1er hemisemestre
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potenciación, radicación, factorización, guías, matemáticasTRANSCRIPT
TITULO: EXPONENTES, RADICALES, OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS, PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN.
Competencias: Conoce definiciones de exponentes y radicales; operaciones algebraicas fundamentales, como base del conocimiento básico del algebra, con precisión.
1. Potenciación.2. Radicación3. Operaciones con expresiones algebraicas4. Productos notables.5. Factorización
VINCULACIÓN CON CONOCIMIENTOS ANTERIORES
Capítulo 0: Números realesCapítulo 0: Operación con números reales
Conceptos básicos.
Conjunto de los números reales : Son todos los números enteros, fraccionarios, decimales, positivos y negativos desde ,
¿Qué es término?: Término es toda expresión algebraica, precedida de un
signo positivo o signo negativo; ejemplo:
2
2
13
23
1
5
2432
x
xxxx
éste ejemplo tiene tres términos.
¿Qué es factor?: Es una expresión algebraica que multiplica a otra.
Ejemplo: 5423 5 xxx . En este ejemplo, el paréntesis multiplica al corchete y toda esta expresión se llama producto.
¿Qué son fracciones homogéneas?: Son las fracciones que tienen igual denominador y para efectuar las operaciones, se mantiene el denominador y se suman o restan los numeradores.
Ejemplo: yyy3
4
3
1
3
2 =
3
5
3
42 yyyy
¿Qué son fracciones heterogéneas?: Son las fracciones que tienen distinto denominador y para efectuar las operaciones tenemos que encontrar el Mínimo Común Múltiplo ( MCM) de los denominadores.
Ejemplo: 30
47
30
1054018
2
7
3
4
5
3
xxxxxxx
¿Cómo se obtiene el Mínimo Común Múltiplo?: Se obtiene de la multiplicación de todos los denominadores comunes y no comunes con el mayor exponente.
1.- POTENCIACIÓN
El producto de se abrevia . En general , representa al producto de x, n veces. La letra n se denomina exponente y a x se le llama base.
base x n exponente
Leyes de los exponentes:
2. RADICACIÓN
Definición.- Si r n = x, donde n es un entero positivo, entonces r es una
raíz n- sima de x.
Por ejemplo: 92 = 81 por lo tanto 9 es la raíz cuadrada de 81.
, entonces 5 es la raíz cúbica de 125.
La expresión se llama radical, donde es el signo de radical, n el
índice y x el radicando. Donde:
A continuación se detalla algunas de las propiedades de los exponentes
y radicales.
2.1 PROPIEDADES DE EXPONENTES Y RADICALES
Ley: Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
5. ;
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Aplicación de las propiedades de los exponentes
Las propiedades indicadas anteriormente permiten simplificar las expresiones algebraicas reduciéndoles a su mínima expresión; se incluyen a continuación algunos ejemplos:
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Regla 8
Regla 4
Ejemplo 3:
Regla 5
Regla 8
Regla 5, 3
Ejemplo 4:
Ejemplo 5:
2.2 RACIONALIZACIÓN
La racionalización del denominador de una fracción es un procedimiento en el que una fracción que tiene un radical en su denominador se expresa como una fracción equivalente sin radical en el denominador.Racionalizar una expresión significa entonces quitar los radicales del denominador.
Para racionalizar aplicaremos el principio fundamental de las fracciones, el cual establece que al multiplicar el numerador y denominador de una fracción por el mismo número excepto el cero se tiene como resultado una fracción equivalente.
Ejemplo1: Racionalizar
Ejemplo 2: Racionalizar
Ejemplo 3: Racionalice:
3. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Expresión algebraica es la combinación de números representados por símbolos con las operaciones de sumas, restas, potenciación, radicación. Ejemplos.
