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COLEGIO SANTISIMA CRUZ Educacin de calidad para la vida profesional San Miguel
Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre. Pg. - 1
LGEBRA
PRIMER BIMESTRE
NDICE:
Tema 1: Resolucin de Ecuaciones..... 2
Tema 2: Planteo de Ecuaciones .... 5
Tema 3: Expresiones Algebraicas .... 9
Tema 4: Monomios .......... 12
Tema 5: Polinomios I...... 15
Tema 6: Polinomios II.. 20
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Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre. Pg. - 2
1. ECUACIN
Una ecuacin es una igualdad entre dos
expresiones matemticos. Esta igualdad debe
presentar como mnimo una variable.
2. RESOLUCIN DE UNA ECUACIN
Resolver una ecuacin consiste en hallar el
valor que la convierta en una igualdad
verdadera. Para ello se tiene las siguientes
reglas prcticas:
EEjjeemmpplloo:: x + 3 = 5
3 es un sumando con signo (+)
Transponemos el sumando 3:
x + 3 = 5 x = 5 3
x = 2
Valor que reemplazado en la igualdad
original la convierte en verdadera
EEjjeemmpplloo:: 4x = 12
4 es un nmero que est multiplicando
Transponiendo el 4:
4x = 12 x = 4
12
x = 3
Valor que reemplazado en la igualdad
original la convierte en verdadera
Para la clase
I. Resuelve las siguientes ecuaciones:
1. x + 3 = 5
2. x + 3 = 1
3. x + 3 = - 2
4. x 3 = 2
5. x 3 = - 1
6. x 3 = - 5
TEMA 1: RESOLUCION DE ECUACIONES
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7. 2x = 4
8. 3x = - 9
9. 7x = 14
10. 5x = 10
II. Resuelve las siguientes ecuaciones:
11. 2x + 5 = 9
12. 3X + 5 = 2
13. 4X + 5 = - 7
14. 5X 3 = 7
15. 3X 10 = - 1
16. 7X 3 = - 17
17. 8x + 2 = 10
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18. 5x + 7 = 2
19. 6x + 7 = - 11
20. 4x 5 = 7
III. Resuelve las siguientes ecuaciones:
21. - x 2 = - 7
22. 4x = 12
23. 4x + 2 = x + 8
24. 18 4x + 6x = 3x + 9x + 8
25. 4(3x 2) = 3(3x 2) + 1
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Consiste en que a partir de un ENUNCIADO
se escriba una IGUALDAD relacionando los
DATOS y la INCOGNITA (lo que se pide en
el problema)
Ejemplos:
FORMA VERBAL
(Enunciado)
FORMA SIMBLICA
(Lenguaje matemtico)
Un nmero x
El doble de un nmero 2x
La suma de dos nmeros x + y
La suma de dos nmeros
consecutivos
(x) + (x + 1)
El doble de un nmero,
aumentado en 6 es igual 18
2x + 6 = 18
El doble de un nmero
aumentado en 6 es igual 18
2( x + 6) = 18
Dentro de 3 aos tendr 14
aos
x + 3 = 14
OBSERVACIN: No existe un mtodo nico
para plantear una ecuacin, pero a continuacin
te damos algunas recomendaciones:
1. Lee atentamente el problema las veces
que sea necesario. El objetivo es comprender
el enunciado.
2. Representa con una letra lo que pide el
problema (incgnita) y escribe los datos que
te ofrecen.
3. Relaciona mediante una igualdad lo que
pide el problema y los datos brindados.
4. Resuelve la igualdad (ecuacin) planteada.
Para la clase
I. Plantea y resuelve los siguientes
enunciados:
1. La suma de 2 nmeros es 7. Si uno de
ellos es 3 cul es el otro?
2. Al sumar 2 nmeros resulta 2. Si uno
de ellos es 3 cul es el otro?.
3. Entre Mara y Rosa tienen 12 aos. Si
Rosa tiene 5 aos. Qu edad tiene
Mara?
TEMA 2: PLANTEO DE ECUACIONES
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4. Graciela tiene cierta cantidad de
dinero. Si le dan S/. 8 tendra S/. 15.
Cunto dinero tiene Graciela?
5. Luego de hacer ejercicios Angela bajo
3 kg y ahora pesa 47 kg. Cunto pesaba
Angela antes de hacer los ejercicios?
6. Carlos gasta S/. 3 en comida y le sobra
S/. 7. Cunto tena al inicio?
7. Si a un nmero se le multiplica por 2
resultara 8. Cul es el nmero?
8. Al duplicar un nmero resulta 10. Cul
es el nmero?
9. Si triplicamos un nmero se convierte
en 15. De qu nmero se trata?
10. El cudruple de mi edad es 20. Qu
edad tengo?
