1. Calcula:

1log)49log)3log)1log)

3

7

3

2

dcba

ahgfe

a

a

log)1log)16log)

5log)

4

5

1loglog)

0log1log)

216log)15log)01log)

27log49log)

13log3log)

02log1log)

1

04

5

3

277

133

022

==

==

===

==

==

==

aah

ag

fedc

b

aSOLUCIÓN

aa

aa

2. Calcula los siguientes logaritmos:

2

39

33

52

2

8

4

2

8

4

2

2

1ln)

81log)

81log)

2log)1000

1log)

5121log)

5121log)

161log)

161log)

64log)64log)64log)8log)

em

l

k

j

i

h

g

f

e

dcba

32

53

115

42

52

7

5

3

2

3

3

5

3 4

1281log)

81log)

5log)

64log)

8log)

491log)

1251log)

2431log)

)32(log)81log)

)27(log)ln)

1ln)

−

−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

z

y

x

w

v

u

t

s

rqp

eo

en

2ln1ln)

329log81log81log)

343log81log81log)

512log2log)

310log1000

1log)

92log5121log)

38log5121log)

24log161log)

42log161log)

28log64log)

34log64log)

62log64log)

32log8log)

22

32

93

1

93

9

34

33

1

33

3

51

25

2

3

922

388

244

422

288

344

622

322

−==

===

===

==

−==

−==

−==

−==

−==

==

==

==

==

−

−

−

−

−

−

ee

m

l

k

j

i

h

g

f

e

d

c

b

aSOLUCIÓN

4664log)

538log)

2491log)

3125

1log)

52431log)

5)32(log)4)3(log81log)

3)3(log)27(log)25ln)

34ln1ln)

42

52

7

5

3

2

433

333

5

34

3 4

=

=−

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=−

=−=−=

=−=−

−=

−=

−

−

−

−

−

−

−−

−−

−

−

w

v

u

t

s

rq

p

eo

ee

n

37

1281log)

5481log)

1115log)

32

53

115

−=

−

=

=−

−

−

−

z

y

x

3. Calcula los siguientes logaritmos:

77

77/1

52/3

35/1

5/1

3/1

3/1

2/1

2/1

2

2

49log)

49log)49log)

5log)125

1log)

243log)811log)

8log)81log)

81log)

8log)

k

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

23log)

27125log)

34log)

278log)

100log)101log)

10log)10001log)

23

53

34

3

23

510

10

5

101

101

s

r

q

p

o

n

m

l

123log)

23

27125log)

31

34log)

3278log)

52100log)

21

101log)

110log)23

10001log)

7249log)

7249log)

52

49log)

315log)

23

1251log)

531log243log)

431log

811log)

321log8log)

321log

81log)

32log81log)

32log8log)

23

53

34

3

23

510

10

101

101

77

77/1

52/3

35/1

5/1

5

3/13/1

4

3/13/1

3

2/12/1

3

2/12/1

322

322

=

−=

−=

−=

=

−=

−=

=

=

−=

=

−=

=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−==

==

−

−

−

s

r

q

p

o

n

m

l

k

j

i

h

g

f

e

d

c

b

aSOLUCIÓN

4. Halla el valor de x en las siguientes expresiones:

5321log)

31log)

6log)

2log)264log)

1log)5log)3125log)

81

2

32

3

2

=

=

=

==

=−==

x

x

x

h

xg

xf

xed

xcxb

a

94)

8)0)

3212)

5)

5

=

==

==

=

−

xe

xdxc

xb

xaSOLUCIÓN

21)

21

81)

8)2()

3

6

=

==

==

xh

xg

xf

5. Calcula los siguientes logaritmos:

279log)

125log)

328log)

ln)

ln)

1010log)

3

3

75

2

3

2

f

e

d

eec

eeb

a

52

3

5

3/1

42/1

24log)

525log)

273log)

3232log)

−

−

−

−

j

i

h

g

59)2(log

)2(

)2(log2

4log)

31)5(log

)5()5(log

525log)

21

3

3log273log)

45

21log2log

2

2log3232log)

6163log

33log

279log)

1435log5log125log)

272log

22log

328log)

61lnlnlnln)

23lnlnln)

2110log

10

10log10

10log)

59

25

1

2

252

31

51

32

5

3

5

233/13/1

45

21

45

21

45

25

2142/1

362

33

62

3

3

3

21·

73

5

21

73

57

5

523

25

23

22

61

21

31

21

313

23

21

22

21

21

=−=−

−=

−

−=−=

−−

=−

−==

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

−===

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−===

−====

===

===

−−−

−

−−−

−

−

−

−−

j

i

h

g

f

e

d

eee

eeec

ee

eeeb

a

SOLUCIÓN

6. Calcula los siguientes logaritmos:

75

5

53

2

125log)

1ln)

811log)

161log)

−−de

c

b

a

7

53

2

1ln)

271log)

321log)

ej

i

h

3

3/1

2/1

10010log)

27log)41log)

g

f

e

1000100log)

27log)641log)

3/1

2/1

m

l

k

73125log)

251ln)

54

811log)

4161log)

75

5

53

2

=−

−=

−=

−=

−d

ec

b

a

SOLUCIÓN

3110log

10010log)

2327log)

241log)

321

3

3/1

2/1

==

−=

=

−g

f

e

271ln)

53

271log)

5321log)

7

53

2

−=

−=

−=

ej

i

h

2110log

1000100log)

327log)

6641log)

232

3/1

2/1

==

−=

=

−m

l

k

7. Utiliza las propiedades de los logaritmos para expresar las siguientes sumas y restas de logaritmos como un único logaritmo:

wzyxe

wzyxd

zyxc

zyxb

zyxa

ln3ln)ln(ln32)

)lnln2()ln3(ln21)

ln5ln53ln3)

log32ln

21ln2)

log3log2log)

−−+

+−+

−+

++

++

)log212(log1)

log311log3)

)2(log21log)

)log(log31log3log)

ln53ln

52ln

51ln3)

77

55

33

2222

yxj

yxi

yxh

bayxg

wzyxf

+−+

−−

+⋅−+

+−+

−−−

yxyxj

yxyxi

yxyxyxh

abxybayxg

wyzxwyzxwzyxf

zwyx

zwyxwzyxe

wzyx

wzyxwzyxd

zyx

zyxzyxc

zyxzyxzyxb

zxyzyxzyxaSOLUCIÓN

·497log)log

212(log1)

·5loglog

311log3)

)9(3log)9log(log23loglog)2(log21log)

log)log(log31log3log)

lnlnlnln53ln

52ln

51ln3)

ln)ln(lnln3ln)ln(ln32)

··

ln)·ln(·ln)lnln2()ln3(ln21)

·lnln)·ln(ln5ln

53ln3)

)··ln(lnlnlnln32ln

21ln2)

)log(loglogloglog3log2log)

777

3

3

555

23333333

3

3

22222

5 32

35 323

3

3 2233 22

2

323

5

5 3355 33

3 223 22

3232

=+−+

=−−

=+−+=+⋅−+

=+−+

=−=−−−

=−=−−+

=−=+−+

=−=−+

=++=++

=++=++

8. Utiliza las propiedades de los logaritmos para expresar cada uno de los siguientes logaritmos como sumas y restas de logaritmos:

3

3

2

3

3

7

5 2

52

3

3

2log)

log)

ln)

ln)

log)

yzxe

zwyxd

cbac

dcbab

caba

3 53

2

35

323

log)

log)

1log)

9log)

zyi

yxh

xyzg

yxf

zyzyi

yxyxh

zyxxyz

g

yxyx

f

zyxyzxe

wzyxzwyxd

cbacbac

dcbadcbab

cbacabcaba

SOLUCIÓN

333 5

3

222

55535

33323

2223

3

2

3

3

7

5 2

52

3

3

log65log

31log)

log41log

21log)

)loglog(log311log)

log31log229log)

log23log

21log312log)

log31log

31log3log

21log)

ln7)lnln2(51ln)

)ln5ln2()lnln3(21ln)

log3log21log

21log3loglog)

+=

+=

++−=

−−=

−−+=

−−+=

−+=

+−+=

−+=−=

9. Sabiendo que log 2 = 0,301 y que log 3 = 0,477 utiliza las propiedades de los logaritmos para calcular los siguientes logaritmos:

200log)60log)36log)18log)12log)6log)30log)81log)8log)4log)

jihgfedcba

04,0log)8,0log)

125log)25log)

15log)50log)5log)

3,0log)25,0log)5,0log)

srqpoñnmlk

2301,02100

4log04,0log)

1301,03108log8,0log)

)301,01(3125log))301,01(225log)

301,0477,012

30log15log)

301,022

100log50log)

301,012

10log5log)

1477,0103log3,0log)

301,022log41log25,0log)

301,02log21log5,0log)

301,02200log)477,0301,0160log)

477,02301,0236log)477,02301,018log)477,0301,0212log)

477,0301,032log6log)477,01103log30log)

477,0481log)301,038log)

301,022log22log4log)

2

1

2

−⋅==

−⋅==

−⋅=−⋅=

−+==

−==

−==

−==

⋅−===

−===

+=++=

⋅+⋅=⋅+=+⋅=

+=⋅=+=⋅=

⋅=⋅=

⋅===

−

−

s

r

qp

o

ñ

n

m

l

k

jihgfedcbaSOLUCIÓN

10. Expresa en función de log 7:

07,0·24017·343log)

4970·)0343,0(log)

3

3

2

b

a

27log6727log7log

347log

217log3

1007log7log

317log

217log)

77log3

197log3217log87log67log

31107log

107log2)

43

24

3

+=+−−+=−−+

−=−++−=−⋅+

b

a

SOLUCIÓN

11. Calcula el valor de los siguientes logaritmos utilizando la calculadora:

239log)75,1log)

17log)213log)5log)

3,1

4

2

7

3

edcba

874,20239log)404,075,1log)

087,417log)

755,27ln

213ln7log

213log213log)

465,13ln5ln

3log5log5log)

3,1

4

2

7

3

==

=

===

===

edc

b

a

SOLUCIÓN

12. ¿Verdadero o falso?

121loglog49log)3·log201,0log)

2log3002,0log)logloglog)

loglog21log)

log2100log))log()log(2)

)log()log()log()

1177

3

22

22

22

+=−=

+−=

+=+

=

=+=+

−=−++

xxhgf

yxyxe

yxxyd

xxcnmnmb

nmnmnma

SOLUCIÓN a) Verdadero: )log())(log()log()log( 22 nmnmnmnmnm −=−+=−++

b) Falso: )2log()log()log(2 222

nmnmnmnm +++=+=+ c) Falso: xx log2100log +=

d) Falso: )log(log21log yxxy +=

e) Falso: 22log)log2log2(21loglog yxyxyx =+=+

f) Verdadero: 32log10log2log102log002,0log 33 −=+=⋅= −− g) Verdadero: 3log2201,0log 3⋅−=−= h) Verdadero: xxx 71177 log121loglog249log +=+=

13. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. Comprueba si las soluciones obtenidas son correctas.

2)65(log21)

1)1log(21)

5log)5log(21)1log()

)1log()13log()1log()42log()1)4,2log(log2)

1)5(log)75(log))7(log1)53(log)

3log2)23(log)53(log))25log()1log(2)

3

2

22

55

333

=+

=−

−=+−−

+−−=−−−

=+−=+−+

−=+−=−++

−=−

xi

xh

xxxg

xxxxfxxe

xxdxxc

xxxbxxa

( )

;2;12

;02410;104,2

)

1;10275;2575)

)(1418;7)53(5)

910

;91099;)3(log)23)(53(log)

)(22;4;2521);25log(1log)

21

22

22233

21

222

−==

=−−=+

=+=+=++

=−=−

=

=−+=−+

=−==−=+−−=−

xx

xxxxe

xxxxxd

válidaesnoxxxc

x

xxxxxxb

válidaesnoxyxxxxxxxa

SOLUCIÓN

15;8165;965)

101;1001;101)

)(3;4;012;02422

;2512;251;55

1)

;31;

31

;14342);1)(13(42;113

142)

2122

222

21

22

==+=+

==−=−

−===−−=−−

−=+−−=−−=+−

=−=

+−=−−−=−+−

=−

−

xxxi

xxxh

válidaesnoxxxxxx

xxxxxxx

xg

válidaessoluciónNingunaxx

xxxxxxxx

xxf

14. El nivel de intensidad, D, de un sonido de intensidad, I, viene expresado por:

0

log10IID ⋅=

donde D es el nivel de intensidad en decibelios e I es la intensidad en watios/m2. La intensidad del sonido más débil perceptible por el oído humano en determinadas condiciones es I0= 10-12. a) Calcula el nivel de intensidad para las siguientes intensidades: Conversación normal 3,4 · 10-6 Sonido trompeta 2 · 10-3 Coche fórmula uno: 7 · 102 b) Calcula la intensidad de los siguientes niveles de intensidad en decibelios: Grito humano: 80 Interior de una discoteca: 115 Motocicleta: 90 SOLUCIÓN.- A) Conversación normal:

12

6

10104,3log10 −

−⋅=D = 65,31 decibelios

Sonido trompeta: 93,01 decibelios Coche fórmula uno: 148,45 decibelios B) Grito humano:

12812

81212 1010;

1010;

10log8;

10log1080 −

−−− ⋅==== IIII = 10-4 watios/ m2

Interior de una discoteca: 3,17·10-1 watios/ m2 Motocicleta: 10-3 watios/ m2

15. La intensidad de los terremotos se expresa en la Escala de Richter. Esta es una escala logarítmica en base 10. Un terremoto de grado 2 es 10 veces más intenso que uno de grado 1. El terremoto de San Francisco de 1906 fue el primer gran terremoto del que se obtuvieron datos y su magnitud fue de 8,2. En 1992 se produjo un terremoto en la costa colombiana de una intensidad de 6,6. ¿Cuántas veces fue mayor la potencia del primero que la del segundo? Todos los terremotos son comparados con el denominado nivel cero del terremoto, cuya lectura del sismógrafo mide 0,001 mm a una distancia de 100 km del epicentro. Un terremoto cuya lectura del sismógrafo mide x milímetros tiene una magnitud

001,0log xM =

La intensidad de un terremoto es 001,0xI = .

¿Cuál es la intensidad y la magnitud de un terremoto cuya lectura en el sismógrafo es de 0,1 mm? SOLUCIÓN.- 39,81 veces mayor. I = 100, M = 2. 16. El valor de un libro se duplica cada 10 años. El libro fue valorado originariamente en 1,5 €. ¿Cuál es la expresión que representa el valor del libro en función del tiempo? ¿Cuál es la expresión que representa el tiempo trascurrido desde la primera edición del libro en función de su valor?

5,1log10)(

25,1)(

2

1,0

xxt

tfSOLUCIÓN

t

⋅=

⋅=

17. El proceso de aprendizaje de una determinada actividad viene dada por la función: )1(75)( 3,0 tetf −−⋅= siendo t el tiempo en días y f(t) un valor en cierta escala. ¿Qué puntuación alcanzará una persona que dedica 20 días al aprendizaje de esta actividad? ¿Cuántos días de estudio serán necesarios para obtener una puntuación de 70?

SOLUCIÓN.- Puntuación: =−⋅= ⋅− )1(75)20( 203,0ef 74,81; Días de estudio: 9 días aproximadamente

86,83,0

66,2;3,066,2;ln07,0ln

;07,0;193,0;193,0);1(7570

3,0

3,03,03,03,0

=−−

=−=−=

=−=−−=−⋅=

−

−−−−

tte

eeee

t

tttt

18. Si se depositan 6000 € en una cuenta de ahorros bancaria a un interés del 5% trimestral durante 3 años ¿Cuánto nos devolverán al finalizar este período? ¿Cuánto tiempo será necesario para obtener 500 € de intereses?

SOLUCIÓN.- 10775 euros;

eurosCañosentiempoelestdondetC t

10775)05,1(6000)3()05,1(6000)(

34

4

=⋅=

⋅=⋅

1,64 trimestres

trimestresañosttt

ttt

64,141,0;4634,1;405,1log083,1log

;)05,1(log083,1log;)05,1(083,1;)05,1(60006500 405,105,1

44

====

==⋅=

19. El crecimiento de una población de un determinado país viene dado por: teAtf 15,0)( ⋅= donde A es la población inicial del año 1990 que era 350 000 habitantes; 0,15 es la tasa de crecimiento anual en tanto por uno; y t, el tiempo expresado en años desde 1990. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse la población si se mantiene la tendencia expuesta? SOLUCIÓN.- 4,62 años

20. Un cultivo de bacterias crece según la función:

tetf 25,02

30)( −+=

donde t representa el tiempo en días y f(t) el número de bacterias. ¿Cuántas bacterias hay inicialmente y después de 10 días? ¿Cuándo hay 12 bacterias?

SOLUCIÓN.- Inicialmente hay 10 bacterias, después de 10 días, 14,41.

41,142

30)10(;102

30)0( 1025,0025,0 =+

==+

= ⋅−⋅− ef

ef

Hay 12 bacterias a los 2,77 días.

77,2;69,025,0;5,0lnln

;5,0;12

2430;301224;2

3012

25,0

25,025,025,025,0

=−=−=

=−

==++

=

−

−−−−

tte

eeee

t

tttt

21. En una universidad se ha elaborado el siguiente modelo para estimar el porcentaje de respuestas correctas, f(n), en un cuestionario de opción múltiple en función del número de preguntas, n.

nenf 5,01

75,0)( −+=

Estima el porcentaje de respuestas correctas de un cuestionario de 20 preguntas. ¿cuántas preguntas debe tener un cuestionario con un porcentaje del 50% de respuestas correctas? SOLUCIÓN.- 75%; 1,38 preguntas 22. El ser humano pierde la capacidad de memoria con los años. Se estima que el porcentaje f(x) retenido en la memoria al cabo de x semanas se puede hallar mediante la expresión. xexf 4,07040)( −⋅+= ¿Qué porcentaje se retendrá en la memoria al cabo de 1 semana? ¿Y de 3 semanas? ¿Cuántas semanas deben transcurrir para que dicho porcentaje sea del 50%?

SOLUCIÓN.- Al cabo de una semana, 86,92%; Al cabo de tres semanas, 61,08%. Deben transcurrir 4,86 semanas

23. En Química se utiliza para medir la acidez de disoluciones un número denominado pH y que se define por: [ ]+−= HpH log donde [H+] es la concentración en iones de hidrógeno en moles por litro. Calcula el pH: a) De la cerveza, sabiendo su [H+]=6,3 · 10-5

b) De la leche, sabiendo su [H+]=2,5 · 10-7

SOLUCIÓN.- a) 4,2; b) 6,6.