatriz identidad a la matriz diagonal con 1 en

todos los elementos de la diagonal principal

Por ejemplo, I2 =

1 0

0 1

es la matriz identidad de orden 2

I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

es la matriz identidad de orden 3

Una matriz filamatriz filamatriz filamatriz fila es la que tiene sólo 1 fila

Por ejemplo, ( )0 1 7 4 2− es una matriz fila de orden 5

Una matriz columnamatriz columnamatriz columnamatriz columna es la que tiene 1 sola columna

Por ejemplo,

9

5

2

−

es una matriz columna de orden 3

La traspuesta de una matriz Atraspuesta de una matriz Atraspuesta de una matriz Atraspuesta de una matriz A es la que se obtiene escribiendo las filas de

A por columnas y se representa por At

Por ejemplo, la traspuesta de A=3 1 4

2 5 7

− −

es At =

3 2

1 5

4 7

− −

Observa que A es de orden 2 x 3 mientras que At de orden 3 x 2

En general si A es de orden m x n entonces At es de orden n x m

Una matrizmatrizmatrizmatriz cuadrada A es simétricasimétricasimétricasimétrica si es igual que su traspuesta, es decir

si At = A

Ejemplo: A=

2 1 7

1 5 3

7 3 0

− −

es simétrica, pues At =

2 1 7

1 5 3

7 3 0

− −

= A

Observa que en las matrices simétricas los elementos por encima y por

debajo de la diagonal principal son simétricos

Ejercicio 3Ejercicio 3Ejercicio 3Ejercicio 3 Escribe una matriz en los casos: a) nula de orden 3x2

b) cuadrada de orden 3 c) diagonal de orden 2

d) identidad de orden 4 e) fila de orden 2

f) columna de orden 4 g) simétrica de orden 2

Ejercicio 4Ejercicio 4Ejercicio 4Ejercicio 4 Responde a las siguientes cuestiones:

a) ¿Cuál es la traspuesta de una matriz fila?

b) ¿Cuál es la traspuesta de una matriz columna?

c) Las matrices diagonales, ¿son simétricas?


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 2 -

2.2.2.2.---- OPERACIONES CON MATROPERACIONES CON MATROPERACIONES CON MATROPERACIONES CON MATRICESICESICESICES

Suma y resta de matricesSuma y resta de matricesSuma y resta de matricesSuma y resta de matrices: Para sumar o restar dos matrices,

deben ser del mismo orden y se suman o restan término a

término

Matriz opuestaMatriz opuestaMatriz opuestaMatriz opuesta: La matriz opuesta de una matriz A (se representa

por –A) es la que se obtiene al cambiarle de signo a todos los

elementos de la matriz A

Propiedades más importantes de la suma de matricesPropiedades más importantes de la suma de matricesPropiedades más importantes de la suma de matricesPropiedades más importantes de la suma de matrices:

1) A + B = B + A 2) A + 0 = A 3) A + (-A) = 0

Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 5555 Dadas las matrices 1 3 4

A0 5 2

− = −

B =7 2 6

1 0 3

− − −

1 4 2

C1 3 6

− − = − −

, calcula -B + ( C - A )

************************

Producto de un número por una matrizProducto de un número por una matrizProducto de un número por una matrizProducto de un número por una matriz: Se multiplica el número

por cada elemento de la matriz. Ejemplos:

-2.

3 2

1 5

4 7

− −

=

6 4

2 10

8 14

− − − −

5

3.

