Las estructuras pueden considerarse como una serie de elementos interconectados entre s. La forma en que stos se conectan (estructuracin) y la resistencia de cada uno de ellos determina la capacidad de la estructura de tener un buen comportamiento frente a las solicitaciones. Histricamente los sistemas estructurales han sido clasificados en 6 tipos bsicos:

Las cargas aplicadas a las estructuras producen: cambios de posicin y forma de la configuracin de la estructura; y esfuerzos internos resultantes en cada elemento debido a la distorsin de su forma original. La utilizacin de mtodos de resolucin que permiten obtener esfuerzos y desplazamientos, y el desarrollo computacional han permitido desarrollar softwares capaces de predecir el comportamiento de las estructuras frente a las solicitaciones.

I. MODELACION Y DISCRETIZACION Como una forma de representar la estructura real para su anlisis es necesario realizar una modelacin, debido a que la estructura est compuesta por varios elementos, se ha optado por analizar cada uno de ellos por separado discretizando la estructura, determinando la matriz de rigidez asociada a ese elemento.

Figura 1.1: Prtico sometido a un estado de carga

La figura 1.1 muestra un prtico sometido a un cierto estado de carga. Este prtico puede dividirse en tres elementos, cada uno de ellos est sometido a solicitaciones aplicadas en los nudos (Figura 1.2).

Figura 1.2: Despiece de un prtico

1.1. Determinacin de los grados de libertad La figura 1.3 define los distintos tipos de apoyos que pueden existir en estructuras tridimensionales.

Figura 1.3: Tipos de apoyos en estructuras 3D

Se define entonces:

Ngdl : Nmero de grados de libertad Nn : Nmero de nodos Nne : Nmero de nodos empotrados Nnr : Nmero de nodos rotulados Nnr1 : Nmero de nodos rotulados con apoyo deslizante en 1 sentido Nnr2 : Nmero de nodos rotulados con apoyo deslizante en 2 sentidos

El nmero de grados de libertad se determina como:

a) Prticos 3D : Ngdl = 6Nn 6Nne 3Nnr 2Nnr1 Nnr2 b) Reticulados 3D : Ngdl = 3Nn 3Nnr 2Nnr1 Nnr2 c) Prticos planos : Ngdl = 3Nn - 3Nne 2Nnr Nnr1 d) Reticulados Planos : Ngdl = 2Nn 2Nnr Nnr1 e) Mallas : Ngdl = 3Nn 3Nne Nnr f) Vigas : Ngdl = 2Nn 2Nne Nnr Nnr1

1.2. Matriz de rigidez del elemento 1.2.1. Elemento Viga Plano Para el elemento viga plano se define lo siguiente:

Donde: M i, j : Momento aplicado en i, j q i, j : Giro asociado al momento M i, j V i, j : Corte aplicado en i, j D i, j : Desplazamiento asociado al corte V i, j Para el clculo de la matriz del elemento viga plano se utiliza el mtodo de rigidez (desplazamientos):

Sistema r1 = 1

Como este mtodo no es estticamente indeterminado, por lo tanto debe utilizarse algn mtodo de anlisis estructural para resolverlo. Se ha optado por utilizar el mtodo de flexibilidad. Se escoge como redundante K21.

Sistema x=0

Sistema x=1

1 11 1120 0

121 1

1121 20 21

12 3 6

22 3 3

0 2

m K L K Lm dsEI EI EIm L L Lm dsEI EI EI

Kx x K

q

q

q q

= = - = - = = =

+ = = =

Luego queda:

Inicialmente se tena que el desplazamiento en el nodo del extremo izquierdo (nodo i) es 1 (Sistema r=1). Con esto se puede determinar el valor de K11 usando estructura conjugada (Punto 4.3 del libro Anlisis Estructural de Pedro Hidalgo). Esto es:

11 1110 10

20 2 3 3j

K L L K LM LEI EI

q q

= = =

11 11

10 11 11

0 2 3 6

41

jL L LM LEI EI

EIx KL

q q

q q

= = =

- = =

Finalmente,

Utilizando el mismo procedimiento para todos los grados de libertad se obtiene la matriz de rigidez del elemento que est dada por:

2 2

2 2

2 2 3 3

2 2 3 3

4 2 6 6

2 4 6 6

6 6 12 12

6 6 12 12

EI EI EI EIL L L LEI EI EI EIL L L LKEI EI EI EIL L L LEI EI EI EIL L L L

=

1.2.2. Elemento Reticulado

AE AEL LKAE AEL L

-

= -

1.2.3. Elemento Viga-Columna Plano

2 2

2 2

2 2 3 3

2 2 3 3

4 2 6 6 0 0

2 4 6 6 0 0

6 6 12 12 0 0

6 6 12 12 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

EI EI EI EIL L L LEI EI EI EIL L L LEI EI EI EI

L L L LKEI EI EI EIL L L L

AE AEL LAE AEL L

-

- - - - = - -

-

II. CONCEPTOS BASICOS 2.1. Objetivos

Los objetivos de la modelacin estructural y posterior anlisis son: a) Determinacin de los desplazamientos de todos los nudos. b) Determinacin de esfuerzos internos de los elementos en los nudos.

La determinacin de los diagramas de esfuerzos internos y de las tensiones

no se considera como parte del anlisis estructural, sino como un clculo secundario. 2.2. Condiciones que debe cumplir la solucin

a) Equilibrio de todas las solicitaciones externas y los esfuerzos internos en cada nudo.

b) Compatibilidad de las deformaciones de los elementos, de modo que calcen unas con otras en los nudos.

c) Relacin fuerza-deformacin: Para cada elemento los esfuerzos internos y las deformaciones estn relacionadas a travs de sus propiedades geomtricas y elsticas. Esta condicin liga las dos primeras.

2.3. Mtodos bsicos de anlisis

a) Mtodo de las Fuerzas. Se escogen fuerzas como incgnitas. b) Mtodo de los Desplazamientos. Se escogen desplazamientos como

incgnitas. 2.4. Notacin Se define:

R : Fuerzas externas (fuerzas y momentos) r : Desplazamientos externos (asociados a R)

Luego, el trabajo externo est dado por:

E n nn

W R r= Si se define:

Spi : Fuerzas externas (fuerzas y momentos) vpi : Desplazamientos externos (asociados a R)

con p : designa al elemento

i : designa el tipo de esfuerzo interno (corte, momento, carga axial)

Luego, el trabajo interno queda dado por:

i iI p p

p iW S v=

III. COEFICIENTES DE INFLUENCIA 3.1. Coeficientes de influencia de Fuerza - Deformacin Se tienen dos tipos: de flexibilidad y rigidez. 3.1.1. Coeficientes de influencia de flexibilidad (fij) Significan la deformacin producida en i debido a la accin de una fuerza unitaria en j (Figura 3.1).

Figura 3.1: Deformaciones producidas debido a una fuerza unitaria

As, la deformacin total en el punto 1 est dada por:

1 11 1 12 2 13 3v f S f S f S= + + En forma genrica:

{ } { }p p pv f S = donde [fp] es la matriz de flexibilidad del elemento p. Ahora, para la estructura completa:

{ } [ ] { }r F R= donde [F] es la matriz de flexibilidad de la estructura. 3.1.2. Coeficientes de influencia de rigidez (kij) Es la fuerza que es necesario aplicar en i para producir un desplazamiento unitario en j.

De esta forma, la fuerza total en el punto 1 est dada por:

{ } { }p p pS k v = donde [kp] es la matriz de rigidez del elemento p. Para toda la estructura:

{ } [ ] { }R K r= donde [K] es la matriz de rigidez de la estructura. Si ahora se construye una matriz vector que contenga todos los subvectores {vp} correspondiente a cada elemento, y se hace lo mismo con los vectores {Sp}, la relacin que las liga queda de la forma:

0 0 ... 00 0 ... 0

... 0 0 ... ...

