17/04/2015 departamento de física y química - ipep de cádiz 1 tema 3 : estudio de los movimientos...

04/21/23 Departamento de Física y Química - IPEP de Cádiz1

Tema 3 : ESTUDIO DE LOS MOVIMIENTOS1.. Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

1.1. Ecuación del movimiento

2.. Movimientos con aceleración constante

4.. Movimiento Circular

3.. Composición de movimientos

1.2. Gráficas del MRU

2.1.Ecuación de la velocidad2.2.Ecuación de la posición

2.3.Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

3.1. Composición de dos MRU perpendiculares

3.2. Movimiento parabólico

4.1. Movimiento Circular Uniforme (MCU)

4.2.Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (MCUA)

3.2. Movimiento parabólico : Tiro horizontal


1.. Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

Es el de un móvil que recorre una trayectoria recta sin variar el valor de su velocidad.

En definitiva, se mantiene constante el vector velocidad: no varía ni la dirección de la velocidad ni su módulo (su valor)

0 s 5 s 10 s 15 s 20 stiempo

velocidad 4 m/s 4 m/s 4 m/s 4 m/s 4 m/s

Como no varía la dirección de la velocidad No tiene aceleración normal

Como no varía el módulo de la velocidad No tiene aceleración tangencial

MRU v

constante a

= 0


0

0

r rv

t t

0

0

x xv

t t

0 0x x v (t t )

1.1.Ecuación del movimiento Rectilíneo y Uniforme

La velocidad es:

Como la trayectoria es rectilínea usamos un sistema de referencia unidimensional

v i x i

0x i

0t t

Despejando la posición final x:

Posición final del móvil

en el instante t

Posición inicial del móvil

en el instante t0

velocidad del móvil

Frecuentemente el instante inicial t0 = 0 y la ecuación se reduce:

0x x v t


Ejercicio 2 de la página 45: Datos: x0 = 20 km; v = 80 km/h (constante); trayectoria rectilínea

Ox 0 = 20 km

v = 80 km/h

El tren tiene un movimiento rectilíneo y uniforme (MRU).

La ecuación de este movimiento en forma escalar nos da la posición x del tren en función de la posición inicial x0, la velocidad v y el intervalo de tiempo transcurrido t – t0:

0 0x x v (t t )

t0 = 0 s

0x x v t Al sustituir en la ecuación, tomando t0 = 0, nos queda: x = 20 + 80 · t

• Al cabo de 2 horas, la posición del tren será:

x = 20 + 80 · 2 = 180 km (se encontrará a 180 km de la estación)

• Para saber el instante t en que se encuentra a 260 km de la estación (x = 260 km), sustituimos en la ecuación:

260 = 20 + 80 · t

y despejamos el tiempo: 260 20t 3 h

80


1.1.Gráficas del Movimiento Rectilíneo y Uniforme

v v

t

t

Gráfica v– tRepresenta la velocidad (eje de ordenadas) frente al tiempo (eje de abcisas).

Es una recta paralela al eje de abcisas, puesto que la velocidad es constante en todo momento.

La velocidad es positiva: el móvil se mueve en el sentido elegido como positivo.

La velocidad es negativa: el móvil se mueve en el sentido elegido como negativa.

0

4

80

- 4

-8


1.1.Gráficas del Movimiento Rectilíneo y Uniforme

x x

t t

Gráfica x– tRepresenta la posición (eje de ordenadas) frente al tiempo (eje de abcisas).

Es una recta no paralela al eje de abcisas.

El móvil está en el origen O en el instante inicial.

Se aleja del origen O, en el sentido elegido como positivo.

t

x

x0 = 0

x0 x0

x0

OO O

El móvil está a una distancia x0 de O en el instante inicial.

Se aleja del origen O, en el sentido elegido como positivo.


Se acerca al origen O, en el sentido elegido como negativo, llega a él y se aleja.

α

α

La pendiente de la recta nos da la velocidad del móvil


Actividad 1

t (s)

X (m)

2 4 6 8 10

10

20

30

40x(m) 40

t(s) 0 2,8 5,2 7,6 10

a) Completa la tabla:

10 20

6

30 24 0

b) Calcula la velocidad en cada tramo:

0I

0

x xv

t t

20 10

2 0

m

5s

0II

0

x xv

t t

m

0s

20 20

4,4 2

0III

0

x xv

t t

m

12,5s

40 20

6 4,4

0IV

0

x xv

t t

m

10s

0 40

10 6


1.. Movimientos con aceleración constanteEn el movimiento Uniforme la velocidad permanece constante, pero en muchas ocasiones la velocidad de un móvil cambia con el tiempo, aunque su aceleración permanece constante : la velocidad cambia, pero cambia lo mismo en cada segundo, en cada unidad de tiempo.

