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En este trabajo se emplea una modelo numérico en donde las ecuaciones que gobiernan el sistema líquido – tanque se
resuelven proponiendo una función analítica, la ecuación diferencia resultante se resuelve mediante separación de
variables, a la cual se le asignan las condiciones de frontera correspondientes al sistema.
Para evaluar la respuesta sísmica se consideran tanque para agua potable anclados en su base, los cuales tienen
dimensiones que se emplean típicamente en la práctica profesional, con capacidades desde los 100 m³ hasta los 1500m³, las cuales se muestran en la Tabla 1.
Tabla 1 Capacidades y dimensiones de los tanques de estudio
Capacidad
(m³)
Largo
(m)
Ancho
(m)
Alto
(m)
100 6.25 5.25 3.10
300 10.25 8.25 3.60
500 14.25 9.25 3.80
800 16.30 11.30 4.35
1000 18.30 12.30 4.50
1500 20.30 16.30 4.60
MODELO NUMÉRICO
Figura 1 Geometría del tanque en estudio
En todo el dominio del tanque, la continuidad está definida por la ecuación de Laplace, la cual se especifica en la ec.
(1).
2 2
2
2 2 0
x y
(1)
En las paredes, se debe cumplir con la condición de frontera establecida por la ec. (2).
0 x
(2)
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En el fondo, se debe cumplir con la condición definida por la ec. (3).
0 y
(3)
En la superficie ( y ), el movimiento del líquido se rige por la condiciones dinámica y cinemática, definidas
respectivamente por las ecuaciones (4) y (5).
221
( ) 02
c x a t g
t x y
(4)
0t x x y
(5)
donde:
( )c
a t Aceleración horizontal del terreno
g Aceleración de la gravedad
Altura de la ola
Con el fin de plantear una solución analítica se consideran que las ondas que generan el oleaje en la superficie por
efecto de la excitación sísmica en la base del tanque son periódicas, progresivas y planas. Periódicas se refiere a la
particularidad de que las ondas presentarán repetición en su forma a intervalos más o menos constantes (en espacio y
tiempo). Progresivas se refiere al hecho de que las ondas avanzan en cierta dirección, es decir, no se encuentran
estacionarias en un mismo punto. Planas se refiere a la característica de ser uniformes en la dirección normal al avance
de las ondas.
Suponiendo que está formada por un producto de funciones: una que representa la componente horizontal ( )U x
una que represente la componente vertical ( ) P y y una en función del tiempo ( ) f t con la que puede expresarse
como:
, , ( ) ( ) ( ) x y t U x P y f t (6)
La ec. (6) se puede resolver mediante separación de variables, estableciendo la continuidad mediante la ec. (1) y dando
condiciones de frontera en x a , x a , y H y y mediante las ecuaciones (2) a (5) en donde se desprecian
los términos de orden superior, de forma tal que se obtiene a partir de las ecuaciones (7) y (8).
1
cosh, , sen
cosh
n
n n
n n
m y H x y t F t m x
m H
(7)
2
2
2
2 12
n n n n n c
n
F t F t F t a t a m
(8)
donde:
2 1
2
1, 2, 3
tanh
n
n n n
nm
a
n
m g m H
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La altura de la ola medida a partir de la superficie del líquido, así como la distribución de presiones en cualquier punto
del dominio se obtienen respectivamente por las ecuaciones (9) y (10), respectivamente.
1
1, sen
c n n
n
x t x a t F t m x g
(9)
1
cosh, , sen
cosh
n
c n n
n n
m y H p x y t x a t gy F t m x
m H
(10)
Integrando sobre las paredes del tanque la fuerza cortante y el momento flexionante se obtienen mediante las
ecuaciones (11) y (12) respectivamente.
2
1
( )sin, , ( ) senh senh
2 cosh
x
c n n
n n n
F t m x g yV x y t x y a t m y H m H
m m H
(11)
21 1
2
1
2 3
2
cosh senh, , ( ) sen ( ) sen sen
coshcosh
senh( ) ( ) sen
2 cosh
cosh( ) ( ) sen
2 6 cosh
n nn n n n
n n n nn n
n
c n n
n n n
n
c n
n
m H m H M x y t F t m x H F t m x m x
m m H m m H
m y H g y y H x y a t F t m x
m m H
m y H x y g ya t F t m x
m
1n nm H
(12)
Un desarrollo más detallado de la obtención de las anteriores expresiones puede consultarse en Hernández – Martínez
(2002).
BASES DE DATOS DE SISMOS
Considerando que los sismos de subducción liberan la mayor cantidad de energía sísmica a nivel mundial, este tipo de
eventos constituye una de las principales fuentes de riesgo sísmico en el planeta. En tales regiones, se han generado
los sismos de mayor magnitud registrados hasta la fecha, los cuales generalmente son los sismos que causan directa o
indirectamente los mayores niveles de destrucción.
