2. axiomas de campo y de orden

Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades

Introduccion al Calculo

Los numeros reales, axiomas de campo y orden, desigualdades

CNM-107

Departamento de MatematicasFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad de Antioquia

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Los numeros naturales

Los numeros naturales: Historicamente surgen ante la necesidad decontar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmentehablando los numeros naturaless son aquellos que sirven para designarel numero de elementos de um conjunto finito.

N = {0, 1, 2, 3, . . .}


Los numeros naturales

Los numeros naturales: Historicamente surgen ante la necesidad decontar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmentehablando los numeros naturaless son aquellos que sirven para designarel numero de elementos de um conjunto finito.

N = {0, 1, 2, 3, . . .}

En N se definen las operaciones de adicion (+) y multiplicacion (·),

estas operaciones poseen las siguientes propiedades:


1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale

x = yw = z

o

=⇒ x + w = y + zx · w = y · z



x = yw = z

o

=⇒ x + w = y + zx · w = y · z

2 Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale

(x + y) + z = x + (y + z);

(x · y) · z = x · (y · z).



x = yw = z

o

=⇒ x + w = y + zx · w = y · z


(x + y) + z = x + (y + z);

(x · y) · z = x · (y · z).

3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale

x + y = y + x;

x · y = y · x.



x = yw = z

o

=⇒ x + w = y + zx · w = y · z


(x + y) + z = x + (y + z);

(x · y) · z = x · (y · z).


x + y = y + x;

x · y = y · x.

4 Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales quepara cada x ∈ N vale

x + 0 = x = 0 + x;

x · 1 = x = 1 · x.



x = yw = z

o

=⇒ x + w = y + zx · w = y · z


(x + y) + z = x + (y + z);

(x · y) · z = x · (y · z).


x + y = y + x;

x · y = y · x.

4 Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales quepara cada x ∈ N vale

x + 0 = x = 0 + x;

x · 1 = x = 1 · x.

5 Distributiva: Para cada x, y, z ∈ N vale

x · (y + z) = x · y + x · z.


Los numeros enteros

Los numeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros naturales.


Los numeros enteros


Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}


Los numeros enteros


Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

N ⊂ Z


Los numeros enteros


Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

N ⊂ Z

En Z estan definidas la adicion + y la multiplicacion ·


Los numeros enteros


Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

N ⊂ Z


La adicion en Z cumple una nueva propiedad (no valida en N)


Los numeros enteros


Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

N ⊂ Z


La adicion en Z cumple una nueva propiedad (no valida en N)

1 Inverso aditivo: Para cada x ∈ Z, existe un y ∈ Z tal que

x + y = y + x = 0.

El elemento y para el cual x + y = 0 se llama inverso aditivo de x.


Los numeros racionales

Los numeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros enteros.




Q =nm

n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0

o




Q =nm

n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0

o

Z ⊂ Q




Q =nm

n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0

o

Z ⊂ Q

En Q estan definidas +, · y cumplen una nueva propiedad




Q =nm

n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0

o

Z ⊂ Q


1 Invertividad: Para cada x ∈ Q, existe un unico y ∈ Q tal que

x + y = y + x = 0.




Q =nm

n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0

o

Z ⊂ Q



x + y = y + x = 0.

Si x 6= 0, existe un unico y ∈ Q tal que

x · y = y · x = 1.




Q =nm

n: m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0

o

Z ⊂ Q



x + y = y + x = 0.

Si x 6= 0, existe un unico y ∈ Q tal que

x · y = y · x = 1.

Cuando x 6= 0, el numero racional y para el cual x · y = 1, se llama elinverso mutiplicativo de x y se denota por x

−1 o por 1x.