... ... ... 0 ...0 0 ... 0

a a a

b b b

p p p

v f Sv f S

v f S

=

{ } [ ] { }\ \v f S= donde [\f\] es una matriz que posee submatrices fi slo en su diagonal. Igualmente se puede escribir:

{ } [ ] { }\ \S k v= Las relaciones entre las matrices de rigidez y flexibilidad son:

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 \ \ \ \ p pf k f k F K- - - = = =

3.2. Coeficientes de influencia de equilibrio. Matriz de transformacin de fuerzas

Si se considera un elemento particular p con sus esfuerzos Sp, se pueden relacionar estos esfuerzos con las cargas externas que actan sobre la estructura de la siguiente forma:

{ } { }p pS b R = en {R} se incluyen todas las cargas externas que actan en la estructura, en {S} se incluyen solamente los esfuerzos internos que actan sobre el elemento p. Si se incluyen los esfuerzos internos actuando sobre todos los elementos se tiene:

{ } [ ] { }S b R= donde [b] es la matriz de transformacin de fuerzas Inversamente se tiene:

{ } [ ] { }R g S= 3.3. Coeficientes de influencia de compatibilidad. Matriz de transformacin

de desplazamientos En este caso se relacionan los desplazamientos en lugar de las fuerzas. Para un elemento p se tiene:

{ } { }p pv a r = donde {vp} : Desplazamientos del elemento p {r} : Desplazamientos de los nudos de la estructura Si expresamos los desplazamientos de todos los elementos en funcin de los desplazamientos de los nudos de la estructura tendremos.

{ } [ ] { }v a r= donde [a] es la matriz de transformacin de desplazamientos.

Inversamente se tiene:

{ } [ ] { }r h v=

IV. METODOS DEL ANALISIS ESTRUCTURAL 4.1. Mtodo de las fuerzas (mtodo de flexibilidad) En este mtodo se escogen las fuerzas {R} como incgnitas. A continuacin, se expresan los desplazamientos de los nudos de la estructura {r} en funcin de las fuerzas {R}. Imponiendo condiciones a estos desplazamientos se determinan las incgnitas {R}. Se comienza entonces con la relacin para los elementos.

{ } [ ] { }\ \v f S= Se usan las transformaciones (anlisis para las fuerzas en los elementos).

{ } [ ] { }{ } [ ] { }S b R

r h v

=

=

Reemplazando,

{ } [ ] [ ] [ ] { }\ \r h f b R= (Anlisis para los desplazamientos) donde: [h] : Representa las propiedades cinemticas de la estructura [\f\] : Representa las propiedades de los elementos [b] : Representa las condiciones de equilibrio Se define entonces:

{ } [ ] [ ] [ ]\ \F h f b (Matriz de flexibilidad) Luego, las incgnitas {R} estn dadas por:

{ } [ ] { }1R F r-=

4.2. Mtodo de los desplazamientos (mtodo de rigidez) En este caso se seleccionan desplazamientos {r} como incgnitas y se expresan en trminos de las fuerzas conocidas {R} para resolver el problema. Las etapas son ahora:

{ } [ ] { }\ \S k v= Se usan las transformaciones:

{ } [ ] { }{ } [ ] { }v a r

R g S

=

=

Reemplazando,

{ } [ ] [ ] [ ] { }\ \R g k a r= donde: [g] : Representa las condiciones de equilibrio [\k\] : Representa las propiedades de los elementos [a] : Representa las propiedades cinemticas de la estructura Se define entonces:

{ } [ ] [ ] [ ]\ \K g k a (Matriz rigidez) Luego, las incgnitas {r} estn dadas por:

{ } [ ] { }1r K R-= (Anlisis para los desplazamientos) La solucin para los esfuerzos internos en cada uno de los elementos es:

{ } [ ] [ ] { }\ \S k a r= (Anlisis para los esfuerzos internos) 4.3. Principio de los trabajos virtuales Cualquiera de los mtodos expuestos anteriormente, necesitan satisfacer tres condiciones: equilibrio, geometra y las propiedades geomtricas y elsticas de los elementos.