1. es una expresión algebraica en la variable x
2. es una expresión algebraica en la variable y
3.1 SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Recuerde solo puede sumar y restar términos semejantes, esto es el que tiene el mismo exponente.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
3.2 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
Monomio. Es una expresión algebraica que tiene un solo término por ejemplo:
Polinomio. Es una expresión conformada por mas de un término:
Ejemplo 1:
Ejemplo2:
Ejemplo3:
Ejemplo 4 :
Ejemplo 6:
3.3 DIVISIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
Monomios. Escribimos la expresión en forma de fracción y simplificamos (eliminamos) todos los factores comunes: Ejemplo:
Polinomios. Para dividir dos polinomios entre sí se procede de la siguiente manera:
1) Ordenar el dividendo y divisor en forma descendente con respecto al exponente de la variable.
2) Dividir el primer término del dividendo para el primer término del divisor.
3) Multiplicar el valor encontrado por el divisor y restar del dividendo4) Continuar este proceso sucesivamente con todos los términos del
polinomio.
Ejemplo 1: Dividir
-x2 - 4x x + 3 3x + 12 -3x - 12 0
Ejemplo 2: Dividir entre
Solución 7x + 6y
Ejemplo3:
4. PRODUCTOS NOTABLES
Son operaciones que le permiten simplificar el proceso de multiplicación de expresiones algebraicas, a continuación se detallan las principales reglas.
1.- Propiedad distributiva2.-3.-4.- cuadrado de un binomio
5.- cuadrado de un binomio
6.- producto de suma y diferencia
7.- cubo de un binomio
8.- cubo de un binomio
9.- Cuadrado de un trinomio
Utilice las reglas para resolver los ejemplos siguientes:
1.- Regla 1
2.- Regla 2
3.- Regla 2
4.- Regla 3
5.- Regla 4
6.- Regla 5
7.- Regla 7
8.- Regla 8
9.- Regla 6
10.- Regla 6
11.-
Regla 9
4. 1 RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES a) Racionalización de denominadores que contienen raíces cuadradas.
Cuando el denominador de una fracción incluye raíces cuadradas, como o , se puede racionalizar multiplicando por una expresión que lo convierta en una diferencia de dos cuadrados.
1. Racionalizar:
Multiplicamos por una expresión que le convierte en diferencia de dos cuadrados. La multiplicación efectuamos en el numerador y denominador para que no se altere la expresión.
2. Racionalizar:
b) Racionalización de denominadores que contienen raíces cúbicas.
Cuando el denominador de una fracción contiene raíces cúbicas como: o , debe multiplicar por una expresión que de cómo
resultado la suma o diferencia de dos cubos.
1. Racionalizar:
2. Racionalizar:
5. FACTORIZACIÓN
5.1 REGLAS DE FACTORIZACIÓN
Cuando multiplicamos entre sí dos o más expresiones, éstas reciben el nombre de factores del producto. Por lo que si c = a.b , entonces a y b son factores del producto c. Al proceso por el cual una expresión se escribe como el producto de sus factores se le llama factorización.
La factorización es un proceso inverso de los productos especiales, te presentamos las reglas generales de este proceso.
1. Factor común2. Forma
3. Forma
4. Trinomio cuadrado perfecto
5. Trinomio cuadrado perfecto
6. Diferencia de dos cuadrados
7. Suma de dos cubos
8. Diferencia de dos cubos
Ejemplos:
1. Regla 1, factor común
2. Regla1, factorización por agrupación.
3. Regla 2, para factorar un trinomio de la forma debe buscar dos números que multiplicados le den como resultado +8 y sumados +6. Tiene las siguientes opciones:
4. Regla 2, es un trinomio de la forma , busca dos números que multiplicados sea +50 y sumados -8. Si no encuentra con facilidad los números, descomponga 50 y combínelos hasta encontrarlos.
5. Regla 3, es un trinomio de la forma , para encontrar
los factores utilice cualquiera de los métodos siguientes:
a) El método 1 se lo utiliza cuando a es un número primo, es decir que es divisible para si mismo y para la unidad. En el ejemplo propuesto únicamente es divisible para si mismo y para la unidad.
Ahora debe encontrar dos números que multiplicados de -15 y sumados +7 de la manera siguiente:
Prueba 1: Compruebe:
No, debe ser
Prueba 2:
= Comprobado y
b) Para explicar el método 2, utilicemos el mismo ejemplo
1. Multiplique el término cuadrático con el término constante.
2. Encuentre dos números que multiplicados de -30 y sumados +7 (si no existe estos, no es factorable)
3. Factore por agrupación
c) Método 3, siga los siguientes pasos, para el mismo ejemplo.