A los sismos que tienen como epicentro las zonas entre la placa oceánica subducida y la placa continental se le
denomina sismos interplaca, y como se ha mencionado, son los sismos que liberan la mayor cantidad de energía sísmica
a nivel mundial. De los diez mayores sismos registrados desde 1900, nueve son interplaca. Por esta razón se ha puesto
gran atención a este tipo de sismos, ya que tienden a ser muy destructivos.
Además de los sismos interplaca, los sismos intraslab1 localizados en la placa oceánica subducida constituyen una
importante fuente de energía sísmica propia de las zonas de subducción. Históricamente estos eventos han sidorelegados a un segundo plano debido a que no liberan la misma cantidad de energía sísmica que los eventos interplaca,
pero que en tiempos recientes han cobrado importancia en los estudios de peligrosidad sísmica al tomar conciencia de
su notable capacidad para producir daños.
1 Se define de esta forma para diferenciarlos de los eventos intraplaca que se asocian a eventos lejos de las zonas de
subducción y no se especifica la ubicación de esta fuente en la placa oceánica subducida.
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Los sismos interplaca se han mostrado especialmente peligrosos para el Valle de la Ciudad de México y el cinturón
volcánico mexicano. Por su parte, los eventos intraslab han afectado tradicionalmente más a poblaciones del altiplano
que se extiende al sur del cinturón volcánico, agravando su potencial destructivo por su menor profundidad. Por esta
razón, en el presente trabajo se considera el estudio de la respuesta sísmica de tanques de almacenamiento ante ambos
tipos de eventos. Para evaluar lo anterior, se emplea una base de datos de registros sísmicos derivada del trabajo
realizado por García – Jiménez (2006).
En el presente trabajo se emplean 277 registros sísmicos con sus dos componentes ortogonales (577 acelerogramas)
de los sismos intraslab, así como 418 registros (836 acelerogramas) para sismos interplaca. En la Figura 2 se muestran
los espectros de respuesta obtenidos para cada uno de los tipos de sismos considerados obtenidos con un 5% de
amortiguamiento crítico.
Figura 2 Espectros de respuesta con 5% de amortiguamiento
ANÁLISIS PROBABILÍSTICO
Los resultados de la respuesta sísmica ante distintos tipos de sismos y para las diversas geometrías de los tanques de
almacenamiento, se emplean para llevar a cabo un análisis probabilístico. Para hacer esto, la solicitación en la pared
del tanque debida a la respuesta sísmica de cada una de las componentes horizontales ortogonales para cada tipo de
sismo se considera como una muestra. Las solicitaciones que se obtuvieron previamente son el oleaje máximo en la
superficie, la presión máxima, el cortante máximo y el momento flexionante máximo en la pared del tanque.
Por ejemplo, considérese el caso de sismos instraslab, un tanque rectangular para una capacidad de 100 m³ con
geometría definida por a = 2.625 m y H = 3.1 m, y momento flexionante máximo en la pared del tanque. En este caso
el momento flexionante se considera una variable aleatoria a ser caracterizada probabilísticamente mediante una
distribución de probabilidad. Para determinar el tipo de distribución de probabilidad del momento flexionante para el
caso de interés, las muestras se representan mediante distintas gráficas de p robabilidad (“papeles” de probabilidad)
que se pueden observar en la Figura 3, en la que -1 (∙) denota el inverso de la función de distribución Normal estándar
y F(x) denota la función de distribución acumulada del momento flexionante máximo en la pared del tanque debido a
la respuesta sismica. De la Figura 3 se observa que la distribución de probabilidad que mejor caracteriza al momento
flexionante en la pared del tanque es la distribución Lognormal. Estos resultados se corroboran usando el método de
máxima verosimilitud y el criterio de información de Akaike (Akaike, 1970); no obstante que la distribución de
probabilidad Loglogística se disputa la posición como la opción más adecuada, se considera que el empleo de la
distribución Lognormal es conveniente, ya que es más conocida y además hay información en la literatura en la que
esta distribución se ajusta bien a la respuesta sísmica (e.g. García Soto et al., 2012; Hong y Jiang, 2004). Las otras
solicitaciones (oleajes, presiones y cortantes) muestran un comportamiento similar y pueden también considerarse
como distribuciones Lognormales.
