1993 blanco libro resolucion de problemas

Consideraciones elementales sobre la resolucin de problemas

L.J. Blanco (1993) - 1

CONSIDERACIONES

ELEMENTALES SOBRE LA

RESOLUCION DE PROBLEMAS

Lorenzo J. Blanco Nieto

Dpto. de Didctica de las C. Exper. y de las Matemticas

Universidad de Extremadura

Miembro del Grupo Beta

Badajoz

Diciembre de 1992


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INDICE CAPITULO I. Aspectos generales del cambio curricular 1. Referencias histricas de la Didctica de las Matemticas.

1.1. Matemtica modernas.

1.2. Volver a lo bsico.

1.3. Resolucin de problemas.

1.4. Matemticas para el siglo xxi.

2. Nueva actitud hacia las Matemticas.

CAPITULO II. Natualeza y perspectivas en la resolucin de problemas 1. Significado de las expresiones "Problema" y "Resolucion de Problemas".

1.1. Definicin de problema.

1.2. Situacin de aprendizaje en la resolucin de problemas.

2. Perspectivas sobre la resolucin de problemas en la enseanza de las

Matemticas.

2.1. Los problemas como justificacin de los conocimientos aprendidos.

2.2. los problemas como motor de la adquisicin de conocimientos.

3. Resumen

CAPITULO III. Clasificacion de los problemas 1. Ejercicios de reconocimiento.

2. Ejercicios algortmicos o de repeticin

3. Problemas de traduccin simple o compleja

4. Problemas de procesos

5. Problemas sobre situaciones reales

6. Problemas de investigacin matemtica

7. Problemas de puzles

8. Historias matemticas

CAPITULO IV. Ensear a resolver problemas. 1. Procesos para la resolucin de problemas. Modelo de G. Polya.

2. Otras aportaciones.

3. Propuestas de actividades.

CAPITULO V. Factores en la resolucin de problemas. 1. Aportaciones de autores.

2. Factores derivados de la interaccion didactica en la resolucion de problemas.

a) Contexto en el que se resuelve el problema.


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b) Reacciones emocionales del alumno

c) Interaccin profesor-alumno.

d) El alumno como investigador

e) Presentacin compartida del problema

f) Objetivos de la actividad

g) Planteamiento de situaciones familiares al alumno.

h) Relacin entre problema y teora

i) Lenguaje

j) Interaccin entre los propios alumnos

k) Error y diagnstico como factor de aprendizaje

l) Revisin del problema.

BIBLIOGRAFIA


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INTRODUCCION Desde algunos aos se viene repitiendo, tanto en los estudios sobre enseanza-

aprendizaje de las Matemticas como en los nuevos diseos curriculares, que la

Resolucin de Problemas es el centro de la enseanza de las Matemticas. Esta idea,

aceptada en su literalidad, no encuentra en la mayora de los casos un reflejo claro en la

prctica docente a pesar de las interesantes y atractivas propuestas didcticas que en la

actualidad se realizan.

En alguna ocasiones, hemos observado entre los profesores diferentes significados

para la expresin "Resolucin de Problemas" lo que nos hace pensar que esta

pluralidad pueda estar en el origen de la falta de aplicacin prctica de esta nueva

perspectiva metodolgica para la enseanza de las Matemticas. En otros momentos,

se detecta falta de recursos para plantear a otro tipo de actividades, en relacin a la

resolucin de problemas, lo que en ocasiones hace de esta una actividad mecnica y

carente de inters y motivacin para nuestros alumnos.

Por otra parte, los estudios que sobre resolucin de problemas han partido de la

actividad docente desarrollada en el aula, han puesto de manifiesto la diversidad de

factores que la condicionan, tanto en relacin a los alumnos, la actitud del profesor, al

contenido matemtico, o la propia situacin planteada.

Son estos aspectos los que constituyen el ncleo de este trabajo, que pretende dar

algunas orientaciones elementales sobre los mismos, intentado clarificarlos y

aportando algunas referencias bibliogrficas que puedan ayudar al lector a profundizar

en aquellos puntos que les resulten de inters.


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CAPITULO I. ASPECTOS GENERALES DEL CAMBIO CURRICULAR

En todos los sectores relacionados con la enseanza: profesores, padres, alumnos,

etc., existe una opinin generalizada acerca de la dificultad que entraa la enseanza y

aprendizaje de las Matemticas, sobre todo si consideramos los pobres resultados en el

aprendizaje de esta materia que se concibe, en lneas generales, al mismo tiempo como

abstracta y til para nuestros alumnos.

En el prlogo a la ediccin espaola del Informe Cockroft se establecen algunas

pautas que definen la situacin en Espaa de la enseanza de las Matemticas. En uno

de sus puntos, se refiere expresamente a esta sensacin de fracaso y desconcierto que

parece ser propia de esta materia: "El alto nmero de suspensos en Matemticas y la

conciencia de que los alumnos no aprenden en la medida esperada, est extendiendo

entre los profesores, los alumnos y los padres la idea de que "algo va mal", manifestada

unas veces como sensacin de fracaso, otras como desconcierto, a menudo como

frustracin" (Cockroft, 1985, p. XII)

La preocupacin por mejorar los resultados en la enseanza de las Matemticas es

cada vez ms evidente y constituye una de las prioridades de la comunidad educativa.

Del anlisis de la abundante literatura que sobre consideraciones generales o concretas

vamos teniendo referencia, deducimos la multiplicidad de aspectos que pueden ser

estudiados, relacionados con esta materia y que ponen, al mismo tiempo, de manifiesto

diferentes lneas de investigacin. Es decir, las distintas variables que intervienen en la

educacin matemtica pueden estudiarse desde diferentes perspectivas que lejos de

contraponerse se complementan, establecindose una panormica ms precisa que nos

ayuda a comprender mejor el complejo mundo de la enseanza de las Matemticas.

1. REFERENCIAS HISTORICAS DE LA DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS.

Es indudable que el siglo XX se ha caracterizado por avances espectaculares en el

desarrollo cientfico y en la aplicacin tecnolgica. La actividad cientfica, en su

conjunto, ha ampliado su campo de accin y provocado en su desarrollo una mayor

interaccin ciencia-sociedad.

Esta estrecha relacin que se pone de manifiesto en las nuevas necesidades, ha

provocado, inevitablemente, nuevas concepciones en la enseanza de las distintas

materias que pueden considerarse la base del desarrollo cientfico. Por supuesto, entre

ellas, las Matemticas.

Si bien es cierto que podemos encontrar referencias concretas, desde principios de


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nuestro siglo (Gutirrez, 1991) que indican una preocupacin por renovar la enseanza

de las Matemticas, tanto en sus aspectos de contenido como metodolgicos, no lo es

menos que es desde la mitad del mismo cuando este inters tiene una mayor difusin,

aumentando considerablemente las referencias a Grupos organizados, Congresos,

publicaciones especficas, etc.

1.1. Matemtica Modernas. El movimiento de las nuevas matemticas naci, segn Malaty (1988) en 1952

como consecuencia de la propuesta del Comit de Matemtica en la Escuela de la

Universidad de Illinois y de uno de los planes de la pos-guerra en USA para la

educacin matemtica. No obstante, algunos matemticos, como Kline (1978) o

Putnam y otros (1990), aunque cuestionados por el propio Malaty, sealan que el

lanzamiento del Sputnik por los rusos en 1957, fue un acontecimiento decisivo que

provoc reacciones de cambio en aspectos importantes en la investigacin y desarrollo

de la enseanza de las Matemticas. Este hecho podra ser una justificacin para el

nacimiento del movimiento de la Matemtica moderna (new math movement).

Al margen de todo contexto concreto y/o anecdtico, podremos considerar las

dcadas de los 50 y de los 60, como un perodo de cambio importante en las

concepciones y mtodos desarrollados en la enseanza de las Matemticas. As, "la

impresin en estos momentos era que los alumnos aprendan en clase a manejar las

operaciones aritmticas bsicas y los algoritmos ms frecuentes y poco ms"

(Schoenfeld, 1985b, p. 26).

Polmicas acerca de la conveniencia de utilizar mtodos deductivos en la enseanza

de las Matemticas, sobre la aportacin de la psicopedagoga a la Didctica de las

Matemticas, o sobre la necesidad de modificacin del curriculum, etc, eran corrientes

en esta poca. Piaget y otros (1965), y los artculos que se recopilan en Hernndez

(1978), recogen esta propuesta de cambio, y provocan gran impacto en la sociedad

generando en sta una mayor necesidad de investigar el sentido que debe seguir la

enseanza de las Matemticas para las futuras generaciones.

En el centro de la polmica desatada, se sealaba la necesidad de modificar la

situacin que tena la enseanza de las Matemticas debido a la importancia que iba

tomando en la vida intelectual de la poca. As, "el problema fundamental que se

plantea es el de delimitar un nuevo ncleo de la enseanza matemtica que incluya las

ideas bsicas y las tcnicas ms importantes de las Matemticas modernas, y organizar

la enseanza de las materias de este ncleo fundamental en un programa bien

concebido, que no deje de tener en cuenta las aportaciones de la psicologa moderna al

estudio del desarrollo intelectual, la formacin de conceptos y la teora del

aprendizaje" (Stone, 1961, p. 91).

Podemos sealar que aparecen dos ideas que marcarn, a groso modo, los objetivos


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del movimiento de la Matemtica Moderna: la renovacin pedaggica y la

modernizacin de los programas. La necesidad de delimitar un nuevo marco curricular

de las Matemticas que considere las necesidades de la nueva sociedad, y el

aprovechamiento para la enseanza de las Matemticas de las aportaciones de la

psicopedagoga constituan un doble eje sobre el que giraba la modificacin de la

actividad docente e investigadora en nuestro campo de investigacin.