1. Multiplique y divida al trinomio con a = 2
2. Busque dos números que multiplicados sea -30 y sumados +7
=
3. Extraiga el factor común y simplifique =
Domine esta regla, lo conseguirá realizando ejercicios.
6. Regla 4, es un trinomio cuadrado perfecto, lo identifica porque , le queda por verificar que
Comprobación
7. Regla 5, trinomio cuadrado perfecto, identifique , compruebe que
8. Regla 6, Diferencia de cuadrados, tenemos 2 cuadrados perfectos unidos por el signo (-), verifique
9. Regla 7, Suma de dos cubos, verifique
10. Regla 8,Diferencia de dos cubos, verifique:
NOTA: Podría tener alguna confusión con las reglas 2, 4 y 5; por tratarse de trinomios de la forma , hagamos un análisis con los siguientes ejemplos:
1.
a) Como regla general, en cualquier ejercicio de factorización, considere en aplicar la regla 1 (factor común).
b) Tenemos un trinomio de la forma , haga la prueba del trinomio cuadrado perfecto , le toca comprobar si que no es verdadero . Entonces aplique la regla 2, debe buscar dos números que multiplicados sea +16 y sumados +10.
2. , podría pensar aplicar la regla 5, no lo puede hacer por los signos, aplique directamente la regla 2.
3. , puede aplicar la regla 3, pero considere que y utilicemos la regla 2, es decir, encontrar dos números
que multiplicados sea -27 y sumados -6.
5.1 FRACCIONES ALGEBRAICAS
El objetivo de la sección, es la simplificación de expresiones algebraicas utilizando sus conocimientos de factorización. Estudie los ejemplos siguientes:
1.
2.
Factorice las expresiones (reglas 1 y 2); simplifique
3.
Factorice, regla 3
Determine M.C.D
4.
Factorice, obtenga el MCM, realice operaciones
CONSULTAS EN EL TEXTO
Estudie el texto guía; página 9 a 43
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Clasifique los enunciados como verdadero o falso. Si es falso de una razón.
1.1. ( )
1.2. ( )
1.3. ( )
1.4. ( )
1.5. ( )
1.6. ( )
1.7. ( )
AUTO EVALUACIÓN
¿Cómo se encuentra?, es el momento que reflexione sobre el avance de su estudio; se trata de ir despacio, comprendiendo, Ponle “ganas”, interés, no estudie con desgano; “recuerda nadie le obliga a estudiar”, lo hace por su propia decisión de mejorar, por ser una persona íntegra y eso incluye la profesión que intentas alcanzar.
Sí contesto correctamente los ejercicios de aplicación y entiende los métodos de solución, vamos por la ruta correcta; caso contrario; puede ser necesario que vuelva a revisar los contenidos, no se desanime; recuerde tiene una ayuda importante; la Universidad Central y sus tutores.
Acuda al tutor con dudas puntuales del tema en estudio, recibirá la ayuda necesaria, para que continúe con el proceso de aprendizaje.
CONSOLIDACIÓN
Al finalizar cada capítulo o tema tratado; el texto guía le proporciona un resumen de conceptos y fórmulas importantesComo un refuerzo en su conocimiento, realice el ejercicio siguiente:1. Pruebe que:
2. Pruebe que:
UNIDAD II
TITULO: ECUACIONES, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO
Competencias: Conoce y resuelve ecuaciones y desigualdades; aplica en temas administrativos y económicos, con iniciativa y precisión.Contenidos
1. Ecuación, definición.2. Ecuaciones lineales.3. Ecuaciones cuadráticas4. Aplicación de ecuaciones5. Desigualdades lineales6. Aplicación de desigualdades7. Valor absoluto, ecuaciones.8. Valor absoluto y desigualdades
VINCULACIÓN CON CONOCIMIENTOS ANTERIORES
Capítulo 0: Operación con números realesCapítulo 0: Exponentes y RadicalesCapítulo 0: Factorización
1. ECUACIONES
Una ecuación es una proposición que indica que dos expresiones son iguales. Las dos expresiones que conforman una ecuación son llamadas sus lados o miembros, y están separados por el signo de igualdad “ = “.