Los numeros irracionales

Los numeros irracionales: Diversos problemas relacionados congeometrıa dieron surgimiento a nuevos numeros cuyas magnitudes soninconmensurables, i.e., no admiten representacion racional. Se denotanpor

Q∗




Q∗

Ejemplos de numeros irracionales son

−√

2,√

2,−√

3,√

3,−π, π




Q∗

Ejemplos de numeros irracionales son

−√

2,√

2,−√

3,√

3,−π, π

+, · no son operaciones en Q∗

No necesariamente la suma o la multiplicacion de dos numeros irracionaleses de nuevo un numero irracional, por ejemplo

−√

2 +√

2 = 0,√

2 ·√

2 = 2.

Pero 0, 2 no son numeros irracionales.


Los numeros reales

Los de numeros reales: La union del conjunto de los numerosracionales y el conjunto de los numeros irracionales forma el conjuntode los numeros reales, que se denota por R, o sea

R = Q ∪ Q∗.


Los numeros reales


R = Q ∪ Q∗.

Una representacion geometrica de R es la recta real


Los numeros reales


R = Q ∪ Q∗.

Una representacion geometrica de R es la recta real

R0 1−1√

2 72


Axiomas de campo

AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ R,

x = yw = z

o

=⇒ x + w = y + zx · w = y · z.


Axiomas de campo


x = yw = z

o

=⇒ x + w = y + zx · w = y · z.

AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z ∈ R,

(x + y) + z = x + (y + z);

(x · y) · z = x · (y · z).


Axiomas de campo


x = yw = z

o

=⇒ x + w = y + zx · w = y · z.


(x + y) + z = x + (y + z);

(x · y) · z = x · (y · z).

AC3 Conmutatividad: Para cada x, y ∈ R,

x + y = y + x;

x · y = y · x.


Axiomas de campo


x = yw = z

o

=⇒ x + w = y + zx · w = y · z.


(x + y) + z = x + (y + z);

(x · y) · z = x · (y · z).


x + y = y + x;

x · y = y · x.

AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x ∈ R,

x + 0 = x = 0 + x;

x · 1 = x = 1 · x.


Axiomas de campo


x = yw = z

o

=⇒ x + w = y + zx · w = y · z.


(x + y) + z = x + (y + z);

(x · y) · z = x · (y · z).


x + y = y + x;

x · y = y · x.

AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x ∈ R,

x + 0 = x = 0 + x;

x · 1 = x = 1 · x.

El real 0 es llamado modulo o elemento neutro para la adicion. Elreal 1 es llamado modulo o elemento neutro para la multiplicacion.


Axiomas de campo

AC5 Invertividad: Para cada x ∈ R, existe un unico numero real llamadoel inverso aditivo u opuesto de x y denotado por −x, tal que

x + (−x) = 0.


Axiomas de campo


x + (−x) = 0.

Para cada numero real x 6= 0, existe un unico numero real llamado elinverso multiplicativo de x y denotado por x1 o 1

x, tal que

x · x−1 = x · 1

x= 1.


Axiomas de campo


x + (−x) = 0.

Para cada numero real x 6= 0, existe un unico numero real llamado elinverso multiplicativo de x y denotado por x1 o 1

x, tal que

x · x−1 = x · 1

x= 1.

AC6 Distributiva: Para cada x, y, z ∈ R,

x · (y + z) = x · y + x · z.


Diferencia y Division

Empleando la propiedad de invertividad PC5, se definen las operaciones deresta y division de numeros reales, en efecto para cada x, y ∈ R,

x − y = x + (−y);

Si y 6= 0,x

y= x · 1

y= x · y−1.


Consecuencias de los axiomas de campo

Ley cancelativa de la adicion:




Para cada x, y, z ∈ R,

x + y = x + z =⇒ y = z.





x + y = x + z =⇒ y = z.

Demostracion:

x + y = x + z Hipotesis





x + y = x + z =⇒ y = z.

Demostracion:

x + y = x + z Hipotesis(−x) + x + y = (−x) + x + z (AC1)





x + y = x + z =⇒ y = z.