II. Plantea y resuelve los siguientes
problemas:
11. Si al doble de un nmero, se le
adiciona 4 resulta 10. Cul es el nmero?
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12. Si al triple de un nmero, se le
adiciona 7 resulta 4. Cul es el nmero?
13. El doble de la edad de Juan,
aumentado en 3 aos resulta 11 aos. Cul
es la edad de Juan?
14. El cudruple de mi dinero, disminuido
en S/. 5 resulta S/. 7. Cunto dinero
tengo?
15. El triple de mi edad, disminuido en 3
resulta 12. Qu edad tengo?
16. Hoy gast el doble de lo que ayer
gast. Si ayer gast S/. 4. Cunto fue el
gasto de los 2 das?
17. Luego de haber caminado el triple de
la distancia de mi casa al colegio recorro 2
km ms. Si en total he caminado 14 km.
Cul es la distancia de mi casa al colegio?
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18. Si Pedro cuadruplica su dinero y le
regalan S/. 5 tendra lo que yo tengo. Si mi
dinero es S/. 17. Cunto es el dinero de
Pedro?
19. Juan razona: Si triplic mi peso y
subo a una balanza con mi hermano que
pesa 7 kg esta marcara 127 kg. Cul es
el peso de Juan?
III. Lee cuidadosamente los siguientes
problemas y revulvelos:
20. Yo tengo el doble de tu dinero, si entre
los dos tenemos S/. 24. Cunto dinero
tengo?
a) 8 b) 16 c) 24
d) 2 e) 3
21. Yo tengo S/. 20 menos que t. Si el
dinero que tienes es el triple del dinero que
tengo. Halla la suma del dinero que tenemos.
a) 30 b) 10 c) 40
d) 50 e) 60
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1. TRMINO ALGEBRAICO
Es aquella expresin que relaciona dos partes
contrarias, por medio de la multiplicacin, dichas
partes son:
Parte Constante (coeficiente): Es aquella
magnitud que permanece invariable y se
representa generalmente mediante nmeros
reales. Ejemplo: 4, 5, -2, 3
4
Parte Variable: Es aquella que vara y se
representa generalmente por letras (x, y, z, ).
Ejemplo: x2, xyz, x5y7.
La unin de dichas partes origina el Trmino
Algebraico.
As:
En General:
2. TRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos trminos algebraicos que tiene
la misma parte Variable.
Ejemplo:
3x4y5 es semejante con 54yx2 porque tiene
la misma parte variable.
AHORA T:
4x3y4 ; -x3y4 son semejantes
x5y3 ; x7y3 son semejantes
-a3b4 ; -3b4a3 son semejantes
OBSERVACIN:
Un trmino algebraico NO puede tener como
exponentes a:
* Nmeros Irracionales
Ejemplos:
543 zyx4 no es trmino algebraico.
23zxy2 no es trmino algebraico.
* Letras
Ejemplos:
-xxyyzz no es trmino algebraico.
-2x2y3za no es trmino algebraico.
VOCABULARIO:
Semejantes: Entes que guardan algo en
comn.
Trminos: Expresin unitaria que conforma
un tono.
lgebra: Estudio de la unin de parte
variable con parte constante y sus diversas
operaciones.
Para la clase
1. Completa las siguientes proposiciones con su
respectiva constante:
a) La cantidad de meses de un ao. ( )
b) Los colores del semforo. ( )
c) Das de la semana. ( )
d) Las vocales. ( )
e) El nmero de das del mes de Agosto. ( )
TEMA 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS I
Exponente
Variable Coeficiente
ax n
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f) El nmero de estaciones del ao. ( )
2. Cuntas variables existen en la siguiente
oracin? Subryalas.
Pedro y su hijo Mario caminaban a orillas del
mar en una noche despejada de pronto Mario
pregunto pap. Cul es el nmero de estrellas
en el universo? Es una cantidad mucho ms
grande que el tiempo de tu vida en la Tierra.
Quizs tan grande como la cantidad de granos
de arena en la playa, contesto Pedro.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. Representa mediante trminos algebraicos
las siguientes proposiciones:
a) La edad de una persona. ______
b) El doble del nmero de personas en el
mundo. _______
c) El triple del nmero de pasajeros que
suben a un autobs. ________
d) Menos el doble de la altura de un rbol.
_________
a) El dinero de una persona. ______
b) El quntuple de la temperatura
ambiental. _______
c) Siete veces la distancia Tierra Sol.
________
d) Menos cuatro veces el tiempo
transcurrido. _________
4. Completa el siguiente cuadro:
Trmino
Algebraico
Parte
Constante
Parte
Variable
3x
x
5x3
-2x2y
x3yz2
5. Cuntas de las siguientes proposiciones
son verdaderas?
I) Los nmeros son constantes.