Ejemplos de ecuaciones:
a. b.
c. d.
En cada ejemplo, nuestro objetivo será encontrar el valor de la variable ( x, y, w), para que la proposición de igualdad sea verdadera.
1.1. Ecuaciones equivalentes.
Resolver una ecuación puede implicar la realización de operaciones en ella. Es preferible que al aplicar cualquiera de tales operaciones se obtenga otra ecuación con exactamente las mismas soluciones que la ecuación original. Cuando esto ocurre, se dice que las ecuaciones son equivalentes. Existen tres operaciones que garantizan la equivalencia:
1. Sumar (o restar) el mismo polinomio a los dos miembros de una ecuación, la misma variable de la ecuación original.
Ecuación original Suma de a los lados de la igualdad
2. Multiplicar (dividir) ambos miembros de una ecuación por la misma constante, excepto el cero.
Ecuación original
Dividir para 8 a los dos lados de la igualdad
3. Reemplazar cualquiera de los miembros de una ecuación por una expresión igual (equivalente).
Ecuación original Ecuación equivalente
Existen otras operaciones que no garantizan tener ecuaciones equivalentes, como:
4. Multiplicar ambos miembros de una ecuación por una expresión que involucre la variable.
“Ecuación original” Solución:
Multiplicamos a la ecuación:
Solución:
No satisface la ecuación original.
5 Dividir ambos miembros de una ecuación por una expresión que involucre la variable.
“Ecuación original” Solución:
Dividimos para:
Solución:
Al dividir se ha perdido la solución
6. Elevar ambos miembros de una ecuación al mismo exponente.
“Ecuación original”
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación.
Solución:
No satisface ecuación original.
2. ECUACIONES LINEALES
Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación que puede escribirse en la forma: ; donde a y b son constantes y
Una ecuación lineal también se conoce como ecuación de primer grado o ecuación de grado uno, ya que la potencia más alta de la variable es uno.
Para resolver una ecuación lineal realice transposición de términos, colocando a los términos con la variable a la izquierda de la ecuación y los términos independientes al lado derecho y efectúe las operaciones. Ejemplos:
1.
Transposición de términos
Solución:
2.
Realice operaciones
Transposición de términos
Solución:
3.
Iguale la ecuación a cero.
Obtenga el MCM
Realice operaciones.
ECUACIONES QUE CONDUCEN A ECUACIONES LINEALES
2.1 ECUACIONES FRACCIONARIAS. Es una ecuación en que la incógnita está en el denominador. Ejemplos:
1.
Iguale la ecuación a cero.
Obtenga
Solución:
Comprobación: ;
2.
Iguale a cero y obtenga el
Comprobación:
2.2 ECUACIONES CON RADICALES
Una ecuación con radicales es aquella en la que una incógnita aparece en un radicando. Ejemplos
1.
“Elevar al cuadrado los dos lados de ecuación”
Comprobación:
2.
“Elevar al cuadrado los dos lados de ecuación”
“Elevar al cuadrado los dos lados de ecuación”
; ;
Comprobación: ; “Solución extraña, no tiene solución”
2.3 ECUACIONES CON LITERALES Una aplicación importante de ecuaciones lineales, es lo que conocemos como despejar una fórmula. Ejemplos.
a) ; despejar i
“Extraemos raíz de índice quinta a los lados de la
ecuación”
b) ; despejar
“factorice la expresión”
3. ECUACIONES CUADRÁTICAS Es una ecuación que puede escribirse de la forma , con . Se le conoce también como ecuación de segundo grado o de grado 2, pues el máximo exponente de la variable es 2.
La solución se realiza por factorización o mediante la fórmula cuadrática.
“FÓRMULA CUADRÁTICA”
EJERCICIOS
1.
Analice en primer lugar si puede resolver por factorización.
2.
Factorice e iguale a cero.