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Figura 3 Gráficas de probabilidad para momento flexionante y sismos intraslab
Figura 4 Gráficas de probabilidad para momento flexionante y sismos interplaca
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
0.001 0.01 0.1 1 10 100
l n
( - l n ( 1 - F A
( x ) ) )
Momento flexionante (t-m)
Distribución Weibull
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 5 10 15
- 1 ( F A
( x ) )
Momento flexionante (t-m)
Distribución Normal
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0.001 0.01 0.1 1 10 100 - 1 ( F A
( x )
)
Momento flexionante (t-m)
Distribución Lognormal
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0.001 0.01 0.1 1 10 100
- l n ( - l n ( F A
( x ) ) )
Momento flexionante (t-m)
Distribución Frechet
-8
-7
-6
-5-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
0.001 0.01 0.1 1 10 100
l n ( - l n ( 1 - F A
( x ) ) )
Momento flexionante (t-m)
Distribución Weibull
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 5 10 15
- 1 ( F A ( x
) )
Momento flexionante (t-m)
Distribución Normal
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0.001 0.01 0.1 1 10 100 - 1 ( F A ( x ) )
Momento flexionante (t-m)
Distribución Lognormal
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.001 0.01 0.1 1 10 100
- l n ( - l n ( F A
( x ) ) )
Momento flexionante (t-m)
Distribución Frechet
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Para el caso del momento flexionante se emplea el método de máxima verosimilitud y se determinan los parámetros
de la variable aleatoria Lognormal del caso referido, resultando en un media de 0.7037 t-m y una desviación estándar
igual a 1.8444 t-m, lo que indica una dispersión grande respecto al valor medio. Cabe señalarse que para los análisis
que se llevaron a cabo se consideraron únicamente los momentos flexionantes debidos al efecto hidrodinámico, como
también es el caso para los sismos interplaca que se refiere en las líneas subsecuentes. Se considera que para fines de
diseño o análisis de confiabilidad, el efecto hidrostático puede considerarse como determinista.
El análisis anterior se repite para el mismo tanque y también para momento flexionante máximo en la pared del tanque,
excepto que ahora se consideran los sismos interplaca y las 836 muestras para las 2 componentes ortogonales
horizontales de los registros para este tipo de sismo. En la Figura 4 se muestran las gráficas de probabilidad para este
caso. De la Figura 4 puede observarse que también la distribución Lognormal resulta en un mejor ajuste, y aunque
también la distribución Loglogística es una buena opción, la distribución Lognormal presenta mayor valor para el
criterio de información de Akaike (Akaike, 1970). Del empleo del método de máxima verosimilitud se obtienen los
parámetros de la variable Lognormal, resultando una media de 0.9074 t-m y una desviación estándar de 5.5796 t-m.
En promedio los momentos flexionantes son mayores para los sismos interplaca que para los instraslab, y con mayor
dispersión respecto a la media.
Los resultados anteriores podrían utilizarse para análisis de confiabilidad en otros estudios, ya que las solicitaciones
pueden ser consideradas como la demanda, que es caracterizada como una variable aleatoria Lognormal, y emplearlos
junto con la capacidad de los tanques de almacenamiento (en términos de las distribuciones de probabilidad de las
variables aleatorias que la determinan) para obtener las probabilidades de falla y correspondientes índices de
confiabilidad para el estado límite de interés (e.g., estado límite de falla por momento flexionante), y para diversas
geometrías de tanques de almacenamiento de agua potable.
CONCLUSIONES
Los análisis probabilísticos mostraron que los elementos mecánicos producidos por ambos tipos de sismos en las
paredes de los tanques de almacenamiento de agua potable son factibles de caracterizarse como variables aleatorias
Lognormales. Esta información puede ser útil para estudios de confiabilidad o para tareas de calibración de
reglamentos.
REFERENCIAS
Akaike, H. (1974). A new look at the statistical model identification. IEEE Transactions on Automatic Control, 19:6:
716-723.
CFE, (1993). Manual de Diseño de Obras Civiles – Diseño por Sismo. Comisión Federal de Electricidad.
CFE, (2008). Manual de Diseño de Obras Civiles – Diseño por Sismo. Comisión Federal de Electricidad.
García Soto, A D, Pozos-Estrada, A, H P Hong y R Gómez (2012). Estimación del peligro sísmico debido a sismos
interplaca e inslab y sus implicaciones en el diseño sísmico. Revista de Ingeniería Sísmica, No. 86, pp 27-54,
México.
García – Jiménez, D. (2006). Estimación de parámetros de movimiento fuerte del suelo para terremotos interplaca eintraslab en México central. Tesis Doctoral. Facultad de Ciencias Físicas, Universidad Complutense de Madrid.
Hernández – Martínez, A. (2002). Análisis sísmico no – lineal de tanques rectangulares. Tesis de Maestría. Facultado
de Ingeniería Civil de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo.
Hong, H.P., Jiang J. (2004). Ratio between peak inelastic and elastic responses with uncertain structural properties.
Canadian Journal of Civil Engineering . 31, pp. 703 – 711.
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Housner, G.W. (1963). The dynamic behavior of water tanks. Bulletin of the Seismological Society of America. 53:2,
pp. 381 – 387.