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Wittgenstein & GödelDebate acerca del sentido

y la interpretación delas proposiciones matemáticas

Wittgenstein & GödelDebate acerca del sentido

y la interpretación delas proposiciones matemáticas

Carlos Alberto Cardona Suárez

Colección Tesis LaureadasFacultad de Ciencias Humanas

Departamento de Filosofía. Doctorado en Filosofía.Tesis Laureada por la Facultad de Ciencias Humanas dela Universidad Nacional de Colombia en Julio de 2003.

Wittgenstein & Gödel,Debate acerca del sentido y la interpretación de las proposiciones matemáticasSerie Encuentros. Colección Tesis laureadas, Facultad de Ciencias Humanas. La presente edición, 2004 Carlos Alberto Cardona Suárez.ISBN 958-8063-23-X

Germán Meléndez AcuñaDecanoDecanoDecanoDecanoDecanoFacultad de Ciencias Humanas

Olga Restrepo ForeroVicedecana AcadémicaVicedecana AcadémicaVicedecana AcadémicaVicedecana AcadémicaVicedecana AcadémicaFacultad de Ciencias Humanas

Coordinación editorialCoordinación editorialCoordinación editorialCoordinación editorialCoordinación editorialNadeyda Suárez Morales([email protected])

Diseño y diagramación:Diseño y diagramación:Diseño y diagramación:Diseño y diagramación:Diseño y diagramación:Julián R. Hernández([email protected])

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Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia

Cardona Suárez, Carlos Alberto Wittgenstein et Gödel : debate acerca del sentido y la interpretación de las

proposiciones matemáticas / Carlos Alberto Cardona Suárez — Bogotá : UniversidadNacional de Colombia. Unibiblos, 2004

408 p. – ( Encuentros. Colección tesis laureadas)

ISBN : 958-8063-23-X

1. Filosofía de las matemáticas 2. Lógica simbólica I. Universidad Nacional deColombia. Facultad de Ciencias Humanas

CDD-21 510.1 / 2004

A Leonor, Ana Lucía y Juan Pablo

CONTENIDO

AGRADECIMIENTOS 9

CAPITULO 0INTRODUCCIÓN 11

CAPITULO 1DE GÖDEL A LA FILOSOFIA 311.1 El programa de Hilbert 321.2 Algunas consecuencias filosóficas del trabajo de Kurt Gödel 421.3 ¿Es la matemática sintaxis del lenguaje? 62

CAPITULO 2 69SENTIDO Y SINSENTIDO EN EL TRACTATUS LOGICO PHILOSOPHICUS:PROPOSICIONES MATEMATICAS 692.1 Sentido en el Tractatus Logico Philosophicus 712.2 Ausencia de sentido en el Tractatus 782.3 El caso de las proposiciones matemáticas 882.4 La naturaleza de los aforismos del Tractatus 962. 5 Elucidaciones: Wittgenstein y Hertz 112

CAPITULO 3WITTGENSTEIN: ENTRE DOS FUEGOS 1293.1 La exclusión de los colores 1333.3 Importancia de los ejemplos 174

CAPITULO 4WITTGENSTEIN: ACERCA DE LA EXIGENCIA DE FUNDAMENTOS 1884.1 El problema de los fundamentos 1904.2 Wittgenstein y el programa de Hilbert 216

| 8 |Wittgenstein & Gödel, Debate acerca del sentido y la interpretación de las proposiciones matemáticas

CAPITULO 5LA DEMOSTRACION MATEMATICA 2295.1 Sentido y demostración: visión sinóptica 2365.2 Prosa y demostración 2575.3 Conjeturas Matemáticas 262

CAPITULO 6PRUEBAS DE IMPOSIBILIDAD 2776.1 Trisección del ángulo 2786.2 Construcción de polígonos regulares 295

CAPITULO 7 WITTGENSTEIN & GÖDEL, DEBATE ACERCA DEL SENTIDO YLA INTERPRETACION DE LAS PROPOSICIONES MATEMATICAS 3157.1 Relación: física y matemáticas 3317.2 ¿Era Wittgenstein un convencionalista? 3527.3 Acerca de las interpretaciones de Shanker, Wang y Floyd 3647.4 Epílogo 379

BIBLIOGRAFIA 389Convenciones para citar la obra de Wittgenstein 389Convenciones para citar la obra de Gödel 391Otras fuentes 392

INDICE DE NOMBRES 405

Carlos Alberto Cardona Suárez| 9 |

AGRADECIMIENTOS

En el desarrollo del presente trabajo de investigación he tenido la fortuna derodearme de personas que con su paciencia, amistad y sabiduría contribuyeron adesarrollar muchas de las ideas que aquí se sostienen. Todos los errores eimprecisiones de la investigación son responsabilidad exclusiva del autor. De otraparte, los aciertos que pueda haber en ella no son del todo responsabilidad del autor,en muchos casos son aciertos que debo a la justa intervención de las personas queme acompañaron en forma más cercana. Debo expresar, en primer lugar, mi másprofundo agradecimiento con el profesor Fernando Zalamea, quien me asistió encalidad de director del trabajo de doctorado presentado a la Universidad Nacional.Sus anotaciones, siempre críticas y en nada complacientes con las perspectivaswittgensteinianas, funcionaron como detonantes que en muchos casos me obligarona dar marcha atrás. También deseo expresar mi agradecimiento con la profesoraMagdalena Holguín, mi acercamiento a la obra de Wittgenstein está altamenteinfluenciado por las innumerables conversaciones sostenidas con la profesora Holguín.Una buena parte del trabajo de investigación adquirió su forma definitiva durante miestadía en la Universidad de Boston. Allí tuve la fortuna de intercambiar mis opinio-nes con la profesora Juliet Floyd a quien le debo mi más profundo agradecimiento nosólo por las ideas que recibí de parte de ella, sino también por la forma cálida yamable con que me acogió. También estoy en deuda con el profesor Juan JoséBotero, a quien no sólo agradezco sus juiciosas críticas y comentarios, le agradezcotambién su solidaridad y acompañamiento durante el tiempo que tomó la investiga-ción.

Por último, quiero agradecer también a aquellas personas que en forma pacientey abnegada leyeron en forma preliminar el texto que reúne la presente investigación.A todos ellos debo múltiples comentarios y sugerencias. Fueron ellos: Raúl Meléndez,William Duica, Douglas Niño, Mauricio Rengifo, Jorge Salazar, José Granés, ReynaldoBernal, Alvaro Corral.

Oxford 1950. Entre los estudiantes pertenecientes a las nuevas generaciones delperíodo de postguerra corría un rumor que ya había alcanzado a impregnar hasta losúltimos rincones del campus universitario3. Ludwig Wittgenstein, el autor del ya clási-co y famoso Tractatus logico philosophicus, había modificado casi por completo suinicial, original e influyente punto de vista, y se encontraba trabajando en una nuevaforma de encarar los mismos problemas. Todo parecía advertir que algo muy impor-tante se venía tejiendo en las entrañas de la Universidad de Cambridge, salvo quetodo se hacía en secreto. Muy pocos estudiantes tenían la fortuna de asistir a laslecciones que preparaba el filósofo y menos aún aquellos que lograban ligeramenteentender las orientaciones de la nueva metodología. Algunos discípulos abandona-ban de vez en cuando la cofradía y con algunos apuntes debajo del brazo recorríanvarios centros universitarios próximos a Cambridge con el objeto de difundir lo queellos habían alcanzado a vislumbrar acerca de las nuevas ideas. Aquellos apuntescirculaban en forma casi clandestina y se vendían como si se tratara de una canciónsecreta de The Beatles. Fue así como un día la Universidad de Oxford fue ocupada,sin que nadie pudiese advertir cómo, por tres escritos que recogían los apuntes dealguien que había tenido el privilegio de asistir a las conferencias del filósofo. Los dosprimeros constituyeron la base para lo que más tarde se editó con el título de Loscuadernos azul y marrón, y el tercero era la versión de Bosanquet que formó parte de

CAPITULO 0INTRODUCCIÓN

“Nosotros conocemos en matemáticas tanto como conoce Dios.”Ludwig Wittgenstein1

“El hombre que cuestiona la suprema certeza de las matemáticas alimenta la confusión, y nunca puedesilenciar las contradicciones de las ciencias sofísticas que conducen a una eterna charlatanería.”

Leonardo Da Vinci2

1 LFM, XI, p. 104.2 Da Vinci, Leonardo (1970), vol. 2, p. 289, § 1157.3 Recojo parte de esta semblanza de la reseña que Michael Dummett preparó a propósito de la edición de las

Wittgenstein´s lectures on the foundations of mathematics. Véase Dummett, M. (1978).


los apuntes que Cora Diamond tomó como base para editar las Wittgenstein’s lectureson the foundations of mathematics. Los dos primeros escritos contaban con la super-visión y aceptación del filósofo, en tanto que el tercero era una versión bastante librede lo que parecía ser una discusión animada acerca de los fundamentos de la mate-mática. Si le damos crédito al relato de Dummett, se armaban grupos de cincopersonas que contrataban a un copista quien se encargaba de reescribir los textosanteponiendo cuatro hojas de papel carbón. Así las cosas, en un tiempo breve semultiplicaron los grupos de estudio alrededor de las nuevas ideas de Wittgenstein.Sin embargo, no había nadie que avalara la veracidad y la seguridad de las ideas quecirculaban en una forma tan peculiar en la mitad del siglo que veía crecer como unaplaga la circulación de revistas especializadas.

En 1953, dos años después de la muerte del filósofo, se publicó en Oxford laprimera versión canónica de las nuevas exploraciones de Wittgenstein. Esta versión,que contaba con la autorización y revisión del autor, se publicó con el título de Inves-tigaciones Filosóficas. Los estudiantes que habían tenido la oportunidad de seguir yrevisar las copias clandestinas que mencionamos en el párrafo anterior estaban sinduda mejor preparados para entender las crípticas anotaciones recogidas en la nue-va edición. El libro que estamos comentando cierra sus páginas con una declaraciónque puede entenderse como la puerta de ingreso a una investigación por venir: “Parala matemática es posible una investigación totalmente análoga a nuestra investiga-ción de la psicología. Es tan poco una investigación matemática como la otra lo espsicológica. En ella no se calcula, por lo cual no es, por ejemplo, logística. Podríamerecer el nombre de una investigación de los ‘fundamentos de la matemática’.” (IF,II, XIV, p. 527). El lector que termina las Investigaciones Filosóficas y sigue con aten-ción este último pasaje puede culminar con un sentimiento encontrado entre profun-da frustración y clara excitación: ¿dónde se encuentra y a qué se refiere Wittgensteincon esta investigación por los fundamentos de la matemática? Es del todo claro queel nuevo proyecto filosófico de Wittgenstein podía entenderse como el preámbulo auna investigación por los fundamentos de la matemática. Las copias de Bosanquetservían para insinuar algunas ideas en esta dirección pero eran demasiado oscuraspara pensar que a partir de allí se podría reconstruir la versión canónica del autor.

Si bien ya era muy difícil reconstruir lo que podríamos llamar la versión canónica delautor acerca de esta nueva investigación por los fundamentos de la matemática, losherederos de los papeles privados de Wittgenstein se dieron a la tarea de editar untexto que recogiera algunas de estas observaciones. En 1956 se editó la primera ver-sión de las Observaciones sobre los fundamentos de la matemática. La publicaciónpóstuma de otros escritos del autor ha puesto en evidencia que el mayor porcentaje desus preocupaciones estaba asociado, precisamente, con la gramática de las expresio-nes matemáticas. La publicación de las Observaciones sobre los fundamentos de lamatemática produjo, como era de esperarse, una fuerte reacción adversa tanto entre


filósofos como entre matemáticos profesionales. Quiero advertir dos dificultades extre-mas que en ese momento impedían una valoración justa de las pretensiones del filóso-fo. En primer lugar, el libro recoge observaciones que no fueron seleccionadas, catalo-gadas, organizadas o valoradas por el autor con la intención de una edición a la manerade pensamientos terminados. Todas ellas deben leerse, entonces, como exploracio-nes heurísticas que aún no logran los estándares de un pensamiento terminado: for-man parte de los preámbulos de una investigación que aún no lograba la madurezsuficiente para romper el cordón umbilical que le hubiese permitido soportar con forta-leza los embates de la crítica feroz. En segundo lugar, los intérpretes no habían tenidoel tiempo suficiente para valorar y entender cabalmente las nuevas orientacionesmetodológicas que se insinuaban en las Investigaciones Filosóficas. Sólo un entendi-miento cabal y firme de la nueva forma de encarar las dificultades filosóficas, nospermite reconstruir y valorar las orientaciones que el filósofo tenía en mente a propósitode una investigación por los fundamentos de la matemática.

Algunas breves observaciones del autor se refieren a los resultados asociadoscon los teoremas de incompletitud de Gödel4. Estos resultados, que produjeron tam-bién un gran impacto en la comunidad de matemáticos y filósofos dedicados a losproblemas asociados con los fundamentos de la matemática, ya habían logrado porfin capturar un público importante que los reconocía como la conquista más valiosade la lógica del siglo XX. Los primeros intérpretes de las Observaciones sobre losfundamentos de la matemática encontraron que las referencias a los resultados deGödel no sólo constituían una especie de profanación de aquello que los matemáti-cos ya habían canonizado, sino que también era fácil poner en evidencia una claraingenuidad de parte del autor. Michael Dummett, por ejemplo, uno de los estudian-tes que se benefició con la lectura de copias clandestinas en Oxford y quien tenía enalta estima los papeles de Wittgenstein, escribió en 1959 una reseña de las Observa-ciones sobre los fundamentos de la matemática en la que se encargó de propagar laimagen de un filósofo ocupado de temas para los que no estaba profesionalmentepreparado. Quiero citar en extenso la introducción de dicha reseña, entre otras cosas,porque uno de los propósitos de la presente investigación consiste en mostrar que lavaloración de Dummett es injusta e imprecisa. Así invita Dummett a leer el libro delfilósofo austríaco:

De vez en cuando Wittgenstein escribía en cuadernos de notas separados lospensamientos que se le ocurrían sobre la filosofía de las matemáticas. Sus Remarks

4 Los parágrafos que aluden en forma directa o indirecta con los problemas relacionados con los teoremas deincompletitud son los siguientes: En las Observaciones sobre los fundamentos de la matemática (RFM) es posible en-contrar 3 observaciones directas (§§ 19, 21 y 22 de la parte VII) y 16 observaciones relacionadas (Apéndice III: §§ 5-20,parte III, § 82). En las Wittgenstein´s lectures on the foundations of mathematics (LFM) hay una conferencia dedicada altema (XIX) y algunas anotaciones relacionadas (pp. 47, 56). En la Gramática filosófica (GF) hay dos anotaciones relacio-nadas con las demostraciones de indemostrabilidad (GF II-V- § 23 y II-V- § 25). En las Observaciones Filosóficas hay 7 co-mentarios similares a los de la Gramática Filosófica (PR, XI- §122, XIII- §§153, 158, 160, 173, 174, XXII- § 225). Hay 3 ob-servaciones directas en la edición de Michael Nedo y Michael Ranchetti (1983) (pp. 182, 260, 261).


on the foundations of mathematics, publicadas hace poco, son una selección reali-zada por los editores de cinco de esos cuadernos de notas. Ni esta obra ni ningunode esos cuadernos fue concebido por Wittgenstein como un libro. Esto no pode-mos tomarlo en cuenta ni tampoco debemos criticarlo, como tal no es sorprenden-te, aunque sí desconcertante. Muchos de los pensamientos se expresan de unamanera que el propio autor consideraba inexacta u obscura, algunos pasajes con-tradicen otros; algunos son muy poco concluyentes; algunos plantean objecionesa ideas que el mismo Wittgenstein sostenía o había sostenido, las cuales no seencuentran claramente expuestas en la obra; otros pasajes, en especial aquellosdonde habla sobre la consistencia y el teorema de Gödel, son muy pobres o contie-nen errores claros.5

De la misma manera, la reseña que Goodstein publicó en la revista Mind en 1957advierte que el apéndice dedicado al teorema de Gödel es poco importante y noarroja ninguna luz sobre el tema6. Reacciones muy similares se encuentran en lasreseñas de Paul Bernays7, Georg Kreisel8 y Alan Ross Anderson9. Así las cosas, elcuadro se puede resumir de la siguiente manera: Wittgenstein estaba trabajando enuna reforma de su metodología filosófica que debería conducir a una investigaciónsobre los fundamentos de la matemática. Esta reforma era sólo conocida por algu-nos discípulos que tuvieron la fortuna de escuchar directamente algunas conferen-cias. Después de publicadas las Investigaciones Filosóficas no hubo el tiempo sufi-ciente para asimilar la profundidad de la nueva metodología, tiempo que hubiesepermitido valorar en forma más positiva las problemáticas observaciones acerca delos fundamentos de la matemática. Tanto filósofos profesionales como matemáti-cos, reconocidos ya como importantes autoridades en el campo, se apresuraron adesconocer las observaciones de Wittgenstein y contribuyeron a consolidar una ima-gen según la cual el filósofo austríaco no poseía la formación profesional suficiente yadecuada en matemáticas para darle crédito a sus extrañas observaciones al res-pecto. Las nuevas generaciones que querían acercarse al pensamiento del filósofoaustríaco se toparon con el criterio de grandes autoridades que habían ya estipuladoque Wittgenstein se había equivocado en lo esencial a propósito de las discusionesrelacionadas con los fundamentos de la matemática. Esta equivocación, atendiendoal criterio de las autoridades, se podía explicar en virtud de un acercamiento ingenuopor parte del filósofo a estos temas. La falta de preparación técnica en los problemasde la matemática era, de alguna manera, la queja más sentida por parte de losmatemáticos profesionales. Wittgenstein trabajó en secreto entre 1929 y 1951; algu-nas de sus obras se editaron apresuradamente en los cinco años siguientes a su

5 Dummett, M. (1959), p. 121. El subrayado es mío.6 Goodstein, R. L. (1957), p. 551.7 Bernays, P. (1984), p. 177.8 Kreisel, G. (1958), p. 153.9 Anderson, A. (1958).


muerte, y en los cinco años siguientes las grandes autoridades se encargaron decerrar con un escueto golpe de pluma la puerta de entrada a uno de los campos deexploración más apasionante de la nueva metodología wittgensteiniana.

Gödel también tuvo un acercamiento traumático a la obra de Wittgenstein. Dehecho desconozco si tuvo o no la oportunidad de estudiar cuidadosamente sus obras.Aún cuando Gödel no influyó sobre las nuevas generaciones que estaban interesadasen estudiar la obra del filósofo austríaco, como lo hicieron las autoridades menciona-das en el párrafo anterior, conviene tener en cuenta sus reacciones. En 1972, enrespuesta a una petición de Karl Menger quien estaba interesado por las conexionesdel lógico con el Círculo de Viena, Gödel escribió:

1) No he sido nunca presentado a Wittgenstein y nunca he cruzado una palabracon él. Sólo le he visto una vez en mi vida con motivo de su asistencia a unaconferencia en Viena. Creo que era de Brouwer10. 2) Por lo que se refiere a miteorema acerca de las proposiciones indecidibles, se desprende con toda claridadde los pasajes que usted cita que Wittgenstein no lo entendió (o fingió no enten-derlo). Lo interpreta como si fuera una especie de paradoja lógica, cuando dehecho es precisamente lo contrario, a saber, un teorema matemático (la teoríafinitaria de números o combinatoria). El pasaje entero que usted cita me parece –dicho sea de paso- un sinsentido. Repárese, por ejemplo, en el “supersticiosotemor de los matemáticos a las contradicciones”11.12

Se puede descubrir, en principio, la misma dificultad que advertimos en los pá-rrafos anteriores: Gödel valora las anotaciones de Wittgenstein por fuera del contextoque supone el conocimiento de las intenciones filosóficas del autor recogidas enotras obras centrales. Citemos otros comentarios de Gödel recogidos por su amigoHao Wang:

¿Ha perdido Wittgenstein su cabeza? ¿Opina él esto seriamente? Intencional-mente profiere declaraciones trivialmente sin sentido. Lo que él dice acerca delconjunto de todos los números cardinales revela una visión perfectamente inge-nua. Toma posición cuando él realmente no tiene nada que hacer aquí. Por ejem-plo, ‘usted no puede derivar cualquier cosa a partir de una contradicción’. Deberíatratar de desarrollar un sistema de lógica en el cual esto fuese verdadero. Essorprendente que Turing consiguiera sacar algo de sus discusiones con alguiencomo Wittgenstein.13

10 Gödel se refiere a la conferencia titulada Mathematik, Wissenschaft und Sprache dictada por Brouwer el 10 demarzo de 1928. El texto de la conferencia de Brouwer está reproducido en Mancosu, P. (1998), pp. 45-53.

11 Posiblemente Gödel se refiere a (RFM, Apéndice III, § 17).12 Citado en Wang, H. (1991), p. 92.13 Citado en Wang, H. (1996), p. 179.


El hecho de que Gödel haga alusión a las discusiones con Turing sugiere que tuvoalguna clase de contacto con algunos de los apuntes que dieron origen a las Lectures onthe foundations of mathematics. En otro comentario Gödel muestra su aceptación dellugar común según el cual Wittgenstein ataca en su conjunto el edificio de la ciencia:

Él [Wittgenstein] ha renunciado a la meta objetiva de plantear conceptos ypruebas precisas. Una cosa es decir que no podemos dar conceptos filosóficosprecisos (tales como a priori, causalidad, substancia, el concepto general de prue-ba, etc.). Pero ir más allá y decir que no podemos dar conceptos matemáticosprecisos es otra cosa diferente. En el Tractatus se dice que la filosofía no puedeconvertirse en una ciencia. Su última filosofía pretende eliminar también la ciencia.Este es un desarrollo natural. Declinar a la filosofía es una actitud irracional. Luegoél declina a toda racionalidad –declina aún a la ciencia.14

La postura de Wittgenstein sobre temas asociados con los problemas deincompletitud y consistencia se hallaba definitivamente desacreditada entre interpre-tes que contaban con un respeto intachable.

En una nota adherida al testamento de Frege, el matemático le pedía a su hijoque se hiciese cargo de los papeles aún no publicados. Le explicaba en la nota queno todo lo que había allí era oro, pero le aseguraba que algo de oro podría encontrar-se15. Pues bien, el propósito de la presente investigación consiste en explorar laposibilidad de hallar oro en las anotaciones de Wittgenstein acerca del teorema deincompletitud y de la exigencia de una prueba de consistencia. Los habitantes de SurAmérica acostumbran usar un cuenco cónico para el examen y concentración a manode las gangas de oro que recogen en los ríos. La batea se llena de agua mezcladacon barro o arena, y, en el mejor de los casos, con algunas diminutas piezas de oro.Ellos se arman con un poco de paciencia y realizan pausados movimientos circularespor medio de los cuales separan el agua y permiten que las migajas de oro brillenresplandecientes en el centro de la batea. En muchos casos los movimientos resul-tan desesperados e infructuosos pues no logran arrancarle una sola migaja al río,pero allí donde es posible hallar oro no hay que desfallecer en el ejercicio de sacarloa la luz. Para contemplar el oro presente en los inextricables aforismos de Wittgenstein,hay que realizar pausados movimientos que comprometen el cuerpo completo de sunueva metodología filosófica, pues sólo esta metodología sirve de trasfondo paraapreciar el valor de las anotaciones que nos interesan.

Los trabajos recientes e independientes de dos wittgensteinianos, pertenecien-tes a las nuevas generaciones de estudiosos del filósofo austríaco, han llamado la

14 Ibid., p. 179. Véase también Wang, H. (1991), p. 270. Deseo mostrar en la presente investigación que Wittgensteinno profesa una actitud despectiva frente a la ciencia.

15 Véase Frege, G. (1997), p. 9. Esta nota también es comentada por Dummett en su reseña sobre las Observacio-nes sobre los fundamentos de la matemática.


atención acerca tanto del valor de las anotaciones mencionadas como de la ligerezacon la que los intérpretes han desestimado los comentarios de Wittgenstein. Merefiero, por un lado, a Stuart Shanker quien en 1987 publicó un extenso e influyentelibro que tenía la intención de presentar las anotaciones de Wittgenstein acerca de lanaturaleza de las proposiciones matemáticas en el contexto de las exploracionesgramaticales emprendidas por el autor. El libro, titulado Wittgenstein and the turningpoint in the philosophy of mathematics, mencionaba apenas de soslayo las reaccio-nes del filósofo frente a los teoremas de Gödel. En 1988 Shanker llenó el vacío quehabía dejado el libro y publicó un artículo que bien podría leerse como un capítuloadicional de su incompleto libro. Me refiero al artículo titulado Wittgenstein’s remarkson the significance of Gödel’s theorem16. En este artículo el autor sostiene que es unerror querer leer las anotaciones de Wittgenstein como si se tratara de algún tipo derefutación de los teoremas de Gödel. Más aún, las anotaciones del filósofo debenleerse en el contexto general que se deriva de la actitud de Wittgenstein frente alprograma de Hilbert. En el último capítulo de la presente investigación me detengo avalorar con cierto detalle la interesante interpretación de Shanker.

Por otro lado, quiero hacer mención también a los trabajos de Juliet Floyd. En1995, bajo la influencia de uno de los más valiosos defensores del estilowittgensteiniano orientado a encarar los problemas de la filosofía, me refiero a BurtonDreben, Juliet Floyd publicó un arriesgado y valiente artículo en el que pretendía mos-trar que Wittgenstein había sido mal interpretado a propósito de sus observacionesacerca del teorema de incompletitud17. Juliet Floyd sugiere que leamos las anotacio-nes de Wittgenstein acerca del teorema de Gödel en relación con problemas asocia-dos con la gramática de conceptos psicológicos como entender. El paralelismo queinsinúa Floyd nos lleva a estudiar la gramática del teorema de Gödel en relación, notanto con el programa de Hilbert como recomienda Shanker, sino con la gramática delas pruebas de imposibilidad. La primera recomendación de Juliet Floyd resalta laurgencia de establecer un puente entre los análisis gramaticales de la filosofía de lapsicología y los análisis gramaticales asociados con la naturaleza de las proposicio-nes matemáticas. La comunidad wittgensteiniana no cuenta aún con una investiga-ción completa que muestre con claridad los vasos comunicantes anunciados ya en elepílogo de las Investigaciones Filosóficas. En ese sentido, el artículo de Floyd es unaclara invitación a investigar en esta dirección. A propósito de la segunda recomenda-ción, creo firmemente que esa es la dirección correcta que en forma más segura nospuede conducir a exhibir el oro que anunciamos. En el último capítulo me ocupo enforma más detenida de la aproximación de Floyd.

No quiero ocuparme de quienes sostienen que Wittgenstein desconocía o nocontaba con la competencia suficiente para encarar los detalles técnicos de la prue-

16 Véase Shanker, S. (1988 a).17 Véase Floyd, J. (1995).


ba de Gödel. Goodstein afirma que Wittgenstein no pudo tener conocimiento delteorema antes de 193518. De otra parte, A. G. Watson, quien fue uno de los asistentesa las conferencias de Wittgenstein en 1939 sobre los fundamentos de la matemática,escribió en 1938 un artículo titulado Mathematics and its foundations en el que haceuna buena presentación del papel que desempeñan los resultados de Gödel en ladiscusión acerca de los fundamentos de la matemática19. La presentación de Watsonenfatiza en aquello que Goodstein también reconoce como un brillante acercamientode Wittgenstein. Veamos primero lo que afirma Goodstein:

Wittgenstein con una brillante comprensión dijo en los primeros treintas queel resultado de Gödel mostraba que la noción de un cardinal finito no podía serexpresada en un sistema axiomático y que las variables formales de númerosdeben necesariamente tomar otros valores diferentes a los números naturales;una visión que, siguiendo la publicación de Skolem de 1934, de la cual Wittgensteinno tenía noticia alguna, es ahora generalmente aceptada.20

Por su parte Watson afirma que la comprensión que él tiene del teorema deGödel se debe en mucho a las conversaciones sostenidas con Wittgenstein y Turing.En palabras de Watson: “La interpretación que daré del famoso ejemplo de Gödel,debe mucho a las extensas discusiones con un número importante de personas,especialmente el señor Turing y el doctor Wittgenstein de Cambridge.”21 Estos testi-monios sugieren que, al menos desde 1935, Wittgenstein tenía cierto conocimientocercano del papel y las implicaciones de los teoremas de incompletitud. Juliet Floydha argumentado también que si Wittgenstein tuviese un conocimiento en excesoprecario a propósito de tales teoremas, o que su aproximación adoleciese de erroresgraves, Turing lo habría puesto al descubierto en el dialogo sostenido con el autor,dialogo recogido en LFM. En ese orden de ideas, asumiré a lo largo de la presenteinvestigación que Wittgenstein tenía un conocimiento lo suficientemente firme parasoportar su particular aproximación, sin que podamos o necesitemos evidenciar quefuese lo suficientemente profundo como para estar perfectamente familiarizado conalgunos intrincados detalles técnicos. A lo largo de la investigación sostendremos,como lo defienden Shanker y Floyd, que los comentarios de Wittgenstein no preten-den desconocer o trivializar la importancia matemática de los resultados de Gödel.Tales comentarios no están dirigidos a la naturaleza interna del cálculo propuesto porGödel, sino que se orientan a las consideraciones filosóficas que suelen adherirse adichos resultados. En las palabras de Wittgenstein:

18 Véase Goodstein (1957), p. 551.19 Le agradezco a la profesora Juliet Floyd el que me haya puesto en contacto con el artículo de Watson.20 Véase Goodstein (1957), p. 551. Nos ocuparemos de este comentario en el capítulo 7.21 Watson, A. G. D. (1938), p. 445.


No es la prueba de Gödel lo que me interesa, sino la posibilidad que Gödel nosadvierte con su discusión. La prueba de Gödel desarrolla una dificultad que debeaparecer en una forma más elemental. (Y en eso yace, me parece, el mayor serviciode Gödel a la filosofía de las matemáticas, y al mismo tiempo, la razón de por quéno es su prueba particular lo que nos interesa)...Se podría decir: No es lo que laprueba del teorema nos dé lo que nos estimula a cambiar la perspectiva con la cualcontemplamos la matemática. Lo que él prueba no nos concierne, sino más bien loque nosotros debemos afrontar con esta clase de prueba matemática.22

Hemos afirmado en los párrafos anteriores que los comentarios de Wittgensteinacerca de los teoremas de incompletitud han sido por lo general mal interpretados.Nos hemos propuesto mostrar que, a pesar de la obscuridad y la desarticulación quese puede evidenciar en algunos aforismos, es posible hallar oro en tales comenta-rios. Hemos insinuado también que gran parte de la valoración negativa que hanrecibido tales comentarios proviene del hecho de que los comentaristas han adelan-tado la evaluación sacando los aforismos del contexto que adopta la metodologíawittgensteiniana en su conjunto. El propósito de la presente investigación consiste enofrecer una estrategia de interpretación que nos permita leer los comentarios deWittgenstein acerca de los teoremas de incompletitud y la exigencia de fundamentosen un contexto que respete y considere tanto las intenciones filosóficas como lasorientaciones metodológicas del autor. Sólo así es posible admirar el oro presente enellas. Este ejercicio nos permitirá también aclarar otros fragmentos oscuros relacio-nados con la gramática de las proposiciones matemáticas. En otras palabras, estoyinteresado en aportar un contexto posible que sirve de trasfondo para valorar en térmi-nos más acertados los comentarios que hemos mencionado. Shanker propone leeraquellos comentarios en el trasfondo del programa de Hilbert; Juliet Floyd proponehacerlo en el trasfondo de las preocupaciones por la gramática de algunos concep-tos psicológicos. Shanker se apoya principalmente en las Observaciones sobre losfundamentos de la matemática, en tanto que Floyd procura establecer algunos para-lelos con las Investigaciones Filosóficas. Por mi parte, estoy interesado en leer loscomentarios de Wittgenstein en el trasfondo de las orientaciones metafísicas queGödel pretendía adherir a sus resultados, sin desconocer la importancia y el valor delas dos aproximaciones mencionadas. ¿Por qué le interesaba tanto a Wittgenstein elteorema de Gödel, aún reconociendo que no es propiamente la prueba lo que leinquietaba? La respuesta, que se entenderá mejor a lo largo de la investigación,podría plantearse en los siguientes términos: el teorema conduce a la gramática aaquellos parajes en los que se estipulan los límites de lo que podemos demostrar ono en un sistema formal. Cuando la gramática bordea esos límites es muy fácil versesumergido en una confusión conceptual. A Wittgenstein le interesaban las confusio-

22 En Nedo, Michael & Ranchetti, Michael (1983), p. 261.


nes conceptuales, no las implicaciones matemáticas de un resultado impecable.Después de seguir con cuidado y llegar al punto final de la demostración de Gödelpodemos llegar a creer que aún es necesario complementar los teoremas con unainvestigación metafísica. Este es, precisamente, el contexto que quiero subrayar: loscomentarios de Wittgenstein pueden leerse como ejercicios para cerrar las puertasde cualquier investigación metafísica que pretenda derivarse a partir de los resulta-dos de incompletitud.

Gödel siempre pensó que sus resultados matemáticos debían complementarsecon una investigación metafísica acerca de la naturaleza de los conceptos, investiga-ción que a la postre terminaría por ofrecer un interesante argumento en favor delrealismo platónico en matemáticas. Debido en buena parte al carácter introvertido ycomplejo de Gödel, este se negó a publicar tales especulaciones hasta un tiempodespués de la muerte de Hilbert. Sólo después de 1944 Gödel hizo públicas, conalgo de timidez, algunas de esas ideas. En 1951, el año de la muerte de Wittgenstein,Gödel dictó una conferencia con el sugestivo título de Some basic theorems on thefoundations of mathematics and their implications (SBT). En dicha conferencia sostu-vo que es posible valerse de los resultados de incompletitud para ofrecer una defen-sa del realismo platónico. Es una lástima que Wittgenstein no hubiese tenido laoportunidad de conocer la argumentación metafísica de Gödel; sin duda habría reac-cionado ofreciendo su particular estilo de investigación conceptual para desatar loque él habría reconocido como una confusión gramatical. A pesar del anacronismoque se deriva del hecho de que la argumentación metafísica de Gödel se conociódespués de la muerte de Wittgenstein, tal argumentación se puede ofrecer comotrasfondo para leer, interpretar y valorar las anotaciones de Wittgenstein acerca delteorema de incompletitud. Me propongo, pues, proceder de la siguiente manera:primero, mostraré que el estilo de argumentación de Gödel es, en algún sentido,paralelo a lo que en forma libre llamaremos el fracaso de la argumentación cartesiana.Luego mostraré que los argumentos wittgensteinianos contra el programa cartesianopueden dirigirse igualmente contra el esquema empleado por Gödel. Para llevar acabo el segundo propósito es indispensable adelantar una aclaración gramaticaltanto de la naturaleza de las proposiciones matemáticas como de la naturaleza de laprueba y de la investigación matemática. Esto nos obligará a detenernos en la des-cripción de algunos aspectos vitales del estilo de aclaración conceptual desplegadopor el filósofo. Los comentarios de Wittgenstein acerca de los teoremas deincompletitud contribuyen también a esta tarea. Leer los comentarios de Wittgensteincomo una anticipación a su reacción al espíritu metafísico de Gödel exige que aten-damos más la actitud de Wittgenstein hacia la metafísica que lo que quiso decirliteralmente en sus comentarios textuales.

Queremos ofrecer un contexto que permita apreciar el oro presente en los comen-tarios de Wittgenstein acerca de los resultados de incompletitud. Los comentarios


de Wittgenstein se pueden leer en dos direcciones. En primer lugar, son comentariosacerca del origen del sentido de las proposiciones matemáticas. En segundo lugar,son comentarios problemáticos acerca del origen del valor de verdad de las proposi-ciones matemáticas. Los términos sentido de una proposición y verdad de una pro-posición están siempre presentes como una preocupación central en la investigaciónwittgensteiniana. Podemos subrayar esta doble faceta en el siguiente aforismo: “Laproposición ‘P es indemostrable’ después de ser demostrada tiene un sentido dife-rente a antes. Si está demostrada es la figura terminal de la demostración deindemostrabilidad. –Si no está demostrada, entonces no está claro aún qué ha decontar como el criterio de verdad, y su sentido –puede decirse- está velado todavía.”(RFM, Apéndice III, § 16). La demostración de ‘P es indemostrable’ cambia el sentidode dicha proposición. Así mismo, la falta de demostración oscurece los criterios quenos permiten hablar de su valor de verdad y, en consecuencia, el sentido de la propo-sición se desvanece. Admitiendo, en gracia de discusión, que hay oro en dicho co-mentario, no es una tarea fácil lograr que salga a la luz. Precisamente por esa razónes sencillo esperar posiciones diametralmente opuestas: o bien creemos, con Gödel,que Wittgenstein ha perdido la cabeza y se limita a proferir trivialidades; o biencreemos, con Goodstein, que Wittgenstein anticipó algunos resultados de Skolem.Creo que podemos adoptar una actitud alejada de las dos posiciones extremas. Elaforismo que hemos citado muestra una tensión entre los conceptos de sentido yverdad. Me interesa por lo pronto subrayar que Wittgenstein se encuentra atormenta-do tanto con el sentido como con los criterios de verdad de la traducción al españolde una sentencia gödeliana. Sentido y verdad confabulan en una sentencia gödelianapara provocar un espasmo mental23.

Una comprensión completa de las observaciones de Wittgenstein exige que abor-demos las dos direcciones. No obstante, la presente investigación está restringida alestudio de los comentarios de Wittgenstein en relación con la naturaleza del sentidode las proposiciones matemáticas. Esta dirección exige que atendamos las dificulta-des presentes en la interpretación wittgensteiniana que pretende relacionar el senti-do de una proposición matemática con su demostración. Si queremos aclarar elpapel de las observaciones de Wittgenstein en relación con la verdad de las proposi-ciones matemáticas y pretendemos, aún así, hallar oro en ellas, tendríamos quehacerlo en contraste con la nueva teoría de modelos desarrollada en parte gracias alos trabajos pioneros de Gödel y Tarski24. No estoy muy seguro de hallar oro en esta

23 Uso aquí dos términos que tampoco concilian.24 Jaakko Hintikka sostiene en su excelente presentación de la obra de Gödel que el matemático austríaco considera-

ba que las creencias implicadas en la teoría de modelos eran filosóficamente irrelevantes. “La razón”, explica Hintikka, “esque hacer teoría de modelos es considerar una variedad de diferentes interpretaciones de los conceptos no lógicos conlos que nos vemos en necesidad de trabajar. Pero de acuerdo con Gödel existe en efecto únicamente una interpretaciónrelevante del lenguaje matemático, es decir, aquella en la cual los términos refieren a los ciudadanos de el reino platónicode elementos en el interior de nuestro mundo real.” (Hintikka, Jaakko (2000), p. 49). En otras palabras, el realismo platónicogödeliano se deriva no sólo de los resultados de incompletitud, sino de cierta prevención de Gödel ante las consecuenciasfilosóficas de la teoría de modelos. Si Hintikka está en lo correcto, ello aportará una buena razón para conservar cierta dis-tancia frente a la teoría de modelos en el momento de valorar los comentarios de Wittgenstein a los resultados de Gödel.


dirección. Los comentarios de Wittgenstein están restringidos a lo que podríamosllamar las exigencias de la lógica clásica. No quiero adelantarme a sacar conclusio-nes al respecto, tan sólo me limito a señalar que una valoración completa de lasanotaciones de Wittgenstein exige contemplar los dos aspectos mencionados. Enese orden de ideas, la presente investigación contribuye únicamente en una direc-ción; ha de entenderse entonces como la primera parte de una investigación máscompleta. Pretendo mostrar que la actitud de Wittgenstein frente al sentido de lasproposiciones matemáticas conduce a una actitud más prudente que la de Hilbert enrelación con la exigencia de fundamentos. Los comentarios de Wittgenstein –en rela-ción tanto con los teoremas de Gödel como con la gramática de las proposicionesmatemáticas- realzan la autonomía de la gramática. En tanto que las consecuenciasfilosóficas que Gödel adhiere a sus resultados pretenden establecer que la gramáticaestá subordinada a una realidad que la compele. Este es el espacio de contraste quedeseo subrayar en la presente investigación.

Debo aclarar, sin embargo, que la noción wittgensteiniana de sentido cambiódrásticamente en la transición que va desde el Tractatus hasta las InvestigacionesFilosóficas y sus obras posteriores. La noción tractariana está circunscrita a la nociónclásica de bipolaridad y está atada a una imagen absolutamente restringida dellenguaje. En el Tractatus se sugiere que la única función del lenguaje está asociadacon la descripción de estados de cosas. En el Tractatus, Wittgenstein afirma que lasproposiciones matemáticas carecen de sentido, en tanto que en las obras posterio-res afirma que las proposiciones matemáticas poseen un sentido atado a la demos-tración. Comprender cabalmente la segunda perspectiva exige, no obstante, unacomprensión completa de la primera.

Hay dos términos que se usan a lo largo de la investigación y que merecen,quizá, un breve comentario previo. Me refiero a los términos lógica y gramática. Losdos términos son perfectamente intercambiables en la jerga wittgensteiniana.Wittgenstein emplea en ocasiones los términos proposición lógica, investigación ló-gica, y en otras ocasiones, refiriéndose a lo mismo, emplea los términos proposicióngramatical, investigación gramatical. No hay ningún lugar específico en el que el autorle explique al lector cómo está usando los términos en mención. No existe en toda laobra wittgensteiniana una sola definición de los términos que se emplean. Ya vere-mos por qué ocurre eso. Esta aparente ambivalencia en el uso de los términos men-cionados suele producir algo de exasperación, sobre todo entre los matemáticosprofesionales. Ellos sienten que cuando Wittgenstein habla de una investigación lógi-ca se está refiriendo a algo que ellos de ninguna manera llamarían lógica. CuandoWittgenstein habla de una investigación lógica no tiene en la mente una investigacióna la manera de Boole, Frege, Russell, Hilbert o Gödel, y sin embargo hay aspectosque se traslapan. Cuando Wittgenstein habla de una investigación gramatical notiene en la mente una investigación a la manera de Chomsky. A Wittgenstein le inte-


resa la lógica de nuestras investigaciones, pero no está interesado ni en la lógicaformal, ni en un programa de investigación a la manera del positivismo lógico. Tam-bién le interesa la gramática de nuestro lenguaje, pero no quiere hacer de esta unainvestigación positiva. Las dos preocupaciones, por la lógica y por la gramática, son,en algún sentido, la misma preocupación, y difieren radicalmente de lo que estamoscomúnmente acostumbrados a llamar lógica o gramática. Wittgenstein intercambiacontinuamente los términos quizá con la intención de evitar que el lector se fije en unextremo. Le recuerda así al lector que aunque su investigación tiene la forma de unainvestigación lógica, su interés está centrado realmente en la gramática. O, en otrostérminos, le recuerda que aunque su investigación tiene la forma de una investigacióngramatical, su interés está centrado realmente en la lógica. El lector debe entoncesfamiliarizarse con este uso en apariencia ambiguo de los dos términos. No es posi-ble, sin embargo, ofrecer una definición taxativa.

La presente investigación responde a una estructura de siete capítulos que de-seo explicar a continuación. El primer capítulo, De Gödel a la filosofía, presenta elargumento gödeliano para defender el realismo platónico en matemáticas. Se propo-ne que el esquema de Gödel es paralelo a una forma de presentación del fracasocartesiano25. La única forma, según la valoración que propongo del programa carte-siano, de salvar el contenido de las proposiciones físicas, después de someterlas alescrutinio del razonamiento escéptico cartesiano, consiste en postular el reconoci-miento de los objetos físicos a partir de la intuición sensorial. De la misma manera sepropone que la única forma, a juicio de Gödel, de salvar el contenido de las proposi-ciones matemáticas, después de someterlas al escrutinio del razonamiento formali-zado, consiste en postular el reconocimiento de los objetos matemáticos a partir deuna forma de intuición de objetos abstractos. El examen del argumento gödeliano seha adelantado con base en el seguimiento de algunos textos editados después de lamuerte del lógico austríaco. La última sección del capítulo se ocupa de la respuestaque Gödel intentó formular contra el convencionalista. La presentación de Gödel exigeque se pueda establecer una analogía muy estrecha entre una investigación física yuna investigación matemática. Aunque la presentación del argumento de Gödel seofrece en el primer capítulo, el lector puede, si así lo desea, aplazar su lectura hastadespués de haber terminado el tercer capítulo.

25 En el capítulo propongo una lectura libre del programa cartesiano. No pretendo ofrecer una lectura ajustada alas interpretaciones canónicas de la obra filosófica de Descartes. Tampoco sostengo que Gödel, a pesar de la simpatíaque profesaba por la obra de Husserl, hubiese considerado a Descartes como una de sus fuentes. Quiero resaltar algu-nos rasgos del programa cartesiano que pueden emparentarse con la argumentación gödeliana en relación con la exi-gencia de fundamentos y la restitución del contenido objetivo de las proposiciones físicas y matemáticas. En particulardefiendo el siguiente paralelismo: así como Descartes exige una demostración de la proposición “hay objetos” parareestablecer así el contenido objetivo de las proposiciones de la física, de la misma manera el programa de Hilbert, en elque está inscrito el trabajo de Gödel, exige una demostración de la proposición “tal sistema formal que replica las ver-dades de la teoría de números es consistente” para reestablecer, de acuerdo a la valoración de Gödel, la confianza en elrazonamiento matemático. El hecho de que Descartes no haya podido adelantar la demostración en los términos quese había propuesto y el hecho de que Gödel demostrara que la demostración exigida por Hilbert no se puede llevar acabo, son argumentos, en principio convincentes, para mostrar la falta de autonomía de la razón.


El segundo capítulo, Sentido y sin sentido en el Tractatus Logico Philosophicus:proposiciones matemáticas, es una presentación de la primera versión wittgensteinianadel argumento según el cual las proposiciones matemáticas carecen de sentido. Sibien es cierto que la mayoría de comentaristas suele enfatizar las diferencias radica-les entre los argumentos del Tractatus y los nuevos argumentos, también es ciertoque hay una cantidad importante de rasgos que ilustran una estrecha continuidadentre la primera y la segunda obra. Quiero subrayar especialmente una continuidaden la intención de alejar el análisis filosófico de las presentaciones científicas: lafilosofía no es una ciencia, es una actividad de aclaración conceptual. Wittgensteinse encargó más tarde de alimentar una actitud prevenida hacia el Tractatus. A pesarde la propaganda adversa, es posible encontrar en el Tractatus muchas de las inten-ciones centrales en la obra completa del filósofo. La presentación que se hace delTractatus en el capítulo gira alrededor de las nociones de sentido y sin-sentido.

Conviene, sin embargo, aclarar algunas limitaciones de los esquemas desarrolla-dos por Wittgenstein en el Tractatus. En primer lugar, Wittgenstein se haya circunscri-to al ámbito de la lógica clásica restringida a la noción de bipolaridad. Se descono-cen, entonces, otras alternativas desarrolladas posteriormente que habríanrepresentado serias dificultades para la defensa completa de las pretensiones delTractatus: lógicas intuicionistas, lógicas paraconsistentes, etc.. En segundo lugar,Wittgenstein alude a unos pocos casos relacionados con las matemáticas elementa-les. El autor no explica cómo extender su problemática noción de ecuaciones mate-máticas a otros campos más complejos de la disciplina: geometría, topología, etc..Por último, la noción tractariana de ausencia de jerarquías en exploraciones matemá-ticas se encuentra en clara oposición al desarrollo efectivo de la matemática contem-poránea. No obstante lo anterior, no pretendo ofrecer una defensa de la limitadanoción wittgensteiniana del concepto tractariano de proposición matemática. Preten-do, tan sólo, presentar la perspectiva defendida en el Tractatus como el trasfondo quenos permite contemplar las nuevas posiciones de Wittgenstein en relación con elsentido de las proposiciones matemáticas.

Aún cuando las proposiciones de la lógica y las proposiciones matemáticascarecen de sentido, ellas de por sí muestran rasgos peculiares del simbolismo. Noocurre lo mismo con los aforismos del Tractatus, ellos también carecen de sentido;pero a diferencia de las proposiciones anteriores no muestran rasgos peculiares denuestro simbolismo. Esta situación nos conduce a una pregunta paradójica: ¿cómodebemos entender los aforismos del Tractatus toda vez que ellos carecen de sentidoy no muestran nada propio del simbolismo? ¿qué debemos hacer con ellos? Unaparte importante del capítulo está destinada a dilucidar la naturaleza de los aforismosdel Tractatus. Esta última tarea nos conduce a explorar la influencia y la importanciadel trabajo del físico alemán Heinrich Hertz en la obra del filósofo austríaco. Losaforismos del Tractatus, advirtió Wittgenstein, deben leerse a la manera de


elucidaciones. Ahora bien, se defiende en el capítulo que Wittgenstein desea practi-car un estilo de elucidación muy parecido a la elucidación practicada por Hertz con lamecánica. Nos hemos detenido, sin escatimar en el número de páginas, en estarelación pues queremos, así mismo, defender que la actitud de Wittgenstein hacia elteorema de Gödel es, en muchos aspectos, similar a la actitud de Hertz hacia lamecánica newtoniana. Hertz no pretende atacar o menoscabar la columna vertebralde la mecánica de Newton, pretende, más bien, depurarla denunciando las confusio-nes que se tejen en virtud de nuestras formas de expresión. De la misma manera,Wittgenstein no pretende menoscabar la columna vertebral de la prueba de Gödel,quiere, más bien, depurarla denunciando las confusiones gramaticales que se tejenen virtud de nuestras formas de expresión (la prosa filosófica que complementa elcálculo).

El tercer capítulo, Wittgenstein entre dos fuegos, realza algunos rasgos de interéspara nuestra investigación asociados con la transición que conduce del Tractatus a lanueva metodología. Wittgenstein repitió en varias ocasiones que lo que había descu-bierto era un nuevo método, no una nueva doctrina. Me interesa mostrar especial-mente la ampliación del concepto de exclusión lógica y su relación con la noción desin-sentido, la transición del atomismo al holismo lógico y sus implicaciones en lasnociones de proposición y sentido, la exigencia de una visión sinóptica en el análisisgramatical, y la importancia de un nuevo estilo de elucidación por ejemplos. Si bienhay muchas puertas de ingreso para explorar el conocido período de transición, hequerido centrarme en el análisis de la exclusión de los colores. Este problema nospermite ver en forma más clara la manera como se amplió la noción de exclusiónlógica. En el ámbito del Tractatus la noción de exclusión lógica estaba restringida alterreno de las contradicciones. El caso de la exclusión de los colores muestra laslimitaciones del análisis tractariano y plantea la exigencia de un tratamiento holísticode nuestras formas de expresión. El lector puede tener la impresión de que nosestamos alejando del tema central de la investigación. Estamos interesados, sinembargo, en ilustrar a qué queremos denominar una exclusión lógica que supone unacuerdo de juicios y un acuerdo en formas de vida. Quiero defender más tarde queuna demostración matemática ofrece una presentación sinóptica de una gramáticaparticular, de la misma manera que el octaedro de colores es una presentaciónsinóptica de la gramática cromática. El octaedro nos muestra las exclusiones grama-ticales de la misma manera que una demostración matemática, como la demostra-ción que impide la trisección de un ángulo arbitrario valiéndose para ello de regla ycompás, puede mostrarnos las exclusiones lógicas de la gramática correspondiente.Aquel lector plenamente familiarizado con el análisis gramatical de los colores suge-rido por Wittgenstein bien puede obviar la lectura de esta sección. Dado que el con-cepto de proposición se hace menos limitado en la nueva metodología, he propuestouna clasificación del uso que hacemos de ciertas expresiones emparentadas con el


concepto de proposición. Esta clasificación, en primer lugar, no es exhaustiva, y, ensegundo lugar, obedece a una estrategia de límites borrosos. El capítulo termina conuna presentación del papel que desempeñan los ejemplos en las nuevas estrategiasde elucidación gramatical. Se enfatiza en la idea wittgensteiniana de llevar la filosofíaal reposo.

En el cuarto capítulo, Wittgenstein: acerca de la exigencia de fundamentos, sepresenta y se defiende la tesis de la autonomía de la gramática. “Si lo verdadero eslo que tiene fundamentos,” dice Wittgenstein en Sobre la Certeza, “el fundamento noes verdadero, ni tampoco falso.” (SC, § 205). Wittgenstein analiza los abusoscartesianos de la exigencia de una presentación de fundamentos. El filósofo advierteque la gramática de la duda exige ya un marco de referencia en el cual se reconozcanlos criterios para la certeza. Aquel marco de referencia, no obstante, no puede hacer-se patente por medio de proposiciones; pues si ese fuera el caso nos haría falta uncriterio para el tener por verdadero y, en ese caso, el criterio sería anterior al funda-mento. Cuando se tiene una visión sinóptica de alguna gramática particular llegamosa advertir la manera como el edificio en su conjunto le da solidez incluso a aquellasporciones que acostumbran hacer la veces de cimientos. En el capítulo ampliamos laclasificación de proposiciones propuesta en el capítulo anterior. En particular mostra-mos que bajo el calificativo de regla gramatical se recoge una familia de proposicio-nes que desempeñan papeles bastante peculiares en la estructura de nuestros jue-gos de lenguaje. La última sección del capítulo está dedicada a la particular valoraciónque hace Wittgenstein del programa de Hilbert. Enfrentamos aquí la peculiar obscu-ridad de las anotaciones de Wittgenstein con respecto a la contradicción. Anotacio-nes éstas que produjeron animadversión en Gödel y en Turing.

El quinto capítulo, La demostración matemática, recoge la conclusión del capítuloanterior según la cual las proposiciones matemáticas son reglas gramaticales petri-ficadas a través del ejercicio de la demostración. Las modificaciones provocadas araíz del cambio en la noción de sentido en el Tractatus, condujeron a Wittgenstein apostular una compleja relación entre el sentido de una proposición matemática y sudemostración en un sistema de demostraciones. Ofrecemos como telón de fondodel capítulo la defensa que del platonismo adelantó el matemático de Cambridge G.H. Hardy en la misma época en la que Wittgenstein impartía sus particulares leccio-nes. No es del todo fácil entender cuál es realmente el alcance de las recomendacio-nes wittgensteinianas en este aspecto, en tanto que resulta más fácil entender lasreacciones que ha provocado. Trataremos de responder algunas reservas críticasrelacionadas especialmente con el tratamiento que Wittgenstein le da a la posibili-dad de conjeturas matemáticas. Aclararemos también las reservas de Wittgensteinfrente a la prosa filosófica en relación con un cálculo matemático. Estudiaremos eneste caso tanto el análisis de la prueba por inducción de la asociatividad de la sumadesarrollada por Skolem, como el análisis del procedimiento diagonal de Cantor.


Mostraremos que uno de los papeles de una demostración matemática consiste enofrecer una visión sinóptica de la gramática asociada con un cálculo. De otra parte, elanálisis gramatical de Wittgenstein parece desconocer el real y efectivo proceso deproducción de conocimiento matemático. Contrario a ello, Lakatos ofrece un procedi-miento para seguir detalladamente tanto la ontogénesis como la filogénesis del co-nocimiento matemático y nos permite así rescatar positivamente el papel de la con-jetura en el ejercicio del matemático profesional. Sostengo al final del capítulo que esposible, y de hecho vale la pena explorarlo, complementar el análisis gramaticalwittgensteiniano con el escrutinio de algunos aspectos relacionados con la ontogénesisy filogénesis de los conceptos, como sugiere Lakatos, sin que transformemos nues-tro análisis en un estudio epistemológico.

El capítulo sexto, Pruebas de imposibilidad, se ocupa de la gramática de laspruebas matemáticas que estipulan una imposibilidad. Queremos, sobre todo, ha-cer énfasis en la diferencia entre una imposibilidad física y una imposibilidad lógica.Tendremos en cuenta, atendiendo la recomendación del capítulo anterior, aspectosrelacionados con la ontogénesis y filogénesis de los conceptos en nuestros análisisgramaticales. En la primera sección comparamos tres casos que aunque parecenemparentados responden a gramáticas completamente diferentes. Estos casos seresumen en tres proyectos de investigación, a saber: i) ¿es posible trisecar cualquierángulo arbitrario valiéndose únicamente de regla y compás? ii) ¿es posible diseñar unmotor con movimiento perpetuo y sin el suministro adicional de energía? iii) ¿es posi-ble elevar, a través de una pipeta, cierta cantidad de agua hasta una altura arbitraria-mente grande creando el vacío en la parte superior de la pipeta? Las tres investigacio-nes se responden negativamente pero obedecen a gramáticas por entero diferentes.La tercera alude a una imposibilidad física que puede explicarse en virtud de unestado de cosas en el mundo; la segunda nos pone en contacto con una norma dedescripción que descarta la posibilidad; la primera muestra el ejercicio de una exclu-sión gramatical. El análisis que presentamos exige la clasificación propuesta en elcapítulo tres. En la segunda sección me ocupo de otro caso emparentado con losanteriores. Me refiero a la gramática de la construcción de polígonos regulares. ¿Esposible construir un polígono regular de siete lados valiéndonos para ello únicamentede regla y compás? Wittgenstein le dedica algunas páginas a este caso en LFM.Wittgenstein introdujo en su presentación un análisis de la diferencia gramatical entreencontrar algo análogo a, y, mostrar que algo es análogo. Esta diferencia es de vitalimportancia para reforzar la falta de similitud entre un descubrimiento físico y undescubrimiento matemático.