Si se usa el principio de los trabajos virtuales slo se necesita imponer dos de estas tres condiciones en cada mtodo. Para poder utilizar el principio de los trabajos virtuales se debe tener presente que:

a) Se tiene una estructura en que los esfuerzos internos estn en equilibrio con las fuerzas externas.

b) Los nudos de esta estructura sufren desplazamientos compatibles con las deformaciones de los elementos.

c) El trabajo realizado por las fuerzas externas es igual al realizado por los esfuerzos internos.

Se tiene entonces (Se han supuesto p elementos en la estructura):

{ } { }

{ } { } { } { }

TE n n

n

T Ti iI p p p p

p i p

W R r R r

W S v S v S v

= =

= = =

Luego, se puede escribir WE = WI como:

{ } { } { } { }T TR r S v = Donde {R} con {S} estn en equilibrio y {r} con {v} son compatibles. Se puede ver cmo se modifican los mtodos vistos anteriormente al utilizar el principio de los trabajos virtuales. 4.3.1. Mtodo de flexibilidad Ahora no se utiliza la ecuacin {r} = [h]*{v}, esto es, no se utilizan las propiedades cinemticas de la estructura. En este caso se utiliza el principio de las fuerzas virtuales. Se toma un conjunto de fuerzas virtuales, { }R y { }S , externas e internas respectivamente, en equilibrio; y el conjunto de desplazamientos reales {r} y {v} de la estructura.

Luego,

{ } { } { } { }T TR r S v = Las fuerzas en equilibrio estn relacionadas a travs de la matriz de fuerzas de la siguiente forma:

{ } [ ] { }S b R= Luego,

{ } { } { } [ ] { }T T TR r R b v = Se supone que el conjunto { }R est dado por Rn=1 y todas las otras fuerzas iguales a cero. Luego, la ecuacin anterior se reduce a:

[ ] { } { } [ ] { }1

21 2

0 00 0

... ...... ...

1 1

T T

T Tn n n

n

rr

b b b v r b v

r

= =

Haciendo lo mismo para todos los componentes de desplazamiento se obtiene:

{ } [ ] { }Tr b v= Si se compara esta ecuacin con {r} = [h]*{v} se obtiene:

{ } [ ]Th b= Luego, la matriz de flexibilidad es:

[ ] [ ] [ ] [ ]\ \TF b f b= Se ha excluido la condicin cinemtica del clculo de [F].

4.3.2. Mtodo de rigidez Ahora no se utiliza la matriz [g] que da la condicin de equilibrio.

{ } [ ] { }R g S= Se considera un conjunto de desplazamientos virtuales compatibles, { }r y { }v ; y el conjunto de fuerzas {R} y {S} reales de la estructura. Usando el principio de los trabajos virtuales se tiene:

{ } { } { } { }T Tr R v S = Los desplazamientos virtuales estn relacionados a travs de la condicin cinemtica:

{ } [ ] { }v a r= Luego,

{ } { } { } [ ] { }T T Tr R r a S = Procediendo en forma anloga al caso anterior, se tiene:

{ } [ ] { }TR a S= Comparando con {R}=[g]*{S} se obtiene:

[ ] [ ]Tg a= Entonces la matriz de rigidez queda definida por:

[ ] [ ] [ ] [ ]\ \TK a k a= Se ha excluido la condicin de equilibrio del clculo de [K].