Demostracion:

x + y = x + z Hipotesis(−x) + x + y = (−x) + x + z (AC1)(−x + x) + y = (−x + x) + z (AC2)





x + y = x + z =⇒ y = z.

Demostracion:


0 + y = 0 + z (AC5)





x + y = x + z =⇒ y = z.

Demostracion:


0 + y = 0 + z (AC5)y = z (AC4)



Ley cancelativa de la multiplicacion:





(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.





(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.

Demostracion:

x 6= 0 ∧ x · y = x · z Hipotesis





(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.

Demostracion:

x 6= 0 ∧ x · y = x · z Hipotesis(x−1) · (x · y) = (x−1) · (x · z) (AC1)





(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.

Demostracion:


(x−1 · x) · y = (x−1 · x) · z (AC2)





(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.

Demostracion:


(x−1 · x) · y = (x−1 · x) · z (AC2)1 · y = 1 · z (AC5)





(x 6= 0 ∧ x · y = x · z) =⇒ y = z.

Demostracion:


(x−1 · x) · y = (x−1 · x) · z (AC2)1 · y = 1 · z (AC5)

y = z (AC4)


Mas consecuencias de los axiomas de campo

Para cada x, y ∈ R

x · 0 = 0.




x · 0 = 0.

1 6= 0.




x · 0 = 0.

1 6= 0.

x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.




x · 0 = 0.

1 6= 0.

x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.

x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.




x · 0 = 0.

1 6= 0.

x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.

x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.

−(−x) = x.




x · 0 = 0.

1 6= 0.

x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.

x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.

−(−x) = x.

x 6= 0 =⇒ (x−1)−1 = x.




x · 0 = 0.

1 6= 0.

x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.

x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.

−(−x) = x.

x 6= 0 =⇒ (x−1)−1 = x.

−(x + y) = (−x) + (−y).




x · 0 = 0.

1 6= 0.

x · y = 0 =⇒ x = 0 ∨ y = 0.

x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0.

−(−x) = x.

x 6= 0 =⇒ (x−1)−1 = x.

−(x + y) = (−x) + (−y).

x 6= 0 ∧ y 6= 0 =⇒ (x · y)−1 = x−1 · y−1.



Para cada x, y, z, w ∈ R, y 6= 0, w 6= 0

x

y+

z

w=

x · w + y · zy · w




x

y+

z

w=

x · w + y · zy · w

x

y· z

w=

x · zy · w




x

y+

z

w=

x · w + y · zy · w

x

y· z

w=

x · zy · w

−x = (−1) · x




x

y+

z

w=

x · w + y · zy · w

x

y· z

w=

x · zy · w

−x = (−1) · x

(−x) · (−y) = x · y




x

y+

z

w=

x · w + y · zy · w

x

y· z

w=

x · zy · w

−x = (−1) · x

(−x) · (−y) = x · y

−(x · y) = (−x) · y = x · (−y)




x

y+

z

w=

x · w + y · zy · w

x

y· z

w=

x · zy · w

−x = (−1) · x

(−x) · (−y) = x · y

−(x · y) = (−x) · y = x · (−y)

−x

y=

−x

y=

x

−y


Reales positivos

Axioma (PO1)

Existe un subconjunto R+ de R tal que

1 Para cada x, y ∈ R+, se tiene que

x + y ∈ R+; x · y ∈ R

+.

2 Para cada x ∈ R, se cumple una y solamente una de las siguientes

proposiciones

x ∈ R+; x = 0; −x ∈ R

+.


Reales positivos

Axioma (PO1)

Existe un subconjunto R+ de R tal que

1 Para cada x, y ∈ R+, se tiene que

x + y ∈ R+; x · y ∈ R

+.

2 Para cada x ∈ R, se cumple una y solamente una de las siguientes

proposiciones

x ∈ R+; x = 0; −x ∈ R

+.

Los elementos del conjunto R+ se llaman reales positivos. Los numerosreales diferentes del cero que no son numeros reales positivos, son llamadosreales negativos, y se denotan por R−.