II) Las variables se representan con
nmeros.
III) 5 es una variable.
a) Slo I y III
b) Slo II
c) Slo I
d) Slo III
e) Ninguna
6. Cuntas de las siguientes proposiciones
son Falsas?
I) 3 es un trmino algebraico.
II) 3x2yw es un trmino algebraico.
III) x es un trmino algebraico.
a) Slo I
b) Slo II
c) Slo III
d) I y III
e) I y II
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7. Utilizando trminos algebraicos
representa las siguientes proposiciones.
a) Dos veces el nmero de postulantes a
la universidad. ________
b) Cinco veces el dinero que gaste. ____
c) Menos tres veces el nmero de
colegios del Per. ________
d) Menos ocho veces el rea de un
cuadrado. __________
e) Menos cuatro veces el rea de un
rectngulo. _______
f) Menos el doble del rea de un
tringulo. _______
g) Menos tres veces el rea de un crculo.
________
h) El cudruple del rea de un cuadrado.
________
8. Completa la siguiente tabla:
Trmino
Algebraico
Parte
Constante
Parte
Variable
Exponentes
5x-9y2
4x-1wz3
-25x3y8w-4
-14x-4w5z3
9. Indicar cules de las siguientes proposiciones
son falsas:
I) -3 es un trmino algebraico.
II) En un trmino algebraico las variables
pueden tener exponentes negativos.
III) Un trmino algebraico tiene tres partes:
parte constante, parte variable y exponentes.
a) I y III
b) Slo I
c) Slo II
d) I y III
e) Todas
10. Se busca un trmino algebraico donde la
parte constante sea el doble del
exponente de su parte variable. De los
siguientes cul cumple con la condicin?
a) 4x3 b) 8w5 c) 10z4
d) 12y8 e) 14m7
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MONOMIO:
Es un trmino algebraico, donde los
exponentes de las variables deben ser nmeros
enteros y positivos.
EEjjeemmppllooss::
3x 7y5w
5yw -8x3z6
-2w3 12x2yz3
NOTA:
Los exponentes en un trmino
algebraico son cualquier nmero.
Los exponentes en un Monomio son
enteros y positivos.
SUMA Y RESTA DE MONOMIOS:
Para sumar o restar Monomios estos deben ser
trminos semejantes, es decir, tener la misma
parte variable.
EEjjeemmppllooss::
3x + 2x Se pueden sumar porque tienen la
misma parte variable.
5x + 3x2 No se pueden sumar pues sus partes
variables no son iguales.
4w 5x No se pueden restar porque las partes
variables son diferentes.
Para la clase
I. Halla el resultado en cada operacin:
a) 2x + 5x =
b) 3w + (-5w) =
c) 8z + (-4z) =
d) (-7y) + 3y =
e) (-2x) + 5x =
f) (-8w) + (-3w) =
g) 2z 7z =
h) 5y 3y =
i) (-8x) (-5x) =
j) (-4w) 3w =
II. Reduce en cada caso:
a) 3x2 + 4x2 + 7x2 =
b) 4w3 + 2w3 8w3 =
c) 5z4 + 7z4 2z4 =
d) -12y5 + 3y5 + 2y5 =
e) -5x7 + 7x7 + 2x7 =
f) -3w2 2w2 4w2 =
g) 3z3 2z3 4z3 =
h) 10y4 4y4 3y4 =
TEMA 4: MONOMIOS
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i) 9xw + 2xw + 4xw =
III. Resuelve:
1. Si: ax2 + bx2 = 7x2 Hallar: a + b
a) 7 b) 5 c) 6
d) 2 e) 4
2. Si: mxn + pxn = 10x3 Hallar: m + n + p
a) 10 b) 13 c) 12
d) 14 e) 11
3. Si: 3xw + 8xw = axw Hallar: a
a) 3 b) 11 c) 8
d) 7 e) 4
4. Si: 5x2 3xn = mx2 Hallar: m + n
a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) -1
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5. Si: 3x2y 10x2y + 5x2y = axmyn Hallar: a + m + n
a) 4 b) 3 c) 1
d) 2 e) -2
6. Si: -7w3z2 + mw3z2 2w3z2 = 3w3z2 Hallar: m
a) 9 b) -9 c) -12
d) 12 e) 5
7. Si: 3x5zm 7x5zn + 5xpzm = axpz3 Hallar: n + p
m + a
a) 1 b) 5 c) 3
d) -3 e) 2
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POLINOMIO:
Es una suma limitada de monomios no
semejantes. En esta suma se puede incluir
alguna constante.