7 2 6

1 0 3

− − −

=

35 10 103 3

5 0 53

− − −

Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 6666 Sean las matrices 1 3 4 3 1 2

A B2 1 0 1 0 6

− = = −

Calcula: a) -2A + 5B b) 3

2 (- Bt –

1

3At)

Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 7777 Resuelve las ecuaciones matriciales: a) 2X – 3A = B

b) (2A – B)t = 4X , siendo 1 3 4 3 1 2

A y B2 1 0 1 0 6

− = = −

Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 8888 Resuelve el sistema matricial formado por las

ecuaciones: 2X + Y = 1 2 2

- 2 1 0

X – 3Y = - 4 - 3 - 2

- 1 0 - 1

**************************

Producto de una matriz fila por una matriz columnaProducto de una matriz fila por una matriz columnaProducto de una matriz fila por una matriz columnaProducto de una matriz fila por una matriz columna:

Se multiplican elemento a elemento y luego se suma

Ejemplo: ( )5

3 1 2 . 7

4

− −

= 3.(-5) + 1.7 + (-2).4 = -16

Si la fila y columna no tienen el mismo nº de elementos no se

pueden multiplicar. En general, la regla para multiplicar es:

( )n1 2 3a a a ...... a .

1

2

n

b

b

...

b

= a1b1 + a2b2 + ....... + anbn

Producto de matricesProducto de matricesProducto de matricesProducto de matrices: Dadas A y B, para poder hacer el producto

AB es necesario que el nº de columnas de A sea igual al nº de

filas de B

. Ejemplo:

1 3 4A

2 1 0

= −

6 2 1 0

B 1 5 1 1

0 7 3 1

= − − − −

6 2 1 01 3 4 3 11 10 1

AB . 1 5 1 12 1 0 13 1 3 1

0 7 3 1

− − = − − = − − − − −

orden 2x3 orden 3x4 orden 2x4

1ª fila de AB :1ª fila de A por todas las columnas de B ( )6

1 3 4 . 1

0

−

=3333

( )2

1 3 4 . 5

7

−

= ----11111111 ( )1

1 3 4 . 1

3

−

= 10101010 ( )0

1 3 4 . 1

1

−

= ----1111

2ª fila de AB : 2ª fila de A por todas las columnas de B

( )6

2 1 0 . 1

0

− −

= 13131313 ( )2

2 1 0 . 5

7

− −

= ----1111

( )1

2 1 0 . 1

3

− −

= 3333 ( )0

2 1 0 . 1

1

− −

= ----1111

Propiedades más importantes del producto de matricesPropiedades más importantes del producto de matricesPropiedades más importantes del producto de matricesPropiedades más importantes del producto de matrices:

1) AB ≠ BA 2) A I = I A = A 3) A(B+C) = AB + AC

Ejercicio 9Ejercicio 9Ejercicio 9Ejercicio 9 Dadas 2 3 1

A0 2 5

− = −

1 4

B 2 0

3 1

= − −

1 1

C3 4

− − = −

calcula ( 2A – Bt )t C

Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 10101010 Halla una matriz B, sabiendo que su primera fila es

(1, 0), y que verifica AB = 1 0

1 0

, siendo A = 1 2 2

2 1 0

−

Ejercicio 1Ejercicio 1Ejercicio 1Ejercicio 11111 ¿Como tienen que ser dos matrices A y B para que su

producto AB sea un numero real?

Ejercicio 1Ejercicio 1Ejercicio 1Ejercicio 12222 Dada A =2 1

ba

−

calcula a y b para que A2 = A

Ejercicio 1Ejercicio 1Ejercicio 1Ejercicio 13333 Dadas

2 0 11 7 3 2 3

M 3 4 2 , P , Q4 0 1 3 0

1 1 1

− − = − = = −

Resuelve la ecuación: PM + 2 X = Q P

Ejercicio 1Ejercicio 1Ejercicio 1Ejercicio 14444 Halla x e y para que se cumpla: A2 + x A + y I = 0

siendo A = 1 2

3 4

−

Ejercicio 1Ejercicio 1Ejercicio 1Ejercicio 15555 Tres familias, A, B, y C, van a ir de vacaciones a

una ciudad en la que hay tres hoteles, H1 , H2 y H3.

