interacción suelo - estructura, donde no se presentan deformaciones considerables ante las solicitaciones del suelo retenido. También se realiza el análisis en una condición de talud estable, que supone que el suelo es homogéneo y se genera una presión del suelo de acuerdo a las teorías de Rankine y Coulomb, en donde las presiones del suelo (estáticas) se asumen con una distribución en forma triangular. Para el análisis sísmico del muro de contención se realiza el cálculo de empujes utilizando los métodos de Coulomb y Mononobe – Okabe , para los casos estáticos y sísmicos respectivamente.

El modelo probabilístico requiere de amplias bases de datos asociadas a los parámetros de resistencia de los suelos. En el ejemplo de este trabajo se asume que el material de relleno detrás del muro estará conformado por uno del tipo arena limosa y por lo tanto, al asumir que el ángulo

de fricción interna del suelo de relleno () se comporta como una variable estocástica, entonces se incorporan bases de datos disponibles de arenas limosas (Calderón, 2004), en las cuales las distribuciones de probabilidad que poseen un mejor ajuste al comportamiento de la variable son las distribuciones Normal y Lognormal, distribuciones bi-paramétricas que quedan definidas mediante la media y la varianza (o desviación estándar).

A continuación se resumen los valores de las medias, desviaciones estándar y coeficientes de variación para los ajustes de probabilidad asociadas al ángulo de fricción de interna para grados de compactación del 80%, 90% y 95% referidos al ensayo Proctor modificado.

%GC(PM)

Distribución

Normal

Distribución

Lognormal

(°) (°)cv

(%) (°)

cv

(%)

80 31,30 3,42 10,91 31,12 1,11 3,57

90 34,35 4,22 12,29 34,19 1,13 3,30

95 36,96 4,22 11,42 36,71 1,12 3,05

Tabla 1. Resumen de distribuciones de ajuste para las bases de datos arenas limosas. GC:

Grado de compactación con respecto a la DMCS del Ensayo Proctor Modificado.

Para llevar a cabo el análisis probabilístico de la estabilidad del muro de contención, el enfoque

propuesto corresponde a la Simulación de Monte Carlo (SMC), aunque costoso

computacionalmente, es una forma adecuada para capturar los efectos de la variabilidad inherente

de los parámetros de resistencia de los suelos (Popescu et al, 1998). La simulación se lleva a

cabo mediante el “Software de diseño y análisis de muros de contención mediante simulación de

Monte Carlo v.2” (González y Lemus 2010), con rutinas en lenguaje de Visual Basic 6.0. Las

variables de salida del modelo corresponden a los factores de seguridad estático y sísmico al

deslizamiento y al volcamiento, éstas podrán cuantificar la estabilidad del muro en términos de

fiabilidad, además se podrá verificar la probabilidad de falla del sistema, asociada a las

distribuciones de probabilidad de los factores de seguridad resultantes.

La simulación se basa en la generación de números pseudoaleatorios, estos se obtienen a través

de un algoritmo congruencial (García et al, 2006) o la rutina Randomize incluida en Visual Basic

6.0. Es posible generar un máximo de 30.000 corridas. Las variables aleatorias se obtienen a

través del método de Box-Müller (Box y Müller 1958), que se describe en la ecuación (5), que se

utiliza para generar variables aleatorias estándar normales.

El análisis genera un vector “X” de dimensión “n”, nXXXXX ....,,,, 321 , el cual representa un set de

variables aleatorias. Para una corrida, cada variable aleatoria normal estándar permite calcular los

factores de seguridad: FSEDi , FSEVi , FSSDi y FSSVi . Finalmente, se realiza un análisis

estadístico de estas variables asociado al número de corridas consideradas. Para una condición

Las distribuciones de ajuste definidas para los factores de seguridad indican que la distribución

Lognormal presenta una mayor variabilidad que la distribución normal, según los valores de

desviación estándar obtenidos. Los valores medios de ambas distribuciones se acercan bastantes

entre sí.

Se recomienda para trabajos futuros, en esta misma línea de investigación, incluir además otros

parámetros como variables estocásticas (cohesión, densidad natural del relleno y parámetros

geotécnicos del suelo de fundación), ya que nos permitiría acercarnos a un comportamiento más

representativo del sistema, esto asociado a diseños más confiables en esta materia.