EEjjeemmppllooss::
5x + x2 4xy 5xz + 4 3x2
3xw + x 4x2y + yz4 3
2w2 + 5 3x2y3 8xy3
-3y5 + 2x 1 -5 10x2 x
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS:
Para sumar o restar polinomios debemos
recordar que:
SUPRESIN DE SIGNOS DE COLECCIN
Cuando un signo (+) precede a un signo de
coleccin la expresin interior no cambia de
signo. Cuando un signo (-) precede a un signo
de coleccin la expresin interior cambia de
signo.
EEjjeemmpplloo::
(3x + 2) + (2x + 5) = 3x + 2 + 2x + 5 = 5x + 7
Polinomio polinomio trminos
semejantes
Para la clase
I. Opera (suma o resta) los siguientes
polinomios
a) (x + 2) + (2x + 1) =
b) (3w + 5) + (4w + 4) =
c) (4x2 + 2) + (5x2 + 3) =
d) (5z2 + 4z) + (2z2 + 3z) =
e) (9y3 + y) + (3y3 + y) =
f) (3x + 2) (x + 1) =
g) (5w + 4) (2w + 2) =
h) (8z2 + 5) (4z2 + 2) =
i) (7y3 + 9y) (2y3 + 4y) =
TEMA 5: POLINOMIOS I
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j) (10x4 + 3x) (5x4 + 2x) =
II. Opera los siguientes polinomios:
a) (2x2 + 3x) + (3x2 - x) =
b) (5x2 4x) + (2x2 3x) =
c) (3w2 + w - 4) + (-2w2 4w + 2) =
d) (4z3 4z + 3) + (-3z + 2) =
e) (8y4 + 3y) + (4y2 8y4 2y) =
f) (3x2 + 4x) (2x2 - x) =
g) (4w2 5w) (3w2 2w) =
h) (5z2 3z + 8) (-3z2 3z - 4) =
i) (9y5 3y2 + 4y) (3y2 + 9y5) =
j) (-10x2 - 4) (-3x2 + 4x - 4) =
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k) 3y {2y (3w + 5x) + [-5w + 3y] + 10w}
III. Reducir:
a) {(3y 7 - w) + 4 [-2y 3x - 3] 5y} +
10x
a) 3 b) 5 c) 8
d) 7 e) 9
b) -3x + {5w [5z 3x (-5w + 4z)]} + z
a) z b) x c) w
d) x e) 0
c) 4w {-8x [8y 4w + (8x 8y)]} 9x
a) 0 b) 7x c) 7y
d) 3w e) -7y
d) 3x + {9xw {2x 4xw (5xy2 4 7x)
+ [3x + 13xw (-3x + 4)]} + 10xy2}
a) 12x 15xy2
b) -12x + 15xy2
c) 15x 12xy2
d) -12x 15xy2
e) 15x + 12xy2
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IV. Resuelve los siguientes problemas
1. Si: A = 3x2 + x 7
B = 8x2 5x 10
C = 5x2 + 3x - 1
Hallar: A + B C
a) 6x2 7x - 16
b) 6x2 7x
c) 6x2 7x 15
d) 6x2 + 7x - 16
e) 6x2 7x + 16
2. Si: A = w3 8w + 4
B = 2w2 4w
Hallar: A 2B
a) w3 + 4w2 - 4
b) w3 4w2 2
c) w3 4w2 + 4
d) w3 + 4w2 + 4
e) w3 4w2 4
3. Si: A = -8x2y + 3xy 3y3
B = 4y3 7x2y + 2xy
Hallar: 2A 3B
a) 5x2y + 18y3
b) 5x2y 18y3
c) 5x2y 18y2
d) 5xy 18y3
e) 5xy2 18y3
4. Si: (3x + 4) + (5x - 2) = mx + n
Hallar: m n
a) 9 b) 8 c) 6
d) 7 e) 5
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5. Si: (mx + n) (-3x - 2) = 10x 2
Hallar: m + n
a) 4 b) 5 c) 7
d) 8 e) 3
6. Si: (2x + 4) + (3x - 8) = mx + n
Hallar: m + n
a) -1 b) 1 c) 0
d) 5 e) 4
7. Si: A = -2x 5
B = 4x2 3x + 2
Hallar: 3A - 2B
a) -8x2 - 19
b) 8x2 + 19
c) -8x2 + 19
d) -8x - 19
e) 8x2 - 19
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GRADOS DE UN MONOMIO
Para un monomio cualquiera pueden
determinarse dos tipos de grados:
Grado Absoluto (G.A.): Est dado por la
suma de los exponentes de sus variables.
Grado Relativo (G.R.): Est dado por el
exponente de la variable referida.
Ejemplo: 4 5 2P(x,y,z) 7 2x y z
G.A.: 4+ 5 +2 = 11
G.R.(x) = 4
G.R.(y) = 5
G.R.(z) = 2
GRADOS DE UN POLINOMIO
Grado Absoluto (G.A.): Est dado por el
Mayor de los grados de sus trminos.