Como ejemplo de este tipo de movimiento vamos a estudiar el MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA), que es el movimiento de un móvil que recorre una trayectoria recta con aceleración constante.

0 s 5 s 10 s 15 s 20 stiempo

velocidad 4 m/s 6 m/s 8 m/s 10 m/s 12 m/s

Como no varía la dirección de la velocidad No tiene aceleración normal

Como varía el módulo de la velocidad Si tiene aceleración tangencial

MRUA a

constante ta a= 0na


0

0

v va

t t

0

0

v va

t t

0 0v v a (t t )

1.1.Ecuaciones del movimiento Rectilíneo y Uniformemente Acelerado

La aceleración es:

Como la trayectoria es rectilínea usamos un sistema de referencia unidimensional

a i v i

0v i

0t t

Despejando la velocidad final v:

Velocidad final del móvil

en el instante t

Velocidad inicial del móvil

en el instante t0

aceleración del móvil


0v v a t

Ecuación de la velocidad


0m

0

r rv

t t

0m

0

x xv

t t

0 m 0x x v (t t )

1.1.Ecuaciones del movimiento Rectilíneo y Uniformemente Acelerado (Cont.)

• Sustituyendo en la ecuación anterior:

•Como la trayectoria es rectilínea usamos un sistema de referencia unidimensional

mv i x i

0x i

0t t• Despejando la posición final x:

• Frecuentemente el instante inicial t0 = 0 y la ecuación se reduce:

Ecuación de la posición

• Un MRUA es un MRU cuya:

0m

v vv

2

0 0 0v a (t t ) v

2

0

0

a (t t )v

2

20 0 0 0

1x x v (t t ) a (t t )

2

20 0

1x x v t a t

2


1.1.Ecuaciones del movimiento Rectilíneo y Uniformemente Acelerado (Cont.)

Ecuación de la posición

20 0

1x x v t a t

2

Ecuación de la velocidad

0v v a t

Ecuación de la velocidad en función de la posición

2 20 0v v 2 a (x x )

Se obtiene eliminando el tiempo entre las dos primeras ecuaciones


1.1.Gráficas del Movimiento Rectilíneo y Uniformemente Acelerado

a a

t

t

Gráfica a – tRepresenta la aceleración (eje de ordenadas) frente al tiempo (eje de abcisas).

Es una recta paralela al eje de abcisas, puesto que la aceleración es constante en todo momento.

La aceleración es positiva La aceleración es negativa

Significado del signo de la aceleración:

Si la aceleración tiene el mismo signo que la velocidad, AUMENTA el valor de ésta

Si la aceleración tiene distinto signo que la velocidad, DISMINUYE el valor de ésta

Applet Educaplus

0

0

http://www.educaplus.org/movi/2_6aceleracion.html



t

Gráfica v – tRepresenta la velocidad (eje de ordenadas) frente al tiempo (eje de abcisas).

Es una recta no paralela al eje de abcisas, puesto que la velocidad varía en todo momento.

v v

t t

v

v0

v0

OO O

α

α

La pendiente de la recta nos da la aceleración (tangencial) del móvil


x x

t t

Gráfica x – tRepresenta la posición (eje de ordenadas) frente al tiempo (eje de abcisas).

Es una parábola

El móvil está en el origen O en el instante inicial.

Se aleja del origen O, en el sentido elegido como positivo y va aumentado su velocidad

t

x

x0 = 0

x0 x0 x0

OO O


Se aleja del origen O, en el sentido elegido como positivo y va aumentando su velocidad.


Se aleja del origen O, en el sentido elegido como positivo y va disminuyendo su velocidad



Ejercicio 5 página 48 Datos: v0 = 210 km/h = 58,33 m/s; a = – 1,5 m/s2

O

v 0 = 58,33 m/s v = 0 m/s

+– a = – 1,5 m/s2

x0 = 0 m

x

En ese instante (t0= 0 s), x0 = 0 m , la moto tiene una velocidad de 58,33 m/s y una aceleración de – 1,5 m/s2

a) Elegimos como origen O del sistema de referencia el punto de la trayectoria donde se encuentra la moto en el instante que inicia la fase de frenado

Como la aceleración es constante (suponemos la trayectoria rectilínea), escribimos la ecuación de la velocidad para este movimiento:

(Tiene sentido contrario al de la velocidad, ya que disminuye el valor de esta, hasta pararse).

v = v0 + a · (t – t0) ; v = v0 + a · t ; ya que t0 = 0 s

y calculamos el tiempo que tarda en parar, despejándolo de la ecuación anterior:

0v vt

a

0 58,33

1,5

38,9 s

b) Para calcular la distancia que recorre la moto hasta pararse, hallamos la posición final x de la moto la aplicando la ecuación de la posición en función del tiempo (pág. 47), con t0 = 0 s :

20 0

1x x v t a t

2

·a · t2 = 0 + 58,33 · 38,9 +

· (– 1,5) · 38,92 =

210 58,33 38,9 ( 1,5) 38,9

2 2269 1124,9 1134,1 m

Hacer los ejercicios 6, 7 y 8 de la página 48


Movimiento vertical de los cuerpos:

Se trata de movimientos Rectilíneos Uniformemente Acelerados, en los que el valor de la aceleración es 9,8 m/s2.

▪ Lanzamiento vertical hacia abajo

▪ Caída libre

▪ Lanzamiento vertical hacia arriba

Ejercicio 14 página 51

. Datos: h = 15 m; a = g = – 9,8 m/s2

+

–O

a = g = – 9,8 m/s2

x0 = 0 m

X (m)

v0 = ?

h = 15 m

x = 15 mElegiremos como punto origen O del movimiento el punto de partida del balón, la acera, y sentido positivo hacia arriba.

En este caso la aceleración del balón , a = g = – 9,8 m/s2 es negativa ya que la velocidad con la que sube es positiva y va disminuyendo su valor debido a la aceleración negativa. Tiene un MRUA.

La posición inicial es x0 = 0 m y la final x = 15 m

v = 0 m/s

Applet caida libre Educaplus

http://www.educaplus.org/movi/4_2caidalibre.html


+

–O

a = g = – 9,8 m/s2

x0 = 0 m

X (m)

v0 = ?

h = 15 m

x = 15 m

a) El balón se pone en movimiento en el instante t0 = 0 con una velocidad inicial v0 y cuando llega a la posición final su velocidad es nula, v = 0 m/s

Calculamos la velocidad v0 con la que el niño debe lanzar el balón desde la acera aplicando la ecuación de la velocidad en función de la posición:

2 20 0v v 2 a (x x )

Despejamos la velocidad inicial:

20v 2 a x

Y la calculamos : 0v 2 ( 9,8) 15

b) Para calcular el tiempo que tarda el balón en llegar a la ventana, aplicamos la ecuación de la velocidad en función del tiempo:

v = v0 + a · t

Despejamos el tiempo y sustituimos: 0v v

ta

Hacer los ejercicios 10, 12 y 13 de la página 51

m17,1

s

Eliminamos los 0:

200 v 2 a x

2 g h

0 17,1

9,8

1,71 s


3.. Composición de movimientos

Hasta ahora hemos considerado movimientos simples en una dimensión. Sin embargo en la Naturaleza existen movimientos en dos dimensiones . Estos movimientos , a los que llamamos MOVIMIENTOS COMPUESTOS son la combinación de dos o más movimientos simples.

Para estudiar estos movimientos debemos:

►Identificar la naturaleza de cada uno de los movimientos simples componentes.

►Aplicar a cada movimiento componente sus propias ecuaciones.

►La posición, la velocidad y la aceleración del movimiento resultante será LA SUMA VECTORIAL de los vectores de posición, de las velocidades y de las aceleraciones de los movimientos componentes.

Veremos dos casos:





x

yanchura del río y

x (m)

y (m)

vy

v

Applet Educaplus

vx

O

La barca está sometida a dos movimientos, uno el de los remos o el motor y otro el de la corriente.

Cada uno de estos movimientos es un MRU

Ambos movimientos son SIMULTÁNEOS e INDEPENDIENTES

Orilla del ríoCorriente del río

d

Eje X : Movimiento de la corriente (MRU)

x = vx · t

Eje Y : Movimiento de los remos (MRU)

y = vy · t

La velocidad real de la barca es v (suma vectorial de vx y vy):2

y2

xvv v

La distancia real recorrida por la barca es d (suma vectorial de x e y): 2 2d yx (Como los movimientos son simultáneos, el tiempo t es el mismo para ambos movimientos)

Como ejemplo veremos el movimiento de una barca que cruza un río.