“Obtenga el MCM”
“Realice operaciones”
3.
Realice transposición de términos y eleve al cuadrado los lados de la igualdad para eliminar el radical, efectúe operaciones.
COMPROBACIÓN: Siempre que realice operaciones que no garanticen ecuaciones equivalentes, realice la verificación, reemplazando soluciones en ecuación original.
“Solución extraña”
4.
Es una expresión no factorable, para la solución utilice la fórmula cuadrática.
5.
“No tiene solución, no existe raíz cuadrada de un número negativo”
4. APLICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES
Hasta el momento ha recordado los procesos de solución de ecuaciones; en la vida práctica se le presentan diversas situaciones en las que puede transformar las mismas en modelos matemáticos que le permitirán dar solución a las mismas.
Para la solución de problemas prácticos siga los siguientes pasos:
a) Tenga confianza en Usted, reflexione la situación que le presentan.
b) Lea con detenimiento, entienda de que se trata el problema. Identifique que le piden encontrar, frases como: ¿A qué distancia se encuentra?, Qué cantidad de inversión? etc. Le indican lo que debe encontrar.
c) Asigne una variable (x, y, …) a la cantidad desconocida, utilice las variables para expresar la información en expresiones algebraicas. De ser necesario utilice gráficos.
d) Con las expresiones algebraicas y el enunciado del problema formule la ecuación. Resuelva
e) Compruebe si la solución encontrada satisface la ecuación y el enunciado del problema.
Ejemplos:
1. La compañía R&S fabrica un producto para el cual el costo de mano de obra es de $4, materiales $3 y $1 por costos adicionales por unidad; los costos fijos son de $35000. Si el precio de venta del producto es de $15.Determine el nivel de producción para: (a) Encontrar el punto de equilibrio. (b) Utilidad o pérdida cuando se producen 85000 y 45000 unidades. (c) Número de unidades para obtener una utilidad de $50000
Previo a la solución; es importante que se acostumbre a utilizar términos económicos utilizados en la producción y comercialización de productos, así:
Costo variable (Cv). Son todos los costos unitarios directos que están en función del número de unidades producidas, como son: materiales, mano de obra y otros que están relacionadas con la producción de cada unidad.
Costo fijo (Cf). Es el costo que no depende del número de unidades producidas como: arrendamiento, seguros, etc.
Precio de venta (pv). Es el precio que se establece para la venta del producto elaborado.
Costo total (C). Es la suma del costo fijo y el costo variable.
Ingreso total (R). Es la cantidad de dinero que se obtiene por la venta de la producción.
Utilidad (P). Es la cantidad de dinero que se obtiene al restar el ingreso total del costo total.
Punto de equilibrio. En negocios es muy importante conocer el punto de equilibrio en la producción, esto es donde el ingreso total es igual al costo total, concepto importante para determinar a qué nivel de producción se inicia las utilidades.
a) Punto de equilibrio.
b) Utilidad o pérdida cuando se producen 85000 y 45000 unidades.
c) Número de unidades para obtener una utilidad de $50000
2. Inversión. La señorita Carola Padilla recibió una herencia de $250000. Después de analizar diversas opciones, decide invertir parte de este monto en una cuenta de ahorros que paga el 4% anual, y el resto en otra que paga 6% anual. Si desea invertir recibir $13000 de ingresos anuales, ¿cuánto debe invertir la señorita Hortensia en cada cuenta?
Recuerde el interés por cada inversión esta dado por: , como
el tiempo de la inversión por un año:
3. Encuentre tres números pares consecutivos, tales que el doble del primero mas el tercero sea igual a 10 más que el segundo.
Sea: = primero de los tres números pares consecutivos segundo número par, consecutivo después de x tercer número par, consecutivo después de x
Modelemos el problema:
doble del primero
tercero
10 el segundo
+ = +
+ = 10 +
Comprobación:
4. Tres personas A, B y C reciben una herencia de $3500, B recibe el triple de lo que recibe A; y C el doble de lo que recibe B. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
Planteamiento:
A: recibeB: recibe triple de AC: recibe doble de B
Recibe A
5. Un automóvil sale de A hacia B a una velocidad de 80 km por hora al mismo tiempo que sale un ómnibus de B hacia A a 65 km por hora. Si la distancia AB es de 435 km, ¿a qué distancia de B se encontrarán y cuánto tiempo tardarán en encontrarse?