Grado Relativo (G.R.): Est dado por el
Mayor de los exponentes de la variable
referida.
Ejemplo:
P(x,y) = 5x2y7 - 3x4y2 + 4x2y2
9 6 4
Luego:
El grado absoluto (G.A.) del polinomio es 9.
Adems:
G.R.(x) = 4 (Mayor exponente de x)
G.R.(y) = 7 (Mayor exponente de y)
Para la clase
1. En los siguientes monomios de el valor de
los GR de cada variable :
a. M(x, y) = 28x3 y3
b. M(x, y) = -12x5 y7z
c. M(x, y, z) = 33xy4 z5
d. M(x, y) = 10xy3
e. M(x, y) = 3x5 y
2. El siguiente monomio es de GA = 12.
Hallar n : M(x, y) = 2xn-2 y6
a) 7 b) 6 c) 10
d) 0 e) 8
TEMA 6: POLINOMIOS II
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3. Halle el valor del coeficiente si sabemos
que el monomio es de GRx = 3.
M(x, y) = -3nxn-3 y
a) 18 b) 15 c) 18
d) 12 e) -9
4. Halle el valor de n en el siguiente
monomio : M(x, y) = 11xn y7 si sabemos que
GA = 12
a) 4 b) 10 c) 5
d) 7 e) 0
5. Calcular n si el monomio :
M(x, y) = 44 x3n y2 es de GA = 11
a) 3 b) 2 c) 9
d) 9 e) 5/3
6. Hallar el coeficiente si GA = 14.
M(x, y) = (n + 2)xn+5 y2n
a) 3 b) 4 c) 2
d) 5 e) 6
7. Halle el coeficiente si GRx = 2; GRy = 3 en
: M(x, y) = (a + b - 5)xa+1 yb-3
a) 7 b) 6 c) 2
d) 5 e) 12
8. Calcule el GRx si GRy = 12 en :
M(x, y) = 12xn-2 yn+4
a) 8 b) 7 c) 6
d) 10 e) 4
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9. En el monomio M(x, y) = 4xn-3 y4n.
Calcule GRy si GRx = 4
a) 21 b) 28 c) 3
d) 24 e) 18
10. En el siguiente polinomio:
P(x) = 2xa-2 7xa + 12xa+4. Calcule el
valor de a si GA = 12
a) 8 b) 14 c) 12
d) 11 e) 10
11. En el polinomio: P(x,y) = x2a+4y 7xay2
8xa-3y2. Calcular el valor de a si GRx = 8
a) 11 b) 8 c) 2
d) 7 e) 4
12. Calcule el valor de a si GA = 14 en :
P(x) = 7x2 ya+2 12xa+1 ya+3 + 18xa+2
a) 5 b) 10 c) 12
d) 6 e) 8
-
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Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. - I Semestre Pg. - 23
13. Calcule la suma de coeficientes
Si GRx = 3. P(x) = xa+1 axa+2 + xa+3
a) 2 b) 3 c) 4
d) 3 e) -2
14. Halle a en P(x) = ax22+a 12x2 + 27x3 si
la suma de coeficientes es cero.
a) 15 b) 15 c) 12
d) 27 e) 18
15. Cul es el GRx en el problema anterior?
a) 15 b) 3 c) 2
d) 7 e) 5
16. Halle el valor de n en:
M(x, y) = 2x2 yn 2yn+2 + 3xn-3 y;
Si: GA = 12
a) 10 b) 5 c) 8
d) 15 e) 12
17. Del problema anterior, cunto vale
el GRy?
a) 10 b) 6 c) 8
d) 12 e) 2
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LGEBRA
SEGUNDO BIMESTRE
NDICE:
Tema 1: Polinomios III.......... 25
Tema 2: Polinomios IV ..... 29
Tema 3: Productos Notables I ...... 32
Tema 4: Productos Notables II.... 35
Tema 5: Productos Notables III .... 37
Tema 6: Repaso .... 41
-
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POLINOMIOS ESPECIALES
1. POLINOMIO COMPLETO
Es aquel polinomio que presenta todos los
trminos algebraicos, desde el mayor, hasta
el menor.
Ejemplos:
P(x) 5x3 + 2x 4x2 + 7
OjO: Presenta todos los trminos desde el
mayor grado (5x3) hasta el menor (7).
P(x) = 2x + 3 . Es polinomio completo.
P(x) = 2x5 4x2 + 5x4 2x + 7 x3
Es polinomio completo.
P(x) = x4 2x3 + 5x 4
. Es polinomio completo.
2. POLINOMIO ORDENADO
Es aquel que guarda un orden ascendente o
descendente referido a los grados relativos.