Sin embargo, el problema principal que domina todos los dems es el del contenido

de los estudios: saber cules son las Matemticas que deben ensearse hoy da

(Markusievitch, 1969). Aceptando esta idea aparecen en el currculum nuevos

contenidos. As, las llamadas "Matemticas modernas" o "los conjuntos" constituyen

una revolucin en la enseanza de las Matemticas, en los primeros niveles de

escolarizacin, provocando una gran polmica sobre la oportunidad de su

consideracin.

Con independencia de las distintas soluciones que podran haberse dado a este

problema haba que tener en cuenta la necesidad de cambiar los aspectos

metodolgicos como parte esencial para poder llevar a cabo una renovacin en la

enseanza de las Matemticas. Piaget (1966), reflexiona en este sentido, indicando que

no basta con la renovacin de contenidos si esta no va acompaada de una nueva

propuesta pedaggica: "Demasiados ensayos educativos contemporneos que incurren

en la triste paradoja de pretender ensear las Matemticas modernas con mtodos que

de hecho son arcaicos, es decir, esencialmente verbales y basados slamente en la

transmisin ms que en la reinvencin o redescubrimiento" (Piaget, 1966, p.185).

Desarrollo cientfico y

tecnolgico

"Nuevos" campos de la

teora matemtica

(T de Grupos, Conjuntos, etc)

Movimiento de las

"matemticas modernas"

Nuevos contenidos en

la enseanza de las Mat.

Renovacin pedaggica

Nuevas

aportaciones

psicopedaggicas

Figura n 1. Origen del movimiento de la enseanza de las "Matemticas Modernas".


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Malaty (1988), y con la perspectiva que permite el tiempo transcurrido, seala siete

aspectos que considera base para comprender los errores en la introduccin de las

"nuevas matemticas" en el curriculum escolar:

1) Los especialistas, aunque trabajaron con entusiasmo, lo hicieron muy deprisa.

2) No se dedic mucho tiempo a la evaluacin de los proyectos.

3) El uso de los libros de textos se extendi antes de que hubieran sido

adecuadamente examinados.

4) Los profesores no tenan la suficiente preparacin. A modo de ejemplo en Espaa

la introduccin de las "nuevas Matemticas" en la formacin inicial del profesorado

fue posterior a su implantacin en la educacin bsica.

5) Las conexiones entre los diferentes captulos de los textos muestra que el

currculo no haba sido suficientemente estructurado.

6) El corto periodo de reforma (10 a 15 aos) no permiti, en muchos casos, la

construccin de un programa conectado para todos los niveles preuniversitarios. En

algunos casos encontramos que el nuevo currculo empez a los 10 aos e introduccan

al mismo tiempo conceptos de conjuntos, relaciones, etc.

7) Finalmente, hace mencin de la ausencia de cooperacin entre los especialistas

en educacin matemticas y de especialistas en educacin.

1.2. Volver a lo bsico La adecuacin de los contenidos a los niveles de los estudiantes provoc una

corriente contraria (back to basics movement) en el que se trat de definir lo

fundamental de las Matemticas en base a recuperar los aspectos ms tradicionales

como los referentes, por ejemplo, al clculo aritmtico. A este respecto, podemos

sealar la opinin de Kline (1978), expresada en un libro cuyo ttulo, ya de por si

sugerente, Por qu Juanito no sabe sumar?, expresaba el sentimiento de fracaso que

acompaaba la enseanza de las Matemticas modernas. Sin embargo, y an cuando

no le faltaba razn, este autor tras analizar las propuestas de modificacin de

contenidos, radicaliz en exceso su posicin afirmando: "Por lo que se refiere al

contenido de las Matemticas, los cambios deseables no exigen sino pequeas

modificaciones en el plan tradicional, y todo lo que se diga acerca de que la sociedad

moderna requiere una clase totalmente nueva de Matemticas, es un completo

sinsentido" (p. 190).

En expresin de Malaty (1988) la principal justificacin que este movimiento tuvo

era la debilidad en las habilidades de clculo aritmtico que acompaaban a las

"nuevas Matemticas". El eslogan "Back to Basics", seala, fue sugerido por algunos

especialistas que se reunieron en Francia en 1978 y gan aceptacin en el 4 Congreso

Internacional en Educacin Matemtica en 1980. De cualquier manera, no fue la

opinin de los especialistas la que potenci el movimiento de volver a lo bsico, sino


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que fue la opinin pblica y los medios de comunicacin. Los padres no aceptaron que

el nuevo currculo no les fuera familiar ya que pareca poner el nfasis en una

matemtica desconocida e inaccesible para ellos, lo que no les posibilitaba ayudar a sus

hijos en un currculo diferente del que haban estudiado.

En base a las propuestas que surgen del debate acerca de la oportunidad de la

"Matemtica moderna" y/o el "fracaso de su enseanza" se formulan diversas

propuestas de nuevos objetivos para la enseanza de las Matemticas.

A este respecto, es interesante hacer referencia al libro Nuevas tendencias en la

enseanza de las Matemticas (ICMI, 1979) que recoge los trabajos preparatorios y las

actas del tercer Congreso Internacional sobre Educacin Matemtica, que tuvo lugar en

Karlsruhe (RFA) en Agosto de 1976. En l diversos autores proponen nuevas metas

para la enseanza de las Matemticas, tanto desde la perspectiva de adecuar los

contenidos a las nuevas demandas sociales, como de la renovacin de los mtodos de

enseanza.

Los objetivos estn expresados en trminos de conseguir no slo conocimientos y

habilidades matemticas, sino que van a las consecuencias que pueden derivarse de

una buena educacin en esta materia. De su anlisis, deducimos que se produce un

enfoque hacia la consideracin del desarrollo del alumno y de su actitud como eje del

acto educativo. Se abunda en objetivos tendentes al desarrollo de la personalidad del

individuo en relacin con la sociedad y con la propia ciencia matemtica.

Por su inters, como sntesis de las aportaciones de esta poca acerca de la

enseanza de las Matemticas, queremos recordar la relacin de objetivos que aparece

en Mclone (1979) que ha sido comentada en Dorfler y Mclone (1986).

En ella se consideran cuatro habilidades bsicas que se derivarn de una buena y

deseable educacin matemtica: habilidad de manipulacin, de descubrimiento, de

crtica y de comunicacin.

a) Habilidad de manipulacin:

1.- Adquisicin y comprensin de tcnicas y teoras bsicas.

2.- Empleo de tcnicas en resolucin de problemas estndares.

3.- Uso de tcnicas existentes en situaciones no familiares.

b) Habilidades de descubrimiento:

4.- Improvisin de nuevas tcnicas cuando existan otras inadecuadas.

5.- Abstraccin de lo que tienen en comn distintas situaciones.

6.- Formulacin de problemas en trminos matemticos (a menudo informacin

no matemtica)

c) Habilidades de crtica:

7.- Organizacin y comprensin de material escrito.

8.- Valorar la adecuacin de diferentes representaciones o modelos matemticos


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a un problema particular.

9.- Cuestionar oportunamente los argumentos matemticos de los trabajos

propios o ajenos.

d) Habilidades de comunicacin o cooperacin:

10.- Comunicacin de ideas y resultados en forma oral y escrita.

11.-Traducir (e interpretar) tales resultados en formas no Matemticas.

12.- Cooperar efectivamente en grupo (y otras disciplinas) (Dorfler y Mclone,

1986, p. 56).

A partir de las propuestas formuladas podemos destacar tres tipos de objetivos

diferenciados que deban constituir la referencia necesaria para un adecuado

curriculum de matemticas:

* El objetivo utilitario concerniente a la adquisicin de habilidades tiles de

matemticas,

* El objetivo de desarrollo personal relativo a la contribucin de las Matemticas al

crecimiento, desarrollo y educacin global del individuo,

* El objetivo matemtico relativo a la transmisin de conocimiento matemtico, la

comunicacin de la disciplina acadmica a los estudiantes (Ernest, 1986, p. 16).

1.3. Resolucin de problemas La necesidad de modificar aspectos importantes tanto metodolgicos como de

contenido, propios de los movimientos anteriores, aparece en el origen de esta nueva

perspectiva para la enseanza de las Matemticas. El curriculum deseado tendra que ir

en el sentido de facilitar la formacin matemtica, y posibilitar la adquisicin, por los

estudiantes, de las habilidades expresadas anteriormente.

Consecuentemente, los programas de Matemticas deberan proporcionar

experiencias suficientes a los alumnos para que estos llegaran a dominar distintas

situaciones matematizables. Se pretenda cambiar el rumbo de la enseanza de las

Matemticas para que los alumnos pudieran ser capaces de pensar matemticamente,

de aplicar sus conocimientos matemticos a otras disciplinas, en definitiva de hacer

Matemticas.

Estas consideraciones tuvieron como resultado el nacimiento de un movimiento en

favor de la resolucin de problemas, del que Schoenfeld (1985b) considera que nace a

finales de los aos 70.

Cierto es que en esta poca aparece, de forma explcita, en los objetivos o

prioridades de la enseanza de las Matemticas, expresados por autores o colectivos, la

resolucin de problemas. Sin embargo, anteriormente, en un intento de relacionar los

objetivos de la enseanza de las Matemtica con las metas generales de la educacin,


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algunos autores sealaron entre otros objetivos, la necesidad de desarrollar la habilidad

de usar modelos matemticos con miras a la solucin de problemas, (Krulik y Weise,

1975).

Por otra parte, Krygowska (1979) apoy la idea de la necesidad de iniciar a los

alumnos en la construccin de modelos matemticos y su utilizacin para resolver

problemas en un sentido que sealaba deba ser diferente del "pragmatismo estrecho"

que indica el uso de problemas tpicos segn esquemas ya prefijados. La necesidad de

mantener una actitud abierta a los problemas, la de iniciar procesos de matematizacin,

etc., son para l finalidades especficas de la educacin matemtica.

Con estos dos testimonios queremos poner de manifiesto que, al final de la dcada

de los 70, la resolucin de problemas estaba adquiriendo una mayor importancia como

aspecto destacado en la enseanza de las Matemticas.