4.4. Resumen 4.4.1. Coeficientes de Influencia 1. Fuerza - Deformacin

{ } { }p p pv f S = { } [ ] { }\ \v f S=

{ } { }p p pS k v = { } [ ] { }\ \S k v= 2. Equilibrio: Matriz de transformacin de fuerzas

{ } { }p pS b R = { } [ ] { }S b R=

{ } [ ] { }R g S= 3. Compatibilidad: Matriz de transformacin de desplazamientos

{ } { }p pv a r = { } [ ] { }v a r=

{ } [ ] { }r h v= 4.4.2. Mtodos de anlisis 1. Flexibilidad

{ } [ ] [ ] [ ] { }\ \r h f b R= [ ] [ ]Th b=

[ ] [ ] [ ] [ ]\ \F h f b= [ ] [ ] [ ] [ ]\ \TF b f b=

2. Rigidez

{ } [ ] [ ] [ ] { }\ \R g k a r= [ ] [ ]Tg a=

[ ] [ ] [ ] [ ]\ \K g k a= [ ] [ ] [ ] [ ]\ \TK a k a= Ejemplo 4.1: Dada la estructura de la figura, determine los desplazamientos asociados a todos los grados de libertad. Considere solamente deformaciones por flexin.

Solucin: Para resolver este problema se puede utilizar el siguiente elemento:

Este elemento tiene las siguientes matrices de rigidez y flexibilidad respectivamente:

2 121 2

i i

j j

S vEIS vL

=

(Rigidez)

2 11 26

i i

j j

v SLv SEI

- = -

(Flexibilidad)

Las propiedades de los elementos se indican en la matriz [\f\].

[ ] ( )

( )

2 10 0

1 262 1

\ \ 0 01 26 2.5

2 1/ 20 01 26 2.5

10 50 0

5 104 2

0 02 430

2 10 0

1 2

LEIo

LfE Io

LE Io

LEIo

- -

- = -

- - -

- -

= - -

-

A continuacin se construye la matriz de transformacin de fuerzas.

{ } [ ] { }12

0 01 1

1 1

0 0.50 0.50 0

ai

aj

bi

bj

ci

cj

SSS R

L S b RS RSS

- - = = -

Luego, la matriz de flexibilidad queda definida como:

[ ] [ ] [ ] [ ]3 14 15

\ \15 17.530

T LF b f bEIo

= =

Los desplazamientos son:

31 1

2 2

14 1515 17.530

r RLr REIo

=

con

1

2

54

RR

= -

Reemplazando,

31

2

10530

r Lr EIo

=

V. ANALISIS DE ESTRUCTURAS INDETERMINADAS 5.1. Mtodo de flexibilidad En el ejemplo anterior se tena:

[ ] [ ] [ ] [ ]3 28 30

\ \30 3560

T LF b f bEIo

= =

Los desplazamientos estaban dadas por:

1 1

2 2

28 3030 35

r RD

r R

=

con

3

60LDEIo

=

Para cualquier desplazamiento en particular, por ejemplo r2 se tiene:

( )2 1 230 35r D R R= + Luego, se puede escoger R1 y R2 de modo de hacer r2 tan pequeo como se quiera. Esta es la clave para resolver estructuras indeterminadas.

Figura 5.1: Estructura Indeterminada

Si se toma la reaccin en el apoyo derecho como fuerza redundante, el paso para resolver el problema es calcular dicha redundante para que su desplazamiento correspondiente sea cero (r2=0), esto es:

( )2 1

1

30 35 030

35

r D R X

X R

= + =

- =

Ahora es posible expresar el desplazamiento r1 en funcin de la fuerza aplicada R1.

( )1 1 1 13028 30 28 30 2.335

r D R X D R D R = + = - =

La cantidad F=2.3D representa la flexibilidad total de la estructura para las cargas aplicadas, puesto que ahora slo se tiene un grado de libertad de desplazamiento que interesa. Los esfuerzos internos estn dados por:

{ } [ ] 1 1

0 01 1

1 10 0.50 0.50 0

R X

R RS b b L

X X

- -

= = -

Sustituyendo el valor de X = -30*R1/35.

{ } [ ]1 1 1

0 0 01 1 1

11 1 1300 0.5 37

350 0.5 30 0 0

LS L R R b R

- - - = = = - - -

La matriz [b] es la matriz de transformacin de fuerzas pura. Relaciona los esfuerzos internos con las cargas aplicadas. Esta matriz satisface las condiciones de compatibilidad.