Ejemplos:
P(x) = x2 + 2x3 x5 (Polinomio
ordenado en forma ascendente)
P(x) = x7 4x + 3 (Polinomio ordenado en
forma descendente)
Si el polinomio es de dos variables se ordena
con respecto solo a una:
P(x, y) = 4x3y7 5x2y9 + 2xy4 (Polinomio
ordenado en forma descendente con
respecto a x)
P(x, y) = -5x2y9 + 4x3y7 + 2xy4 (Polinomio
ordenado en forma descendente con
respecto a y)
POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO
Es aquel polinomio que cumple los dos
criterios anteriores.
Ejemplo:
P(x) = 5x4 3x3 + x2 + x + 3
(Observemos que es completo por que
presenta todos los exponentes de x y
adems estn ordenados en forma
descendente)
P(x) = 2 + 3x 4x2 + 15x3 (Polinomio
completo y ordenado en forma
ascendente)
3. POLINOMIO HOMOGNEO
Es aquel polinomio que en todos sus monomios
presenta el mismo grado absoluto.
Ejemplo:
P(x, y) 4x3y4 3x7 + 2xy6 x5y2
4. POLINOMIOS IDNTICOS
Son aquellos que tienen el mismo valor
numrico para un valor en cuestin.
Ejemplos:
P(x) = (x + 1)2 Q(x) = x2 + 2x + 1
P(0) = Q(0) = 1
P(1) = Q(1) = 4
P(x) y Q(x) son idnticos.
Esto trae como consecuencia que tengan
los mismos coeficientes en trminos
homlogos.
TEMA 1: POLINOMIOS III
GA = 7 GA = 7 GA = 7 GA = 7
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5. POLINOMIOS IDNTICAMENTE NULO
Es cuando todos sus coeficientes son iguales
a cero.
Ejemplos:
P(x) = 0x2 + 0x + 0
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P() .. = P(1000) = 0
As si tenemos:
Que si P(x) = (A - 2)x2 + (B - 3)x + c + 2 es
idnticamente nulo.
Entonces: A = 2; B = 3; C = -2
Para la clase
1. Determinar el grado de homogeneidad de
cada uno de los problemas:
a) P(x, y) = -3x4 y5 z + 2xy8 z2
b) P(x,y,z) = 12x3 y7 z 3xy8 z2 + 2x9 y2 3z11
c) P(x, y) = 7x2 y2 2x4 + 3x3 y
d) P(x, y) = 4x8 y9 3z7 y17 + 13y16 x
2. Determinar a + b si los polinomios son
homogneos:
a) P(x, y) = 8x4 ya 3x2 yb + 12x9
b) P(x, y) = -13xya + 7xb y7 + 13x3 y12
3. Diga Ud. si los siguientes polinomios son
idnticos:
a) (x + 4)2 + 3 x2 + 8x + 19
-
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Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 27
b) x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 x3 + y3 + 3xy(x + y)
c) x7 + 4x3 y4 - 4x4 y3 4x3 y3(y + x + 1) + x7
d) (x 3)2 + 8 x2 6x + 17
e) (x - 1)2 1 x2 + 2x
4. Determinar los valores de A y B si cada
polinomio es idnticamente nulo:
a) P(x) = (5A)x2 + (2 + B)x + 0x
b) P(x) = (A + 3)x7 + (B + 7)x3 + 0x
-
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Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 28
c) P(x) = 5x3 0.7x4 + Ax3 + Bx4
d) P(x) = 9x5 3x3 + Ax3 Bx5
e) P(x) = (A + B)x3 + (B - 7)x2 + 0x4
5. Halle Ud. El valor de A + B en cada
polinomio si sabe que son polinomios
idnticamente nulos
a) P(x) = Ax5 + Bx3 5x3 + 8x5
b) P(x) = 7x8 27x4 + (7A)x8 (9B)x4
c) P(x) = -3x2 + Ax2 + 0.3x2 + Bx2
d) P(x) = 8x3 7Ax3 6x4 + 7Bx4
e) P(x) = 9x5 27x29 + Bx5 Ax29
-
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VALOR NUMRICO (V.N):
Consiste en reemplazar las variables de un
monomio por nmeros determinados. As, se
obtendrn un resultado, denominado VALOR
NUMRICO.