La familia A necesita 2 habitaciones dobles y 1 sencilla;

la B, 3 dobles y 1 sencilla y la C , 1 doble y 2 sencillas.

En el hotel H1 el precio de la habitación doble es 84 €/día y el de la

habitación sencilla 45 €/día. En el hotel H2 la doble cuesta 86 €/día

y la sencilla 43 €/día; En H3 85 €/día la doble y 44 €/día la sencilla

a) Escribe en forma de matriz el número de habitaciones (dobles o

sencillas) que necesita cada una de las tres familias.

b) Expresa matricialmente el precio de cada tipo de habitación en

cada uno de los tres hoteles.

c) Obtén, a partir de las dos matrices anteriores, una matriz en la

que se refleje el gasto diario que tendría cada una de las tres

familias en cada uno de los tres hoteles


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 3 -

Matriz inversa de una matriz cuadradaMatriz inversa de una matriz cuadradaMatriz inversa de una matriz cuadradaMatriz inversa de una matriz cuadrada. Decimos que una matriz

cuadrada A tiene inversa, si existe una matriz (que

representamos por A-1) que cumple: A A-1 = I y A-1 A = I

Ejercicio 1Ejercicio 1Ejercicio 1Ejercicio 16666 Dada la matriz A =1 1

0 2

−

calcular su inversa y

comprobar el resultado

Ejercicio 1Ejercicio 1Ejercicio 1Ejercicio 17777 a) Demuestra que si A cumple que A2 - 2A + I = 0

entonces A es invertible. b) Indica cuál es la inversa de A

c) Comprueba que la matriz A =

5 4 2

2 1 1

4 4 1

− − − −

cumple la

igualdad anterior y calcula A-1

3.3.3.3.---- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADADETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADADETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADADETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

Determinante de una matriz cuadrada de orden 1Determinante de una matriz cuadrada de orden 1Determinante de una matriz cuadrada de orden 1Determinante de una matriz cuadrada de orden 1: Dada una matriz cuadrada

de orden 1 , A = ( )a , entonces detdetdetdet AAAA ==== aaaa

Determinante de una matriz cuaDeterminante de una matriz cuaDeterminante de una matriz cuaDeterminante de una matriz cuadrada de orden 2drada de orden 2drada de orden 2drada de orden 2: Dada una matriz cuadrada

de orden 2 , A = 11 12

21 22

a a

a a

, entonces det A = a11111111a22222222 - a12121212a21212121

(producto de diagonal principal – producto de diagonal secundaria)

Ejercicio 18Ejercicio 18Ejercicio 18Ejercicio 18 Halla los siguientes determinantes de

orden 2 : a)2 5

3 4 b)

1 2

0 0 c)

3 6

1 2 d)

1 5

0 4

−

***********************************

Determinante de una matriz cuadrada de orden 3Determinante de una matriz cuadrada de orden 3Determinante de una matriz cuadrada de orden 3Determinante de una matriz cuadrada de orden 3: Dada una matriz

cuadrada de orden 3, A = 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

entonces

det A = a11111111 a22222222 a33333333 + a12121212 a23232323 a31313131 + a21212121 a32323232 a13131313

– a13131313 a22222222 a31313131 – a12121212 a21212121 a33333333 – a23232323 a32323232 a11111111

Para recordar como se calcula, se usa una regla nemotécnica

llamada regla de Sarrusregla de Sarrusregla de Sarrusregla de Sarrus:

Términos que van sumando:

Términos que van restando:

Ejercicio 19Ejercicio 19Ejercicio 19Ejercicio 19 Halla los siguientes determinantes de orden 3

1 2 3 3 2 1 1 3 1 1 1 1

1 1 1 b) 3 1 5 c) 5 4 6 d) 8 7 6

2 0 5 3 4 5 2 2 3 1 0 1

a)

− −−

−

****************************

Matriz de menores complementariosMatriz de menores complementariosMatriz de menores complementariosMatriz de menores complementarios: Es aquella que

se obtiene al sustituir cada elemento por el

determinante de la matriz que resulta al eliminar su

fila y su columna

Ejemplos: m.c. 2 5

3 1

−

= 1 3

5 2

−

m.c.