5.1.1. Resumen del mtodo de flexibilidad para estructuras hiperestticas 1. Se elije una estructura primaria

Se conocen entonces las fuerzas externas {R} y las redundantes {X}. 2. Anlisis de transformacin de fuerzas El sistema fundamental se somete sucesivamente a cada una de las fuerzas externas R iguales a 1, y a cada una de las redundantes X iguales a 1. Se obtienen respectivamente las matrices b0 y b1 de modo que:

{ } [ ] { }0S b R= { } [ ] { }1S b X= Esto se hace para dejar claro que los esfuerzos internos se deben a dos clases de fuerzas: las cargas externas conocidas y las redundantes desconocidas. Luego se puede escribir:

{ } [ ]0 1R

S b bX

=

b0 est relacionado con las cargas externas que actan sobre la estructura y b1 est relacionado con las redundantes. 3. Anlisis para los desplazamientos Los desplazamientos correspondientes a las cargas externas y a las redundantes se pueden escribir como:

00 01

10 11x

r D D Rr D D X

=

Siendo:

[ ] [ ][ ] [ ]

00 0 0 01 0 1

10 1 0 11 1 1

\ \ ; \ \

\ \ ; \ \

T T

T T

D b f b D b f b

D b f b D b f b

= =

= =

4. Condicin de compatibilidad Ahora se impone la condicin rx = 0.

[ ] { } [ ] { }10 110xr D R D X= = + Luego, el valor de las fuerzas redundantes es:

{ } [ ] [ ] { }111 10X D D R-= -

Ahora, los esfuerzos internos en los elementos de la estructura son:

{ } [ ] { } [ ] { } [ ] [ ] [ ] [ ] { } [ ] { }10 1 0 1 11 10S b R b X b b D D R b R- = + = - =

La matriz [b] es la matriz de transformacin de fuerzas pura, para la estructura hiperesttica. Los desplazamientos de los nudos de la estructura quedan dados por:

{ } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { }{ } [ ] [ ] { } [ ] { } [ ] { }{ } [ ] [ ] { } [ ] { }

0 0 0 1

0 0 1 0

0

[\ \] [\ \]

[\ \] [\ \]

[\ \]

T T

T T

T

r b f b R b f b X

r b f b R b X b f S

r b f b R F R

= +

= + =

= =

Luego, [F] es por definicin la matriz de flexibilidad pura de la estructura hiperesttica. La matriz de flexibilidad tambin se puede calcular de:

{ } [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ] [ ]

10 0 0 1 11 10

100 01 11 10

[\ \] [\ \]T TF b f b b f b D D

F D D D D

-

-

= -

= -

Resumiendo, las etapas fundamentales del mtodo de las fuerzas son:

a) Se escoge la estructura primaria y los sistemas redundantes. b) Se calculan: [\f\]; [b0]; [b1]. c) Se calculan: [D00]; [D01]; [D10]; [D11].

d) Se calculan: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

10 1 11 10

0 [\ \]T

b b b D D

F b f b

-= -

=

e) Se determinan los esfuerzos internos y los desplazamientos externos.

{ } [ ] { }S b R= { } [ ] { }r F R= Slo se obtienen {r} asociados a {R}. 5.2. Mtodo de los desplazamientos La figura 5.2 muestra una estructura tres veces estticamente indeterminada. Esta estructura tiene tres grados de libertad de desplazamiento (se suponen solamente deformaciones por flexin).

Figura 5.2: Estructura tres veces hiperesttica

Se utilizar la siguiente convencin para cada elemento individual:

2 121 2p

EIkL

=

Una vez considerados los desplazamientos externos de la estructura se debe determinar la matriz de transformacin de desplazamientos. La matriz de rigidez de los elementos queda como:

[ ]

2 121 2

2 12\ \1 2

2 121 2

a

a

b

b

b

b

EIL

EIkL

EIL

=

Para determinar la matriz de desplazamientos se debe considerar cada sistema con ri = 1 aplicada y ver cules son los desplazamientos internos correspondientes.