Por último el capítulo siete, Wittgenstein & Gödel: Debate acerca del sentido y lainterpretación de las proposiciones matemáticas, recoge el título general de la tesis.Ofrecemos, después de recoger todos los aspectos metodológicos desarrollados enlos apartados anteriores, el contexto que nos permite exhibir el oro presente en las


anotaciones de Wittgenstein acerca del teorema de Gödel y acerca de una exigenciaextrema de fundamentos. En la introducción al capítulo haremos una presentaciónglobal de los comentarios específicos de Wittgenstein en relación con los resultadosde incompletitud. Anotaremos la dificultad que existe si pretendemos seguir literal-mente tales observaciones. En la primera sección ilustraremos nuevamente la tesissegún la cual la defensa esgrimida por Gödel a favor del realismo platónico, valiéndo-se para ello de sus resultados de incompletitud, es paralela a lo que hemos denomi-nado el fracaso del programa cartesiano. Mostraremos entonces que los argumentosde Wittgenstein que establecen que el cartesiano abusa de la exigencia de funda-mentos se pueden extender mutatis mutandis al estilo de argumentación desplega-do por Gödel. De otra parte, mostraremos también que la analogía de Gödel entreuna investigación física y una investigación matemática esta soportada en una falsaanalogía entre descubrimiento físico y descubrimiento matemático. Estudiaremosentonces la confusión gramatical que subyace a dicha analogía y evitaremos así,siguiendo a Wittgenstein, la exigencia de una intuición de conceptos abstractos paradar cuenta del sentido de las proposiciones matemáticas. En la parte final de lasección mostraremos que los argumentos wittgensteinianos que ilustran las confu-siones gramaticales del dualismo cartesiano también se pueden extender mutatismutandis al dualismo gödeliano. La segunda sección se ocupa de la pregunta: ¿eraWittgenstein un convencionalista? Si Wittgenstein es un convencionalista queremosestudiar, entonces, si el argumento de Gödel contra el convencionalismo de Carnapse puede extender al argumento de Wittgenstein. Sostengo, sin embargo, que nohay un sentido adecuado en el que podamos hacer de Wittgenstein un convencionalista.Discuto, en este caso, la particular presentación que Michael Dummett ha hecho delas anotaciones de Wittgenstein acerca de la gramática de las proposiciones mate-máticas. Pretendo mostrar que la caracterización que hace Gödel del convencionalis-mo de Carnap, independientemente de si es justa o no con la metodología de Carnap,no describe la intención filosófica de Wittgenstein. Aún así, muestro a continuaciónque el argumento de Gödel contra el convencionalismo abusa de la analogía formula-da entre una investigación física y una investigación matemática. Muestro, entonces,que el argumento de Gödel se apoya en una confusión gramatical. La tercera seccióndel capítulo está reservada para la presentación de una reseña comentada de lasinterpretaciones independientes adelantadas por Stuart Shanker, Hao Wang y JulietFloyd. Mientras Shanker propone que el contexto adecuado para valorar las observa-ciones de Wittgenstein es la particular actitud del filósofo frente al programa deHilbert, y Floyd propone que el contexto adecuado es el paralelo con la gramática deconceptos como entender, yo propongo interpretar los comentarios de Wittgenstein ala luz de las consecuencias metafísicas que a la postre Gödel pretendía derivar de losteoremas de incompletitud. Hao Wang, por su parte, hace un gran esfuerzo –sin éxitoa mi juicio- por mostrar que las opiniones de Wittgenstein y de Gödel no son tan


dramáticamente encontradas como lo hemos supuesto. En la cuarta sección delcapítulo se recogen, a manera de epílogo, las conclusiones más importantes de ladisertación. Se advierte, eso sí, que la valoración completa de los comentarios deWittgenstein acerca de los resultados de incompletitud, exige un análisis detalladodel segundo aspecto. Es decir, el aspecto relacionado no sólo con el sentido de lasproposiciones matemáticas sino con el valor de verdad asociado con ellas. Esteaspecto exige, pues, contrastar las anotaciones de Wittgenstein con la semántica deTarski. Esta, sin embargo, es una investigación que debe adelantarse en otro mo-mento.

En la parte final el lector puede encontrar las convenciones empleadas para citarla obra de Wittgenstein y las convenciones para citar la obra de Gödel.

Nada más parecido a una caja de Pandora que revisar minuciosamente los pri-meros años del siglo XX. Occidente no había visto antes cómo en pocos años sepodían venir al suelo una a una sus conquistas más preciadas. Hacemos mención alos años que vieron surgir la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica, que dieronorigen al psicoanálisis, al surrealismo y al desprecio generalizado por la metafísica.Aún así, la sorpresa más grande estaba reservada para las matemáticas. Queremosdetenernos especialmente en el impacto producido a raíz de las preocupacionesasociadas con los fundamentos de la matemática. Nadie en siglos anteriores sehabría atrevido a poner en duda el fundamento mismo de dicha disciplina. La razónpor fin había conseguido licencia para examinar el origen de la consistencia de ladisciplina que siempre se había exhibido a la manera de un paradigma digno de todaconfianza. No había sido posible concebir semejante empresa en siglos anteriores,pues el progreso que hacía posible la nueva preocupación era el resultado de habercultivado con esmero la idea de conservar a la matemática incólume: sólo era posi-ble aportar un fundamento sólido para las ciencias naturales sobre la base de unmodelo incuestionable que les sirviera de soporte. Asegurado así el poder orientadorde la matemática, fue entonces posible devolver la mirada crítica sobre aquello quehabía servido de modelo. De hecho no era sensato, ni hubiese sido procedente,cuestionar la confianza que antaño los hombres de la modernidad habían depositadoen el poder seductor de la geometría. Sólo después de permitirles recrearse condicha ilusión, era legítimo moverles su pie de apoyo: ya cuando un niño aprende acaminar puede encontrar divertido intentar el ejercicio en un solo pie -si durante elprimer año se obsesiona por el salto en un solo pie, jamás aprenderá a caminar-.

En el presente capítulo nos asalta especialmente la siguiente duda: ¿qué condu-jo a Gödel a sostener que sus teoremas de incompletitud, que habían obligado a unareorientación del programa de Hilbert, debían acompañarse de una serie de conse-cuencias filosóficas? Exploraremos, en primer lugar, las preocupaciones centralesdel programa de Hilbert y la manera como los resultados de Gödel pueden contem-plarse como una estación crucial en la trayectoria iniciada por el programa. En la

CAPITULO 1DE GÖDEL A LA FILOSOFIA


segunda sección atenderemos las consecuencias filosóficas que, a juicio de Gödel,podrían derivarse de los teoremas de incompletitud. Por último, y en relación con elpunto anterior, atenderemos los esfuerzos denodados realizados por Gödel para des-vanecer los alcances del convencionalismo. El capítulo pretende mostrar un estilo deprosa que acompaña a un resultado matemático. Queremos mostrar en el presentetrabajo que una lectura informal de los teoremas de incompletitud de Gödel nosconduce al borde de una confusión conceptual que parece exigir de nosotros unacomplementación de corte filosófico. Si logramos contemplar tales teoremas desdeuna perspectiva que no provoque en nosotros la exigencia de un complemento filosó-fico, la perplejidad desaparecerá. Creemos también que si leemos en esta direcciónlos comentarios de Wittgenstein al respecto, lograremos entender aquello que inco-modaba al filósofo austríaco.

1.1 El programa de Hilbert

“Cuando en nuestras investigaciones matemáticasencontramos un problema o sospechamos un teorema,

nuestro primer impulso cognoscitivo se satisface sinosotros logramos, o la completa solución de aquel

problema y la rigurosa demostración de este teorema,o el reconocimiento con toda claridad del fundamento

de la imposibilidad de lograr lo apetecido y con ello,al mismo tiempo, la necesidad del fracaso.”

David Hilbert1

El epígrafe de Hilbert contextualiza con absoluta claridad el marco de referenciapara el presente proyecto de investigación. Esto es: estudiar la gramática de laspruebas de imposibilidad en los programas de investigación en matemáticas. Lademostración de Gauss, por ejemplo, que estipuló la imposibilidad de construir cier-tos polígonos con regla y compás, puso fin a un programa de investigación queinvolucraba siglos de trabajo. De la misma manera, los teoremas de incompletitudde Gödel pusieron fin, o al menos le dieron otra orientación, al denominado programade Hilbert. Me interesa revisar en la presente sección algunos de los supuestosfilosóficos y metodológicos que subyacen al programa de Hilbert con el ánimo deexplorar una valoración panorámica del proyecto de investigación en el que secircunscriben las pruebas de imposibilidad aportadas por Gödel.

El período correspondiente a la última parte del siglo XIX y primera parte del sigloXX va a ser recordado como un período de ferviente actividad intelectual orientadaespecialmente a revisar los fundamentos de todas las disciplinas. Esta actividad

1 Hilbert, D. (1953), p. 134.


estaba animada por un espíritu de la época que Gödel juzgaba con el calificativo deizquierdista. Casi todos los trabajos estaban dirigidos a revisar las bases sobre lascuales se construyeron los paradigmas dominantes. Los matemáticos, a juicio deGödel, se dejaron contagiar de esa actitud izquierdista. Sin embargo, dicha actitudrevisionista tendría que ser muy cauta pues las verdades de la matemática siemprehabían tenido, y de hecho siguen teniendo, el perfil de verdades inamovibles: ellasson lo más parecido a verdades necesarias. Mientras los científicos naturales esta-ban especialmente preocupados por la verdad, no importa cuál sea el significado deeste término, los matemáticos empezaron a preocuparse por la consistencia.

El virus de la duda cartesiana por fin había llegado al centro de la investigaciónmatemática. Mientras Descartes había propuesto un argumento absolutamente re-buscado para poner en entredicho la seguridad de las proposiciones matemáticas,argumento este que nunca hizo realmente mella en la investigación matemática pro-piamente dicha, la nueva exigencia de una demostración de consistencia sí llegó aconstituirse en una seria amenaza y en un imperativo ineludible. Así como el propósi-to de la investigación cartesiana no estaba encaminado a que abandonásemos nues-tros conocimientos más preciados sino a que pudiésemos apreciar la solidez de losmismos contemplando el carácter inamovible de su fundamento, de la misma ma-nera la revisión del matemático contemporáneo estaba orientada a que pudiésemoscontemplar el carácter inamovible de los fundamentos de su disciplina. La máximaexpresión de esta actitud reposa en la exigencia de una prueba de consistencia. “Loque en particular emerge a partir de la consideración acerca del requerimiento y elpropósito de la prueba de consistencia”, señala Paul Bernays, “es que esta pruebaconsiste únicamente, en el sentido literal de la palabra, en ver [einsehen] la consisten-cia de la teoría aritmética, esto es, ver la imposibilidad de su refutación inmanente.”2

Esta formulación no oculta el espíritu cartesiano y provoca una pregunta sin dudaimportante: ¿sugiere esto que en caso de contar con una prueba que muestre laimposibilidad de adelantar tal prueba de consistencia -como se deriva del segundoteorema de incompletitud de Gödel- dejaremos abierta una posibilidad de refutacióninmanente de la aritmética? De esto nos ocuparemos en la sección siguiente.

Veamos, entonces, la manera en que el programa de Hilbert conduce a la exigen-cia de una prueba de consistencia. No estoy interesado en estudiar detalladamentela evolución del complejo pensamiento de Hilbert. Deseo seguir con atención la for-mulación que del programa de Hilbert se deriva especialmente de los artículos Oninfinite de 1925, The new grounding of mathematics de 1922, y algunos artículos deBernays. No es mi intención elucidar o desentrañar la esencia misma, o las dificulta-des implícitas del programa; deseo, más bien, ambientar los problemas que sirvende marco de referencia a las ideas filosóficas de Gödel y que alimentan algunas delas motivaciones terapéuticas de Wittgenstein.

2 Bernays, P. (1998), p. 260.


Las discusiones acerca de los fundamentos tanto del Análisis como de la Arit-mética, a juicio de Hilbert, no habían llegado a un resultado definitivo a causa de lafalta de claridad en la manera como usamos el concepto de infinito en matemáticas.Las paradojas de Zenón y de Cantor, unidas a las dificultades para articular conclaridad las nociones asociadas con infinitesimales, son una clara expresión del pro-blema.

Una de las fuentes de la dificultad tiene que ver, sin duda, con la compleja nociónde existencia. A qué nos referimos cuando llegamos a formular preguntas de laforma: “¿aunque entiendo claramente lo que haces cuando utilizas cantidades imagi-narias en el desarrollo de tus ecuaciones, aún así quisiera saber si tales cantidadesexisten realmente o no?” Creo que una forma interesante de leer el programa deHilbert consiste precisamente en ver en el programa un intento por liberarse de laproblemática noción de existencia en favor de la más manejable noción de consisten-cia. El giro de la existencia a la consistencia parece ir de la mano de un giro de lasreflexiones metafísicas hacia algún tipo de pragmatismo.

Debe ser posible escribir una faceta de la historia de la ciencia como la historiade todos nuestros intentos por esquivar las difíciles paradojas y los seductores llama-dos que provienen del concepto de infinito. Hilbert estaba interesado en la maneracomo otras disciplinas, diferentes a la matemática, habían logrado con éxito hacercaso omiso de las tentaciones del infinito. Paradójicamente no ocurre así con la ma-temática, la ciencia que en principio debería estar mejor equipada para hacerle frentey para desentenderse de los enredos provocados por dicho concepto. En el estudiode la materia, por ejemplo, es muy fácil sentirse tentado a creer que un objeto mate-rial es divisible al infinito y que las partes más pequeñas que podamos concebirdeben exhibir el mismo comportamiento que los objetos más grandes. No obstantelo anterior, la física contemporánea ha sabido ponernos a salvo de dicha tentación: lapropuesta de una estructura atómico-corpuscular establece un límite razonable a ladivisibilidad. No necesitamos ir más allá para dar cuenta de las cosas que nos inte-resan en el mundo físico. En ese orden de ideas, la física no requiere de la divisibilidadinfinita del continuo. Tal divisibilidad, a juicio de Hilbert, existe únicamente en el pen-samiento, es tan sólo una idea que puede ser fácilmente impugnada por los hechosque quieren describir los físicos.

En otro campo podemos así mismo pensar en la posibilidad de concebir unespacio que se extiende indefinidamente en todas las direcciones. Nos desplaza-mos, entonces, de la posibilidad de lo infinitamente pequeño a lo infinitamente gran-de. Dado que la geometría euclidiana, que en principio parece enteramente familiar anuestras experiencias cotidianas más elementales, parece invitarnos a exigir un uni-verso infinitamente grande, y, dado también que no hay contradicción alguna endicha perspectiva, durante muchos años nos sentimos atraídos por el reconocimien-to a priori de un espacio físico euclidiano. Ahora bien, tanto el desarrollo de las geo-


metrías no euclidianas, una vez establecida su consistencia, como el desarrollo de laastrofísica han puesto también en evidencia que no es necesario comprometernoscon un espacio infinito ajustado a los principios de la geometría euclidiana para darcuenta de los fenómenos que nos interesan en el ámbito astronómico.

En el caso del razonamiento matemático no hemos tenido la misma suerte quecorrieron la física y la astronomía. No hemos logrado, pensaba Hilbert, eliminar lassituaciones paradójicas en las que nos envuelve el uso del concepto. No hay duda enque el mayor progreso en ese campo se logró gracias a los trabajos de Cantor.Gracias a Cantor aprendimos a ser excesivamente cautos a la hora de extender haciaconjuntos infinitos ciertos teoremas que son incuestionablemente válidos cuando seaplican a poblaciones finitas.

Hilbert sugiere una distinción importante entre la aplicación del concepto de infi-nito en el análisis y el uso que de tal concepto hace Cantor en la teoría de conjuntos.Mientras en el análisis nosotros operamos con lo infinitamente grande o lo infinita-mente pequeño únicamente como conceptos límites, es decir con el infinito poten-cial, en el caso de la teoría de números nosotros debemos operar con la totalidad delos números como una unidad completa, es decir con el infinito real. Cantor abrió ununiverso nuevo para los matemáticos con la introducción de los números transfinitos.Sin embargo, la introducción de tales números exigía extender la validez de los méto-dos deductivos empleados para obtener resultados importantes en el tratamiento,por ejemplo, de números naturales o de números reales. No tardaron, entonces, enaparecer contradicciones y paradojas que obligaron a revisar con atención por unlado los métodos de deducción, y, por otro lado, la extensión que de dichos métodosse pretendía adelantar.

Las paradojas de la teoría de conjuntos no tenían la forma de las dudas metafísi-cas de Descartes. No obedecían al esquema: si hubiese una contradicción en nues-tro sistema... Ellas eran realmente contradicciones. En ese sentido, se trataba de unaamenaza legítima no sólo contra el edificio de las matemáticas sino contra la estruc-tura misma de nuestros modos de pensar. Hilbert pensaba que era posible evitar lasparadojas sin arriesgar el espíritu de la ciencia. Ello siempre que se atendieran dosrecomendaciones esenciales: (i) investigar cuidadosamente las definiciones y sobretodo los métodos deductivos apropiados; (ii) establecer para nuestras deduccionesen toda la matemática la misma certeza como la que existe en la teoría elemental denúmeros. Sólo de esa manera: “Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha crea-do para nosotros.”3

¿Cuál debe ser, entonces, el punto de partida? Debemos estar en condiciones dereconocer algo intuitivamente. Sin embargo, ¿qué es aquello que debemos reconocerintuitivamente? Veamos con atención la recomendación de Hilbert: “Como unaprecondición adicional para usar la deducción lógica y adelantar las operaciones

3 Hilbert, D. (1925), p. 191.


lógicas, algo debe ser dado en la concepción, esto es, ciertos objetos extralógicoslos cuales son intuidos como directamente experimentados antes de todo pensa-miento.”4 ¿A qué clase de objetos extralógicos se refiere Hilbert? Sigamos con aten-ción la recomendación de Hilbert:

Como una precondición para la aplicación de inferencias lógicas y para la acti-vación de operaciones lógicas, algo debe ser ya dado en la representación [in derVorstellung]: ciertos objetos discretos extra-lógicos, los cuales existen intuitivamentecomo la experiencia inmediata antes de todo pensamiento. Si la inferencia lógicaes segura, entonces estos objetos deben ser capaces de ser completamenteexaminados en todas sus partes, y su presentación, su diferencia, su sucesión(como los objetos mismos) deben existir para nosotros inmediatamente,intuitivamente, como algo que no puede reducirse más. Dado que yo tomo estepunto de partida, los objetos [Gegenstände] de la teoría de números son para mí –en contraste directo con Dedekind y Frege- los signos mismos, cuya forma [Gestalt]puede ser generalmente y ciertamente reconocida por nosotros–independiente-mente del espacio y tiempo, de las condiciones especiales de la producción delsigno, y de las diferencias insignificantes en el producto terminado. La actitudfilosófica sólida que creo que se requiere para el fundamento de la matemáticapura –así como para el pensamiento científico, el entendimiento y la comunica-ción- es esta: En el comienzo fue el signo.5

No creo que Hilbert se refiera a las marcas escuetas sobre un papel –que son, enalgún sentido, completamente examinables de parte nuestra-, creo que Hilbert está inte-resado en recoger también, y en forma privilegiada, todas las alteraciones que estamosdispuestos a adelantar en virtud de las reglas de transformación que hayamos adoptado.

El hecho de que no podamos extender sin más las estrategias deductivas queempleamos cuando manejamos extensiones finitas está acompañado de un altocosto. Tenemos que poner en entredicho las leyes lógicas que hemos empleado contanto éxito desde los tiempos de Aristóteles. Este tipo de dificultad llevó a un grupoimportante de matemáticos a poner en duda la validez, por ejemplo, del principio deltercero excluido y la regla de la doble negación. Esta no sería la primera vez que unainvestigación matemática tendría que hacer movimientos drásticos con el objeto depreservar ciertas propiedades generales de estructura. Los matemáticos, por ejem-plo, introdujeron el extraño objeto 1−=i con el ánimo de preservar en su formamás simple las leyes del álgebra. A esta clase de elementos Hilbert los denominóelementos ideales6. Ahora bien, para preservar las reglas más simples de la lógica

4 Hilbert, David (1925), p. 192.5 Hilbert, David (1922), p. 202.6 Wittgenstein contempla tales elementos ideales como signos que tienen un objeto pero que no designan objeto

alguno. (RFM, V, § 5)


ordinaria aristotélica, debemos auxiliarnos con alguna clase de elementos ideales.Así las cosas, en lugar de declaraciones acerca de símbolos numéricos(2345654+5=5+2345654, por ejemplo), Hilbert propone usar fórmulas que se con-viertan ellas mismas en los objetos concretos del estudio intuitivo (α+β=β+α), y enlugar de pruebas adelantadas con números particulares, Hilbert propone estudiar laderivación de una fórmula a partir de otra u otras ajustándonos a ciertas reglas detransformación. Un ejemplo más sencillo de la introducción de elementos ideales enel razonamiento matemático lo constituye el caso de afirmar que dos rectas cuales-quiera diferentes deben encontrarse en un solo punto. Cuando las rectas son parale-las la afirmación no deja de ser válida siempre que agreguemos que tal punto seencuentra infinitamente alejado. Este tipo de afirmaciones nos permite, en términosde Gödel, redondear la geometría (CWI, p. 201). Así las cosas, podremos disponer-nos a redondear nuestras teorías de números si a los enunciados significativos de lamatemática agregamos pseudo-enunciados transfinitos que en sí mismos no deno-tan nada.

Esta estrategia obliga a Hilbert a concebir la matemática como una reunión de dosclases de fórmulas: aquellas que corresponden a declaraciones finitarias plenas designificado y aquellas que operan como estructuras ideales de nuestra teoría. Para elcaso de las primeras declaraciones, ellas pueden ser negadas o afirmadas sin mayo-res complicaciones. Es posible aplicar a ellas las leyes lógicas clásicas en formairrestricta sin el temor a caer en alguna clase de contradicción. En el caso de lassegundas, debemos traducir las relaciones lógicas en fórmulas valiéndonos para ellode símbolos lógicos como: &, ∨, →, ∼. No obstante, no asignamos ninguna clase designificado a los signos introducidos. Así las cosas, de la misma manera en queHilbert fundamentó la geometría despojando de contenido a sus elementos y enfatizandoen las relaciones internas, pretende eliminar de contenido intelectual a las formas deinferencia que han sido constituidas en objeto de estudio. El método de Hilbert exigedesplazarse desde un nivel primitivo a un nivel de contemplación superior en el queaxiomas, fórmulas y pruebas son ellos mismos el objeto de estudio. Esta es, en princi-pio, la motivación para desarrollar una teoría de la prueba. La esperanza de Hilbert sepuede sintetizar así: si a un sistema S de enunciados significativos agregamos unsistema T de enunciados y axiomas transfinitos, debemos estar en condiciones deprobar que todo enunciado verdadero en S debe poderse derivar aún cuando para ellotengamos que hacer uso del sistema extendido, y, además, no debe ser posible deri-var ninguna falsedad en S haciendo uso de la extensión T.

El paso siguiente, en la tarea de desentenderse de las complicaciones causadaspor el infinito, consiste en formalizar las pruebas matemáticas. Así se logra hacer delas pruebas matemáticas un objeto de nuestra investigación. En primer lugar seseleccionan algunas formulas que han de servir como puntos de partida. Tales fór-mulas se denominan axiomas. A partir de los axiomas es posible adelantar pruebas


matemáticas. Una prueba matemática es un figura que debe ser directamente acce-sible a nuestra intuición. Una prueba matemática, en el sentido de Hilbert, se concibecomo una serie de movimientos o transformaciones adelantadas a partir del siguien-te esquema de deducción:

ΘΘ → ϕ

ϕ

donde tanto Θ como Θ→ϕ son o bien axiomas, o resultan de un axioma porsubstitución, o son la última fórmula de una deducción previa, o resultan de una talfórmula por substitución. En ese orden de ideas, una fórmula se dice demostrable siresulta ser la última expresión de una cadena de deducciones ajustada al esquemaanterior. De esa manera Hilbert consigue hacer de una prueba un objeto completa-mente examinable por nosotros en todas sus partes. Ahora bien, una vez dado elconjunto de axiomas, las reglas de transformación y el esquema de deducción, po-demos proceder a concebir o construir el conjunto de todas las fórmulas demostrables.Tan sólo habría que agregar una condición previa asociada con el ejercicio de adicio-nar elementos ideales al sistema. Esta condición es la exigencia de una prueba deconsistencia. Esta prueba exige demostrar que al agregar un elemento ideal al siste-ma no se producen contradicciones. Esto es, debemos mostrar que no es posibleobtener, para el caso de la formalización de la teoría de números, por ejemplo, lafórmula: “1≠1” como última expresión en una cadena de deducciones.

Cuando Hilbert concibió y escribió los Fundamentos de la Geometría a finales delsiglo XIX, ajustándose a un modelo axiomático, tuvo que enfrentar directamente elproblema de la consistencia y la independencia de los axiomas que propuso comopuntos de partida. Obviaremos el asunto asociado con la independencia. Lafundamentación de la geometría propuesta por Hilbert pretendía liberarnos definitiva-mente de nuestras intuiciones espaciales. Así como Descartes se propuso liberar lageometría del yugo impuesto por las figuras particulares, traduciendo las propieda-des estructurales a un sistema algebraico, Hilbert se propuso liberar a la geometríade las intuiciones espaciales subrayando el papel de las propiedades estructurales yvaliéndose para ello de la propuesta de un sistema axiomático que no supone unaintuición de los objetos. Las palabras “punto” y “línea” ya no son nombres para obje-tos dados en alguna suerte de intuición. Con tales palabras están dados ciertosobjetos que guardan entre sí las propiedades estructurales estipuladas por los axio-mas. La propuesta de Hilbert exigía, no obstante, una demostración de consistencia.Para demostrar la consistencia procedió a construir con números reales un sistemade entes que satisfacía todos los axiomas propuestos. Así las cosas, la consistenciade la geometría se infería por gracia de la consistencia del sistema que se habíaconstruido como modelo. En otras palabras, si el sistema de números reales selec-


cionado es consistente, también lo será la geometría que permite hacer de ellos unmodelo de la misma. A través de la consistencia de la matemática se heredabadicha propiedad a cualquier otro sistema que se pudiese modelar con ella. No obs-tante lo anterior, en 1922 el problema se hizo más dramático: ¿cómo probar la consis-tencia misma de la Aritmética? Hilbert ya había advertido el camino a seguir: crear unsistema formal consistente lo suficientemente completo y complejo como para repli-car todas las proposiciones que tenemos por verdaderas en nuestra aritmética. Enotras palabras, crear un sistema formal consistente para el cual las proposicionesverdaderas relativas a los entes que denominamos “números” constituyan efectiva-mente un modelo.

Hilbert pensaba que esta tarea, a pesar de su complejidad, podría resolverse enforma definitiva y así se podría zanjar de una vez por todas cualquier intento de poneren entredicho la seguridad de las matemáticas al mostrar la incapacidad de refuta-ción inmanente del razonamiento matemático. Este sería, sin duda, el reto cartesianomás osado que alguien pudiese afrontar. Detrás de las ideas y de las intenciones deHilbert subyace la creencia fundamental según la cual todo problema matemático essoluble7. Más aún, soluble con base en criterios de decisión finitista. Hilbert plasmódicha creencia en su famosa expresión: “No hay ignorabimus en matemáticas”8. Estees, de alguna forma, un compromiso con el carácter a priori del conocimiento mate-mático: “Esto es lo que yo exijo: en los asuntos matemáticos no debe existir enprincipio ninguna duda; no debe haber espacio para que existan verdades a mediaso verdades de una clase fundamentalmente diferente.”9 El problema se puede enton-ces sintetizar así: crear un sistema formal que replique todas las proposiciones ver-daderas de nuestra aritmética y demostrar su consistencia valiéndose de un métodoconstructivo finitista similar al que empleamos al verificar las expresiones más senci-llas de la teoría de números que no incluyen aún los denominados elementos ideales.

Los trabajos presentados por Gödel a comienzos de la década de los treintacambiaron dramáticamente la orientación del programa de Hilbert. En primer lugar,Gödel demostró la completitud del cálculo funcional restringido. Es decir, demostróque cualquier fórmula válida expresable en el cálculo funcional restringido se puedederivar a partir de los axiomas por medio de una secuencia finita de inferenciasformales. Este resultado llenó de optimismo a quienes estaban empeñados en ase-gurar las bondades del programa de Hilbert. No obstante, Gödel tenía reservada unasegunda sorpresa: tal completitud no es heredable a un sistema axiomático lo sufi-cientemente complejo como para replicar todas las verdades de la teoría de núme-

7 Véase, Hilbert, D. (1925), p. 200.8 Ibid. En el artículo titulado: Problems of the grounding of mathematics Hilbert expresaba la misma idea en estos

términos: “Cantor dijo: la esencia de las matemáticas consiste en su libertad, y a mí me gustaría agregar para los es-cépticos y los pusilánimes que en las matemáticas no hay ignorabimus. Al contrario, nosotros podremos siempre res-ponder cuestiones significativas. Y es confirmado, como tal vez Aristóteles ya había previsto, que nuestro entendimien-to no practica ningún arte secreta, sino que más bien siempre procede de acuerdo a reglas bien determinadas ypresentables [aufstellbar].” Hilbert, D. (1929), p. 233.

9 Hilbert, D. (1922), p. 198.


ros. En otras palabras, Gödel demostró que en todo sistema formal que pretendareproducir en forma no trivial todas las verdades de la teoría de números, es posibleconstruir una sentencia tal que ni ella ni su negación pueden ser derivadas a partir delos axiomas propuestos. Todo ello a pesar de que tal sentencia traduzca una verdadde la teoría de números. Gödel demostró, también, que cada vez que tratemos decompletar el sistema agregando nuevos axiomas, el fenómeno de la incompletitudasalta nuevamente al sistema en un nivel superior. En ese sentido, todo sistemaformal consistente que pretenda reproducir todas las verdades de la teoría de núme-ros no sólo es incompleto sino incompletable. En el mismo artículo en el que seanunciaron tales resultados Gödel presentó, a la manera de un corolario, otro teoremaigualmente poderoso: la fórmula que, al traducirse, asevera la consistencia del siste-ma, no se puede derivar con las propias herramientas del sistema. Tampoco puedederivarse su negación. De donde se concluye que tal clase de sistemas no podría,con sus propias herramientas, demostrar su propia consistencia.

La demostración de Gödel del teorema que afirma que hay sentencias indecidiblesen un sistema formal que traduce una buena parte de las verdades de la teoría denúmeros, se ajusta, más o menos, al siguiente esquema. Se construye un sistemaformal a partir de un conjunto de signos y de reglas para su uso. Se define la nociónde fórmula bien formada y, entre un conjunto de formulas bien formadas, se seleccio-na un grupo de axiomas. Unido a lo anterior se especifican las reglas de inferencia.Tanto las reglas de inferencia como las construcciones deben ser constructivas. Estoes, para cada regla de inferencia debe existir un procedimiento finito para decidir siuna fórmula dada β se puede inferir a partir de las fórmulas α1....αν. En caso de que laaplicación del procedimiento nos permita mostrar que β se puede inferir a partir detales fórmulas, diremos que β es inferible de α1....αν. En este orden de ideas, unafórmula se dice deducible si existe una deducción de ella; y una secuencia de fórmu-las constituida por fórmulas que o bien son axiomas, o bien son inferibles a partir deuna o más fórmulas precedentes se dice una deducción de β si β es la parte final dedicha secuencia. Gödel introduce después las funciones recursivas primitivas comoaquellas funciones que se pueden calcular para un conjunto dado de argumentosmediante un procedimiento finito. Gödel no sólo ofrece un ejemplo extenso de talesfunciones sino que aporta un conjunto importante de teoremas y demostracionesasociadas con dichas funciones10.

Después de aportar las definiciones preliminares que han de constituir la basepara una teoría de la prueba, se procede a construir un sistema formal que puedaconsiderarse como un buen candidato para replicar todas las verdades de la teoríade números. Esta tarea puede adelantarse o bien a partir de los axiomas de Peano, o

10 El teorema VII del artículo de Gödel (UFP) muestra que cada relación recursiva primitiva es aritmética. Es decir,puede ser definida con la sola ayuda de las nociones + y • (adición y multiplicación de números naturales) y de las cons-tantes lógicas (con œ e = restringidos a números naturales). Este teorema le permite construir equivalentes diofánticosdel teorema de incompletitud (véase UPFMS, pp. 363-367).


bien a partir de los axiomas de Principia Mathematica. Es posible demostrar que elteorema de incompletitud de Gödel vale para todos los sistemas que son igualmentepoderosos o afines a Principia Mathematica. El esquema completo de axiomas com-prende axiomas relacionados con el cálculo conectivo, axiomas relacionados con lanoción de identidad, y, por último, los axiomas de Peano, por ejemplo. Para comple-tar el sistema formal se especifican las reglas de inferencia.

El paso siguiente consiste en construir una representación del anterior sistemaformal valiéndonos para ello de un sistema de números naturales. En ese orden deideas, Gödel propone un mecanismo que permite asociar a cada signo primitivo unnúmero natural. Para ello se vale de los primeros números impares hasta 13 pararepresentar las constantes (“0”, “S”, “∼”, “∨”, “∼”, “(”, “)”). Se vale de los números de laforma ρn (donde ρ es un número primo mayor que 13) para representar las variablesde tipo n (las variables de tipo 1 son individuos, de tipo 2 son clases de individuos, detipo 3 son clases de clases de individuos...). Por último, Gödel se vale de los númerosde la forma ( ) ( ) ( )kn

knn ρ××× ...32 21 , donde kρ denota el k-avo número primo, para

representar una secuencia finita de signos a partir de los números de Gödel que lecorresponden a los signos que participan en la secuencia.

Con estas herramientas Gödel puede definir una serie de clases y relacionesmetamatemáticas entre números naturales. Así por ejemplo, la relación xBBBBBy, signifi-ca que hay una fila de signos a la que corresponde x, hay también una fila de signosa la que corresponde y y la secuencia de signos que x representa corresponde a unadeducción de la fórmula representada por y. Todas las relaciones que construye Gödelson recursivas primitivas. Gödel mostró también que es posible construir sentenciasque hacen afirmaciones acerca de ellas mismas en el sistema sin caer necesaria-mente en las paradojas anotadas por Russell y Whitehead. En ese sentido, la ordende Russell de evitar las sentencias que hablan acerca de sí mismas aparece comouna orden demasiado drástica. La construcción de tales sentencias es posible única-mente si la propiedad a la que aluden se puede expresar en el sistema. Ahora bien,no toda propiedad metamatemática es expresable en el sistema. Así por ejemplo,“ser verdadero en L” no puede expresarse en L y es precisamente por eso que resul-tan ciertas paradojas al pretender armar expresiones que dicen de sí mismas queson verdaderas o falsas11.

Gödel construye después el mínimo conjunto que resulta cerrado bajo la relaciónde inferencia inmediata y define ω-consistencia como la propiedad de un sistemacuando no hay ningún signo-de-clase según el cual habría una propiedad que tienecada número, cuando al mismo tiempo negamos que la tienen todos los números. Elteorema finalmente se enuncia, más o menos, en los siguientes términos: para elcaso de cada clase recursiva primitiva y ω-consistente de fórmulas, es posible cons-truir un signo-de-clase r para el cual ni la generalización de r bajo ν -siendo ν la

11 Véase UPFMS, pp. 362-363.


variable libre- ni la negación de la generalización de r bajo ν pertenecen al conjuntocerrado bajo la relación de inferencia inmediata.

Para demostrar el teorema, Gödel procede a construir una sentencia particularque en caso de ser inferida en el sistema afirmaría que contamos con una deducciónde la negación de la generalización de un signo-de-clase r bajo una variable ν. Ahorabien, Gödel muestra que para cada ν también es posible producir una deducción dela fórmula que resulta al substituir el numeral asignado a ν por la variable ν en r. Conestos dos resultados se contradice la condición de ω-consistencia formulada inicial-mente. La incompletitud detectada en esta clase de sistemas se origina, como expli-ca Gödel, en el hecho de que en la teoría de números la formación de tipos cada vezmayores puede llevarse hasta lo transfinito, mientras que en el caso de cada sistemaformal sólo se dispone de un número finito numerable de ellos12.

El artículo de Gödel (UFP) finaliza con la presentación y demostración del teoremaXI según el cual en una clase recursiva y consistente13 de fórmulas ocurre que lasentencia que dice que dicha clase es consistente no es deducible en el sistema. Enotras palabras, si asumimos que el sistema es consistente, eso no lo podremosdemostrar haciendo uso de las herramientas del sistema.

Los resultados obtenidos por Gödel en el marco de sus investigaciones conduje-ron a replantear las orientaciones generales del programa de Hilbert. En particular, yano podríamos esperar una prueba de consistencia de un sistema formal valiéndonosde las mismas herramientas del sistema. Los matemáticos se han encargado deampliar los resultados de Gödel y de relativizar los alcances del programa de Hilbert.A nosotros nos interesa especialmente las posibles consecuencias filosóficas que sederivan de tales resultados. En la siguiente sección atenderemos los aspectos filosó-ficos que Gödel pretendía adherir a sus investigaciones.

1.21.21.21.21.2 Algunas consecuencias filosóficas del trabajode Kurt Gödel14

“Nada se edifica sobre la piedra, todo sobre la arena,pero nuestro deber es edificar como si fuera piedra la arena.”

Jorge Luis Borges15

Gödel es considerado como uno de los matemáticos más importantes del siglo XX.De eso no hay ninguna duda. En los últimos veinte años ha surgido un especial interés porsus ideas filosóficas. Este interés ha sido especialmente motivado por la transcripción delas conversaciones sostenidas por el matemático con su amigo Hao Wang. En el caso

12 Véase la nota a pie de página 48ª en FUP, p. 181.13 Un sistema es consistente si existe al menos una fórmula que no puede ser derivada en el sistema.14 Esta sección se publicó en la revista Diánoia: volumen XLVII, número 49 correspondiente al mes de noviembre

de 2002.15 Borges, Jorge Luis (1992). Fragmentos de un evangelio apócrifo; § 41. Obras Completas, Buenos Aires, Emecé

Editores; vol. II, p. 390.


de las comunidades académicas de habla hispana ha sido especialmente relevante lapublicación de algunos escritos inéditos de Gödel a cargo del profesor RodríguezConsuegra16. El profesor Rodríguez sostiene, de una manera algo arriesgada, que lasprincipales motivaciones de Gödel eran precisamente filosóficas, que el trabajo que cul-minó en los teoremas asociados con la incompletitud tenían como motivación central ladefensa de alguna forma de platonismo17. Creo que no es necesario, a la hora de escla-recer las ideas filosóficas del lógico matemático, adoptar una tesis tan extrema. De otraparte, las ideas filosóficas de Gödel, que han llegado a nosotros por intermedio de HaoWang, suelen estar impregnadas de las intenciones filosóficas de su interlocutor. No esfácil discernir en tales escritos el peso relativo de las ideas originales de Gödel del pesoque adquieren las sugerencias de Hao Wang. En lo sucesivo me ocuparé de mostrar losargumentos que permiten reconstruir la defensa de alguna forma de platonismo a partirde algunas de las ideas que se derivan directamente de los escritos de Gödel. Tambiénpretendo mostrar que la defensa no alcanza cabalmente el propósito inicial.

Con el objeto de ubicar el contexto de la discusión deseo presentar inicialmentela taxonomía del problema que se deriva de la contribución de Mark Balaguer (1998).El platonismo matemático puede ser presentado en varias versiones, de las cualespor el momento me interesa resaltar dos. De un lado una versión débil que puede serformulada en los siguientes términos18:

16 Véase Rodríguez Consuegra Francisco (1994). El libro presenta la conferencia Gibbs dictada por Gödel en la reuniónanual de la American Mathematical Society reunida en Brown University en diciembre de 1951. También se incluyen lasversiones II y VI del artículo que Gödel estaba preparando en homenaje a Carnap bajo el título: ¿Es la matemática sintaxisdel lenguaje? El libro cuenta también con una reseña e introducción del profesor Rodríguez Consuegra. En esta reseña sedefiende una tesis extrema para explicar la producción de Gödel. Para apreciar la magnitud extrema de la tesis del profesorRodríguez, véase, por ejemplo: “El realismo matemático será sucesivamente considerado como: (i) una consecuencia filo-sófica de tales resultados [se refiere a los teoremas de completitud e incompletitud]; (ii) un principio heurístico que condu-ce a ellos; (iii) una hipótesis filosófica que resulta verificada por ellos.” (p. 23). A lo largo del presente capítulo se aportanelementos para mostrar que (i) no es necesariamente correcta: el argumento es incompleto; (ii) es históricamente frágil(no contamos con los suficientes elementos para sostener tal afirmación, aun cuando reconocemos que algunos plantea-mientos filosóficos han podido estar presentes desde un momento temprano: algunas cartas a Hao Wang y algunos co-mentarios en sus escritos inéditos sugieren que el realismo platónico ya estaba presente en las inclinaciones de Gödeldesde 1929. Lo que no es del todo claro es que tales inclinaciones constituyeran la motivación principal e hicieran las ve-ces de principios heurísticos para sus investigaciones lógicas). Por último, (iii) no se sigue directamente de tales resultados.

17 Véanse las anotaciones críticas a la tesis del profesor Rodríguez Consuegra sugeridas por el profesor FernandoZalamea: “Kurt Gödel: análisis filosófico y lógica matemática”. El profesor Zalamea se encuentra más conforme con unatesis intermedia a partir de la cual el análisis filosófico y la lógica matemática se encuentran en el mismo nivel en la pro-ducción del lógico austríaco. El lector puede encontrar también una tesis más prudente en el artículo de Feferman: KurtGödel: conviction and caution. A juzgar por los artículos publicados por Gödel, es posible dividir su producción en dos perío-dos: antes de 1940 se publicaron sus principales contribuciones a la lógica matemática. Estos artículos se podrían califi-car con el adjetivo de filosóficamente asépticos. Gödel se encargó de depurar sus artículos de tal manera que no pudieraentreverse ningún compromiso filosófico (el profesor Zalamea no comparte esta perspectiva (véase, Zalamea (1996), p. 358).Después de 1940 Gödel empezó a presentar, en forma tímida, algunas recomendaciones asociadas con la filosofía de lasmatemáticas. El artículo de 1944 (Russell’s mathematical logic) marca, quizá, la diferencia entre los dos períodos. Gödel sesentía, como mostraremos en el presente capítulo, por fuera del espíritu de la época. Es posible que este hecho determi-nara una actitud filosóficamente tímida y prudente en relación con sus primeros escritos. Tan pronto como Gödel pudoabandonar Viena, asentarse en Princeton y apreciar que sus contribuciones fundamentales eran generalmente reconoci-das, como sugiere Feferman, Gödel se sintió más libre de expresar sus propias convicciones. La muerte de Hilbert ocurrió,casualmente, un año antes de la publicación del artículo de Gödel sobre Russell. Véase Feferman Solomon (1988).

18 Esta presentación es una buena paráfrasis de la definición de platonismo que ofrece Gödel al final de la confe-rencia acerca de las implicaciones de algunos resultados matemáticos: “[Por una visión platónica de las matemáticas]quiero dar a entender que las matemáticas describen una realidad no-sensible, la cual existe independientemente tantode los hechos como de las disposiciones de la mente humana y que es sólo percibida por ella aunque esto pueda ocu-rrir de forma incompleta.” (SBT, p. 323).


(a) Existen objetos matemáticos tales como los números. Estos objetos no sonespacio-temporales y existen independientemente de nosotros y de nuestra acti-vidad teorizante.

(b) Nuestras teorías describen tales objetos.

La premisa (b) es fundamental, pues si afirmamos que hay objetos matemáticospero que desafortunadamente no hay forma de conocerlos o advertir su presencia,estaremos defendiendo una tesis inocua.

La versión fuerte del platonismo se puede formular en estos términos: “todoobjeto matemáticamente posible existe”19. De las dos versiones me interesa particu-larmente restringir el estudio al ámbito de la versión débil. Es decir, un platonismocomprometido con la existencia objetiva de los objetos matemáticos por fuera delespacio-tiempo, y no un platonismo que incorpore conceptos aún más complejoscomo el concepto de posibilidad lógica20.

Esta forma de plantear el platonismo da origen a dos tipos de respuestas anti-platónicas dependiendo de la actitud que se adopte frente a (a) o a (b). De un lado losanti-platónicos realistas, quienes defienden parcialmente (a), sostienen que si bienlas matemáticas describen alguna clase particular de objetos, tales objetos no sonentidades abstractas no-espacio-temporales. Los anti-platónicos realistas puedendefender que, o bien la matemática trata de objetos físicos (como lo hace el empirismode J. S. Mill) y, en consecuencia, los matemáticos son descubridores; o bien lamatemática trata de objetos mentales (como afirman Erdmann y Husserl) y los mate-máticos son inventores. De otro lado, los anti-platónicos anti-realistas, quienes seoponen completamente a (a) y a (b), sostienen que las matemáticas no describenninguna clase de objetos. Es decir, las expresiones de la matemática carecen decontenido y, en consecuencia, no describen un particular estado de cosas en algúnmundo posible. Conviene citar en este caso tres variantes de anti-platonismo anti-realista: (i) el convencionalismo sostiene que las proposiciones de la matemática sonanalíticamente verdaderas: son verdaderas en virtud del significado de sus términos.(ii) El deductivismo afirma que las expresiones de la matemática son expresiones dela forma: “es necesario que si A entonces T”. (iii) El formalismo defiende que lasmatemáticas ofrecen verdades que se sostienen en el marco de ciertos sistemasformales: la matemática se ocupa de la manipulación de ciertos signos sujetos a

19 Balaguer propone la siguiente paráfrasis: œx [ (x es un objeto matemático & x es lógicamente posible) e x existe].20 Un rasgo que ilustra la importancia de la posibilidad lógica como criterio de existencia puede subrayarse en el

siguiente fragmento de una carta de Hilbert a Frege. No obstante, no pretendo sugerir que Hilbert defendiera alguna cla-se particular de platonismo. He aquí el fragmento: “Si los axiomas arbitrariamente dados no se contradicen el uno alotro, entonces ellos son verdaderos y las cosas definidas por los axiomas existen. Este es para mí el criterio de verdad yexistencia.” (En Frege, Gottlob. (1980). pp. 39-40). Hilbert pretende así responder a la tesis opuesta de Frege según la cualde la verdad de los axiomas se sigue que ellos no se contradicen. Aunque el resultado de Gödel asociado con la completituddel cálculo de predicados de primer orden parece justificar la relación entre existencia y consistencia, todos los traba-jos posteriores pretenden desvirtuar la extensión generalizada de tal afirmación: el criterio de existencia de un objetomatemático no se puede reducir a la consistencia.


ciertas reglas formales de transformación. Estas versiones de antiplatonismo tiendena identificar verdad y demostrabilidad.

Una de las críticas más fuertes contra el platonismo se puede sintetizar en elargumento presentado por Benacerraf en su artículo ya clásico Mathematical truth21.A juicio de Paul Benacerraf, la filosofía de las matemáticas, es decir la disciplina quepretende aportar un esquema racional para explicar la naturaleza tanto de las propo-siciones matemáticas como de la actividad de los matemáticos, debe atender enforma articulada dos demandas complejas. Por un lado, cualquier teoría de la verdadmatemática debe estar en conformidad con una teoría general de la verdad. En otraspalabras, las adscripciones semánticas que asignemos a las proposiciones mate-máticas deben ajustarse al mismo modelo con el cual hacemos adscripcionessemánticas a otras proposiciones. Por otro lado, cualquier programa de investigacióndebe dar cuenta de la manera como obtenemos conocimiento matemático. En otraspalabras, las condiciones de verdad de las proposiciones matemáticas no puedenhacer imposible para nosotros reconocer que ellas se satisfacen. En términos aúnmás claros, el concepto de verdad matemática debe encajar dentro de una explica-ción general del conocimiento en una forma tal que resulte inteligible cómo adquiri-mos nosotros el conocimiento matemático que poseemos. Las dos demandas sepueden resumir en los siguientes términos: una semántica adecuada para las mate-máticas debe encajar en una epistemología aceptable. En ese orden de ideas, esposible advertir de antemano las dificultades del realismo platónico: si los términosmatemáticos refieren a objetos no-espacio-temporales, ¿cómo explicamos entoncesel hecho de tener conocimiento de tales objetos con la epistemología aceptable?

Ahora bien, cuando Benacerraf habla de una epistemología aceptable tiene enmente una teoría causal del conocimiento. De hecho Benacerraf se comprometetambién con una teoría causal de la referencia22. En gracia de la discusión, obviaremospor lo pronto las dificultades que se derivan de tan problemático compromiso. Elnúcleo central del argumento anti-platónico se puede presentar en los siguientestérminos: los pretendidos objetos-matemáticos-abstractos-no-espacio-temporales soncausalmente inertes. Recojamos la estructura del argumento de Benacerraf valiéndonosde la síntesis de Balaguer:

(1) Los seres humanos existen enteramente en forma espacio-temporal.(2) Si hay objetos matemáticos abstractos, ellos existen por fuera del espacio-

tiempo.(3) Aplicando la teoría causal del conocimiento: si existen objetos matemáti-

cos abstractos, los seres humanos no podrían tener conocimiento de ellos.21 En Benacerraf, Paul & Putnam, Hilary (editores). (1983), pp. 403-420.22 “Yo apoyo una teoría causal del conocimiento a partir de la cual para que X conozca que S es verdadera se re-

quiere que exista alguna relación causal entre X y los referentes de los nombres, predicados y cuantificadores de S. Enadición, yo creo en una teoría causal de la referencia, esto me obliga a admitir el conocimiento de S como algo doble-mente causal.” (Benacerraf (1983), p. 412).


(4) Si el platonismo matemático es correcto, los seres humanos no podríantener conocimientos matemáticos.

(5) Los seres humanos tienen conocimientos matemáticos.(6) Luego: el platonismo matemático no es correcto.

Las respuestas de los platónicos se pueden clasificar en tres alternativas depen-diendo de la actitud que se adopte frente a (1), (2) o (3). En primer lugar, es posiblenegar (1) y afirmar que los seres humanos no son enteramente espacio-temporales yque es posible hablar acerca del contacto con otros mundos. En particular, estaparece ser la estrategia que se ajusta en forma más adecuada al pensamiento deGödel. En segundo lugar, es posible negar (2) y afirmar que los seres humanospueden adquirir información acerca de los objetos matemáticos por mediosperceptuales. Esta alternativa es defendida por Maddy23. Por último, es posible negar(3) y apartarse de la teoría causal del conocimiento. Algunos defensores de tal alter-nativa son: Quine, Steiner, Parsons, Hale, Wright, Resnik. En lo sucesivo nos ocupa-remos de la manera como se puede estructurar una defensa de la primera alternativaa partir de las ideas que se sugieren en los escritos originales de Kurt Gödel. Nopretendo con ello sostener que se trata de la mejor defensa, de hecho la terceraalternativa constituye, a mi juicio, la mejor defensa en caso de que hubiese todavíaalgún recurso para el platonismo.

No son muchos los artículos de Gödel a partir de los cuales es posible construirla visión canónica del autor frente a los problemas filosóficos. Algunos de ellos per-manecieron inéditos hasta hace poco tiempo. De otra parte, creo yo, sus ideas filosó-ficas no lograron abandonar el estado de reflexiones heurísticas. No era fácil encon-trar un interlocutor para las ideas filosóficas de Gödel pues, de alguna manera, estabanaún sumergidas en el estilo metafísico de los siglos XVII y XVIII. El interlocutor ideal,sin duda, habría sido Leibniz. De cualquier manera es posible resaltar algunos ras-gos esenciales y algunas ideas brillantes que hacen del pensamiento de Gödel unpensamiento digno de exploración y consideración. Me ocuparé inicialmente de laactitud filosófica que Gödel, en forma panorámica, tenía hacia los programas defundamentación de la matemática. Para ello quiero hacer uso del artículo titulado Themodern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy,publicado en el tercer volumen de los Collected Works.

Gödel comienza por dividir las visiones-del-mundo [Weltanschauungen] de acuer-do al grado de afinidad o distancia con respecto a la metafísica o a la religión. Esteejercicio lo lleva a proponer la siguiente disposición en dos grupos: escepticismo,materialismo y positivismo de un lado, y espiritualismo, idealismo y teología del otro.El esquema le permite hablar de las visiones de izquierda y de derecha respectiva-

23 Véase, Maddy, P. (1990). Véase también la respuesta de Maddy al argumento de Benacerraf en Maddy, Penelope(1984). En dicho artículo se resaltan especialmente las supuestas debilidades de la epistemología causal aludida en elargumento de Benacerraf.


mente. No hay claridad acerca de las distinciones que desea trazar pero las intencio-nes se dejan ver con absoluta nitidez. A priorismo y optimismo son rasgos de lasvisiones de derecha, en tanto que empirismo y pesimismo lo son de las visiones deizquierda.

El siguiente paso en la argumentación consiste en proponer, con un cierto tono delamento, la siguiente descripción del desarrollo de la filosofía desde el renacimientohasta nuestros días: la filosofía se ha desplazado como un todo desde la derechahacia la izquierda, no siempre en línea recta continua sino practicando ciertos tímidosregresos. Presentemos en un esquema el panorama que advierte Gödel:

Este movimiento se puede ilustrar claramente a partir del desarrollo alcanzadopor las ciencias físicas durante el cambio de siglo: nos desplazamos desde unaconfianza plena en los alcances del programa mecanicista hacia la fragilidad de unconocimiento que debe contentarse con predecir resultados de observaciones, re-nunciando así a los deseos de explicación. Las matemáticas, a la luz del lógico másgrande del siglo XX, se han caracterizado siempre por una tendencia inamoviblehacia la derecha. Gracias a ello, y por tratarse de una ciencia a priori, supo mantener-se ajena al espíritu de la época. No hizo mella, por ejemplo, la escandalosa interven-ción del empirismo de J. S. Mill. No obstante, tarde o temprano tendría que caer enmanos de la seducción izquierdista. Es muy posible que Gödel leyera el siguientehermoso fragmento de Frege como la conspiración de un anarquista: después demostrar que en el caso de las matemáticas no basta un convencimiento puramentemoral apoyado en muchas aplicaciones convincentes y “Después de que uno se hayaconvencido de la imposibilidad de mover una roca ante la inutilidad de los esfuerzospor lograrlo, se puede preguntar qué es lo que la sostiene con tanta firmeza”24. Jamáshabíamos contemplado tal irreverencia: atreverse siquiera a cuestionar los funda-mentos mismos de la matemática. El mismo Descartes tuvo que inventarse un argu-mento esotérico para poner en entredicho, en forma pasajera, el piso firme de lasmatemáticas: imaginar un genio maligno que me hace concebir en forma clara y

24 Frege, Gottlob. (1950), § 2, p. 2.


distinta aquello que no es verdadero. Pero este atrevimiento de Frege roza ya loslímites de la insolencia: convertir la petición pasajera, y en algunos aspectos inocua,de Descartes en un programa permanente de investigación. La falibilidad, propia delas ciencias empíricas, pronto se transformó en una clara amenaza para las matemá-ticas. Gracias a la proliferación de nuevas geometrías y en virtud del escándalo gene-rado por las antinomias que surgieron en la teoría de conjuntos, así como la exigenciade un programa de investigación que estipulara los fundamentos de la matemática,la falibilidad adquirió la forma del imperativo de una prueba de consistencia para lossistemas matemáticos.

El programa de Hilbert, en términos de la valoración de Gödel, posee una curiosapropiedad hermafrodita: pretende hacer justicia tanto del espíritu de la época (incli-nación hacia la izquierda) como de la naturaleza de la matemática (inclinación haciala derecha). De un lado, ajustado al espíritu de la época, reconoce que la verdad delos axiomas a partir de los cuales se edifica la matemática no puede ser justificadaplenamente y, en consecuencia, los resultados de la matemática tienen únicamentesignificado en un sentido hipotético. Tales consecuencias son entonces el resultadode un mero juego con símbolos inertes. De otra parte, y con el objeto de aludir a lanaturaleza de la matemática, el programa de Hilbert sugiere que cada cuestión ma-temática, por un lado, debe poderse formular de manera precisa como una preguntaque demanda una y sólo una de dos respuestas posible: sí o no, y, por otro lado,debe poderse responder en forma definitiva.

La idea central de Gödel ante el programa de Hilbert, tal y como él lo concibe,puede sintetizarse en los siguientes términos: no es posible rescatar los viejos as-pectos hacia la derecha de los programas de investigación en matemáticas de unamanera tal que se encuentren más o menos en armonía con el espíritu de la épocaque impone una clara tendencia hacia la izquierda. El argumento fuerte para defendertal perspectiva se deriva directamente de una pretendida consecuencia filosófica delos teoremas de incompletitud25. En primer lugar, si nos limitamos a la teoría de losnúmeros naturales, es imposible encontrar un sistema de axiomas y reglas formalesa partir de los cuales, para cada proposición teorética de números A, o bien A o ∼Asea derivable. En otras palabras, no existe un sistema formal consistente en el cualsean derivables todas las traducciones de las proposiciones que se tienen por verda-deras en la teoría de números. En segundo lugar, es imposible adelantar una pruebaque muestre la consistencia del sistema valiéndose tan sólo de combinaciones con-cretas de símbolos sin introducir más elementos abstractos. De lo anterior se deri-

25 Hoy en día ya no es tan claro que los teoremas de incompletitud hayan liquidado en forma definitiva las preten-siones del programa de Hilbert. En ese orden de ideas, resultan especialmente importantes las observaciones deDetlefsen. Véase Detlefsen (1990). El profesor Zalamea sugiere también una relativización, más que una aniquilación,del programa: “Corresponde mejor al desarrollo de aspectos de la lógica matemática a partir de Gödel...afirmar que elprograma de Hilbert –que pretendía alcanzar un ideal absoluto de consistencia- no murió para siempre, sino que másbien se relativizó en diversas maneras muy profundas, con lo que en vez de derrumbarse ha alcanzado una influenciatal vez mayor”. (Zalamea, Fernando (1996), p. 355). No obstante lo anterior, nos interesa, más bien, considerar el tipo deevaluación que practicaba Gödel.


van, pues, dos alternativas antagónicas: renunciar a los aspectos de derecha prove-nientes de la naturaleza de la matemática, o defenderlos en contradicción con elespíritu de la época. Gödel quiso mostrar que el intento de Hilbert era un proyecto deantemano condenado al fracaso porque se inclinaba fuertemente en una de las dosdirecciones.

La estrategia argumentativa de Gödel guarda también cierto parentesco con laestrategia de Descartes hacia el escepticismo. Descartes veía en el escepticismo unserio peligro tanto para el fundamento de las creencias religiosas como para el fun-damento último de la ciencia. El programa cartesiano puede verse, de alguna mane-ra, como reacción al espíritu de la época. Los detractores del escepticismo se habíanvisto envueltos en estrategias estériles que no lograban responder con vehemencia alos argumentos que pretendían eliminar. La actitud del escéptico tenía siempre laventaja de la prudencia, la ventaja de aquel que se compromete con menos. Eldogmático, al contrario, tenía sobre sus hombros la carga de la prueba. El escépticopuede limitarse a contemplar con cierto aire de incertidumbre. ¿Cuál fue entonces laestrategia de Descartes? Sumergirse en el escepticismo hasta las raíces más pro-fundas, llevar los propios argumentos escépticos hasta los límites más extremospara demostrar que aún así es posible salir del atolladero, que es posible edificar unaconstrucción sólida sembrando ladrillo sobre ladrillo. Algo parecido ocurre con Gödel,siempre que estemos dispuestos a contemplar el programa de Hilbert como unainstauración de las pretensiones escépticas en el ámbito de la investigación mate-mática. No creo que esta interpretación logre capturar en esencia los alcances delprograma de Hilbert, pero creo, al menos, que sí logra dar cuenta de la actitud deGödel hacia el programa. Gödel aceptó la estrategia metodológica del programa deHilbert -al menos en las pretensiones formalistas y logicistas- para debilitarlo desdeel interior26. En los reportes que Gödel aportó a Hao Wang acerca de las estrategias

26 La comparación entre la estrategia de Descartes y la de Gödel no puede adelantarse con éxito en todos susdetalles. Creo que hay puntos en los cuales la comparación no favorece a Gödel. Es posible sugerir, por ejemplo, que elprograma cartesiano no pudo adelantarse con el éxito que terminamos reconociéndole. De un lado, la demostración dela existencia de Dios es absolutamente cuestionable, y, de otro lado, la supuesta demostración bien sea de la existen-cia del mundo exterior o de la existencia de otras mentes adolece de dificultades insalvables. En ese orden de ideas,bien podríamos pensar que Descartes, a pesar de sus buenas(!) intenciones, terminó haciéndole un favor espectacularal escepticismo. No obstante lo anterior, podríamos sugerir otro tipo de lectura para salvar la comparación. Podríamospensar que la reconstrucción del mundo que pretende adelantar Descartes a partir de elementos que no reconocenninguna clase de compromiso, guarda un cierto parecido con la reconstrucción de las verdades matemáticas que pre-tende adelantar Hilbert a partir de elementos que no reconocen ninguna clase de compromiso. En ese orden de ideas,el fracaso del programa cartesiano, es decir, la imposibilidad de la razón al pretender establecer por sus propios me-dios la existencia del mundo exterior y verse, por esa razón, en la obligación de acudir a un recurso diferente: la intuiciónsensorial, guarda un estrecho parecido con el supuesto fracaso del programa de Hilbert. Gödel, cree él, puso en eviden-cia la incapacidad tanto del formalismo como del logicismo cuando pretendían establecer por sus propios medios unay cada una de las verdades de la teoría de números. Gödel mostró que en todo sistema formal que en forma no trivialpretenda capturar todas las verdades de la teoría de números es posible advertir al menos una verdad que no puedeser capturada. También puso en evidencia, a su juicio, la necesidad de acudir a un recurso diferente: la intuición mate-mática. Es importante tener en mente el esquema de argumentación de Descartes para efectos de resaltar los rasgoscomparativos que nos interesan. Después de poner en duda todas las proposiciones que se tenían por verdaderas, des-pués de establecer el carácter inamovible de la proposición “pienso, luego soy”, y después de demostrar la existenciade Dios y establecer que todo aquello que captamos en forma clara y distinta es verdadero, Descartes procede, al finalde la quinta y durante la sexta meditación, a probar que el mundo exterior existe. En la quinta meditación prueba la reali-


dad de la esencia del mundo: en caso de existir, la esencia del mundo radica en la extensión. En la sexta meditación seapoya en la realidad de la esencia para mostrar la posibilidad de la existencia del mundo exterior. El argumento centralconsiste en mostrar que no hay contradicción alguna. Apoyado después en la imaginación concluye que es altamenteprobable que el mundo exterior exista. Por último es necesario apoyarse en la sensibilidad para concluir con certeza laexistencia del mundo exterior. Descartes propone la existencia de una facultad pasiva encargada de albergar las imáge-nes provocadas por cierta facultad activa que debe originarse en una fuente independiente del espíritu. Es precisamen-te este último punto el que muestra el carácter incompleto de la razón para adelantar la tarea que ella misma se habíaimpuesto. La intuición sensible –en el caso en el que pueda reservar ese nombre para la facultad pasiva mencionadapor Descartes- llena el vacío que había dejado abierto la razón. Esa facultad pasiva exige la existencia, en virtud del cons-treñimiento experimentado, de una facultad activa diferente e independiente del espíritu.

27 Véase Wang, Hao (1981); p. 654. En una carta de Gödel a Hao Wang se aclara el principio heurístico del lógicomatemático en los siguientes términos: “... debe notarse que el principio heurístico de mi construcción de proposicio-nes indecidibles de la teoría de números en los sistemas formales de la matemática es la oposición entre el conceptode ‘verdad matemática objetiva’ y el concepto de ‘demostrabilidad’.” (Citada en Wang, Hao (1974), p. 9). Aunque el realis-mo platónico es importante en las ideas de Gödel, el principio heurístico de su investigación es la oposición entre losconceptos de verdad y demostrabilidad. También es cierto que a partir de dicha oposición se pretende argüir una defen-sa del platonismo. Lo que no se desprende de la carta es que el platonismo sea el principio heurístico de la investiga-ción como pretende el profesor Rodríguez Consuegra (Véase la nota 16 del presente capítulo). Aún el convencionalistapodría orientar sus investigaciones imaginando la descripción de algunos objetos hipotéticos. Gödel formuló tal posibili-dad en una nota a la conferencia Gibbs: “...los nominalistas no negarían que nosotros realmente imaginamos objetos(no-existentes) detrás de los símbolos matemáticos y que tales ideas subjetivas podrían aún aportar los principios guíaen la elección de las reglas sintácticas.” (SBT, p. 315, nota 23).

que lo llevaron a los teoremas de incompletitud se sugiere el siguiente procedimien-to: Gödel empezó por estudiar el problema de Hilbert de probar la consistencia delanálisis por medios finitistas, encontró después algo misteriosa esta restricción so-bre los métodos de prueba e intentó probar la consistencia de la teoría de númerospor la teoría de números finitista y la consistencia del análisis por la teoría de núme-ros. Gödel, según los relatos de Wang, representó los números reales por formulasde la teoría de números y encontró que tenía que usar el concepto de verdad para lassentencias en la teoría de números con el ánimo de verificar algunos axiomas delanálisis. Esto lo condujo a algunas paradojas relacionadas con la verdad y su defini-ción. Si la verdad para la teoría de números fuera definible al interior de ella misma,uno podría encontrar una versión precisa de la sentencia del mentiroso y, en conse-cuencia, llegar a una contradicción. No obstante, la noción de derivabilidad sí esdefinible, por lo tanto derivabilidad y verdad deben ser conceptos independientes.Gödel notó que la verdad en la teoría de números no puede ser definida en tal teoríay, en consecuencia, su plan inicial, y con ello el programa de Hilbert, fracasó27.

Gödel concluyó, entonces, que de los teoremas de incompletitud se deriva que lacerteza de las matemáticas no se asegura después de probar ciertas propiedadespor una proyección sobre sistemas de símbolos ajustados a ciertas reglas formalesde transformación. La certeza en las matemáticas debe tener otra fuente: la intuiciónmatemática. Con el ánimo de resaltar nuevamente el parentesco con Descartes,podemos resumir así los resultados: después de evaluar el programa cartesiano,queda claro que no hay tránsito inmediato de la esencia a la existencia (cuando setrata, al menos, de los objetos del mundo exterior); de la misma manera, después deconsiderar la intervención de Gödel en el programa de Hilbert, queda claro que no haytránsito inmediato de la forma a la consistencia. No podemos eludir el recurso alconocimiento de los conceptos abstractos. Estos conceptos nos tiene que ser dados


en una especie de facultad pasiva. ¿Cómo es posible extender nuestros conocimien-tos hacia los dominios de los conceptos abstractos? Ello no se logra aportando defi-niciones explícitas para conceptos y pruebas a partir de axiomas. Esto nos encerraríaen un círculo vicioso.

” Creo que conviene resaltar dos puntos que convergen. De un lado la analogíaque Gödel pretende defender entre una investigación física y una investigación mate-mática y, de otro lado, la nueva orientación que pretende Gödel de la concepciónkantiana de las matemáticas. Ocupémonos, por ahora, del segundo aspecto. El co-nocimiento de los conceptos abstractos debe proceder por medio de una clase par-ticular de intuición. El entendimiento intuitivo de nuevos axiomas, lógicamente inde-pendientes de un conjunto inicial de axiomas, está de acuerdo con la concepciónkantiana de las matemáticas. Sin embargo, Kant sostiene que para efectos de laderivación de teoremas geométricos nosotros necesitamos siempre nuevas intuicio-nes geométricas. Gödel sostiene que esta posición de Kant, tomada literalmente, essencillamente falsa. No obstante, si remplazamos el término “geométrica” por eltérmino “matemática” entonces la posición de Kant resulta ser, a juicio de Gödel,verdadera. Hay, sin embargo, grandes diferencias entre la intuición kantiana y la intui-ción gödeliana tal y como lo ha puntualizado el profesor Hintikka28:

La intuición kantiana puede implicar tal conocimiento [el conocimiento apriori] porque su mera introducción reproduce las operaciones a través de lascuales nosotros imponemos las formas de espacio y tiempo sobre los objetos ya través de las cuales hemos también individualizado aquellos objetos. En otraspalabras podemos intuitivamente anticipar la aplicabilidad de aquellas formas deexperiencia porque nosotros mismos las hemos proyectado a los objetos... Deacuerdo con Kant, el uso de intuiciones a priori no es como percibir un objeto; escomo introducir una representación para algún objeto particular desconocido enanticipación de cualquier conocimiento perceptual. Esto se encuentra en agudocontraste con Gödel para quien la intuición podría acceder a una realidad inde-pendiente de la mente.29

En otras palabras, lo que Hintikka sugiere es que, aún cuando las categorías delentendimiento puro de Kant juegan un papel central en determinar lo que es objetivoen nuestras formas de representación, tales categorías no son objetivas en el sentidode representar un aspecto de las cosas o las cosas mismas.

28 Gödel también era consciente de algunas diferencias: “Una buena traducción inglesa del término kantianoAnschauung es kantian intuition o concrete intuition. Las consideraciones kantianas de la intuición pura fallan al produ-cir una bien fundamentada creencia en la consistencia de la aritmética. Esta es una razón para rechazar a Kant. Nues-tra intuición nos dice la verdad no sólo de 7 más 5 es 12 sino también que hay infinita cantidad de números primos y quela aritmética es consistente.” (Citado en Wang, Hao (1996), p. 217).

29 Hintikka, Jaakko. (1998), p. 21. Véase también Hintikka, Jaakko (2000), p. 52.


No es mi interés juzgar si Gödel interpretaba en forma adecuada o no el pensamientode Kant. De cualquier manera, sí conviene resaltar las prevenciones que Gödel, en formajustificada o no, tenía frente al autor de la Crítica de la razón pura. El artículo titulado Someobservations about the relationship between theory of relativity and kantian philosophy(TRKP) deja ver algunas reacciones interesantes de Gödel frente a la filosofía crítica. Enprimer lugar, quiero resaltar que se trata de un documento excelente contra aquellaspersonas que en forma apresurada pretenden sostener que la teoría de la relatividadinvalidó, en forma definitiva, las ideas de Kant; especialmente aquellos que sostienenque el empleo de las geometrías no-euclidianas deja sin piso el pretendido carácter apriori de la geometría euclidiana en la obra de Kant. El artículo de Gödel comienza poradvertir que él no se considera un partidario de la filosofía kantiana en general. Deseoresaltar especialmente un punto en relación con el tema que nos ocupa. “A mí me pare-ce”, afirma Gödel, “que únicamente en un punto existe una contradicción real entre lateoría de la relatividad y la filosofía kantiana, a saber, la opinión de Kant según la cual ladescripción del mundo dada por las ciencias naturales debe necesariamente detenerseante las formas de nuestra percepción sensorial y no puede hacer nada más sino esta-blecer relaciones entre apariencias en el interior de esta estructura.” (TRKP, p. 244). Estadificultad proviene, a juicio de Gödel, de nuestra imposibilidad de conocer las cosas-en-sí-mismas. De ella también se deriva la necesidad de adelantar transformaciones seve-ras en la filosofía de Kant para ajustarla en forma más adecuada a las exigencias de lafísica contemporánea. Esta reforma, cree Gödel, le permitiría a la filosofía crítica ir másallá de las apariencias y acercarse más al mundo de las cosas. Ahora bien, ¿por qué semolesta tanto Gödel con la distinción entre apariencias y cosas-en-sí-mismas? Yo creoque esto se puede entender mejor si pensamos en las incomodidades que dicha tesistendría a propósito de la naturaleza de las proposiciones matemáticas. La defensa delrealismo de Gödel exige que exista una analogía estrecha entre una investigación física yuna investigación matemática. Esto nos conduce al primer punto mencionado unas lí-neas atrás. Los objetos de la física y los objetos de la matemática son necesarios paraque tanto las proposiciones de la física como las proposiciones de la matemática tengancontenido. Los primeros nos son dados en la intuición sensible y los segundos en laintuición matemática. Si nuestra investigación matemática se detiene en el ámbito de laapariencia y no contamos con un acceso directo e inmediato a los conceptos abstractosabrimos de par en par las puertas al escepticismo en matemáticas. Si no tenemosacceso directo a los conceptos abstractos no tendríamos un conocimiento seguro deellos y eso convertiría a dicha versión de platonismo en una propuesta inocua.

El paralelo entre intuición matemática y percepción sensible va de la mano con elparalelo entre investigación matemática e investigación física. En el año de 1947 y a raízde la hipótesis del continuo que surge en el tratamiento de los números transfinitos,Gödel había advertido que si se asume la consistencia de los axiomas de la teoría deconjuntos, habría únicamente tres posibilidades para la conjetura de Cantor. Tal conje-


tura puede ser demostrable, refutable o indecidible. Gödel en ese entonces se inclina-ba por la tercera alternativa (CCP, p, 181). En 1963, después de una petición de PaulBenacerraf y Hilary Putnam, Gödel escribió un suplemento al artículo de 1947. En dichosuplemento Gödel quiere responder a una de las dificultades que se derivarían en casode poderse demostrar la indecidibilidad de la Conjetura de Cantor. Esta dificultad seña-la que en ese caso perdería significado la cuestión relacionada con la verdad de laconjetura, de la misma manera que la pregunta por la verdad del quinto postulado dela geometría euclidiana perdió su sentido una vez fue demostrada la consistencia dealgunas geometrías-no-euclidianas. Así como es posible hacer geometría euclidiana yno-euclidiana, de la misma manera debe ser posible hacer teoría de conjuntos continuistay teoría de conjuntos no-continuista. La respuesta de Gödel a la objeción no sólo fueenfática, sino claramente cargada del espíritu de derecha advertido unas páginas atrás:

Una cuestión pierde su significado a causa de una prueba de indecidibilidadsólo cuando el sistema de axiomas en consideración se interpreta como un siste-ma hipotético deductivo; esto es, si se deja indeterminado el significado de lossignos primitivos. En geometría, por ejemplo, la cuestión de si el quinto postuladode Euclides es verdadero conserva su significado si se toman los signos primitivosen un sentido definido, es decir, refiriéndose al comportamiento de cuerpos rígi-dos, rayos de luz, etc. La situación es parecida en la teoría de conjuntos y la únicadiferencia reside en que el significado que hoy usualmente se acepta en geome-tría se refiere a la física y no a la intuición matemática y, en consecuencia, ladecisión cae fuera de las matemáticas. Por otro lado, los objetos de la teoría deconjuntos transfinita...no pertenecen al mundo físico e incluso su conexión indi-recta con la experiencia física es muy remota. (CCP, p. 267).

La importancia del problema de la verdad del quinto postulado está asociadacon la necesidad de describir un marco de objetos cuya existencia y naturaleza esindependiente de la geometría. De la misma forma, la importancia de la Conjetura deCantor se deriva de la necesidad de describir una realidad objetiva que en formaindependiente sirve de soporte para la teoría de conjuntos. Nosotros tenemos accesoa esa realidad en una forma análoga a como accedemos a los objetos físicos. Gödelcompleta así su argumentación:

Pero, a pesar de su lejanía de la experiencia sensible, tenemos algo parecido auna percepción de los objetos de la teoría de conjuntos, como se puede ver por elhecho de que los axiomas mismos nos fuerzan a aceptarlos como verdaderos. Noveo ninguna razón por la cual debamos tener menos confianza en ese tipo de per-cepción, es decir, en la intuición matemática, que en la percepción sensible, que nosinduce a construir teorías físicas y a esperar que futuras percepciones sensibles


concuerden con ellas y, además, a creer que cuestiones no decidibles por el mo-mento tengan significado y puedan ser decididas en el futuro. (CCP, p. 268).

El paralelo entre la exigencia de objetos físicos y la exigencia de objetos matemá-ticos para que tanto las proposiciones de la física, como las proposiciones de lamatemática tengan contenido se aprecia con claridad en el artículo que Gödel escri-bió a propósito de la lógica matemática de Russell:

Me parece que suponer la existencia de tales objetos [Gödel se refiere a lasclases y a los conceptos como objetos reales] es tan legítimo como suponer laexistencia de los cuerpos físicos...Ellos son en el mismo sentido necesarios paraobtener un sistema satisfactorio de las matemáticas como los cuerpos físicos sonnecesarios para una teoría satisfactoria de nuestras percepciones sensoriales y enambos casos es imposible interpretar las proposiciones que uno quiere aseveraracerca de estas entidades como proposiciones acerca de los “datos” (RML, p. 128).

De no existir los objetos físicos, para nosotros sería absolutamente intrascenden-te hacer geometría euclidiana o geometría no-euclidiana. La intuición que tenemos dela presencia de los objetos físicos nos obliga a inclinarnos hacia una clase particularde geometría. De la misma manera, la intuición de los objetos matemáticos deberíainclinarnos a favorecer una particular teoría de conjuntos. No obstante, el argumentode Gödel parece circular: la intuición matemática favorece una clase particular deteoría de conjuntos y es precisamente el hecho de sentirnos inclinados hacia unaclase de teoría de conjuntos lo que nos lleva a pensar en la existencia de una intuiciónmatemática. En otras palabras, no sabemos si es un argumento ontológico el quenos impone una estrategia epistemológica, o es un recurso epistemológico el quenos impone una conclusión ontológica. El realismo de los objetos matemáticos des-vanece la intrascendencia de los fenómenos de indecidibilidad. A su vez, este fenó-meno de indecidibilidad, unido a un claro sentimiento de derecha, es el que nos llevaa postular la existencia de los objetos matemáticos.

La intuición matemática -concluye Gödel- no tiene que ser concebida comouna facultad que proporcione un conocimiento inmediato de los objetos que leconciernen30. Parece más bien que, como en el caso de la experiencia física, forma-30 En este punto, sin embargo, existe una diferencia importante con la noción de intuición utilizada por Descartes

en sus Reglas para la dirección del espíritu. Dice Descartes: “Entiendo por intuición, no la creencia en el variable testi-monio de los sentidos o en los juicios engañosos de la imaginación –mala reguladora- sino la concepción de un espíritusano y atento, tan distinta y tan fácil que ninguna duda quede sobre lo conocido; o lo que es lo mismo, la concepciónfirme que nace de un espíritu sano y atento, por las luces naturales de la razón.” (Descartes (1628), regla III, p. 87). Estomuestra entonces que el paralelo que pretendo establecer no es entre la intuición matemática gödeliana y la intuicióntal y como la define Descartes; sino entre la intuición matemática gödeliana y la facultad pasiva atribuida a la sensibili-dad por Descartes en la sexta meditación. Es precisamente la existencia de tal intuición y el reconocimiento de tal fa-cultad pasiva lo que nos conduce a aceptar que existe algo independiente de nosotros que nos constriñe en una direc-ción más bien que en otra.


mos también nuestras ideas de estos objetos a partir de algo más que es inmedia-tamente dado. Sólo que este algo más no es aquí, o no principalmente, las sensa-ciones31. Que además de las sensaciones hay algo real e inmediatamente dado sesigue (independientemente de las matemáticas) del hecho de que incluso nues-tros conceptos referentes a los objetos físicos contienen constituyentes cualitati-vamente diferentes a las sensaciones o meras combinaciones de sensaciones,por ejemplo, el concepto mismo de objeto. Mientras que, por otro lado, mediantenuestro pensamiento no podemos crear ningún elemento cualitativamente nue-vo32, sino sólo reproducir y combinar los que están ya dados. Lo ‘dado’ que subyacea las matemáticas está estrechamente relacionado con los elementos abstractoscontenidos en nuestros conceptos empíricos. De esto no se sigue, sin embargo,que los datos de esta segunda clase, a causa de que no pueden asociarse conacciones de ciertas cosas sobre nuestros órganos de los sentidos, son algo mera-mente subjetivo, como afirmó Kant. [Los datos de este segundo tipo] puedenrepresentar un aspecto de realidad objetiva, pero, en oposición a las sensaciones,su presencia en nosotros puede deberse a otro tipo de relación entre la realidad ynosotros mismos. (CCP, p. 268).

Para Gödel la cuestión de la existencia de los objetos matemáticos es una réplicade la cuestión de la existencia objetiva del mundo exterior. El se ve en la obligación deconjeturar un complemento de la percepción sensorial para el mundo habitado porentidades abstractas. La cuestión sigue siendo confusa: ¿se deriva la existencia delos objetos matemáticos a partir de la intuición matemática que complementa laslimitaciones detectadas en un sistema, de la misma manera como la existencia delos objetos físicos se deriva a partir de la intuición sensible que complementa laslimitaciones detectadas en el ejercicio de la razón, tal como se concluye al valorar enforma panorámica el programa cartesiano? ¿O, postulamos la necesidad del recursode la intuición matemática con el objeto de salvar el problema del conocimiento deobjetos abstractos? No creo que haya una respuesta satisfactoria a partir de lospresupuestos de Gödel.

El argumento de Benacerraf contra el platonismo, como hemos visto, se apoyasubstancialmente en tres premisas, a saber: (1) los seres humanos existen entera-mente en forma espacio-temporal; (2) si hay objetos matemáticos abstractos, ellosexisten por fuera del espacio-tiempo; y (3) aplicando la teoría causal del conoci-miento: si existen objetos matemáticos abstractos, los seres humanos no podríantener conocimiento de ellos. Estamos tratando de mostrar que la defensa de Gödelpretende negar la validez de la primera premisa. A la luz de Gödel, hay objetos

31 Al final de la quinta meditación, aún antes de que la intuición sensible nos muestre que hay objetos externos,Descartes muestra que es una condición impuesta por la razón el que en caso de existir objetos externos, su esenciadebe resumirse en la extensión.

32 Insisto en que ésta parte del argumento corre paralelo al fracaso del programa cartesiano a la hora de pretenderestablecer, con el sólo ejercicio de la razón, la existencia objetiva, no sólo posible, del mundo exterior.


matemáticos abstractos no-espacio-temporales como hemos tratado de mostrarhasta el momento. La existencia de tales objetos se puede establecer en formamás o menos paralela a la reconstrucción de los objetos físicos en el programacartesiano.

Ahora bien, si los seres humanos son sólo espacio-temporales, ¿cómo puedentener ellos intuiciones de objetos no-espacio-temporales? Haciendo uso de un chistede Kripke podríamos preguntar: ¿por medio de qué clase de telescopio se puedeestablecer lo que existe en otro mundo posible? Dado que hemos subrayado algunosrasgos y problemas compartidos con el programa de investigación de Descartes,conviene mencionar también una de las más profundas objeciones formuladas a lasMeditaciones metafísicas. Gassendi pregunta en su cuarta objeción contra la sextameditación: ¿cómo siendo tú inextenso puedes recibir la especie representativa delcuerpo, que es extensa, formada, etc.?33 Nuevamente la similitud entre las dificulta-des de Descartes y las dificultades de Gödel es asombrosa. Descartes tenía queresponder a la pregunta: ¿dónde y de qué manera adquiere el alma, que es inextensa,información del mundo exterior que es extenso? Descartes respondió con cierta se-guridad: “en la glándula pineal”34. A pesar de la seguridad de Descartes el lectoradvierte muy pronto la ligereza. Gödel, en sus conversaciones con Hao Wang, ofrecióalguna vez una respuesta igualmente insatisfactoria: “Conjeturo que se necesita al-gún órgano físico para manipular las posibles impresiones abstractas...Tal órganosensorial debe estar cercanamente relacionado al centro neural del lenguaje. Peronosotros por ahora no conocemos lo suficiente y es probable que la teoría primitivaque sobre tales cuestiones tenemos en el presente momento sea comparable alestado de la teoría atómica en los tiempos de Demócrito.”35

En lo que sigue a continuación trataremos de hacer explícito el argumento que lepermite a Gödel sostener que los seres humanos no son enteramente espacio-tem-porales. En este caso nos apoyaremos especialmente en la conferencia que Gödelofreció en 1951 titulada “Some basic theorems on the foundations of mathematics andtheir implications”. Esta conferencia puede dividirse en dos partes. La primera deellas está también dividida en otras dos, de un lado una exposición de ciertos resul-tados lógicos y, del otro, las consecuencias directas de tales resultados. En la segun-da parte Gödel aduce una serie de consideraciones a favor del platonismo. Obviaremosla descripción de los resultados lógicos y nos concentraremos especialmente en lasconsecuencias.

Los resultados matemáticos que cita Gödel al comienzo de su conferenciaestán relacionados con la incompletabilidad o la inexhaustibilidad de las matemá-ticas. Los trabajos lógicos de Gödel han puesto en evidencia dos resultados quesirven de base para las reflexiones siguientes. En primer lugar, para cualquier siste-

33 Descartes, René. (1641), p. 778.34 Descartes, René. (1649), Art. 31, p. 977.35 Citado en Wang, Hao (1996), p. 233.


ma consistente bien definido de axiomas y reglas de inferencia existen problemasdiofánticos36 que son indecidibles por esos axiomas y reglas. En un sistema biendefinido debe ser posible listar los axiomas en algún formalismo preciso o, en casode tratarse de un número infinito de axiomas, aportar un procedimiento finito paralistarlos uno después del otro. En el caso de las reglas de inferencia, debe ocurrirque dadas cualesquiera premisas deben poderse escribir las conclusiones alcan-zadas por cada una de las reglas, o debe poderse determinar que no existe ningu-na conclusión inmediata a partir de tales reglas. El requisito para los axiomas ypara las reglas es equivalente a la condición que se exige para la construcción deuna máquina finita en el sentido de Turing37. En segundo lugar, dado que la pregun-ta por la consistencia de un sistema bien definido de axiomas y reglas de inferenciaes una cuestión matemática bien definida, tal pregunta se puede transformar enuna cuestión teorética de números (es posible, entonces, hacer uso de las traduc-ciones gödelianas). Una vez establecida la traducción, es posible mostrar que: laproposición que establece la consistencia del sistema (o más bien, la proposiciónteorética de números equivalente) es indemostrable a partir de tales axiomas yreglas con tal de que tales axiomas y reglas sean consistentes y basten para deri-var una cierta porción de la aritmética finitista. Nadie puede construir un sistemaformal y afirmar con sentido que él percibe con certeza matemática que los axio-mas y reglas son correctos y creer, al mismo tiempo, que contiene todas las mate-máticas. Si alguien afirma esto, debe reconocer también que percibe la consisten-cia del sistema. Ahora bien, dado que la consistencia no es demostrable con lasherramientas del sistema, esta persona afirma percibir la verdad de algo que nopuede ser probado en el mismo y por esa razón debe abandonar la pretensión deque el sistema contenga toda la matemática.

Todo lo anterior nos obliga a responder la siguiente pregunta con mucha precau-ción: ¿significa esto que ningún sistema bien-definido de axiomas correctos puedecontener toda la matemática? Gödel admite que esta pregunta tiene una doble res-puesta dependiendo del sentido que le demos a la expresión toda la matemática. Esposible hablar de toda la matemática en un sentido objetivo si con ello nos referimosa todas las proposiciones matemáticamente verdaderas en un sentido absoluto. Y esposible hablar de toda la matemática en un sentido subjetivo si con ello nos referi-mos al sistema de todas las proposiciones matemáticamente demostrables. Si adop-tamos el sentido objetivo debemos responder que efectivamente ningún sistemapuede contener toda la matemática; el sistema no podría demostrar, por ejemplo, laconsistencia del mismo. Si adoptamos el sentido subjetivo no es cierto que ningúnsistema contenga toda la matemática, pues nada prohibe la existencia de una reglafinita que genere los axiomas evidentes de la matemática subjetiva. No obstante,

36 véase UPFMS, pp. 363-367.37 El teorema mencionado es entonces equivalente al hecho de que no existe ningún procedimiento finito para la

decisión sistemática de todos los problemas diofánticos. (SBT, p. 308).


ningún sistema finito de reglas podría capturar nuestra intuición matemática, pues sifuera así conoceríamos su consistencia y esto va más allá de las reglas. Si esta reglaexistiese no podríamos conocerlo en forma absolutamente segura y general, tan sólopodríamos advertir la verdad de una proposición tras otra para un número finito de lasmismas. En este caso tendríamos que admitir que la mente humana equivale a unamáquina finita que es incapaz de conocer completamente su funcionamiento. Si lamente humana tuviera las limitaciones de una máquina finita la matemática objetivano sólo sería incompletable en el sentido de no estar contenida en ningún sistemaaxiomático bien-definido, sino que habría problemas diofánticos absolutamenteirresolubles. Estos problemas no se podrían resolver por ninguna prueba que la men-te humana pudiese concebir (SBT, p. 310). Esto conduce a Gödel al siguiente dilema:“O la matemática es incompletable en el sentido de que una regla finita no puedenunca abarcar sus axiomas evidentes, es decir, que la mente humana (incluso en elreino de la matemática pura) sobrepasa infinitamente la potencia de cualquier má-quina finita, o bien existen problemas diofánticos absolutamente irresolubles.” (SBT,p. 310). Gödel aclara a continuación que nada excluye que las dos alternativas se densimultáneamente. Esta posibilidad constituye entonces una tercera alternativa. Laprimera alternativa nos lleva a sostener que el funcionamiento de la mente humana nose puede reducir al funcionamiento del cerebro, el cual se puede concebir como unamáquina finita con un número finito de partes. La segunda alternativa nos lleva aoponernos radicalmente a quienes sostienen que las matemáticas son sólo nuestracreación38. De nada serviría ofrecer como ejemplo el hecho de que nosotros construi-

38 Gödel ofrece inicialmente tres argumentos contra una perspectiva constructivista de las proposiciones mate-máticas. En primer lugar, si la matemática fuera una libre creación nuestra, podríamos ignorar algunas cuestiones rela-tivas a nuestras creaciones únicamente en virtud de la falta de una descripción completa o en virtud de algunas dificul-tades prácticas. Tal ignorancia debería disminuir tan pronto como perfeccionamos nuestras construcciones y mejoramosnuestras técnicas. No obstante, las matemáticas modernas han perfeccionado, de una manera insospechada, las téc-nicas de construcción y no se han eliminado, ni siquiera disminuido, las cuestiones problemáticas en matemáticas. Ensegundo lugar, la propia actividad de los matemáticos no exhibe en forma clara la pretendida libertad de creación delmatemático: cada teorema nuevo restringe más y más la mencionada libertad. En tercer lugar, si los objetos matemáti-cos fueran nuestras libres creaciones, los enteros y los conjuntos de enteros serían creaciones completamente dife-rentes. Sin embargo, nosotros necesitamos de los segundos si queremos demostrar algunos teoremas básicos en re-lación con los primeros. A pesar del carácter convincente de los argumentos, Gödel reconoce que están dirigidos haciaun contrincante frágil. Es necesario responder a una versión más fuerte de constructivismo. El contrincante más fuerteque Gödel puede imaginar es, precisamente, el convencionalista. En particular, el convencionalismo de Carnap. En pri-mer lugar, si las proposiciones matemáticas fueran tan sólo expresión de tautologías, sería posible concebir un proce-dimiento mecánico para decidir acerca de la verdad o falsedad de cada una de ellas. Como este procedimiento no pue-de existir, habrá que renunciar a la pretendida tautologicidad de las proposiciones matemáticas. En segundo lugar, sicada proposición matemática demostrable se puede deducir a partir de las reglas acerca de la verdad y falsedad de lasproposiciones (sin tener la necesidad de conocer nada acerca de los supuestos objetos que describen), puede ocurrirque tales reglas se constituyan en medios para entender el significado de las fórmulas. Sin embargo, si una teoría talquiere probar el carácter tautológico de los axiomas, debe empezar por asumir que tales axiomas son verdaderos. Asílas cosas, en lugar de definir el significado de tales axiomas por medio de convenciones simbólicas, debemos conocerprimero su significado para entender las convenciones sintácticas. En tercer lugar, si queremos probar la consistenciade la teoría clásica de números debemos hacer uso de ciertos conceptos abstractos tales como conjunto, demostra-ble, función de enteros. Estos conceptos no son sintácticos. Hay un sentido en el cual es acertado afirmar que las pro-posiciones matemáticas carecen de contenido: ellas no enuncian nada acerca de las realidades físicas o psíquicas.Pero no por ello, piensa Gödel, estamos obligados a negar que tales proposiciones describen una realidad objetiva y sereduzcan por eso a enunciar nuestras creaciones arbitrarias. Las proposiciones matemáticas se ocupan de las relacio-nes entre conceptos y los conceptos nos son dados en la intuición matemática en una forma análoga a como los obje-tos físicos nos son dados en la intuición sensible.


mos máquinas mecánicas y no estamos obligados a conocer todos los detallesrelacionados con su funcionamiento. La analogía no es completa, pues no construi-mos nuestros motores a partir de la nada, sino que los elaboramos a partir de unmaterial dado cuya estructura última podemos perfectamente desconocer. Todo estosugiere que los objetos y hechos matemáticos existen en forma objetiva y son inde-pendientes de nuestros actos mentales (STB, p. 311). En otras palabras, la elecciónes entre: el fisicalismo es falso, el platonismo es verdadero, o ambas. El argumentode Gödel se puede sintetizar de la siguiente manera:

(1) Si nuestra mente pudiese reducirse a un dispositivo espacio-temporal y, enese sentido, asimilarse a una máquina finita de Turing, sólo podríamos contemplarcomo verdaderos aquellos teoremas producidos directamente por tal máquina.

(2) Nosotros podemos reconocer algunas verdades que no podría producir unamáquina de Turing finita que reproduce fielmente un fragmento importante de lasverdades que nosotros reconocemos por nuestros medios.

(3) Por lo tanto, nuestra mente no puede reducirse a un dispositivo espacio-temporal.

También podemos presentar la conclusión del argumento así: la mente humana nopuede mecanizar –o formalizar- todas sus intuiciones matemáticas. Si tiene éxito alformalizar algunas de ellas, este hecho disparará nuevo conocimiento intuitivo. La men-te puede, por ejemplo, advertir la propia consistencia de un sistema formal y esto ya nolo puede demostrar con los axiomas previos. En este punto se resume laincompletabilidad de las matemáticas. En otras palabras: si la mente humana esreductible a una máquina de Turing, habrá cuestiones teoréticas de la teoría de núme-ros que resultan inexorablemente desconocidas para ella. Dado que no hay evidenciade tales cuestiones se sigue, entonces, que la mente no es reductible a una máquinade Turing. Sin embargo, el argumento no es del todo concluyente. El argumento sóloestablece que es muy difícil esperar que la mente humana sea una máquina de Turing.No se descarta de plano tal posibilidad. Gödel era consciente de dicha dificultad: “Losresultados de incompletitud no descartan la posibilidad de que exista un computadorque pruebe teoremas y que sea, en efecto, equivalente a la intuición matemática. Peroello implica que, en un caso tal, o bien no conocemos la especificación exacta delcomputador o desconocemos que funciona correctamente.”39

El argumento de Gödel se puede presentar en términos más generales para captarun nuevo parentesco con el argumento de Descartes. Si la mente fuera un dispositivomecánico hay tareas que no podría realizar, nosotros podemos realizar tales tareas, porlo tanto, la mente no es un dispositivo mecánico. En la quinta parte del Discurso delMétodo, Descartes ofreció un argumento para mostrar, por un lado que el alma no se

39 Citado en Wang Hao (1996), p. 186.


puede reducir a un mecanismo y, por otro lado, que otros seres humanos diferentes amí poseen también un alma. En primer lugar, Descartes plantea que se pueden expli-car todos los aspectos de la conducta animal partiendo de la hipótesis de que elanimal es un autómata. Descartes era un experto en fisiología especulativa. Hoy diría-mos que también podemos explicar el funcionamiento de una máquina que produzcaun número bastante elevado de proposiciones verdaderas de la teoría de números.Descartes sostuvo después que el hombre posee ciertas facultades que no se puedenexplicar por medios mecánicos aunque buena parte de las conductas del hombre sí sepuedan explicar así. Es precisamente el lenguaje humano el que exhibe la diferenciamás importante entre el animal y el hombre; o entre un mecanismo sofisticado y elhombre. Deseo citar en extenso el argumento de Descartes:

En este lugar de mi tratado me detuve de forma particular en hacer ver que, sihubiese máquinas tales que tuviesen los órganos y la figura de un mono o cual-quier otro animal sin razón, no tendríamos medio alguno para reconocer que talesmáquinas no tuviesen la misma naturaleza que estos animales. Por el contrario, sihubiese alguna que tuviese semejanza con nuestro cuerpo e imitase todas nues-tras acciones tanto como moralmente fuese posible, tendríamos siempre mediosmuy seguros para conocer que no serían verdaderos hombres. El primero es quenunca podrían usar palabras, ni componer otros signos, como nosotros hacemos,para manifestar a otros nuestros pensamientos. Pues puede fácilmente pensarseque una máquina esté hecha de forma tal que profiera palabras e inclusive queprofiera algunas a propósito de acciones corporales que causasen cierto cambioen sus órganos, como si se pulsa en un cierto lugar que pregunte qué se le quieredecir y si se le pulsa en otro que grite que se le hace daño y cosas semejantes; perono será capaz de utilizar de forma diversa las palabras, para responder con sentidoa todo cuanto se le diga en su presencia, tal y como los hombres menos capacita-dos pueden realizar. El segundo es que aunque fuesen capaces de ejecutar variasacciones tan correctamente o mejor que ninguno de nosotros, fallarían sin duda enotras, en virtud de lo cual descubriríamos que no obran por conocimiento, sinosolamente en virtud de la disposición de sus órganos. Pues, así como la razón esun instrumento universal, capaz de servir en cualquier circunstancia, estos órga-nos, por el contrario, exigen una disposición particular para cada acción concreta.Por lo cual es moralmente imposible que exista una máquina con tal variedad deresortes dispuestos en una forma tal que pudieran hacerla actuar en todas lascoyunturas de la vida, tal y como nos hace actuar nuestra razón.40

Descartes está pensando en máquinas compuestas de resortes y animadas porcircuitos hidráulicos; Gödel está pensando en máquinas de Turing instanciadas, qui-

40 Descartes, René (1637), pp 628-629.


zá, en circuitos eléctricos. Descartes cree que una máquina con resortes no podríahablar con sentido en la forma como nosotros lo hacemos; Gödel cree que una má-quina de Turing no podría advertir la consistencia de la teoría de números, o su propiaconsistencia de la manera como nosotros lo hacemos. Las máquinas, cree Descar-tes, no podrían usar el lenguaje como nosotros lo hacemos. Las máquinas, creeGödel, no podrían hacer matemáticas como nosotros lo hacemos. En opinión tantode Descartes como de Gödel, las máquinas no obran por conocimiento sino en virtudo bien de la disposición de sus órganos, como cree Descartes, o bien en virtud de unarreglo sintáctico, como cree Gödel.

A juzgar por la estructura del argumento de Benacerraf, la defensa del platonismo,contrario a lo que podría esperar Gödel, exige que las dos alternativa avizoradas en laconferencia Gibbs sean correctas: el fisicalismo es inadecuado y el realismo de losobjetos abstractos es correcto. La segunda parte de la disyunción señalada por Gödelcoincide con la segunda premisa de Benacerraf. Por lo tanto, no es posible debilitar elargumento de Benacerraf si, en forma simultánea, no ocurre que la primera parte de ladisyunción de Gödel niegue la fortaleza de la primera premisa de Benacerraf. En otraspalabras, no basta con sugerir que los objetos matemáticos no son creación nuestra yexisten por fuera del espacio-tiempo. También es necesario mostrar las limitacionesdel fisicalismo y dejar claro que la mente no es reductible a alguna explicación espacio-temporal. Es precisamente este segundo aspecto el que falla en la defensa de Gödel.Sus argumentos, tal como lo reconoce él mismo, sólo establecen la posibilidad de queuna máquina que prueba teoremas no pueda captar en forma completa la intuiciónmatemática; no demuestran esto con absoluta seguridad. Tan consciente era Gödel dela debilidad de su argumento contra el fisicalismo, que en ocasiones optó por ofrecerargumentos empíricos. Gödel creía que se podría demostrar que el tiempo necesariopara que fuera posible la formación, a partir de las leyes de la física, de seres vivos quede alguna manera replican las características esenciales de un ser humano, era com-parable al tiempo que deberíamos esperar para que, por simple azar, se separaran loscomponentes de la atmósfera terrestre41.

El esquema central del argumento de Gödel, presentado en la conferencia Gibbs,es el siguiente:

i) Hay tareas que una máquina, en particular una máquina de Turing, no puederealizar: la máquina no puede demostrar su propia consistencia.

ii) Nosotros podemos adelantar tales tareas: podemos reconocer la consisten-cia de un sistema porque podemos explorar por fuera de él –contamos con intui-ción matemática-.

iii) Por lo tanto, no somos máquinas.

41 Véase en Wang, Hao (1996), p. 192.


La debilidad del argumento reside en no lograr mostrar de una manera indubita-ble la fuerza de la primera premisa. En 1961, diez años más tarde, J. R. Lucaspropuso un argumento similar que se puede resumir en los siguientes términos: unamáquina de Turing no podría tener información acerca de los fenómenos deincompletitud42. A una máquina se le podría anexar otro dispositivo que produjera unaformula que la primera máquina no pudiese producir. No obstante, ésta última seríauna máquina diferente a la inicial. Dado que la mente es consciente de los fenóme-nos de incompletitud sin que sea necesario anexar un dispositivo que la convierta enalgo diferente, debemos concluir que las mentes no son máquinas de Turing. Un serconsciente, según Lucas, puede serlo de sí mismo y de otras cosas sin que se letenga que analizar como divisible en partes. La clave del argumento reside en lasiguiente creencia: no es posible construir una máquina que considere su propiaactuación sin convertirla en una máquina diferente, es decir, sin agregar un dispositi-vo que identifique formulas gödelianas en la matriz original.

Podemos argumentar, a manera de síntesis y siguiendo a Gödel, que adquirimosconocimiento de los objetos matemáticos abstractos de la misma manera comoadquirimos el conocimiento de los objetos físicos concretos. Conocemos los objetosfísicos por medio de la percepción sensorial y los objetos abstractos por medio de laintuición matemática. Si pudiéramos mantener que las mentes humanas son ellasmismas inmateriales y no-espacio-temporales, podríamos ser capaces de construiruna visión de acuerdo con la cual adquiriríamos información acerca de los objetosmatemáticos aún cuando no hubiese señales que pasan del reino matemático alreino espacio-temporal. No obstante, hemos de concluir que el argumento de Gödelno resuelve definitivamente el aspecto no-espacio-temporal de la mente y, en conse-cuencia, no es todavía posible estructurar, a partir de él, una defensa completa delplatonismo.

1.3 ¿Es la matemática sintaxis del lenguaje?

“No deseamos sentar prohibiciones, sino más bien estipular convenciones.”Rudolf Carnap43

Una de las mayores preocupaciones en la obra filosófica de Gödel se puedesintetizar en la obsesión por demostrar que las proposiciones matemáticas poseenalguna clase de contenido. En otras palabras, Gödel estaba profundamente intere-sado en demostrar que las proposiciones matemáticas son descriptivas. Podría-mos esperar, en principio, que quien está interesado en dicha empresa haga todolo posible por poner en evidencia en forma positiva la realidad que se pretende

42 Lucas, J. R. (1961).43 Carnap, R (1937), § 17, p. 51


describir. No obstante, la estrategia de argumentación de Gödel suele avanzar enotra dirección. Hasta donde he tenido la oportunidad de seguir los argumentos dellógico austríaco, creo que se puede resumir en los siguientes términos su estrate-gia particular: mostrar que quienes defienden la falta de contenido de las proposi-ciones matemáticas no logran explicar cabalmente la construcción efectiva del co-nocimiento matemático, ni logran dar cuenta de algunos resultados absolutamentedeterminantes, asociados, usualmente, con los fenómenos de incompletitud. Delfracaso de tales programas se debe inferir, espera Gödel, la plausibilidad de losintentos por dotar de contenido a las proposiciones matemáticas y por dar, en elterreno epistemológico, un lugar adecuado a alguna forma de intuición matemáti-ca. Todo ello conduce a justificar un programa de investigación orientado a estable-cer las condiciones de posibilidad del conocimiento de los conceptos abstractos.Uno de los contrincantes centrales en este debate es, sin duda, el programaconvencionalista de Carnap. Otro espacio vital para el intercambio de argumentosen la dirección que hemos resaltado habría sido, sin duda, la figura de Wittgenstein.Sin embargo, ni Gödel conocía en forma detallada la argumentación wittgensteiniana;ni Wittgenstein tenía acceso a los escritos gödelianos de corte filosófico. Procurare-mos reconstruir la argumentación de Gödel en contra del programa convencionalistade Carnap para explorar, posteriormente, qué tanto de la argumentación se puedeigualmente esgrimir contra la pretensión wittgensteiniana de despojar de conteni-do a las proposiciones de la matemática.

Bajo la influencia de Wittgenstein, Carnap llegó a la convicción absoluta e inamo-vible según la cual todos los llamados problemas clásicos de la filosofía son real-mente seudoproblemas. Ninguno de ellos constituye en estricto sentido un problemalegítimo. Ellos surgen simplemente por la falta de una visión completa de la maneracomo funciona nuestro lenguaje. Este rasgo de la filosofía wittgensteiniana es, a lavez, la expresión de una máxima a la que Carnap nunca renunció. Más aún, Carnapllegó a adoptar una postura antimetafísica militante y extrema. Los miembros delCírculo de Viena leyeron y estudiaron con sumo cuidado cada uno de los aforismosdel Tractatus Logico Philosophicus. Después quisieron hacer del texto un NovumOrganum para la ciencia44. Aunque Carnap afirmaba compartir el espíritu general delTractatus, tenía cierta resistencia a reconocer en la distinción entre decir y mostrar unadistinción esencial. Wittgenstein afirmaba que una de las tareas centrales del Tractatusconsistía en señalar que hay cuestiones que se muestran en el uso de un simbolismoadecuado y que no se pueden expresar de ninguna manera valiéndose del mismosimbolismo. Por ejemplo, la estructura lógica de las proposiciones y su relación conel mundo. Carnap, contrario a la recomendación de Wittgenstein, sostuvo durantetoda su vida que es posible hablar con sentido acerca del lenguaje y de la relación

44 En el próximo capítulo formularemos algunas críticas a esta actitud frente a la obra temprana de Wittgenstein.También nos ocuparemos de la distinción entre decir y mostrar sugerida en el Tractatus.


entre una proposición y el hecho que describe. El creía que se puede adelantar esatarea aún valiéndose del mismo lenguaje45. Esta teoría del lenguaje aportaría la geo-metría del mismo bajo la forma de sintaxis lógica del lenguaje. Carnap confiaba en laposibilidad de expresar la sintaxis de un lenguaje en ese mismo lenguaje sin caer encontradicciones o antinomias emergentes. Es precisamente en este sentido que lalectura que hace Carnap del Tractatus no lo conduce a un abandono de la actividadfilosófica sino a una reorientación de la misma. Carnap pretende poner a salvo a laciencia de toda metafísica emergente.

Los primeros intentos por concebir un sistema general llevaron gradualmente aCarnap a adoptar una actitud neutral con respecto a las formas de lenguaje utilizadaspor algunas escuelas filosóficas. Por ejemplo: debemos adoptar una actitud neutralfrente al lenguaje fenomenalista acerca de los datos de los sentidos y al lenguajerealista sobre las cosas y los hechos perceptibles. Esa neutralidad perfiló las nuevasresponsabilidades del filósofo profesional: investigar las diversas formas de lenguajeposible para exhibir sus propiedades características46. Esta actitud neutral condujo aCarnap a defender en forma vehemente el Principio de tolerancia. Desde el punto devista de Carnap, cada uno es libre de elegir las reglas de su lenguaje, y por tanto deelegir su lógica de la manera que desee. Carnap también se refirió a este principio conel nombre de principio de convencionalidad de las formas de lenguaje47. En la Sintaxislógica del lenguaje Carnap presenta el principio en estos términos: “En lógica no haypreceptos. Quienquiera puede armar su propia lógica, esto es su propia forma delenguaje, como él desee. Todo lo que se le exige es que, si él desea discutirla, debeestablecer claramente sus métodos, y dar las reglas sintácticas en lugar de argumen-tos filosóficos”48. Las querellas filosóficas son, por lo general, estériles. Las discusio-nes entre fenomenalismo y fisicalismo, o entre las diferentes escuelas de fundamentaciónde las matemáticas son un buen ejemplo. Esas discusiones deberían dirimirse aten-diendo a las propiedades sintácticas de las diversas formas de lenguaje y a las razo-nes prácticas que llevan a preferir una u otra forma de lenguaje para un fin determinado.No tiene sentido preguntarse si un determinado lenguaje es el bueno o el que se ajustaa la lógica correcta. Esa pregunta está orientada por un pseudoproblema filosófico. Asípor ejemplo, la discusión entre realistas, idealistas y solipsistas no se dirime aportandonuevos argumentos a favor del realismo. Se resuelve haciendo notar que lo necesariopara la ciencia es la aceptación de un lenguaje realista; en tanto que la insistencia en latesis de la realidad del mundo externo no deja de ser una adición vacía al sistema de laciencia: una decoración innecesaria49. En otras palabras, lo que parece ser la formula-ción de una tesis poderosa no tiene el carácter descriptivo que parece tener. Ella es sólo

45 Gödel apoyaba esta forma particular de leer el Tractatus: “Usar el tractatus en la forma en la que Carnap lo hacetiene algún valor.” (Citado en Wang, H. (1996), p. 180.)

46 Carnap, R (1992), p. 87.47 Ibid, p. 102.48 Carnap, R (1937), § 17, p. 52.49 Carnap, R (1992), p. 90.


la formulación de una forma de expresión. En los términos de Wittgenstein: que hayobjetos se muestra en el uso que hacemos de variables en nuestro simbolismo, aque-llo no puede expresarse por medio del simbolismo50.

Una de las aplicaciones más fuertes del principio de tolerancia tiene que ver, preci-samente, con las querellas asociadas con los programas de fundamentación de lamatemática. No es un secreto que el filósofo profesaba una especial simpatía por ellogicismo. No obstante, Carnap supo reconocer las fortalezas de las escuelas opues-tas. Reconoció, por ejemplo, la perspectiva constructivista recomendada por la escue-la intuicionista51 y la concepción de la metamatemática enfatizada por la escuela for-malista52. Estos dos elementos desempeñan un papel central en la arquitectura deLogical Syntax. La aplicación del principio de tolerancia no sólo condujo a Carnap adefender una forma de pluralismo lógico matemático, sino que lo llevó también a sos-tener que: “las proposiciones logico-matemáticas son analíticas, con ningún contenidoreal, y son meramente auxiliares formales”53. Este es precisamente el punto central dela reacción de Gödel. Mientras Carnap afirma que las discusiones acerca de los funda-mentos de la matemática surgen porque nosotros creemos que estamos discutiendoacerca de objetos extralingüísticos tales como números, propiedades, etc.; Gödel de-fiende que las proposiciones matemáticas efectivamente describen las relaciones queguardan entre sí los conceptos abstractos considerados como entidades.

Entre 1953 y 1959 Gödel escribió seis contribuciones diferentes para el volumende la serie The library of living philosophers en honor a Carnap. Ninguna de estasversiones se publicó finalmente. Todas tenían el título ¿Is mathematics syntax oflanguage? Gödel no estaba conforme con ninguna de las seis versiones y aunquereconocía que sus argumentos eran decisivos sentía, no obstante, que la situación no

50 En el prefacio que Carnap preparó para su Logical Syntax en 1934 se afirma que, bajo las nuevas orientaciones,Wittgenstein estaría de acuerdo en que las reglas del lenguaje se pueden elegir con completa libertad (Carnap (1937), p.xvi). En el desarrollo del presente trabajo se mostrará, entre otras cosas, que la pretendida arbitrariedad en las reglas dellenguaje en Wittgenstein es de una naturaleza completamente diferente a la defendida por Carnap.

51 Esta perspectiva se incorporó como un rasgo esencial del denominado Lenguaje I en Logical Syntax.52 La presentación de Carnap en el simposio acerca de los fundamentos de la matemática, adelantado en Königsberg

en 1931, es un hermoso ejemplo de una presentación no-dogmática. Carnap tuvo a su cargo la presentación del progra-ma logicista. Sin embargo no se concentró en mostrar las bondades y fortalezas del programa, sino que se centró enmostrar lo que, a su juicio, era la dificultad más fuerte del programa. “Dado que deseo presentarles un esquema generalde los rasgos sobresalientes de la construcción logicista de las matemáticas, yo creo que no debería indicar solamenteaquellas áreas en las cuales el programa ha sido completamente, o al menos parcialmente, exitoso, sino llamar tam-bién la atención sobre las peculiares dificultades de esta aproximación.” (Carnap (1931), p. 41). Después de mostrar lasdos razones que llevaron a Russell a proponer una teoría de tipos ramificada y después de mostrar las críticas queRamsey formuló a la innecesaria sofisticación introducida por Russell a la teoría de los tipos, Carnap procedió a criticarla perspectiva platónica de Ramsey y a sugerir una alternativa que reconociera las críticas de Ramsey sin caer en elplatonismo indicado. Para formular su recomendación, Carnap se apoyó en dos ideas centrales de los programas deinvestigación rivales: “El logicismo, como se ha descrito aquí, posee rasgos comunes tanto con el intuicionismo comocon el formalismo. Comparte con el intuicionismo una tendencia constructivista con respecto a la definición, una ten-dencia que Frege también defendió enfáticamente. Un concepto no puede introducirse axiomáticamente, sino que debeser construido a partir de conceptos primitivos indefinidos paso a paso a través de definiciones explícitas... El logicismotiene también una afinidad metodológica con el formalismo. El logicismo propone construir el sistema lógico-matemáti-co en una forma tal que, aunque los axiomas y reglas de inferencia son elegidos con una interpretación de los símbolosprimitivos en mente, no obstante, las cadenas de deducciones y de definiciones son llevadas a cabo formalmente comoen un cálculo puro, esto es, sin referencia al significado de los símbolos primitivos.” (Carnap, R. (1931), p. 52). Gödel re-dactó en 1932 una breve reseña de la conferencia de Carnap. Véase CWI, pp. 243-245.

53 Carnap, R (1937), p. xiv.


estaba completamente desentrañada. La posición de Gödel en esencia es la mismaen todas las versiones. Aunque la versión III es la más extensa, yo encuentro en laversión V una presentación más clara del argumento. En lo sucesivo trataré de re-construir el argumento de Gödel a partir de la versión V.

Gödel reconoce que el positivismo lógico ha acertado cuando distingue radical-mente entre verdad matemática y verdad empírica. Las proposiciones matemáticasson verdaderas en virtud de los conceptos presentes en ellas. A pesar del acuerdo,Gödel se opone a identificar conceptos con símbolos, pues esa reducción sintácticaes la que transforma las proposiciones matemáticas en expresiones carentes decontenido. Gödel reconstruye la posición de Carnap a partir de tres tesis centrales:

(1) La intuición matemática puede ser remplazada por convenciones acercadel uso de símbolos y sus aplicaciones.

(2) No existen objetos o hechos matemáticos. Las proposiciones matemáti-cas, dado que son sólo consecuencias de convenciones acerca del uso de lossímbolos y, por lo tanto, son compatibles con todas las experiencias posibles,carecen entonces de contenido.

(3) Dado que las matemáticas se pueden presentar como un sistema complejode convenciones, es entonces posible conciliar la validez a priori de las matemáti-cas con el empirismo estricto54.

La intención de Gödel consiste en mostrar que las tres tesis son adecuadas sólosi usamos de una manera ilegítima los términos que aparecen en tales tesis; enparticular el término “contenido”. Gödel afirma que Carnap restringe el término “con-tenido” a un ámbito aceptable únicamente por los empiristas55. Cuando esos térmi-nos se usan en un sentido adecuado es posible advertir las dificultades de las tesismencionadas. La falta de contenido de las reglas sintácticas está basada en el he-cho de que ellas no implican ni la verdad ni la falsedad de ninguna proposición queexpresa un hecho empírico. Ahora bien, este rasgo exige la consistencia del sistemade reglas matemáticas, pues de ser el sistema inconsistente sería posible derivarcualquier proposición, incluso una proposición empírica. ¿Puede un sistema sintácticodemostrar su propia consistencia sin apoyarse en un lenguaje más poderoso o enalguna forma de intuición? Gödel sostiene que necesitamos de una intuición mate-mática para defender la consistencia de las matemáticas. Así las cosas, el conven-cionalismo no puede evitar una cierta circularidad en su argumentación: justifica el

54 Esto significa que no tenemos que acudir a ninguna clase de intuición a priori para establecer que las conven-ciones acerca del uso de los símbolos no serán invalidadas por la experiencia.

55 Warren Goldfarb ha mostrado de una manera detallada que la restricción del concepto de contenido al ámbitode los héchos empíricos, advertida por Gödel, es adecuada si pensamos en autores como Hahn y Schlick quienes su-bordinaban el concepto de analiticidad al concepto de tautologicidad sugerido por Wittgenstein. Lo mismo puede afir-marse de los primeros trabajos de Carnap. Esta restricción, sin embargo, ya no resulta del todo justa si evaluamos elCarnap de Logical Syntax. Carnap no exige una noción de “mundo empírico” que tendría que ser anterior a toda estructu-ra lingüística. Véase Goldfarb, W. (1995), p. 328.


uso de conceptos abstractos al interpretarlos sintácticamente, sin embargo talesconceptos son necesarios para justificar las reglas sintácticas porque es necesarioaportar una prueba de consistencia que, a juicio de Gödel, sólo se puede adelantar sise reconoce de antemano la intuición de los conceptos abstractos. No obstante,sería posible defender las tesis convencionalistas restringiéndose a las intuicionesmás sencillas referidas a combinaciones finitas de símbolos. Este movimiento deja-ría por fuera la mayor parte del conocimiento matemático realmente valioso. Si inten-tamos, por otra parte, fundar la consistencia en alguna clase de inducción empírica,las proposiciones matemáticas perderían el carácter convencional que pretenden lospositivistas y nos veríamos obligados a asignar algún contenido a tales proposicio-nes: “De cualquier manera es claro que la intuición matemática no puede ser reem-plazada por convenciones, sino únicamente por convenciones más intuición mate-mática, o por convenciones más un conocimiento empírico que envuelve, en un ciertosentido, un contenido matemático equivalente.” (MSLV, p. 358).

En otra línea de argumentación, Gödel sostiene que si el contenido de las matemá-ticas fuese una simple apariencia tendría que ser posible reconstruir satisfactoriamenteel conocimiento matemático sin hacer uso de tal pseudo-contenido. Para mostrar queesto no es posible, Gödel se apoya en los siguientes argumentos. En primer lugar, haybuenas razones para pensar que un argumento análogo nos llevaría a interpretar cadaley natural como una convención cuya admisibilidad se derivaría de la misma ley de lanaturaleza. La razón más fuerte para declarar a las proposiciones matemáticas comocarentes de contenido deviene del hecho de que ninguna proposición sintética se deri-va de ellas. Gödel concibió una analogía muy interesante para responder a dicha formu-lación. El pide que imaginemos un nuevo sentido físico cuyos objetos, aunque comple-tamente separados de los objetos percibidos por los sentidos restantes, exhiben lamisma regularidad que los objetos físicos y, en consecuencia, pueden ser descritospor un número finito de leyes. Nosotros podríamos, dado que ningún hecho empíricose sigue de las proposiciones asociadas con los objetos y hechos percibidos por estenuevo sentido, interpretar tales proposiciones como convenciones sintácticas sin con-tenido a las que no es necesario asociar ningún objeto o hecho particular. Esto sepuede hacer siempre que, en forma arbitraria, reservemos el término “realidad” para losobjetos descritos en virtud de la información que aportan los sentidos corrientes. Elejemplo muestra la ligereza con la cual nos sentimos inclinados a despojar de conteni-do a las proposiciones matemáticas. El conocimiento adquirido por este sentido ima-ginario sería completamente análogo al que proporciona la intuición matemática. Vea-mos un comentario análogo formulado por Gödel en la conferencia Gibbs:

Si se diera una división de hechos empíricos en dos partes A y B de tal maneraque nada en B implica algo en A, se podría construir un lenguaje en el cual lasproposiciones que expresan hechos de la clase B serían vacías de contenido. Ahora

bien, si su oponente dijera: “usted está dejando de lado algunos hechos B en formaarbitraria”, uno podría responder: “usted está haciendo lo mismo, por ejemplo, conla ley de la inducción completa, la cual yo percibo como verdadera sobre la base demi entendimiento (es decir, percepción) del concepto de entero. (SBT, p. 320).

En segundo lugar, al comparar con el funcionamiento interno de los movimientosque realizamos con las leyes de la naturaleza, podemos sentirnos igualmente inclina-dos a sostener que las leyes de la naturaleza carecen de contenido dado que ellas porsí mismas no implican nada asociado con la experiencia. “Las leyes de la naturalezasin matemáticas o lógica”, advierte Gödel, “implican tan poco acerca de las experien-cias como las matemáticas sin las leyes de la naturaleza.” (MSLV, p. 360). Sólo cuandoanexamos los resultados matemáticos a las leyes naturales, podemos derivar proposi-ciones que describen hechos observables que contribuirían a validar o refutar una teoríacientífica particular. Aún así las proposiciones matemáticas no expresan propiedadesfísicas de las estructuras involucradas, sino propiedades de los conceptos a partir delos cuales describimos los objetos físicos. Esto muestra que las propiedades de talesobjetos son tan objetivas e independientes de nuestras elecciones, como lo son laspropiedades que le asignamos a los objetos materiales. El argumento de Carnap,según Gödel, funciona perfectamente si se restringe el concepto de contenido al ámbi-to de contenido fáctico. Efectivamente tendríamos que decir que las proposiciones dela matemática carecen de contenido fáctico pues nada en el mundo las valida o lasinvalida y, en consecuencia, pueden ser aseveradas en cualquier circunstancia: deninguna proposición matemática se infiere la verdad o la falsedad de un hecho fáctico.Sin embargo, una noción más amplia de contenido nos obligaría, según Gödel, a invo-lucrar el carácter objetivo de los conceptos abstractos.

El programa convencionalista exige, pues, una prueba de consistencia de lasmatemáticas, pues en caso de ser inconsistentes cualquier proposición empírica sepodría derivar de ellas y así las proposiciones matemáticas dejarían de ser analíticas.Si se elimina el recurso a alguna forma de intuición matemática para evitar adscribirlealguna clase de contenido a las proposiciones matemáticas, no queda otro recursomás que alguna clase de inducción empírica para ofrecer una justificación de laconsistencia del sistema. Sin embargo, no es posible apoyarse en alguna forma deinducción empírica sin asignarle contenido descriptivo a las proposiciones matemá-ticas. En otras palabras, el único recurso para salvar la consistencia consiste enatribuir alguna forma de contenido: o bien contenido fáctico (apoyándose en unainducción empírica), o bien contenido abstracto (apoyándose en una intuición mate-mática). No es posible, concluye Gödel, eliminar la intuición matemática o la induc-ción empírica y justificar con argumentos convencionalistas la verdad, y mucho me-nos la a prioricidad, de las proposiciones matemáticas (MSLIII, p. 347).

No hay duda en que el Tractatus es un libro de filosofía fuera de lo común, diría-mos también que es un libro de lógica fuera de lo común. Uno de sus rasgos mássobresalientes tiene que ver con el hecho de que no se expone allí ninguna doctrinaque pretenda dar una solución acabada a algún problema particular de la filosofía.Esto se puede sostener aunque el autor afirme, en el prologo del texto, que la verdadde los pensamientos que allí se comunican es intocable y que los problemas allítratados resultan, en lo esencial, resueltos en forma definitiva. La dificultad del Tractatusno se encuentra en la complejidad de la notación que usa, tampoco se encuentra enel lenguaje especializado que un libro de filosofía suele tener. ¿Por qué razón es tandifícil seguir el Tractatus? En el prefacio Wittgenstein advierte que quizá el libro sólopueda ser entendido por aquel que haya tenido los mismos pensamientos que allí seexpresan. Si tomamos literalmente la observación arribamos, entonces, a una situa-ción paradójica: puedo entender el libro si ya he tenido los mismos pensamientos,caso en el cual el libro pierde su interés, en el caso contrario simplemente no loentenderé. El Tractatus exige que cambiemos nuestra actitud hacia lo que común-mente se denomina un problema y una exposición filosófica. Lo que el Tractatuspretende expresar no se puede presentar por medio de proposiciones, de ahí elcarácter paradójico de su penúltima observación: aquel que ha entendido el Tractatusdebe reconocer que sus formulaciones carecen de sentido y debe abandonar la doc-trina de TLP pues habrá adquirido así la visión adecuada del mundo (TLP, 6.54). No esfácil entender tales recomendaciones y es precisamente este punto el que transfor-ma el Tractatus en un libro muy difícil de seguir. El que ha entendido el libro no puede,por medio de proposiciones, expresar lo que quiere decir. ¿A qué llamamos entoncesentender el Tractatus, sobre todo cuando el mismo autor ha indicado que sus aforis-

CAPITULO 2SENTIDO Y SINSENTIDO EN EL

TRACTATUS LOGICO PHILOSOPHICUS:PROPOSICIONES MATEMATICAS

“Los metafísicos son músicos sin ninguna habilidad musical”Rudolf Carnap1

1 Carnap, Rudolf (1932), p. 80.


mos carecen de sentido? ¿A qué denomina Wittgenstein tener la visión adecuada delmundo, si con ello no alude a un esquema conceptual? Creo que la parte más com-pleja de la obra de Wittgenstein no tiene que ver precisamente con entender las tesisque en principio podríamos atribuirle al autor, sino con entender y asimilar tanto lametodología como la naturaleza de la actividad filosófica que propone.

En el presente capítulo pretendo ocuparme de las preguntas anteriores. Aunquemi preocupación central está relacionada con la naturaleza de las proposicionesmatemáticas, dicha preocupación, como pretendo mostrar, está íntimamente ligadacon las preocupaciones relacionadas con la naturaleza de las llamadas proposicio-nes filosóficas y psicológicas. En la primera parte del capítulo me ocupo de la mane-ra como Wittgenstein entiende la noción de sentido en el Tractatus. En la segundaparte me ocupo de la falta de sentido. En la tercera parte pretendo esclarecer lamanera como debemos entender la alusión wittgensteiniana a la falta de sentido delas proposiciones matemáticas. En la cuarta parte me ocupo de la falta de sentidoque Wittgenstein atribuye a los aforismos del Tractatus. Por último, pretendo estable-cer un paralelo entre la noción wittgensteiniana de elucidación y el estilo de clarifica-ción practicado por Heinrich Hertz. Este último punto nos da la posibilidad de enten-der en forma más clara el tipo de práctica filosófica presente no sólo en el Tractatus,sino también en el Wittgenstein tardío. De hecho creo que es posible defender queasí como Hertz quería ofrecer una clarificación de la mecánica eliminando aquellosproblemas que se originaban en una confusión conceptual motivada por una formade expresión, Wittgenstein pretendía también ofrecer una clarificación del lenguajepara evitar las confusiones conceptuales motivadas por una forma de expresión. Sientendemos ésta dimensión particular de su metodología, podremos contemplarsus comentarios al teorema de Gödel desde otra perspectiva.

La filosofía, según el autor, no es un cuerpo de proposiciones y en ese sentido noes una teoría. La filosofía como actividad debe ocuparse del esclarecimiento de lasproposiciones. La anterior formulación resume, quizá, la recomendación más radicaldel pensamiento wittgensteiniano, no sólo del primer período sino de toda su obra engeneral. Llegar a entender a cabalidad dicha postura ha sido, quizá, la tarea máscompleja de los comentaristas. Sobra advertir también que por no entender dicharecomendación se han tejido las interpretaciones más equivocadas de la obra deWittgenstein. Este ejercicio de esclarecimiento al que alude el autor permite delimitarel campo de lo decible, el campo que perfila la expresión de los pensamientos2. Estatarea deja por fuera precisamente una serie importante de dificultades que en tiem-pos anteriores había ocupado a las mentes más ilustres del pensamiento occidental.

2 En el presente punto es importante que el lector tome nota de la forma como Wittgenstein plantea el problema enel prologo de TLP. En particular, me interesa resaltar la marcha atrás que experimenta el autor. Aclaremos. En primer lugar,el autor anota que está interesado en trazar los límites del entendimiento, pero acto seguido hace un alto repentino en elcamino y sugiere una corrección: el entendimiento no puede trazar desde adentro los límites pues para ello tendría queestar ubicado también del otro extremo (tendría que poder pensar lo que de hecho trata de advertir como impensable). Elpropósito, entonces, se transforma en trazar los límites de lo que se puede expresar. De hecho es efectivamente posibleque tratemos de expresar muchas cosas que traspasan ese límite: “recuerdo que mañana me caí” es un buen ejemplo.


En ese orden de ideas, y a manera de ejemplo, aunque el libro mencione la palabra“ética”, no pretende con ello ser un libro de ética; su intención es, a propósito deltema, aclarar el papel de las llamadas proposiciones de ética; es decir, poner enevidencia que no puede haber tales proposiciones. Algo similar puede afirmarse apropósito de las matemáticas. Esto es, el Tractatus no es un libro acerca de la natu-raleza de los objetos matemáticos, tampoco es un texto de filosofía de las matemá-ticas en el sentido clásico; su preocupación gira, realmente, alrededor del esclareci-miento del papel que desempeñan las llamadas proposiciones de la matemática. Enparticular, y esto no deja de ser sorprendente, Wittgenstein pretende así mismo sos-tener que no puede haber genuinas proposiciones de matemáticas. Nadie puedesugerir semejante afirmación y refugiarse después en una escuela rural de un pueblomiserable en un país arruinado por la guerra con la sospecha de que todo puedeseguir igual. La naturaleza que adoptan las expresiones matemáticas es, sin duda,una de las cuestiones más enigmáticas y más oscuras en el contexto del Tractatus(TLP). Veamos a continuación cuáles son las conclusiones más pertinentes que apropósito de las matemáticas se exhiben en el texto del filósofo austríaco:

• La matemática es un método lógico. (TLP, 6.2)• Las proposiciones de la matemática carecen de sentido. (TLP, 6.21)• Las proposiciones de la matemática son ecuaciones. (TLP, 6.2)• Los números no son nombres propios.

La segunda conclusión posee, quizá, el mayor impacto en la elucidación practicadapor Wittgenstein. De hecho una vez admitida tal perspectiva el lector se ve obligado areconocer, como en una cadena de fichas de dominó que caen una detrás de la otra, lavalidez de las afirmaciones restantes. Por ejemplo, de ella se sigue que las expresionesmatemáticas no son ni verdaderas ni falsas, que nada en el mundo las invalida, asícomo nada en el mundo las confirma; esto les impone el carácter de pseudoproposicio-nes. Exploremos, entonces, el alcance y el sentido de la formulación wittgensteiniana.Trataremos de precisar, en primer lugar, qué entiende el autor por una proposición consentido; exploraremos, en segundo lugar, algunos ejemplos de proposiciones sin senti-do con el ánimo de advertir el parecido de familia que comparten; y, en último término,regresaremos a la preocupación por las proposiciones matemáticas.

2.1 Sentido en el Tractatus Logico PhilosophicusEn el Tractatus Wittgenstein defiende la idea según la cual sólo las proposiciones

tienen sentido. El autor muestra también que muchas expresiones que parecen pro-posiciones, y que siempre las hemos reconocido como tal, realmente no lo son y, enconsecuencia, carecen de sentido. A este grupo de expresiones pertenecen las pro-posiciones de la matemática, las leyes de la lógica, los principios generales de las


ciencias naturales, las proposiciones de ética y estética. Esta compleja distinción ylas fuertes consecuencias que se derivan de ella exigen que entendamos claramentela noción tractariana de sentido.

El uso que hace Wittgenstein del término sentido es, sin duda, un uso técnico. Eltérmino, a pesar de las diferencias substanciales, se arraiga en la terminología y lascategorías de análisis empleadas por Frege. Nos ocuparemos, brevemente, de lanaturaleza del término en los escritos del lógico y filósofo alemán y después adverti-remos las diferencias esenciales con el uso que del mismo pretende sugerirWittgenstein.

Los problemas asociados con la naturaleza de la identidad condujeron a Frege adistinguir entre el sentido (Sinn) y la referencia (Bedeutung) asociados a un nombre.Sigamos uno de los ejemplos explorados por Frege:

La figura muestra un triángulo y el punto de corte de sus medianas. LlamemosAB al punto de corte de a y b, y BC al punto de corte de b y c. Es claro que AB = BC.Sin duda hacemos alusión al mismo punto. Pero, al mismo tiempo, es claro que cadaexpresión presenta al punto en cuestión de un modo diferente. Los dos enunciadosse refieren al mismo objeto pero cada uno se encarga de presentarlo de un mododiferente. Aquello que el nombre designa es su referencia (Bedeutung), y el modo depresentación es su sentido (Sinn). Los nombres, en la perspectiva de Frege, poseensentido y referencia: indican a un objeto en particular y lo hacen de una maneratambién particular. El referente de un nombre es el objeto mismo que designamospor medio de él. La idea que podemos forjarnos del objeto es algo completamentesubjetivo y no tiene nada que ver con el sentido del nombre. El sentido, de algunamanera, reside entre los dos: no es subjetivo, como la idea, pero tampoco se identi-fica con el objeto designado.

Ahora bien, la distinción entre sentido y referencia no alude únicamente al papelde los nombres en nuestra gramática. La distinción se puede extender también para


el caso de las proposiciones. Una proposición posee también sentido y referencia.Una proposición contiene, en las palabras de Frege, un pensamiento. ¿Correspondeel pensamiento que se asocia a la proposición al sentido o corresponde a la referen-cia de la misma? Si la proposición tiene un referente éste no puede verse modificadosi cambiamos un nombre de la expresión por otro que coincide en referencia aunquedifiera en sentido. Imaginemos, haciendo alusión al ejemplo que hemos examinadounas páginas atrás, la siguiente proposición: “AB se encuentra en el interior del trián-gulo”. Supongamos también que alguien lee y entiende la proposición, sin conoci-miento del teorema que establece que existe un punto de corte de las medianas deun triángulo. Si cambiamos AB por BC debe conservarse el referente de la proposi-ción. Sin embargo, el pensamiento asociado a “BC se encuentra en el interior deltriángulo” es diferente al original. En consecuencia, el pensamiento asociado a laproposición no puede aparearse con su referencia, sino con su sentido. ¿Cuál es,entonces, la referencia de una proposición? El pensamiento pierde valor tan prontocomo reconocemos que el significado de una de sus partes se ha desvanecido. Deotra parte, lo que no ha cambiado en la expresión original (“AB se encuentra en elinterior del triángulo”) una vez adelantamos el cambio propuesto es, precisamente,su valor de verdad. En consecuencia, Frege identifica el valor de verdad de una pro-posición con el referente de la misma y el pensamiento asociado a la proposición consu sentido. Las proposiciones son estudiadas como nombres propios cuyo referentees o bien lo verdadero, o bien lo falso, y cuyo sentido es la forma de presentación delo verdadero o lo falso.

No podemos desconocer el peso de la herencia fregeana en el llamado primerWittgenstein. Sin embargo, no es del interés del presente texto indagar por talesreferencias. Resulta, de hecho, de mayor utilidad para los actuales propósitos, ponerde relieve las diferencias más sobresalientes. El distanciamiento de Wittgenstein dealguna manera es doble, por un lado los nombres refieren sin tener sentido y, por otrolado, las proposiciones tienen sentido sin referir. “Sólo los hechos pueden expresar unsentido, una clase de nombres no puede.” (TLP, 3.142).

El papel de los nombres contrasta radicalmente con la naturaleza de las proposi-ciones. “Sólo la proposición tiene sentido; sólo en el contexto de la proposición tieneel nombre significado.” (TLP, 3.3). Este aforismo excluye a los nombres de la clase delos signos con sentido, es más, excluye cualquier otro signo diferente a la proposi-ción. Sin embargo, ¿en qué consiste precisamente esa alusión al sentido? La propo-sición muestra su sentido y eso debe hacerlo de una manera patente y clara. Ella nodebe entenderse como un signo sensiblemente perceptible más la expresión o ladeterminación de su sentido. La distinción entre lo que se dice y lo que se muestra esuna distinción crucial en el marco del Tractatus. Ahora bien, si atendemos la observa-ción taxativa del aforismo 4.022, el sentido de una proposición pertenece al ámbito delo que se muestra. El aforismo anterior a 4.022 aclara el aforismo anterior: “La propo-


sición es una figura de la realidad, pues yo conozco el estado de cosas que represen-ta si yo entiendo el sentido de la proposición. Y yo entiendo la proposición sin que mehaya sido explicado su sentido.” (TLP, 4.021). La relación proyectiva con el mundo,que ha de ser parte esencial de la proposición, no forma parte del contenido de lamisma. El sentido de la proposición se muestra en ella pero no a través del contenidode la misma. “En la proposición”, dice Wittgenstein, “no está contenido su propiosentido, sino la posibilidad de expresarlo.” (TLP, 3.13). Una proposición muestra susentido y éste no puede ser enunciado por otra proposición. Esta situación se aclaraquizá con el símil al que alude Wittgenstein en TLP, 3.1431. Allí se sugiere que laproposición se puede imaginar compuesta de objetos espaciales (mesas, sillas ocarros de juguete sobre el estrado de un juez) y se sugiere también que la recíprocadistribución de tales elementos expresa el sentido de la proposición. La distribuciónde los objetos expresa todo lo que se puede decir. No haría falta agregar algo comolo siguiente: “la posición que A, sobre el estrado, guarda con B, pretende simular laposición que A´ guardaba con B´ en el momento del accidente”. Esta alusión, o biense aclara con, o bien permite entender el aforismo 3.1432: “No: “El signo complejoaRb dice que ‘a’ está en la relación R con ‘b’”, sino: “Que ‘a’ está en una ciertarelación con ‘b’, dice que aRb”.” (TLP, 3.1432). Que “a” está en una cierta relación con“b” se muestra en la proposición y es precisamente esa relación que se muestra laque dice que aRb. En otras palabras, ante la proposición “aRb” no se hace necesarioexplicitar que “a” se encuentra en la relación R con “b”. Este rasgo fundamental delsentido ha sido objeto de preocupación de varios comentaristas. Irving Block lo expo-ne de una manera muy clara: “Que “p” es una proposición no se infiere de su confor-midad con alguna fórmula predeterminada o análisis formal. Esto es, uno no puededecir lo que una proposición es. Más bien, “p” muestra que ella misma es una propo-sición con un sentido.”3 Si seguimos la sugerencia de Block, se infiere que “p es unaproposición” carece de sentido, es decir que el hecho de que p sea una proposiciónno se puede expresar por otra proposición.

El contraste entre nombre y proposición se expresa quizá con la mayor claridaden el aforismo 3.144: “Los estados de cosas se pueden describir, pero no nombrar.(Los nombres son como puntos; las proposiciones como flechas: tienen sentido)”.Ahora bien, si se logra descifrar con claridad el alcance del símil será posible, enton-ces, desatar otros nudos que dificultan la comprensión del Tractatus. La alusión alpunto y a la flecha se encuentra ya en sus Notes on Logic: “Nombrar es como señalar.Una función es como una línea que divide los puntos del plano en unos que están a laderecha y otros que están a la izquierda; entonces “p o no-p” no tiene significado[keine Bedeutung] pues no divide al plano.” (NL, p. 94). Veamos: “p o no-p” carece desentido quiere decir que “p o no-p” no puede dividir el plano en dos, esto es: “Latautología deja a la realidad todo el espacio lógico –infinito-; la contradicción llena

3 Block, Irving (1975), p. 140.


todo el espacio lógico y no deja a la realidad ni un punto. Ninguna de las dos puede,pues, determinar de ningún modo a la realidad.” (TLP, 4.463). Cuando Wittgensteinalude al espacio lógico está pensando, sin duda, en el espacio de las posibilidadesempíricas. Una proposición es como una vara de medida puesta sobre la realidad.Para que la vara pueda cumplir su cometido debe poseer en sí las posibilidades delobjeto que pretende medir.

Las anotaciones acerca de la bipolaridad ofrecen una pista más clara para diluci-dar la naturaleza del sentido en Wittgenstein. “Toda proposición es esencialmenteverdadera-falsa: para entenderla debemos conocer tanto lo que debe ser el caso sies verdadera como lo que debe ser el caso si es falsa. Entonces una proposicióntiene dos polos, correspondiendo al caso de su verdad y al caso de su falsedad.Nosotros llamamos a esto el sentido de una proposición.” (NL, p. 98). La misma idease encuentra en el Tractatus expresada así: “La realidad debe ser fijada por la propo-sición en sí o en no.” (TLP, 4.023). “Para que una proposición sea capaz de ser verda-dera también debe ser capaz de ser falsa.” (NB, p. 55e). Podemos notar que elénfasis no reside en la determinación de verdad sino en su posibilidad. Este puntodetermina, en parte, la peculiar posición con respecto a las tautologías y las contra-dicciones. Cada una de ellas elimina un extremo de las posibilidades y con elloelimina en sí la posibilidad misma.

La distinción que Wittgenstein establece en la primera página del Tractatus entreTatsache y Sachverhalt prepara el espacio para asociar la noción de sentido con lanoción de posibilidad. El mundo es todo lo que es el caso (TLP 1) y lo que es el casoes la totalidad de los hechos [Tatsachen] (TLP, 1.1). Más adelante estipula que lo quees el caso (los hechos: Tatsachen) es la existencia de los estados de cosas[Sachverhalten]. En qué consiste entonces la distinción que quiere hacer Wittgenstein?En primer lugar hay que advertir la dificultad que existe en la traducción de los dostérminos empleados. El término Tatsache se traduce normalmente al ingles comofact y al español como hecho. Para el término Sachverhalt se han propuesto dostraducciones diferentes tanto al inglés como al español. Al inglés se traduce o biencomo atomic fact4, o bien como state of affairs (state of things)5. Al español se hatraducido o bien como hecho atómico, o bien como estado de cosas6. Las dos tra-ducciones en parte son adecuadas pero cada una de ellas es incompleta. La palabraalemana Sachverhalt se puede parafrasear de la siguiente manera7: wie sich dieSachen verhalten. No hay una palabra adecuada para la traducción ni al ingles ni al

4 Véase la traducción de C. K. Ogden.5 Véase la traducción de Brian McGuinness y D. Pears.6 Enrico Tierno Galván traduce el término como hecho atómico, en tanto que Isidoro Reguera traduce el término

como estado de cosas.7 He seguido las recomendaciones de Erik Stenius para quien hay que evitar también un segundo malentendido. Si

Sachverhalt es tan sólo un posible estado de cosas, podemos llegar a pensar que Sachverhalt es sinónimo a Sachlage.Sin embargo Wittgenstein exige del término Sachverhalt la independencia lógica que le permite hablar de proposicioneselementales. Este rasgo no es un rasgo distintivo en Sachlage. Por esa razón Stenius propone como traducción deSachverlahlt la siguiente: atomic state of affairs. Stenius, Erik (1960) pp.29-37.


español. Literalmente habría que traducirla como: como las cosas se encuentran. Loque es el caso (un hecho: Tatsache) es la existencia de un estado de cosas (Sachverhalt).Un hecho no podría no existir, en tanto que un estado de cosas podría no darse.

Sólo las proposiciones tienen sentido y este tiene que ver tan sólo con la posibi-lidad de describir un estado de cosas posible [Sachverhalten] en el mundo. Es preci-samente esta condición la que nos permite hablar de, o entender una proposiciónantes de conocer su valor de verdad, o incluso entenderla cuando sabemos que setrata de una proposición falsa. En los Notebooks Wittgenstein escribe: “¿Qué es loque realmente conozco cuando entiendo el sentido de “φa” pero no conozco si esverdadera o falsa? En este caso seguramente no conozco más que φa ∨ ∼φa; y estosignifica que no conozco nada.” (NB, p. 31e). Lo que entiendo de una proposición aúnantes de conocer su valor de verdad es, precisamente, la posibilidad de asignarleuno. Es posible que podamos advertir una proposición con sentido sin que logremosdeterminar con precisión si es verdadera o falsa; pero resulta definitivamente imposi-ble, y en este caso la imposibilidad es lógica, reconocer como verdadera una propo-sición que carece de sentido; esto es, no podemos aceptar como verdadera a unaproposición que carece de la característica de la bipolaridad, es decir, una proposi-ción verdadera que no puede ser falsa. Conviene destacar aquí lo siguiente. Si estaforma de leer el Tractatus es adecuada, y suponemos que lo es, siempre que nosrestrinjamos al criterio clásico de bipolaridad, debemos concluir, entonces, que nohay, por así decirlo, verdades inefables. Es decir, expresiones que son verdaderaspero que trascienden los alcances de nuestro simbolismo.

Hasta el momento hemos hablado de la proposición con sentido, sin embargo nohemos hablado acerca de su estructura. La conclusión más importante al respectotiene que ver con el hecho de que la proposición elemental es articulada (TLP, 3.141).Sin embargo, no puede tratarse de una articulación de otras proposiciones aunque sesugiera que el valor de verdad de una proposición compleja es función de los valoresde verdad de las proposiciones elementales. El valor de verdad de una proposiciónelemental es sólo función de sí misma. Los nombres son como puntos, las proposicio-nes son como flechas. Las flechas se asocian con la bipolaridad, es decir, las flechasposeen la misma multiplicidad lógica que la bipolaridad: dividen la línea recta en dossectores claramente definidos. Ahora bien, ¿qué podemos decir de la primera figura?La figura de los puntos no tiene la claridad de la figura de las flechas. Los puntoscarecen de bipolaridad y en ese sentido la alusión cobra importancia. Sin embargo, enun punto aislado se pierde la máxima vital según la cual, sólo en el contexto de laproposición tiene una palabra significado. No se ve, en el caso de un punto aislado, lanecesidad y exigencia de su articulación. Si la proposición ha de representar un posibleestado de cosas y este a su vez es una articulación de objetos (TLP, 2.01) y, además, sila posibilidad de representación exige que tanto el hecho figurado como la figura debencompartir su forma lógica, es, por lo tanto, necesario que la proposición sea así mismo


articulada. Los elementos de la proposición han de ser los nombres que deben estarcombinados de un modo determinado, es decir, de un modo tal que pueda establecer-se un isomorfismo entre la proposición y el hecho figurado. La articulación de la propo-sición con relación a la articulación del estado de cosas que representa no es una felizcasualidad, es, más bien, una condición de posibilidad de la representación. Lo ante-rior se puede expresar de la siguiente manera: la articulación de los nombres en laproposición debe tener la misma multiplicidad lógica que la articulación de los objetosen el estado de cosas. La articulación de los objetos en el estado de cosas se figura através de la articulación de los nombres en la proposición.

Todos los objetos poseen una especie de valencia lógica. Así, de la misma ma-nera en que el sentido de la proposición define un lugar lógico, cada objeto se en-cuentra igualmente en un espacio de posibles hechos atómicos (TLP, 2.0124). En laperspectiva analítica del Tractatus se asume que el análisis de la proposición comple-ja termina una vez llegamos a las proposiciones elementales y en ellas son precisa-mente los nombres los elementos que señalan la presencia de los objetos en losestados de cosas. Los nombres son precisamente los puntos que tocan la realidad.Esta comparación entre la proposición y una vara de medir se encuentra explícita enlos Notebooks: “Aquí yo contemplé la relación de los elementos de la proposición consus significados como tentáculos, por así decir, por medio de los cuales la proposi-ción está en contacto con el mundo exterior...” (NB, p. 13e). Veamos en un gráfico lafigura que evoca la presentación de Wittgenstein:

Así las cosas, sólo se puede decir de una proposición que es verdadera si previa-mente su sentido está determinado, es decir si el sentido se muestra con claridad.¿Qué hace entonces verdadera a una proposición? Una proposición no puede afirmarde sí misma que es verdadera8 (TLP, 4.442); en ese caso tendríamos una proposicióncuya posibilidad condicionaría su verdad, sería la expresión de una verdad a priori.Esto nos lleva a concluir que toda proposición verdadera es, necesariamente, unaproposición contingente. La verdad o falsedad de una proposición, al igual que la deuna figura en general, consiste en el acuerdo o desacuerdo de su sentido con elmundo. El sentido establece la posibilidad, la comparación con los hechos establecela verdad o falsedad de la proposición. Para conocer la verdad o falsedad de unaproposición no se puede evitar el recurso a la comparación.

8 Ya hemos resaltado también la importancia de esta formulación en la presentación de los principios heurísticosen la investigación de Gödel.


2.2 Ausencia de sentido en el TractatusTodas las aclaraciones anteriores nos permiten, entonces, enfrentar el segundo

punto que habíamos formulado: ¿qué ocurre con las proposiciones sin sentido? Eneste caso conviene ilustrar el problema exhibiendo un conjunto extenso de proposi-ciones que Wittgenstein considera carentes de sentido. En primer lugar convieneaclarar lo siguiente: la palabra “proposición” debería suponer necesariamente el sen-tido, hemos dicho que sólo las proposiciones poseen sentido. ¿Por qué insistir enton-ces en ofrecer ejemplos de proposiciones que carecen de sentido? El punto es de lamayor importancia. Wittgenstein pretende desenmascarar algunas expresiones que,por el hecho de compartir la forma gramatical con las denominadas proposicionesgenuinas, aparentan ser candidatas legítimas a proposiciones. En ese orden de ideas,no se pretende mostrar con ello que son proposiciones sin sentido, sino, más bien,por el hecho de que carecen de sentido mostrar entonces que no son proposiciones.Veamos, pues, algunos ejemplos:

1. “‘p’ es verdadera”. (NB, p. 9e),2. “cada conexión de signos que aparenta decir algo acerca de su propio

sentido es una pseudoproposición” (NB, p. 12e),3. las tautologías (por ejemplo: “llueve o no llueve”),4. las contradicciones,5. “el reloj está sentado sobre la mesa” (NB, p. 70e),6. “1 es un número”, “hay objetos” (TLP, 4.1272),7. las proposiciones de la lógica (TLP, 6.1, 6.11),8. las proposiciones de la matemática (TLP, 6.2),9. los principios generales de las ciencias naturales, en particular los de la

física (TLP, 6.34),10. las llamadas proposiciones de la ética (TLP, 6.42),11. las llamadas proposiciones de la estética,12. las llamadas proposiciones de la filosofía (TLP, 6.53),13. los aforismos del Tractatus (TLP, 6.54).

Las expresiones “X carece de sentido”, o “p es un sinsentido” se utilizan con unaaltísima frecuencia en el lenguaje corriente. Esto puede favorecer y al mismo tiempoentorpecer la interpretación wittgensteiniana. Sin duda es mayor la dificultad quecausa. Es posible, por ejemplo, que un ingenuo lector de Wittgenstein pretendaasimilar la expresión “las proposiciones de la matemática carecen de sentido” con laexpresión “comprar lotería no tiene sentido alguno”. En cualquier caso conviene trazarlas fronteras entre el uso corriente del término “sentido” y el uso técnico que pretendeel filósofo austríaco. El uso que pretende dar Wittgenstein al término “sentido” noestá anclado al uso que se le da en el lenguaje corriente. No advertir la falta de


conexión provoca las mayores dificultades en la interpretación. El término está conec-tado inicialmente con el uso técnico que de él hace Frege en sus distinciones yaclásicas. La situación es, no obstante, desconcertante, pues un lector familiarizadocon el llamado segundo Wittgenstein, advierte la importancia que le da el filósofo alos contextos de habla corriente. En el caso que nos ocupa, las referencias al lenguajecorriente oscurecen, sin duda, el análisis. En un sugestivo artículo Cora Diamond9 citala clasificación que recomienda una enciclopedia de filosofía a propósito de lo quepodríamos denominar “sinsentidos”, ella recupera esta clasificación con el ánimo decontrastar tales acepciones del término con el tratamiento que sugieren tanto Fregecomo Wittgenstein. Vamos a valernos a continuación de la pretendida clasificación:una combinación de palabras puede ser considerada sinsentido si:

a) es obviamente falsa: “mi abuelo murió a la edad de 583 años”;b) es claramente inapropiada: “El perro de mi tío”;c) involucra errores categoriales: “las ideas verdes incoloras duermen rabio-

samente”, este ejemplo pertenece a Chomsky;d) posee una estructura sintáctica confusa: “el cosas el acaece los hechos

cualquier atómicos” –esta expresión se construyó alternando la primera palabracon la última palabra de los primeros aforismos del Tractatus;

e) intercambia palabras apropiadas en una frase reconocida sustituyéndolaspor palabras sinsentido: “caminando por las Váparas lejanas”;

f) está compuesta de una cadena de letras o sonidos sin ninguna articulacióno coherencia: “najdue fhrub ndheg bidgtefv cenejidu macejdy”.

Cora Diamond advierte que lo que torna sinsentido a una frase como la que secita en e) no es propiamente el significado de “Váparas”, sino la ausencia de signifi-cado. Así, si nosotros definimos “Váparas” de una manera adecuada, la frase puede,de repente, adquirir un sentido claro. Podemos, por ejemplo, sugerir que “Váparas”es una expresión para referirse a laderas y así traducir el ejemplo e) bajo la forma:“caminando por las laderas lejanas”.

La expresión “César es un número primo” es, según el uso que hace la autora, unejemplo de la clase c). El sinsentido no es un asunto debido a la ausencia de signifi-cado, como ocurre en el caso anterior, sino provocado precisamente por el significa-do que se le ha asignado a las palabras. “César” nombra a un emperador y “ser unnúmero primo” es una función cuyos argumentos son números naturales, no empera-dores. Esta explicación, sin embargo, no basta. En palabras de Cora Diamond: “Lasfrases no están constituidas por ingredientes, palabras-asignadas-a-ciertas-catego-rías, sino que están construidas sobre patrones, donde la categoría de una palabraen una frase depende del patrón (o patrones) de acuerdo con los cuales la frase

9 Diamond, Cora (1977), pp. 95-114.


completa puede ser construida.”10 La autora se apoya en la idea según la cual el hechode que una palabra tenga una cierta clase de uso no es un impedimento general paraasignarle otro uso completamente diferente. En ese orden de ideas, el hecho de queestemos acostumbrados a asociar el nombre “César” con un emperador no es unimpedimento para que optemos por nombrar, por ejemplo, al número 7 con el término:“César”. En esta explicación se cifra la similitud que Cora Diamond encuentra entre“caminando por las Váparas lejanas” y “César es un número primo”. Así como Váparasadquiere un significado en virtud de una decisión nuestra, “César” también puedeadquirir uno nuevo. La defensa que la autora esgrime a propósito de esta estrategiaestá enmarcada dentro de un claro espíritu wittgensteiniano, a saber, las palabrasposeen una multiplicidad de papeles. En otras palabras, no hay nada ilícito en preten-der que una misma palabra desempeñe dos funciones completamente diferentes encontextos así mismo diferentes. Según la autora, los errores categoriales del tipo c) noson los responsables directos de sinsentido alguno. Esto es, no podríamos advertir deantemano qué tipo de combinación categorial es la adecuada para un vocablo dado.Veamos la explicación que ofrece al respecto: “Para Wittgenstein no hay ninguna clasede sinsentido [nonsense] a cuenta de lo que los términos que lo componen quierendecir –es como si no hubiese ningún sinsentido positivo. Cualquier expresión que essinsentido lo es así simplemente porque no se ha hecho alguna determinación designificado; este no es sinsentido como un resultado lógico de las determinacionesque han sido hechas.”11 Esta explicación, sin embargo, parece demasiado radical, nosconduciría a reconocer que “César es un número primo” es un sinsentido siempre quea “César” se le haya asignado un significado que torne sinsentido a la expresión com-pleta “César es un número primo”. No obstante lo anterior, es claro que “César” puededesempeñar papeles completamente diferentes a los que estamos acostumbrados,puede, por ejemplo, estar allí por un número particular. Si bien es cierto que no pode-mos sostener, sin más, que “César es un número primo” es un sinsentido en términospositivos, tampoco podemos desconocer que “César es un número primo” es unsinsentido siempre que se le asigne a “César” el significado usual.

Cuando se lleva al extremo la posición defendida por Cora Diamond, es posiblepensar que no hay expresiones sinsentido, pues todas se encuentran a la espera deuna asignación adecuada de significado para sus partes componentes. Esta explica-ción radical no permite interpretar adecuadamente el ejemplo 5) de Wittgenstein: “Elreloj está sentado sobre la mesa”; allí tendríamos simplemente que decir que se tratade un aparente sinsentido, que existe una posible interpretación de “reloj” que permitiríaprecisar el sentido de la expresión. Podemos reconocer automáticamente el sinsentidode la expresión y en nada se alivia la situación si postulamos que al asignarle a lapalabra “mesa” el significado que solemos asignar a la palabra “hora” podemos inter-

10 Ibid, p. 105.11 Ibid, p. 106.


pretar nuevamente la expresión en la forma “el reloj está sentado sobre la hora” parahablar, en términos metafóricos, de un reloj detenido por alguna falla mecánica.

El análisis de Cora Diamond, si bien puede ser útil para dilucidar algunos casos,especialmente aquellos en los que puede insinuarse un sinsentido positivo, no resultadel todo conveniente para enfrentar otros casos. Por ejemplo, el análisis sugerido noaclara la falta de sentido de una tautología ni, lo que resulta más interesante, la falta desentido, desde el punto de vista restringido del Tractatus, de “29 es un número primo”.La autora se concentra especialmente en “César es un número primo” y llega a sugerirque si “César” es una forma extraña de nombrar al número “29” entonces la expresiónadquiere así un sentido adecuado. Sin embargo desconoce la afirmación más fuertede Wittgenstein según la cual “29 es un número primo” carece de sentido aun cuandoasumamos los significados acostumbrados. Veamos, entonces, cómo podrían enfren-tarse tales casos complejos. Reservaremos, sin embargo, el caso de las expresionesmatemáticas para el final. La expresión “hay objetos que son idénticos a sí mismos”carece de sentido y, sin embargo, es similar en su forma gramatical a la expresión consentido “hay mamíferos que ponen huevos”. La similitud aparente y la falta de similitudprofunda se encuentran en la base del mayor número de confusiones filosóficas. Hayexpresiones que comparten la forma gramatical con una proposición genuina; eso noshace pensar, sin mayor atención, que tales expresiones son también proposicionesgenuinas, creemos, entonces, que describen un estado de cosas en el mundo y nosafanamos por aprehender los estados de cosas que se describen. La expresión “Sócrateses idéntico” reclama un sentido en virtud de su similitud con “Sócrates es griego”. Sinembargo la primera es una expresión sin sentido, no porque usemos palabras que noentendamos sino porque no se ha hecho la respectiva determinación de significado.Cuando nos refugiamos en una similitud gramatical que creemos advertir, podemosprovocar una confusión que no se habría provocado si advertimos con claridad el papely el alcance de los signos que usamos en nuestras expresiones. Estas advertencias sepueden quizá resumir en la siguiente recomendación: no siempre la forma lógica coin-cide con la forma gramatical. En ese orden de ideas, hay expresiones que compartenla forma gramatical con una proposición genuina y que, sin embargo, ocultan su verda-dera naturaleza: hay expresiones que quieren decir algo simulando simplemente laforma gramatical de expresiones que efectivamente dicen algo. Desenmascarar talesexpresiones es la tarea central del Tractatus.

“Llueve o no llueve” no admite el tratamiento de Cora Diamond. En este caso elsinsentido no puede verse como el resultado de una falta de significado adecuado,en función del todo, para los términos que componen la expresión. “Duermo o noduermo” provoca el mismo sinsentido. No hay forma de asignarle un significadoadecuado a “llueve” con el objeto de tornar la expresión en una proposición con sen-tido. Este análisis nos conduce a una pareja complicada de aforismos en el Tractatus.Se trata de los aforismos 4.461 y 4.4611. Sigamos con atención las observaciones del


filósofo: “La tautología y la contradicción carecen de sentido [sinnlos].” (TLP, 4.461);“Tautología y contradicción no son, sin embargo, sin-sentidos [unsinnig]; pertene-cen al simbolismo, del mismo modo que cero es parte del simbolismo de la arit-mética.” (TLP, 4.4611)12. Ahora bien, ¿en qué medida una tautología carece de sen-tido pero no es un sin-sentido? ¿Qué distinción quiere hacer Wittgenstein entresinnlos y unsinnig? Creo que puede hallarse una alternativa clave si contemplamoslas tautologías como límites y si consideramos las aclaraciones que hemos pre-sentado previamente a propósito de la naturaleza del sentido. Una proposiciónelemental no puede ser verdadera a priori, con ello se eliminaría el ámbito de laposibilidad, como hemos dicho, dejaría de ser una flecha. ¿Qué ocurre entonces enel caso de una proposición compuesta? La proposición es una función de verdadde las proposiciones elementales. En el caso de una proposición elemental, ella esfunción de verdad de sí misma. Entre esas posibles combinaciones se puedehablar de dos casos extremos, aquel en el cual la proposición es verdadera paratodas las posibilidades de verdad de las proposiciones elementales, y aquel casopara el cual la proposición es falsa para todas las posibilidades de verdad. En uncaso se permiten todos los posibles estados de cosas, en el otro no se permiteninguno. Con tales condiciones ocurre que ni la tautología ni la contradicción deter-minan de ningún modo la realidad (TLP, 4.463). Ninguna de las dos describe unposible estado de cosas en el mundo. Es por esa razón que “llueve o no llueve” noes un conocimiento genuino, no dice nada acerca del mundo. “Tautología y contra-dicción son los casos límite de la unión de signos, es decir, su disolución.” (TLP,4.466). En tales extremos, la condición del sentido, que reside en la bipolaridad, sedisuelve en alguno de los dos polos. Sobra advertir que el análisis de Wittgensteinno contempla la riqueza que más tarde otras escuelas no clásicas incorporaron alas posibilidades lógicas. Estoy pensando en escuelas que, o bien relativizaron eluso de (p∨∼p), o bien relativizaron el uso de ∼(p∧∼p), o el uso de ∼(∼p). Cuando laposibilidad se fija en un punto, la expresión del sentido se degenera. En losNotebooks13 Wittgenstein sugiere un esquema para ilustrar el lugar de las tautolo-gías y las contradicciones:

12 No existe en español un par de términos que permitan distinguir entre las nociones wittgensteinianas de sinnlosy unsinnig. En inglés se puede traducir sinnlos como senseless y unsinnig como nonsense. En el presente texto usare-mos el siguiente recurso: diremos que una expresión carece de sentido, o es sin sentido, cuando queremos referirnosal término sinnlos, y diremos que una expresión es un sin-sentido cuando queremos referirnos a unsinnig. Así las cosas,nosotros introduciremos la distinción entre sin sentido y sin-sentido.

13 NB, p. 58e.


“La tautología carece de sentido” significa que al ser un caso límite de las com-binaciones posibles, ha perdido con ello el aspecto de la bipolaridad; no puede,entonces, describir un posible estado de cosas en el mundo. Pero, por ser precisa-mente un caso límite, no se trata de un sin-sentido. En otras palabras, la falta desentido de las tautologías y las contradicciones en el ámbito clásico del Tractatus, nopuede contemplarse bajo alguno de los aspectos recopilados por Cora Diamond; esdecir, no es obviamente falsa, no es inapropiada, no incluye errores categoriales, noposee una estructura sintáctica confusa, no incorpora expresiones a las que no se lesha dado un significado y no es una cadena de letras o sonidos aleatorios. Cabeaclarar aquí que el tratamiento de la contradicción es similar y que aquello que latorna una expresión sin sentido no es, precisamente, el hecho de ser obviamentefalsa. Veamos a continuación un esquema que podría auxiliar la interpretación de losdos aforismos problemáticos:

La posición límite de las tautologías y las contradicciones juega un papel centralen el Tractatus. De hecho, una de las intenciones centrales en dicho texto se puederesumir así: determinar, a juicio de Wittgenstein, los límites del pensamiento esclare-ciendo los límites del lenguaje, es decir, estipulando lo que puede ser dicho. Estatarea, sin embargo, exige una aclaración. Sólo es posible estipular los límites dellenguaje desde el interior, no podemos, por así decirlo, contemplar el lenguaje desdeun ámbito exterior al mismo; si lo hacemos necesitamos de otro lenguaje cuya gra-mática exigiría así mismo una determinación. Podemos y debemos, entonces, esti-pular los límites internos de nuestro lenguaje. No podemos describir lo que, porprincipio, no se puede describir. Lo que carece de sentido no es, por lo tanto, des-criptivo aunque con su forma gramatical pretenda serlo.

Las proposiciones de la lógica hacen parte de esas expresiones que están en ellímite, ellas son tautologías, ellas no dicen nada, no describen nada, no anticipannada, no fijan la realidad en sí y en no; precisamente por eso carecen de sentido. Unaseñal clara que anticipa que algo ha sido entendido mal reside, precisamente, en elhecho de asimilar una proposición de la lógica a una proposición científica. “La señalcaracterística”, dice Wittgenstein, “de las proposiciones lógicas está en que se pue-de reconocer sólo en el símbolo que son verdaderas o falsas; y este hecho contiene

Expresiones que carecen de sentido y son sin-sentidos.

Pseudoproposiciones: carecen de sentido y no son sin-sentidos

Proposiciones: expresiones con sentido


en sí toda la filosofía de la lógica. Y es también uno de los hechos más importantes quela verdad o la falsedad de las proposiciones no lógicas, no se pueda reconocer sólo enla proposición.” (TLP, 6.113). En el caso de “El reloj está sentado sobre la mesa”,podemos afirmar que no puede ser verdadera, pero ese hecho no la convierte en unaexpresión falsa sino en una expresión sin sentido que es al mismo tiempo un sin-sentido. “Llueve o no llueve”, de acuerdo a la recomendación del Tractatus, no puedeser falsa y eso la convierte en una expresión sin sentido, sin embargo, dado que en ellase expresa un caso límite en el que todas las posibilidades se fijan en una sola, esdecir, las posibilidades se fijan en V, no diremos por ello que se trata de un sin-sentido.

Las proposiciones lógicas muestran algo que reside ya en el simbolismo. En esesentido son superfluas. La mayor confusión se teje cuando pensamos que las propo-siciones lógicas describen algo que es ajeno al simbolismo. En el aforismo 6.121Wittgenstein habla del método cero para calificar al método de la lógica, se refierecon ese calificativo al método que estipula las propiedades lógicas de las proposi-ciones que no dicen nada. Es precisamente por esa razón que las proposicioneslógicas se hacen superfluas, pues en un simbolismo adecuado, y el lenguaje naturales un simbolismo adecuado, deberíamos estar en condiciones de reconocer talespropiedades por simple inspección; el simbolismo debería mostrar que tales propie-dades residen allí. En ese orden de ideas “p ∨ ∼p” es tan superflua como “el reloj estásentado sobre la mesa”. Lo que “p ∨ ∼p” muestra ya se ve en el simbolismo, y lo que“el reloj está sentado sobre la mesa” dice no se ve en ninguna parte.

El análisis que se ha presentado hasta el momento cubre los casos 3), 4) y 7),también se ha discutido el caso 5). Veamos ahora el caso 9). ¿Cómo se puedeinterpretar la falta de sentido de los principios generales de las ciencias naturales?“Todas las proposiciones tales como el principio de razón, la ley de la continuidad dela naturaleza, del mínimo de gasto en la naturaleza, etcétera, etc., todas son intuicio-nes a priori acerca de las posibles formas que se podría dar a las proposiciones dela ciencia.” (TLP, 6.34). No hay verdades a priori, eso lo sabemos ya, sin embargoahora resulta que sí pueden existir intuiciones a priori. Aquello que Wittgenstein llamauna intuición a priori no es un descubrimiento, no es una descripción que adquiere suseguridad de un acto subjetivo. Lo que se intuye a priori es una forma posible de lasproposiciones de la ciencia, así: “Nosotros no creemos a priori en una ley de conser-vación, pero conocemos a priori la posibilidad de una forma lógica.” (TLP, 6.33). Estaformulación no introduce un elemento epistémico en el Tractatus, tan sólo reafirmaque lo único que puede ser cierto a priori debe ser algo puramente lógico (TLP, 6.3211),es decir, algo que no puede ser en lo absoluto una descripción, en otras palabras,algo que no dice nada acerca de nada. Esta formulación contrasta con un aforismoexcesivamente complejo: “A través de su aparato lógico, las leyes físicas hablan aúnde los objetos del mundo.” (TLP, 6.3431). ¿A qué alude Wittgenstein con la noción de“objeto del mundo”? La alusión es extraña pues en el aforismo 4.1272 se indica en


forma taxativa que objeto es un pseudo-concepto. En el mismo aforismo se aclaraque no podemos decir “hay objetos” de la misma manera que decimos “hay libros”y siempre que usamos “objeto” como si expresase un nombre propio, surgen inevita-blemente pseudoproposiciones sin sentido [unsinnige Scheinsätze]. Es claro queWittgenstein no puede estar usando aquí el término “objeto” para referirse a la subs-tancia de la ontología del Tractatus, debe aludir, más bien, a los elementos que for-man parte de las descripciones de las proposiciones de la física. Quizá un tratamien-to paralelo entre el carácter peculiar de las proposiciones lógicas y el de los principiosgenerales de la física arroje alguna pista. Consideremos, pues, la siguiente formula-ción de Wittgenstein: “Las proposiciones lógicas describen el armazón [Gerüst] delmundo o, mejor, lo presentan. No ‘tratan’ de nada, presuponen que los nombrestienen significado, y las proposiciones elementales, sentido; y ésta es su conexióncon el mundo.” (TLP, 6.124). Si escribimos una paráfrasis del aforismo anterior ha-ciendo alusión a los principios generales de las ciencias naturales podríamos aventu-rar algo así: “las leyes físicas describen el andamiaje de las proposiciones empíricasde las ciencias naturales. No ‘tratan’ de nada, presuponen que hay objetos físicos yproposiciones empíricas; y ésta es su conexión con el mundo.” Ahora bien, ¿existeen el Tractatus algún aforismo que se le parezca? Creo que la siguiente cita ofrece unaalternativa interesante, se trata precisamente de un aforismo que complementa laexplicación de la afirmación problemática de Wittgenstein: “No debemos olvidar quela descripción del mundo por la mecánica es siempre completamente general. No sehabla nunca de puntos materiales14 determinados, sino sólo de algunos puntos cua-lesquiera.” (TLP, 6.3432). En las ciencias físicas se dan: legitimas descripciones –proposiciones- y normas de descripción -pseudoproposiciones-.

La carencia de sentido advertida por Wittgenstein a propósito de las leyes de lafísica se puede quizá sintetizar de la siguiente manera: ellas son normas de descrip-ción, pertenecen al ámbito de la descripción, no al ámbito de lo descrito o de lo quese puede describir. “La cantidad de movimiento se conserva en toda interacción” esuna expresión que carece de sentido [sinnloss], sin embargo no se trata de un sin-sentido [unsinnig]. Aún así, la expresión no muestra un rasgo del simbolismo comoocurre con las tautologías y las proposiciones lógicas. La expresión aporta una normade descripción, aporta, si adoptamos un símil que sugiere el autor, los ladrillos paraconstruir el edificio de la ciencia, aquellos que prescriben que si usted desea levantarun edificio, debe hacerlo con el uso exclusivo de tales insumos (TLP, 6.341). En laparte final del capítulo retomaremos el análisis de los principios generales de la físicaen relación con la influencia de Hertz sobre Wittgenstein.

Consideremos ahora los casos 1) y 2). Carece de sentido tanto una proposiciónque dice de sí misma que es verdadera como una proposición que dice algo acerca

14 La noción de punto material está tomada de los Principios de la Mecánica de Hertz. Véase Hertz (1956), defini-ción 3, capítulo 1, libro I, p. 46.


de su sentido. En los Notebooks Wittgenstein advierte taxativamente la confusión que seteje a propósito de la proposición que dice de sí misma que es verdadera: “‘p’ es verda-dera, no dice algo diferente a p. «p’ es verdadera’ es –por lo anterior- únicamente unapseudoproposición como todas aquellas conexiones de signos que aparentemente di-cen algo que únicamente puede ser mostrado.” (NB, p. 9e). Esta formulación adquiere supresentación definitiva en el Tractatus: “Lo que en el lenguaje se expresa, nosotros nopodemos expresarlo por el lenguaje.” (TLP, 4.121). Esto vale enfáticamente para la deter-minación del sentido. La expresión “es verdadera” es redundante tanto si se escribedespués como si se escribe antes de p. Por esa razón, Wittgenstein se siente conderecho a sostener que el signo de aserción de Frege (|) es superfluo. El caso particulardel sentido nos llevaría a transcribir la mayoría de los argumentos que se anotaron en laprimera parte del presente capítulo, lo mismo ocurre con el caso de la verdad.

Los casos 12) y 13) se pueden reunir en un mismo comentario. La postura deWittgenstein en el Tractatus frente a la filosofía, y podríamos decir también lo mismode su obra posterior, puede verse como una clara consecuencia de la máxima suge-rida en el aforismo 6.51, a saber, sólo existe una duda legítima allí donde puedeplantearse con claridad una pregunta y sólo puede plantearse una pregunta allí don-de se puede responder algo, y esto último sólo se puede hacer allí donde se puededecir algo. Cuando enfrentamos una pregunta frente a la cual advertimos a priori queno hay forma de responder, no hay duda que estamos frente a una confusión. Algo noes una pregunta simplemente porque adquiera la forma gramatical de una cuestión.“¿Qué es el ser?” parece una pregunta legítima que exige una respuesta de la mismamanera que podemos responder a la pregunta: “¿qué es el viento?” Dado que laspreguntas metafísicas adquieren una forma similar a las preguntas científicas nosvemos inclinados a pensar que se pueden responder. Cabe, sin embargo, la siguien-te aclaración, las preguntas metafísicas no se pueden responder no en virtud de unaexagerada dificultad, como ocurre en el caso de la pregunta “¿cuántas estrellas hayen el universo?”, sino en virtud de su falta de legitimidad. La búsqueda a la queincitan tales cuestiones no es realmente una búsqueda.

En síntesis, las llamadas proposiciones de la filosofía carecen de sentido [sinnloss],no describen un posible estado de cosas; tampoco exhiben un rasgo de nuestrosimbolismo, como ocurre con las tautologías y las proposiciones matemáticas; tam-poco aportan normas de descripción, como ocurre con los principios de la mecánica.Las llamadas proposiciones de la filosofía son también expresiones sin-sentido[unsinnig]. Cuando alguien dice “el reloj está sentado sobre la mesa” o “César es unnúmero primo”, para retomar el ejemplo que Cora Diamond toma de Carnap15, hare-

15 En el artículo The elimination of metaphysics through logical analysis of language, Carnap trató de valerse de larecomendación de Wittgenstein según la cual siempre que alguien dice algo metafísico debemos tratar de mostrarleque no le ha dado un significado claro a uno o varios de los términos que utiliza. Para ello establece inicialmente dosclases de pseudodeclaraciones, en primer lugar, aquellas que resultan cuando se ha empleado un término del cual seha creído erróneamente que posee un claro significado; y, en segundo lugar, aquellas constituidas por palabras que po-seen un claro significado pero se han combinado en una forma prohibida por la sintaxis. Carnap se ocupa inicialmente


mos todo lo posible, como sugiere la autora, para mostrarle que no ha dado significa-do a ciertos signos en sus proposiciones. Wittgenstein sugiere que extendamos estarecomendación para el caso de expresiones de la forma: “el yo debe poder acompa-ñar todas mis representaciones” o “los límites de mi lenguaje significan los límites demi mundo”. Los aforismos del Tractatus no son la excepción, son el desmesuradoesfuerzo de alguien que quiere ir más allá de los límites del lenguaje y en esa carrerase topa con la imposibilidad de sobrepasar los límites que a sí mismo se ha impues-to. Tales aforismos son parte del esfuerzo de expresar lo que sólo se puede mostrar.Uno de los rasgos paradójicos del Tractatus tiene que ver, sin duda, con lo siguiente:el libro trata acerca de la naturaleza de la proposición, sin embargo, por un lado no seformula allí ningún ejemplo de proposición y, por otro lado, ninguno de los aforismosconstituye a la postre un ejemplo legítimo. Es un libro que trata acerca de la proposi-ción y no puede albergar en su seno ninguna proposición. De ahí la elocuencia del finaldel Tractatus: “Mis proposiciones son esclarecedoras de este modo; que quien mecomprende acaba por reconocer que carecen de sentido, siempre que el que com-prenda haya salido a través de ellas fuera de ellas. (Debe, pues, por así decirlo, tirar laescalera después de haber subido.) Debe superar estas proposiciones; entoncestiene la justa visión del mundo.” (TLP, 6.54). El análisis de 13) exige, sin embargo, untratamiento mucho más cuidadoso. De ello nos ocupamos al final del presente capítu-lo. Así que, por lo pronto, basta con las aclaraciones hechas hasta el momento.

Los casos 10) y 11) surgen del hecho de que todas las proposiciones tienen igualvalor, es decir ninguno. Cuando queremos hacer alusión al sentido del mundo esclaro que queremos ir más allá de él, queremos, por así decirlo, contemplarlo desdelo lejos sin abandonarlo. Esta condición, sin embargo, imposibilita la tarea. Sólopodemos describir lo que puede darse como un estado de cosas en el mundo, nadamás. Esta condición inhabilita ya la posibilidad de concebir proposiciones de ética ode estética. A pesar de la importancia del tema en la obra del autor, no hay en susreflexiones al respecto vasos comunicantes que contribuyan a esclarecer el papel delas proposiciones matemáticas. Por esa razón conviene aplazar cualquier dilucida-ción que pudiese hacerse al respecto, sin olvidar que tales expresiones se encuen-tran allende lo decible. Los casos 6) y 8) se pueden agrupar para iniciar con ello eltratamiento del último punto anunciado, a saber, la naturaleza de las proposicionesmatemáticas.

de las pseudoproposiciones metafísicas que pertenecen al primer grupo. Para ello analiza expresiones como “principio”,“Dios”, “cosa-en-si”, etc. A continuación analiza lo que ocurre con la segunda fuente de confusión metafísica. En estecaso cita los ejemplos: “César es y”, “César es un número primo”. En el primer ejemplo se violan claramente las reglasde la sintaxis y no ofrece por eso mayor dificultad. El segundo caso, sin embargo, parece respetar las leyes de la sin-taxis. Carnap muestra la manera como podemos afirmar la falta de sentido de “César es un número primo”. Lo hacesiguiendo un argumento similar al que pretende criticar Cora Diamond. El artículo de Carnap está traducido en Ayer, A. J.(1959). El ejemplo de Carnap quizá se origina también a partir de las anotaciones de Frege en The foundations of arithmetic,quien advertía así una debilidad transitoria de su investigación: “...pero, mediante nuestras definiciones, nunca podre-mos decidir –para dar un ejemplo burdo- si a un concepto le corresponde el número Julio César, ni si este famoso con-quistador de las Galias es un número o no.” Frege, Gottlob (1884), § 56. Véase al respecto el análisis crítico de la maneracomo Carnap interpreta a Wittgenstein desarrollado por James Conant (Conant, James (2001)).


2.3 El caso de las proposiciones matemáticasWittgenstein sostiene en forma categórica en el Tractatus que las proposiciones de

la matemática son pseudoproposiciones [ Scheinsätze ](TLP, 6.2). Esto se confirma conla anotación del aforismo siguiente: “Las proposiciones matemáticas no expresan nin-gún pensamiento.” (TLP, 6.21). Wittgenstein alude a la noción tractariana de pensa-miento: “figura lógica de los hechos” (TLP, 3). El pensamiento, según el autor, contienela posibilidad del estado de cosas que piensa (TLP, 3.02). Decir entonces que lasproposiciones de la matemática no expresan ningún pensamiento significa, entre otrascosas, afirmar que ellas no contienen la posibilidad de un estado de cosas en el mun-do. La falta de sentido de tales expresiones, al igual que en el caso de las proposicio-nes de la lógica o de los principios de la física, no puede atribuirse a ninguna de lascategorías mencionadas por Cora Diamond a propósito de la aproximación corriente.De otra parte, creo que para el caso correspondiente tampoco es satisfactoria la alter-nativa que ofrece la autora apoyándose tanto en Wittgenstein como en Frege. CoraDiamond se detiene especialmente en el ejemplo de Carnap: “César es un númeroprimo” y advierte al respecto, y con justa razón, que este no es un ejemplo de un sin-sentido positivo [ positive nonsense], es más, sostiene que no puede darse un ejemplode tal naturaleza. Es posible, sostiene la autora, y en eso tiene razón, asignarle unsignificado a “César” de tal manera que la expresión cobre sentido si nos atenemos alas exigencias de la estructura de la frase. La explicación de Cora Diamond en unsentido débil es adecuada y en un sentido fuerte es desatinada. Tiene razón si la autoratrata de sugerir que la expresión no es un sin-sentido positivo [unsinnig], es decir, si selimita a advertir que la carencia de sentido no se debe en forma exclusiva al significadocorriente que se le asigna a “César”. Pero se equivoca cuando cree que al homologar“César” a “cinco”, por ejemplo, la expresión se salva de la carencia de sentido [sinnloss].Llama la atención que “César es un número primo” despierte tanta curiosidad y noocurra lo mismo con “5 es un número primo”. Este segundo caso es el ejemplo real-mente fuerte en la argumentación wittgensteiniana. “5 es un número primo” es unaexpresión que carece de sentido en una forma más fuerte que “César es un númeroprimo”. “4 es un número primo” no es una expresión verdadera, esto no la convierte enuna expresión falsa, es una expresión carente de sentido [sinnloss] aunque no sea unsin-sentido [unsinnig] como en el caso de “César es un número primo” cuando laspalabras poseen su acepción corriente. Así mismo ocurre con “5 es un número primo”,no es falsa y no por ello es verdadera, carece de sentido y no por eso es un sin-sentido.Quiero exhibir un ejemplo más so pena de cansar al lector: “π es un número primo” noes una proposición verdadera, esto no la hace inmediatamente falsa, carece de sentido[sinnloss] y es también un sin-sentido a la manera de “César es un número primo”,siempre que asignemos a “π” el mismo significado que le asignamos cuando respon-demos con tal símbolo a la pregunta: “¿cuál es la razón entre el perímetro de la circun-ferencia y su diámetro?”.


Trataremos de seguir a continuación la argumentación de Wittgenstein. En elTractatus se advierte con frecuencia que las matemáticas constituyen un métodológico. Esta formulación, sin embargo, puede dar origen a falsas expectativas. Sepuede pensar, por ejemplo, que Wittgenstein defiende un programa logicista comoalternativa de fundamentación. No hay nada de eso al respecto, no pretendeWittgenstein derivar las verdades de la matemática a partir de los llamados axiomasde la lógica; pretende, más bien, resaltar el hecho de que la verdad(!) de las expre-siones de la matemática se puede advertir a partir de las relaciones internas denuestro simbolismo. “Y que las proposiciones de las matemáticas puedan probarse,no significa otra cosa que su corrección [Richtigkeit] es reconocible sin necesidad decomparar, con los hechos, en cuanto a su corrección, lo que ellas expresan.” (TLP,6.2321). Puede advertirse el paralelismo con el tratamiento de las tautologías. No sehabla allí de verdad o falsedad de las proposiciones matemáticas, tales valores es-tán reservados para las proposiciones empíricas, es decir, para aquellas expresionescuyo sentido determina, de antemano, la posibilidad de verdad y cuya comparacióncon los hechos permite la determinación del valor adecuado. “La existencia de rela-ciones internas entre posibles estados de cosas se expresa en el lenguaje corrientepor una relación interna entre las proposiciones que las representan.” (TLP, 4.125).Esta aclaración permite definir las series formales como aquellas que están ordena-das por relaciones internas. La serie de los números es precisamente el primer ejem-plo. Otro ejemplo importante tiene que ver con el hecho de que las proposiciones seencuentran unas respecto de otras en relaciones internas. Este entramado de relacio-nes internas puede verse en forma más clara bajo el concepto de operación. Laoperación es, precisamente, aquello que tenemos que hacer con una proposiciónpara obtener otra de ella. Se trata, entonces, de un encadenamiento interno: “Noso-tros podemos poner de relieve estas internas relaciones en nuestros modos de ex-presión, presentando una proposición como el resultado de una operación que laobtiene de otras proposiciones (las bases de la operación).” (TLP, 5.21). La operaciónno dice nada, es, tan sólo, la expresión de una relación interna. Lo que ella muestra lomuestra a través de su resultado. Esta manera de ver las cosas contribuye, quizá, aentender la insistencia de Wittgenstein en identificar, para el caso de la lógica y lasmatemáticas, proceso y resultado16.

Ahora bien, una vez establecida la operación como una expresión de una relacióninterna, nada nos impide hablar de una sucesiva aplicación de una operación.Wittgenstein construye un simbolismo para expresar la posibilidad de iterar una ope-ración. El simbolismo es el siguiente: [a, x, O´x], el primer término representa elcomienzo de la serie formal, el segundo sustituye un término cualquiera de la serie yel tercero define la forma del término de la serie que sigue inmediatamente a x. Todala expresión es la representación simbólica del concepto “y así sucesivamente”. El

16 Véase, por ejemplo: NB, p.42e; TLP, 6.1261.


paso siguiente en el Tractatus es de importancia capital. Wittgenstein logró mostrarque toda proposición se puede expresar como el resultado de sucesivas aplicacio-nes de una operación especial sobre las proposiciones elementales, a saber, la ne-gación conjunta propuesta por el lógico norteamericano Sheffer17. Con la introducciónde las operaciones es posible completar el andamiaje lógico del Tractatus. El puntode partida lo constituyen las proposiciones elementales, con ellas se da también laforma como se puede obtener otras proposiciones a partir de las elementales hacien-do uso de la posibilidad de iterar una o varias operaciones. Si hacemos uso delsimbolismo para expresar la iteración de una operación referido al caso de las propo-siciones elementales, podemos sugerir lo siguiente: la forma general de una opera-ción Ω´(η) es [η, ξ, N(ξ)]. El término η representa el punto inicial de la serie, ξ repre-senta cualquier término de la serie siempre que se trate de proposiciones, y N(ξ)representa el término siguiente a ξ que se obtiene después de realizar la negaciónconjunta N. Cualquier proposición compleja se puede expresar a partir de la iteraciónde la operación mencionada.

Estas sugerencias permiten presentar el papel que desempeñan los números enel simbolismo lógico. “El número es el exponente de una operación.” (TLP, 6.021).Obviemos, por lo pronto, la dificultad que surge si se advierte que en la noción de “eltérmino siguiente a...” se encuentra ya, de alguna manera, contenida la noción denúmero. Veamos, entonces, cómo transcurre la presentación de los números en elTractatus. Wittgenstein presenta al comienzo las siguientes definiciones (TLP, 6.02):

x = Ω0, x Def.Ω´Ωn, x = Ωn+1, x Def.

Estas definiciones autorizan a escribir la siguiente serie: [ Ω0, x, Ωn, x, Ωn+1, x ].Ahora bien, para efectos de comodidad taquigráfica, Wittgenstein agrega:

0 + 1 = 1 Def.0 + 1 + 1 = 2 Def.0 + 1 + 1 + 1 = 3 Def.etcétera.

Las definiciones de Wittgenstein poseen un par de comillas que dificultan lainterpretación. No se advierte con claridad cuál es el papel sintáctico que desempe-ñan. Por lo pronto podemos sugerir que “Ω´Ωn x” alude a la operación Ω aplicada no

17 Se ha dicho que este paso del Tractatus no es correcto pues la teoría de la cuantificación no se reduce a la lógi-ca veritativo-funcional. El lector puede seguir una réplica valiosa de Juliet Floyd a esta objeción. Floyd usa la notación deWittgenstein para expresar complejas proposiciones cuantificadas como una aplicación iterada del operador de nega-ción conjunta sobre proposiciones elementales. Véase Floyd, J. (2000 b), Apéndice pp. 46-49. No obstante, Juliet Floydtendría aún que mostrar que su método de cuantificación permite reproducir resultados más complejos de cuantificaciónmatemática que no se reducen a una simple iteración.


sobre la operación Ωnx, sino sobre el resultado de la operación Ωnx. En ese caso lapresencia de la coma advierte que la operación se puede iterar sobre el resultado dela operación anterior. De otra parte, el papel de la coma en la expresión “Ωn+1,” es unmisterio18.

Las definiciones sugeridas suponen que todas19 las proposiciones son el resulta-do de operaciones con proposiciones elementales (TLP, 5.3). Así las cosas, cadaproposición elemental puede verse como el resultado de aplicar ninguna vez la ope-ración sobre sí misma. Esto se advierte en la primera definición: “x = Ω0, x”. 0 es elexponente de una operación que no se ejecuta. Si iteramos nuevamente la operación,podemos escribir: “Ω´Ω0,x = Ω0+1,x = Ω1,x”, y nuevamente: “Ω´Ω1,x = Ω1+1,x = Ω2,x,y así sucesivamente. Estas definiciones guardan un cierto paralelismo con la opera-ción sucesor en los axiomas de Peano; para efectos prácticos podemos extraer con-secuencias similares. Sin embargo hay una diferencia crucial en la presentación.Veamos, sin embargo, inicialmente las semejanzas que se pueden advertir. Tome-mos los dos axiomas de Peano que guardan una estrecha similitud con las definicio-nes de Wittgenstein mientras obviamos las discusiones entorno a la naturaleza delprincipio de inducción. Estos axiomas se pueden escribir de la siguiente manera:

Primer axioma: 0 es un número.Segundo axioma: Si n es un número, el subsiguiente de n es también un

número.20

¿Cuál es, entonces, la diferencia? La pregunta es importante sobre todo si seadvierte que algunas consecuencias prácticas son similares. La diferencia capitalreside en que Peano pretende describir por medio de una proposición aquello quesólo se puede exhibir en el simbolismo. En otros términos, “0 es un número”, es decir“0 es el exponente de una operación”, se ve con absoluta claridad en la definición deWittgenstein. La proposición que pretende describir su naturaleza no sólo es super-flua sino que crea la falsa apariencia de un descubrimiento. Ahora bien, en lógicacomo en matemáticas, sostiene Wittgenstein, no hay lugar para las sorpresas21.Cuando digo “0 es un número” creo la ilusión de un paralelismo estrecho con “aguaes H2O”. Este punto debe revisarse con más cuidado. Cuando pensamos en una

18 Creo que se puede defender la siguiente alternativa. Ω´Ωn, x debe leerse de la siguiente manera: aplíquese Ωsobre el resultado de haber aplicado n veces Ω sobre el resultado de Ω0,x. Las dos comillas enfatizan que la operacióndebe realizarse sobre el resultado de otra operación, no sobre la operación misma. En el primer caso se enfatiza en laoperación que le antecede, y, en el segundo caso en la iteración de la operación n veces sobre las que antecedían.

19 No hay duda en que aquí hay un abuso de la expresión “todas”. Difícilmente se puede esperar que Wittgensteintenga éxito replicando, por simple iteración, cuantificaciones complejas de la teoría de números. Habría que ver, por ejem-plo, cómo se puede replicar el hecho de que para cualquier tripleta de números se cumple que (a+b)+c = a + (b+c).

20 El lector puede seguir la presentación de los axiomas en su forma original en: Peano, Giuseppe (1889).21 No hay duda en que los resultados de la matemática son psicológicamente sorprendentes. Sin embargo,

Wittgenstein quiere resaltar la diferencia que existe entre la sorpresa que produce un espectacular resultado de la físi-ca y la sorpresa que produce un espectacular resultado de la matemática. En el caso de la física nos sorprendemos deque el mundo sea así cuando podría ser de otra manera: “es sorprendente que nada supere la velocidad de la luz”. Enlas matemáticas nos sorprende que algo estuviese oculto en el simbolismo sin que nos hubiésemos percatado de ello.


proposición legítima aludimos a la descripción de un estado posible de cosas en elmundo; esto exige que haya una independencia entre el objeto y la descripción delobjeto. Ahora bien, cuando se trata de una relación interna no podemos hablar de talindependencia y por ello no podemos hablar de una descripción genuina. En “aguaes H2O”, objeto y descripción del objeto son independientes, no ocurre así en “0 es unnúmero”. En las conversaciones sostenidas con Waismann, Wittgenstein se expre-saba así al respecto: “En lógica no hay el objeto y la descripción del objeto. Seacostumbra a decir, por ejemplo: ‘No podemos contar todos los números de unamultitud, pero nos es dado hacer una descripción’. Esto es un sinsentido [Unsinn]. Nose puede dar una descripción en lugar de un cálculo; una cosa no es sustitutivo de laotra.” (WCV, III p. 90). Cuando se advierte que en lógica no hay sorpresas se quieredecir que todo lo que allí se encuentre reside ya en el simbolismo. Sin duda hay lugarpara la sorpresa psicológica: puedo maravillarme de algo que logro hacer patente apesar de que todo el tiempo estuvo allí, me asombro de que hubiese pasado inadver-tido. “El descubrimiento lógico”, señala Wittgenstein, “es muy diferente de encontraralgo en un espacio; en el descubrimiento lógico ocurre que si nosotros pudiéramosdescribir completamente lo que estabamos buscando deberíamos entonces ya te-nerlo.” (WL 1930-1932, AX, 4). Así las cosas, cuando decimos que en lógica no haysorpresas advertimos que en lógica se estipulan todas las posibilidades, advertimostambién que nosotros descubrimos nuevos hechos no nuevas posibilidades.

¿Cómo se advierte, entonces, la falta de sentido de “0 es un número”? Una pro-piedad interna no se expresa por una proposición sino que se expresa por sí en laproposición. Esto ocurre en las dos propiedades internas que advierte Wittgensteinen las definiciones que sirven de preámbulo a los números. La diferencia entre pro-piedad interna y propiedad externa es crucial en el Tractatus y como ocurre en toda laobra es el lector quien debe hacer patente tal diferencia. En las conversaciones conWaismann se defiende un ejemplo que ilustra con claridad tal diferencia:

Puedo decir: a mide 2 m. de largo; b, 1.5 m. Así se ve que a es más largo queb. Pero lo que no puedo decir es que 2>1.5. Esto es algo interno. Puedo tambiéndecir: a es un 0.5 más largo que b. Aquí tengo claramente una relación externa, pueses fácilmente pensable que la línea a sea más corta que la b.” (WCV, I, p. 49).Cuando se habla de una propiedad externa es perfectamente pensable que el objetoen cuestión no la posea; cuando se trata de una propiedad interna tal posibilidad esimpensable (TLP, 4.123). De la misma manera que hay propiedades internas, tam-

“


bién es posible hablar de conceptos formales. Los conceptos propios, y en este casopodemos pensar en los conceptos a la manera de Frege, se pueden representar pormedio de una función. No ocurre así con los conceptos formales, ellos se expresanpor medio de una variable. El concepto formal se da cuando se da un objeto que caebajo él (TLP, 4.12721), no cuando se dan tales objetos y el concepto mismo. Así lascosas, objeto es un concepto formal, la variable x es el signo propio del objeto; siquiero decir que hay un objeto que cae bajo el concepto ϕ, sólo tengo que escribir“ϕ(a)”, no tengo que escribir: “∃x ϕ(x) ∧ x = a”. En las conferencias dictadas enCambridge en 1930 Wittgenstein explicaba así la distinción:

Hablando en forma ruda, un concepto puede ser expresado como una funciónproposicional: φ( ) = ( ) es un hombre. Pero nosotros no podemos decir φ( ) = ( ) es unnúmero. Tales conceptos lógicos son pseudo-conceptos y no pueden ser predica-dos como lo son los conceptos ordinarios. Ellos son propiamente expresados poruna variable junto con las reglas de aplicación, las reglas para obtener sus valores.(WL 1930-1932, AV, 2)22.

Número es otro concepto formal, el número muestra un rasgo formal de nuestrosimbolismo, no nombra un objeto independiente de nuestra sintaxis: el número exhi-be el exponente de una operación. Esta observación nos lleva a admitir en formacategórica, siguiendo al Wittgenstein del Tractatus, que número no es un nombre y,por esa razón, no puede formar parte de una proposición. Así se entiende porquérazón “0 es un número” no es una proposición; tampoco lo es “5 es un número primo”ni “π es un número primo”. Todas ellas son expresiones que carecen de sentido en unsentido más fuerte que el advertido por Cora Diamond. De otra parte, del hecho deque número no pueda ser un nombre se sigue, también, que no hay objetos aritmé-ticos, nada le corresponde a la expresión de un número, así como nada le correspon-de a las constantes lógicas.

¿Cuál es, entonces, el papel que desempeñan las expresiones aritméticas? Podría-mos pensar que se trata de normas de descripción y que desempeñan un papel similara los principios de la mecánica. Esta posibilidad está fundada en el hecho de queformulamos expresiones como “5 manzanas mas 7 manzanas equivale a 12 manza-nas”, allí parece advertirse que estamos haciendo uso de “5 + 7 = 12” en la vidapráctica. Sin duda hacemos uso de tal expresión, pero no es el uso el que determina sunaturaleza ni el tipo de validez que le compete a la expresión. Si por alguna razón desco-nocida ocurriera que un genio maligno devorara una manzana mientras adelantamos elconteo, no por eso la expresión “7 + 5 = 12” perdería su peculiar validez. “En matemá-ticas no hay sorpresas” quiere decir que allí no cabe la posibilidad de pensar en un

22 Esta presentación de Wittgenstein tiene sin duda una conexión con el problema que tanto inquietaba a Frege apropósito de la paradoja de Kerry, quien sugería que las recomendaciones de Frege nos conducirían a la formulaciónparadójica siguiente: “El concepto caballo no es un concepto”. Véase, Frege, Gottlob (1892).


argumento análogo al del genio maligno. Si las cosas marchan bien en el simbolismo,nada invalidaría “7 + 5 = 12”, por esa razón nada lo confirmaría tampoco. Lo que ellamuestra se reconoce ya en el simbolismo. La validez de las expresiones matemáticaspuede denominarse esencial por oposición a la validez accidental (TLP, 6.1232).

Las proposiciones de la matemática, sugiere Wittgenstein, son ecuaciones: “Lalógica del mundo, que en las proposiciones de la lógica aparece en tautologías, apare-ce en matemáticas en ecuaciones.”23 (TLP, 6.22). Las ecuaciones son a la matemáticalo que las proposiciones de la lógica son a la lógica. Podemos presentar dos rasgosbásicos de la semejanza que existe entre ecuaciones y proposiciones de la lógica(tautologías). En primer lugar, las dos no dicen nada, no son descripciones. En segun-do lugar, lo que ellas muestran se reconoce ya en el simbolismo, lo muestran por símismas. El primer rasgo es compartido por los principios de la física, el segundo no.Cuando hablamos de una ecuación, a la manera de Wittgenstein, hacemos alusión ados expresiones unidas por el signo de igualdad (TLP, 6.23). Con ella autorizamos lasustitución de un término por el otro. La posibilidad de esa sustitución, sin embargo,debe verse ya en el simbolismo, no puede adquirir la naturaleza de un descubrimiento.Cuando la escribimos reconocemos de antemano que ya estaba allí con toda su pleni-tud. Veamos, por ejemplo, cómo se reconoce ya en el simbolismo la validez de lasustitución: “2 x 2 = 4”. Wittgenstein presenta este ejemplo en 6.241, sin embargo allílo hace de una manera muy apretada y sin ninguna compasión hacia el lector. Haremosaquí lo posible por presentar la estructura de la demostración anterior.

23 Esta es, sin duda, una reducción extrema del Tractatus. Wittgenstein no muestra, por ejemplo, cómo reproducir,por medios finitistas, resultados matemáticos que incorporen cardinales transfinitos. Russell advierte esta limitaciónen la introducción que preparó para el Tractatus. Así las cosas, Wittgenstein no muestra cómo podría reducir una partemuy importante de la matemática a su noción limitada de ecuación. Podríamos mencionar también la exigencia de pre-sentar los resultados de la geometría bajo la forma de ecuaciones. No veo cómo pueda adelantarse esta tarea.

(Ων)µ´ x = Ωνxµ´ x Def.Ω2x2´ x = (Ω2)2´ x Se aplica la definición para el caso en que ν = µ = 2.

En este caso no necesito ninguna regla adicional, puesme basta con reconocer qué sería un caso particularde esta regla general.

(Ω2)2´ x = (Ω2)1+1´ x Se aplica la definición “1+1=2”(Ω2)1+1´ x = Ω2´Ω2´ x Se aplica la definición: “Ω´Ων, x = Ων+1, x” para el caso

en que Ω´ = Ω2, y n = 1.Ω2´Ω2´ x = Ω1+1´Ω1+1´ x Se aplica la definición: “1+1=2”Ω1+1´Ω1+1´ x = (Ω´Ω´)´(Ω´Ω)´ x Se aplica la definición: “Ω´Ων, x = Ων+1, x” para el caso

en que Ω´ = Ω, y ν = 1.(Ω´Ω´)´(Ω´Ω)´ x = Ω´Ω´Ω´Ω´ x (Ω´Ω)´x exige que se tome, pues, el resultado de la

operación, es decir: Ω´Ω´x. Lo mismo ocurre despuéscon (Ω´Ω´)´(Ω´Ω´x).

Ω´Ω´Ω´Ω´ x = Ω1+1+1+1 x Por la aplicación iterada de “Ω´Ων, x = Ων+1, x” con n = 1.Ω1+1+1+1 x = Ω4´ x Por la definición: “1+1+1+1=4”.Ω2x2´ x = Ω4´ x Por la transitividad de las igualdades. Q.E.D.


Este ejemplo muestra la manera como “2x2=4” ya está contenido en elsimbolismo, muestra también que “2x2=4” expresa una relación interna y, por últi-mo, presenta el papel de las ecuaciones: autorizar una sustitución. Lo que hemoshecho aquí es tan sólo presentar un expediente mecánico que facilita el reconoci-miento de la sustitución (TLP, 6.1262). Este, sin duda, es otro rasgo común entre lastautologías y las ecuaciones.

Cuando Wittgenstein está pensando en ecuaciones, no hay duda en que estápensando en la sustituibilidad de expresiones aritméticas. Ellas son expresionesde la forma: “7+5=12”, “9x7=63”, “(a+b)2=a2+2ab+b2”. Las dos primeras sonecuaciones aritméticas, la última es una ecuación algebraica. En las dos prime-ras se ve con claridad qué clase de sustitución permiten; no ocurre así con laúltima expresión. “La ecuación algebraica”, dice Wittgenstein, “en tanto que ecua-ción entre números reales es, a no dudarlo, una ecuación aritmética, puesto quealgo aritmético yace detrás de ella. Sólo que yace detrás de la ecuación algebraicade un modo diferente de como lo hace cuando yace detrás de 1+1=2.” (PR, XIV,§ 167). Una ecuación algebraica se justifica a partir de lo que Wittgenstein deno-mina una inducción. Este procedimiento, sin embargo, no aporta una demostra-ción sino una estipulación. En las conversaciones sostenidas con Waismann endiciembre de 1930, en un tono que ya se alejaba de TLP, Wittgenstein propusodos clases de pruebas con el ánimo de enfrentar las discusiones asociadas conla naturaleza del infinito; es decir, con el animo de mostrar que el concepto deinfinito hace alusión a la posibilidad ilimitada de una regla y no a una entidad.Esta distinción es importante no sólo para aclarar el sentido del término inducciónutilizado por el filósofo, sino para aclarar también el papel de algunas expresionesdenominadas corrientemente con el vocablo de metamatemáticas. Sigamos, en-tonces la distinción mencionada:

“En las matemáticas hay dos clases de pruebas: 1) Una prueba que prueba unafórmula determinada. Esta fórmula aparece en la prueba misma, como su última for-mación. 2) La prueba por inducción. Aquí lo primero que salta a la vista es que laproposición que hay que probar no aparece en la prueba misma. La prueba, por lotanto, no prueba la proposición, o sea, la inducción no es un procedimiento que llevea una proposición. Más bien, la inducción nos hace ver una posibilidad infinita y en elloconsiste la esencia de una prueba por inducción.” (PR, Segundo apéndice, p. 328).

En ese orden de ideas, “a+(b+c)=(a+b)+c” no es una proposición sino el nom-bre para una inducción, no es tampoco una ecuación en sentido estricto sino la leypara formar un número ilimitado de ecuaciones24.

24 El lector puede seguir al respecto las observaciones a propósito de la demostración del teorema de Skolem. Nosocuparemos de la distinción que propone Wittgenstein en el capítulo 5 (sección 5.1).


No es del todo claro que tengamos que admitir que todas las expresiones de lamatemática se pueden reducir a ecuaciones aritméticas, de hecho no es claro queeso ocurra con todas las proposiciones de la aritmética. ¿Qué ocurre, por ejemplo,con expresiones de la forma “no existe un número primo que sea mayor que cualquiernúmero primo”? ¿Qué se puede decir de ciertas expresiones de la matemática quese reconocen como expresiones válidas: “7>5”? No hay duda en que las afirmacio-nes de Wittgenstein son muy restringidas. El Tractatus ofrece un tratamiento muyreducido de las expresiones matemáticas25. Sólo se ocupa de ellas, en forma explíci-ta, en los aforismos 6.001-6.031 y 6.2-6.241, es decir 24 aforismos. El lector adquierela sensación de que se han dejado de tratar temas capitales; no se sabe, por ejem-plo, cuál es el papel que desempeñan las proposiciones de la geometría, qué pasacon los números reales, con las geometrías o álgebras abstractas etcétera, etc.. Nose advierte tampoco alguna estrategia para reducir todas las proposiciones de lamatemática a ecuaciones. En fin, se advierte sin duda una gran debilidad.

En síntesis, las llamadas proposiciones de la matemática no poseen la mismanaturaleza gramatical que las proposiciones empíricas. Las segundas son proposicio-nes con sentido, es decir, a ellas pertenece tanto la posibilidad de ser verdaderascomo de ser falsas y, en ese sentido, determinan la realidad describiéndola. Las prime-ras, al contrario, carecen de sentido, es decir, dado que no hay verdades a priori y dadoque nada en el mundo las confirma o las invalida, no puede decirse stricto sensu quesean verdaderas. Esta afirmación, sin embargo, debe restringirse al ámbito clásicoimpuesto por la bipolaridad. Al negar tal posibilidad, se niega también la alternativa deconsiderarlas falsas. Así las cosas, a no ser que reclamemos un nuevo uso para losvocablos “verdadero” y “falso”, las expresiones matemáticas no describen un posibleestado de cosas en el mundo. Lo que podríamos llamar la “corrección” [Richtigkeit] deuna expresión matemática es sólo la expresión de un rasgo estructural; en otras pala-bras, es la expresión de una rasgo formal o sintáctico de nuestro simbolismo. El len-guaje ofrece, pues, la intuición necesaria para resolver un problema matemático.

2.4 La naturaleza de los aforismos del TractatusLa dificultad suele ser un acompañante natural de todo texto importante en filoso-

fía. El Tractatus logico philosophicus, editado por primera vez en inglés en 1922, no esla excepción. No obstante, la dificultad a la que queremos hacer mención en el casodel tratado de lógica del filósofo austríaco es de una naturaleza por entero diferente ala que solemos estar acostumbrados. ¿Por qué razón el Tractatus resulta especial-mente difícil? Este singular tratado de lógica exige que cambiemos nuestra actitudhacia lo que comúnmente se denomina un problema y una exposición filosófica. Sinembargo, la recomendación anterior no se puede entender sin antes haberse sumer-

25 Esta debilidad fue advertida tanto por Ramsey como por Russell.


gido en las profundidades del tratado. Exploremos, entonces, la fuente de la dificul-tad. Nos ocuparemos en primer lugar de descartar posibles alternativas para explicarel origen de la misma, a continuación exploraremos algunas anotaciones paradójicasque pueden ofrecer pistas importantes; y, por último nos detendremos en presentarla tesis asociada con la naturaleza de los aforismos del Tractatus.

Algunos textos centrales en el ámbito de la tradición filosófica deben su peculiardificultad a las condiciones particulares que hicieron posible su edición final. Lostextos que hemos llegado a reconocer como obras provenientes de la pluma deAristóteles aportan un claro ejemplo. La edición de los textos adjudicados al llamadoSegundo Wittgenstein, a excepción de las Investigaciones Filosóficas, guardan uncierto parecido. El caso del Tractatus es completamente diferente. Wittgenstein con-troló y supervisó los pormenores relacionados con la edición del texto. No hay dudaentonces de que Wittgenstein consideraba, a pesar de algunas deficiencias meno-res, que la edición final del Tractatus se ajustaba adecuadamente al texto original. Enconsecuencia, la dificultad del libro no se puede explicar aduciendo problemas rela-cionados con la edición.

Otros libros de filosofía deben su dificultad a la jerga especializada que los auto-res deben asumir para no confundir sus categorías o conceptos con términos decirculación corriente. Este es el caso de algunos textos de Heidegger, Husserl y otros.Este definitivamente no es un elemento que forme parte del estilo wittgensteiniano.El filósofo austríaco sentía una aversión inocultable hacia la jerga especializada de losprofesores de filosofía. De hecho, el Tractatus tampoco agobia al lector con comenta-rios cargados con cierto aire de erudición.

Algún lector puede pensar que la dificultad proviene del estricto formalismo, elcual demanda, o bien una exigente formación previa, o bien una concentraciónagotadora. Es cierto que el lector cuidadoso debe seguir con atención una estructuraformal que demanda una atención muy especial. No hay duda en que un lector fami-liarizado con los problemas que atormentaron tanto a Frege como a Russell posee ya,en el ámbito de los pormenores formales, una leve ventaja sobre aquel lector que losdesconoce. No obstante, allí no reside la dificultad central. Nadie desconocería queFrege llenaba con lujo de detalles las condiciones previas que habrían hecho de él unexcelente lector del Tractatus aunque discrepara de sus tesis centrales. Sin embargo,hemos de señalar con toda la crudeza que ello implica que Frege no entendió eltratado de Wittgenstein. Y no lo entendió, no porque tuviese dificultades con la es-tructura formal, sino por no atender, como veremos en unas páginas adelante, larecomendación de cambiar nuestra actitud hacia lo que se denomina una exposiciónfilosófica. En resumen, aunque el libro encierra una cierta complejidad formal, noreside allí la fuente principal de la dificultad.

Algunos textos importantes de filosofía se entienden únicamente si el lector estáfamiliarizado con la tradición a la que pertenece el libro. El carácter erudito de la obra


de Heidegger, por ejemplo, exige que el lector posea ya una cierta familiaridad con latradición extensa de la filosofía occidental: Heráclito, Parménides, Platón, Aristóteles,Tomas, Descartes, Kant, Hegel, Schelling, Kierkegaard, Nietzsche... Podemos excu-sar al lector del Tractatus de tan exigente requisito. “De en qué medida coincidan misesfuerzos con los de los demás filósofos no quiero juzgar.” Advierte Wittgenstein ycontinua: “En efecto, lo que yo aquí he escrito no tiene ninguna pretensión de nove-dad en particular. Por consiguiente no menciono las fuentes, porque es para mí in-diferente que aquello que yo he pensado haya sido pensado por alguien más antesque yo.” (TLP, prologo, p. 33).

Podríamos pensar también que la dificultad proviene de la estructura argumentativa.Algo parecido a lo que ocurre con los escritos filosóficos de Tomas de Aquino. Ellector de la Suma Teológica debe emplear horas enteras descifrando uno a uno lossilogismos que tejen la obra. Algo muy diferente ocurre con los textos de Wittgenstein.El Tractatus Logico Philosophicus ofrece pocos argumentos. Cuando el lector abre laprimera página y lee el primer aforismo –“El mundo es todo lo que es el caso”- puedeadvertir cierto aire de familia con la primera página del Génesis. Cada formulación delTractatus se ofrece sin mayor explicación o justificación. El estilo de persuasiónwittgensteiniana es completamente original: el autor no pretende convencernos ha-ciendo uso de proposiciones verificadas o inferidas a partir de otras incuestionables.

La dificultad que queremos resaltar no proviene, pues, de los accidentes de laedición del libro, ni de la jerga especializada, ni del formalismo, ni de la erudición quedemanda el conocimiento detallado de una tradición, tampoco de la estructura de laargumentación. ¿De dónde proviene entonces la dificultad? Wittgenstein reconocía ypadeció el hecho de ver que su libro no era entendido y era, más bien, con frecuenciamal interpretado. En algunas ocasiones indicó una serie de pautas que sugerían laforma adecuada de acercarse al texto. Tales recomendaciones tampoco son del todoclaras y exigen ya una cierta familiaridad con el escrito. Detengámonos, por lo pronto,en algunas de tales sugerencias. Citaré las recomendaciones que me interesan y acontinuación me ocuparé de ellas:

(1) “Algunas veces una frase puede ser entendida únicamente si es leída en eltiempo correcto. Todas mis frases están calculadas para ser leídas lentamente.” (CV, p. 57).

(2) “Mi trabajo consta de dos partes: una presente aquí más todo lo que yo nohe escrito. Y es precisamente esta segunda parte la que es importante.”26

(3) “En mi libro me las he ingeniado para colocar todo firmemente en el lugar alguardar silencio acerca de ello, el libro dirá una gran porción de lo que tú quieresdecir. Sólo que tal vez no verás que esto se ha dicho en el libro. Por ahora te

26 Carta a Ludwig von Ficker, editor de Der Brenner. Citada en Wright, G. H. von (1971), p. 15.27 Ibid, p. 16.


recomiendo que leas el prefacio y la conclusión, pues ellos contienen la expresiónmás directa del punto del libro.”27

(4) “El punto principal [del Tractatus] es la teoría de lo que puede expresarse(gesagt) por las proposiciones, esto es, por el lenguaje (y, lo que equivale a lomismo, lo que puede ser pensado) y lo que no puede ser expresado por proposi-ciones, sino sólo mostrado (gezeigt); creo que este es el problema cardinal de lafilosofía.” (CRKM, 68 p. 124).

(5) “Quizás este libro sólo puedan comprenderlo aquellos que por sí mismoshayan pensado los mismos o parecidos pensamientos a los que aquí se expresan.No es por consiguiente un manual.” (TLP, prologo, p. 31).

(6) “Mis proposiciones son esclarecedoras de este modo; que quien me com-prende acaba por reconocer que carecen de sentido, siempre que el que compren-da haya salido a través de ellas fuera de ellas. (Debe, pues, por así decirlo, tirar laescalera después de haber subido.) Debe superar estas proposiciones; entoncestiene la justa visión del mundo.” (TLP, 6.54).

La recomendación (1) y la segunda parte de (3) advierten claves muy importan-tes: leer cada frase del libro lentamente, aún aquellas que creemos entender contoda seguridad, y detenerse especialmente en el prefacio y la conclusión: ellos apor-tan una visión sinóptica del propósito y el estilo del texto. La anotación (5) proviene delprefacio y la anotación (6) de la conclusión. (5) recomienda no leer el libro como unmanual, no pensar que allí se exhibe un método o un algoritmo para encarar losllamados problemas de la filosofía. El Tractatus no sugiere ningún método y menosaún expone una teoría. Una vez queramos hacer del Tractatus un novum organum,como pretendían Carnap y el Círculo de Viena, o una teoría general de la representa-ción, el lenguaje o el significado, habremos errado el camino que nos permite advertirlas preocupaciones esenciales del autor: habremos, por así decirlo, renunciado a larecomendación de arrojar la escalera una vez hemos ascendido a través de ella. Noobstante, la advertencia inicial de (5) es realmente desconcertante: la comprensióndel libro está reservada para aquellos que hayan tenido los mismos o similares pen-samientos. Si yo he tenido los mismos pensamientos, el libro ya no me dice nadanuevo, si ese no es el caso, difícilmente podré llegar a comprender la naturaleza y elalcance del tratado. Wittgenstein insiste en (5) que debemos aprender a pensarcomo él para leer el Tractatus entendiéndolo. No entenderemos el Tractatus si insisti-mos en presentarlo o reducirlo bajo el aspecto de una teoría o de un sistema. Siqueremos seguir el Tractatus entendiéndolo, independientemente de si compartimoso no su perspectiva general, debemos renunciar a encontrar en él un cuerpo o siste-ma teórico. De hecho, tal y como lo advierte (6), ninguna expresión del Tractatusconstituye, en rigor estricto, una proposición legítima.


Las anotaciones (2) y (3) son igualmente desconcertantes. Es difícil seguir a unautor que sugiere que lo más importante de su texto no está escrito en él y que, porel contrario, se ha omitido. Igualmente difícil es entender al autor que advierte quequizá el lector no pueda ver lo que se ha escrito en su libro. Conviene advertir previa-mente el contexto en el que Wittgenstein escribió su carta a Ludwig von Ficker. Lacarta es parte de los últimos y agotadores esfuerzos del filósofo por conseguir uneditor para su libro. Wittgenstein estaba tratando de convencer a un editor que nopodría sumergirse en los abstrusos laberintos lógicos del tratado pero que podríaposeer una sensibilidad particular hacia las preocupaciones éticas. No pretendo mi-nimizar la importancia de las preocupaciones éticas del filósofo austríaco, sin embar-go, creo que si se toma a la ligera la recomendación de advertir que es más impor-tante lo que no está escrito podemos caer en simplificaciones elementales. Despuésde recorrer los intrincados caminos del tratado lógico y una vez nos hemos convenci-do que no puede haber proposiciones de ética (TLP, 6.42) y que la solución del pro-blema de la vida está en la desaparición de este problema (TLP, 6.52), podemosllegar a entender que lo más importante se ha quedado por fuera de lo pensable, o,lo que es lo mismo, de lo decible, de lo expresable. El Tractatus termina en el silencio,eso es cierto. Diremos también que termina en el reposo. Lo más importante delTractatus está dicho en el Tractatus. Sin embargo hay que hacer un esfuerzo muygrande por llegar a entenderlo como sugiere el autor: es decir, debemos hacer ungran esfuerzo por entrever el papel de elucidaciones que desempeñan sus afirmacio-nes. En la medida en que nos esforcemos por traducir sus expresiones a proposicio-nes seremos incapaces de advertir el sentido del texto y podremos terminar creyen-do que efectivamente lo más importante reside en otro lugar.

La recomendación (5) advierte una de las distinciones centrales del Tractatus. Setrata de la distinción entre decir y mostrar. Cuando Wittgenstein establece tal distin-ción está pensando en las limitaciones del simbolismo, en las limitaciones que lleva-ron a Frege, como veremos más adelante, a hablar de elucidaciones. No debemospensar que aquello que se muestra sin poderse expresar es alguna suerte de verdadsublime que trasciende los límites del pensamiento. He aquí algunas de las cuestio-nes que se muestran a sí mismas en un simbolismo correcto: dos proposicionesmuestran por su estructura si una contradice a la otra, o si una se sigue de la otra(TLP, 4.1211), la lógica del mundo (TLP, 6.22), la forma lógica de la realidad (TLP,4.121), el sentido de la proposición (TLP, 4.022), que algo cae bajo un conceptoformal (TLP, 4.126), que hay objetos (TLP, 4.1272), que 1 es un número (TLP, 6.021),las propiedades y relaciones internas (TLP, 4.122).

Nos ocuparemos a continuación de la declaración que hace Wittgenstein acercade sus propios aforismos: ellos carecen de sentido. Por razones obvias, se trata deuna declaración sorprendente y extraña a la vez. Yo creo que la lectura que se puedehacer del Tractatus depende, en gran medida, de la actitud que adoptemos frente a


tal declaración. El Tractatus está lleno de formulaciones sorprendentes. Algunas sor-prenden por su complejidad, mientras que otras sorprenden por la profundidad quese esconde detrás de una formulación aparentemente sencilla. Definitivamente no esfácil entender el Tractatus y tampoco es fácil recomendar la forma supuestamenteadecuada para leerlo. Sin embargo, sí podemos proponer una primera máxima paraenfrentar la tarea: el Tractatus no debe leerse como un libro de texto. Esta es lasegunda recomendación del autor en el prefacio del libro.

El penúltimo aforismo del libro reza de la siguiente manera: “Mis proposicionesson esclarecedoras de este modo; que quien me comprende acaba por reconocer quecarecen de sentido, siempre que el que comprenda haya salido a través de ellas fuerade ellas. (Debe, pues, por así decirlo, tirar la escalera después de haber subido.) Debesuperar estas proposiciones; entonces tiene la justa visión del mundo.” (TLP, 6.54).Quiero detenerme inicialmente en dos puntos: las expresiones del Tractatus sonelucidaciones, no son proposiciones; y, aquel que las entiende reconoce que carecende sentido28. De alguna manera los dos puntos están relacionados, pues aquel que lasentiende y admite de antemano lo que significa tener sentido en el marco de TLP, debeentonces admitir que si tales expresiones carecen de sentido no pueden ser, por lotanto, proposiciones. Las elucidaciones de TLP no describen un estado de cosas en elmundo, de hecho tampoco aportan la descripción adecuada del fenómeno del lengua-je. No hay en TLP, esto creo que se puede defender categóricamente, una teoría dellenguaje. No hay allí una teoría pictórica de la representación. El aforismo que hemostraído a la discusión se debe complementar con lo indicado en 4.112: “El objeto de lafilosofía es la aclaración lógica del pensamiento. Filosofía no es una teoría, sino unaactividad. Una obra filosófica consiste esencialmente en elucidaciones.” (TLP, 4.112).Las alusiones a un esquema pictórico de la representación deben entenderse como

28 Debo advertir, sin embargo, que Wittgenstein hace alusión en el citado aforismo a aquella persona que lo en-tiende, no a aquella persona que entiende sus afirmaciones. Esta diferencia, aunque sutil, es de vital importancia. Agra-dezco al profesor Raúl Meléndez el que haya dirigido mi atención sobre este punto.

29 En sus notas autobiográficas, Carnap reconoce la gran influencia que recibió de la obra temprana de Wittgenstein.Sin embargo, y a pesar de reconocer la importancia de la distinción entre lo que se puede decir y lo que tan sólo se puedemostrar, Carnap propuso elaborar una teoría general del lenguaje: “En oposición a ésta visión [se refiere a la distinción men-cionada unas líneas atrás ], primero tentativamente, después más y más claramente, nuestra concepción nos condujo aque es posible hablar signicativamente acerca del lenguaje y acerca de la relación entre una proposición y el hecho descri-to... Entonces es posible construir una teoría acerca del lenguaje, digamos la geometría de los patrones escritos. Esta ideame condujo más tarde a lo que yo llamé ‘sintáxis lógica’ del lenguaje.” (Carnap, 1963, p. 29). En Logical syntax Carnap dife-rencia entre el lenguaje-objeto y el lenguaje-sintaxis en el cual se formula la sintaxis del lenguaje-objeto. Ahora bien, ¿esnecesario separar estos dos lenguajes? Carnap explora inicialmente dos alternativas posibles: o bien respondemos en for-ma afirmativa, como lo hace Herbrand, caso en el cual se necesita un tercer lenguaje para la formulación de la sintaxis dellenguaje-sintaxis y así indefinidamente; o bien respondemos en forma negativa, como lo hace Wittgenstein, caso en el cualexiste tan sólo un lenguaje y lo que llamamos la sintaxis no puede ser expresado cabalmente en tal lenguaje; aquello sólopuede ser mostrado. Opuesto a estas dos alternativas, Carnap intentó mostrar que es posible valernos únicamente de unlenguaje sin renunciar a la posibilidad de expresar cabalmente la sintaxis. Carnap hizo lo posible por demostrar que la sin-taxis de tal lenguaje se puede formular al interior del lenguaje mismo. “En cada lenguaje S,” concluyó Carnap, “la sintaxisdel lenguaje cualquiera que sea –bien sea una clase enteramente diferente de lenguaje, o un sublenguaje, o aún S mismo-puede ser formulada en una extensión limitada únicamente por la riqueza de los medios de expresión del lenguaje S.” (Carnap1937, § 18, p. 53). Carnap hace uso después, en el parágrafo 19, de la aritmetización de Gödel para responder a lo que élllama la doctrina tractariana. Él concibe primero el lenguaje mismo como un objeto puramente sintáctico y luego usa elmétodo gödeliano de la aritmetización para correlacionar números con símbolos. El metalenguaje sintáctico es involucradoen el lenguaje-objeto y, de esa manera, el lenguaje objeto puede expresar su propia sintaxis.


elucidaciones y deben abandonarse una vez hemos logrado el objetivo propuesto en elTractatus. En ese orden de ideas, quienes pretenden construir una semántica o unaepistemología a partir del Tractatus, como es el caso de Russell o Carnap29 y el Círculode Viena, muestran con ello que se han extraviado por completo en la interpretaciónde TLP. Hay que reconocer, sin embargo, que el aforismo desconcierta: ¿cómo he-mos de entender a alguien que deliberadamente profiere expresiones que carecende sentido? ¿Qué es, entonces, lo que debemos entender? Definitivamente no puedoimaginar un libro de física, Los principios matemáticos de la filosofía natural y susistema del mundo, de Sir Isaac Newton, por ejemplo, con un final parecido al quesugiere Wittgenstein: “Todo lo que he tratado de expresar carece de sentido: una vezusted entiende y admite que los hechos confirman que la Luna es atraída hacia laTierra por una fuerza que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia,reconoce entonces que esto carece de sentido y, en consecuencia, lo puede hacer aun lado”. Un libro así no podría cambiar nuestra concepción del mundo físico. ¿Porqué creemos que un libro de filosofía con ese final sí puede cambiar nuestra pers-pectiva de los llamados problemas de la filosofía? Estamos cerca de la situacióndesconcertante: mientras un libro de física no tendría ningún futuro con ese final, unlibro de filosofía parece apoteósico con dicha terminación: “¡eso es lo que estabamosesperando!” replican las campanas en las iglesias metafísicas: “¡un texto que pusie-ra en evidencia el carácter inefable de la metafísica!”

A esta situación desconcertante se le suma otra confusión igualmente compleja.Se trata de la distinción entre decir y mostrar. Los dos puntos son capitales a la horade descifrar el pensamiento de Wittgenstein. Sostengo, entre otras cosas, que no setrata sólo de un rasgo distintivo de su primer período, sino que en ellos se expresauna concepción de toda la filosofía wittgensteiniana. Es decir, por un lado, todos losaforismos de Wittgenstein, aún los de las Investigaciones Filosóficas, deben leersecomo elucidaciones; y, por otro lado, hay que atender siempre la distinción entre loque se puede decir y lo que se puede mostrar. Veamos por ahora la distinción. “Loque se puede mostrar no puede decirse.” (TLP, 4.1212) “Hay, ciertamente, lo inexpre-sable, lo que se muestra a sí mismo; esto es lo místico.” (TLP, 6.522). Pasajes simi-lares y algunas declaraciones adicionales de Wittgenstein dan pie a algunos intérpre-tes para sostener que Wittgenstein defiende la existencia de una suerte de verdadesinefables que no pueden ser expresadas por el lenguaje. No deja de ser curioso, y almismo tiempo sospechoso, que tales verdades inefables se puedan enumerar: dosproposiciones muestran por su estructura si una contradice a la otra, o si una se siguede la otra (TLP, 4.1211), la exactitud de las formulaciones del solipsista: el mundo esmi mundo (TLP, 5.62), la lógica del mundo (TLP, 6.22), la forma lógica de la realidad(TLP, 4.121), el sentido de la proposición (TLP, 4.022), que algo cae bajo un conceptoformal (TLP, 4.126), las propiedades y relaciones internas (TLP, 4.122). No creo que lalista sea exhaustiva; no obstante, eso no tiene ninguna importancia. El asunto es


complicado pues parece sugerir la siguiente incómoda clasificación de expresiones:primero, proposiciones que describen un estado de cosas en el mundo (estas propo-siciones son todas contingentes); segundo, expresiones que limitan el espectro deposibilidades de nuestro simbolismo o que exhiben un rasgo del mismo (tautologíasy ecuaciones matemáticas); tercero, expresiones de verdades que no se puedencapturar con nuestro simbolismo (verdades inefables); cuarto, combinaciones deruidos sin ningún papel o importancia en nuestras prácticas. La dificultad reside, sinduda, en el tercer punto30. Quizá en este punto se encuentre, precisamente, la razónpor la cual Frege nunca pudo entender las primeras afirmaciones del texto. Frege seobsesionaba, entre otras cosas, por aclarar si la partícula “es” del primer aforismo

30 En el artículo que hemos referenciado unas páginas atrás, Carnap plantea el problema en estos términos: “Lasdeclaraciones [plenas de significado: Meaningful] se dividen en las siguientes clases. Primero, hay declaraciones queson verdaderas únicamente en virtud de su forma (‘tautologías’, de acuerdo a Wittgenstein; ellas corresponden aproxi-madamente a los ‘juicios analíticos’ de Kant). Ellas no dicen nada acerca de la realidad. Las fórmulas de la lógica y lasmatemáticas pertenecen a esta clase. Ellas no son en sí mismas declaraciones fácticas, pero sirven para la transfor-mación de tales declaraciones. En segundo lugar, están las negaciones de tales declaraciones (‘contradicciones’). Ellasson auto contradictorias por lo tanto falsas en virtud de su forma. Con respecto a todas las otras declaraciones la deci-sión acerca de la verdad o la falsedad reside en las oraciones protocolares [protocol sentences]. Ellas son en conse-cuencia declaraciones empíricas (verdaderas o falsas) y pertenecen al dominio de las ciencias empíricas. Cualquier de-claración que alguien desee construir y que no caiga bajo estas categorías llega a ser automáticamente carente designificado [meaningless]. Dado que la metafísica no quiere aseverar proposiciones analíticas, ni caer bajo el dominio delas ciencias empíricas, está obligada o bien a emplear palabras para las cuales no se ha especificado ningún criterio deaplicación y en consecuencia son carentes de sentido, o bien a combinar palabras plenas de significado en una formatal que no se produzca ni una declaración analítica (o contradictoria) ni una declaración empírica. En cualquier casopseudo-declaraciones son el producto inevitable.” (Carnap (1932), p. 76). No hay que perder de vista que Wittgensteinsiempre desaprobó el uso y la interpretación que Carnap pretendía hacer del Tractatus. En particular, Wittgenstein siem-pre negó que su interés fuese construir un lenguaje perfecto para que sirviese de instrumento para las ciencias positi-vas. Sería aún más extraño que un texto con dicho propósito terminara sugiriendo que todas sus propuestas deberíanabandonarse por su propia falta de sentido. “No puedo imaginar”, le dice Wittgenstein a Schlick, “que Carnap haya malinterpretado completamente las oraciones del libro –y en consecuencia la concepción fundamental de todo el libro.” (Cartaa Moritz Schlick, agosto 8 de 1932, citada en Nedo, M. y Ranchetti, M. (1983), p. 255). Si hacemos a un lado la alusión alas oraciones protocolares y recordamos que Wittgenstein reserva el término ‘sentido’ para las proposiciones (no paralas palabras) y ‘significado’ para los nombres, Carnap esta señalando con claridad el destino de la Metafísica si nos ate-nemos a las observaciones que se desprenden del Tractatus. Resulta de gran interés seguir la crítica que Conant pre-tende formular a la manera como Carnap quiere cimentar sus ideas en el Tractatus. “Carnap”, afirma Conant, “busca unmétodo que nos equipe con criterios que le permitan a alguien establecer que otro está hablando sin sentido, mientrasque Wittgenstein (tanto el primero como el segundo) busca un método que pueda únicamente ser practicado por al-guien sobre sí mismo.” (Conant, James (2001), p. 61).

31 En una carta del 3 de abril de 1920, Frege hizo explícitas las dificultades que tenía para entender la primera pági-na del Tractatus: “Yo empiezo inmediatamente a estar en desacuerdo con lo que usted ha escrito: en la misma primeraproposición [Satz]. No porque yo la encuentre falsa, sino porque el sentido [Sinn] no es claro para mí. ‘El mundo es todo loque es el caso’. El ‘es’ es usado o bien como una mera cópula, o como el signo de identidad en el pleno sentido de ‘es lomismo que’. Mientras el ‘es’ de la cláusula subordinada es obviamente una mera cópula. Tan sólo puedo entender el ‘es’de la cláusula principal en el sentido de un signo de identidad. No creo que haya duda posible aquí. ¿Pero la identidaddebe entenderse como una definición? Esto no es tan claro. ¿Quiere usted decir ‘Yo entiendo por ‘mundo’ todo lo que esel caso’? Entonces ‘El mundo’ es la expresión definida, ‘todo lo que es el caso’ es la expresión que define. En este casopor medio de esto nada es aseverado ni del mundo ni de lo que es el caso; más bien, si algo se supone que es asevera-do, esto es algo acerca del uso del lenguaje que hace el autor. Qué tan lejos y cuánto de este uso puede coincidir con ellenguaje corriente es un asunto diferente, el cual es, sin embargo, de poco interés para el filósofo una vez él ha estable-cido su uso del lenguaje. Si usted sin embargo no quiere considerar la proposición [Satz] ‘El mundo es todo lo que es elcaso’ como haciendo uso de la identidad en una definición, sino que quiere exponer una pieza valiosa de conocimiento,cada uno de los dos nombres ‘El mundo’ y ‘todo lo que es el caso’ deben tener ya un sentido [Sinn] antes de la formaciónde la proposición [Satz], un sentido que no está establecido inicialmente en virtud de esta identidad. Antes de que yopueda escribir algo adicional, este asunto debe ser despejado. ¿Definición por medio de identidad o juicio de reconoci-miento? ¿O hay una tercera posibilidad?” (Citada en Floyd, Juliet (1998), p. 96-97). Conviene citar también la reacción deJuliet Floyd ante los intentos de lectura analítica de Frege: “Como en el caso de la distinción lógica de Frege, es en ver-dad claro que las observaciones de Wittgenstein en el Tractatus pueden leerse o bien como definiciones, o bien comopredicaciones. He estado argumentando que con el ánimo de leer el Tractatus adecuadamente uno debe estar atento


para trabajar con este cuidado dialéctico, justo en la forma detallada como Frege lo hace, sacando consecuencias decada una de sus observaciones al tomar una u otra noción general como garantizada. Sin embargo, también he argu-mentado que el esfuerzo por analizar gramaticalmente las observaciones del Tractatus en una forma o en la otra no ayu-dará a darles sentido como verdades o falsedades en el sentido de Frege –aún si uno trata de extraer, con la ayuda deltexto, las ramificaciones lógicas de cada construcción disponible. Ninguna Satz [proposición] del Tractatus puede adqui-rir un uso pleno de sentido [sinnvolle] únicamente por ser lógica o gramaticalmente analizada. En consecuencia, las ob-jeciones y dificultades de Frege, propiamente entendidas, nos ayudan a ver por qué Wittgenstein etiquetó sus propiasproposiciones [Sätze] como sin-sentido [unsinnig].” (Floyd, Juliet, Op. cit. p. 98.)

32 Ramsey, F. P. (1929 b), p. 263.

(“El mundo es todo lo que es el caso”(TLP 1)) expresaba identidad o expresaba unapredicación31. La reacción de Frege, consignada en una carta del 3 de abril de 1920,se puede sintetizar de la siguiente manera:

El mundo es todo lo que es el caso

El “es” de la frase subordinada “todo lo que es el caso” es, sin duda, una cópula,pues ser el caso se puede analizar como una propiedad del objeto indeterminado dela cláusula. Ahora bien, hay dos opciones para el “es” de la frase principal:

(a) “es” es una cópula. No es este el caso, pues “todo lo que es el caso” noexpresa una propiedad del mundo.

(b) “es” expresa una identidad. En este caso la expresión establece una ecua-ción entre dos nombres. Esta alternativa conduce a dos opciones posibles:

(a) O bien se trata de una definición. Algo parecido a “por soltero entende-mos a todo hombre que es no-casado”. Si este es el caso, el aforismo delTractatus no aseveraría nada, sino que únicamente estipularía una convención.

(b) O bien se trata de un descubrimiento. Algo parecido a “la estrella matu-tina es idéntica a la estrella vespertina”. Si este es el caso, cada uno de los dostérminos debería tener un sentido independiente de la expresión antes de laformulación de la identidad. Esto no ocurre en el Tractatus.

Esto muestra la dificultad de Frege en la comprensión de los primeros aforismos deltexto. Si tal aforismo se lee como una proposición, no es posible escapar a la crítica deFrege. Ahora bien, si atendemos a la recomendación de 6.54, este aforismo carece desentido y, en consecuencia, no debe ser entendido como una proposición. ¿Cómo debe-mos entender éste y los demás aforismos? De ello nos ocuparemos a continuación.

El problema se puede plantear en estos términos: ¿cómo debemos reaccionarante el aforismo 6.54? Creo que la siguiente anotación de Ramsey, escrita con el tonode un llamado de atención, define una orientación que ha de tenerse en cuenta: “Laprincipal proposición de la filosofía es que la filosofía carece de sentido. Y de nuevodebemos entonces tomar seriamente que es sin-sentido, y no pretender, como lohace Wittgenstein, que es un sin-sentido importante!”32 Otra alternativa es sugerirque hay una distinción entre expresiones sin sentido: sin-sentido-importante y sin-sentido-ocioso. Los aforismos del Tractatus pertenecerían al primer grupo. Es fácil


explicar la división de los comentaristas al respecto: la actitud vacilante de Wittgensteinpermite encontrar un fuerte apoyo tanto para la primera alternativa como para la se-gunda. En ese orden de ideas, encuentro muy pertinente la recomendación de StanleyCavell, según la cual en los escritos del segundo Wittgenstein es posible identificartres voces: la voz de la tentación, la voz de la corrección y la voz del silencio33. Cuandohablamos de la voz de la tentación, no estamos necesariamente obligados a pensaren las intervenciones ingenuas de un interlocutor diferente a Wittgenstein, como ocu-rre en los diálogos platónicos, y tampoco estamos obligados a reconocer siempre enla intervención aguda de Wittgenstein la voz de la corrección, como ocurre con la vozde Sócrates en los diálogos platónicos. La voz de la tentación identifica las mismastentaciones en las que esta dispuesto a caer Wittgenstein. Los diálogos socráticosde Wittgenstein pretenden sacar a luz las voces interiores, no son diálogos entre uninterlocutor ingenuo y un sabio Socrático imbuido de una falsa modestia. Así lascosas, debemos pensar en la actitud vacilante de Wittgenstein como una actitudapenas normal en una tarea que pretende hacer de la filosofía una práctica más queuna doctrina o una teoría. Siempre he encontrado muy sugestiva la imagen del capi-tán que con el objeto de impedir que sus marineros caigan seducidos por los encan-tadores cantos de las sirenas, procede a sellar sus oídos con tapones de cera. Peroél, desafiando la tempestad, pide que lo aten fuertemente al mástil de la embarca-ción y le permitan escuchar, así, las voces de la seducción.

De cualquier manera hay que responder a la pregunta planteada. O bien favore-cer la perspectiva de aquellos como Ramsey y Carnap quienes piden que renuncie-mos a las verdades inefables; o bien favorecer a quienes desean seguir escuchandoel canto de las sirenas aunque nos sepamos atados al mástil de nuestras embarca-ciones. La siguiente expresión de Ramsey es de verdad útil a la hora de sintetizar ladiscusión: “Sin embargo lo que nosotros no podemos decir no podemos decirlo ytampoco podemos silbarlo”34. Aunque el contexto de la expresión tiene nuevamenteun talante de llamado de atención a Wittgenstein, Ramsey está realmente ocupadoen dicho artículo de un problema diferente. La pregunta se puede replantear enton-ces así: ¿podemos acaso silbar aquello que no podemos expresar? ElizabethAnscombe, partidaria de la segunda alternativa, plantea así la situación:

Sin embargo una parte importante en el Tractatus es desempeñada por aque-llas cosas que aunque no pueden ser dichas aún así se pueden mostrar o exhibir.Esto es tanto como decir: sería correcto llamarlas ‘verdaderas’ si, per impossibile,pudieran ser dichas; ellas en efecto no pueden ser llamadas así, pues no pueden33 Cavell, Stanley (1995).34 Ramsey, F. P. (1929 a), p. 238.35 Anscombe, G. E. M. (1971), p. 162. Al respecto, véase también la siguiente anotación de Stenius en su presenta-

ción crítica del Tractatus: “Se podría decir que la formulación de 1.1 es un claro ejemplo del hecho de que las tesis en elTractatus son lo que Wittgenstein llama unsinnig, sin-sentido. Podríamos agregar –con una cierta concesión al romanti-cismo alemán- que esta falta de sentido le permite a la proposición ser ‘profunda’ al mismo tiempo que es sin-sentido.”Stenius, Erik (1960), p. 22.


ser dichas, pero ‘pueden ser mostradas’, o ‘ser exhibidas’, en las proposicionesque dicen las cosas que se pueden decir. Ahora bien, las cosas que serían verdade-ras si ellas pudieran decirse son obviamente importantes.35

Yo creo que la parte central de la discusión hay que dirimirla a través del término:elucidación. ¿Qué quiere decir Wittgenstein cuando sugiere que sus aforismos sonelucidaciones? –Será, acaso, que usamos las proposiciones para expresar lo que sepuede decir y las elucidaciones para silbar?- La misma discusión se ha traído nueva-mente al ruedo en debates más recientes y con nuevos argumentos. El excelenteartículo de James Conant Elucidation and nonsense in Frege and early Wittgenstein36

trae una clara reseña de la discusión y ofrece una alternativa apoyado en la noción deelucidación que se sugiere en la obra de Frege. Yo creo que las anotaciones deConant hay que tomarlas con la seriedad y seguridad con las que se plantean, peropretendo argumentar que son insuficientes para aclarar la noción de elucidaciónwittgensteiniana. Me propongo argumentar que tales reflexiones deben complemen-tarse con el estilo de elucidación sugerido en la obra del físico Heinrich Hertz. Noobstante lo anterior, ocupémonos en primer lugar del artículo de Conant.

Conant defiende la idea según la cual los pensamientos de Wittgenstein, queahora nos ocupan, tratan de resolver una tensión que se encuentra ya en los escritosde Frege entre dos concepciones diferentes de sin-sentido que el autor denomina:concepción substancial y concepción austera. La primera distingue entre dos clasesdiferentes de sin-sentido: mero-sin-sentido y sin-sentido-substancial. El primero esininteligible, en tanto que el segundo está compuesto de ingredientes inteligiblescombinados de una manera ilegítima. La segunda concepción sostiene que sóloexiste una clase de sin-sentido: el mero-sin-sentido. En otras palabras, no existe unsin-sentido especial. La siguiente parte del argumento de Conant consiste en esta-blecer un paralelo entre las nociones de sin-sentido y los propósitos de la elucidación.Mientras la primera concepción de sin-sentido asume que la tarea de la elucidaciónes mostrar algo que no puede ser dicho, la segunda concepción asume que la eluci-dación se encarga de mostrar que somos propensos a significar algo cuando no

36 En Crary, Alice (2000), pp. 174-217.37 La concepción substancial es defendida, entre otros, por Elizabeth Anscombe, Peter Geach, Norman Malcolm; y

más recientemente por David Pears (The false prison) y Peter Hacker. David Pears, por ejemplo, se expresa así en The falseprison: “La ontología inicial no es algo que nosotros tengamos supuestamente que desechar porque este sea un inten-to por decir cosas que únicamente pueden ser mostradas. Al contrario, aquí, como en cualquier otra parte del Tractatus,la estricta imposibilidad de formular una tesis en el lenguaje fáctico es, si es algo, un signo de su importancia.” (Pears,David (1987), vol. 1, p. 112). La concepción austera es defendida por Frank Ramsey y más recientemente por Cora Diamond,James Conant, Juliet Floyd y Warren Goldfarb, entre otros. En la defensa de la concepción austera son especialmenteimportantes los siguientes artículos: Diamond, Cora, Frege and non-sense, throwing away the ladder: how to read theTractatus, ambos en The realistic spirit, 1991. Ethics, imagination and the method of Wittgenstein’s Tractatus, en Crary,Alice y Rupert Read (2000). Floyd, Juliet: The uncaptive eye: solipsism in Wittgenstein’s Tractatus, en Rouner, Leroy (1998).Conant, James, Must we show what we cannot say? En Fleming, Richard y Michael Payne (1989). Conant, James, Twoconceptions of Die überwindung der Metaphysik, en McCarthy, T & Stidd, S (2001). También es importante el artículo deConant que estamos reseñando en el presente texto. Para una defensa de la concepción substancialista son importan-tes tanto el texto de Pears que ya hemos indicado y el texto de Anscombe acerca del Tractatus, que también hemos cita-do, como los siguientes artículos: Geach, Peter: Saying and showing in Frege and Wittgenstein, en Hintikka, Jaakko (1976).Hacker, Peter, Was he trying to whistle it? En Crary, Alice y Read, Rupert (2000).


significamos nada37. Según Conant, el error de la mayoría de comentaristas de TLPconsiste en pensar que Wittgenstein defiende la concepción substancial, cuando enrealidad los argumentos de Wittgenstein favorecen más bien una concepción auste-ra. Aún entre quienes defienden la concepción substancial, es posible trazar unadistinción adicional: los defensores de una variante positivista para quienes las viola-ciones de la sintaxis lógica son una clase de fenómeno lingüístico, y los defensoresde una variante de la inefabilidad para quienes tales violaciones residen en el mediumdel pensamiento y eluden el medium del lenguaje38. Conant defiende la tesis según lacual es posible atribuir a Frege la variante de la inefabilidad de la concepciónsubstancialista39. Ahora bien, con el ánimo de diferenciar la posición de Frege y laposición de Wittgenstein es importante subrayar dos variantes de la distinción decir/mostrar en el Tractatus. La primera variante está señalada en 4.021 y en 4.022: “Laproposición es una figura de la realidad, pues yo conozco el estado de cosas querepresenta si yo entiendo el sentido de la proposición. Y yo entiendo la proposiciónsin que me haya sido explicado su sentido.” (TLP, 4.021), “La proposición muestra susentido. La proposición, si es verdadera, muestra cómo están las cosas. Y dice quelas cosas están así.” (TLP, 4.022). La segunda variante tiene que ver con las dosclases de uso del lenguaje que advierte Conant adoptando, para la primera variante,la notación que recomienda Austin: cuando la proposición establece lo que es elcaso estamos haciendo un uso constatativo, y cuando a través de un uso aparente-mente constatativo del lenguaje revelamos algo como ilusorio, estamos haciendo unuso elucidatorio del lenguaje.

El ejemplo clásico del problema fregeano es la distinción entre concepto y obje-to. Según el análisis de Frege, los conceptos no pueden ser objetos y los objetos nopueden ser conceptos. Si pensamos en la forma proposicional: “( ) es un caballo”, elespacio en blanco sólo puede ser llenado por un objeto. Así las cosas, en “( ) es unconcepto”, el espacio en blanco sólo puede llenarse con un objeto. Esto le permite aKerry formular la paradoja que obligó a Frege a escribir su famoso artículo On conceptand object. De “el concepto caballo es un concepto”, se deriva que “el conceptocaballo es un objeto”, ahora bien, como los conceptos no pueden ser objetos, nosvemos obligados a concluir que “el concepto caballo no es un concepto”. Fregeadvierte que Kerry está pasando por alto uno de los principios centrales de su inves-tigación, a saber, Kerry pregunta por el significado de una palabra en forma aislada,pregunta por el significado sin establecer de antemano el papel que desempeña lapalabra al contribuir al sentido completo de la proposición. Así las cosas, cuandoFrege afirma que “los conceptos no pueden ser objetos”, no está con ello sugiriendouna proposición, está proponiendo una elucidación que debería llevarnos a concluir

38 A propósito de Frege, Dummett defiende la variante positivista de la concepción substancialista, Peter Geach lavariante de la inefabilidad de la concepción substancialista, Cora Diamond la concepción austera.

39 Peter Geach fue uno de los primeros en defender con una fuerza incuestionable que la distinción wittgensteinianaentre decir y mostrar ya está presente en los escritos de Frege. Véase Geach, Peter (1976), p. 55.


que hay cosas que no se pueden expresar cabalmente en su Conceptografía. “Lasdefiniciones propias” aclara Frege, “deben ser distinguidas de las elucidaciones. Enlos primeros estadios de cualquier disciplina no podemos evitar el uso de palabrasordinarias. Pero esas palabras, la mayoría de las veces, no son realmente apropiadaspara propósitos científicos, pues ellas no son lo suficientemente precisas y fluctúanen su uso. La ciencia necesita términos técnicos que tienen significados precisos yfijos, y con el ánimo de llegar a entender tales significados y excluir malas interpreta-ciones, nosotros debemos entregar elucidaciones [Erläuterungen] de su uso.”40 Aquelque hace uso de la elucidación al estilo fregeano reconoce una limitación en su gra-mática y aún así se ve obligado a hacer uso de ella para comunicar sus pensamien-tos a otro.

El paso siguiente en el argumento de Conant consiste en, por un lado, llamar laatención sobre la distinción que el Tractatus sugiere entre signo [Zeichen] y símbolo[Symbol] y, por otro lado, reconstruir, a partir de ella, las distinciones entre las concep-ciones de sin-sentido. Recogeremos, entonces, las recomendaciones de Conant:

SignoSignoSignoSignoSigno:unidad ortográfica, es la parte de un símbolo que puede ser percibida(TLP, 3.32).

SímboloSímboloSímboloSímboloSímbolo: unidad lógica que debe poseer toda expresión significativa.Concepción substancialConcepción substancialConcepción substancialConcepción substancialConcepción substancial: aquella que defiende dos clases lógicamente distin-

tas de sin-sentido: sin-sentido-substancial y mero-sin-sentido.Concepción austeraConcepción austeraConcepción austeraConcepción austeraConcepción austera: aquella que defiende que existe sólo una clase de sin-

sentido desde un punto de vista lógico: el mero-sin-sentido.Sin-sentido-substancialSin-sentido-substancialSin-sentido-substancialSin-sentido-substancialSin-sentido-substancial: una proposición compuesta de signos que simboli-

zan, pero que posee una sintaxis lógicamente defectuosa debido al choque entrelas categorías lógicas de sus símbolos.

Mero-sin-sentidoMero-sin-sentidoMero-sin-sentidoMero-sin-sentidoMero-sin-sentido: una cadena compuesta de signos en la cual no puede serpercibido ningún símbolo y que, por lo tanto, no tiene una sintaxis lógica discernible.

Con estas herramientas Wittgenstein puede responder a las dificultades de Fregeadmitiendo que en la vida diaria puede ocurrir, y de hecho ocurre, que la mismapalabra (el mismo signo) signifique de dos modos diferentes y, en consecuencia,pertenezca a dos símbolos distintos (TLP, 3.323). Esto le permite a Conant concluir:“Reconocer una proposición [Satz] como sin-sentido [Unsinn], para el Tractatus, no esun asunto de reconocer que se está intentando decir algo que no puede ser dicho,sino más bien un asunto de reconocer que se está fallando al tratar de decir algo...Para la concepción del Tractatus existe únicamente una forma en la que una proposi-ción puede ser Unsinn: fallando al simbolizar”41

40 Frege, Gottlob (1979), p. 207.41 Conant, James (2000), p. 194-195.


El Tractatus sugiere también una distinción entre expresiones plenas de sentido[sinnvoll], es decir proposiciones genuinas; expresiones que, a pesar de su formagramatical, carecen de sentido [sinnlos], es decir pseudo-proposiciones o proposi-ciones degeneradas; y, expresiones que son sin-sentido [unsinnig]. En el primer caso,conocemos el método de proyección que hace del signo un símbolo, en el segundocaso reconocemos el símbolo en el signo y, en el último caso, advertimos que ningúnmétodo de simbolización le ha sido conferido al signo. Al segundo grupo pertenecentanto las llamadas leyes de la lógica como las ecuaciones matemáticas. En laspalabras de Conant:

Decir de una proposición [Satz] (un signo proposicional) que es sin-sentido[Unsinn] es decir que es un mero signo: ningún método determinado desimbolización le ha sido conferido. Mientras que decir que carece de sentido [sinnlos]es afirmar que se le ha conferido un método de simbolización, pero que el métodoen cuestión falla al producir una proposición propia. Una proposición [Satz] quecarece de sentido [sinnlos] es diferente a una proposición genuina (y similar a unsin-sentido), en que falla en expresar un pensamiento (no restringe la realidad en sío en no y de ahí que no represente un estado de cosas en el mundo): no dice nada.Aún así, es parecida a una proposición genuina (y diferente de un sin-sentido), enque somos capaces de expresarla en una conceptografía [Begriffsschrift] –forma‘parte del simbolismo’, como el Tractatus lo insinúa, (TLP, § 4.4611).42

Hasta aquí la reseña del excelente artículo de Conant. El artículo muestra, si-guiendo la recomendación de Geach, que tanto la distinción decir/mostrar como laestrategia de las elucidaciones tienen su origen en las clásicas preocupacionesfregeanas. Pero, a diferencia de la recomendación de Geach, Wittgenstein defiendeuna concepción austera del sin-sentido en oposición a Frege quien parece defenderuna concepción substancial.

No obstante, es preciso resolver la siguiente pregunta: ¿cuál es la estrategia deelucidación del Tractatus si sus expresiones carecen de sentido? La respuesta deConant recoge una sugerencia planteada por Cora Diamond y, en ese sentido, convie-ne que sigamos con atención la fuente original. La autora sugiere que los aforismosdel Tractatus, a pesar de su condición paradójica, contribuyen a elucidar en la medidaen que crean en nosotros la ilusión de ser entendidos: “Lo que Wittgenstein quieredecir al llamar a sus proposiciones sin-sentidos no es que ellas no encajen en algunacategoría oficial de sus proposiciones inteligibles sino que hay a lo sumo la ilusión deentenderlas.”43 Entender el Tractatus, y esto significa renunciar a entenderlo como unlibro de texto, exige que nosotros podamos entender al autor, no a las pseudopropo-

42 Ibid, p. 214, n. 91.43 Diamond, Cora (2000), p. 150.


siciones que están allí contenidas. Esta es precisamente la explicación del fallidointento de Frege y de Carnap por entender el Tractatus. Frege porque se inmoviliza alquerer entender la sintaxis del primer aforismo, Carnap porque al perder de vista elaforismo 6.54 cree que es posible hacer del Tractatus un novum organum. A diferenciade la mirada analítica de Frege o de la perspectiva metodológica de Carnap, se nece-sita, según Cora Diamond, una actitud imaginativa: “Querer entender a una personaque profiere sin-sentidos es querer entrar imaginativamente en tomar este sin-sentidopor sentido... Si no logro, por así decirlo, ver imaginativamente su sin-sentido comosentido, si no doy pie para sentir su atractivo, no podré entenderlo. Y esto es un usomuy particular de la imaginación.”44 ¿De dónde proviene, entonces, la ilusión de signi-ficado sugerida por Cora Diamond? Atendiendo la recomendación de Frege de separarradicalmente la esfera lógica de la esfera psicológica podemos reconocer, en primerainstancia, que los acompañamientos mentales de una oración son irrelevantes paradeterminar sus características lógicas. No obstante lo anterior, son precisamente losacompañamientos mentales que nos resultan familiares los que pueden darnos lailusión de entender la oración que contiene tal palabra familiar para nosotros, cuando enrealidad la palabra se está usando en un contexto lógico diferente al usual. Combinan-do los diferentes rasgos indicados hasta el momento, el Tractatus pretende dirigir aaquella persona que está bajo la ilusión de que existen los problemas de la filosofía enel sentido tradicional, hacia una perspectiva desde la cual pueda contemplar por supropia cuenta y gracias a lo que Diamond llama una actividad imaginativa, la falta desentido, tanto de las proposiciones de la metafísica en general, como de las mismasexpresiones que le permiten adelantar la terapia. El metafísico profesional pretende, através de una ilusión, construir una teoría. El lector que ha seguido y comparte la orien-tación del Tractatus hace uso de la misma ilusión con el objeto de liberarse de ella. Poreso debe arrojar la escalera una vez ha ascendido valiéndose de ella.

Peter Hacker ha denominado lectura post-moderna, no sin algo de ironía, a estanueva forma de leer el Tractatus sugerida por Diamond. Su respuesta se apoya en unseguimiento estricto tanto de los escritos de Wittgenstein como de los comentariosdel autor a las personas más cercanas. En ocasiones no le faltan razones para quejar-se de la estrategia hermenéutica de Diamond y sus seguidores. Creo sin embargoque el problema no se resuelve aportando una mayor cantidad de evidencia escrita,o un mayor número de referencias a terceras personas. Cora Diamond señala unprincipio que me parece acertado aunque lo encuentro algo difícil de aplicar: debe-mos procurar entender al autor, no a las proposiciones45. Digo que es difícil de aplicarpues tendríamos que haber resuelto antes la pregunta: ¿en términos generales, quépretende hacer el autor? Cuando en realidad es ésa la pregunta que queremos resol-ver. Aunque los textos propiamente wittgensteinianos correspondientes al períododel Tractatus no nos permiten decidir en forma definitiva a favor de una lectura y, en

44 Ibid, p.157.45 Diamond, Cora (2000), p. 155.


ocasiones, parecen favorecer una concepción substancialista, la defensa de la con-cepción austera nos permite contar con una perspectiva de lazos más estrechosentre la primera filosofía y el Wittgenstein tardío. En ese orden de ideas, aquel quequiere defender una concepción integral de la obra de Wittgenstein, como es micaso, encontrará en la concepción austera una evidencia de la continuidad.

La llamada defensa postmoderna, que yo prefiero denominar lectura americana,ha pasado por alto una serie importante de declaraciones del Tractatus que a mi juicioexigen una respuesta. En particular, los autores han olvidado por completo los veintio-cho aforismos de la forma 6.3*. Me refiero a los aforismos que tratan de los princi-pios generales de las ciencias naturales. Tales expresiones también carecen de sen-tido, en la medida en que no describen un estado de cosas en el mundo, y, sinembargo, no son equivalentes a ruidos. El problema adicional con tales expresionesreside en el hecho de que tampoco muestran un rasgo particular de nuestrosimbolismo, como ocurre con las tautologías, las contradicciones y las ecuacionesde la matemática, y, en consecuencia, no podemos esgrimir el argumento de Conantsegún el cual reconocemos el símbolo en el signo. La interpretación americana nospreviene con justa razón de aquellos que quieren sugerir una defensa de verdadesinefables en el Tractatus, sin embargo no nos dice qué debemos hacer con expresio-nes que carecen de sentido pero que no podemos considerar sin más como merosruidos. El principio de conservación de la energía, por ejemplo, no describe un esta-do de cosas en el mundo y, en ese orden de ideas, es adecuado que yo reconozca sufalta de sentido. No por eso voy a pensar que se trata de una verdad inefable que missignos apenas alcanzan a arañar: la belleza del creador reflejada en la armonía desus obras. Después de advertir que el principio de conservación de la energía no esuna proposición, y en consecuencia carece de sentido, Wittgenstein sugiere que setrata de la forma de una ley (TLP, 6.32, 6.321, 6.34). Los intérpretes americanos no sehan ocupado de aquellas expresiones que estipulan la forma de una ley.

El ejemplo predilecto en la discusión ha sido la expresión: “hay objetos”. Mien-tras los defensores de una concepción substancialista en la variante de las verdadesinefables podrían encontrar en la argumentación wittgensteiniana una clara respues-ta contra el escéptico, los defensores de una concepción austera tendrían que ver enla argumentación wittgensteiniana una forma de mostrar, no que la posición del es-céptico es equivocada, sino que la investigación que propone es ilegítima. De lalectura que recomienda Cora Diamond se desprende, entonces, la siguiente suge-rencia. Mientras Berkeley quiso mostrar que nosotros estabamos bajo la ilusión decreer que “hay objetos”, Wittgenstein mostró que nosotros estabamos bajo la ilusiónde entender “hay objetos”. Wittgenstein no está proponiendo con eso una forma másradical de escepticismo, está disolviendo una investigación. Este es uno de los pun-tos centrales que pretendo defender: la elucidación wittgensteiniana está dirigida adisolver algunas investigaciones después de desnudar su carácter de investigacio-


nes aparentes. El argumento central de Wittgenstein para defender que la expresión“hay objetos” carece de sentido, consiste en la recomendación de asumir que objetoes un concepto formal (TLP, 4.1272). Lo mismo ocurre con la expresión “1 es unnúmero”. Cuando digo ƒ(a) ya estoy diciendo lo que trato de decir cuando expreso,valiéndome de sin-sentidos, “∃x(ƒ(x) ∧ x=a)”. Ahora bien, a la noción de conceptoformal hay que agregar la noción de forma de una ley para entender en qué sentidolos principios generales de la física carecen también de sentido (son sinnlos pero nounsinnig). Los defensores de la versión americana no dicen nada al respecto y, en esesentido, creo que su análisis es incompleto. Veamos, por ejemplo, la siguiente expre-sión: “mañana lloverá”. La expresión no describe un estado de cosas en el mundo, nopodemos expresar qué la haría en estos momentos verdadera o falsa. La expresióncarece entonces de sentido. Tampoco reconocemos el símbolo en el signo. Sin em-bargo, no se trata simplemente de ruidos. ¿Diremos entonces que el análisis deWittgenstein muestra que hemos estado siempre bajo la ilusión de entenderla? quese trata de un sin-sentido transitorio mientras esperamos a ver si mañana se dan lascondiciones del sentido. En las conversaciones sostenidas con Waismann,Wittgenstein se refería a este tipo de expresiones con el término hipótesis, y aclarabasu uso indicando que si bien no son proposiciones sí aportan el esquema para cons-truir proposiciones46. Cuando entiendo la expresión entiendo con ello que mañanapodré proferir la proposición con sentido: “llueve”. Esta recomendación quizá nos déla clave para entender el principio de conservación de la energía como la forma deuna ley. De ello nos ocuparemos en la próxima sección.

2. 5 Elucidaciones: Wittgenstein y Hertz

“Si la filosofía pudiera conseguir, pues, crear un sistema donde quedara claro la improcedencia delplanteamiento de todos los casos antes mencionados [los engaños que imponen los hábitos mentales],y en el que la tendencia a preguntarse sobre tales cuestiones desapareciera progresivamente, estaríamos

en disposición de resolver de un solo golpe los enigmas más oscuros y la filosofía sería digna denombrarse reina de todas las ciencias.”

Ludwig Boltzmann47

46 En las conversaciones con Waismann Wittgenstein se expresaba así: “Creo que es muy importante, y que acla-rará la cosa, tener presente que las ecuaciones de la física no son proposiciones, sino hipótesis. Lo que observamosson los ‘cortes’ individuales al través de las hipótesis, y ciertamente se trata esencialmente de distintos cortes, es de-cir, no solamente cortes en distintos lugares y a distintos tiempos, sino cortes de forma lógica distinta, por tanto de co-sas totalmente distintas. Lo que podemos comprobar es solamente un corte. La hipótesis es lo que une esos diversoscortes unos con otros (al igual como una curva une diferentes puntos).” (WCV, p. 141). En otro lugar: “La hipótesis no esuna aserción, sino una ley para la formación de aserciones... Una ley natural no se puede ni comprobar ni refutar. De laley natural no se puede decir ni que sea verdadera ni que sea falsa, sino sólo que es ‘probable’, y por ‘probable’ se en-tiende aquí: sencillo, cómodo. Una aserción, en cambio, es verdadera o falsa, nunca probable. Lo que es probable no esaserción. Sentido de las aserciones físicas: Señalan hacia el futuro ad infinitum. Nunca valen como algo demostrado.Siempre se anda con cuidado respecto a abandonarlas o alterarlas, en contraposición a las auténticas aserciones, cuyaverdad nunca más puede ser cambiada.” (WCV, p. 87-88).

47 Boltzmann, L. (1986), p. 218.


Pretendo defender a continuación que la interpretación americana debe ser com-plementada con la noción de elucidación que se desprende de la influencia sobreWittgenstein del físico alemán Heinrich Hertz. En ese sentido, la referencia exclusivaa Frege para aclarar la noción de elucidación resulta incompleta. La referencia a Hertzpermite también aclarar los pasajes que los comentaristas americanos han omitido,me refiero a los aforismos de la forma 6.3*. Los filósofos del siglo XVIII y XIX, espe-cialmente Kant, querían hacer con la filosofía lo que Newton había hecho con la física:una síntesis global. Wittgenstein quería hacer con la filosofía lo que Hertz pretendíacon la mecánica: liberarla de preguntas ilegítimas. Kant pretendía una revolucióncopernicana, Wittgenstein quería llevar la filosofía al reposo. Hertz pretendía disolveralgunas confusiones de la mecánica mostrando que tales confusiones se originabanen nuestras formas de expresión. En otras palabras, pretendía mostrar que talesconfusiones no eran problemas genuinos y podrían desaparecer si modificamos nues-tras formas de expresión.

Hacer un estudio de la manera como otros autores han influido en la obra deWittgenstein no es una tarea sencilla. Sobre todo cuando Wittgenstein deliberada-mente no es cuidadoso a la hora de citar o hacer las referencias. Este es un rasgodistintivo de su forma de escribir. Son muy escasos los autores que se citan textual-mente: Agustín, Platón. Esto sólo ocurre en dos o tres ocasiones. Otros autores semencionan esporádicamente sin hacer referencia a la fuente: James, Köhler, Moore,Goethe. Otros autores están siempre presentes aunque no se mencionen: Frege,Russell. Otros están en el trasfondo: no se citan, no se mencionan, no se reconocenen los pasajes pero allí están: Schopenhauer y Hertz. Pretendo ocuparme de Hertz.En el prefacio del Tractatus, Wittgenstein advierte que sus ideas no son del todooriginales, que no involucran nada absolutamente novedoso y, a pesar de ello, noadvierte sus fuentes porque le es indiferente que lo que él está pensando haya sidoya pensado por otro. En Culture and value se expresa así: “No creo haber inventadouna línea de pensamiento, siempre me he valido de alguien más. Simplemente mehe valido directamente de esto con entusiasmo para mi trabajo de clarificación. Asíes como Boltzmann, Hertz, Schopenhauer, Frege, Russell, Kraus, Loos, Weininger,Spengler, Sraffa me han influenciado... Lo que yo invento son nuevos símiles.” (CV, p.19e, 1931). En el Big Typesrcipt anota Wittgenstein: “Toda la tarea de la filosofía, talcomo yo la ejerzo, consiste en expresarme de tal manera que ciertas intranquilidades//problemas?// desaparezcan ((Hertz)).” (BT, Philosophie, 89, 4.123.7.1). La influenciatanto de Frege como de Russell ha sido estudiada en una forma casi exhaustiva. Lasinfluencias de Kraus, Loos, Weininger y Spengler han sido revisadas especialmentepor quienes están interesados en las anotaciones biográficas. La influencia deSchopenhauer ha sido la fuente del delirio de muchos comentaristas del Tractatus.Las influencias de Boltzman y Hertz son apenas mencionadas tangencialmente en lamayoría de los estudios acerca del filósofo austríaco. Cuando Brian McGuinness


comenta la cita anterior de Cultura y valor y hace un seguimiento de los autores queallí se mencionan resume así la influencia de Hertz: “Hertz y Boltzmann le dieron laidea de una imagen mental o correlato de la realidad en la que lo esencial era (en sucaso) la estructura lógica de la teoría científica involucrada.”48 No pretendo descono-cer la importancia de las reflexiones de Hertz a la hora de sugerir un esquema pictó-rico de la representación49. Sin embargo, creo que este tipo de comentario ha permi-tido dirigir la atención tan sólo en una dirección50. Pretendo ampliar el rango de influenciay mostrar que Wittgenstein encontró en la obra de Hertz la noción de elucidación queestá presente tanto en el Tractatus como en su obra posterior. Nos ocuparemos, porlo pronto, del Tractatus. En lo sucesivo nos vamos a referir a Los Principios de laMecánica51 de Hertz con las iniciales (PM).

Los Principios de la mecánica corresponden al trabajo de los últimos tres años devida de Hertz. El título nos permite ya advertir uno de los rasgos que queremos subra-yar. El título completo es el siguiente: The principles of mechanics presented in a newform. La intención no es ofrecerle al lector un nuevo conjunto de principios de mecáni-ca, parece más bien que se trata de poner al lector en contacto con los principios de lamecánica desde otro punto de vista. Comparemos esta propuesta con la parte final delaforismo que tanta dificultad nos ha costado: después de arrojar la escalera, el lector“Debe superar estas proposiciones; entonces tiene la justa visión del mundo.” (TLP,6.54). Aquel que lea y comprenda tanto PM como TLP, debe contemplar tanto losllamados problemas de mecánica como los llamados problemas de la filosofía, desdeotro punto de vista. Pero este nuevo punto de vista no consiste ni en adquirir unosnuevos principios de mecánica, ni en dominar una nueva doctrina con su jerga filosófi-

48 McGuinness, Brian (1988), nota 1 p. 84. En la edición española en la página 124.49 Esta recomendación se puede apoyar fácilmente en el paralelismo que existe entre algunas formulaciones de

Los principios de la mecánica (PM) y algunos aforismos de TLP. Veamos dos ejemplos: “Nos hacemos imágenes o sím-bolos de los objetos externos...”(PM, p.1), “Nosotros nos hacemos figuras de los hechos.” (TLP, 2.1), “...y la forma quenosotros les damos es tal que las consecuencias necesarias de las imágenes en el pensamiento son siempre las imá-genes de las consecuencias necesarias en la naturaleza de las cosas imaginadas. En orden a que este requerimientopueda satisfacerse, debe darse una cierta conformidad entre la naturaleza y nuestro pensamiento. La experiencia nosenseña que el requerimiento se puede satisfacer, y de ahí que una conformidad tal en efecto existe.” (PM, p. 1), “Un he-cho para poder ser una figura, debe tener algo en común con lo figurado.” (TLP, 2.16). Esta relación ha sido especialmen-te estudiada por algunos comentaristas. Griffin, James, (1964); Müller, Anselm, (1967); y Pears, David (1987).

50 El profesor Ulrich Majer en un detallado y excelente artículo hace un estudio cuidadoso de las nociones pictóri-cas tanto en TLP como en Principles of mechanics (PM). Majer sugiere la existencia de dos lecturas filosóficas de lo quepodríamos denominar la teoría pictórica de Hertz. Por un lado la lectura de Wittgenstein y, por otro lado, las lecturas si-milares de Hilbert, Weyl y Ramsey. El autor sugiere que la segunda lectura está más cerca del espíritu de Hertz y mues-tra en qué puntos la lectura de Wittgenstein no es del todo fiel. De todas maneras, creo que Wittgenstein no pretendíaser completamente fiel a las recomendaciones de Hertz. “La mayoría de los filósofos”, anota Majer, “están de acuerdoen que las dos principales fuentes de inspiración de Wittgenstein al escribir el Tractatus fueron los trabajos de Frege yde Hertz. Pero no hay filósofo –al menos ninguno de mi conocimiento- quien sepa cómo reconciliar los trabajos de Fregey Hertz sin violar las intenciones de uno, del otro o de ambos. Al respecto, Wittgenstein no es la excepción; su síntesisen el Tractatus, o bien es inconsistente, o viola al menos las intenciones de alguno o ambas! El Tractatus es una mezcladel primero y del tercer ingrediente: es inconsistente y viola las intenciones tanto de Frege como de Hertz.” (p. 233) Elcaso del argumento que pretendo desarrollar es completamente independiente del grado con el que Wittgenstein llegóa asimilar o aplicar las recomendaciones pictóricas de Hertz. Para el caso del artículo referenciado, véase: Majer, Ulrich(1998), pp. 225-242.

51 Hertz, Heinrich (1956). Las referencias a la introducción se harán por el número de página y las referencias a losdos libros de Los principios se harán por páginas y parágrafos.


ca. El nuevo punto de vista, y esto es lo fundamental, consiste en disolver una serie dedificultades después de advertir que se trataba de problemas ilegítimos.

PM consta de tres partes: una introducción y dos libros. La introducción es unaobra maestra y debe ser leída por todo aquel que tenga una preocupación abstractapor la metodología del trabajo científico. Los dos libros que siguen contienen la pre-sentación de los detalles técnicos de la propuesta Hertziana. Ellos están escritos conuna pretensión claramente kantiana. El contenido del primer libro, geometría y cine-mática de los sistemas materiales, es por completo independiente de toda experien-cia y provee los juicios a priori, basados en las leyes de la intuición interna. El segun-do libro, mecánica de los sistemas materiales, asume que las herramientas del primeropueden considerarse como símbolos para los objetos de la experiencia externa. Lasproposiciones que allí se sugieren deben responder no sólo a las demandas delpensamiento, o leyes de nuestra intuición interna, sino también a las exigencias de laexperiencia. Esta segunda parte se resume en el acuerdo o desacuerdo con un únicoprincipio derivado de la experiencia. Este principio es denominado por Hertz: la leyfundamental. En lo sucesivo, nos vamos a ocupar especialmente de la introducción.

“El problema más directo,” explica Hertz, “y en un sentido el más importante, quenuestro conocimiento consciente de la naturaleza debería capacitarnos para resolveres la anticipación de futuros eventos, de tal manera que podamos arreglar los acon-tecimientos presentes de acuerdo con tal anticipación.” (PM, p. 1). La tarea del hom-bre de ciencia es anticipar, no se menciona para nada la explicación como una desus preocupaciones. El éxito de su tarea se mide por la cantidad de anticipacionesefectivas. Quien está interesado en explicar, no ve en la cantidad de prediccionesefectivas un indicativo de la calidad de su labor, él estará posiblemente más interesa-do en la coherencia interna o en una especie de plausibilidad del relato que ofrece.Veamos ahora cómo define Wittgenstein la mecánica: “La mecánica es un intento deconstruir según un plan único todas las proposiciones verdaderas que se necesitanpara la descripción del mundo.” (TLP, 6.343). Quisiera subrayar la importancia de laexpresión: construir-de-acuerdo-a-un-simple-plan. La mecánica no se ocupa de lasproposiciones verdaderas, sino del plan a partir del cual podemos construir proposi-ciones52. Este plan no puede contener proposiciones. En este orden de ideas, creoque es muy sugestiva, y a la vez muy clara, la recomendación de Wittgenstein dellamar a tales construcciones: esquemas-para-construir-proposiciones53. El modelo

52 Los científicos, bajo el escrutinio de Boltzmann, no deben ocuparse de desentrañar los misterios últimos de lanaturaleza, sino de ofrecer una imagen [Bild] o analogía que nos permita una comprensión global más simple de los mis-mos. El planteamiento de tales esquemas pictóricos tuvo, posiblemente, una gran influencia sobre Wittgenstein. Asíexplicaba Boltzmann su aproximación: “Soy de la opinión que la tarea de la teoría consiste en la construcción de unaimagen interna del mundo exterior, que al existir en nosotros debe servirnos como guía en nuestros experimentos y re-flexión; es decir, hasta cierto punto, contemplando los procesos mentales, y realizando globalmente lo que ocurre ennosotros siempre que formamos una idea.” (Boltzmann, Ludwig (1986), p. 86)

53 A propósito del papel de las hipótesis, véase WCV p. 87. Véase también: “Antes se creía que la hipótesis era unatesis cuya verdad poseía menos seguridad. Se venía a pensar: En la hipótesis no hemos probado aún todas las contin-gencias, por lo que estamos menos seguros de su verdad, como si el criterio dirimente fuera histórico por así decir. Peroopino que la hipótesis, por el contrario es ya de antemano una estructura gramatical totalmente diferente.” (WCV, p. 185)


de Hertz, apoyado en su única ley fundamental, o el modelo de Newton, apoyado ensus tres (o cuatro) leyes del movimiento, aportan claros ejemplos de tales esque-mas. Las proposiciones que se construyen a partir de tales esquemas, desde laóptica de Wittgenstein, dividen el espacio de posibilidades en Sí y en No, en eseorden de ideas, poseen sentido, describen un estado de cosas en el mundo. Noocurre lo mismo con los principios que hacen posible la construcción. Esta es una delas dificultades serias en TLP. Los principios de la mecánica son muy parecidos averdades necesarias o juicios sintéticos a priori. Sin embargo, no hay cabida paraellos en el marco de TLP, pues sólo existe la necesidad lógica y ella se expresa através de tautologías. Ese carácter particular de los principios de la mecánica tam-bién fue advertido por Hertz. Esta reserva no se mantiene solamente para lasecuaciones matemáticas del primer libro, también es extensiva a la formulación de laley fundamental. Veamos: “Nosotros consideramos la ley [la ley fundamental] comoel posible resultado de la experiencia más general. Más estrictamente, la ley esestablecida como una hipótesis o asunción, la cual recoge muchas experiencias y nose contradice con ninguna en particular, pero asevera más de lo que puede ser pro-bado por experiencias definitivas en la época actual.” (PM, § 315, p. 145).

Dado que nada en el mundo valida o invalida un principio general de la mecánica,tales principios carecen precisamente de la bipolaridad exigida en una proposicióngenuina. En eso consiste su falta de sentido. Sin embargo el principio, o los princi-pios según sea el caso, son esquemas-para-construir-proposiciones. En ese ordende ideas, puedo concebir uno, dos o más planes o esquemas diferentes. Puedotender sobre la realidad, para seguir la metáfora de Wittgenstein en 6.341, una mallaconstituida de cuadrados, o una malla constituida de triángulos o de otras figurasregulares. Que usemos una malla u otra no altera para nada al mundo, no nos dicenada acerca del mundo. Veamos la sugerencia en las palabras de Wittgenstein:

La mecánica newtoniana, por ejemplo, reduce la descripción del universo auna forma unitaria. Imaginémonos una superficie blanca con manchas negras irre-gulares. Digamos: Cualquier clase de figura que resulte puedo siempre aproximar-la, tanto cuanto quiera, a su descripción si cubro la superficie con una malla reticularsuficientemente fina, diciendo de cada cuadrícula que es blanca o negra. Habréreducido así la descripción de la superficie a una forma unitaria. Esta forma esarbitraria, pues yo hubiese podido aplicar con igual éxito una malla con aberturastriangulares o hexagonales. Pudiera ocurrir que la descripción hecha con una mallatriangular fuese más sencilla; esto quiere decir que con una malla triangular másgruesa podríamos describir la superficie más exactamente que con una cuadran-gular más fina, o al revés, y así sucesivamente. A las diferentes mallas correspon-den diversos sistemas de descripción del universo. La mecánica determina unaforma de descripción diciendo: todas las proposiciones de la descripción del mun-


do deben obtenerse de un modo dado por un número dado de proposiciones –losaxiomas de la mecánica-. Proporciona los ladrillos para construir el edificio de laciencia y dice: cualquier edificio que tú quisieras levantar lo debes construir siem-pre con éstos y sólo con éstos ladrillos. (TLP, 6.341). Ahora bien, la posibilidad de concebir diferentes modelos alternos de mecánica no

era para Wittgenstein una mera posibilidad teórica, no estaba hablando de una posiblealternativa abstracta. Estaba hablando, precisamente, de hechos cumplidos. Wittgensteindebía tener en mente la estructura de la introducción de los Principios de Hertz y lasrecomendaciones de Boltzmann54. “Las imágenes”, escribe Hertz, “que podemos formarde las cosas no están determinadas sin ambigüedad por el requerimiento de que losconsecuentes de las imágenes deban ser las imágenes de los consecuentes. Variasimágenes de los mismos objetos son posibles, y esas imágenes pueden diferir en variosaspectos.” (PM, p. 2). Hertz se hace cargo a continuación de tres modelos diferentespara construir la mecánica: el modelo de Newton-Lagrange, el modelo de Hamilton y elmodelo de Hertz. Sin embargo, antes de adelantar la inspección establece los criteriosgenerales a partir de los cuales es posible sopesar dos modelos diferentes.

Todos los esquemas deben ser, en primer lugar, lógicamente permisibles, estosignifica que no deben albergar contradicciones internas; en segundo lugar debenser correctos -un modelo permisible es incorrecto si sus relaciones esenciales contra-dicen las relaciones de las cosas externas-; y, por último, deben ser apropiados oadecuados. De dos modelos, tanto permisibles como correctos, se dice de uno quees más apropiado que el otro si describe una mayor cantidad de relaciones esencia-les de los objetos. Adicionalmente, si los dos modelos describen la misma cantidadde relaciones esenciales, se dice que es más adecuado aquel que contiene el menornúmero de relaciones vacías o superfluas, en otras palabras, el más simple. Así lascosas, en caso de que tanto el modelo de Newton, como el modelo de Hamilton, y elmodelo de Hertz aprueben las pruebas iniciales correspondientes a la coherenciainterna y a la adecuación externa, hemos de preferir el modelo de Hertz por tratarsedel modelo más simple que podría concebirse: este modelo posee únicamente unaley fundamental. Para efectos de la decidibilidad, Hertz supone que tanto para lapermisibilidad como para la corrección contamos con criterios adecuados para res-ponder categórica y definitivamente en forma bien sea afirmativa o negativa. Des-pués de una inspección interna podemos decidir, en forma definitiva, si el modelo escoherente o no. Así mismo, después de un detallado examen experimental, pode-mos decidir, en forma definitiva, si el modelo es correcto o no. No ocurre lo mismocon el criterio, o los criterios que nos permiten decidir si un modelo es apropiado ono: “Una imagen puede ser más apropiada para un propósito, otra para otro; única-

54 La tarea del físico, como advierte Boltzmann, no consiste, pues, en hallar la teoría absolutamente correcta, sinoen proponer una imagen, bastante sencilla, que represente fielmente los fenómenos en cuestión. Debe ser posible queexistan dos imágenes, igualmente sencillas, que concuerden en igual grado con los fenómenos. “La afirmación de que‘una teoría es la única correcta’”, sostiene Boltzmann, “sólo puede ser la expresión de nuestra convicción subjetiva deque no podría haber otra imagen tan precisa y simple.” (Boltzmann, Ludwig (1986), p. 152)


mente por la evaluación gradual de muchas imágenes podemos nosotros finalmentetener éxito en obtener la más apropiada.” (PM, p. 3). No vamos a detenernos en laclara fragilidad con la que Hertz pretende defender la existencia de algoritmos defini-tivos para decidir a propósito de los dos primeros factores.

Una vez establecidos los criterios de comparación, Hertz procede a estudiar lostres modelos propuestos. Los tres modelos incluyen, entre sus nociones básicas, lasnociones de espacio, tiempo y masa. No obstante lo anterior, el modelo de Hertzatiende a las críticas que Mach esbozó a propósito de las fantasmagóricas nocionesde espacio y tiempo absolutos en la obra de Newton. Adicional a las tres nocionesanteriores, el modelo de Newton incluye el concepto de fuerza, el modelo de Hamiltonel concepto de energía. El modelo de Hertz, a diferencia de los dos anteriores, notiene la necesidad de una noción adicional. Este es el punto central de nuestra expo-sición. Hertz despliega a continuación una terapia analítica que nos permite liberarnosde dos nociones que incomodan la construcción de nuestros esquemas conceptua-les. El concepto de fuerza obscurece el panorama de la mecánica en la medida enque provoca en nosotros una confusión conceptual. Este es el punto de la mayorimportancia y el punto a partir del cual es posible trazar el parentesco que sugieroentre la obra de Hertz y la obra de Wittgenstein. Los dos están preocupados por laconfusión que provocan ciertos conceptos que nos conducen a falsas analogías y aformular preguntas que no han debido plantearse en ningún momento. Veamos elcaso con cuidado.

La incomodidad con los conceptos de espacio y tiempo en la obra de Newton noes una novedad para la época de Hertz. Son clásicas las discusiones de Leibniz,Berkeley y más recientemente Mach. Algo parecido ocurre con el concepto de fuerza.Leibniz discutía con Newton acerca de si la expresión adecuada para el concepto defuerza tenía que ver con la variación de la cantidad de movimiento (mv), como pensa-ba Newton, o la variación de la vis viva (mv2), como pensaba Leibniz. De otra parte, elestudio de los fenómenos electromagnéticos, adelantado por Faraday y Maxwell du-rante el siglo XIX, introdujo serias reservas tanto a la validez universal de la tercera leyde Newton como a la conveniencia de mantener la incómoda noción de acción adistancia. Esa extraña referencia a una acción a distancia y el hecho de que no hubie-se necesidad de ella en las ecuaciones de Maxwell, fue lo que condujo, precisamen-te, a Einstein a preferir la segunda perspectiva por oposición a la primera. En eseorden de ideas, y atendiendo a la situación paradójica de la historia de las ciencias,mientras que la virtud más grande del trabajo de Newton, en oposición al modelo deAristóteles, fue precisamente la de introducir el concepto de fuerza, como un agenteexterno que nos permitió liberarnos así mismo de las problemáticas causas finalesaristotélicas, la virtud más grande del trabajo de Einstein, así como la intención deHertz, fue precisamente la de habernos liberado del concepto de fuerza


La cinemática galileana, que conectaba exclusivamente las nociones de masa,espacio y tiempo, pronto reveló su insuficiencia para elaborar una acertada mecánicade los objetos celestes. Esta laguna se llenó definitivamente con los Principios mate-máticos de la filosofía natural de Isaac Newton. Newton introdujo el concepto defuerza y con él las relaciones a priori que hacían posible todas las conexiones entrelos conceptos fundamentales. Por primera vez tuvimos la sensación de contar conuna mecánica completa del cielo. La fuerza se introdujo como un agente externo queexiste previo al movimiento y que está en capacidad de variar las condiciones delmismo. Cuando yo observo que un objeto ha variado su cantidad de movimiento,bien sea por que se incrementa o disminuye su velocidad, o bien sea porque varía ladirección de su movimiento, estoy obligado a concluir, en virtud de la segunda yprimera ley del movimiento de Newton, que una fuerza externa obra sobre el cuerpoy provoca la variación mencionada en una proporción determinada por la segunda ley.De otra parte, siempre que reconozco que sobre un cuerpo obra una fuerza, deboconcluir a partir de la tercera ley de Newton, la ley que estipula la existencia de paresde acción y reacción, que debe existir otra fuerza de idéntica magnitud y direcciónopuesta que debe estar obrando sobre otro cuerpo en el universo. Esta forma deencarar los problemas mecánicos nos coloca de frente a dos dificultades conceptua-les muy serias en el interior de la teoría. En muchas ocasiones estas dificultades sepueden pasar por alto para salvar las extraordinarias aplicaciones del modelo. Noobstante, en otros casos las dificultades resultan ser un verdadero tormento.

La primera dificultad, que no es la que comenta Hertz, es la siguiente. Cuando unobservador se encuentra en un sistema de referencia no inercial, es decir en un siste-ma de referencia que acelera en el espacio absoluto, está en la obligación de introdu-cir pseudo fuerzas –fuerzas fantasma- en la descripción que hace de los fenómenos.Los objetos que están en el sistema tienden a permanecer en reposo (primera ley)cuando el sistema en general está acelerando, así que un observador que participadel movimiento del sistema puede sentir que los objetos, y él no es la excepción,experimentan una fuerza en dirección contraria a la dirección en la que acelera elsistema. Ahora bien, dado que no es posible identificar los pares de acción y reac-ción para el caso en mención, los observadores deben concluir que se encuentran enun sistema-no-inercial y que en consecuencia no pueden aplicar, sin más correccio-nes, las leyes de Newton. Están, tales observadores, en la obligación de considerarfuerzas ficticias en la descripción completa que hacen de los fenómenos. Esta dificul-tad se puede sintetizar así: a condición de que exista el espacio y el tiempo absoluto,la aplicación de las leyes de la física debe hacerse depender del sistema donde serealiza la observación. La mecánica de Newton exige, entonces, marcos de referen-cia privilegiados. Este problema lo resolvió Einstein invirtiendo los términos de larelación: a condición de que las leyes de la física resulten equivalentes para todos los


observadores, las mediciones del espacio y el tiempo deben hacerse relativas alsistema de observación.

La segunda dificultad, que es el motivo original de la preocupación de Hertz, esla siguiente. Imaginemos que una piedra está atada a un cordel y que describe unmovimiento circular mientras el otro extremo de la cuerda es sostenido por nosotros.Dado que la piedra cambia continuamente de dirección debo concluir, en virtud de laprimera ley, que una fuerza obra sobre ella. Esta fuerza debe ser perpendicular, encada instante a la dirección de la velocidad en ese momento, pues la piedra sóloexperimenta un cambio en la dirección de su movimiento. Por esa razón, tal fuerza sedenomina centrípeta. Ahora bien, la tercera ley exige que haya una segunda fuerza dereacción de igual magnitud y que esté obrando sobre otro cuerpo en una direcciónopuesta a la fuerza original. Nosotros podemos sentir en nuestros brazos la presenciade dicha fuerza que suele denominarse centrífuga. Dos observaciones nos asaltan.En primer lugar, la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia en el sentido advertido en ladificultad anterior, dado que es una fuerza detectada en un sistema de referencia noinercial pues todo sistema que describe un movimiento circular de hecho acelera enel espacio absoluto. En segundo lugar, y esta es la dificultad que advierte Hertz, lareacción de la piedra sobre la mano es provocada por el movimiento de ésta, mien-tras, al mismo tiempo, el movimiento particular de ésta es provocado por la acciónde una fuerza sobre ella. En ese orden de ideas se advierte un doble sentido para elconcepto de fuerza: por un lado es un agente externo que, si bien modifica, es real-mente independiente del movimiento del cuerpo en cuestión, y, por otro lado, es elresultado del movimiento de un cuerpo y, en consecuencia, es dependiente de talmovimiento. He aquí la reacción de Hertz:

Ahora bien, ¿es éste modo de expresión permisible? ¿Es lo que nosotros llama-mos fuerza centrífuga algo diferente a la inercia de la piedra? ¿Podemos, sin destruirla claridad de nuestras concepciones, tomar dos veces en cuenta el efecto de lainercia, -primero como masa inercial, segundo como fuerza? En nuestras leyes demovimiento, la fuerza era una causa de movimiento, y estaba presente antes delmovimiento. ¿Podemos repentinamente, sin confundir nuestras ideas, empezar ahablar de fuerzas que surgen o que son consecuencia del movimiento? Podemoscomportarnos como si hubiéramos ya aseverado algo acerca de las fuerzas de estanueva clase en nuestras leyes, como si al llamarlas “fuerzas” pudiéramos investirlascon las propiedades de las fuerzas? Estas preguntas deben ser claramente respondi-das en forma negativa. La única explicación posible es que la fuerza centrífuga,propiamente hablando, no es una fuerza de ninguna manera. Su nombre, como elnombre vis viva, es aceptado como una tradición histórica; es conveniente retenerlo,aunque deberíamos más bien excusarnos por su retención más que esforzarnos porjustificarla. Pero, ¿qué resulta ahora de las exigencias de la tercera ley, la cual requiere


que una fuerza ejercida por la piedra inerte sobre la mano, y la cual únicamentepuede satisfacerse por una fuerza real, no por un mero nombre? (PM, p. 6).

Notemos que en primer lugar Hertz pregunta si ese modo de expresión es permi-sible o no. Notemos también que la respuesta es negativa: ese no parece un modoadecuado de expresión. Notemos también que Hertz está preocupado por la claridadde nuestras concepciones: ¿es posible hablar de fuerzas provocadas por el movi-miento sin al mismo tiempo violentar la noción primitiva de fuerza? La respuestatambién es negativa. No por el hecho de llamar a algo fuerza lo hemos investido delas propiedades que la mecánica le atribuye a las fuerzas.

No se trata, efectivamente, de dificultades menores que pudieran evitarse conajustes ligeros, de tal manera que el modelo pudiera calibrarse en forma más ade-cuada a la realidad. La dificultad se hace presente en virtud del uso del conceptofuerza sugerido por las leyes: “Me parece que las concepciones de fuerza asumida ycreada en nosotros por la tercera ley de un lado, y por la primera y segunda ley delotro lado, son ligeramente diferentes. Esta leve diferencia puede ser suficiente paraproducir la obscuridad cuyas consecuencias son manifiestas en el ejemplo anterior[el caso de la piedra].” (PM, p. 6). Estas dificultades llevan al físico a creer que suinvestigación no ha terminado, que apenas se encuentra en los preámbulos de unainvestigación más profunda. El físico adquiere la ilusión de que ahora debe develar lanaturaleza profunda y oculta de las fuerzas. Algo muy especial debe ocurrir con lanaturaleza y origen de las fuerzas para que provoquen esa situación ambigua quehemos detectado a partir de las leyes de Newton. Esta es la situación filosóficamen-te interesante: un concepto y su aplicación nos llevan al borde de una investigaciónmetafísica. Se trata, entonces, del escenario propicio para la investigaciónwittgensteiniana: explorar la fuente de la incomodidad para desvanecer esa tenta-ción natural a hacer metafísica. “Ahora bien, por qué las personas nunca preguntande la misma manera cuál es la naturaleza del oro, o cuál es la naturaleza de lavelocidad?” (PM, p. 7). Acaso tenemos más información acerca de la velocidad quede la fuerza? ¿Por qué no hemos provocado un escándalo acerca de la naturaleza dela velocidad o de la aceleración? El concepto de velocidad parece un concepto satu-rado: una vez contamos con su definición tenemos todo en nuestras manos. ¿Por quéno ocurre así con el concepto de fuerza?

Con los términos ‘velocidad’ y ‘oro’ conectamos un gran número de relacionescon otros términos; y entre todas estas relaciones no encontramos contradiccio-nes que nos ofendan. Estamos en consecuencia satisfechos y no formulamospreguntas adicionales. Pero hemos acumulado alrededor de los términos ‘fuerza’ y‘electricidad’ más relaciones que las que pueden ser completamente reconcilia-


das entre ellas mismas. Tenemos un obscuro sentimiento de esto y queremostener las cosas aclaradas. (PM, p. 7, las cursivas son mías).

El concepto velocidad no nos perturba y no nos lleva al borde de una investiga-ción metafísica. Algo diferente ocurre con el concepto fuerza. La dificultad, sin em-bargo, no se resuelve proponiendo una nueva hipótesis. El problema no reside en elcarácter incompleto de nuestros conocimientos: lo que nos falta no es más informa-ción. La dificultad exige un ejercicio de clarificación, un ejercicio que nos permita verclaro o que nos permita contemplar los principios de la mecánica desde otro puntode vista. Hertz no está interesado en aportar más información, desea contribuir con latarea de la clarificación o la elucidación. El papel de la filosofía, a la manera deWittgenstein, también consiste en ofrecer elucidaciones: (TLP, 4.112). Aunque este-mos confundidos, pues una incomodidad conceptual nos ha llevado a formular lapregunta: ¿cuál es la naturaleza de la fuerza?, no es precisamente esa la preguntaque debemos resolver:

No obstante la respuesta que queremos no es realmente una respuesta a estapregunta. No es al descubrir nuevas relaciones y más conexiones que la preguntapuede ser contestada; sino removiendo las contradicciones que existen entreaquellas ya conocidas, y de esa manera tal vez reducir su número. Cuando estaspenosas contradicciones sean removidas, la pregunta acerca de la naturaleza de lafuerza no habrá sido resuelta; pero nuestras mentes, libres de confusión, cesarande formular preguntas ilegítimas. (PM, p. 8)55

Es fácil ceder a la tentación de imaginar que Hertz quiere proponer, en conse-cuencia, un modelo completamente diferente. Ese no es el caso. “He planteado tanfuertes dudas sobre la permisibilidad de esta imagen [el modelo de Newton] quepodría parecer que es mi intención impugnar, y finalmente negar, su permisibilidad.Pero mi intención y convicción no llegan hasta ese extremo.” (PM, p. 8). En los térmi-nos de Hertz: la incomodidad no reside en el contenido de la mecánica de Newton,sino en la expresión que se ha adoptado. Este punto, sin embargo, ya no es tan fácilde defender, pues en el desarrollo técnico del modelo, Hertz suele advertir incon-gruencias que nos llevarían necesariamente a revisar fragmentos importantes delcontenido. No obstante, pasaremos por alto tal análisis pues no estamos interesadosen un estudio exhaustivo de la obra de Hertz. “Tal vez nuestras objeciones no serelacionan con el contenido de la imagen, sino únicamente con la forma en la cual elcontenido es representado.” Y más adelante: “Estamos convencidos,..., que los de-

55 Baker y Hacker sugieren que Wittgenstein tenía la intención de incluir la última frase de este pasaje como elepígrafe inicial de las Investigaciones Filosóficas. Este pasaje, sin embargo, fue reemplazado por la cita de Nestroy queaparece en la edición final. Norman Malcolm sugiere que el epígrafe de las Investigaciones Filosóficas es una reaccióndel autor hacia la valoración que las personas cercanas a Wtiigenstein tenían de su trabajo (Véase Malcolm, N. (1958) p.60). La referencia a Baker y Hacker fue tomada de: Baker, G. P. & Hacker, P. M. (1980), vol 1, p. 16.


fectos existentes son únicamente defectos en la forma; y que toda la falta de certezay de distinción se puede evitar a través de una disposición adecuada de definicionesy notaciones, y por el debido cuidado en los modos de expresión.” (PM, p. 8-9). Laintención de Hertz no consiste, pues, en advertir que hemos estado equivocados alinvocar la validez de la primera, la segunda o la tercera ley de Newton. La intención sepuede, quizá, describir mejor en los siguientes términos: proponer un nuevo modode representación de tal manera que no haya lugar para las preguntas que provocanla confusión. Este nuevo modelo de representación nos debería permitir reaccionarante la fuerza con la misma naturalidad con la que recibimos definiciones como la develocidad en el modelo de representación de Galileo y Newton.

Nos ocuparemos, en lo sucesivo, de la propuesta de Hertz. Debemos mencionarprimero, como una nota al margen, que el programa de investigación de Hertz se vioabortado por dos razones elementales. La primera de ellas, la temprana muerte deHertz no le permitió responder a las objeciones que se formularon, ni le permitiótampoco llegar a consolidar una tradición que le permitiera a las generaciones si-guientes hacerse cargo del desarrollo posterior del programa. La segunda de ellas, elnuevo giro impuesto a la física tanto por la Teoría Especial y General de la Relatividad,como por la Mecánica Cuántica. Ya hemos mencionado que los tres modelos hacenuso de las nociones elementales de masa, tiempo y espacio. En el caso de Hertz, noobstante, existe una clara inclinación kantiana y una fuerte influencia de las críticasadelantadas por Mach a los conceptos de espacio y tiempo absolutos. El punto quenos interesa estudiar tiene que ver con la eliminación de una cuarta noción fundamen-tal. Mientras el modelo de Newton se apoya en las tres leyes del movimiento y elmodelo de Hamilton lo hace en el principio integral de mínima acción de Hamilton, elprograma de Hertz se estructura a partir de una única ley fundamental. Esta ley sepresenta en el Libro II y estipula lo siguiente: “Todo sistema libre persiste en suestado de reposo o de movimiento uniforme por el curso más recto.”56 (PM, § 309, p.144). Mientras la ley de inercia de Newton está concebida para el caso de una partí-cula material aislada, el principio de Hertz está concebido para un sistema libre. Enese orden de ideas, mientras Newton procede a interpretar lo que ocurre con unsistema complejo a partir del comportamiento individual de sus partes, Hertz proce-de, al contrario, a inferir el comportamiento de las partes a partir del movimiento delsistema en su conjunto.

Ahora bien, es muy difícil, diríamos más bien imposible, encontrar en la naturale-za un sistema libre o una partícula aislada como exigen Hertz y Newton. Todos lossistemas que contemplamos en la naturaleza se apartan o bien del reposo o bien del

56 Hertz anexa una traducción de la ley en latín, quizá para que el lector establezca las similitudes y las diferenciascon la primera ley de Newton que también está formulada en latín en los Principios matemáticos de la filosofía natural.Ley fundamental de Hertz: “Systema omne liberum perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter indirectissimam.” (PM, § 309). Primera ley de Newton: “Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendiuniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.” (Newton, Isaac. PhilosophiaeNaturalis Principia Mathematica, 1822, p. 16).


movimiento uniforme por el camino más recto. ¿Qué debemos hacer entonces? De-bemos concebir, a continuación, que cada uno de estos sistemas-no-libres haceparte de un sistema más amplio de tal manera que el conjunto en general se ajustaa la ley a condición de que una de sus partes se distancie, aparentemente, de lamisma. Hertz imagina entonces la existencia de unas masas ocultas que integradasal conjunto le permitirían contemplar a este como un sistema libre. Veamos la mane-ra como Hertz justifica la introducción de estas entidades ocultas:

Si tratamos de entender el movimiento de los cuerpos que nos rodean, yreferirlos a reglas claras y simples, poniendo atención únicamente a lo que puedeser observado directamente, nuestros intentos en términos generales fallarán.Pronto llegaremos a ser conscientes de que la totalidad de las cosas visibles ytangibles no constituyen un universo ajustado a la ley, en el cual los mismosresultados se siguen siempre de las mismas condiciones. Llegaremos a estarconvencidos de que la diversidad del universo real debe ser más grande que ladiversidad del universo revelado a nosotros directamente por nuestros sentidos.Si deseamos obtener una imagen del universo que sea acabada, completa y ajus-tada a la ley, tenemos que presuponer otras cosas invisibles detrás de las cosasque vemos –tenemos que imaginar congregaciones ocultas más allá de los límitesde nuestros sentidos. Nosotros reconocemos estas influencias subyacentes enlas dos primeras representaciones; las imaginamos como entidades de una claseespecial y peculiar, y así, con el objeto de representarlas en nuestra imagen, crea-mos las ideas de fuerza y energía. Sin embargo otra vía se abre ante nosotros.Podemos admitir que hay algo oculto y aún así negar que pertenezca a una catego-ría especial. Somos libres de asumir que este algo oculto no es otra cosa más quenuevamente masa y movimiento, -movimiento y masa que no difieren en sí mis-mos de los visibles sino en relación a nosotros y nuestros medios usuales depercepción. (PM, p. 25)

Los dos modelos anteriores también introducen entidades ocultas: pues ni lasfuerzas ni las energías pueden someterse a un proceso de observación directo a lamanera como sometemos la presencia de los objetos materiales, más grave aún sipensamos en la introducción de fuerzas-ficticias en el caso del primer modelo. ¿Cuáles entonces la diferencia? Los dos primeros modelos deben introducir entidades deuna naturaleza completamente nueva, de ahí que deriven en investigaciones de laforma: ¿en qué consiste la naturaleza de la fuerza? o ¿en qué consiste la naturalezaúltima de la energía? El modelo de Hertz, al contrario, introduce, en forma hipotética,elementos que poseen la misma naturaleza: masa y movimiento. Las masas ocultasse introducen para ajustar el movimiento de los sistemas visibles a la ley fundamen-tal. Si reconstruimos el programa a la luz de las recomendaciones de Wittgensteinpodríamos resumir brevemente la estrategia en estos términos: Hertz recomienda un


nuevo plan para construir, a partir de él, las proposiciones verdaderas que necesita-mos para describir el mundo. La ley fundamental -que digámoslo nuevamente: no esuna proposición- aporta un esquema para producir proposiciones. Al proponer unanueva forma de presentación de la mecánica algunas confusiones originadas ennuestras formas de expresión desaparecen. Este ejercicio de Hertz puede contem-plarse como un ejercicio de clarificación conceptual.

Independientemente de si el modelo de Hertz es acertado o no, o de si es másadecuado, o más sencillo o no, nos interesa resaltar especialmente el motivo queorienta el programa de investigación: eliminar el papel dominante del concepto fuer-za a través de un ejercicio de clarificación de nuestros conceptos. Hertz puede re-construir a continuación los teoremas y principios más básicos de la mecánica clási-ca: las leyes de Newton, los principios de conservación, las diferentes variantes delprincipio de mínima acción, etc.. Lo hace sin embargo reformulando su presenta-ción: “Lo que nosotros estamos acostumbrados a denotar como fuerza y energíaresulta ahora no más que una acción de masa y movimiento, pero no necesariamentede masa y movimiento reconocibles por nuestros toscos sentidos.” (PM, p. 26). Enesta tarea Hertz introduce el concepto de fuerza, pero lo hace para proveer al lector deuna ayuda técnica. En otras palabras, la introducción del concepto obedece a unasunto de comodidad simbólica que bien se ha podido obviar. El concepto fuerza esun instrumento de nuestro simbolismo. “Pronto encontramos conveniente”, aclaraHertz, “introducir en nuestro sistema el concepto fuerza. Sin embargo, no aparececomo algo independiente y aparte de nosotros, sino como una ayuda matemáticacuyas propiedades están enteramente en nuestro poder. En consecuencia, no puedeen sí misma ofrecer un misterio para nosotros.” (PM, p. 28). Veamos la definición quesugiere Hertz: “Por una fuerza entendemos el efecto independiente que uno de losdos sistemas acoplados, como consecuencia de la ley fundamental, ejerce sobre elmovimiento del otro.” (PM, § 455, p. 185). Así las cosas, cuando hay dos cuerposque pertenecen al mismo sistema, el movimiento de uno está determinado por elmovimiento del otro a condición de que se cumpla la ley fundamental. La ley nosautoriza, entonces, a introducir este modo de expresión: el movimiento de un cuerpodetermina una fuerza, y esta fuerza determina, entonces, el movimiento del segundo.

En orden a recuperar la jerga wittgensteiniana, los principios de la mecánica, a lamanera de Hertz, además de aportar un plan para construir las proposiciones verda-deras que nos permiten describir el mundo, nos proveen también, con una serie derecursos matemáticos que nos permiten hacer transformaciones. Así las cosas, cuandoWittgenstein afirma que no es una proposición de la matemática lo que nosotrosnecesitamos, sino que hacemos uso de tales proposiciones únicamente con el fin deinferir, a partir de proposiciones que no pertenecen a la matemática, otras proposicio-nes que tampoco pertenecen a la matemática (TLP, 6.211); podemos así mismopensar en construir una formulación equivalente para los principios de la mecánica.


He aquí la propuesta: en la vida no necesitamos de un principio de la mecánica, perohacemos uso de tales principios únicamente para inferir a partir de proposicionesque no pertenecen a la mecánica, otras proposiciones que tampoco pertenecen a lamecánica. (A esta en el estado X en tanto que B esta en el estado Y; a partir de losprincipios de la mecánica podemos inferir que en tal tiempo A estará en el estado X1

y B estará en el estado Y1). Los principios aportan, de esa manera, herramientas quehacen posible las transformaciones a partir de las cuales anticipamos las proposicio-nes que nos permiten describir el mundo.

Con esta presentación es claro que los principios de la mecánica no describennada, no dicen nada acerca del mundo, no describen un posible estado de cosas. Enese orden de ideas, carecen de sentido. Los principios de la mecánica, a la manerade Wittgenstein, Boltzmann y Hertz, son imágenes interiores a partir de las cualesproferimos proposiciones que sí son descriptivas. Tales principios tampoco son ver-dades inefables, no pretenden silbar lo que no podemos decir. Y aún así, no sonruidos. Ellos aportan la forma de una ley. De otra parte, la filosofía es entendida porWittgenstein como una actividad, de ninguna manera como una doctrina o un siste-ma teórico. Esta actividad está orientada a hacer claridad en el uso que hacemos denuestros conceptos. Esa claridad no se consigue contraponiendo una teoría a otrateoría. Por esa razón, tal actividad no se adelanta por medio de proposiciones, seadelanta por medio de elucidaciones. El ejercicio que realiza Hertz con la mecánica leaporta a Wittgenstein un claro ejemplo de elucidación filosófica. La revisión filosóficaque adelanta Hertz no está encaminada a aportar los fundamentos de una disciplina,ni las condiciones de posibilidad de sus aserciones, a pesar de su orientación kantiana,ni tampoco tiene la intención de reemplazar un marco de hipótesis por un conjuntonuevo de proposiciones. La revisión de Hertz tiene como meta la claridad conceptual,desea resolver una cuestión incómoda disolviendo la pregunta57. Esto se logra aldesenmascarar su carácter de pregunta ilegítima. Sólo así podemos restablecer lacalma. A eso es a lo que llamamos contemplar los principios de la mecánica desdeotro punto de vista. “No he intentado esta tarea a causa de que la mecánica hayamostrado signos de falta de adecuación en sus aplicaciones, ni porque exista algúnconflicto con la experiencia, sino únicamente con el ánimo de liberarme a mí mismodel sentimiento opresivo de que sus elementos no estuvieran libres de cosas oscurase ininteligibles.” (PM, p. 33). El análisis gramatical de Hertz, creo que podemosllamarlo así, debe llevarnos al punto en dónde no nos atormentamos con preguntasindebidas. La filosofía, a la manera de Wittgenstein, y la mecánica, a la manera deHertz, deben llevarnos al reposo, deben llevarnos a la eliminación de los llamados

57 Boltzmann también ve la filosofía como una actividad encaminada a desenmascarar ilusiones: “Mi teoría actuales totalmente distinta de aquella que mantiene que hay ciertas preguntas que caen fuera de los límites del conocimientohumano. De acuerdo con esta teoría hay un defecto o imperfección en la capacidad cognitiva del hombre, mientras que yoconsidero que la existencia misma de esas cuestiones y problemas es una ilusión. Puede sorprender, en una reflexión su-perficial, que después de haber llegado a conocer la ilusión, no desaparezca el impulso a responder tales preguntas; y esque el hábito mental es demasiado poderoso como para dejar de influir en nosotros.” (Boltzmann, Ludwig (1986), p. 217).


problemas de la filosofía: “Pues la claridad a la que aspiramos es en verdad comple-ta. Pero esto sólo quiere decir que los problemas filosóficos deben desaparecercompletamente. El descubrimiento real es el que me hace capaz de dejar de filosofarcuando quiero. –Aquel que lleva la filosofía al descanso, de modo que ya no sefustigue más con preguntas que la ponen a ella misma en cuestión.” (IF, §133). Losfilósofos usualmente creen que sus investigaciones conducen a mostrarnos que algoque parece no tener sentido realmente tiene uno (Heráclito y su obsesión por mostrarque no podemos bañarnos dos veces en el mismo río), cuando en realidad se tratade mostrar que algunas expresiones que parecen tener un sentido claro realmente nolo tienen: “hay objetos”, “hay fuerzas”. La filosofía surge cuando queremos decir másde lo que podemos, no cuando creemos que estamos en la obligación de decir másde lo que podemos.

En el orden del paralelo que hemos querido ilustrar y del problema que hemosestado enfrentado, podríamos sintetizar en estos términos el resultado. La tensiónque existe es entre: quisiéramos decir algo más y no podemos, y no entre: hay algomás que es verdadero-en-alguna-forma y no podemos expresarlo. Quisiéramos deciralgo más simplemente porque no tenemos una visión clara del uso de los términosque estamos empleando. Una vez tenemos tal visión, la incomodidad debe desapa-recer, no porque hayamos resuelto el problema en forma positiva, o porque descu-bramos que aquello que queríamos expresar sobrepasa los límites de nuestra expre-sión, sino porque en ese momento ya no nos atormentamos con tales preguntas.

No estamos obligados a derivar a partir del Tractatus la existencia de verdadesinefables, eso es cierto, pero tampoco estamos obligados a pensar que todas lasexpresiones que carecen de sentido, carecen también de un uso práctico. “2+3=5”carece de sentido, según el análisis clásico de Wittgenstein en el Tractatus, sabemostambién que expresa un rasgo de nuestro simbolismo, y una vez estamos curadosde la tentación de pensar que la proposición describe un estado de cosas en elmundo, no tenemos por qué sacarla de circulación después de que hemos hechoclaridad acerca del papel que desempeña en nuestras prácticas. Lo mismo se pue-de decir de los principios de la mecánica. Carecen de sentido, según Wittgenstein,pero sabemos que aportan un plan de acuerdo con el cual construimos y transforma-mos legítimas proposiciones, y una vez estamos curados de la tentación de pensarque tales principios describen un estado de cosas en el mundo, no tenemos porquesacarlos de circulación después de que hemos hecho claridad acerca del papel quedesempeñan en nuestras prácticas. Los aforismos del Tractatus carecen de sentido,eso también es cierto, aportan elucidaciones que nos permiten ver con claridad quehay preguntas ilegítimas que entorpecen la marcha natural de nuestras prácticas, yuna vez hemos visto eso con claridad, ya no los necesitamos.

Hemos comparado la elucidación wittgensteiniana con la clarificación gramaticalhertziana con el ánimo de esclarecer la actitud de Wittgenstein frente a las leyes

generales de las ciencias naturales y frente a las declaraciones del Tractatus. Quere-mos exponer más adelante la siguiente recomendación: la actitud de Wittgensteinfrente a la exploración metafísica que se desprende de los teoremas de incompletitudde Gödel, es similar a la actitud de Hertz y de Boltzmann frente a la exploraciónmetafísica que se adhiere a la mecánica de Newton. Ninguno de los dos desconocelas virtudes, la importancia o el cuerpo central de los aportes de Gödel y Newton.Ellos quieren cerrar las puertas a las exploraciones metafísicas que se insinúan envirtud de una confusión gramatical asociada con las formas de expresión que hemosadoptado para presentar tales resultados.

En el capítulo siguiente nos ocuparemos de las incomodidades que llevaron aWittgenstein a revisar algunas de sus orientaciones centrales sin renunciar al espírituoriginal del Tractatus.

“Filosofo ahora como una vieja que lo pierdetodo continuamente y ha de buscarlo a cada momento;

ahora, las gafas; después, las llaves...”Ludwig Wittgenstein (SC, §532)

En aquellas escasas y extrañas ocasiones en las que es posible hablar de dos, omás, creaciones o sistemas diferentes en cabeza de un solo filósofo, los críticos suelentener problemas muy serios con los escritos que bien podríamos denominar de transi-ción. Es difícil renunciar a la sensación de estar leyendo obras acabadas cuando lee-mos los escritos de pensadores tan diversos como Platón o Kant. Cualquier escrito dePlatón parece ya una obra de madurez. Algo parecido ocurre con los escritos de Kant.No es fácil encontrar allí momentos o fragmentos de dubitación. En la Crítica de la razónpura, por ejemplo, todo parece claramente definido desde el primer momento. Allíencontramos cada cosa en su lugar y reconocemos que cada lugar estaba ya prefigu-rado para la cosa que efectivamente alberga. Es tal la imagen que nos hemos formadodel filósofo de Königsberg que difícilmente podríamos concebir a Kant dispuesto a darmarcha atrás para construir un nuevo sistema o una nueva arquitectónica de la razón.Es tal el peso paradigmático de la Crítica de la razón pura que resulta muy sencillollegar a creer que se trata de un monumento inmune, es decir, un documento prepara-do para responder a cualquier crítica pasada, presente o por venir. Algo muy diferente,diríamos más bien diametralmente opuesto, ocurre con aquellos escritos que hemosllegado a reconocer como provenientes de la pluma de Ludwig Wittgenstein. Aquellector acostumbrado ya a la rigidez cristalina de Kant puede llegar incluso a encontrarchocante la vacilación, en ocasiones neurótica, presente en los escritos de Wittgenstein.Podemos llegar a pensar que cada cosa está fuera de su lugar y que cada lugar estabaprefigurado para una cosa diferente a la que alberga. No pretendo hacer una diserta-ción acerca del estilo muy peculiar con el que Wittgenstein expone sus ideas; dehecho no es muy claro si a lo que aspira es a una exposición terminada de un pensa-

CAPITULO 3WITTGENSTEIN:

ENTRE DOS FUEGOS


miento acabado. Me resisto a creer que las ideas de Kant puedan llegar a plasmarseen breves aforismos, a la manera de las Investigaciones filosóficas, así como meresisto a pensar que las ideas de Wittgenstein puedan llegar a plasmarse en la prosaaséptica de la Crítica de la razón pura. Creo que cada una de las obras mencionadasperdería parte del encanto al que ya nos hemos ido acostumbrando.

Uno de los ejemplos aclaratorios más simples, y a la vez más profundos, emplea-do por Wittgenstein en los Cuadernos azul y marrón es precisamente el caso de laorganización de una biblioteca1. Deseo comentar sus consecuencias. Contamos conuna cantidad importante de libros arrojados sobre el suelo y nuestra tarea consiste encolocarlos con cierto orden en los estantes de una biblioteca. La biblioteca tan sóloposee esto: unos estantes rígidos. No contamos, por ejemplo, con rótulos prediseñadosy preinstalados por una autoridad superior. No existe algo así como un rótulo que diga:Metafísica, de tal manera que nuestra labor se limite a seleccionar los libros que consi-deramos que tratan de metafísica para ubicarlos en la región para la cual el rótuloestipula sus límites. Hay muchas formas de llevar a cabo la tarea. En particular,Wittgenstein se detiene en dos estrategias. Por un lado, podemos diseñar una arquitec-tónica de la biblioteca y cuando tomemos cada libro podemos advertir, en virtud de sucontenido, cuál es la región que debe ocupar en la biblioteca. Acto seguido debemosubicar el libro en el sector que ha sido diseñado y concebido para él. Difícilmenteestaremos dispuestos a cambiar un libro de lugar. Cada movimiento tendrá la forma deun movimiento definitivo. Por otro lado, podemos tomar varios libros y, después deadvertir que poseen un cierto parecido de familia, colocarlos en fila sobre un estante.Esto señala simplemente que tales libros, por lo pronto, deben permanecer cerca,dondequiera que sea siempre que estén cerca. En la medida en que ordenemos labiblioteca, éstos libros pueden cambiar de lugar y eventualmente puede ocurrir que lapretendida unidad inicial se vea rota en virtud de nuevas exigencias que van aparecien-do en el desarrollo de la tarea. Haberlos colocado juntos no era la expresión de una tareacumplida, sino la expresión de un paso preliminar. Los dos métodos exhiben dos for-mas diferentes de hacer filosofía. El primero ilustra el estilo de Kant, el segundo ilustrael estilo de Wittgenstein. “Algunos de los mayores logros en filosofía”, complementaWittgenstein, “sólo podrían compararse con el hecho de coger algunos libros que pare-cían tener que estar juntos y colocarlos sobre estantes diferentes, no siendo definitivosobre sus posiciones más que el hecho de que ya no están uno al lado del otro.”2 (BBB,p. 44-45). La filosofía no se ocupa, entonces, de preparar a priori el andamiaje de todo

1 BBB, p. 44.2 No es fácil advertir si Wittgenstein se refiere a los logros en la filosofía practicada a su manera, o a los logros en

la filosofía practicada a la manera que desea criticar. Esta observación contrasta con la siguiente nota tomada de lasLectures on the foundations of mathematics: “como gentes primitivas estamos mucho más inclinados a decir, ‘todasestas cosas, aunque parecen diferentes, son realmente la misma’ que lo que estamos para decir ‘todas estas cosas,aunque parecen la misma, son realmente diferentes.’” (LFM, p. 15). La mayor cantidad de problemas en filosofía, segúnWittgenstein, surge de analogías mal planteadas. En ese sentido la terapia wittgensteiniana se torna útil cuando preten-de mostrar que dos cosas que parecen la misma son realmente diferentes. En términos de las recomendaciones de losCuadernos azul y marrón: tomar algunos libros que parecían tener que ir juntos y colocarlos en estantes diferentes.


conocimiento posible, no pretende intervenir en la tarea del físico, del biólogo, del mate-mático o del psicólogo. La actividad del filósofo, concebido a la manera de Wittgenstein,consiste en separar aquellos elementos del lenguaje que por una suerte de confusióntendemos a reunir sin atender al hecho de que pertenecen a esferas diferentes. El proble-ma, de todas maneras, es más complejo que lo que advierten las líneas anteriores y deél tendremos que ocuparnos en lo sucesivo. Por lo pronto basta con esta introducción.

Los llamados escritos de transición de Wittgenstein constituyen, sin duda, unaseria dificultad para los comentaristas3. De una parte, son muchas las ideas propiasde la época del Tractatus que aún conservan una huella determinante. De hecho hayque aclarar que el llamado Segundo Wittgenstein no renunció por completo a algunasde las ideas centrales del primer período. De otra parte, las nuevas ideas se insinúancon una timidez exagerada. Algunas de esas ideas se formulan de una manera pre-liminar y exploratoria. Unido a lo anterior hay que resaltar el hecho de que ninguno deesos escritos se preparó con el objeto de una publicación y son, en consecuencia,borradores de trabajo. No resulta nada fácil distinguir las ideas acabadas de lasexploraciones simplemente tentativas. Por último, algunos textos reconocidos ya comoparte de la literatura wittgensteiniana son, en realidad, una recopilación de notastomadas por los discípulos del filósofo. Obviamente están sujetos al escrutinio de lacrítica. No es del todo seguro encontrar en esas líneas una expresión depurada de losverdaderos pensamientos de Wittgenstein. Algunos comentaristas, animados quizápor un espíritu excesivamente purista, han optado por desconocer gran parte de losescritos que aquí he denominado de transición, por considerar que lo que podríamosadscribir con propiedad como pensamiento de Wittgenstein se encuentra únicamen-te en el Tractatus y en las Investigaciones filosóficas, algunos abogan también porSobre la certeza. No adoptaremos aquí una formulación tan extremista. Sin embargo,adoptaremos una actitud cauta y prudente en relación con los escritos de transición.A mi juicio, los escritos de transición aportan elementos sustanciales siempre quelos hagamos gravitar alrededor de las ideas suscritas en el Tractatus o en las Investi-gaciones. Creo que es un error pretender lo contrario. Es decir, hacer que el Tractatuso las Investigaciones graviten en torno a las obras de transición. Stanley Cavell, porejemplo, protestó contra quienes pretendían sugerir que algunas observaciones enSobre la certeza superaban en claridad a los aforismos relacionados con el mismotema en las Investigaciones filosóficas4. Cavell profesaba una profunda admiraciónpor las Investigaciones y tenía la tendencia a considerarlo un texto autónomo, lo sufi-cientemente separado del resto de escritos atribuidos a Wittgenstein, y que bienpodría dejar abierta la cuestión relativa a la relación de éste con otros textos. Laactitud de Cavell se hace más recia cuando confronta a otros autores que pretendendefender ciertas lecturas particulares del Tractatus o de las Investigaciones apoyán-

3 Si el lector está interesado en los detalles concernientes a la publicación de los escritos de Wittgenstein, puederemitirse a: Stern, David (1994); Stern, David, (1996); Wright, G. H. von, (1969); Kenny, Anthony, (1990 a).

4 Véase, por ejemplo, Cavell, Stanley, (1995 b).


dose en fragmentos provenientes de los manuscritos de Wittgenstein. La actitud deDavid Stern contrasta con la de Cavell. Ni las Investigaciones ni Sobre la certeza,según Stern, pueden ser mejor entendidos sobre la base de la pretendida autonomíade Cavell, pues cada uno de ellos está íntimamente relacionado con los otros textosde Wittgenstein. Las conversaciones privadas de Wittgenstein consigo mismo resul-tan, a veces, mucho más claras si uno observa sus escritos como un todo.

Al insistir en la necesidad de ver los trabajos de Wittgenstein publicadospóstumamente como parte de una red más extensa de textos, -aclara Stern- noquiero sugerir que o bien los libros publicados después de las Investigaciones, olos escritos no publicados, contienen la clave esotérica para entender su filosofía,o que mucho de sus mejores trabajos descansa aún sin publicar. Pero creo quetanto las Investigaciones como Sobre la certeza, así como otros trabajos deWittgenstein publicados póstumamente, son mucho más accesibles si uno seaproxima a ellos como selecciones de un trabajo más extenso.5

He hablado acerca de los escritos de transición sin prefigurar de antemano a quéme estoy refiriendo. En términos absolutamente escuetos, me estoy refiriendo a lostextos escritos entre 1929, el año en el que Wittgenstein regresó a Cambridge, y 1933-35. En este período se advierten los problemas más serios en el Tractatus aunque nologre aún divisarse una salida clara. No me interesa hacer un estudio detallado delperíodo de transición. Esa tarea supera el interés del presente proyecto. Sin embargo,algunas posturas del período intermedio se originaron explícitamente en problemasasociados con la naturaleza y el sentido de las proposiciones matemáticas. Ese esprecisamente el punto que me interesa explorar. De otra parte, algunas de las observa-ciones, por no decir todas, relativas a la naturaleza de las expresiones matemáticasrecogidas en los textos adscritos al segundo Wittgenstein, se aclaran con toda sufuerza, o al menos se conciben desde otro ángulo, si se contemplan con una visiónpanorámica de las ideas previas que le dieron origen, tal como sugiere Stern. El pre-sente capítulo explora el cambio de actitud de Wittgenstein al enfrentar las preguntasasociadas con el sentido de las proposiciones matemáticas. Hemos visto en el capítu-lo anterior los argumentos que condujeron a Wittgenstein a sostener que las denomina-das proposiciones matemáticas carecen de sentido y, en consecuencia, no son strictosensu proposiciones. Las llamamos proposiciones en un acto de cortesía y considera-ción. Las expresiones matemáticas son, en el contexto del Tractatus, ecuaciones. Algu-nas observaciones críticas, varias de ellas provenientes del agudo olfato crítico deRamsey6, obligaron a Wittgenstein a transformar radicalmente su postura frente a lanaturaleza de las proposiciones en general y frente a la estructura de las proposicionesmatemáticas en particular. Me interesa estudiar las variaciones a propósito del sentido

5 Stern, David (1996) p. 446.6 Véase, por ejemplo, Ramsey, Frank (1923), p. 43.


de las proposiciones matemáticas en el denominado período de transición. Esto con elobjeto y con la esperanza, apoyados en la recomendación de Stern, de arrojar algunasluces acerca de las crípticas anotaciones acerca de las matemáticas formuladas du-rante el período correspondiente a la consolidación de las Investigaciones filosóficas. Enprimer lugar, me ocuparé del problema asociado con la exclusión de los colores, enesta parte me interesa resaltar la importancia que le da el autor a una visión sinóptica denuestra gramática. Deseo extenderme en este planteamiento desarrollando en formaexhaustiva, y a manera de ejemplo, el caso de la gramática de los colores. El lectorpuede pensar que me estoy extendiendo innecesariamente en un tema alejado de lacolumna vertebral del presente proyecto. Deseo, con dicha extensión, aclarar la nociónde visión sinóptica. Esta noción resultará central en el momento de aclarar el papel deuna demostración matemática. A continuación abordaré los cambios en el conceptode proposición. Por último retomaré algunas cuestiones asociadas con el estilo, enparticular, la importancia de los ejemplos en el nuevo período.

Entender el sentido de una proposición no es ya establecer una relación proyectivaque estipule el posible estado de cosas que se pretende describir en el mundo.Entender el sentido es ahora comprender el papel que desempeña la proposición enla red de juicios y actividades en la que se encuentra la proposición. Así las cosas,entender el sentido de una proposición exige, desde la nueva perspectiva deWittgenstein, contar con una visión panorámica que nos permita divisar las conexio-nes internas de la proposición en la red que hemos mencionado. Una demostraciónmatemática aporta, como veremos en los capítulos 5 y 6, la visión panorámica que leda sentido a una proposición matemática. El ejemplo de la gramática de los coloresaporta una ilustración doble: i) muestra el papel de una visión sinóptica; ii) muestra elpapel de una exclusión gramatical. Queremos resaltar el segundo punto, pues lasnuevas exploraciones wittgensteinianas surgieron, entre otras cosas, después deestablecer que el concepto de exclusión lógica es más amplio que la restringidanoción de contradicción en el Tractatus. A la luz de la interpretación de Wittgenstein,como veremos en los capítulos 6 y 7, es posible contemplar los teoremas deincompletitud de Gödel a la manera de exclusiones gramaticales.

3.1 La exclusión de los colores“El toro cuando se le enseña un trapo rojo, se irrita y enfurece;

pero el filósofo, en cuanto se le habla de color, se pone frenético.”Johann Wolfgang Goethe7

La desmantelación del Tractatus no se produjo a partir de algún punto particularque pudiera hacer las veces de una anomalía, para usar el lenguaje de Kuhn. ElTractatus tenía muchas fisuras y era previsible que por cualquiera de ellas se fractura-

7 Goethe J. W. (1820), p. 484.


ra. Wittgenstein advirtió simultáneamente muchos problemas como si se tratara deuna casa deteriorada que empieza a filtrar el agua ahora aquí, más tarde allí, al cabode un rato más allá. El problema de la exclusión de los colores, en particular, hallegado a ocupar un lugar importante en el estudio de la transición de las ideas deWittgenstein. No obstante, la importancia y el papel que desempeña depende, engran medida, de los intereses particulares que pretenda resaltar el comentarista. Enparticular, me interesa resaltar el papel desempeñado en la transformación de lasideas acerca de las proposiciones matemáticas. Trataremos de aclarar inicialmentela forma como aparece el problema de la exclusión de los colores en el Tractatuslogico philosophicus. Este problema se plantea en forma explícita en el aforismo6.3751; sin embargo, el problema no se percibe si no se plantea en el contextogeneral del Tractatus. Veamos entonces el aforismo y exploremos a continuación elcontexto que le da sentido. “Que dos colores, por ejemplo, se encuentren simultá-neamente en un punto del campo visual, es imposible, lógicamente imposible, por-que lo excluye la estructura lógica del color.” (TLP, 6.3751). Se trata de uno de los muyescasos casos en los que Wittgenstein acude a un ejemplo para ilustrar su posición.Si A alude a una mancha en el campo visual, las proposiciones “A es rojo en el tiempot” y “A es verde en el tiempo t” se excluyen mutuamente. La exclusión es, además,una exclusión lógica. En el contexto del Tractatus debemos decir que se contradicen;en el contexto del segundo Wittgenstein conviene decir que se excluyen lógicamente.Pero, ¿qué trata de ejemplificar Wittgenstein? El aforismo 6.3751 es la única aclara-ción al aforismo 6.375 que establece que así como sólo existe la necesidad lógica,así mismo tan sólo existe la imposibilidad lógica. Los conceptos de necesidad lógicae imposibilidad lógica constituyen una pareja indisoluble en el marco de la filosofíawittgensteiniana, tanto en los primeros escritos como en los textos tardíos. Ahorabien, 6.375 es una de las cinco aclaraciones a 6.37. Realmente percibo sólo tresaclaraciones, no cinco, 6.371, 6.373 y 6.375. Yo propondría, en consecuencia, renombrar6.372 como 6.3711 (una aclaración de 6.371), 6.373 como 6.372 (segunda aclaraciónde 6.37), 6.374 como 6.3721 (una aclaración de 6.372), 6.375 como 6.373 (terceraaclaración de 6.37), y, por último, 6.3751 como 6.3731 (aclaración de la tercera acla-ración de 6.37). Presento a la izquierda el esquema de Wittgenstein y a la derecha elesquema que propongo:

6.37 6.376.371 6.3716.372 6.37116.373 6.3726.374 6.37216.375 6.373

6.3751 6.3731


El aforismo 6.37, que se encuentra en la base de la discusión que pretendemosdesentrañar, estipula que tan sólo existe la necesidad lógica. Ahora bien, éste aforis-mo es una de las siete aclaraciones del aforismo 6.3. Empecemos, entonces, adesenrollar el ovillo por este extremo. El grupo de aforismos 6.1... constituye el movi-miento final de la pieza musical que desentraña la naturaleza de las proposiciones dela lógica, el grupo de aforismos 6.2... se ocupa de las proposiciones de la matemáti-ca, el grupo de aforismos 6.3... desentraña la naturaleza de una buena parte de loque queda fuera de la lógica, en particular las proposiciones de la ciencia natural, elgrupo de aforismos 6.4... se ocupa de las pretendidas proposiciones de la ética, y,por último, el grupo de aforismos 6.5... atiende a las llamadas proposiciones de lafilosofía. Sobra advertir que el grupo de aforismos 6... es el grupo con el que se cierrael Tractatus; allí están puestos los puntos finales, por decirlo de alguna manera.Regresemos a 6.3: “La investigación lógica significa la investigación de toda regula-ridad. Y fuera de la lógica todo es casual.” (TLP, 6.3). El énfasis hay que advertirlo enla segunda parte; mientras 6.1 se ocupa de la lógica; 6.2 de la matemática, que,ajuicio de Wittgenstein, es un método lógico; 6.3 lo hace de lo que queda fuera de lalógica. Debemos concluir, entonces, que las tautologías y las ecuaciones estipulantodas las regularidades. Ahora bien, las siete aclaraciones a 6.3 tienen un carácterplenamente terapéutico, se ocupan de las tentaciones que sentimos de adscribir aotras proposiciones las pretensiones de ocuparse de las regularidades. Veamos elesquema en una tabla:

6.3 La investigación lógica es la investigación de toda regularidad. Por fueratodo es casual.

6.31 La ley de inducción no es una ley lógica, no puede ser a priori.6.32 La ley de causalidad no es una ley, es la forma de una ley.6.33 La ley de conservación no es una ley a priori, es la forma de una ley.6.34 El principio de razón, de la continuidad de la naturaleza, de la mínima

acción y otros similares, no son leyes, son intuiciones a priori de las posiblesformas de las proposiciones de la ciencia.

6.35 Los principios mencionados en 6.34 no describen un estado de cosas enel mundo, pertenecen a las normas de descripción, no a lo descrito.

6.36 “Hay leyes naturales” pertenece al conjunto de cosas que se muestran. Loque ésta expresión pretende decir no puede ser dicho a través de una proposición.

6.37 No hay necesariedad en las conexiones causales, la única necesidad es lanecesidad lógica.

El último aforismo es una reafirmación de que todo lo que no pertenece a lalógica es casual. Los tres aforismos que aclaran 6.37, según el conteo propuesto,son también de naturaleza terapéutica, desenmascaran las tentaciones naturales a


las que nos vemos abocados cuando creemos que las conexiones causales son dealguna forma necesarias. Veamos esto también en un esquema8:

6.371 Las leyes naturales no son la explicación de los fenómenos naturales.6.3711 Los hombres modernos desconocen el carácter no descriptivo

de las llamadas leyes naturales.6.372 No hay conexión entre el mundo y mi voluntad.

6.3721 Si ocurriese lo que deseamos, eso sólo sería una feliz coincidencia.6.373 Así como sólo hay necesidad lógica, así mismo sólo existe imposibilidad lógica.

6.3731 Se ofrece el ejemplo de la exclusión de los colores.

Este rodeo nos permite regresar entonces a la exclusión de los colores. Voy aretomar la nomenclatura sugerida por Wittgenstein. Citemos nuevamente la primeraparte del aforismo: “Que dos colores, por ejemplo, se encuentren simultáneamenteen un punto del campo visual, es imposible, lógicamente imposible, porque lo exclu-ye la estructura lógica del color.” (TLP, 6,3731). Por lo pronto pasaremos por alto laproblemática referencia al tiempo en las proposiciones que se exhiben a manera deejemplo. Si asumimos el sentido en el que hemos denominado terapéuticas a estasaclaraciones, podemos entender así el pretendido ejemplo de Wittgenstein: el casode la exclusión de los colores muestra un claro ejemplo de una situación en la quenos sentiríamos fuertemente tentados a reconocer algo como una imposibilidad físi-ca cuando en el fondo se trata de una imposibilidad lógica determinada por la estruc-tura lógica del color. ¿A qué se refiere Wittgenstein con estructura lógica del color? Noexiste una respuesta a ésta pregunta en el Tractatus y, como veremos más adelante,allí existe una fuente del resquebrajamiento del análisis practicado en dicho texto.

No sabemos en qué consiste exactamente la estructura lógica del color pero sípodemos decir a qué se refiere Wittgenstein con una estructura lógica en general. Laontología del Tractatus exige que el mundo esté constituido por hechos, no por cosas(TLP, 1.1); los hechos atómicos –o estados de cosas [Sachverhalt]- son una articulaciónde objetos (TLP, 2.01) y los estados de cosas son independientes unos de otros (TLP,2.061, 2.062). La proposición describe un estado de cosas (TLP, 3.144) y debe, enconsecuencia, compartir la forma lógica con el estado de cosas que pretende descri-bir. Dado que los estados de cosas son independientes unos de otros, las proposicio-nes elementales deben ser también independientes unas de otras; no es posible inferiruna proposición elemental a partir de otra (TLP, 5.134). Este punto se puede ver conmás claridad a partir del siguiente razonamiento: Sean p y q dos proposiciones ele-mentales, supongamos también que del valor de verdad de p podemos inferir el valorde verdad de q; en este último caso debe ocurrir que el sentido de p esté de alguna

8 En la presentación del esquema atiendo la estructura que he propuesto. Así que el lector que desee seguir eltexto en el Tractatus debe atender a la modificación que he propuesto a la nomenclatura. Los que he denominado afo-rismos 6.371 y 6.372 tienen un estrecho parecido con los aforismos 5.1361 y 5.1362.


manera contenido en el sentido de q y, en consecuencia, q no sería una proposiciónelemental. Este último resultado contradice el punto de partida. La independencia delas proposiciones atómicas se resalta, a manera de recordatorio, en el aforismo quetanto nos preocupa. En la parte final del aforismo 6.3751 dice Wittgenstein: “(Es claroque el producto lógico de dos proposiciones elementales no puede ser ni una tautolo-gía ni una contradicción. La afirmación de que un punto en el campo visual tenga doscolores diferentes al mismo tiempo es una contradicción).” Una proposición complejaoculta su forma lógica. Es tarea del análisis lógico expresar cada proposición complejaen términos del análisis veritativo funcional en el que participan las proposiciones ele-mentales. Así las cosas, una proposición compleja se dice completamente analizadacuando conozco las funciones veritativas de las proposiciones elementales (TLP, 5.5).La dependencia lógica entre proposiciones, como sintetizan Baker y Hacker en la re-construcción que hacen de las Investigaciones filosóficas9, es una señal de compleji-dad interna. Si p implica q, algún constituyente de ‘p’ debe ser complejo para que elsentido de q esté contenido en el de p. Así, si la complejidad se elimina por el análisis,las proposiciones elementales resultantes deben ser lógicamente independientes.Reconstruyamos el problema separando las premisas fundamentales:

(1) Una proposición está completamente analizada si conozco a cabalidad suesquema veritativo funcional.

(2) Las proposiciones elementales son independientes entre sí.(Corolario 2’) No es posible inferir el valor de verdad de una proposición ele-

mental a partir del valor de verdad de otra proposición elemental.(3) Sólo existe la necesidad lógica.(Corolario 3’) Sólo existe, en consecuencia, la imposibilidad lógica.(4) “A es rojo y, simultáneamente, A es verde ” expresa una imposibilidad.

A partir de (4) y (3’) se deduce que P: “A es rojo y, simultáneamente, A es verde”expresa una imposibilidad lógica. En consecuencia P es una contradicción. Ahorabien, si P es una contradicción esto debe mostrarse en su análisis veritativo-funcio-nal. En particular, P debe ser (F) para todos los posibles valores de verdad de susproposiciones elementales. Si asumimos que P está completamente analizada tene-mos que afrontar serios problemas. Veamos:

A es rojo A es verde A es rojo & A es verdeV V FV F FF V FF F F

9 Baker, G. P. & Hacker, P. M. S. (1980), vol. 1. p. 89.


Este esquema tiene dificultades en la primera línea, pues dicha conjunción ex-presa una multiplicidad lógica diferente a la que ya conocemos. Del análisis veritativofuncional no se desprende que la primera línea deba ser (F). Esta línea debería serexcluida si contáramos con una notación perfecta. En otras palabras, si P es necesa-riamente falsa (es decir, P es una contradicción), de la verdad de “A es rojo” deboinferir la falsedad de “A es verde”, siempre que suprimamos arbitrariamente la prime-ra línea del producto lógico. Esta alternativa nos conduce a debilitar (2). Si insistimosen conservar la primera línea nos vemos en la obligación de debilitar (1). Esto pondríaen evidencia que la sintaxis del simbolismo no bastaría para exhibir una contradic-ción y que tendríamos, en consecuencia, que apoyarnos en algo ajeno a la lógicamisma. Esta situación complica la estructura y las intenciones del Tractatus puesmostraría, entre otras cosas, que la lógica no se basta a sí misma. En principio,resulta demasiado problemático decidir una cuestión lógica a partir de la evidenciaque aporta el mundo. Ningún problema lógico se puede decidir a posteriori.

Podemos plantear la dificultad en estos términos:

• Primera alternativaPrimera alternativaPrimera alternativaPrimera alternativaPrimera alternativa: Si la imposibilidad de P es una verdad lógica y P seencuentra totalmente analizada, fracturamos el Tractatus a través de (1) y (2).

• Segunda alternativaSegunda alternativaSegunda alternativaSegunda alternativaSegunda alternativa: Si la imposibilidad de P es una verdad empírica (sinté-tica a priori) fracturamos el Tractatus a través de (3).

Si tuviéramos que establecer una relación de orden entre las dos alternativasdiríamos, sin vacilar, que la segunda alternativa reviste una mayor gravedad, ella nosólo haría volar el Tractatus por el aire, sino que obligaría a Wittgenstein a renunciar auna de sus máximas centrales: la única necesidad que existe es la necesidad lógica.Podemos, pues, prever exclusivamente movimientos en torno a la primera alternativa.Ahora bien, si aceptamos el antecedente de la primera alternativa tendríamos quemodificar algunas partes sustanciales de la sintaxis del Tractatus. En consecuencia,lo más sensato, al menos en principio, consiste en revisar los elementos del antece-dente. La primera alternativa posee dos partes en el antecedente. Negar la primerade ellas nos conduce directamente a la segunda alternativa, en consecuencia optare-mos por negar la segunda parte. La solución, al menos la que ofrece Wittgenstein enel Tractatus, consiste en proponer que P no se encuentra totalmente analizada. Pre-sentemos en forma esquemática la solución que ofrece Wittgenstein en la últimaparte del aforismo 6.3751:

• El producto lógico de dos proposiciones elementales no puede ser unacontradicción.