Pero el momento en el que los investigadores consideran decisivo para el

lanzamiento del movimiento en favor de la resolucin de problemas, como uno de los

aspectos centrales de la enseanza de las Matemticas, es la aparicin de dos

publicaciones del National Council of Teachers of Mathematics en 1980.

Publicaciones que segn Krulik (1980) comenzaron a fraguarse en una reunin de ms

de 50 educadores de Matemticas que se reunieron en Cincinnati (USA), en el ao

1977 con el fin de empezar a escribir el libro del ao para 1980 (N.C.T.M., 1980a) y

que tendra como tema central la resolucin de problemas en la escuela.

En su Agenda for action: Recommendations for school Mathematics of the 1980s, el

N.C.T.M. da ocho recomendaciones acerca de la enseanza de las Matemticas, que

resumen los objetivos y prioridades que este colectivo tiene a este respecto. En la

primera de ellas sealan: "La resolucin de problemas debe ser el principal objetivo de

la enseanza de las Matemticas en la dcada de los 80" (NCTM, 1980b).

Al ao siguiente, public un informe titulado Priorities in School Mathematics,

acerca de las opiniones sobre el cambio curricular. En l se recoge el nivel de

aceptacin de las recomendaciones dadas el ao anterior, y en particular acerca del

significado que pudiera tener, la resolucin de problemas. As, se seala: "El clima

creado para la implementacin de la primera recomendacin parece ser altamente

favorable" (N.C.T.M., 1981a, p. 29).

En el prlogo del libro Problem solving in school Mathematics (NCTM, 1980a), se

puede apreciar el nuevo significado que este colectivo le daba a la expresin "problem

solving": "En la dcada de los 50 se hablaba de "revolucin en Matemticas"

(revolution in mathematics), en la dcada de los 60 se utilizaba el trmino

"Matemticas modernas" (modern math), en los 70, era "volver a lo bsico" (back to

basics) y en los 80 aparece "resolucin de problemas" (problem solving). Pero el

trmino resolucin de problemas es mucho ms que una frase. Para muchos autores es

la razn para la enseanza de las Matemticas. Es una de las habilidades bsicas que


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los estudiantes deben de tener a lo largo de sus vidas, y deben usar cuando ellos dejen

la escuela. Esta habilidad, es enseanza y aprendizaje, causa muchos momentos de

ansiedad tanto a los estudiantes como a los profesores, pero es una habilidad que puede

y debe ser enseada" (p. XIV).

Si bien este significado est en el origen del movimiento en favor de la resolucin

de problemas, no es menos cierto que el contenido de la expresin ha variado, y

evolucionado hacia nuevas consideraciones.

No era, sin embargo, la primera vez que se consideraba la resolucin de problemas

como un aspecto fundamental de la enseanza de las Matemticas. Polya (1949)

public un artculo titulado "On solving mathematical problems in high school", en el

California Mathematics Council Bulletin (V.7, n.2), reproducido en N.C.M.T. (1980a)

en el que deca: "En mi opinin el primer deber de un profesor de Matemticas es usar

esta gran oportunidad, debera hacer todo lo posible para desarrollar es sus estudiantes

la habilidad para resolver problemas".

Hasta estos aos varios autores haban tratado la resolucin de problemas dentro del

contexto de la enseanza de las Matemticas, y de los que podemos encontrar algunas

referencias en castellano como Mialaret (1986), Leif y Dezaly (1961), etc.. Otros

autores, como Carretero y Garca (1984) lo han tratado desde la perspectiva de la

Psicologa pero cuyo tratamiento y conclusiones puede tener repercusiones en la

enseanza de las Matemticas.

No obstante, estas aportaciones sobre la resolucin de problemas, aparecen algunas

dificultades para que esta idea pueda tener repercusin prctica en el marco curricular

correspondiente. As, recientemente, Rosenbaum y otros (1989), sealaban: "La

resolucin de problemas surge como aspecto central de las Matemticas en la escuela

primaria para facilitar, a nuestros estudiantes, la transicin al siglo XXI. Sin embargo,

traducir esta aspiracin a las clases prcticas llega a producir, a menudo, consternacin

y preocupacin" (p. 7).

Mientras que en otro sentido, Putnam y otros (1990) nos indican que "los

documentos de reforma han enfatizado acerca del hacer matemticas, pero no han

distinguido claramente entre lo que los estudiantes deberan hacer en la escuela y lo

que ellos deberan ser capaces de hacer como resultado de lo que aprendieran en la

misma" (p. 97).

1.4. Matemticas para el siglo XXI En la ltima dcada de nuestro siglo se vienen desarrollando unas nuevas

propuestas curriculares que tratan de recoger cul sera el sentido de la enseanza de

las Matemticas que los ciudadanos del siglo XXI utilizaran individualmente y como

miembro de la sociedad actual.

En nuestro pais con la reforma educativa iniciada y la publicacin de los nuevos


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currculos se parte de considerar las Matemticas como un conjunto de conocimiento

en evolucin continua, estableciendo que:

* El conocimiento matemtico tiene un enorme poder como instrumento de

comunicacin concisa y sin ambigedades.

* La construccin del conocimiento matemtico es inseparable de la actividad

concreta sobre los objetos y de la intuicin.

* En la planificacin de la enseanza y el aprendizaje hay que tener en cuenta el

nivel de competencia cognitiva de los alumnos.

* La actividad matemtica contribuye al desarrollo de la creatividad, la intuicin y

la capacidad de anlisis y de crtica.

* El uso de los nuevos medios tecnolgicos ha de tener repercusiones en la manera

de ensear las Matemticas y en la seleccin de contenidos.

* El acento recaer en la adquisicin de conceptos y procedimientos aplicables a un

amplio abanico de situaciones.

* El proceso de construccin del conocimiento matemtico debe utilizar como

punto de partida la propia experiencia prctica de los alumnos.

* La naturaleza del proceso de construccin del conocimiento matemtico obliga a

volver peridicamente sobre los mismos contenidos con niveles de complejidad, de

abstraccin y formalizacin crecientes.

A partir de estos puntos se desarrollarn una serie de objetivos y de contenidos,

diferentes en cada caso, para la enseanza en Primaria y Secundaria que reflejan las

indicaciones reseadas anteriormente, y que tendrn en cuenta que "mediante el

aprendizaje de las Matemticas los alumnos desarrollan su capacidad de pensamiento y

de reflexin lgica, y adquieren un conjunto de instrumentos poderossimos para

explorar la realidad, para representarla, explicarla y predecirla, en suma, para actuar en

y sobre ella" (M.E.C., 1989, p. 385).

El National Council Of Teacher Of Mathematics (1991) ha publicado los

Estndares currculares y de Evaluacin para la Educacin Matemtica, en un intento

de dar respuesta a necesidad de reforma que la enseanza de las Matemticas exigen

para adaptarlas a las demandas de la sociedad de finales del siglo XX. Desde mayo de

1989 la revista Mathematics Teacher, editada as mismo por el N.C.T.M., ha publicado

diversos artculos bajo el epgrafe general de "Implementing the standars" que

pretenden, clarificar y explicar las actividades referentes a los cambios que el

"standard" quiere introducir en las clases.

Aceptan, como premisa, dos corrientes de opinin sobre el por qu del aprendizaje

de las Matemticas. En primer lugar, la de aquellos que piensan que las Matemticas

proveen de una herramienta esencial y de una forma de pensamiento en nuestra

sociedad, incluyendo las necesidades para obtener xito y ser un ciudadano informado.

Es decir, aquellas aportaciones que puedan contribuir a la total integracin del


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ciudadano en la sociedad. En segundo lugar, los que opinan que las Matemticas son

importantes en s mismas y la aprecian como uno de los logros ms grandes de la

humanidad.

Desde la primera perspectiva, se tiene el convencimiento de que la enseanza de las

Matemticas no refleja los cambios que se producen en nuestra sociedad cada vez ms

tecnificada, que requiere conocimientos y habilidades matemticas cada vez ms

sofisticadas, especialmente para comunicar con sistemas matemticos y resolver una

variedad de problemas complejos. Las necesidades de nuestros alumnos no son ya las

de aprender las reglas aritmticas elementales.

Desde la segunda perspectiva, las Matemticas deberan estudiarse no por algn

propsito utilitario, sino porque constituyen un desarrollo del pensamiento del hombre

que debera ser apreciado y mostrado a los dems, formando parte de la educacin de

las personas.

En cualquier caso, surgen algunas cuestiones que el informe intenta contestar: qu

clase de conocimiento matemtico ayudar a los estudiantes a ser ciudadanos

productivos e informados, y a apreciar la belleza y poder de las Matemticas?, qu

implica todo ello para comprender las Matemticas?, qu clase de experiencias

matemticas deberan tener nuestros alumnos?.

El curriculum standard requiere un cambio en el contenido de las Matemticas en

las escuelas, en la naturaleza de su enseanza y en el punto de vista subyacente en el

aprendizaje matemtico. Pone nfasis en la comprensin conceptual y en reas que

como geometra, medida o estadstica, han estado tradicionalmente poco consideradas

en la enseanza. Todo esto en un intento de modificar los contenidos matemticos en

orden a tener en cuenta las necesidades de nuestra sociedad que se adentra en el siglo

XXI.

Considera que la naturaleza de la clase deber modificarse en orden a transformar el

papel tradicional del profesor como transmisor de conocimientos y del alumno como

agente pasivo, para enfatizar el aprendizaje matemtico a travs de la resolucin de

problemas, discusin y otras prcticas que impliquen la actividad del alumno. En esta

lnea se hablara ms de "hacer matemticas" que de "conocer las Matemticas".