Figura 5.3: Sistema ri = 1

Los desplazamientos internos quedan dados por:

{ } [ ] { }1

2

3

1/ 0 01/ 1 00 1 0

0 0 1

1/ 0 11/ 0 0

ai a

aj a

bi

bj

ci c

cj c

v Lv L

rv

r v a rv

rv Lv L

- - = =

-

-

Puede verse que ahora se consideran todos los desplazamientos externos permitidos por los grados de libertad de desplazamiento. En el mtodo de las fuerzas slo se consideran los desplazamientos {r} correspondientes a las fuerzas {R}.

Luego, la matriz de rigidez de la estructura es:

[ ] [ ] [ ] [ ]\ \TK a k a= Los desplazamientos externos desconocidos estn dados por:

{ } [ ] { }1r K R-= Los esfuerzos internos en cada uno de los elementos se determinan de la siguiente forma:

{ } [ ] [ ] { }\ \S k a r= Suponiendo los siguientes valores:

6 2

1

2

3

1.333 10 ton cm500 cm400 cm300 cm

1 ton300 ton cm500 ton cm

a b c

a

b

c

EI EI EILLLRRR

= = =

==== -= =

Reemplazando,

[ ] [ ] [ ] [ ]0.34 32 53.33

\ \ 32 24000 6666.753.33 6666.7 31111

TK a k a- -

= = - -

{ } [ ] { }16.4289

0.0121790.029702

r K R--

= = -

{ } [ ] [ ] { }

270.68335.6335.631

\ \314.84185.16

78.855

S k a r

-

= = - -

En este caso no hay problemas en escoger la estructura primaria ni los sistemas redundantes. Simplemente se incluyen todos los grados de libertad de desplazamientos como incgnitas. El clculo de la matriz de rigidez es anlogo al clculo de la matriz de flexibilidad.

[ ] [ ] [ ] [ ]\ \TF b f b= [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]\ \ \ \T TK F a k a b f b I = =

Puesto que:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]\ \ \ \T Ta b a b k f I = = = Esto es vlido siempre que las matrices [F] y [K] relacionen los mismos {R} y {r}. A travs de lo que se ha visto del mtodo de los desplazamientos, se puede decir que la analoga con el mtodo de las fuerzas no es completa. La solucin se obtiene directamente, no ha sido necesario plantear ninguna condicin, es decir, no se ve, en este caso, claramente expresado, cul es la condicin de compatibilidad en el mtodo de las fuerzas. La condicin existe, lo que sucede es que no se ha expresado en forma explcita. Se debe suponer que, en general, existen dos tipos de desplazamientos en una estructura:

a) Desplazamientos independientes y conocidos {rx}, los cuales son correspondientes con las fuerzas desconocidas {X} de la estructura.

b) Desplazamientos desconocidos {r} que dependen de las condiciones que se impongan a la estructura. Estos desplazamientos son correspondientes con las fuerzas conocidas {R}.

En tales condiciones, los desplazamientos internos de los elementos de la estructura son:

{ } [ ]0 1 xr

v a ar

=

Y la relacin de rigidez general es:

[ ] [ ] [ ]0 0 11

\ \T

x xT

X r raK k a a

R r ra

= =

O bien,

00 01

10 11

xC CX rC CR r

=

Donde:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

00 0 0

01 0 1

10 1 0

11 1 1

\ \

\ \

\ \

\ \

T

T

T

T

C a k a

C a k a

C a k a

C a k a

=

=

=

=

La condicin anloga a la condicin de compatibilidad para el mtodo de las fuerzas es, entonces:

{ }{ } [ ] [ ] { }111 10

0

x

R

r C C r-=

= -

Los desplazamientos desconocidos {r} dependen de los desplazamientos conocidos {rx}, tal como anteriormente las fuerzas desconocidas {X} dependan de las fuerzas conocidas {R}. Cuando se tiene el caso de desplazamientos desconocidos que dependen de ciertas condiciones se tiene un sistema cinemticamente indeterminado.