2 1 1

1 6 3

4 5 0

− − − −

=

15 12 19

5 4 6

3 5 11

− − − −

Matriz adjuntaMatriz adjuntaMatriz adjuntaMatriz adjunta:

- Si la matriz es de orden 2, adj A se obtiene

cambiando de signo a la diagonal secundaria de la

matriz de menores complementarios

Ejemplo: adj 2 5

3 1

−

= 1 3

5 2

− − −

- Si la matriz es de orden 3, adj A se obtiene cambiando de signo a los

elementos de fuera de las diagonales de la matriz de menores

complementarios

Ejemplo: adj

2 1 1

1 6 3

4 5 0

− − − −

=

15 12 19

5 4 6

3 5 11

− −

Ejercicio 20Ejercicio 20Ejercicio 20Ejercicio 20 Calcula la matriz adjunta de A en los casos: a)1 5

2 1

b) 1 1

0 3

−

c)

2 2 0

2 1 0

3 2 1

− −

d)

1 1 1

2 1 3

0 0 1

−

e)

1 1 2

2 1 1

2 2 1

− −

f)

2 1 0

1 2 2

3 3 1

− − −

*************************************

Cálculo de la matriz inversa usando determinantesCálculo de la matriz inversa usando determinantesCálculo de la matriz inversa usando determinantesCálculo de la matriz inversa usando determinantes:

Sea A una matriz cuadrada

- Si |A| = 0 , entonces A no tiene inversa

- Si |A| ≠ 0 , entonces A tiene inversa y se calcula

por la fórmula A-1 = 1

| A |. [ adj(A) ] tt

Ejercicio 21Ejercicio 21Ejercicio 21Ejercicio 21 Calcula, si es posible, la inversa de las matrices:

a) 1 3

2 1

− − − −

b) 2 1

4 2

− −

c)

5 0 2

3 2 1

2 3 1

− − −

d)

2 1 3

4 1 2

5 1 3

−

e)

3 2 1

6 5 2

3 4 1

− − −

Ejercicio 22Ejercicio 22Ejercicio 22Ejercicio 22 Resuelve las ecuaciones: a) AX = B b) BX – At = 2B

siendo A =

1 0 1

1 1 0

0 0 1

−

B =

1 1 0

0 1 1

0 1 2

−


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 4 -

EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIOS PROPUESTOS PARAPARAPARAPARA SELECTIVIDAD SELECTIVIDAD SELECTIVIDAD SELECTIVIDAD

1111 Sean las matrices 2 1 1 0

A B1 0 1 2

− = = −

a) Calcule 12A (2B 3I )− ⋅ +

b) Determine la matriz X para que 2

X A A I⋅ = +

(Propuesto para PAU Andalucía 2006)

2222 Sean las matrices ( )2 2A B 1 1 .

5 4

= = − − −

Explique qué

dimensión debe tener la matriz X para que tenga sentido la

ecuación matricial ( )X A 2B 1 0⋅ + = . Resuelva dicha ecuación.


3333 Dada la matriz 1 0

A0 1

= −

, halle A2004


4444 Sean las matrices A = 2 1 1

1 0 1

− − −

B =

1 1

2 0

2 1

− −

a) Calcule la matriz C = BA – AtBt

b) Halle la matriz X que verifique ABX = 4

2

(Puesto en PAU Andalucía Junio 2005)

5555 Sean las matrices x 1 0 1

A y B .1 x 1 1 1

= = +

a) Encuentre el valor o valores de x de forma que 2B A=

b) Igualmente para que 12

A I B−− =

c) Determine x para que 2

A B I⋅ =


ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNOACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNOACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNOACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNO

1.- CONCEPTO DE MATRIZ

1111 Una empresa tiene tres factorías, F1, F2, F3, en las que se

fabrican diariamente 3 tipos de productos, A, B y C :

F1: 200 unidades de A, 40 de B y 30 de C.