R = R− ∪ R

+ ∪ {0}.


Observacion

Como consecuencia de la notacion y del axioma (PO1) se tiene


Observacion


0 /∈ R+ ∧ 0 /∈ R

− x ∈ R− ⇐⇒ −x ∈ R

+ (1)


Observacion


0 /∈ R+ ∧ 0 /∈ R

− x ∈ R− ⇐⇒ −x ∈ R

+ (1)

Reescribiendo PO1

a) La suma y producto de reales positivos es de nuevo un real positivo,

b) Todo numero real es positivo, es el cero o es negativo.


Desigualdades

Definicion (Desigualdad)

Si x, y son numeros reales. x < y se lee x es menor que y, se define como

x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+. (2)


Desigualdades



x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+. (2)

Observacion

Si en (2) x = 0, se tiene

0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+.

Luego


Desigualdades



x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+. (2)

Observacion


0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+.

LuegoR

+ = {x ∈ R : x > 0}.


Desigualdades



x < y ⇐⇒ y − x ∈ R+. (2)

Observacion


0 < y ⇐⇒ y − 0 = y ∈ R+.

LuegoR

+ = {x ∈ R : x > 0}.Analogamente si en (2) y = 0 usando (1) se tiene

R− = {x ∈ R : x < 0}.


Mas desigualdades

x > y se lee como x es mayor que y

x > y ⇔ x − y ∈ R+


Mas desigualdades


x > y ⇔ x − y ∈ R+

x ≤ y se lee como x es menor o igual que y

x ≤ y ⇔ y − x ∈ R+ ∨ x = y


Mas desigualdades


x > y ⇔ x − y ∈ R+

x ≤ y se lee como x es menor o igual que y

x ≤ y ⇔ y − x ∈ R+ ∨ x = y

x ≥ y se lee como x es mayor o igual que y

x ≥ y ⇔ x − y ∈ R+ ∨ x = y


Consecuencias de los axiomas de orden

Teorema (Ley de tricotomıa)

Si x, y ∈ R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes

afirmaciones

x < y; x = y; x > y.





afirmaciones

x < y; x = y; x > y.

Demostracion: Como consecuencia del Axioma (PO1) para el numerox − y, se tiene una de las siguientes afirmaciones





afirmaciones

x < y; x = y; x > y.


x − y ∈ R+; x − y = 0; x − y ∈ R

−;





afirmaciones

x < y; x = y; x > y.


x − y ∈ R+; x − y = 0; x − y ∈ R

−;

o de forma equivalente,





afirmaciones

x < y; x = y; x > y.


x − y ∈ R+; x − y = 0; x − y ∈ R

−;

o de forma equivalente,

x < y; x = y; x > y.



Teorema (Propiedades adicionales)

Transitividad: Para cada x, y, z ∈ R.

(x < y ∧ y < z) =⇒ x < z.





(x < y ∧ y < z) =⇒ x < z.

Monotonıa de la suma: Para cada x, y, z ∈ R.

x < y ⇐⇒ x + z < y + z.





(x < y ∧ y < z) =⇒ x < z.

Monotonıa de la suma: Para cada x, y, z ∈ R.

x < y ⇐⇒ x + z < y + z.

Monotonıa de la multiplicacion: Para cada x, y, z ∈ R.

z > 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z < y · z.

z < 0 ∧ x < y ⇐⇒ x · z > y · z.


Propiedades adicionales

Ley de los signos

Para x, y ∈ R.x < 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y > 0.

x > 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y < 0.


Propiedades adicionales

Ley de los signos

Para x, y ∈ R.x < 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y > 0.

x > 0 ∧ y < 0 =⇒ x · y < 0.

Leyes de cuadrados

Para cada x ∈ R, si se escribe x · x = x2, entonces x2 ≥ 0.

Para cada x, y ∈ R+,x < y ⇐⇒ x2 < y2.

2. axiomas de campo y de orden

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