Orilla del río


v x = 10 m/s Orilla del ríoO

x

yanchura del río y = 150 m

x (m)

y (m)

Corriente del río

v y = 12 m/s

v

d

Ejercicio 17 página 55: Datos: v x = 10 m/s; v y = 12 m/s; anchura del río 150 m;Mientras la barca avanza en la dirección del eje Y impulsada por los remos o por su motor, avanza también en la dirección del eje X impulsada por la fuerza de la corriente. Ambos movimientos son simultáneos. a) El movimiento de la barca en la dirección del eje Y tiene la ecuación:

(y = y0 + v y · t)

Podemos calcular el tiempo que tarda la barca en llegar a la otra orilla, despejando t de la ecuación anterior teniendo en cuenta que en el instante inicial t0 = 0 , y0 = 0:

y

yt

v

150

12 12,5 s

y = vy · t

b) El movimiento de la barca en la dirección del eje X tiene la ecuación: x = vx · t (x = x0 + v x · t)

Sustituyendo el tiempo obtenido en el apartado anterior, podemos calcular lo que se desplaza en la dirección del eje X, teniendo en cuenta que en el instante inicial t0 = 0 , x0 = 0:

x = 10 ·12,5 = 125 m

La distancia que recorre la barca es d: 2 2d x y 2 2125 150 195,3 mOtro modo de calcular la distancia que recorre la barca:

La barca sigue la trayectoria que se indica en la figura a una velocidad v uniforme de:

2 2 2 2x y

mv v v 10 12 15,62

s

Como tarda 12,5 s, recorrerá una distancia d v t 15,62 12,5 195,3 m



Cuando un cuerpo es lanzado horizontalmente con una velocidad v0x se encuentra sometido a dos movimientos simultáneos e independientes

Uno, el horizontal, es un movimiento Rectilíneo y Uniforme (MRU) con velocidad constante v 0 x y otro, vertical, Rectilíneo y Uniformemente Acelerado (MRUA), cuya velocidad inicial es v0 y = 0 .

Elegimos el sistema de referencia y el criterio de signos que se indica en la figura.

Eje X: MRU ; la posición inicial x0 = 0 ; la velocidad vx = v0 x

Eje Y: MRUA; la posición inicial y0 ; la velocidad inicial v0 y = 0; a = g = – 9,8 m/s2

MRU

MRUA

+

–

X

Y

y0

v0x

v0x

v0x

v0x

vy

vy

vy

= v

v

v

v

O

Applet parabolico Educaplus

Applet horizontal Educaplus


3.2. Movimiento parabólico : Tiro horizontal (Cont.)MRU

MRUA

+

–

X

Y

y0

v0x

v0x

v0x

v0x

vy

vy

vy

= v

v

v

vEje X: MRU ; la posición inicial x0 = 0 ; la velocidad vx = v0 x


La ecuación del movimiento en este eje es: x = v0 x · t

Las ecuaciones del movimiento en este eje son: 20y y 4,9 t

yv 9,8 t El valor de la velocidad v que tiene el móvil en cualquier instante es :

2 2x yv v v

VER


Eejercicios 54 de la página 65Datos: altura 20 m; velocidad horizontal v0x = vx = 80 km/h = 22,22 m/s

v0x =22,22 m/s

X

Y

O

+

–

MRU

MRUA

y0 = 20 m

alcance = x

v0x =22,22 m/s

v0x =22,22 m/s

v

vvy

vy

Elegimos el sistema de referencia (origen O) y el criterio de signos que se indica en la figura.

a) La causa que hace caer al esquiador es la atracción terrestre. Por esto es el movimiento MRUA del eje vertical el que nos permite calcular el tiempo que está en el aire.

Eje Y: MRUA; la posición inicial y0 = 20 m; la posición final y = 0 m; la velocidad inicial v0 y = 0; la aceleración a = g = – 9,8 m/s2

La ecuación de la posición en función del tiempo es: 2

0 0y

1y y v t a t

2

Si eliminamos los términos que son ceros: y 0 0yy v t 21a t

2

02 y 2 20t 2 s

a ( 9,8)

2

0

10 y 0 a t

2


v0x =22,22 m/s

X

Y

O

+

–

MRU

MRUA

y0 = 20 m

alcance = x

v0x =22,22 m/s

v0x =22,22 m/s

v

vvy

vy

b) El alcance que consigue el esquiador es la distancia x de la figura. El esquiador avanzará horizontalmente a una velocidad vx = v0 x = 22,22 m/s mientras esté en el aire.

Eje X: MRU ; la posición inicial x0 = 0 ; la velocidad vx = v0 x = 22,22 m/s

La ecuación del movimiento en este eje es: x = x0 + v0 x · t

Sustituyendo nos queda: x = 0 + 22,22 · 2 = 44,44 m


4.. Movimiento Circular

R

s

s R

sR

t t

v R

Es aquel cuya trayectoria es una circunferencia.

Para su estudio introduciremos las magnitudes angulares propias de este tipo de movimiento.

sv

t

t

S.I.1 1rad

rad s ss

Las “distancias” angulares las mediremos en RADIANES

t Podemos hablar de la velocidad lineal v y de la velocidad angular ω del móvil:

El arco recorrido Δs en metros y el ángulo descrito Δφ en radianes se relacionan mediante el radio R de la circunferencia:

Dividiendo por el tiempo Δt:

La velocidad lineal es igual a la velocidad angular multiplicada por el radio

Applet Walter_Fendt


4.1. Movimiento Circular Uniforme

Es el de un móvil que recorre una trayectoria circular sin variar el valor de su velocidad.

Como varía la dirección de la velocidad Si tiene aceleración normal

Como no varía el módulo de la velocidad No tiene aceleración tangencial

ta

v

v

v

na

nana

na

na

na

v

v

v

MCU a

constantena a

= 0

En todo momento, el móvil está sometido a una aceleración normal, que le obliga a describir la trayectoria circular

22

n

va ω R

R R


0

0

φ φΔφω

Δt t t

0 0φ φ ω (t t )

4.1.(Cont) (Ecuación del movimiento Circular y Uniforme

La velocidad angular es:

Despejando la posición angular final :

Posición angular final del móvil en el instante t

Posición angular inicial del móvil en el instante t0

velocidad angular del móvil


0φ φ ω t

También podemos utilizar la ecuación en función de las magnitudes lineales que obtuvimos para el movimiento rectilíneo y uniforme (MRU):

0s s v t Las graficas de este movimiento son las mismas que las del MRU


Ejercicio 23 página 59Datos: R = 40 cm = 0,40 m; ω = 42 vueltas por minutos = 42 rpm; t = 4 minutos = 240 s;

a) Como una vuelta completa son 2π rad, el ángulo descrito en 1 minuto será de 42 · 2π rad

y la velocidad angular expresada en rad/s será, teniendo en cuenta que para t0 = 0 , φ0 = 0:

0

0

φ φ 42 2π 0 radω 1,4π

t t 60 0 s

ω 42rpm

b) La aceleración normal de un punto de la periferia es: (la velocidad lineal v es igual a la velocidad angular ω multiplicada por el radio de giro)

22 2

n 2

v ma ω R (1,4 π) 0,40 7,7

R s

c) La ecuación del movimiento circular uniforme nos permite calcular el ángulo descrito en 4 min(240 s): φ ω t 1,4π 240 336π rad

Como una vuelta completa son 2π rad: 336π rad1 vuelta

2π rad 168 vueltas

También: rad4,4

s

42 vueltas

min uto

42 2π rad

60 s

rad1,4π

s


2 20 0y 0

1 1y y v t a t y 0 t ( 9,8) t

2 2

20y y 4,9 t

x = x0 + v0 x · t = 0 + v0 x · t

Eje X: MRU ; la posición inicial x0 = 0 ; la velocidad vx = v0 x

x = v0 x · t


y 0yv v g t 0 ( 9,8) t

•

•

yv 9,8 t VOLVER


Sistemas de referencia

En una dimensión

P

Ox

X

xv v i v i

P1 O

x1 X

P2

x2

Δr Δx i

Δr

Δs

Δr Δs ; Δx Δs

VOLVER

r x i ; r (t) x(t) i ; x x(t)

VOLVERDiapositiva3

Diapositiva11VOLVER

Diapositiva10


MRUA

t = 0 s t = 1s t = 2s t = 3 s t = 4 s

v0 = 6 m/s 8m/s 10 m/s 12 m/s v = 14 m/s

MRU

t = 0 s t = 1s t = 2s t = 3 s t = 4 s t = 5 s

10 m/s 10 m/s 10 m/s 10 m/s 10 m/s

0m

v v 6 14 mv 10

2 2 s

VOLVER


RADIÁN

R

s

R

El radián es el ángulo central de una circunferencia que abarca un arco igual al radio de la circunferencia:

s

Como la longitud total de la circunferencia es:

s 2 R

El ángulo completo de la circunferencia equivale a:

s 2 R

R

R2 radianes

La equivalencia entre grados sexagesimales y radián es:

2 radianes 360

VOLVER

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