En este contexto, el NCTM ofrece cuatro objetivos sociales para la educacin en el

rea de las Matemticas que son comentados por Putnam y otros (1990):

i) Trabajadores que sepan leer y escribir matemticamente ya que las demandas

tecnolgicas de la sociedad requerirn cada vez ms habilidades y comprensin de las

mismas, as como la resolucin de problemas complejos. En este aspecto, saber leer y

escribir matemticamente denotara una capacidad para explorar, conjeturar, razonar

lgicamente, y usar una variedad de mtodos matemticos para resolver distintos

problemas

ii) Aprendizaje para toda la vida, ya que cada vez es ms frecuente cambiar de


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trabajo y la habilidad para la resolucin de problemas ayudar para explorar, crear,

acomodar a las nuevas condiciones y crear nuevos conocimientos para la nueva vida.

iii) Oportunidad para todos ya que las Matemticas han llegado a ser un filtro para

trabajar y para la participacin en nuestra sociedad. Por este motivo deben ser

accesibles a todos los estudiantes.

iv) Ciudadanos informados ya que el incremento de la complejidad y de la

aportaciones de la tcnica hace que la participacin de los ciudadanos requiera de estos

ciertos conocimientos para poder interpretar determinadas informaciones.

En esta idea, los autores del informe proponen los cinco objetivos generales para los

estudiantes, que transcribimos:

- Aprender el valor de las Matemticas.

- Llegar a confiar en nuestra propia habilidad

- Llegar a ser un resolutor de problemas matemticos.

- Aprender a comunicarse matemticamente.

- Aprender a razonar matemticamente (p. 63).

Para comprender la aportacin que esta nueva propuesta curricular supone,

recogemos las recomendaciones que el National Council of Supervisor of Mathematics

realiza para considerar en las escuelas las Matemticas esenciales para el siglo XXI

(NCSM, 1989), y que surgen al explicar su posicin respecto del standard. En este

trabajo sugiere la necesidad de preparar a nuestros alumnos en las Matemticas que les

sern esenciales y tiles para su vida adulta.

Partiendo de esta consideracin se proponen en el trabajo doce componentes

esenciales para las matemticas referidas a: resolucin de problemas, comunicacin de

ideas matemticas, razonamiento matemtico, aplicacin de las Matemticas a las

situaciones de cada da, vigilar lo razonable de los resultados, estimacin, apropiadas

habilidades de clculo, pensamiento algebraico, medida, geometra, estadstica y

probabilidad.

* La resolucin de problemas es la principal razn para estudiar matemticas, en la

lnea de considerarla como un proceso de aplicacin de conocimientos previamente

adquiridos a situaciones nuevas y desconocidas. Expone que resolver problemas

supone plantear cuestiones, analizar situaciones, traducir resultados, ilustrar resultados,

dibujar diagramas, y refutar pruebas y errores.

* Los estudiantes deben aprender el lenguaje y la notacin matemtica. Deberan

saber estudiar y aprender ideas matemticas a travs de la escucha, lectura y

visualizacin. Y al mismo tiempo, deberan aprender a presentar sus ideas matemticas

a travs del lenguaje oral, la escritura, dibujos y diagramas, y realizar demostraciones

con modelos concretos. Deberan poder discutir sobre diferentes cuestiones


L.J. Blanco (1993) - 16

matemticas.

* Nuestros alumnos deberan realizar investigaciones sobre ideas matemticas,

identificar y desarrollar modelos, usar experiencias y observaciones para hacer

conjeturas, conocer hechos y argumentos lgicos para validar las mismas,

distinguiendo entre los argumentos que sean vlidos y los que no lo sean.

* Matematizar situaciones de nuestra vida, y utilizar representaciones matemticas

de las mismas (grficos, tablas, diagramas, ...), procesos matemticos, e interpretar los

resultados a la luz de las situaciones iniciales, viendo como las Matemticas surgen de

las situaciones reales.

* Los estudiantes deberan cuestionar lo razonable de los resultados, y hacer nuevas

conjeturas sobre el problema original. Deberan desarrollar el sentido numrico para

determinar si los resultados de los clculos son razonables en relacin a los nmeros

originales y las operaciones usadas.

* Deberan, nuestros alumnos, poder establecer aproximaciones de clculo en

situaciones concretas, y estimar para analizar la validez de un razonamiento, examinar

una conjetura, o tomar una decisin. Deberan adquirir tcnicas elementales para

estimar medidas de longitud, rea, volumen y peso.

* Deberan adquirir facilidad en los clculos aritmticos, an cuando los grandes

clculos fueran hechos con calculadoras y ordenadores.

* Deberan aprender el uso de variables para representar cantidades y expresiones

matemticas, funciones y relaciones usando tablas, grficos y ecuaciones,

reconociendo la manera en que una cantidad vara en funcin de otra.

* Deberan aprender los conceptos fundamentales de medida a travs de

experiencias concretas, calcular distancias, peso, tiempo, capacidad, temperatura,

ngulos, permetros, reas y volmenes, usando los aparatos y los niveles adecuados de

precisin.

* Deberan comprender los conceptos geomtricos necesarios para funcionar en el

mundo tridimensional. Conceptos como paralelismo, perpendicularidad, congruencia,

semejanza y simetra. Conocer las propiedades de las figuras del plano y del espacio.

Los conceptos geomtricos deberan ser explorados conjuntamente implicando la

solucin de problemas y medidas.

* Deberan saber planificar y verificar colecciones y organizacin de datos para


L.J. Blanco (1993) - 17

reponder a cuestiones diarias; conocer como construir, leer y disear conclusiones de

simples tablas, mapas, cuadros y grficos; presentar datos numricos de medidas de

tendencia central y de medidas de dispersin. Deberan reconocer los usos y abusos de

representaciones estadsticas.

* Deberan conocer nociones de probabilidad para determinar la probabilidad de

futuros sucesos, identificando sucesos pasados que no modifican la probabilidad de los

futuros. Conocer como la probabilidad se aplica en la investigacin y ayuda a la toma

de decisiones.

A modo de resumen de los apartados anteriores recordamos en esquema presentado

en Blanco (1991a, p. 31) en el que se intenta presentar las ideas que hemos recogido en

este captulo.

* Nuevas consideraciones didcticas

- Sobre la enseanza de conceptos y estructuras

- Sobre la resolucin de problemas

* Nuevas propuestas curriculares

- "Matemtica moderna" (Dcada de los sesenta)

- "Volver a lo bsico" (Dcada de los setenta)

- "Resolucin de problemas" (Dcada de los ochenta)

- "Matemticas para el siglo XXI" (Dcada de los noventa)

- Modernizacin de los programas

- Renovacin pedaggica

Aportacin del estudio de las Matemticas:

- Al desarrollo individual

- A la integracin en l a sociedad en contnuo

cambio social y tecno lgico

La ciencia matemtica como origen del cono-

cimiento pedaggico

Profundizacin de los

objetivos sobre

la enseanza de las Matemticas

Nueva actitud hacia la enseanza de las

Matemticas

* Conocer Matemticas es hacer Matemticas

* Saber de mtodo ms que saber de contenidos

* Las Matemticas son un medio de comunicacin

Figura n 2. Algunos aspectos a considerar en la evolucin de las Didctica de las Matemticas

2. NUEVA ACTITUD HACIA LAS MATEMATICAS A partir de estos objetivos y propuestas curriculares, podemos observar que se trata,

no slo de modificar algunos contenidos o planteamientos didcticos, sino

fundamentalmente de cambiar la actitud hacia las Matemticas y la enseanza de las

Matemticas.

Se intenta caminar en la lnea de buscar y consolidar ciertas capacidades bsicas que


L.J. Blanco (1993) - 18

se creen que pueden surgir de la actividad matemtica, al mismo tiempo que se

adquieren ciertos conocimientos o tcnicas que ayudarn a comprender y comunicar la

realidad que nos rodea.

En definitiva, se entiende que el avance en la enseanza de las Matemticas no

proviene de una acumulacin de conocimientos, sino que bsicamente nacera de una

nueva aptitud para resolver problemas nuevos que puedan surgirnos y una mayor

facilidad para comunicarnos matemticamente, tanto en el aspecto individual como en

el de relacin con la sociedad.

Esta consideracin acerca de la enseanza de las Matemticas, no slo se justifica a

partir de la pedagoga, sino que tambin, y partiendo de la propia ciencia matemtica,

hay que considerar que el "saber matemtico resulta ser esencialmente saber de mtodo

mucho ms que saber de contenido" (Guzmn, 1985, p. 32).

La aceptacin de estas ideas tiene necesariamente repercusiones claras en la

consideracin que deba hacerse acerca del curriculum escolar. Hasta ahora este haba

sido concebido, al menos en Matemticas, como un cuerpo de conocimiento, sin

embargo y si se quiere ser coherente con los fines sealados con anterioridad y cuya

aceptacin nadie discute, tendramos que reestructurar el curriculum ms sobre la base

de los procesos matemticos que sobre la base actual del contenido, (I.C.M.I., 1987, p.

37). Y siempre teniendo en cuenta que la modificacin aceptada sobre la naturaleza del

conocimiento matemtico que considera que "conocer Matemticas es hacer

Matemticas" (Putnam y otros, 1990, p. 62).

Entendiendo que hacer matemticas en clase debera consistir en actividades tales

como: abstraer, aplicar, convencer, clasificar, inferir, organizar, representar, idear,

generalizar, comparar, explicar, desarrollar modelos, validar, proveer, conjeturar,

analizar, contar, medir, sintetizar y ordenar.

El problema pedaggico, que consecuentemente se deriva de esta nueva aportacin,

se dirigir al establecimiento de condiciones adecuadas que ayuden a los alumnos a

experimentar estos procesos y consecuentemente a comprender y crear las situaciones

que permitan a stos transferirlas a otras de su propia vivencia. Es decir, establecer

condiciones didcticas convenientes que ayuden al alumno a "matematizar"

situaciones.

Por supuesto somos conscientes que este paso que se produce en las discusiones

acerca de la Didctica de las Matemticas, implica un gran cambio en la enseanza que

arrastra enormes dificultades para poder llevar a la prctica aquello que, al menos en

teora, aceptamos como necesario para que se produzca una cierta renovacin didctica

en la enseanza de las Matemticas.


L.J. Blanco (1993) - 19

CAPITULO II NATURALEZA Y PERSPECTIVAS EN LA RESOLUCION DE

PROBLEMAS

1. SIGNIFICADO DE LAS EXPRESIONES "PROBLEMAS" Y "RESOLUCION DE PROBLEMAS".

Intentar buscar definiciones precisas que aclaren los significados de las dos

expresiones puede resultar laborioso y no exento de dificultad. El contenido del

trmino problema viene determinado en la mayora de las veces en virtud de la

actividad que implica, ms que en la forma en la que se propone o se aborda.

Expresiones como "fulanito tiene un problema", "vaya problema que se nos plantea

ahora", o "tenemos que resolver nuestro problema", comunes en nuestras

conversaciones cotidianas no son aclaratorias del nivel de dificultad de la situacin que

los interlocutores tratan de presentarnos que necesitar, siempre, de posteriores

explicaciones. Por supuesto, en muy pocas ocasiones tales problemas pudieran ser

considerados como especificamente de matemticas y, en cualquier caso, pueden

presentar diversas interpretaciones dependiendo de los participantes en la

conversacin.

A partir del uso generalizado de estas expresiones ("problemas" y "resolucin de

problemas") comienzan a surgir ciertas confusiones acerca de lo que diversos autores

quieren significar cuando las usan. A este respecto, Borasi (1986) sealaba: "La

palabra problema no siempre es usada de la misma manera en contextos diferentes y

por distintos autores, y el mismo concepto necesita una clarificacin" (p. 125).

Es, pues, necesario precisar qu queremos decir cuando las utilizamos, para lo que

nos vamos a servir de diversas interpretaciones que diferentes autores han hecho de

ellas.

1.1. Definicin de problema. El diccionario de la Real Academia Espaola de la Lengua seala en un sentido

amplio que problema es una "proposicin dirigida a averiguar el modo de obtener un

resultado cuando ciertos datos son conocidos".

Desde esta definicin, y en un primer acercamiento al significado de los problemas,

podramos sealar, que para la existencia de un problema deberan darse tres

componentes, tal y como nos los recuerda Moses y otros, (1990, p. 82):

a) una informacin que nos pueda ser conocida o acesible,

b) una informacin que nos es desconocida y que queremos buscar y

c) algunos factores que nos delimitan el campo en el que nos queremos desenvolver.

Sin embargo, partiendo de la consideracin de estos tres elementos podemos


L.J. Blanco (1993) - 20

apreciar que la definicin de "problema" sigue mantenindose confusa, sobre todo en

relacin a la actividad desarrollada por el resolutor.

En la mayora de los ciudadanos (entre los que se encuentran muchos profesores y

estudiantes) pervive la idea del problema de matemticas a partir de un enunciado,

normalmente escrito, con una estructura cerrada, y cuya resolucin supone la

aplicacin de unos conocimientos (usualmente algoritmos especficos) previamente

adquiridos. Esta concepcin, que considera los problemas como una aplicacin de la

teora desarrollada previamente, explicara el porqu de las listas de problemas que

aparecen al final de los captulos de los libros de textos de Matemticas.

Sin embargo, y dentro de este esquema tradicional se establece una diferencia entre

lo que sera llamado tpicamente problema y los meros ejercicios para practicar la

rutina tan usuales en la enseanza de las operaciones aritmticas. A este respecto,

habra que sealar la importancia de que haya algo que buscar o un enigma que aclarar

dentro de un contexto que debe estar, en cualquier caso, bien definido.

No obstante, este contexto bien estructurado necesita tambin de una precisin para

saber a que nos referimos cuando hablamos de los problemas, puesto que se puede

cuestionar algunas de las actividades que han sido tradicionalmente tomadas como

tales. As, por ejemplo, Schoenfeld (1985b) refirindose al siguiente ejemplo: "Juan

tiene siete manzanas. Le da tres a Mara. Cuntas manzanas le quedan a Juan?",

comenta que son ejercicios que sitan las Matemticas en el contexto del "mundo

real", aceptando que la resolucin de estas tareas, que toman como modelo tales

situaciones reales, tiene por supuesto ms "relevancia" que el resolver ejercicios

numricos como 7 - 3 = ?.

Pero contina: "No obstante, es muy discutible el que se puedan considerar estos

tipos de trabajos escolares como de "resolucin de problemas" propiamente dichos.

Tales ejercicios son, es verdad, ms reales y relevantes que los puramente numricos,

pero, en el fondo, todava son ejercicios de tipo algortmico o de frmulas; hay muy

poco de "problema" en resolver uno de estos ejercicios, cuando ya se han hecho

docenas de tipo parecido" (p. 28).

La diferencia entre problemas y ejercicio parece ser uno de los aspectos sobre lo que

podramos sealar cierta coincidencia entre los autores, al aceptar que "un problema es

una situacin que difiere de un ejercicio en que el resolutor de problemas no tiene un

proceso algortmico que le conducir, con certeza, a la solucin" (Kantowki, 1981, p.

113).

Este comentario es suficientemente ilustrativo para justificar la necesidad de una

aclaracin terminolgica. Podramos sacar como conclusin, y como tal sera aceptada

por muchos profesores, que el resolver ese problema puede no ser considerado por

Schoenfeld como una resolucin de problemas ya que para l la dificultad del

problema debe suponer una reflexin intelectual ms que una dificultad


L.J. Blanco (1993) - 21

computacional, y as, llegar ms confusamente a la idea, sin duda, genial de que la

solucin de un determinado tipo de problemas puede no ser considerado dentro del

campo de la resolucin de problemas. Por supuesto que esto se origina por el distinto

significado que se le da al trmino y a no haberse precisado con claridad, hasta ahora,

la expresin "resolucin de problemas".

Para comprender esta polmica podramos recurrir a la distincin que algunos

autores, provenientes de otras materias, principalmente la psicologa, establecen entre

"pensamiento productivo", que supone la produccin de una solucin nueva a partir de

una organizacin creativa del problema y "pensamiento reproductivo" que supone la

mera reproduccin de los mtodos y comportamientos ya conocidos, y que estara mas

cerca de los ejercicios que sirven para practicar una rutina (Carretero y Garca, 1984, p.

186).

1.2. Situacin de aprendizaje en la resolucin de problemas. En un intento de superar la discusin anterior, Rouchier (1985), al referirse a la

actividad de resolucin de problema seala que "la simple presentacin de un

problema en una situacin escolar no es suficiente. No basta, en la mayora de los

casos, con construir y dar oralmente o por escrito un enunciado, para que ste a pesar

de las marcas semnticas clsicas, se transforme en problema" (p. 202).

Establece un salto cualitativo importante al hablar de situaciones problemticas o

situaciones de resolucin de problemas, que ayuden a la creacin de contextos que

posibiliten la comunicacin, la elaboracin de hiptesis y su posterior comprobacin,

etc., generando una situacin de aprendizaje en la que el alumno pueda desarrollar sus

capacidades, considerando que este ambiente creado influye decisivamente para que

este desarrollo pueda tener lugar.

Hechas estas consideraciones vamos a referirnos a algunas aportaciones concretas

que tratan de delimitar con ms precisin la acepcin del trmino problema y el

significado de la expresin resolucin de problemas.

Primeramente, nos referimos a la definicin de problema matemtico que nos

proporcionan House, Wallace y Johnson, (1983): "La definicin comn de problema

matemtico es una situacin que supone una meta para ser alcanzada, existen

obstculos para alcanzar ese objetivo, requiere deliberacin, y se parte del

desconocimiento del algoritmo til para resolver el problema. La situacin es

usualmente cuantitativa o requiere tcnicas Matemticas para su solucin, y debe ser

aceptado como problema por alguien antes de que pueda ser llamado problema.

Resolver el problema es el proceso de ataque de dicho problema" (p. 10).

Si analizamos esta definicin encontramos ciertos componentes que pueden ser

importantes resaltarlos. Por una parte, se dice que es una situacin que implica un

objetivo a alcanzar en un ambiente de discusin, de incertidumbre, de comunicacin.


L.J. Blanco (1993) - 22

Este aspecto importante nos lleva a establecer una deferencia entre los llamados

ejercicios de rutinas y los que podramos considerar problemas matemticos.

El NCTM (1981b; p. 12) establece una serie de condiciones que determinaran si

una situacin es o no un verdadero problema. En el se establece:

1. El individuo tiene un propsito deseado y claramente definido que conoce

conscientemente.

2. El camino para llegar a esa meta est bloqueado, y los patrones fijos de conducta

del individuo, sus respuestas habituales, no son suficientes para romper ese bloqueo.

3. Tiene que haber deliberacin. El individuo toma conciencia del problema, lo

define ms o menos claramente, identifica varias hiptesis (soluciones) posibles, y

comprueba su factibilidad.

En las aclaraciones que en este trabajo se realizan se seala la necesidad, de acuerdo

a la primera condicin, de que el resolutor conozca primero qu se le pregunta y se

sienta motivado a encontrar la respuesta. La segunda y tercera condicin determinaran

si es no un verdadero problema. La existencia del mismo implicara dudas, existencias

de alternativas, cierto desconocimiento del camino para la solucin, discusin para su

hallazgo, etc.

La deliberacin exigira conductas de observacin, exploracin, toma de decisiones,

organizacin, reconocimiento, memoria, suplementacin, reagrupamiento, aislamiento,

combinacin, formacin de diagramas, formulacin de conjeturas, clasificacin,

formulacin, generalizacin, verificacin y aplicacin.

Charles y Lester (1982) y Lester (1983), sin dar una definicin de lo que es un

problema, sugieren algunas lneas guas, ms sencillas, que ayudaran a decidir si una

actividad es o no problema. Para ellos un problema es una actividad para la que:

1.- La persona que la afronta quiere o necesita encontrar una solucin.

2.- La persona no encuentra fcilmente el proceso para encontrar la solucin.

3.- La persona debe intentar encontrar la solucin.

Como vemos en ambos casos se enfatizan tres aspectos que parecen claves para

estos autores. En primer lugar, el deseo o necesidad del resolutor del problema por

alcanzar los objetivos. En segundo lugar, destacaramos el hecho de que las metas no

pueden ser alcanzadas directamente o inmeditamente, al menos se exija un mayor

esfuerzo que un mero recordar un algoritmo o el desarrollo de un problema tipo. Por

ltimo, el esfuerzo consciente necesario para alcanzar las metas.

Estas tres condiciones estn relacionadas con el resolutor para generar un ambiente

de resolucin de problemas. En todo caso debemos considerar que lo que para una

persona es un problema para otra puede no serlo, debido a la diferencia de

conocimiento, experiencia, habilidad, inters, etc.

Esta ltima consideracin hacia la aceptacin consciente del resolutor o resolutores

para que exista un problema, aparece tambin en Brannan y Schaaf (1983), para


L.J. Blanco (1993) - 23

quienes "un problema es una situacin que individualmente o en grupo se acepta para

desarrollar una tarea para la que el camino que determina la solucin no es obvio

inmediatamente. Frecuentemente, el problema puede ser enfocado de muchas maneras"

(p. 43).

Tambien Borasi (1986) seala algunos elementos que se destacaran de forma ms o

menos explcita en un anlisis de los problemas:

1. La formulacin de un problema. La definicin explcita de la tarea a desarrollar.

2. El contexto del problema. La situacin en que el problema est envuelto.

3. El conjunto de soluciones que podra ser considerado aceptable para un problema

dado.

4. Los mtodos que podran ser usados para investigar la solucin.

A la luz de estas aportaciones podramos considerar un problema cuando se renen

las siguientes circunstancias:

Una situacin en la que se formula una tarea que debe ser desarrollada, y en la que

en un ambiente de discusin, de incertidumbre y de comunicacin se pretende alcanzar

unos objetivos. En este propsito cuantitativo o no, pero que debe requerir tcnicas

Matemticas, el proceso a seguir no debe ser conocido inmediata y fcilmente. Se

requiere en todo caso una voluntad de atajar el problema provocado, por la necesidad

de la solucin o bien por algn tipo de motivacin.

Informacin conocida

Informacin desconocida

Dificultad para pasar de 1 a 2

Problema

Voluntad de averiguar lo desconocido

(motivacin, inters, necesidad, etc.)

Delimitamos el campo de actuacin

(conceptos, procesos, etc.)

SITUACION DE APRENDIZAJE

Creacin de un ambiente adecuado

(Investigacin, comunicacin, crtica,

incertidumbre, etc.)

Intentamos conscientemente resolver la

situacin planteada

RESOLUCION DE PROBLEMAS


L.J. Blanco (1993) - 24

Figura n 3. Problema, resolucin de problema y situacin de aprendizaje.

2. PERSPECTIVAS SOBRE LA RESOLUCION DE PROBLEMAS EN LA

ENSEANZA DE LAS MATEMATICAS. En la literatura consultada puede apreciarse diversas interpretaciones acerca de la

repercusin que la resolucin de problemas pueda tener en la enseanza de las

Matemticas. En Gaulin, (1986) y Schroeder y Lester (1989), podemos encontrar tres

enfoques diferentes sobre la resolucin de problemas que identifican con las

expresiones:

a) Enseanza para la resolucin de problemas (teaching for problem solving);

b) Enseanza sobre la resolucin de problemas (teaching about problem solving); y

c) Enseanza via resolucin de problemas (teaching via problem solving).

a) En el primer caso, los esfuerzos van dirigidos a la manera en que los

conocimientos de Matemticas que hayan sido previamente enseados puedan tener

una aplicacin til a travs de la solucin de problemas. En esta lnea estaran aquellos

profesores que consideran que aunque la adquisicin de conocimiento matemtico es

muy importante, el principal propsito de la enseanza de las Matemticas debe ser

saber su utilidad, para lo que se les dar a los estudiantes oportunidades para aplicar

sus recientes conocimientos en la resolucin de problemas tomados de la vida diaria o

de la propia ciencia. En este caso tiene pleno sentido la colocacin de los problemas en

el final de los captulos o despus de la introducin de algn concepto o algoritmo.

b) En el segundo caso, se trata de trabajar en el sentido que los alumnos aprendan a

buscar estrategias para resolver problemas, hacer que los alumnos adquieran ciertas

tcnicas que les lleven a ser buenos resolutores de problemas. En esta lnea estaran

aquellos profesores que ensean estrategias especficas sobre resolucin de problemas

(ver captulo 4), y que favorecen la reflexin y discusin sobre el propio proceso.

"Los profesores que ensean sobre la resolucin de problemas destacan el modelo

de resolucin de problemas de Polya o alguna variacin sobre el mismo. Brevemente

este modelo describe un conjunto de cuatro fases independientes en el proceso de

resolucin de problemas matemticos. A los estudiantes se les ensean explcitamente

estas cuatro fases que, de acuerdo con Polya, los expertos resolutores de problemas

usan cuando resuelven problemas matemtico. Al mismo tiempo los alumnos son

alentados a tomar conciencia de su propia progresin a travs de estas fases cuando

ellos resuelven problemas. La enseanza sobre la resolucin de problemas tambin

incluye experiencia con problemas reales, pero siempre implica discusin explcita

sobre cmo se estn resolviendo los problemas" (Schroeder y Lester, 1989, p. 32)

c) Por ltimo, puede plantearse la enseanza de las Matemticas partiendo de

proponer problemas que los alumnos irn resolviendo. La enseanza-aprendizaje de un


L.J. Blanco (1993) - 25

tpico de Matemticas empieza con una situacin problemtica que incorpora ciertos

aspectos claves del tema y que provoca el desarrollo de determinadas tcnicas

matemticas. En esta perspectiva, el aprendizaje puede ser visto como un movimiento

que va desde lo concreto a lo abstracto y estara en consonacia con las nuevas

propuestas curriculares que nos recomiendan: i) los conceptos y habilidades

matemticas deben ser aprendidas en un contexto de resolucin de problemas, ii) el

desarrollo de altos niveles de procesos de pensamientos ser promovido a travs de la

resolucin de problemas, y iii) la enseanza de las Matemticas tiene lugar lugar en

una atmsfera de investigacin orientada y de resolucin de problemas (Schroeder y

Lester, 1989).

La re

solu

cin

de pro

blem

as en

la

ense

an

za d

e la

s m

atem

ticas

Enseanza "para" la resol ucin de problemasEl principal objetivo de la enseanza de las Matemticas es conocer su utilidad. Los

alumnos aplicarn sus conocimientos en problemas tomados de la realidad o de la

propia ciencia

Enseanza "via" resoluci n de problemas

La situacin problemtica incorpora aspectos claves del nuevo contenido provocando el

desarrollo de ciertas tcnicas matemticas.

a) los conceptos y habilidades deben ser aprendidas en un contexto de R. de P,

b) el desarrollo de procesos de pensamientos ser promovido a travs de la R. de P, y

c) la enseanza de las Matemticas tiene lugar lugar en un clima de investigacin

orientado y de R. de P.

Enseanza "sobre" la reso lucin de problemas

Los alumnos aprendern estrategias especficas para resolver problemas, adquirirn

ciertas tcnicas que les lleven a ser buenos resolutores, favoreciendo la reflexin y

discusin sobre el propio proceso.

Figura n 4. Perspectivas de la Resolucin de Problemas en la Enseanza de las Matemticas.

2.1. Los problemas como justificacin de los conocimientos aprendidos. Leif y Dezaly (1961) expresan que la resolucin de problemas en la enseanza de

las Matemticas encuentra su justificacin en saber aplicar los conocimientos

previamente adquiridos. Esto es: "Asegurar el paso desde el conocimiento a su

utilizacin prctica" (p. 205).

Para esta actividad ser necesario conocer previamente los contenidos matemticos

y las tcnicas operatorias. La concepcin sobre el significado de la expresin

"problema" entra dentro de un esquema tradicional, aceptando la siguiente definicin:

"Toda cuestin respecto de la que se indica el resultado que se quiere obtener y se

pregunta por los medios para llegar a l, o bien se indican los medios y se pregunta el


L.J. Blanco (1993) - 26

resultado" (p. 191).

En consecuencia, con esta definicin, para estos autores, resolver un problema

significara buscar la respuesta a la cuestin planteada, porque la necesitaramos para

saber, verificar o prever algo, sin que fuera necesario hacer mediciones o experimentos

reales que, por otra parte, podran llevarnos demasiado tiempo y, en algn caso, nos

sera hasta imposibles poder desarrollarlos.

Por supuesto, desde esta perspectiva se trata de buscar un determinado nmero de

problemas, adecuados al nivel de conocimiento y lenguaje de los alumnos que les

facilite esa "aplicacin prctica" de los conocimientos adquiridos o estudiados

previamente.

Es, sin embargo, referente a este uso cotidiano que los alumnos pudieran hacer de

los conocimientos de resolucin de problemas que reflejan situaciones reales por lo

que Lesh, Landau y Hamilton, (1983), cuestionan el uso en clase de los problemas de

enunciado tradicional. Para ellos la traduccin de los conocimientos y tcnicas

adquiridas en clase a su uso en situaciones concretas de su vida no se da normalmente.

Los conocimientos matemticos a nivel de colegio no son, para los nios, fcilmente

transferibles a situaciones reales.

Cuando proponemos a los alumnos de E.G.B. un "problema" en cuyo enunciado se

reflejan aspectos de la vida cotidiana, como por ejemplo: "Miguel tiene un billete de

500 pesetas, y va a comprar un peridico, que cuesta 85 pts. y una revista que vale 225

pts. Cunto le sobrar?", y le suministramos las tcnicas suficientes para su

resolucin, pensamos rpidamente que el alumno trasladar estos mecanismos a

situaciones propias similares que les puedan surgir un da. Pues bien el alumno puede

interiorizar la tcnica que, supuestamente, aplicar cuando se encuentre ante un

enunciado similar, pero como sealan los autores indicados esto no significa que en la

vida real utilicen estos mismos mecanismos para resolver situaciones similares a las

indicadas en el problema.

Como el lector recordar de su propia experiencia, el dependiente del kiosko le dar

la vuelta realizando una suma acumulativa de cantidades (85 y 225, 310; 310 y 5, 315;

y 5, 320; y 5, 325; y 25, 350; etc.) y no en referencia a la operacin de restar que es la

finalidad que estos problemas suelen tener en la escuela.

Conclusiones similares consideran Silver y Smith (1990) en el estudio que realizan

acerca de los pensamientos matemticos de los alumnos en la enseanza de las

Matemticas y en particular en la resolucin de problemas. Estos autores analizan

ejemplos claros en los que los alumnos no trasladan sus conocimientos matemticos a

situaciones reales justificando su actuacin en base a diversas consideraciones de tipo

pedaggico.

Muchas veces se ha comentado en reuniones y publicaciones la necesidad de

plantear ejercicios de la "vida real", para motivar al alumno o para justificar los


L.J. Blanco (1993) - 27

contenidos impartidos. Sin embargo, a la luz de las referencias anteriores y de la propia

experiencia, podemos afirmar que esta conexin se establece o no, en funcin de cmo

y cundo planteemos "la situacin de resolucin de problemas". En Blanco (1991a) se

hace referencia a la enseanza interactiva de profesores expertos y noveles, y se

analizan los factores que, en la resolucin de problemas, posibilitan la transferencia de

conocimientos desde las Matemticas a la vida real.

No obstante, todo lo anterior, aparece una cierta idea de querer superar el concepto

de problema como una mera actividad rutinaria. Se establecer posteriormente una

diferencia entre los denominados ejercicios, slo para practicar un algoritmo, y los

problemas que impliquen buscar algn enigma situado dentro de un contexto

cuantitativo bien delimitado.

A pesar de estos intentos de diferenciar ejercicios y problemas, o de establecer

distintos tipos de problemas, se sigue situando la resolucin de problemas en clase de

Matemticas en dos perspectivas claras:

a) Como justificacin prctica de conocimientos y tcnicas previamente estudiadas

b) A partir de un contexto o enunciado bien planteado.

2.2. Los problemas como motor de la adquisicin de conocimientos. Otros autores muestran una perspectiva diferente al sealar la resolucin de

problemas como motor del aprendizaje y como elemento que pone de manifiesto los

conocimientos que los alumnos van construyendo.

Plantear oralmente o por escrito un enunciado, aun cuando se adapte a los criterios

clsicos reconocidos, no es suficiente ni necesario para que exista una autntica

situacin de resolucin de problemas: "Los problemas y sobre todo las respuestas a

ellos asociadas, en su complejidad cognitiva y funcional, estn en estrecha relacin con

las situaciones en las que los alumnos se encuentran con ellos. Esta dependencia,

importante para cualquier resolucin de problemas, lo es an ms en la enseanza"

(Rouchier, 1985, p. 202).

Situaciones que para l tienen que ser de comunicacin, cuyo propsito sea adquirir

conocimientos, provocar una evolucin de los conceptos del alumno objeto de

aprendizaje, expresarse, hacerse entender, desarrollar argumentaciones, etc.

Estos comentarios recogen una corriente existente en la enseanza de las

Matemticas que considera la idea de proponer situaciones problemticas que puedan

ser motor de la adquisicin de conocimientos, y utilizar el modelo de resolucin de

problemas para la comprensin de los conceptos matemticos. Bien en la generacin

de nuevas teoras que encontraran su justificacin y aplicacin previamente al

establecimiento formal de las mismas, o bien para dar a conocer algunas propiedades

concretas que puedan aparecer del anlisis de determinados problemas.

Bromme y Juhl (1984) se haban expresado en trminos similares relacionando la


L.J. Blanco (1993) - 28

resolucin de problemas con los procesos de comprensin de los conceptos

matemticosal sealar que "el modelo de resolucin de problemas es apropiado para la

representacin de los profesores de los procesos de comprensin" (p. 7).

Este significado sobre la resolucin de problemas aparece en otros autores, en los

que se indica que los problemas podran ser un elemento motivador para el estudio y

comprensin de determinados conceptos matemticos. As, Carpenter y Moser (1983)

sealan que los problemas verbales podran ser utilizados como elemento base para el

desarrollo de los conceptos de adicin y sustraccin, antes incluso que el aprendizaje

de las habilidades de clculo, las cuales podran surgir a partir de aquellos.

Esta idea es recogida en Romberg y Carpenter (1986) que sealan: "La

investigacin sugiere que no es necesario aplazar la instruccin con problemas

verbales hasta que se hayan dominado las habilidades de clculo, y que por tanto los

problemas deben ser integrados de forma ms completa en el curriculum" (p. 855).

Lesh, Landau y Hamilton (1983) son conscientes de que las aplicaciones de las

Matemticas, que se deducen de los procesos de resolucin de problemas, contribuyen

decisivamente a comprender los significados de las ideas y de los conceptos. Sin

embargo, entienden que ello no debe implicar la necesidad de que en la enseanza de

las Matemticas, los estudiantes tengan primero que aprender los contenidos, aadir

posteriormente algunos procesos generales de resolucin de problemas para terminar

usando los conceptos y procesos en situaciones reales.

Conciben que entre el contenido de las ideas matemticas y los procesos usados

para resolver los problemas existe una interaccin dinmica, que tiene que tener

repercusiones curriculares, aunque son conscientes de las dificultades que esta

concepcin de la enseanza de las Matemticas tiene para llevarse a la prctica. Para

que esto pudiera tener lugar se hara necesario la participacin y el convencimiento de

los participantes en el sistema educativo, principalmente los profesores como agentes

encargados de llevar esta propuesta a la enseanza.

No obstante el reconocimiento de estas dificultades, estos autores opinan que: "las

aplicaciones y resolucin de problemas no deberan ser reservados para considerarlos

despus de que el aprendizaje tenga lugar. Pueden y deberan ser usados como un

contexto en el que el aprendizaje de las ideas Matemticas sea posible" (Lesh, Landau

y Hamilton, 1983, p. 266).

Es este uno de los enfoques ms aceptados en relacin al movimiento sobre

resolucin de problemas que como sealan estos autores encuentra dificultades de ser

aceptado por los profesores en su prctica docente. La resolucin de problemas no es,

en este caso, una estrategia que suponga necesariamente conocimientos sobre un

determinado tema relacionado con los problemas sino ms bien un contexto dentro del

cual se desarrolla la clase de Matemticas. Esta perspectiva parece ser asumida

expresamente en las nuevas orientaciones curriculares publicadas cuando se seala:


L.J. Blanco (1993) - 29

"Es necesario relacionar los contenidos de aprendizaje de las Matemticas con la

experiencia de los alumnos y alumnas, as como presentarlos y ensearlos en un

contexto de resolucin de problemas" (MEC, 1992, p. 16)

Arrieta (1989) al referirse a la resolucin de problemas como eje del desarrollo

curricular entiende que es necesario considerar que se pueden y deben desarrollar las

actividades de resolucin de problemas desde enfoques diversos y con objetivos

diferentes. Considera que no se debe limitar slo la resolucin de problema al

aprendizaje de heursticas especiales o a la aplicacin prctica de la teora matemtica

previamente estudiada, cuando seala:

"Tanto en la investigacin y descubrimiento de los conceptos, como en el desarrollo

y en la construccin de estructuras as como en la ejercitacin y prctica de las mismas,

tiene sentido utilizar un enfoque centrado en la resolucin de problemas. Si los

conceptos matemticos se han ido construyendo a lo largo de la historia como

instrumentos para resolver determinados problemas, por qu en el mbito educativo

no podemos efectuar la trasposicin didctica adecuada para que los estudiantes

sientan esa misma necesidad" (p. 64).

En las conclusiones que aparecen en Rico y otros (1988) despus de la experiencia

realizada sobre la resolucin de problemas en 6 de EGB, podemos destacar la primera

de ellas que seala: "La resolucin precede y justifica la presentacin de los contenidos

matemticos. El mtodo de trabajo centrado en la resolucin de problemas hace que

los contenidos tradicionales sean un resultado y no el principio del trabajo con las

Matemticas." (p. 238)

En el Standard Curriculum (NCTM,1991) ocupa el primer lugar la referencia que

establece sobre las Matemticas como resolucin de problemas expresin que

establece como sinnimo de hacer matemticas. La resolucin de problemas es ms

que la aplicacin de tcnicas especificas para resolver problemas. La resolucin de

problemas debera ser usada para introducir nuevos contenidos de matemticas, ayudar

a los estudiantes la compresin de los conceptos y facilitar el aprendizaje de procesos,

as como aplicar y revisar los procesos que los estudiantes hayan aprendido. El proceso

de aprendizaje debera requerir de ellos analizar las situaciones a la luz de los

conocimientos que tengan, desarrollar tcnicas matemticas apropiadas y

consecuentemente aplicar estas tcnicas a la resolucin de problemas.

Este significado que aparece para la resolucin de problemas puede deducirse, as

mismo, en Sanz (1990) cuando al referirse a los problemas abiertos comenta:

"Al promover la enseanza actual a travs de situaciones problemticas abiertas se

valora la influencia que la forma de los mismos ejercen en la formacin integral del

alumno, y no slo los resultados especficos de aprendizaje de ciertos contenidos. . . .