Ejemplo: P(x) = 6x + 7 , hallar P(-2)
Solucin:
Reemplazamos: x = 4
P(-2) = 6(-2) + 7
P(-2) = -12 + 7
P(-2) = -5
Para la clase
1. Halle el VN de 5ab + 3b 2a Para a = 1; b = 2
a) 12 b) 13 c) 14
d) 10 e) 18
2. Calcule el VN de los siguientes polinomios
Para: x = 2 ; y = 1 ; z = 3
a) P(x, y) = 7x 10y
b) P(x, y, z) = 8z + 3x y
c) P(x, y, z) = 3z + 3x + 3y
TEMA 2: POLINOMIOS IV
-
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Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 30
d) P(x, y, z) = y 3x + 7z
e) P(x, y, z) = 93x 3y2 2
f) P(x, y) = 12y2 + 3x + 32
g) P(x) = x2 + x + 1
h) P(x) = 31 (x - 1) (x - 3)
i) P(x, y) = y2(x - 4)
-
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Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 31
3. Calcule el valor de E para los siguientes
Casos:
a) P(x) = x(x - 4)(x - 7)
E = P(1) P(3)
b) P(x, y) = 7x 10y
E = P(1, 2) P(3, 1)
c) P(x, y, z) = 8x2 3y + 7z
E = P(1, 3, 2) P(0, 1, 2)
d) P(x, y, z) = 3x 1
E = P(2) + P(-2)
e) P(x, y, z) = 5xy + yz + z
E = P(1, 1, 1) + P(2, 1, 3)
f) P(x) = 3x - 1
E = P(7) P(x - 7) 42
-
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BINOMIO AL CUADRADO:
Cuando es una suma:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Cuando es una resta:
(a - b)2 = a2 2ab + b2
Ejemplos:
(x + 1)2 = x2 + 2x(1) + 12
= x2 + 2x + 1
(x - 2m)2 = x2 - 2x(2m) + (2m)2
= x2 - 4xm + 4m2
(3x - m)2 = (3x)2 2(3x)(m) + (m)2
= x2 - 6xm + m2
DIFERENCIA DE CUADRADOS:
(a + b) ( a - b)= a2 - b2
Ejemplos:
(x + 3y) (2x 3y) = (x)2 - (3y)2
= x2 9y2
(2x - 3y) (2x + 3y) = (2x)2 - (3y)2
= 4x2 9y2
Para la clase 1. Resolver usando los productos notables:
a) (8 + 2)2 =
b) (a + b)2 =
c) (3a + 5)2 =
d) (x + 3y)2 =
e) (2a + 3y)2 =
TEMA 3: PRODUCTOS NOTABLES I
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Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 33
f) (5 3b)2 =
g) (5a 3b)2 =
2. Diga Ud. si es verdadero falso:
a) 52 32 = 17 (V) (F) b) 82 22 = 60 (V) (F) c) 42 12 = 15 (V) (F)
d) 32 32 = 1 (V) (F) e) 72 112 = -72 (V) (F)
3. Hallar el valor de E
E = ab4
2)ba(2)ba(
a) 2a b) 3b c) ab d) 1 e) 4ab
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Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 34
4. Hallar el valor de E
E = )2b2a(4
2)ba(2)ba(
a) 2 b) 1/2 c) a2 + b2 d) a b e) a + b
5. Demostrar que:
(a + b) (a - b) = a2 b2
6. Demostrar que: (a + b)2 (a - b)2 = 4ab
7. Demostrar que:
(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)
-
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MULTIPLICACIN DE BINOMIOS CON
TRMINO COMUN:
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(px + a) (px + b) = p2x2 + (a + b)px + ab
Ejemplos:
(x + 3) (x + 2) = (x)2 + (3 + 2)x + (3)(2)
= x2 + 5x + 6
(2x + 4) (2x + 3) = (2x)2 + (4 + 3)2x + (4)(3)
= 4x2 + 14x + 12
Para la clase
1. Resolver usando el producto notables:
a) (a + b) (a + c)
b) (x + 2) (x + 4)
c) (y - 1) (y - 2)
d) (x + 2) (x + y)
e) (x - 5) (x + 2)
f) (2y + 3) (2y - 1)
2. Indicar si es verdadero falso:
a) (x - 2) (x + 3) = x2 x 6 (V) (F) b) (y + 1) (y - 2) = y2 y + 2 (V) (F)
TEMA 4: PRODUCTOS NOTABLES II
-
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c) (2y + 3) (2y - 1) = 4y2 + 4y 3 (V) (F)
3. Reducir:
(x - 6) (x + 3) + 3x + 18 a) 1 b) 3x c) x2 d) 18 e) 3x + 18
4. Reducir:
(x - 3) (x + 4) x2 x + 10 a) 2 b) x2 c) 2 d) x e) 0
5. Reducir:
)12y3(5
1y31y3
a) 1 b) 5 c) 3 y
d) 1/5 e) y
6. Reducir: (3 + x) (3 - y) (3x 3y - xy) a) 0 b) 3 c) 9 d) 1 e) 0
7. Reducir: P = 4
)122)(12(1
a) 2 b) 4 c) 3
d) 5 e) 1
-
