a) Introducción

¿Por qué estudiar Matemática?. Pocas personas saben que un matemático llegó a ser Papa, que una mujer tenía que hacerse pasar por hombre para poder publicar sus hallazgos, que ha habido matemáticos que se han robado descubrimientos, otro murió ahogado en el agua por sus descubrimientos, que también ha habido nobles que han sido matemáticos… Los matemáticos son seres de carne y hueso. La matemática no es una ciencia estanca que siempre ha existido, sino que ha tenido avances y retrocesos. Está viva…aunque no todos lo perciban así.

Ya desde el siglo XX grandes empresas como IBM, Bell Telephone y General Electric, mantienen centros de investigación rodeados de césped, donde se les paga a grupos de profesionales, entre ellos matemáticos, para que piensen y nada más. En el Pentágono abundan los doctores en matemática. Los computadoras – esos esbirros de la matemática – se utilizan ahora en los centros vitales de la sociedad: centros de mando de cohetes dirigidos y buques de guerra, en los ministerios, en las oficinas de las líneas aéreas, en la Bolsa de Nueva York, en síntesis la matemática es el centro de la vida actual.

b) Al finalizar el tema el alumno será capaz de identificar los productos notables y formular estrategias simplificación de expresiones algebraicas utilizando el binomio al cuadrado, la equivalencia de Legendre y de Steven.

c) Teoría Básica

1. Multiplicación Algebraica de dos Polinomios

Se denomina así a la operación que hace corresponder a un par de polinomios M(x) y N(y) de variables reales otro polinomio real P(x,y) llamado producto.

Sean M (x) y N(y) polinomios M (x) x N (y)= P(x, y); (x, y) R2

Ejemplo 1: Siendo: M (x)= 5x2-x+3 N (y)= 7y – 4

El producto P(x, y) se obtiene multiplicando de la siguiente manera:= (5x2-x+3)( 7y)+( 5x2-x+3)( – 4)

P(x, y) = 35x2y-7xy +21y -20x2+4x-12

Ejemplo 2: Siendo: M (x, y)= 2xy +3x3

N (x, y)= 4x-5y El producto P(x,y) se obtiene multiplicando de la siguiente manera:

= (2xy +3x3)( 4x)+( 2xy +3x3)(- 5y) P(x, y) = 8x2y+12x4 -10xy2-15x3y

2. Productos NotablesLlamados también “productos especiales”, son los resultados de determinadas multiplicaciones, fáciles de memorizar, de modo que se pueden obtener sin efectuar operaciones.Entre ellas tenemos:

2.1 Binomio al cuadrado28

Primer Segundo término

2.2 Equivalencias de Legendre

2.3 Equivalencias de Steven

d) Ejercicios de Aplicación

Parte I

01. Determine la expresión reducida de:M = (x+5)2-(x-1)2-12x+1

02. Sabiendo que m = y n = , determinar el valor numérico de D = (m+n)2 + (m-n)2

03. Calcular 3A+2B sabiendo que:A= (3x-y)2 + 4xyB= (x+2y)2-xy

04. Simplificar

05. Simplificar

06. Siendo a = y b = calcular

07. Simplificar

08. Siendo a + b = 8 ab=3, calcular a2+b2

09. Sabiendo que: A=(x+2)(x-1)-(x+3)(x-4) B=(x-7)(x+5)-(x+3)(x-5) calcular A+B

10. Calcular a+b de (x+a)(x+3) x2+8x+b

Parte II

1. Determine el coeficiente del término de primer grado luego de reducir:

M=(x+2)2 + (x+1)2 – 2(1-x) 2

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Cuadrado del primer término

Cuadrado del segundo

Dos veces el producto del primer término por el segundo término

2. Calcular m.n sabiendo que: (m2+n2) 2-(m2-n2) 2=100

3. Calcular M-N sabiendo que:

M= (5x+3y) 2-(3x+5y) 2

N= (2x+2y)2+(2x+2y) 2

4. Simplificar

5. Simplificar

6. Siendo e calcular:

7. Simplificar

8. Siendo a + b = 3 ab = 18 calcular

9. Sabiendo que:

M =(x+2)(x+5)-(x+4)(x-1) y N =(x+1)(x+4)-(x+3)(x+6) calcular M +N

10. Calcular a+b de (x+3)(x+a) x2+bx+8

e) Matemática Recreativa

En esta actividad se tendrá la posibilidad de visualizar trabajando con material concreto expresiones algebraicas, oportunidad que nos muestra como se plasma el álgebra en nuestra realidad.

Vamos a trabajar

Con ayuda de materiales como: papel, regla, lápiz, tijera y pegamento, representaremos algunas figuras conocidas, con el objetivo de "verificar" el producto especial (a+b)2=a2+2ab+b2.

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Recortamos estos tres cuadrados por las líneas y separamos las siguientes figuras, etiquetando sus lados como se indica:

Cortamos un cuadrado de papel y marcamos sus lados como b+aLuego trazamos dos líneas en tres cuadrados de colores diferentes (a elección), como se indica en el siguiente esquema:

Por lo tanto: (a+b)2=a2+2ab+b2

Luego de esta breve explicación, tu trabajo consiste en elaborar el procedimiento por el cuál se podría verificar el siguiente producto especial: (a-b)2=a2-2ab+b2

f) Páginas Informáticas

a. http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtmlb.http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/productos_notables_desarrollo.htmc. http://usuarios.lycos.es/calculo21/id22.htm

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Con estas cuatro figuras armamos un cuadrado mayor, según este esquema:

que resulta ser igual a