Al ser la forma el condicionante y no el contenido, es aplicable este mtodo de

enseanza-aprendizaje a todas las reas. . . . Estimo que la difusin del mtodo de


L.J. Blanco (1993) - 30

enseanza-aprendizaje de la Matemtica a travs de problemas abiertos ha sido

propiciado adems por el estado de rpida evolucin en que se encuentra la cultura

cientfica actual; la enseanza tradicional apoyada en "imitar al maestro", "ser capaz de

hacer como l hace", ya no es suficiente, pues hay que enfrentarse a un medio muy

variable, donde es preciso actuar en situaciones nuevas. Ya no se valoran las

capacidades de clculo, ni siquiera la de resolucin de problemas fuertemente

estructurados en los que basta la aplicacin de reglas sintcticas o algoritmos bien

conocidos, pues todo esto puede hacerse con los ordenadores ms rpido y con menos

fallos. Por eso, hay que potenciar desde edades tempranas la capacidad de extraer toda

la informacin que ofrece una situacin, analizar posibles formas de resolucin y

alternativas. Adems se impone el trabajo en equipo en todos los campos cientficos

para lograr resultados, por tanto hay que entrenarse en ello. Y la cultura actual no

admite el "criterio de autoridad", ha de ser el individuo el que ha de convencerse de la

validez de su razonamiento, slo o apoyado por los compaeros" (pp. 229-230).

Ideas que encuentran igualmente reflejo en las expresadas por Garret (1988) al

referirse a las implicaciones que la resolucin de problemas debe tener en el currculo

de Ciencias, aportando que dichas experiencias supondrn al menos los siguientes

progresos:

1) Se fomentarn verdaderos intentos de llegar a una comprensin real de los

aspectos planificados

2) Se podr ejercer la originalidad

3) Se fomentar una verdadera formulacin de hiptesis

4) Se generarn situaciones que automticamente caern en la zona de inters

5) Se fortalecer una actitud mucho ms abierta, flexible y realista hacia logros de la

ciencia y se apreciarn las limitaciones del proceso cientfico

6) Se lograr una enseanza a travs de, en vez de al margen de, los procesos

cientficos. (p. 228)

3. RESUMEN Partiendo de las consideraciones establecidas en los apartados anteriores podemos

sealar que cuando menos existen diversos enfoques y significados sobre la palabra

problema y, sobre todo, sobre el papel que los mismos puedan jugar el la enseanza de

las Matemticas.

Sin embargo, sigue siendo cierto que durante un periodo de tiempo y an hoy en da

el movimiento de resolucin de problemas ha hecho bandera de una frase tpica y ya

tpica, comentada con anterioridad: "La resolucin de problemas debe ser el principal

objetivo de la enseanza de las Matemticas en la dcada de los 80" (NCTM, 1980b),

que ha sido reiteradamente refrendada por diversos estudiosos de la enseanza de las

Matemticas que como (Gaulin, 1986), indican: "Poner el enfoque de la educacin


L.J. Blanco (1993) - 31

matemtica bsica en la resolucin de problemas" (p. 17) .

Estas frases, en principio claras, presentan la dificultad de interpretacin cuando

aparecen expresiones como: "problemas", "objetivos", "poner el enfoque", "contexto

de resolucin de problemas", etc. de los que podramos escribir ampliamente.

Concluimos, haciendo referencia a la opinin expresada en Orton (1990) sobre la

resolucin de problemas en la que, en primer lugar, hace una crtica a la relacin de

problema y/o ejercicios que aparece normalmente al final de cada leccin en los libros

de textos, de los que dice son rutinarios, y pueden promover la retencin de memoria y

dar un cierto sentido de aplicacin de las Matemticas.

Sin embargo, este autor, seala: "La resolucin de problemas se concibe ahora

normalmente como generadora de un proceso a travs del cual quien aprende combina

elementos del conocimiento, reglas, tcnicas, destrezas y conceptos previamente

adquiridos para dar una solucin a una situacin nueva. Se admite ahora, por lo

general, que las Matemticas son tanto un producto como un proceso; tanto un cuerpo

organizado de conocimientos como una actividad creativa en la que participa el que

aprende. . . . As, la resolucin de problemas puede considerarse como la verdadera

esencia de las Matemticas" (p. 51).

Puede entenderse, que en base a esta consideracin el autor encuentre una estrecha

relacin, que nosotros asumimos, entre los trminos: "descubrimiento",

"investigacin", "aprendizaje activo" y "resolucin de problemas", puesto que todos

expresan la idea de una participacin activa en el aprendizaje, que puede ser lo ms

importante.


L.J. Blanco (1993) - 32

CAPITULO III. CLASIFICACION DE LOS PROBLEMAS

En apartados anteriores hemos enunciado algunas caractersticas que ayudan a

determinar lo que podra definirse como un problema matemtico. No obstante, en

cualquiera de las consideraciones a las que nos hemos referido, la delimitacin del

vocablo sigue siendo amplia y en ella podemos considerar diferentes actividades

matemticas. Por este motivo queremos hacer una clasificacin general de problemas,

que acompaaremos con algunos ejemplos, teniendo en cuenta las diversas

aportaciones que al respecto se han establecido. No obstante, tenemos que considerar

que ninguna clasificacin puede ser exhaustiva, establecindose siempre intersecciones

entre los diversos apartados y apareciendo actividades de difcil catalogacin, y todo

esto por la enorme diversidad de problemas que pueden proponerse de diferentes

niveles y contenidos.

A modo de resumen recordamos el cuadro comparativo establecido en Blanco

(1991a) que surge a partir de las aportaciones de Butts (1980), Charles y Lester (1982)

y Borassi (1986) que se recoge en la figura n 5.

Partiendo de esta comparacin y de algunas otras aportaciones hemos podido

establecer los siguientes tipos actividades en relacin con la enseanza de las

Matemticas.

1) Ejercicios de reconocimiento.

2) Ejercicios algortmicos o de repeticin

3) Problemas de traduccin simple o compleja

4) Problemas de procesos

5) Problemas sobre situaciones reales

6) Problemas de investigacin matemtica

7) Problemas de puzles

8) Historias matemticas

Figura n 5. Clasificacin de los problemas a partir de Butts (1980), Charles y Lester (1982) y

Borassi (1986) que aparece en Blanco (1991a, p. 62)


L.J. Blanco (1993) - 33

1. EJERCICIO DE RECONOCIMIENTO. Con este ejercicio se pretende resolver, reconocer o recordar un factor especfico,

una definicin o una proposicin de un teorema.

Ejemplo: 1) 3 + 7 > 2 + 5. Verdadero o falso? 2) Cules de las siguientes sumas son iguales y cules no?. 3+5; 2+6; 7+3; 8+0

3) Si a es negativo y b positivo, es a/b es negativo?.

4) Establecemos unos cartones como el de la figura n 6 en el que aparecen diversas

operaciones sin los resultados. Repartimos cartones con diversos nmeros entre los que

aparecen cantidades que reflejan el resultado para cada una de las operaciones

establecidas, en este caso referidas a potencias y raices. Para utilizar este material

podemos establecer algn juego que, como elemento de motivacin, ayude en la

resolucin del ejercicio.

60

1 / 4 10

1 4

5

1 / 8

1

2-2

22

251/2

(1/2)3

02

(-3)0

80

(20/2)

(40-4)1/2

1/2

Figura n 6. Cartones para el reconocimiento de operaciones o propiedades matemticas.

5) Por ltimo, podramos considerar dentro de este apartado algunos ejemplos que

la "matemtica recreativa" nos ofrece para identificar argumentos falaces que nos

llevan a conclusiones extraordinarias (Rodrguez, 1983, cap. V).

As, consideramos el siguiente proceso:

9 - 21 = 16 - 28

32 - 2 3 (7/2) = 42 - 2 4 (7/2)

32 - 2 3 (7/2) + (7/2)2 = 42 - 2 4 (7/2) + (7/2)2

(3 - (7/2))2 = (4 - (7/2))2

3 - (7/2) = 4 - (7/2)

3 = 4

O este otro ms general que nos indica que x = Y

Sean x e y dos nmeros iguales.

Es decir, x = y

Si multiplicamos por x, tendremos

x2 = x y


L.J. Blanco (1993) - 34

Si restamos x2, nos queda

x2 - y2 = x y - y2

que descomponemos en factores, dndonos

(x + y) (x - y) = y (x - y)

Si dividimos por (x - y), simplificamos la expresin

x + y = y

que al recordar que x = y, podremos deducir

2x = y

En particular, si x = 2, nos quedara

2 = 1

En ambos caso, sabra el lector determinar la causa de esta aparente

contradiccin?.

2. EJERCICIOS ALGORITMICOS O DE REPETICION. Son ejercicios que pueden ser resueltos con un proceso algortmico, a menudo un

algoritmo numrico.

Ejemplo: 1) Resolver la ecuacin x2-3x-5=0

2) Encontrar el factor que falta: 25 4 = 20 __

En estos ejercicios se trata de reforzar alguna expresin matemtica determinada,

como en el primer ejemplo, o potenciar las habilidades de clculo como en el segundo.

En cualquier caso, y de acuerdo a las referencias de Schoenfeld, (1985b),

Kanttowki, (1981) establecidas en los apartados anteriores, estos dos tipos de

actividades no deben enmarcase dentro de lo que entenderamos por problemas, ya que

su capacidad para desarrollar las habilidades de pensamiento y de estrategia de

resolucin de problemas son muy limitadas.

En estos ejercicios, sobre todo en los primeros niveles, es importante la forma de

presentacin. Combinar la presentacin de la actividad con alguna forma o dibujo

ilustrativo es interesante para animar a su resolucin ya que la repeticin puede resultar

aburrida al alumno. As, por ejemplo, para ilustrar el segundo ejemplo podemos

utilizar un esquema similar a la balanza de dos brazos en la que aparecen representados

diversas cantidades que deseamos equilibrar ya que cada bola pesa la cantidad que

marca. Las operaciones aritmticas nos sealarn los equilibrios para cada caso. As

podemos considerar que la suma o el producto de las cantidades expresadas en las

bolas sean equivalentes para cada plato.

87

8 15


L.J. Blanco (1993) - 35

O bien utilizar el smil de las mquinas de calcular.

11

405

78

X 23

Figura n 7. Esquemas-mquina para la realizacin de ejercicios algortmicos o de repeticin.

Para este ti

1993 blanco libro resolucion de problemas

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