5. AGRADECIMIENTOS. Los autores agradecen el apoyo brindado en la realización de esta investigación al Departamento de Ingeniería en Obras Civiles y a la Universidad de La Serena, La Serena, Chile. 6. REFERENCIAS

Box, G.E., Müller, M.E. (1958). A Note on the Generation of Random Normal Deviates, The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 29, N°2, pp. 610-611.

Calderón, R. (2004). Determinación de Parámetros de Resistencia al Corte en Arenas Limosas y Propuesta de Implementación de Equipo de Compresión Triaxial, Memoria de Título, Departamento de Ingeniería en Obras Civiles, Universidad de La Serena, La Serena, Chile.

Centeno, R.R. (2002). Simulación de Monte Carlo y su aplicación a la Ingeniería Geotécnica, VXII Seminario Venezolano de Geotecnia, Caracas, Venezuela.

Dirección de Vialidad: Manual de Carreteras (2008) - Volumen Nº3: Instrucciones y Criterios de Diseño, Versión digital Consolidada, Marzo 2008. Chile.

Elkateb T., Chalaturnyk R.K. (2003). An overview of soil heterogeneity: quantification and implications on geotechnical fields problems. Canadian Geotechnical Journal 40, p. 1-15.

García, E., García, H., Cárdenas, L. (2006). Simulación y análisis de sistemas con Promodel, 1° edición. Pearson Educación Prentice Hall, México.

González, J., Lemus, L. (2010). Actualización del software de diseño y análisis de muros de contención mediante simulación de Monte Carlo, Memoria de Título, Departamento de Ingeniería en obras civiles, Universidad de La Serena. La Serena. Chile.

INN-Chile, Instituto Nacional de Normalización (1996). Norma Chilena NCh 433 Of. 96 “Diseño sísmico de edificios”. Chile.

Popescu, R., Prevost, J.H., Deodatis, G. (1998). Spatial variability of soil properties: two case studies. Geotechnical earthquake engineering and soil dynamics, Geotechnical special publication n° 75, ASCE, Seattle. p. 568-579.

ANÁLISIS PROBABILÍSTICO DE LA ESTABILIDAD DE MUROS DE CONTENCIÓN

Jaime Rodríguez Urquiza

Universidad de La Serena, Departamento de Ingeniería en Obras Civiles jrodrigu@userena.cl

Luis Lemus Mondaca

Geotecnia Ambiental Ltda. llemus@geotecniaambiental.cl

RESUMEN

En este trabajo se presenta una metodología probabilística para el análisis de la estabilidad externa de muros de contención mediante el método de Simulación de Monte Carlo (SMC). El objetivo es determinar en términos cuantitativos la fiabilidad del diseño, a través del concepto de probabilidad de falla del sistema. El modelo computacional fue desarrollado en rutinas de Visual Basic 6.0. Como ejemplo de aplicación se desarrolla el análisis de estabilidad de un muro de contención tipo Cantilever.

1. INTRODUCCIÓN. Para un ingeniero tener herramientas para cuantificar la incertidumbre de los modelos que desarrolla resulta de mucha utilidad, debido a que esto le permitiría seleccionar, en base a su experiencia o en base a la normativa vigente, los diversos factores de seguridad que utilizará en su proyecto. Dentro de los problemas de ingeniería más desarrollados, tanto por los ingenieros geotécnicos como estructurales, se encuentra el análisis y diseño de estructuras de contención, en los cuales la mayor dificultad radica en determinar la estabilidad que el muro presenta a una posible falla (Centeno, 2002).

Para determinar la estabilidad de un muro de contención es necesario determinar los factores de seguridad al deslizamiento y al volcamiento de la estructura, para los casos estáticos y sísmicos. Dichos factores están relacionados con la geometría del muro de contención, las cargas, los empujes estáticos y sísmicos solicitantes, las propiedades mecánicas de los suelos, etc.; pero estos factores de seguridad no permiten cuantificar el efecto de la incertidumbre ( o variabilidad) de las variables utilizadas en los resultados del análisis y el diseño final.

Un ejemplo muy importante de lo anterior se refiere a, los parámetros propios del suelo. Los suelos son muy variables en sus propiedades y pocas veces son homogéneos en estado natural. Una de las principales fuentes de heterogeneidad es la variabilidad inherente espacial de los suelos, esta variación de las propiedades desde un punto a otro en el espacio se debe a las diferentes condiciones de depositación y a los diferentes estados tensionales debido al historial de cargas (Elkateb y Chalaturnyk 2003).