Expresa matricialmente estos datos

2222 Calcula a , b para que sean iguales las matrices A y B:

A =3a b 9 b a

11 a b 2

− − − + −

B = 17 2b a 7

a 3b 3 3 a

− − − −

( SoluciónSoluciónSoluciónSolución: a = 5 , b = -2 )

2.- OPERACIONES CON MATRICES

3333 Dadas las matrices

2 - 1 3 5

A = 0 1 2 - 1

3 0 - 2 1

0 0 0 3

B = 2 - 2 5 1

3 2 - 1 1

2 3 0 1

C = 5 1 4 2

1 0 0 3

− − −

Calcula: a) A – B + C b) – Ct - (-At + Bt)

[ SSSSoluciónoluciónoluciónolución: a)

4 2 3 3

7 4 1 4

1 2 1 3

− − − − −

b)

0 3 1

4 2 2

3 7 1

1 0 3

− − − − −

]

---------------------------------------------------

4444 Resuelve las ecuaciones: a) 2X – 4 A = Bt

b) 3A – 2Bt - 3X = 32

Bt, siendo A =

1 1

2 0

3 0

− −

B =4 2 1

0 6 0

− −

[ SoluciónSoluciónSoluciónSolución: a) X =

4 2

3 3

11 02

− −

−

b) X =

11 13

13 73

25 06

− − −

]

---------------------------------------------------

5555 Determina las matrices X e Y , sabiendo que 1 2 2 4

3X 5Y X 3Y8 1 3 0

− − = − + =

[ SoluciónSoluciónSoluciónSolución: X =13 7

4 2

39 34 4

Y =7 54 2

17 14 4

]

6666 Sean A una matriz de dimensión 5 x 4, B de dimensión

m x n y C de dimensión 3 x 7.

Se sabe que se puede obtener la matriz producto ABC.

a) ¿Cual es la dimensión de B? b) ¿Y la del producto ABC?

-----------------------------------------------------

7777 Considera las matrices 1 1

A1 1

− = −

y 2 1 2

B1 0 3

− = −

.

Calcula: a) Bt A b) A2 – BBt c) (AB – 3B). Bt

[ SoluciónSoluciónSoluciónSolución: a)

3 3

1 1

5 5

− − −

b) 7 6

6 8

− −

c) 10 6

7 12

− −

]

------------------------------------------------------

8888 Halla los valores de x , y para que AB = - C , siendo A = x 1

2

− −

B = ( )5 y 2+ C = 5 6

10 12

− −

( SoluciónSoluciónSoluciónSolución: x = 0 y = -8 )

---------------------------------------------------------

9999 Resuelve la ecuación B2 - 2X + ACt = O, siendo

8 2 1 1 2 1 1

A 3 5 B 0 1 1 C 0 2

5 7 1 2 1 3 1

− − − = = = −

[ SoluciónSoluciónSoluciónSolución: X =

9 2512 2

3 13 82 2

19 2322 2

− − −

]


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- 5 -

10101010 Un supermercado quiere ofertar tres clases de bandejas:

A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego,

160 g de roquefort y 80 g de camembert;

la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de

queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso

manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert.

Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y

100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán de

cada una de las tres clases de quesos

[ SoluciónSoluciónSoluciónSolución:

26100

25600

21600

]

11111111 Dada la matriz A =3 1

5 2

− −

calcula su inversa y comprueba el

resultado. [ SoluciónSoluciónSoluciónSolución: A-1 =2 1

5 3

− −

]

-----------------------------------------------------

12121212 Una matriz A verifica la ecuación A3 + 2A2 + I = 0.

Demuestra que A tiene inversa y halla A-1 en función de A

[ SoluciónSoluciónSoluciónSolución: A-1 = -A2 – 2A ]

3.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

13131313 Calcula los siguientes determinantes de orden 2:

a) 4 1

7 5

− −−

b) 10 6

5 3

−−

( SoluciónSoluciónSoluciónSolución: a) 27 b) 0 )

-----------------------------------------------------

14141414 Halla los siguientes determinantes de orden 3:

a)

1 0 3

2 1 4

1 3 1− b)

3 2 1

0 2 5

2 1 4

−−

c)

3 2 1

4 2 1

0 1 2

−− d)

1 3 2

5 2 7

4 0 1

−−

( SoluciónSoluciónSoluciónSolución: a) 2 b) 63 c) -35 d) 85 )

-----------------------------------------------------

15151515 Halla la matriz adjunta de: a)1 2

2 4

b) 3 1

2 5

−

c) 7 17

2 5

d)

2 2 2

2 1 0

3 2 2

− −

e)

1 0 2

2 1 3

4 1 8

−

f)

2 4 1

1 2 3

5 0 1

− −

[ SoluciónSoluciónSoluciónSolución: a) 4 2

2 1

− −

b) 5 2

1 3

−

c) 5 2

17 7

− −

d)

2 4 7

0 2 2

2 4 6

− − − − −

e)

11 4 6

2 0 1

2 1 1

− − − −

f)

2 16 10

4 7 20

14 5 8

− − −

]

16161616 Calcula, si es posible, la inversa de las matrices: a)1 3

2 1

b) 1 1

0 2

−

c)

2 2 0

2 1 0

3 2 2

− −

d)

1 1 1

2 1 2

0 0 1

−

e)

1 1 2

2 1 1

3 0 3

−

[ SoluciónSoluciónSoluciónSolución: a) 31

5 5

2 15 5

− −

b) 112

102

c)

1 1 06 3

1 1 03 3

7 1 112 6 2

− − −

d)

1 1 13 3

2 1 03 3

0 0 1

− −

e) No tiene inversa ]

----------------------------------------------------------

17171717 Resuelve la siguiente igualdad matricial: A⋅X=2 0 0 1

, siendo

3 1A =

5 2

. [ SolucSolucSolucSoluciónióniónión: X =4 1

10 3

− −

]

--------------------------------------------------------

18181818 Halla la matriz X que cumpla X⋅A + Bt = C , siendo

0 2 0

A = 3 0 - 3

0 1 2

4 5

B = 2 1

1 3

− −

1 - 3 5

C = - 2 4 - 6

[ SoluciónSoluciónSoluciónSolución: X =3 114 2

74 53

− − − −

]

EJERCICIOS PROPUESTOS PARA SELECTIVIDAD

19191919 Sean las matrices A =x y

y x

−

B = 1 2

1 0

−

a) Calcule, si existe, la matriz inversa de B

b) Si A· B = B · A y A + At = 3· I2 calcule x e y


[ SoluciónSoluciónSoluciónSolución: a) B-1 =0 1

1 12 2

b) x = 32

y = 0 ]

---------------------------------------------------

20202020 Sean las matrices A = 1 3

0 1

B = 2 1

0 x

−

a) Determine el valor de x en la matriz B para que se verifique la

igualdad AB = BA

b) Obtenga la matriz C tal que At ·C = I2


[ SoluciónSoluciónSoluciónSolución: a) x = 2 b) C = 1 0

3 1

−

]

-----------------------------------------------------

21212121 Sea la matriz A =2 x

0 x 2

+

a) Halle los valores de x para los que se verifica A2 = 2A.

b) Para x = -1, halle A-1. Compruebe el resultado calculando A. A-1 .


[ SoluciónSoluciónSoluciónSolución: a) x = 0 , x = -2 b) A-1 =1 12 2

0 1

]

2 bach tema 1 matrices curso 08 09

Documents