OCTAVO AÑO:

El ángulo interior de un polígono es el que se forma al unirse cada par de lados consecutivos del mismo, y está contenido dentro del polígono. Por ejemplo, en el polígono que se muestra debajo, los lados: QR = lado1 y RS = lado2 determinan en el punto R (vértice) el ángulo interior: QRS.

1) En grupo de dos o tres alumnos utilicen el programa Geogebra, para graficar los

siguientes puntos

A = (2, 4)

B = (4, 5)

C = (5, 1)

D = (2,0)

E = (1, 2)

a) Utilizando la opción “segmento entre dos puntos”, unan los puntos graficados en el

ítem anterior y formen un polígono irregular.

b) Marquen cada uno de los ángulos interiores del polígono formado. Utilicen la

herramienta Ángulo para marcar cada uno de los ángulos del polígono formado.

c) ¿Cuál es el resultado de la “suma de los ángulos interiores” del polígono anterior?

Utilicen la calculadora científica, instalada en sus equipos portátiles, para hacer todos

los cálculos necesarios. Copien el gráfico del polígono con todos los ángulos marcados

en el procesador de textos. Expresen el cálculo realizado y su resultado.

2) Utilizando el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, grafiquen un

pentágono regular, para ello utilicen el comando “polígono regular”. Marquen sus

ángulos internos y súmenlos. Comparen este resultado con el obtenido en el punto 1 c.

3) Repitan el procedimiento de las actividades 1 y 2 para un hexágono irregular y otro

regular. Comparen las sumas de los ángulos interiores de estos hexágonos.

a) A partir a las comparaciones realizadas, respondan: ¿qué pueden concluir sobre la

suma de los ángulos interiores de un polígono? Luego, redacten una conclusión

NOVENO AÑO:

Un monomio es una expresión que consiste de un número, una variable, o el producto de números y variables. Expresiones como 2, z, y 42p3y son monomios, mientras que aquellas con más de un término, como 2 + z, no lo son.

Cuando los monomios incluyen un número y una variable, el número es llamado coeficiente. Por ejemplo, en el monomio 8x2, 8 es el coeficiente.

Las variables en un monomio pueden tener números enteros como exponentes, pero no exponentes negativos. Así como los números pueden ser multiplicados y divididos, los monomios con variables también pueden ser multiplicados y divididos siguiendo las mismas reglas.

Multiplicando Monomios

Empecemos por multiplicar un monomio simple. Considera un cuadrado con longitud 2x. Para encontrar el área de este cuadrado, multiplicamos la longitud por sí misma, es decir, la longitud al cuadrado.

Área del cuadrado = (2x)(2x) =

El área, 4x2, es el producto de un número (4) y una variable con un número entero como exponente (x2). En otras palabras, es también un monomio. Entonces el resultado de multiplicar dos monomios es — ¡otro monomio!

Intentemos otro problema un poco más complicado. Encontremos el área de un círculo con radio 2xy. La fórmula del área de un círculo es A = πr2, donde A= área y r = radio. Para encontrar el área de un círculo con radio 2xy, primero necesitamos elevar al cuadrado el radio, y luego multiplicarlo por π.

Ejemplo

Problema Encontrar el área de un círculo con radio 2xy

A =πr2 Escribir la fórmula para el área de un círculo

Sustituir 2xy por el radio

Expandir 2xy y usar la Propiedad Conmutativa de la Multiplicación

Multiplicar los coeficientes y variables

es un número no una variable, y va incluido con el coeficiente

Solución

DECIMO AÑO:

Multiplicar polinomiosUn polinomio es algo así como esto:

ejemplo de polinomioeste tiene 3 términos

Para multiplicar dos polinomios:

• multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio• suma las respuestas, y simplifica si hace falta

Veamos primero los casos más simples

1 término × 1 término (monomio por monomio)

Para multiplicar un término por otro, primero multiplica las constantes, después multiplica cada variable y combina el resultado, así (pulsa el botón):

(Nota: he usado "·" para indicar la multiplicación. En álgebra no nos gusta usar "×" porque se parece mucho a la letra "x")

Para saber más sobre multiplicar términos, lee multiplicar y dividir variables con exponentes

1 término × 2 términos (monomio por binomio)

Multiplica el término que está solo por los otros dos términos, así:

2 términos × 1 término (binomio por monomio)

Multiplica cada uno de los dos términos por el que está solo, así:

(Hice este un poco más rápido porque multipliqué de cabeza antes de escribir)

2 términos × 2 términos (binomio por binomio)

Cada uno de los dos términos en el primer binomiose multiplica por

Cada uno de los dos términos del segundo binomio

PRIMERO BGU:

El propósito de esta página web es ayudar al aprendizaje de la programación lineal en dos variables, incluida como unidad didáctica de la asignatura Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II.

Su origen se encuentra en los cursos: "Diseño de Material Didáctico para Internet" y "El Lenguaje de Programación Java: Diseño de Aplicaciones Interactivas para Educación en Internet" , que organizaron durante el curso 1998-1999 el CICA , la Asociación Thales y la Consejería de Educación y Ciencia de Andalucía. Siendo su ponente José F. Quesada.

Mi nombre es Teodoro Coronado y en la actualidad imparto clases de matemáticas en el I.E.S. Cuenca Minera de Minas de Riotinto (Huelva) . He realizado esta página como trabajo final para los dos cursos.

Mapa del sitio

Introducción:

Inicio: en esta página te encuentras actualmente

Objetivos de la unidad: los objetivos didácticos de esta unidad

Origen : el comienzo de la programación lineal.

Conceptos:

¿Qué es la programación lineal?: Los primeros conceptos asociados a la programación lineal.

Determinación de la región factible:

Métodos de resolución:

Los métodos para resolver un PPL

Método gráfico

Método analítico

Esquema práctico para resolver un problema de programación lineal

Tipos de soluciones:

Las distintas situaciones que podemos encontrar al intentar resolver un PPL : solución única, múltiple, etc..

Actividades:

Actividades resueltas : 6 actividades que ayudan a conocer los procedimientos de la programación lineal, incluyendo algunos casos importantes (Problema del transporte y problema de la dieta)

Actividades propuestas: 35 actividades ordenadas por grado de dificultad y desde donde podrás acceder a sus soluciones pulsando el icono

Soluciones : de las actividades propuestas

Anexos:

Método del simplex: es uno de los métodos fundamentales de la programación lineal . Se incluye en este apartado por no formar parte del temario oficial de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Bibliografía: relación de libros que se han utilizado para confeccionar los contenidos de esta página

Enlaces : a otras páginas interesantes sobre como construir una página web, matemáticas o programación lineal

SEGUNDO BGU:

Ángulo. Porción de plano comprendida entre dos rectas que se cruzan

.

Medida de ángulos.

• Grados sexagesimales (DEG) 1º=60'=3600'' La circunferencia está dividida en 360º

• Radianes (RAD) 360º=2·pi radianes.

Razones trigonométricas. Dada una circunferencia de radio r, si tomamos un arco AP, donde A es un punto del semieje positivo de las x y P(x,y), el punto del extremo, se definen las razones trigonométricas del ángulo en la forma:

• Seno sen α = ordenada / radio = y / r • Coseno cos α = abscisa / radio = x / r

• Tangente tg α = seno / coseno = ordenada / abscisa = y / x

• Cotangente cotg α = coseno / seno = abscisa / ordenada = x / y

• Secante sec α = 1 / coseno = 1 / (x / r) = r / x

• Cosecante cosec α = 1 / seno = 1 / (y / r) = r / y

Signo de las razones. En cada cuadrante, dependiendo del signo de las abscisas y ordenadas, las razones presentan los siguientes signos:

Ángulos notables.

• 30º Para determinar sus razones tenemos en cuenta que se forma un triángulo equilátero:

sen 30º = y/r= (r/2) / r = 1/2

cos 30º = x/r= 3½ / 2

r2=x2+(r/2)2=x2+r2/4 x=(3r2/4)½=r3½/2

tg 30 º=(1/2)/(3½/2)= 3½ / 3

• 60º Formamos el triángulo equilátero de la figura:

sen 60º= y/r= (r 3½ / 2)/r= 3½ / 2

r2 = y2 + ( r/2)2

y = ( r2-r2/4)½ = ( 3 r2 / 4 )½ = r 3½ / 2

cos 60º= (r/2)/r = 1 / 2

tg 60º = (3½ / 2)/(1/2) = 3½

• 45º La x y la y son iguales, por lo que se forma un triángulo isósceles:

sen 45º = y/r = 2½ / 2

r2 = x2 + y2 = 2 y2

y=(r2/2)½=r(2½)/2

cos 45º= x/r = y = 2½ / 2

tg 45º = sen 45º / cos 45º = 1

Relaciones entre las razones trigonométricas.

1.- Teorema fundamental.

sen α = y / r de donde y = r sen α

cos α = x / r de donde x = r cos α

como según Pitágoras: x2+y2=r2 tenemos que r2cos2α + r2sen2α=r2

es decir: cos2α + sen2α = 1€€€

2.- Dividiendo el teorema fundamental entre sen2:

1 + cos2α€ / sen2α = 1/ sen2α

€€€€€€€€ 1 + cotg2α = cosec2α

TERCERO BGU:

TABLA DE AMORTIZACION BENEFICIARIO INSTIT. FINANCIERA MONTO 100.000,00

TASA 9,50%T. EFECTIVA 9,9248%

PLAZO 10 años GRACIA 0 años FECHA DE INICIO 01/06/2014 MONEDA DOLARES AMORTIZACION CADA 30 días Número de períodos 120 para amortizar capital

No. VENCIMIENTO SALDO INTERES PRINCIPAL DIVIDENDO0 100.000,00 1 01-jul-2014 99.166,67 791,67 833,33 1.625,00

2 31-jul-2014 98.333,33 785,07 833,33 1.618,40

3 30-ago-2014 97.500,00 778,47 833,33 1.611,81

4 29-sep-2014 96.666,67 771,88 833,33 1.605,21

5 29-oct-2014 95.833,33 765,28 833,33 1.598,61

6 28-nov-2014 95.000,00 758,68 833,33 1.592,01

7 28-dic-2014 94.166,67 752,08 833,33 1.585,42

8 27-ene-2015 93.333,33 745,49 833,33 1.578,82

9 26-feb-2015 92.500,00 738,89 833,33 1.572,22

10 28-mar-2015 91.666,67 732,29 833,33 1.565,63

11 27-abr-2015 90.833,33 725,69 833,33 1.559,03

12 27-may-2015 90.000,00 719,10 833,33 1.552,43

13 26-jun-2015 89.166,67 712,50 833,33 1.545,83

14 26-jul-2015 88.333,33 705,90 833,33 1.539,24

15 25-ago-2015 87.500,00 699,31 833,33 1.532,64

16 24-sep-2015 86.666,67 692,71 833,33 1.526,04

17 24-oct-2015 85.833,33 686,11 833,33 1.519,44

18 23-nov-2015 85.000,00 679,51 833,33 1.512,85

19 23-dic-2015 84.166,67 672,92 833,33 1.506,25

20 22-ene-2016 83.333,33 666,32 833,33 1.499,65

21 21-feb-2016 82.500,00 659,72 833,33 1.493,06

22 22-mar-2016 81.666,67 653,13 833,33 1.486,46

23 21-abr-2016 80.833,33 646,53 833,33 1.479,86

24 21-may-2016 80.000,00 639,93 833,33 1.473,26

25 20-jun-2016 79.166,67 633,33 833,33 1.466,67

26 20-jul-2016 78.333,33 626,74 833,33 1.460,07

27 19-ago-2016 77.500,00 620,14 833,33 1.453,47

28 18-sep-2016 76.666,67 613,54 833,33 1.446,88

29 18-oct-2016 75.833,33 606,94 833,33 1.440,28

30 17-nov-2016 75.000,00 600,35 833,33 1.433,68

31 17-dic-2016 74.166,67 593,75 833,33 1.427,08

32 16-ene-2017 73.333,33 587,15 833,33 1.420,49

33 15-feb-2017 72.500,00 580,56 833,33 1.413,89

34 17-mar-2017 71.666,67 573,96 833,33 1.407,29

35 16-abr-2017 70.833,33 567,36 833,33 1.400,69

36 16-may-2017 70.000,00 560,76 833,33 1.394,10

37 15-jun-2017 69.166,67 554,17 833,33 1.387,50

38 15-jul-2017 68.333,33 547,57 833,33 1.380,90

39 14-ago-2017 67.500,00 540,97 833,33 1.374,31

40 13-sep-2017 66.666,67 534,38 833,33 1.367,71

41 13-oct-2017 65.833,33 527,78 833,33 1.361,11

42 12-nov-2017 65.000,00 521,18 833,33 1.354,51

43 12-dic-2017 64.166,67 514,58 833,33 1.347,92

44 11-ene-2018 63.333,33 507,99 833,33 1.341,32

45 10-feb-2018 62.500,00 501,39 833,33 1.334,72

46 12-mar-2018 61.666,67 494,79 833,33 1.328,13

47 11-abr-2018 60.833,33 488,19 833,33 1.321,53

48 11-may-2018 60.000,00 481,60 833,33 1.314,93

49 10-jun-2018 59.166,67 475,00 833,33 1.308,33

50 10-jul-2018 58.333,33 468,40 833,33 1.301,74

51 09-ago-2018 57.500,00 461,81 833,33 1.295,14

52 08-sep-2018 56.666,67 455,21 833,33 1.288,54

53 08-oct-2018 55.833,33 448,61 833,33 1.281,94

54 07-nov-2018 55.000,00 442,01 833,33 1.275,35

55 07-dic-2018 54.166,67 435,42 833,33 1.268,75

56 06-ene-2019 53.333,33 428,82 833,33 1.262,15

57 05-feb-2019 52.500,00 422,22 833,33 1.255,56

58 07-mar-2019 51.666,67 415,63 833,33 1.248,96

59 06-abr-2019 50.833,33 409,03 833,33 1.242,36

60 06-may-2019 50.000,00 402,43 833,33 1.235,76

61 05-jun-2019 49.166,67 395,83 833,33 1.229,17

62 05-jul-2019 48.333,33 389,24 833,33 1.222,57

63 04-ago-2019 47.500,00 382,64 833,33 1.215,97

64 03-sep-2019 46.666,67 376,04 833,33 1.209,38

65 03-oct-2019 45.833,33 369,44 833,33 1.202,78

66 02-nov-2019 45.000,00 362,85 833,33 1.196,18

67 02-dic-2019 44.166,67 356,25 833,33 1.189,58

68 01-ene-2020 43.333,33 349,65 833,33 1.182,99

69 31-ene-2020 42.500,00 343,06 833,33 1.176,39

70 01-mar-2020 41.666,67 336,46 833,33 1.169,79

71 31-mar-2020 40.833,33 329,86 833,33 1.163,19

72 30-abr-2020 40.000,00 323,26 833,33 1.156,60

73 30-may-2020 39.166,67 316,67 833,33 1.150,00

74 29-jun-2020 38.333,33 310,07 833,33 1.143,40

75 29-jul-2020 37.500,00 303,47 833,33 1.136,81

76 28-ago-2020 36.666,67 296,88 833,33 1.130,21

77 27-sep-2020 35.833,33 290,28 833,33 1.123,61

78 27-oct-2020 35.000,00 283,68 833,33 1.117,01

79 26-nov-2020 34.166,67 277,08 833,33 1.110,42

80 26-dic-2020 33.333,33 270,49 833,33 1.103,82

81 25-ene-2021 32.500,00 263,89 833,33 1.097,22

82 24-feb-2021 31.666,67 257,29 833,33 1.090,63

83 26-mar-2021 30.833,33 250,69 833,33 1.084,03

84 25-abr-2021 30.000,00 244,10 833,33 1.077,43

85 25-may-2021 29.166,67 237,50 833,33 1.070,83

86 24-jun-2021 28.333,33 230,90 833,33 1.064,24

87 24-jul-2021 27.500,00 224,31 833,33 1.057,64

88 23-ago-2021 26.666,67 217,71 833,33 1.051,04

89 22-sep-2021 25.833,33 211,11 833,33 1.044,44

90 22-oct-2021 25.000,00 204,51 833,33 1.037,85

91 21-nov-2021 24.166,67 197,92 833,33 1.031,25

92 21-dic-2021 23.333,33 191,32 833,33 1.024,65

93 20-ene-2022 22.500,00 184,72 833,33 1.018,06

94 19-feb-2022 21.666,67 178,13 833,33 1.011,46

95 21-mar-2022 20.833,33 171,53 833,33 1.004,86

96 20-abr-2022 20.000,00 164,93 833,33 998,26

97 20-may-2022 19.166,67 158,33 833,33 991,67

98 19-jun-2022 18.333,33 151,74 833,33 985,07

99 19-jul-2022 17.500,00 145,14 833,33 978,47

100 18-ago-2022 16.666,67 138,54 833,33 971,88

101 17-sep-2022 15.833,33 131,94 833,33 965,28

102 17-oct-2022 15.000,00 125,35 833,33 958,68

103 16-nov-2022 14.166,67 118,75 833,33 952,08

104 16-dic-2022 13.333,33 112,15 833,33 945,49

105 15-ene-2023 12.500,00 105,56 833,33 938,89

106 14-feb-2023 11.666,67 98,96 833,33 932,29

107 16-mar-2023 10.833,33 92,36 833,33 925,69

108 15-abr-2023 10.000,00 85,76 833,33 919,10

109 15-may-2023 9.166,67 79,17 833,33 912,50

110 14-jun-2023 8.333,33 72,57 833,33 905,90

111 14-jul-2023 7.500,00 65,97 833,33 899,31

112 13-ago-2023 6.666,67 59,38 833,33 892,71

113 12-sep-2023 5.833,33 52,78 833,33 886,11

114 12-oct-2023 5.000,00 46,18 833,33 879,51

115 11-nov-2023 4.166,67 39,58 833,33 872,92

116 11-dic-2023 3.333,33 32,99 833,33 866,32

117 10-ene-2024 2.500,00 26,39 833,33 859,72

118 09-feb-2024 1.666,67 19,79 833,33 853,13

119 10-mar-2024 833,33 13,19 833,33 846,53

120 09-abr-2024 0,00 6,60 833,33 839,93

47.895,83 100.000,00 147.895,83