Por otra parte, cuando se tiene el caso de fuerzas desconocidas que dependen de ciertas condiciones se tiene un sistema estticamente indeterminado. A continuacin se muestra un resumen de los mtodos de flexibilidad y rigidez.

Mtodo de flexibilidad Mtodo de rigidez

1) Calcular [ ]\ \f 1) Calcular [ ]\ \k 2) { } [ ] { } [ ] { }0 1S b R b X= + Calcular [b0] y [b1]

2) { } [ ] { } [ ] { }0 1xv a r a r= + Calcular [a0] y [a1]

3) 00 01

10 11x

r D D Rr D D X

=

Calcular [ ] [ ]\ \Tij i jD b f b =

3) 00 01

10 11

xC CX rC CR r

=

Calcular [ ] [ ]\ \Tij i jC a k a =

4)

{ } [ ] { } [ ] { }{ } [ ] { } [ ] { }( )

10 11

111 10

x

x

r D R D X

X D r D R-= +

= - 4)

{ } [ ] { } [ ] { }{ } [ ] { } [ ] { }( )

10 11

111 10

x

x

R C r C r

r C R C r-= +

= -

5) { } [ ] { } [ ] { }00 01r D R D X= + 5) { } [ ] { } [ ] { }00 01xX C r C r= + 6) { } [ ] { } [ ] { }0 1S b R b X= + 6) { } [ ] { } [ ] { }0 1xv a r a r= + 7) { } [ ] { }\ \v f S= 7) { } [ ] { }\ \S k v= Ejemplo 5.1: Dada la estructura de la figura, determine el diagrama de momentos cuando es sometida a las solicitaciones indicadas y cuando uno de los apoyos se asienta 10 cm. Todos los elementos tienen: EI = 2*106 t-cm2, L = 300 cm.

Solucin: Primero, es necesario definir la convencin que se va a utilizar. Esta es:

2 2

2 2

3 3

3

4 2 6 6

4 6 6

12 12

12

EI EI EI EIL L L L

EI EI EIL L Lk

EI EIL L

EIsimL

=

Primero se determina la matriz [\k\]:

[ ]\ \a

b

c

kk k

k

=

Se determinan las matrices [a0] y [a1] dadas por:

{ } [ ] { } [ ] { }0 1xv a r a r= +

{ } { } [ ] { } [ ] { }1

2 0 1

3

0 0 0 00 0 1 00 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 00 1 0 00 0 0 0

x x

rv r r a r a r

r

-

= + = +

-

Luego, debe determinarse:

00 01

10 11

xC CX rC CR r

=

[ ] [ ]\ \Tij i jC a k a = Reemplazando,

[ ]00

01 10

11

0.8889

0 133.33 133.33

1.7778 133.33 133.33133.33 53333 13333133.33 13333 53333

T

CC C

C

=

= =

- - = - -

Los desplazamientos en los nudos se determinan de la siguiente forma:

{ } [ ] { } [ ] { }( )111 101.07140.0170.0196

xr C R C r-

- = - = - -

Ahora, los valores de las reacciones {X} relacionadas con los valores {rx}:

{ } [ ] [ ] [ ] [ ]( ) { } [ ] [ ]( ) { }1 100 01 11 10 01 11 3.9841 tonxX C C C C r C C R- -= - + = Los desplazamientos en los elementos son:

{ } [ ] { } [ ] { }0 1

00.017

01.0714

0.0170.019100

0.0190

1.07140

xv a r a r

- -

- = + =

-

Los esfuerzos internos en los elementos son:

{ } [ ] { }

85.714314.291.3331.333

614.29580.95

\ \3.98413.9841380.95119.051.66671.6667

S k v

- - - - = =

- -

- -

Luego, se tiene

Finalmente el diagrama de momentos es: