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MÉTODO DE HARDY-CROSS CON CORRECCIÓN DE CAUDALES

Ecuaciones Básicas:

[1]

Donde, la Ecuación de Conservación de la Masa para Cada Nodo, nos dice que:

[2]

Reemplazando (1) en (2), tenemos:

[3]

[Ecuaciones de Cabeza]

Por otra parte, utilizando la Ec. De Conservación de Energía para un Circuito "Cerrado" cualquiera, tenemos:

[4]

[Ecuaciones de Caudal]

Metodología:1. Definir claramente la Geometría de la Red, identificando en forma coherente los Nodos y los Circuitos (NC). 2. Definir/Suponer los diámetros de las Tuberías que conforman la Red. (Es un Proc. De Comprobación de Diseño).3. Se definen los circuitos cerrados en cualquier orden. Se debe garantizar que todos los tubos queden incluidos por lo menos en un circuito4. Suponer los Caudales en cada uno de los Tubos de la Red (Verificando Continuidad en cada Nodo), e ir corrigiendo esta suposición en cada Iteración. Cuanto mejores sean las suposiciones, mas rápido converge el método.5. Se estima un error de Caudal por Circuito utilizando la Ec. De Perdidas, de la siguiente manera:

6. Si en alguna de las tuberías del circuito, existe una Bomba Centrifuga, se debe restar la cabeza generada por esta de las perdidas en latubería, antes de hacer el calculo de corrección de caudales.7. Iterar, hasta que la Convergencia en el Balance de Cabezas, llegue a valores razonablemente cercanos a cero.

( )( )

∑ ∑∑ ∑

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅

+−=Δ

ij

ijij

ijij

Qhmhf

hmhfQ

2

ij

ijij

ijij

jiij Ag

Kmdl

f

HHQ ⋅⋅⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

−=

∑2

2/1

Comentario: Surge de la Ecuación de Energía entre los Nodos i a j ,despejando la Variable Caudal (Qij). (Se ha despreciado el ValorCinético v2/2g).

01

=−∑=

Di

NT

jij QQ

i

Donde NT'i es el Numero de Tubos que conforman el Circuito Cerradoy donde el valor de perdidas (por fricción y menores) en la trayectoriacerrada debe ser igual a cero. Este tipo de Ecuaciones, se conocen conel Nombre de Ec. de Caudal. En Total se tienen NC Ecuaciones, dondeNC es el numero de circuitos que conforman la Red.

∑ ∑=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅

⋅⋅

iNT

j ij

ijijij

ij

ij

dl

fkmAg

Q'

12

2

02

∑∑

=

=−⋅⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

−iNT

jDiij

ijij

ijij

ji QAg

Kmdl

f

HH

1

2/1

02

Este tipo de Ecuaciones, se conocen como Ecuacionesde Cabeza, las cuales para el análisis de RedesCerradas, se conocen (NU-1), debiéndose conocer la almenos una Cabeza de la Red. Estas Ecuaciones son NoLineales.

( )∑ ∑ ⋅⋅

Δ+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=+= 2

2

2 ij

ijijij

ij

ijijijijij Ag

QQkm

dl

fhmhfhResolviendo, Despreciando términos pequeños yDespejando ΔQij, obtenemos:

Ejemplo:Datos: ΣKm2-3 = 10 (Válvula). υ (m²/sg) = 1.140E-06

ε (m) = 6.00E-05H1 (mca) = 100Nota: Los Diámetros se indican en pulgadas y los Q en l/s.

Desarrollo del Metodo.Entrada de Datos (Primer Ciclo).1. Suponemos los Caudales. (Verificando la Ec. De Continuidad). Verificar signos de acuerdo a sentido acordado.

Tubo [1 - 2] [2 - 3] [3 - 4] [4 - 5] [2 - 5] [5 - 6] [1 - 6]Longitud (m) 500.0 400.0 200.0 400.0 200.0 600.0 300.0Σkm 0.0 10.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0Caudal (l/s)* 120 50 10 -20 10 -40 -80*IMPORTANTE: En la suposición inicial de Caudales se debe cumplir continuidad en cada nodo.

CIRCUITO ITuberia Diametro Caudal - Qij Velocidad f hf + Σhm (hf + Σhm)/Qij

(m) (m3/s) (m/s) (m)1 a 2 0.2540 0.1200 2.3682 0.015686 8.8270 73.558002 a 5 0.1016 0.0100 1.2335 0.020456 3.1226 312.257255 a 6 0.2032 -0.0400 -1.2335 0.017500 -4.0070 100.174646 a 1 0.2540 -0.0800 -1.5788 0.016257 -2.4394 30.49261

Σ = 5.5031 516.48250ΔQI (m

3/s) =

CIRCUITO IITuberia Diametro Caudal - Qij Velocidad f hf + Σhm (hf + Σhm)/Qij

(m) (m3/s) (m/s) (m)2 a 3 0.1524 0.0500 2.7410 0.017312 21.2295 424.590462 a 5 0.1016 -0.004672 -0.5763 0.022743 -0.7579 162.210423 a 4 0.1016 0.0100 1.2335 0.020456 3.1226 312.257255 a 4 0.1524 -0.0200 -1.0964 0.018905 -3.0401 152.00743

Σ = 20.5540 1051.06557ΔQII (m

3/s) =

-0.0053275

-0.0097777

I II

500 m

300 m

600 m

400 m

200

400 m

200

40

30

60 40

30

10"4" 4"

10" 6"

6"8"

1 2 3

45

6

Iteracion No. 1 (Segundo Ciclo)Haciendos las respectivas Correcciones de Caudales, tenemos:

Tubo [1 - 2] [2 - 3] [3 - 4] [4 - 5] [2 - 5] [5 - 6] [1 - 6]Longitud (m) 500.0 400.0 200.0 400.0 200.0 600.0 300.0Caudal (l/s) 114.6725 40.2223 0.2223 -29.7777 14.4502 -45.3275 85.3275


(m) (m3/s) (m/s) (m)1 a 2 0.2540 0.11467 2.2631 0.015743 8.0896 70.545222 a 5 0.1016 0.01445 1.7824 0.019671 6.2698 433.887745 a 6 0.2032 -0.04533 -1.3977 0.017263 -5.0756 111.976016 a 1 0.2540 -0.08533 -1.6840 0.016156 -2.7579 32.32110

Σ = 6.5259 648.73008ΔQI (m

3/s) =


(m) (m3/s) (m/s) (m)2 a 3 0.1524 0.04022 2.2050 0.017608 13.9303 346.332682 a 5 0.1016 -0.009420 -1.1620 0.020602 -2.7908 296.252863 a 4 0.1016 0.00022 0.0274 0.046873 0.0035 15.904875 a 4 0.1524 -0.02978 -1.6324 0.018096 -6.4508 216.63262

Σ = 4.6922 875.12303ΔQII (m

3/s) =

Iteracion No. 2 (Tercer Ciclo)Haciendo nuevamente las respectivas Correcciones de Caudales, tenemos:

Tubo [1 - 2] [2 - 3] [3 - 4] [4 - 5] [2 - 5] [5 - 6] [1 - 6]Longitud (m) [1 - 2] [2 - 3] [3 - 4] [4 - 5] [2 - 5] [5 - 6] [1 - 6]Caudal (l/s) 109.6427 37.5414 -2.4586 -32.4586 12.1013 -50.3573 90.3573


(m) (m3/s) (m/s) (m)1 a 2 0.2540 0.10964 2.1638 0.015800 7.4225 67.697342 a 5 0.1016 0.01210 1.4926 0.020026 4.4766 369.924765 a 6 0.2032 -0.05036 -1.5528 0.017076 -6.1969 123.059016 a 1 0.2540 -0.09036 -1.7832 0.016069 -3.0761 34.04339

Σ = 2.6261 594.72451ΔQI (m

3/s) =


(m) (m3/s) (m/s) (m)2 a 3 0.1524 0.03754 2.0580 0.017711 12.1938 324.809662 a 5 0.1016 -0.009893 -1.2203 0.020482 -3.0602 309.319183 a 4 0.1016 -0.00246 -0.3033 0.025515 -0.2354 95.756505 a 4 0.1524 -0.03246 -1.7794 0.017946 -7.6010 234.17691

Σ = 1.2971 964.06225ΔQII (m

3/s) =

-0.0050297

-0.0026809

-0.0022078

-0.0006727

Iteracion No. 3 (Cuarto Ciclo)Haciendo nuevamente las respectivas Correcciones de Caudales, tenemos:



(m) (m3/s) (m/s) (m)1 a 2 0.2540 0.10743 2.1203 0.015827 7.1386 66.446082 a 5 0.1016 0.01057 1.3033 0.020327 3.4641 327.847465 a 6 0.2032 -0.05257 -1.6209 0.017004 -6.7235 127.909006 a 1 0.2540 -0.09257 -1.8268 0.016034 -3.2211 34.79830

Σ = 0.6581 557.00084ΔQI (m

3/s) =


(m) (m3/s) (m/s) (m)2 a 3 0.1524 0.03687 2.0211 0.017739 11.7760 319.403102 a 5 0.1016 -0.009975 -1.2304 0.020462 -3.1082 311.580933 a 4 0.1016 -0.00313 -0.3862 0.024369 -0.3647 116.480255 a 4 0.1524 -0.03313 -1.8163 0.017911 -7.9042 238.57104

Σ = 0.3989 986.03531ΔQII (m

3/s) =

Iteracion No. 4 (Quinto Ciclo)Haciendo nuevamente las respectivas Correcciones de Caudales, tenemos:



(m) (m3/s) (m/s) (m)1 a 2 0.2540 0.10684 2.1086 0.015834 7.0636 66.111162 a 5 0.1016 0.01018 1.2554 0.020414 3.2279 317.156195 a 6 0.2032 -0.05316 -1.6391 0.016985 -6.8680 129.205276 a 1 0.2540 -0.09316 -1.8385 0.016025 -3.2605 35.00017

Σ = 0.1630 547.47280ΔQI (m

3/s) =


(m) (m3/s) (m/s) (m)2 a 3 0.1524 0.03667 2.0101 0.017747 11.6517 317.776962 a 5 0.1016 -0.010029 -1.2370 0.020450 -3.1396 313.052483 a 4 0.1016 -0.00333 -0.4112 0.024094 -0.4087 122.600915 a 4 0.1524 -0.03333 -1.8274 0.017901 -7.9964 239.89167

Σ = 0.1070 993.32203ΔQII (m

3/s) =

-0.0001489

-0.0000539

-0.0005907

-0.0002023

Solucion FinalR/ En ambos circuitos, el criterio de correcion es pequeno, al igual que la sumatorias de perdidas, por lo cual el procesopuede parar, ya que se cumple la Ec. De Conservacion de la Energia en cada circuito. Los Resultados Finales son:

Tubo [1 - 2] [2 - 3] [3 - 4] [4 - 5] [2 - 5] [5 - 6] [1 - 6]Caudal (l/s) 106.70 36.61 -3.39 -33.39 10.08 -53.30 93.30

Nodo 1 2 3 4 5 6H (m) 100.00 92.86 81.09 81.45 89.35 96.78

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