Recuerda: La velocidad de un vehículo, está dada por la relación entre
la distancia recorrida y el tiempo
a) Grafico: Llamemos a M, el punto de encuentro de los dos vehículos, que ocurrirá en el mismo tiempo
b) Planteamiento.
Espacio Velocidad TiempoVehículo
180
Vehículo 2
65
c) Solución:
“ tiempo en encontrarse”
6. Diseño de empaque. Una compañía está diseñando un empaque para su producto. Una parte del empaque será una caja abierta fabricada a partir de una pieza cuadrada de aluminio, de la que se cortará un cuadrado de 2 pulgadas de cada esquina para así doblar hacia arriba los lados. La caja es para contener 50 pulgadas3.¿Cuáles son las dimensiones de la pieza cuadrada de aluminio que debe utilizarse?
Solución: Recuerde que el volumen de un recipiente de base cuadrada, esta dado por:
a) Sea la dimensión de la pieza de aluminio.
Solución:
b) Comprobación:
7. Programa de expansión. En dos años una compañía iniciara un programa de expansión. Tiene decidido invertir $2´000000 ahora, de modo que en dos años el valor total de la inversión sea de $2´163200, la cantidad requerida para la expansión. ¿Cuál es la tasa de interés anual, compuesta anualmente, que la compañía debe recibir para alcanzar su objetivo?
Solución: Si invierte una cantidad de dinero al transcurrir el tiempo (1 año), tendrá el capital más el interés ( , donde r es la tasa de interés que se aplica a la inversión.
Primer año: “Capital para segundo año”
Segundo año:
El total de la inversión en el segundo año es ;
5. DESIGUALDADES LINEALES
Una desigualdad lineal puede expresarse en la forma: o con , la solución no es única, sino un conjunto de valores representados por un intervalo. Estudie páginas 71, 72, 73; en lo que se refiere a las reglas de las desigualdades y propiedades de los intervalos. Utilice
5.1 REGLAS DE LAS DESIGUALDADES
1. Si a los dos lados de una desigualdad se suma o se resta un mismo número, la desigualdad resultante tiene el mismo sentido.
2. Si ambos lados de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número positivo, la desigualdad resultante tiene el mismo sentido.
3. Si a los dos lados de una desigualdad se multiplica o divide por un mismo número negativo, la desigualdad resultante tiene sentido contrario.
Ejemplo:
Ejemplos:
1. Realice las operaciones usuales de igualdades.
“Revise regla 3 “
2.
6. APLICACIÓN DE DESIGUALDADES
1. Utilidad. Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo de material es de $3 y el de mano de
obra de $5: El costo fijo constante, sin importar el volumen de ventas, es de $100000. Si el precio para un mayorista es de $10 por unidad, determine el número mínimo de unidades que deben venderse para que la compañía obtenga utilidades.
La compañía debe vender al menos 50000 unidades para obtener utilidades.
2. Patricio Ruales asistió a una conferencia en Montreal, Canadá durante una semana .Decidió rentar un auto y consultó los precios a dos empresas. Avery pedía $56 diarios, sin cuota de kilometraje. Hart pedía $216 por semana y $0.28 por milla o fracción de milla. ¿Cuántas millas debe Ruales manejar para que un auto de Avery sea la mejor opción?
Sea: Número de días de la semana=7
7. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO
El valor absoluto de un número real a, se denota así | a | y es la distancia, en una recta numérica, desde el origen al punto cuya coordenada es a.
Por ejemplo: | 4 | = 4 y | -4 | = 4 ya que ambos tanto el 4 como el -4 están a la misma distancia del 0. Así:
7.1 SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO
Para resolver ecuaciones lineales con valor absoluto se procede así: Ejemplo 1: Resolver la ecuación | x – 4 | = 3 Como esta ecuación establece que x – 4 es un número que está a 3
unidades del cero tanto a la derecha como a la izquierda, igualamos la ecuación primero a (+3) y luego a (-3) y eliminamos así las barras que indican valor absoluto
x – 4 = 3 o x – 4 = - 3 Resolvemos las ecuaciones separadamente:
x = 4 + 3 o x = 4 – 3 La solución es: x = 7 o x = 1
Ejemplo 2: Resolver la ecuación
La ecuación no tiene solución porque ningún valor absoluto es un número negativo.
8. SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES LINEALES CON VALOR ABSOLUTO
Para la solución de desigualdades lineales con valor absoluto tome en cuenta las siguientes propiedades.
Ejemplo 1: Resolver la desigualdad | x – 3 | < 5
Aplique la regla:
Se tiene una desigualdad simultánea:
Ejemplo 2: Resolver la desigualdad
Aplique la regla:
CONSULTAS EN EL TEXTO
Estudie el texto guía; página 27 a 71
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Clasifique los enunciados como verdadero o falso. Si es falso de una razón
1.1 Una ecuación es una expresión matemática conformada por dos lados o miembros unidos por el signo igual
V F
1.2 Al aplicar un radical del mismo índice a los dos lados de una igualdad, garantizan una ecuación equivalente1.3 Si x2 = 4 entonces x = 21.4 Si – x< 4 entonces x< -41.5 El valor absoluto de cualquier número real siempre es positivo
AUTO EVALUACIÓN
¿Cómo se encuentra?, déjeme opinar; el estudio en el texto base, el apoyo de la guía de estudios debe estar conduciendo a un aprendizaje adecuado.
CONSOLIDACIÓN
Al finalizar cada capítulo o tema tratado; el texto guía le proporciona un resumen de conceptos y fórmulas importantesComo un refuerzo en su conocimiento, realice el ejercicio siguiente:1. Si un editor pone un precio de $20 a un libro, se venderán 20000 copias. Por cada dólar que aumente al precio se dejará de vender 500 libros. ¿Cuál debe ser el costo de cada libro para generar un ingreso total por la venta de $425500?
2. De acuerdo con la revista “El mundo de la velocidad”, el año próximo el precio, p en dólares, de un automóvil compacto estará dado por:
Determine el precio más alto y el más bajo que tendrá un automóvil compacto el próximo año, de acuerdo con esa.
UNIDAD III
TITULO: FUNCIONES.
Competencias: Conoce la definición de función, propiedades y su representación gráfica y aplica en asuntos administrativos y económicos, con precisión.
Contenidos:1. Definición de función2. Tipo y Dominio de funciones3. Composición de funciones4. Gráficas en coordenadas rectangulares
VINCULACION CON CONOCIMIENTOS ANTERIORES
Capitulo 0: Productos notables y factorización
Capitulo 1: Ecuaciones y desigualdades
1. DEFINICIÓN DE FUNCION
En muchas ocasiones de nuestra vida diaria escuchamos este término está en función de; por ejemplo: Se dice que el interés a pagar por un préstamo está en función del tiempo que una persona necesita un capital determinado y a una tasa de interés definida.
Una función es una regla que asigna a cada número de entrada exactamente un número de salida. Al conjunto de números de entrada (x) para los cuales se aplica la regla se llama el dominio de la función. El conjunto de todos los números de salida (y) se llama rango.
La variable (x) que representa a los números de entrada se llama variable independiente y la variable (y) que representa a los números de salida se denomina variable dependiente; en otras palabras el valor de (y) depende del valor que tome la variable (x).
A los valores que toma la variable x se denominan valores funcionales
“valores con los que funciona la función”
1. Para : Determine los valores funcionales:
2. TIPO Y DOMINIO DE FUNCIONES
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN. Son todos los valores que puede tomar x para que exista la función .
EJEMPLOS.
1. Dominio de una función polinomial. Una función polinomial es la función donde la variable esta elevada a distintos exponentes siempre positivos. Ejemplo:
Los valores que puede tomar x es cualquier número real, porque siempre va existir como resultado un número real.
2. Dominio de una función racional. , es una función
que tiene una función polinomial en el numerador y en el denominador.
Los valores que no puede tomar x son los valores para los cuales el denominador se hace cero. Recuerde que no existe división para cero. Encuentre entonces esos valores.
3. Dominio de una función con radical par. . Los valores que puede tomar x son los que permiten que el radicando sea positivo
.
4. Dominio de una función constante. . En la función constante, cualquier valor que tome x será siempre igual a 6.
5. Dominio de una función definida por partes. Una función por partes como el nombre lo indica está definida de acuerdo a intervalos. Ejemplo:
3. COMBINACIÓN DE FUNCIONES
Existen diversas formas de combinar funciones para obtener una nueva.
EJERCICIOS: Sean
1.
2.
3.
4.
5.
6.
4. GRÁFICAS EN COORDENADAS RECTANGULARES
Coordenadas Rectangulares: Todo punto en el plano cartesiano está representado por el par ordenado . Ejemplo: Ubicar los siguientes puntos
Para graficar funciones tome en cuenta las siguientes recomendaciones:
a) Determine el dominio de la función, es decir los valores que puede tomar la variable x.
b) Encuentre las intersecciones con los ejes.
Intersección con eje x: y = 0Intersección con eje y: x = 0
c) Determine la simetría respecto a los ejes y al origen
La simetría es una propiedad, por la cual una curva es idéntica a través de un eje, es decir la curva se refleja exactamente.
Simetría respecto al eje x: En la ecuación original se cambia y por (-y), si la ecuación resultante es igual a la original existe simetría.Simetría respecto al eje y: En la ecuación original se cambia x por (-x), si la ecuación resultante es igual a la original existe simetría.
Simetría respecto al eje x: En la ecuación original se cambia simultáneamente x por (-x) y y por (-y), si la ecuación resultante es igual a la original existe simetría.
d) Grafique la curvae) En base a la curva determine el Rango de la función, es decir los
valores que toma y.
Ejemplo 1: GRAFIQUE:
1. Dominio de la función: Df = R
2. Intersecciones con los ejes
Intersección con eje x:
Intersección con eje y
3. Simetría con los y el origen
Simetría con eje x. Cambie
No tiene simetría con eje x.
Simetría con eje y. Cambie
No tiene simetría con eje y.
Simetría con respecto al origen. Cambie
No tiene simetría con respecto al origen.
TABLA DE VALORES:
Rango de la función: Rf =
Ejemplo 2: GRAFIQUE:
1. Dominio de la función:
2. Intersecciones con los ejes
Intersección con eje x:
Intersección con eje y
No tiene intersección con eje y
3. Simetría con los y el origen
Simetría con eje x. Cambie
Si tiene simetría con eje x.
Simetría con eje y. Cambie
Si tiene simetría con eje y.
Simetría con respecto al origen. Cambie
Si tiene simetría con respecto al origen.
TABLA DE VALORES:
GRAFICAR:
Defina para qué intervalo corresponde cada una de las funciones y elabore una tabla de valores y grafique.
Tabla de valores:
Es importante que aprenda a reconocer la forma que tienen las curvas más utilizadas.
CONSULTAS EN EL TEXTO
Estudie el texto guía; página 74 a 108
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
AUTO EVALUACIÓN
Su estudio le ha permitido realizar la tarea a entregar para su evaluación, su estudio permanente, la autoevaluación constante rinde sus frutos en su aprendizaje.
Ahora debe prepararse para presentar su examen, si tiene dudas acuda a su tutor. Siga adelante.
CONSOLIDACIÓN
Al finalizar cada capítulo o tema tratado; el texto guía le proporciona un resumen de conceptos y fórmulas importantesComo un refuerzo en su conocimiento, realice el ejercicio siguiente:
1. Grafique:
2. El número de viviendas construidos por año, N, depende de la tasa de interés hipotecaría r de acuerdo con la fórmula:
Donde N está en millones. La tasa de interés actualmente está en 12% y se predice que disminuirá a 8% en los siguientes 2 años de acuerdo con la fórmula:
Donde t es el tiempo medido en meses, a partir de ahora. Exprese N como una función del tiempo t. Calcule el valor de N cuando .