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Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 37
BINOMIO AL CUBO:
Cuando es una suma:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
En forma abreviada:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Cuando es una resta:
(a - b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3
En forma abreviada:
(a - b)3 = a3 b3 3ab(a - b)
Suma de Cubos:
a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2)
Diferencia de Cubos:
a3 b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
Para la clase
1. Resolver usado el binomio al cubo:
a) (x + 3)3 =
b) (2x - 3)3 =
c) (x + 2y)3 =
d) (x - 3)3 =
e) (3x + 1)3 =
f) (2x 3y)3 =
TEMA 5: PRODUCTOS NOTABLES III
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2. Resolver usado suma diferencia de cubos:
a) (x + 3) (x2 3x + 9) =
b) (x - 4) (x2 + 4x + 16) =
c) (x3 - 83) =
d) (2 - x) (4 + 2x + x2) =
e) (2x - 1) (4x2 + 2x + 1) =
f) (x2 + 3) (x4 3x2 + 9) =
g) (x4 + 3x2 + 9) (x2 - 3) =
-
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Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 39
h) (4x6 2x3 + 1) (2x3 + 1) =
i) (3 10 - 3 2 ) ((3 10 )2 + 3 20 + 3 4 ) =
j) (2 + 3 2 ) (4 - 23 2 + (3 2 )2) =
3. Resolver:
E = (3 2 - 1) ((3 2 )2 + 3 2 + 1)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Resolver:
E = 23x16
)1x22x4)(1x2(
a) 1 b) 1/2 c) 1/16
d) 1 e) 3
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Cuaderno de trabajo de lgebra 1ro Sec. I Semestre Pg. - 40
5. Resolver:
(3 10 - 3 2 ) (3 100 + 3 20 + 3 4 )
a) 1 b) 8 c) 3
d) 5 e) -2
6. Resolver:
(2 - y) (2 + y) (4 2y + y2) (4 + 2y + y2) +y6 60
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) y
7. Resolver:
(3 12 + 2) (3 144 - 23 2 + 4)
a) 15 b) 12 c) 20
d) 18 e) N.A.
8. Resolver: 9
316
33
433
4
a) 1/2 b) 2 c) 1
d) 9 e) N.A.
-
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Para la clase
1. Halle a + b si el polinomio es homogneo:
P(x) = -7xa yb+4 + 8x3 y7 + 3xc yf
a) 6 b) 9 c) 4
d) Faltan datos e) N.A.
2. Cunto vale (a + b) si este es un
polinomio completo:
P(x)=-8x5 + 3x2 2xa 1 + 3x4 + xb+4?
a) 1 b) 2 c) 0
d) 3 e) 4
3. P(x) = xa+1 + 2xa+3 +7xa-5; Calcular el valor de a si GA = 14
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
4. P(x) = (a + b)x3 bx2 + 3x2 2x3; halle el valor de a y b si este polinomio es nulo.
a) 1, 3 b) 1, -3 c) 1, 3
d) 1, -3 e) N.A.
TEMA 6: REPASO
-
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5. P(x) = 7xa+3 2xa-1 + 8xa+5; calcular el valor de a si el polinomio es de grado
GA = 8
a) 2 b) 5 c) 9
d) 3 e) -2
6. P(x) = (a2 - b)x2 (-b + 2)x3 + 2x3; Si el polinomio nulo adems a > 0;
Halle (a + b)
a) 7 b) 2 c) 2
d) 6 e) -6
7. Halle el V.N. de:
P(x, y) = 47 x2 3y + 2xy
Cuando: x = 0, y = 1
a) 3 b) 3 c) 7/4
d) 2 e) 7/8
8. Halle el V.N. de: P(x) = 8x2 3x + 1 x3; Cuando x = 2
a) 19 b) 2 c) 19
d) 8 e) 3
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9. Si P(x) = x2 1.
Halle: P(3) + P(5) P(2)
a) 32 b) 24 c) 3
d) 29 e) 35
10. Reducir: P = 4
)122)(12(1
a) 2 b) 4 c) 3
d) 5 e) 1
11. Reducir: P = 9
316
33
433
4
a) 1/2 b) 2 c) 1
d) 9 e) N.A.
12. Reducir:
P = 32
)189)(149)(129(801
a) 9 b) 3 c) 81
d) 1 e) 6
-
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13. Reducir:
E = 4
)183)(143)(123(81
a) 81 b) 3 c) 4 183
d) 9 e) N.A.
14. Resolver: (x - 3)(x + y) x2 + 3y
a) (y - 3)x b) 3x c) xy
d) y e) 3y
15. Reducir: E =83x27
)4x122x9)(2x3(
a) 1/3 b) 1/6 c) 1
d) 0 e) 1/2
16. Reducir:
(1 + y)(1 - y)(1 y + y2)(y2 + y + 1) + y6
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4