En este trabajo se presenta una metodología para el análisis de muros de contención tomando en cuenta la variabilidad inherente de los parámetros de resistencia al corte, utilizando el modelo de Mohr – Coulomb como ley constitutiva de los suelos, asumiendo además que solo el ángulo de fricción interna del suelo de relleno se comporta como una variable estocástica, ya que de acuerdo a un análisis de sensibilidad de la estabilidad es la variable más influyente en el análisis.

2. METODOLOGÍA DE ANÁLISIS Y MODELO MATEMÁTICO. Para el análisis de la estabilidad de un muro de contención, se asume un comportamiento de equilibrio límite, en el cual se genera un mecanismo de falla en el suelo o en la misma estructura. Para evitar este tipo de falla en el diseño se estudia el estado inmediatamente anterior a la falla y no el colapso total del muro. Se asume además que el muro de contención clasifica como una estructura rígida según su

interacción suelo - estructura, donde no se presentan deformaciones considerables ante las solicitaciones del suelo retenido. También se realiza el análisis en una condición de talud estable, que supone que el suelo es homogéneo y se genera una presión del suelo de acuerdo a las teorías de Rankine y Coulomb, en donde las presiones del suelo (estáticas) se asumen con una distribución en forma triangular. Para el análisis sísmico del muro de contención se realiza el cálculo de empujes utilizando los métodos de Coulomb y Mononobe – Okabe , para los casos estáticos y sísmicos respectivamente.

El modelo probabilístico requiere de amplias bases de datos asociadas a los parámetros de resistencia de los suelos. En el ejemplo de este trabajo se asume que el material de relleno detrás del muro estará conformado por uno del tipo arena limosa y por lo tanto, al asumir que el ángulo

de fricción interna del suelo de relleno () se comporta como una variable estocástica, entonces se incorporan bases de datos disponibles de arenas limosas (Calderón, 2004), en las cuales las distribuciones de probabilidad que poseen un mejor ajuste al comportamiento de la variable son las distribuciones Normal y Lognormal, distribuciones bi-paramétricas que quedan definidas mediante la media y la varianza (o desviación estándar).

A continuación se resumen los valores de las medias, desviaciones estándar y coeficientes de variación para los ajustes de probabilidad asociadas al ángulo de fricción de interna para grados de compactación del 80%, 90% y 95% referidos al ensayo Proctor modificado.

%GC(PM)

Distribución

Normal

Distribución

Lognormal

(°) (°)cv

(%) (°)

cv

(%)

80 31,30 3,42 10,91 31,12 1,11 3,57

90 34,35 4,22 12,29 34,19 1,13 3,30

95 36,96 4,22 11,42 36,71 1,12 3,05

Tabla 1. Resumen de distribuciones de ajuste para las bases de datos arenas limosas. GC:

Grado de compactación con respecto a la DMCS del Ensayo Proctor Modificado.

Para llevar a cabo el análisis probabilístico de la estabilidad del muro de contención, el enfoque

propuesto corresponde a la Simulación de Monte Carlo (SMC), aunque costoso

computacionalmente, es una forma adecuada para capturar los efectos de la variabilidad inherente

de los parámetros de resistencia de los suelos (Popescu et al, 1998). La simulación se lleva a

cabo mediante el “Software de diseño y análisis de muros de contención mediante simulación de

Monte Carlo v.2” (González y Lemus 2010), con rutinas en lenguaje de Visual Basic 6.0. Las

variables de salida del modelo corresponden a los factores de seguridad estático y sísmico al

deslizamiento y al volcamiento, éstas podrán cuantificar la estabilidad del muro en términos de

fiabilidad, además se podrá verificar la probabilidad de falla del sistema, asociada a las

distribuciones de probabilidad de los factores de seguridad resultantes.

La simulación se basa en la generación de números pseudoaleatorios, estos se obtienen a través

de un algoritmo congruencial (García et al, 2006) o la rutina Randomize incluida en Visual Basic

6.0. Es posible generar un máximo de 30.000 corridas. Las variables aleatorias se obtienen a

través del método de Box-Müller (Box y Müller 1958), que se describe en la ecuación (5), que se

utiliza para generar variables aleatorias estándar normales.

El análisis genera un vector “X” de dimensión “n”, nXXXXX ....,,,, 321 , el cual representa un set de

variables aleatorias. Para una corrida, cada variable aleatoria normal estándar permite calcular los

factores de seguridad: FSEDi , FSEVi , FSSDi y FSSVi . Finalmente, se realiza un análisis

estadístico de estas variables asociado al número de corridas consideradas. Para una condición