• “A es rojo y, simultáneamente, A es verde” es una contradicción.• Por lo tanto: “A es rojo” y “A es verde” no son proposiciones elementales.


La profundidad del problema de la exclusión de los colores fue captada en formaabsolutamente clara por Ramsey en la reseña del Tractatus referida unas líneas atrás.Se trata de un texto que conviene citar en extenso por tres razones. Primero, paravalernos de la muy bien lograda síntesis de Ramsey, que sin duda supera la que hepresentado unas páginas atrás, segundo para exaltar el olfato crítico de Ramsey ydestacarlo como uno de los lectores más acuciosos del Tractatus, y, tercero, paradiscutir la solución que él le atribuye a Wittgenstein.

Una proposición genuina, según un principio de Wittgenstein, afirma algoposible, pero no necesario, y, de ser esto verdad, constituye un descubrimiento degran importancia. Este principio resulta de su análisis de la proposición comoexpresión de acuerdo o desacuerdo con las posibilidades de verdad de proposicio-nes elementales independientes. Por lo tanto, la única expresión de una necesi-dad está dada por la tautología; la única expresión de imposibilidad, por la contra-dicción. Esta tesis es difícil de sostener, porque Wittgenstein admite que un puntoen un campo visual no puede ser a la vez rojo y azul. Por otra parte, como consideraque la inducción no posee una justificación lógica, ninguna razón impide pensar enun punto visual a la vez rojo y azul. Pero él dice que ‘esto es a la vez rojo y azul’ esuna contradicción, lo cual implica que conceptos aparentemente simples como elde rojo y azul (suponiendo que denotamos con estas palabras matices bien deter-minados) son en realidad complejos y formalmente incompatibles. Wittgensteinintenta explicar esto por medio de un análisis de los colores en términos de vibra-ciones. Pero aún en el caso en que el físico nos proporcione un tal análisis de lo quesignificamos por ‘rojo’, sólo se logra con esto trasladar la dificultad a las propieda-des necesarias del espacio, el tiempo y la materia o el éter. Su respuesta descansaexplícitamente en la imposibilidad de que una partícula se encuentre en dos luga-res al mismo tiempo. Estas propiedades necesarias del espacio y del tiempo, sondifícilmente reductibles a semejanza del caso anterior. Por ejemplo, si considera-mos entre, en su sentido temporal, en relación con mis experiencias: si B estáentre A y D, C entre B y D, entonces C debe estar entre A y D, pero es difícilconsiderar esto como una tautología formal.10

Ramsey interpreta cabalmente la dificultad pero se apresura cuando interpreta elsegundo párrafo del aforismo 6.3751 como una alternativa de solución de Wittgenstein.No es fácil advertir qué pretende Wittgenstein con tal aclaración. Pero lo más sensatoes no leerla como una pretendida explicación física de una imposibilidad lógica. Si laleemos en esos términos, le estaríamos atribuyendo a Wittgenstein una de las faltasmás graves que él mismo advierte en una investigación lógica: “Nuestro principiofundamental”, aclara Wittgenstein, “es que toda cuestión que pueda resolverse por la

10 Ramsey, Frank; (1923), p. 41-42, en español, p. 262-263.


lógica, puede resolverse sin más. (Y si llegásemos a una situación en que tuviésemosnecesidad de contemplar el mundo para poder responder a un tal problema, esto seríaseñal de que seguíamos un camino fundamentalmente equivocado).” (TLP, 5.551). Asíque si el segundo párrafo aporta una explicación física a una imposibilidad lógica,como sugiere Ramsey, estaríamos, entonces, siguiendo un camino fundamentalmenteequivocado. Citemos, pues, el párrafo de la discordia, párrafo que omití intencionalmenteen la presentación preliminar del problema: “Consideremos cómo se presenta estacontradicción en física. Más o menos como sigue: Una partícula no puede tener dosvelocidades al mismo tiempo; es decir, que no puede al mismo tiempo estar en dossitios; es decir, que partículas en diferentes lugares y al mismo tiempo no pueden seridénticas.” (TLP, 6.3751) Creo que resulta menos problemático si pensamos queWittgenstein pretende mostrar cómo puede aparecer una contradicción similar en unlenguaje físico y no fenomenológico. No se sugiere un camino de solución, se adviertela misma dificultad en otra esfera diferente. En ese orden de ideas, Wittgenstein com-partiría plenamente la observación siguiente de Ramsey, a saber, que estas nuevasdificultades son tan difícilmente reductibles como las anteriores. El conjunto del aforis-mo se puede leer así: si pretendiéramos reducir ésta incompatibilidad al lenguaje de lafísica, igualmente nos toparíamos con una imposibilidad lógica.

“A es rojo” no es, entonces, una proposición elemental. Si queremos mantenerintacta la estructura del Tractatus debemos proponer un análisis completo de la pro-posición o un criterio para llevarlo a cabo. Esta tarea nos conduce a otra dificultadadicional. Podríamos, en principio, pensar en una alternativa similar a la siguiente: “Aes naranja” podría eventualmente analizarse como “A posee algo de rojo y algo deamarillo” –no estamos obligados a pensar en la exclusión-, en tanto que “A es rojo”podría analizarse como: “A posee todo de rojo y nada de amarillo”. El análisis podríaasí contener la exclusión que nos interesa. Cuando se dice “A es rojo” de esta mane-ra, se excluye a priori que A sea amarillo. Sin embargo, este tipo de estrategia exigeque podamos introducir cuestiones de grado en el análisis. En otras palabras, estonos conduciría a reconocer que los números deben hacer parte del análisis. Estasugerencia introduce otra grieta en el Tractatus en un punto completamente diferentea los considerados hasta el momento. Me estoy refiriendo al aforismo 4.128: “Lasformas lógicas son anuméricas”. Tal y como hemos explicado en el capítulo anterior,número es un concepto formal (TLP, 4.1272) y, en consecuencia, no puede expresarseni hacer parte de una proposición. La variable es el signo proposicional de un concep-to formal. El número en el Tractatus aparece como el exponente de una operación yuna operación no describe un estado de cosas. De hecho una operación no dicenada. Esto nos lleva a reconocer que el número no hace parte de la estructura internade una proposición. En ella sólo hay nombres encadenados y un número no puedeser un nombre. Así las cosas, la primera alternativa se ha hecho más compleja.Replanteemos los términos de la alternativa y anexemos las nuevas condiciones:


• Si la imposibilidad de P es una verdad lógica y P se encuentra totalmenteanalizada, fracturamos el Tractatus a través de (1) y (2).

• P es una contradicción.• P debe ser anumérica.

Esta situación nos conduce a dos alternativas. O bien logramos concebir la formade introducir los números en el análisis de P11, renunciando a 4.128, o bien renuncia-mos a la sintaxis original del Tractatus y revisamos 5.5 y 5.134 (la dependencia veritativofuncional y la independencia de las proposiciones atómicas). Cualquiera de las dosalternativas supone variaciones serias en el Tractatus. Al regresar a Cambridge en1929 y posiblemente motivado por las discusiones con Ramsey, Wittgenstein deci-dió explorar el camino sugerido por la primera alternativa. Este intento concluyó en laelaboración del artículo conocido bajo el título de Algunas observaciones sobre laforma lógica. En el artículo se perfila un distanciamiento de 4.128. Wittgenstein loplantea así:

Y aquí deseo hacer mi primera observación definitiva acerca del análisis lógicode los fenómenos reales: es ésta, que para su representación los números (racio-nales e irracionales) han de ser parte de la estructura de las proposiciones atómicasmismas... La existencia de números en las formas de las proposiciones atómicasno es, en mi opinión, simplemente un rasgo de un simbolismo especial, sino unrasgo esencial y, en consecuencia, inevitable de la representación. Así, los núme-ros tendrán que formar parte de estas formas cuando –como diríamos en el len-guaje ordinario- estamos tratando con propiedades que admiten gradación, estoes, propiedades como la longitud de un intervalo, el grado de un tono, el brillo o larojez de una tonalidad de color, etc. (RLF, p. 31-32).

Para ilustrar esta posibilidad Wittgenstein presenta el símbolo “[6-9, 3-8]R” paraaludir a la mancha rectangular de color Rojo que se extiende en forma continua entreel intervalo que va de 6 a 9 en el eje X, y de 3 a 8 en el eje Y de un sistema decoordenadas cartesianas. No obstante, “Rojo” sigue siendo un término sin analizar. Elenunciado que atribuye un grado a una cualidad no puede, sin embargo, ser analiza-do. Veamos por qué. Si E(b) es el enunciado que afirma que E posee un brillo b, E(2b)diría que E posee dos grados de brillo. Este último enunciado no puede analizarsecomo el producto lógico E(b) & E(b), pues este producto es simplemente igual a E(b).Si intentamos analizarlo en estos términos: E(b) & E(2b), estaríamos involucrando loque queremos analizar en el análisis mismo. Por último, si sugerimos: E(b’) & E(b“)estaríamos asumiendo dos unidades de brillo diferentes y si decimos que una de las

11 Esta alternativa, sin embargo, afecta también la independencia lógica “Porque”, explica Wittgenstein, “si gradosdiferentes se excluyen entre sí, se sigue de la presencia de uno que el otro no está presente. En este caso, dos proposi-ciones elementales pueden contradecirse.” (PR, VIII, 76).


dos entidades posee una unidad de brillo, no sabríamos de cuál de las dos se trata.De cualquier manera, “&” no alude a una adición sino a una conjunción. Esto nosconduce a reconocer que no se pueden añadir cantidades de rojo con el ‘y’ de lalógica (PR, VIII, 76). La conclusión a la que llega Wittgenstein es, entonces: “Piensoque el enunciado que atribuye un grado a una cualidad no puede ser analizado másy, además, que la relación de diferencia de grado es una relación interna y que por lotanto está representada por una relación interna entre los enunciados que atribuyenlos distintos grados.” (RLF, p. 33). Los números deben, entonces, formar parte de lasproposiciones elementales.

La proposición “El punto L es rojo en el instante de tiempo t” posee la siguienteestructura “( )Lt”, en donde la gramática de ( ) exige la presencia exclusiva de un solocolor, así como las sillas de un teatro dejan espacio sólo para una persona. Así lascosas, cuando construimos la conjunción “(R)Lt & (A)Lt” debemos pensar en lassiguientes posibilidades12:

(R)Lt (A)Lt (R)Lt & (A)LtV F FF V FF F F

La primera línea del producto lógico se suprime, por eso no hablamos strictosensu de una contradicción sino de una exclusión lógica. Nos encontramos entoncescon una situación particular en la cual nuestra notación no excluye, por su propiacuenta, una combinación sin sentido. Cuando decimos que una mancha no puedeser al mismo tiempo roja y amarilla estamos haciendo un uso muy especial deltérmino puede. El concepto es un concepto gramatical. En este período Wittgensteinempezó a usar los términos gramatical y lógico como términos intercambiables enmuchos contextos. En este orden de ideas, cuando existe una exclusión la indepen-dencia entre las proposiciones elementales se ve debilitada. Si (R)Lt es falsa, nopuedo inferir nada respecto a (A)Lt; pero si (R)Lt es verdadera debo concluir que (A)Ltes falsa. El análisis veritativo funcional propuesto en el Tractatus resulta, de cualquiermanera, incompleto. El problema, siempre que cobijemos las exclusiones bajo elrango de imposibilidades lógicas, se puede traducir en estos términos: la necesidadlógica o la imposibilidad lógica poseen una multiplicidad mayor que la que ofrecen latautología y la contradicción. En las Observaciones filosóficas se perfila ya claramenteel distanciamiento con respecto al Tractatus: “El concepto de ‘proposición elemental’pierde ahora todo su significado anterior. Las reglas para ‘y’, ‘o’, ‘no’, etc., que yo

12 En las Observaciones filosóficas, Wittgenstein lo expresa en los siguientes términos: “La proposición ƒ(v)·ƒ(r) noes un sinsentido, puesto que no desaparecen todas las posibilidades de verdad, inclusive si se le rechaza. Se puede,sin embargo, decir que el ‘·’ tiene aquí un significado diferente, puesto que ‘x·y’ usualmente significa (VFFF); aquí, encambio, significa (FFF).”(PR, 79).


representaba mediante la notación V-F, son una parte de la gramática de estas pala-bras, pero no el todo.” (PR, § 83).

El concepto de imposibilidad lógica se transformó, entonces, en un conceptomás amplio. Este concepto cobija ahora tanto las contradicciones como ciertas re-glas gramaticales13. Todo esto parece indicar que en lógica hay construcciones queno operan mediante funciones de verdad (PR, § 76). Para ilustrar este caso Waismannse vale de otros ejemplos que pueden ayudar a complementar el sentido de lasnuevas ideas. Estos ejemplos son del siguiente estilo: “esta varilla tiene 20 metros y30 metros de larga”, “Juan tiene 20 y 30 años”, etc. Los predicados de tales oracionesson incompatibles entre sí. Ellos son una clara violación a las reglas de la gramáticalógica. Es propio de los conceptos de longitud y edad el que los objetos sólo puedantener una longitud y las personas una edad14.

En resumen, si regresamos nuevamente a la primera alternativa, nos hemos vistoen la obligación de debilitar (1) y (2), es decir, hemos debilitado las premisas segúnlas cuales en el análisis veritativo funcional se agota el análisis de las proposicionesy, de otro lado, las proposiciones elementales son independientes entre sí. Este he-cho exige una reforma drástica en el Tractatus. Una reforma que, a la postre, obligaríaa Wittgenstein a revisar por completo la metodología empleada en dicha obra. Si yano estoy obligado a concebir las proposiciones elementales con la independenciaexigida del Tractatus, debo, entonces, pensar en la posibilidad de imaginarlas en unamúltiple red de relaciones abigarradas. Esta transición ha sido calificada por algunosautores como una transición del atomismo lógico al holismo lógico15. La mejor expre-sión de ésta transformación se encuentra, quizá, en las conversaciones sostenidascon Schlick y Waissman en 1929, recogida tanto en las Observaciones filosóficas,como en Ludwig Wittgenstein y el Círculo de Viena:

En alguna ocasión escribí: “Una proposición es como un instrumento de medi-ción puesto sobre la realidad. Sólo los puntos extremos de las marcas de gradua-ción tocan al objeto por medir.”16 Ahora preferiría decir lo siguiente: cuando pongoun instrumento de medición sobre un objeto espacial, aplico al mismo tiempotodas las marcas de graduación. No son las marcas de graduación individuales loque se aplica, sino toda la escala. Si yo sé que el objeto llega hasta la marca degraduación 10, sé de inmediato también que no llega a las marcas de graduación11, 12, etc. Los enunciados que describen la longitud de un objeto forman unsistema, un sistema de proposiciones. Es con todo un sistema así que se compara

13 En las conversaciones con Waismann aclaraba Wittgenstein así la cuestión: “‘Esta mancha es verde’ y ‘Estamancha es roja’. Como están, esas dos proposiciones no se contradicen, pero sí lo harán en cuanto introduzcamos otraregla de sintaxis que nos prohiba considerar verdaderas las dos proposiciones. Sólo entonces aparecerá la contradic-ción (lógica).” (WCV, p. 131).

14 Waismann, Friedrich (1970), pp. 67-77.15 Véase, por ejemplo, Stern, David, (1995), cap. 4.16 Véase, TLP, 2.1512, 2.15121, 2.1515.


la realidad, no con una proposición individual. Si, por ejemplo, digo que tal y talpunto en el campo visual es azul, no sé únicamente eso, sino que también sé queel punto no es verde, no es rojo, no es amarillo, etc. Apliqué al mismo tiempo todala escala de los colores. Esa es la razón por la cual un punto no puede tener almismo tiempo diferentes colores; de por qué hay una prohibición sintáctica deque ƒx pueda ser verdadero para más de un valor de x. Porque si le sobrepongo ala realidad un sistema de proposiciones, entonces con ello ya está dicho –como enel caso espacial- que no puede darse nunca más que una situación, no varias. (PR,Apéndice 2, p. 317, WCV, p. 57-58).

Debemos reconocer, entonces, que estamos operando con instrumentos com-pletos de medición y no con marcas aisladas de graduación (PR, § 84).

El sentido de una proposición depende ahora del sistema al cual pertenece. “Elrojo y el verde no encajan en el mismo lugar y al mismo tiempo” no es una cuestiónde hecho. No afirmamos lo anterior en virtud de una inducción, o de una ley de lafísica. La exclusión de los colores no es del mismo tipo y es de vital importancia quese la tome como una exclusión lógica. Sin embargo, ahora nos sorprende que nopodamos ver eso claramente en nuestro simbolismo. Aún así, el problema no resideen el simbolismo. No se trata de esperar una mejora sustancial en él, debemoscambiar nuestra noción de exclusión lógica. ¿Qué nos impide, entonces, decir queuna mancha es roja y verde al mismo tiempo? La respuesta a la que nos acostumbróWittgenstein a partir de los Cuadernos azul y marrón, consiste en reconocer en dichaexclusión una regla gramatical. Una exclusión lógica no se expresa solamente en elesquema veritativo funcional de nuestro simbolismo, como ocurre con el caso “lluevey no llueve”, se expresa también en el hecho de que compartimos las reglas grama-ticales que forman parte de un sistema, como ocurre en el caso de la exclusión de loscolores. Cuando afirmamos que una mancha en el campo visual no puede ser roja yverde al mismo tiempo, ¿qué estamos excluyendo? Si la exclusión es gramaticaldebemos responder que estamos excluyendo el uso de una expresión. No pretende-mos describir un estado particular y además llamativo del mundo, intentamos, másbien, estipular una condición de nuestra gramática. Más exactamente, mostramoscon tal expresión un rasgo de la estructura lógica del color.

Hacer de la exclusión de los colores una regla gramatical nos lleva a enfrentar unaclase nueva de problemas. Una clase de problemas que no se podría insinuar en elinterior del Tractatus. Hablar de una regla gramatical sugiere un cierto grado de arbi-trariedad. “Excluimos expresiones como ‘Esto es verde y amarillo simultáneamente’porque no queremos usarlas. Desde luego podríamos darle sentido a la expresión.Dije con anterioridad que lo que es posible o imposible es un asunto arbitrario.”(WL32-35, Yellow Book, 12). El símil que debemos traer a la mente es el siguiente:rechazar un sistema gramatical es como rechazar un patrón de longitud. El símil que


debemos evitar es el siguiente: rechazar un sistema gramatical es como rechazaruna proposición después de haber puesto en evidencia su falsedad. “Una mancha esroja y amarilla a la vez” no es una proposición falsa, es una expresión sin sentido. Norechazamos una unidad de medida como si se tratara de rechazar una proposiciónfalsa.

Cuando hacemos uso de la estructura lógica del color reconocemos de inmedia-to la falta de sentido en “esta mancha es roja y verde al mismo tiempo”. En nuestrosistema no sabríamos qué hacer con tal expresión. Tal exclusión, sin embargo, noestá justificada por un acontecimiento en el mundo o por una suerte de inducción.Con la expresión no estamos describiendo un posible estado de cosas en el mundo.No obstante, podemos concebir o imaginar un contexto de uso para la expresión. Enlas Lectures on the foundations of mathematics Wittgenstein sugiere el siguiente razo-namiento:

Hay proposiciones consideradas como sintéticas a priori, como “una manchano puede ser roja y verde al mismo tiempo”. Esta no es reconocida como unaproposición de la lógica. Pero la imposibilidad que expresa no es un asunto de laexperiencia –no es un asunto de lo que nosotros hemos observado. Podríamosdarle a ‘esta mancha es roja y verde’ un significado; y tú podrías aún escoger, entrevarios significados, el más natural. –Si digo, “esta mancha es roja y amarilla almismo tiempo”, esto puede sugerir que esto es naranja. Pero una persona quedice que una mancha no puede ser roja y amarilla al mismo tiempo tiene inmedia-tamente una objeción a esto. El dirá, “esto no es lo que quiero decir”... “Esto nopuede ser rojo y amarillo en el sentido en el cual esto puede ser rojo y suave”.(LFM, XXIV, p. 232).

Cuando una persona usa el vocablo “naranja” para expresar, a su manera, lo queentiende por “rojo y amarillo”, no está con ello aportando evidencia para abandonar laimposibilidad que nos interesa, está con ello proponiendo otro uso para la expresión.

Hemos insistido en que la exclusión de los colores es una exclusión lógica, unaexclusión gramatical. Ahora insistimos también en que esta exclusión no puede redu-cirse a una contradicción en el sentido del Tractatus. Es decir, el papel particular quedesempeña en nuestro lenguaje no logra exhibirse a partir del análisis veritativo fun-cional. Hemos advertido con esto una debilidad del tratado de lógica. La discusiónnos ha llevado a introducir la noción de regla gramatical. La exclusión de los coloreses una regla de nuestro lenguaje, no un fragmento de información. Ahora bien, dadoque las reglas son, en un sentido, arbitrarias, es claro que puedo razonar en lossiguientes términos: si la regla me prohibe construir cierta combinación de palabras,puedo descartarla como regla y adoptar una diferente, así la combinación adquiriráun sentido para mí. La regla puede ser, sin duda, descartada. Pero con ese movi-


miento le estamos dando otro significado a los términos17. En las conversacionessostenidas por Wittgenstein con una parte del Círculo de Viena, Schlick insistió envarias ocasiones en preguntar acerca de los criterios a partir de los cuales es posiblevalidar una regla gramatical, es decir, en qué condiciones y bajo qué criterios adopta-mos una regla y descartamos otra. Wittgenstein trató, entonces, de mostrar que elconocimiento de las reglas gramaticales es una clase de conocimiento completa-mente diferente al que tenemos de las proposiciones empíricas. Expresar una reglagramatical no es una cuestión de descubrir nuevos hechos sino de encontrar unaforma de expresar lo que de alguna manera ya dominamos.

Ahora bien, a qué nos referimos cuando hablamos de la estructura lógica delcolor? La gramática del color es la geometría del color y el espacio del color quedarepresentado por el octaedro con los colores puros en los vértices (PR, § 1). El puntomás importante para resaltar reside, precisamente, en el hecho de que el octaedroaporta una representación sinóptica de la gramática de los colores: “La representa-ción a que da lugar el octaedro es una representación sinóptica [übersichtlicheDarstellung18] de las reglas gramaticales.” (PR, I § 1). A través del octaedro vemos lasconexiones internas19. En este punto encontramos una primera condición de una re-gla gramatical: ella, en el conjunto que le da sentido, debe ofrecer una visión sinóptica.Más adelante veremos la manera como el concepto de visión sinóptica adquirió unpapel más determinante en las nuevas ideas del filósofo austríaco. En particular,defenderemos la tesis según la cual es a través de una visión sinóptica como pode-mos decir que una proposición matemática adquiere sentido. Por lo pronto nos va-mos a restringir al papel que desempeña el concepto a la hora de clarificar la estruc-tura lógica de los colores. Veamos cómo una parte del octaedro de los colores aportauna visión sinóptica de la gramática. Si cumple su tarea debe mostrarnos las combi-naciones que están permitidas y, con ello, dejar claras las exclusiones gramaticales.“El octaedro de los colores”, aclara Wittgenstein, “ es gramática, puesto que diceque se puede hablar de un azul rojizo, mas no de un verde rojizo, etc.” (PR, § 39). Eloctaedro debe ser el instrumento graduado que aplicamos en forma completa cuan-do queremos hacer uso de la descripción que posibilita tal instrumento.

La sección XXI de las Observaciones filosóficas trae una presentación completade la gramática implícita en el octaedro de colores. Nos ocuparemos de tales refe-rencias pero acudiremos a algunos escritos posteriores para aclarar la fuerza de las

17 Waismann propone varios ejemplos para ilustrar la manera como podemos modificar nuestros conceptos si al-teramos las reglas de sintaxis. “Este manchón es rojo y verde” puede significar “este manchón es parcialmente rojo yparcialmente verde”, también puede ocurrir que me decida a usar los términos “rojo” y “verde” como sinónimos.

18 Este término presenta serias dificultades en su traducción tanto al inglés como al español. Una de las acepcio-nes del verbo ubersehen que más se aproxima, quizá, a lo que Wittgenstein desea hacer con él es: abarcar de una mira-da. Por eso la mejor traducción que podemos sugerir para übersichtliche Darstellung es la de representación sinóptica.Podemos pensar también en una representación panorámica, o en una visión sinóptica. En inglés puede pensarse en eltérmino surveyable. Raymond Hargreaves y Roger White, traductores al inglés de las Observaciones filosóficas, traduceneste término con la sugestiva propuesta de bird’s-eye view.

19 Véase la siguiente aclaración: “Una fuente principal de nuestra falta de comprensión es que no vemossinópticamente el uso de nuestras palabras. –A nuestra gramática le falta visión sinóptica. –La representación sinópticaproduce la comprensión que consiste en ‘ver conexiones’” (IF, § 122).


observaciones. La gramática del color20 envuelve mucho más que el reconocimientode ciertos vocablos. Ella alcanza piso firme cuando logramos explicitar el acuerdosubyacente de reglas y de juicios. La dilucidación de la gramática exige la contem-plación de normas que se inmovilizan en el contexto de las prácticas que giran alre-dedor de ellas. En la terapia wittgensteiniana no se dispone inicialmente de los so-portes para arraigar allí las verdades inamovibles sino que la inmovilidad de ciertasafirmaciones proviene del papel particular que ellas desempeñan en nuestras activi-dades. En este punto la investigación wittgensteiniana posee, a mi juicio, un talantekantiano: la gramática hace patente que ciertos juicios aportan las condiciones deposibilidad del juzgar en general.

Nos adiestramos en una práctica que nos permite incorporar el vocablo “rojo”ante muchas situaciones en las que están presentes objetos rojos o manchas rojas.Lo mismo ocurre con “amarillo”, “azul” y “verde”. Sin embargo, ¿qué ocurre con todaslas variantes entre rojo y amarillo? Es importante que en nuestra gramática usemos lamisma palabra “rojo” para dos variantes ligeramente diferentes: un rojo claro o un rojoobscuro, por ejemplo. Nuestras prácticas contemplan las siguientes posibilidadesque superan con creces el limitado ejercicio de nombrar colores: informamos si uncuerpo es más claro o más obscuro que otro, enunciamos la claridad de ciertosmatices de color, decidimos que un determinado color se encuentra entre otros dos,obtenemos muestras de color orientándonos por una muestra o por indicacionesprevias, advertimos que el amarillo es más claro que el rojo, advertimos que el naran-ja comporta algo de amarillo y algo de rojo, etcétera.

Nuestra gramática cromática es una gramática discreta. Podríamos, no obstan-te, imaginar personas que pudieran expresar un color ubicado entre el rojo y el ama-rillo mediante alguna fracción decimal (imaginemos, por ejemplo, algo así: R +0.84R, o simplemente 1.84A) (Ze, § 368). Estas personas tendrían que aprenderdesde muy pequeñas tales reglas para informar acerca de los matices cromáticos.Decir que nuestra gramática cromática es discreta nos lleva directamente a hablar decolores primarios. Debemos inmovilizar ciertos puntos del espectro cromático parahablar a continuación de ubicación relativa. Esto es equivalente a construir una geo-metría de los colores.

En algunas ocasiones Wittgenstein habla de cuatro colores primarios (amarillo,azul, rojo y verde) (OC, §§ 25, 134; LFM XXIV), en otras habla de seis al agregarblanco y negro (RPP2, § 422; OC, § 52). Con esto Wittgenstein constata que haygramáticas en las que blanco y negro se incorporan como colores, y hay otros juegos

20 Debo hacer aquí una aclaración. Cuando hablo de la gramática del color, no estoy hablando de la única gramáti-ca posible. De hecho hay muchos contextos diferentes en los que hacemos uso de diferentes conceptos de color: losfísicos, por ejemplo, pueden limitarse a hablar de longitudes de onda asociadas a pulsos electromagnéticos; losneurofisiólogos pueden referirse a patrones de activación neuronal en los que participan conos fotosensitivos; los psi-cólogos pueden referirse a patrones de conducta asociados con la presencia de manchas coloreadas; etc.. Estos con-textos diferentes exigen gramáticas diferentes. Así las cosas, cuando Wittgenstein afirma que no hay un color entre elrojo y el verde, y pretende con ello ilustrar una regla gramatical, no quiere sugerir que no existan pulsos electromagnéti-cos con longitudes de onda comprendidas entre las longitudes de onda del rojo y el verde.


de lenguaje en los que blanco y negro no son colores en el mismo sentido en que loson rojo y amarillo. Blanco y negro ofrecen una dificultad extrema que conviene, por elmomento, aplazar. Hablaremos en lo sucesivo de cuatro colores primarios reducién-dolos al plano de colores saturados y con ello eliminamos, de momento, la dificultadcon el blanco y el negro.

La expresión: “rojo es un color puro” no es una proposición (PR, XXI, § 222). Loque ella muestra no es susceptible de una validación experimental, de una seguridadaportada por un proceso de introspección o de una argumentación a priori. Tampocoes el resultado de una cuidadosa investigación, bien sea física, fisiológica o metafísi-ca. Con tales palabras no se describe un estado de cosas en el mundo, tan sólo seinmoviliza un punto en la gramática21. Decir: “rojo es un color primario” es afirmar que“rojo” juega un papel muy particular en nuestras prácticas, es afirmar que se trata deun lugar inmovilizado por la gramática; o, lo que es lo mismo, “nosotros no podemosimaginar que este color no sea simple.”

Fijar cuatro puntos es la primera tarea de la gramática-cromática que estudiaWittgenstein. Ahora es necesario establecer las conexiones. Wittgenstein describíala tarea en estos términos: “Si hubiera una teoría de la armonía del color tal vezempezaría dividiendo los colores en grupos diferentes y prohibiendo ciertas mezclaso combinaciones y permitiendo otras; y, como en la teoría de la armonía, sus reglasno se justificarían.” (OC, III, § 91). Las reglas gramaticales determinan las combina-ciones permitidas y las prohibidas; y tanto la posibilidad como la imposibilidad care-cen de explicación física o fisiológica. Representemos, por lo pronto, los puntosinmovilizados a través de los vértices de un rombo de tal manera que Amarillo y Azulse encuentran en extremos opuestos, así como Rojo y Verde.

21 Dado que hemos querido resaltar en la presente investigación la influencia tanto de Boltzmann como de Hertzen el pensamiento de Wittgenstein, quiero traer en este momento el siguiente pasaje de Boltzmann: “Cuando digo: jui-cios como ‘todo debe ser rojo, o no ser rojo’ provienen de la experiencia, no quiero decir que cada persona compruebeesa verdad vacía de contenido por medio de la experiencia, sino que posee la experiencia por medio de la cual sus ante-pasados denominaban cada cosa o roja o no roja, y los imita.” (Boltzmann, L. (1986), p. 218).


En el esquema caben todas las posibles combinaciones de colores saturados.El esquema deja abierta la posibilidad para hablar de un rojo-amarillento o de unamarillo-rojizo. Estamos pensando en los colores que caen entre el rojo y el amarillo.Si nosotros queremos, podemos llamar a esta última combinación “naranja”. El pri-mer malentendido que puede surgir, y que es necesario aclarar, consiste en creer quela expresión “esto es naranja” se puede analizar como “esto es rojo y amarillo almismo tiempo”22. El problema se puede expresar así: “esto no puede ser rojo yamarillo en la misma forma en que esto puede ser rojo y cuadrado”; si alguien señalauna mancha roja y una mancha amarilla tiene dificultad para aclarar en qué forma veese par de manchas simultáneamente cuando observa un objeto naranja; mientrasque no tiene dificultad alguna para ver este objeto ~ como un cuadrado-blanco. Antela serie “rojo y suave”, “rojo y cuadrado”, “rojo y dulce” no estamos obligados a incor-porar la pareja “rojo y amarillo”.

Dado un color, podemos reconocer si se encuentra entre el rojo y el amarillo o no.Dados los colores B y C que se encuentran entre el rojo y el amarillo, también esposible decir cuál de los dos se encuentra más cerca del rojo y cuál más cerca delamarillo. Así podemos decir, por ejemplo, que C es algo más amarillo que B, o, loque es lo mismo, que B es algo más rojo que C. Es posible, entonces, organizaralguna de estas dos secuencias: o bien RCBA, o bien RBCA. Lo mismo podemosdecir para los colores que se encuentran entre azul y rojo (violeta es uno de ellos),entre el azul y el verde, o entre el amarillo y el verde. Para los colores que se encuen-tran, por ejemplo, entre el amarillo y el rojo rige una relación de orden estricto, para lacual podemos aportar la siguiente notación: imaginemos dos colores C y D que seencuentran entre el amarillo y el rojo y que se pueden organizar según la siguientesecuencia: ACDR

DDDDD>>>>>RRRRRC C C C C : D es más rojizo que C, lo que es lo mismo que CCCCC>>>>>AAAAAD D D D D : C es másamarillento que D.

CCCCC>>>>>RRRRRA A A A A : C es más rojizo que el color amarillo, lo que es lo mismo que CCCCC>>>>>AAAAAR R R R R : Ces más amarillento que el color rojo23.

Así se leen las siguientes relaciones:

AAAAA>>>>>iiiiiB B B B B : A es más i..izo (o i..uzco, o i...ento) que B.AAAAA<<<<<iiiiiB B B B B : A es menos i...izo (o i...uzco, o i...ento) que B.AAAAA<<<<<RRRRRCCCCC<<<<<RRRRRR R R R R : A es menos rojizo que C que es menos rojizo que R.

22 En las Observaciones filosóficas advierte Wittgenstein: “Un color mezclado, o mejor, un color intermedio entre elazul y el rojo es tal en virtud de una relación interna a las estructuras del azul y del rojo. Pero esta relación interna eselemental. Es decir, no consiste simplemente en que la proposición ‘a es azul-rojo’ representa un producto lógico de ‘aes azul’ y ‘a es rojo’.” (PR, VIII, § 80).

23 Estas dos últimas relaciones son de cuidado, pues A no es de ninguna manera rojizo, ni R es amarillento. A y Rson colores primarios.


Este último ejemplo nos permite definir la relación “estar entre”. C está entre F y G si:

FFFFF<<<<<iiiiiCCCCC<<<<<iiiiiGGGGG, con i ∈ amarillo, azul, rojo, verde

Sin embargo, la relación estar-entre debe circunscribirse, por razones que seanotarán más adelante, a colores del mismo rango; es decir, a colores que pertenez-can al mismo segmento del rombo cromático. La posibilidad de estructurar relacio-nes de orden fue apenas sugerida por Wittgenstein en el aforismo 360 en Zettel: “‘aestá entre b y c, y más cerca de b que de c’: esta es una relación característica entrelas sensaciones del mismo tipo. Es decir, existe, por ejemplo, un juego de lenguajecon la orden ‘produce una sensación entre ésta y ésta, y ¡más cerca de la primera quede la segunda! Y también: Nombra dos sensaciones entre las cuales esté ésta.” (Ze,§ 360).

Se quisiera, entonces, extraer la siguiente conclusión:

Si PPPPP1 1 1 1 1 <<<<< A A A A A <<<<< P P P P P22222, y PPPPP22222 <<<<< B B B B B <<<<< P P P P P33333

entonces A A A A A <<<<< P P P P P22222 <<<<< B B B B B (en virtud de las definiciones de “estar-entre”).

Veamos, por ahora, las consecuencias de la conclusión. De ser esto correcto, lanoción de P2 como color primario se haría inocua. En otras palabras, la designaciónde P2 como un color primario se vería como algo enteramente arbitrario24, -compáreseeste resultado con: 1 < 2.8 < 3.5, y, 3.5 < 4.1 < 6, por lo tanto, 2.8 < 3.5 < 4.1-. Entérminos de un ejemplo concreto: “El naranja está entre el amarillo y el rojo”, “elvioleta está entre el rojo y el azul”, por lo tanto “el rojo está entre el naranja y el violeta”.O, en otras palabras, “el rojo es un violeta anaranjado”. Ahora bien, por qué tantoescándalo con algo que suena muy natural? Veamos el asunto en un esquema:

24 Claro que en algún sentido la inmovilización de ciertos puntos como colores primarios es arbitraria. Tal elecciónestá cargada de la arbitrariedad que en sí subyace a las reglas gramaticales (Ze, § 320). Aquí se alude a otra clase dearbitrariedad: si cualquier color pudiera ser primario no habría necesidad de tal concepto. En el caso de las reglas gra-maticales el asunto, quizá, se podría formular así: es necesario inmovilizar algunos puntos, no importa cuales: su inmo-vilización no gira alrededor de nada, todo gira alrededor de la inmovilización. Véase (RPP2, § 427; Ze, § 357).

Rojo

Naranja Violeta

Amarillo Azul


La primera incomodidad que salta a la vista es la siguiente: “rojo es un colorcompuesto”. Y la pregunta que se impone es ¿a qué se alude con la expresión? Sialguien dice “esta silla es compuesta” aún no advertimos a qué clase de composi-ción se refiere. Podríamos imaginar más de un contexto para la expresión. No ocurreasí con “rojo es compuesto” (RPP1, § 605; Ze, § 338). “Rojo es un color primario” esuna regla gramatical -una norma de descripción-. “Violeta es un rojo azulado” es otraregla. Ahora bien, es posible imaginar una comunidad que hubiese decidido inmovi-lizar el naranja y el violeta; para ellos “violeta es un color primario” sería una regla y“rojo es un violeta anaranjado” sería otra regla. Lo que cambia entre una comunidad yotra es el uso peculiar que hacemos de ciertos juicios particulares en nuestras prác-ticas respectivas: nosotros reaccionamos al rojo y al amarillo como ellos reacciona-rían al violeta y al naranja. Wittgenstein diría: “‘rojo es un color puro’ es una proposi-ción acerca de la esencia de rojo”. Pensar en un violeta anaranjado es como pensar enun viento del norte sudoccidental (Ze, § 21).

Así las cosas, si hemos de conservar el esquema debemos introducir reglas queprohiben ciertas combinaciones. En particular: “no hay colores entre el naranja y elvioleta” y, más fuerte aún, “el rojo no es uno de ellos”. Y es que en la deducción queoriginó la dificultad obviamos deliberadamente los subíndices que acompañan alsímbolo “<”. Tal subíndice marca el sector del rombo-cromático sobre el cual rige larelación y, en consecuencia, para el cual vale la transitividad, es decir, de:

PPPPP1 1 1 1 1 <<<<<P2P2P2P2P2 A A A A A <<<<<P2P2P2P2P2 P P P P P22222, y PPPPP22222 <<<<<P3P3P3P3P3 B B B B B <<<<<P3P3P3P3P3 P P P P P33333

no se sigue: A A A A A <<<<< P P P P P22222 <<<<< B, B, B, B, B, pues <P2 es diferente de <P3.

Habría entonces que jugar con cuatro relaciones de orden independientes: “<Rojo”,“<Amarillo”, “<Verde” y “<Azul”, entre las cuales no se puede cruzar ninguna transitividady para las cuales “Rojo”, “Amarillo”, “Verde” y “Azul” pueden ser vistos como cotas.Esto es: “Rojo es una cota superior de la relación ‘<Rojo’ en el intervalo amarillo-rojo”significa: “no existe un color C tal que R <Rojo C”, y, “Amarillo es una cota inferior de larelación ‘<Rojo’ en el intervalo amarillo-rojo” significa: “no existe un color C tal que C>Amarillo A, o C <Rojo A”25. En el mismo intervalo “Rojo” es tanto cota superior comocota inferior; es cota superior si se toma la relación “>Rojo” e inferior si se toma larelación “<Amarillo”. En otras palabras, Rojo es el más rojizo de todos los colores enese intervalo y el menos amarillento.

Cada relación de orden es diferente y no vale, en consecuencia, la transitividad,salvo si se ha garantizado la identidad del intervalo. No existe transición continuaentre el violeta y el naranja en el círculo de colores. Sigamos en extenso la explicaciónde Wittgenstein en sus Philosophical remarks cuando menciona la falsa analogía quese establece con un sistema de pesos sobre una viga:

25 Véase, por ejemplo: “¿Puedes imaginar que consideráramos el azul y el rojo los dos polos extremos de una trans-formación del violeta? Se podría llamar entonces al rojo un violeta muy subido, y al azul, un violeta muy bajo.” (RPP1, § 641).


La comparación que equivocadamente uno se siente inclinado a cometer es lade la serie de colores con un sistema de dos pesos sobre un instrumento demedición, un sistema cuyo centro de gravedad puedo mover como quiera, ya seaaumentando ya sea moviendo los pesos.

Carece de sentido creer que si mantuviera el platillo A en el violeta y movierael platillo B a la región rojo-amarillo, C entonces se movería hacia el rojo. Y qué hayde los pesos que coloco en el platillo? ¿Significa algo decir ‘más de éste rojo’?cuando yo no estoy hablando acerca de pigmentos. Esto puede únicamente signi-ficar algo si entiendo por rojo puro un número de unidades, determinado de ante-mano. Pero entonces el número completo de unidades no significa sino que elplatillo de la báscula está en el rojo. Y así los números relativos sólo especifican unaposición del platillo de la báscula, pero no una posición y un peso. Ahora tan prontocomo yo fijo los dos colores finales, digamos la región azul-roja, y muevo el colormás rojo, yo puedo decir que el resultado también se mueve hacia el rojo. Pero siyo muevo un color final más allá del rojo, y muevo este hacia el amarillo, el resulta-do no es ahora más rojo! La mezcla de rojo-amarillento con un violeta no torna alvioleta más rojo que la mezcla de rojo puro con el violeta... (PR, XXI, § 220).

El rojo no es un centro de gravedad que se desplaza con los movimientos de suselementos y adquiere su inmovilidad de la relación de sus partes26. “No hay un colorentre el rojo y el verde” es otro ejemplo de una regla gramatical: existe una lagunageométrica entre el rojo y el verde. No debo pensar que hay entre ellos un abismo físico(RPP2, § 423; Ze, § 354). Algo que parecería exigir una imposibilidad física no es másque la expresión de una imposibilidad lógica, es decir gramatical. Nuestro juego es así,no hay nada más que agregar. El alfil se mueve en diagonal, ¿qué más quieres saber?Dado que es posible concebir un color amarillo-rojizo quisiéramos dar rienda suelta alas posibilidades y hablar de un verde-rojizo. Allí, sin embargo, las analogías nos ubi-can al borde del abismo, pues la transición que se sugiere no es que sea intransitable,

26 Adviértase, por ejemplo, el siguiente desacuerdo con la investigación física: en nuestra gramática el violeta estáentre el rojo y el azul, sin embargo la longitud de onda del violeta es menor tanto a la longitud de onda del azul como delrojo. En otras palabras, nuestra gramática establece que rojo <azul violeta <azul azul, en tanto que la física dice que λvioleta< λazul < λrojo. Es el azul el que se encuentra entre el violeta y el rojo. Esto muestra que hay diferentes contextos en los quehacemos uso de diferentes conceptos de color para los que corresponde, así mismo, diferentes gramáticas (diferentesexclusiones).


simplemente no existe en la geometría que se estipula. Cuando incorporamos este tipode gramática no incorporamos información acerca del mundo; estipulamos, más bien,un acuerdo de reglas que nos muestra cómo usar nuestros conceptos de color. Elrombo de los colores saturados nos enseña una gramática, no nos informa acerca decuestiones sorprendentes relacionadas con ondas electromagnéticas o activacionesneuronales. El rombo es una representación sinóptica que muestra cómo hemos deci-dido usar ciertos conceptos. No sobra agregar que bien podríamos decidirnos a usarlos conceptos de otra manera: podríamos imaginar otras gramáticas del color (conotros colores primarios y otro tipo de exclusiones).

En resumen, y con el ánimo de sintetizar brevemente la descripciónwittgensteiniana de los colores saturados, dilucidar la gramática del color significaesclarecer las relaciones internas entre los conceptos de color (TLP, 4.123)27. Así porejemplo, “nada puede ser verde-rojizo” no es una proposición analítica, ni empírica, nisintética a priori, es una proposición gramatical que expresa una regla que excluyecomo carentes de sentido a ciertas combinaciones de palabras. Las proposicionesgramaticales acerca de los colores reflejan conexiones normativas que nosotrosinmovilizamos a través de nuestras prácticas, las cuales, a su vez, fueron modeladasa través del uso particular que hacemos de los ejemplos de color. Los colores prima-rios no son simples en el sentido de los objetos del Tractatus logico philosophicus,sino en el sentido de puntos inmovilizados en nuestras formas de representación.Podemos ilustrar la geometría del color en los siguientes términos:

C es un color si, o bien

1) C es rojo, o2) C es azul, o3) C es verde, o4) C es amarillo, o5) Rojo <azul C <azul Azul, o6) Azul <verde C <verde Verde, o7) Verde <amarillo C <amarillo Amarillo, o8) Amarillo <rojo C <rojo Rojo.

Esta formulación excluye las posibilidades:

9) Rojo <verde C <verde Verde, y10) Amarillo <azul C <azul Azul.

27 Debo hacer la siguiente aclaración. El aforismo 4.123 habla de propiedades internas en relación con las propie-dades de los objetos. Es claro que en este nuevo contexto no queremos aludir, de ninguna manera, a propiedades inter-nas de alguna clase de objetos. Queremos aludir, más bien, a las relaciones internas entre los conceptos de color. Lasegunda parte del aforismo mencionado está más de acuerdo con el tipo de representación que queremos subrayaraquí: “(Este color azul y aquel color azul están eo ipso en la relación interna de más claro y más oscuro...” (TLP, 4.123).


Si se conserva la analogía con el rombo-cromático podemos decir: C perteneceal rombo-cromático si:

1) C es un vértice del rombo, o2) C pertenece a alguno de los siguientes segmentos:

a) R - Am, ob)Am - V, oc) V - Az, od)Az - R

Así las cosas, Naranja es un color (por 2a), Violeta es un color (por 2d), pero ni Zni D son colores. Esta presentación, aunque no es exhaustiva, es suficiente parailustrar la noción de visión sinóptica y la manera como a ella se articula la noción deexclusión gramatical. Haremos, entonces, caso omiso de los análisis que correspon-den a la ubicación de blanco y negro.

Hemos seguido con atención la incomodidad provocada en el Tractatus por laexclusión lógica de los colores. Estudiamos también los intentos de Wittgenstein porinterpretar tal exclusión adelantando leves modificaciones al Tractatus. Después vi-mos la manera como Wittgenstein renunció definitivamente a algunas de las premisasmás fuertes del Tractatus. Renunció a la independencia lógica de las proposicioneselementales por favorecer una perspectiva holista, renunció a la idea según la cual lasproposiciones elementales son anuméricas y renunció a la idea según la cual todaimposibilidad lógica se reduce a una contradicción, así como toda necesidad lógicase reduce a una tautología. A propósito de éste último punto, Wittgenstein introdujola noción de regla gramatical. Con esta noción procedimos, a manera de ejemplo, aconstruir la gramática o la geometría de los colores, con el ánimo de contemplar enforma sinóptica las relaciones internas entre nuestros conceptos de color. Estas trans-formaciones exigen otros cambios radicales que obligan a desentrañar el sentido delas proposiciones matemáticas en una dirección completamente diferente a la suge-rida en el Tractatus logico philosophicus. De esas transformaciones nos ocuparemosa continuación.


3.2 El concepto de proposición3.2 El concepto de proposición3.2 El concepto de proposición3.2 El concepto de proposición3.2 El concepto de proposiciónLas transformaciones suscitadas a raíz de las debilidades detectadas en el Tractatus

logico philosophicus provocaron un cambio radical en el concepto de proposición.Podemos sintetizar la transformación en los siguientes términos: pasamos de unconcepto claramente delimitado a una familia de conceptos. A lo que Wittgensteinalude, en el marco de las Investigaciones Filosóficas, con el término “proposición”, esalgo completamente diferente a la alusión que se hace en el Tractatus: “Reconoce-mos que lo que llamamos ‘proposición’ y ‘lenguaje’ no es la unidad formal que imagi-né, sino que es la familia de estructuras más o menos emparentadas entre sí.” (IF, §108). Proposición es un concepto de límites borrosos como los hay muchos en elsegundo Wittgenstein. Al igual que no podemos delimitar claramente el uso quehacemos del concepto juego, por ejemplo28. Cuando nos pregunten “¿qué es unaproposición?”, tendremos que responder exhibiendo ejemplos para ilustrar diferentescasos en los que usamos significativamente el concepto. La vaguedad de los con-ceptos proposición, lenguaje, juego, no es la expresión de una anomalía, o de unaenfermedad que tenemos que soportar. Estos conceptos tienen la vaguedad del usonormal de las palabras en nuestro lenguaje. “Pensar que por ello serían inútiles”,complementa Wittgenstein, “o completamente inadecuadas para su propósito seríacomo querer decir ‘el calor que este horno proporciona no sirve de nada porque unono sabe dónde comienza y dónde termina’.” (GF, I, VI, § 76, p. 233).

El lector de las Investigaciones filosóficas y Sobre la certeza no tiene que angus-tiarse por establecer con claridad una línea divisoria entre verdades de razón y verda-des de hecho, o entre juicios analíticos y juicios sintéticos, o entre verdades en virtuddel significado y verdades empíricas, o entre tautologías y expresiones con sentido. Lalógica regresa así al terreno áspero, al terreno que nunca debió abandonar, al terrenoen dónde transcurren con absoluta naturalidad todas nuestras prácticas lingüísticas.“No hay un límite claro”, dice Wittgenstein, “entre proposiciones metodológicas yproposiciones en el seno de un método.” (SC, § 318). No es fácil resistir entonces lapregunta: “qué diablos son las proposiciones metodológicas?”, y no podemos res-ponder ajustados al siguiente esquema: “una proposición metodológica es aquellaque...”. “Debemos mirar de cerca” es la respuesta wittgensteiniana. No obstante, larespuesta no alivia aún la incomodidad.

Uno de los rasgos distintivos en las Investigaciones filosóficas se resume, quizá,en la siguiente recomendación: imaginar un lenguaje es imaginar una forma de vida(IF, §19). Esta formulación está definitivamente lejos del pretendido análisis tractariano.

28 “La pregunta: ‘¿cómo está limitado el concepto general de proposición?’ debe ser contrastada con esta otra:‘pero, ¿tenemos un solo concepto de proposición?’ ‘Pero yo tengo un concepto determinado de aquello a lo que llamo‘proposición’.’ Bien. Pero, ¿cómo se lo explicaría a otra persona o a mí mismo?...Explicaría el concepto mediante ejem-plos. Así que mi concepto va tan lejos como mis ejemplos... La palabra ‘proposición’ no designa un concepto exacta-mente delimitado. Si queremos poner al lado el uso que hacemos de esta palabra un concepto con límites precisos,somos libres de definirlo, de la misma manera en que somos libres de limitar el significado de la medida primitiva de ‘unpaso’ a 75 cm.” (GF, I, VI, § 69, p. 217-219).


No podemos imaginar una noción como la de forma de vida en el contexto del Tractatus.Agregarla nos haría pensar en una especie de contaminación de la investigaciónlógica. Mucho han tenido que cambiar los conceptos y los alcances tanto del análisiscomo del papel de la filosofía para que podamos hablar de una investigación lógica,o gramatical, que incorpora nociones como forma de vida y juego de lenguaje. Paraplantearlo en forma cruda, podemos decir que el Tractatus se ocupa del lenguaje, sinembargo se limita a considerar tan sólo el uso descriptivo que hacemos del mismo.La descripción o la figuración de un estado de cosas en el mundo es una entremúltiples funciones del lenguaje. El lenguaje no funciona siempre de la misma mane-ra. Si queremos tener una visión sinóptica de una práctica lingüística particular debe-mos considerar todo el engranaje no sólo una parte de él.

En el marco del Tractatus logico philosophicus contamos con un inventario quese puede resumir en los siguientes términos: proposiciones genuinas –se trata delas expresiones con sentido, expresiones que figuran un posible estado de cosasen el mundo-, leyes lógicas y contradicciones que limitan el espectro de posibilida-des de los esquemas veritativo funcionales –se trata de expresiones que carecende sentido pero que no son sin-sentidos29-, también hacen parte de este grupo deexpresiones que carecen de sentido, por cuanto no describen un posible estado decosas en el mundo, pero que no son sin-sentidos, las llamadas proposiciones de lamatemática y los llamados principios o leyes generales de las ciencias naturales.Por último, contamos también con expresiones que son sin-sentidos aunque po-sean una forma gramatical que sugiera la posibilidad de su sentido. En éste últimocaso conviene resaltar expresiones de la forma: “hay objetos”, “el ser es”, “el bienes sublime”, etc.

El Tractatus se caracteriza, entre otras cosas, por una sublimación particular quese hace del concepto de proposición. Queremos imaginar un intermediario entre lossignos proposicionales y los hechos, así perdemos de vista el papel peculiar quedesempeña el concepto de proposición en nuestras prácticas cotidianas. Fijamos unsolo uso del concepto, el uso descriptivo, y a continuación creemos que podemosestablecer desde esa restricción los límites internos del lenguaje. Qué lejos estamosde adquirir así una visión sinóptica de alguna de nuestras prácticas. Nos seduce lapregunta por la esencia del lenguaje. La apertura de las Investigaciones filosóficas, dela mano de una hermosa cita de Agustín, muestra la facilidad con la que somospropensos a exigir alguna particular figura de la esencia del lenguaje humano. Nosmaravillamos y nos sorprendemos del alcance de nuestro lenguaje: en particular,podemos describir un estado de cosas, podemos, incluso, pensar con claridad aque-llo que no es el caso. Pero a continuación queremos sentirnos extrañados (enajena-dos): imaginamos que el lenguaje oculta una estructura profunda que sólo podemoscaptar si penetramos la proposición y le exigimos, a través del análisis, que nos

29 Al respecto véase la presentación en el capítulo anterior.


exhiba su forma lógica. He aquí una de las ideas centrales en el Wittgenstein de lasInvestigaciones: no existe una esencia oculta del lenguaje (no existe una forma lógicade la proposición), su esencia (si es que pudiéramos seguir haciendo uso de talexpresión) se encuentra abiertamente de manifiesto, y nuestra tarea, en cuanto filóso-fos preocupados por las ilusiones tejidas en el uso corriente del lenguaje, consiste enhacer visible sinópticamente esa esencia por medio de una ordenación. “Uno podríadecir: ‘Una proposición es lo más cotidiano del mundo’, y otro: ‘¡Una proposición –eso es algo muy extraño!’ –Y éste no puede: simplemente mirar y ver cómo funcio-nan las proposiciones. Porque las formas de nuestro modo de expresión concernien-tes a las proposiciones y al pensamiento se lo estorban.” (IF, § 93). Sabemos que enel centro de la Tierra se oculta una masa incandescente. Eso nos parece muy extraño.No podemos verla y posiblemente nunca podremos hacerlo. Sin embargo hacemostodo lo posible por encadenar los efectos visibles con su hipotética presencia. Lapregunta por la esencia del lenguaje adquiere la forma de la pregunta por una estruc-tura que yace oculta y que nos permite encadenar hipotéticamente los efectos visi-bles. Una analogía crea en nosotros una ilusión. Podemos liberarnos de ella si con-templamos las conexiones internas que residen en la superficie. Para ello necesitamosordenar sinópticamente sus elementos. El efecto final: nos sentiremos en casa, notendremos esa extraña sensación de que algo yace oculto.

La importancia de una visión sinóptica, que resulta después de adelantar unaordenación, se puede captar con toda su fuerza en el siguiente símil de Wittgenstein:

Consideremos algo que parece ser un nudo, pero que en realidad está hechode muchas madejas de hilos, así como también de algunos hilos con las puntassueltas. Le impongo ahora a alguien la tarea de desenredar el nudo. Si fuera capazde ver con claridad el orden de los hilos30, diría: ‘eso no es un nudo, por lo que nohay nada que desenredar’. Si él sólo viera una maraña de hilos, entonces seríaposible que intentara separarlos, halando al azar diversas puntas o de hecho ha-ciendo algunos movimientos, los cuales serían el resultado de tener una imagenclara de algunas partes del nudo, inclusive si no ha visto su estructura como untodo. Yo aquí diría que podemos hablar de un intento de solución genuino sola-mente en la medida en que se ve claramente la estructura del nudo. En la medidaen que ello no es así, todo es un tanteo en la oscuridad, puesto que ciertamentepodría ser que algo que a mí me parece un nudo no lo sea. (PR, § 156).

En nuestras investigaciones hay muchas cosas que tienen la apariencia de unnudo sin serlo en realidad. La tarea del filósofo wittgensteiniano consiste en mostrarque es posible pasar de un sin-sentido-no-evidente a uno evidente (IF, § 464). Pero esosólo podremos saberlo si contemplamos sinópticamente la intrincada red de co-

30 Yo diría también: “si fuera capaz de ver con claridad las conexiones internas”.


nexiones. De otra manera haremos complicados movimientos tratando de desatar loque de ninguna manera está enredado. Este símil nos permite resumir así la tarea dela filosofía, a la manera de Wittgenstein: mostrar que no hay nada que desenredar,mostrar que no hay nudo en una madeja con la apariencia de nudo.

Hay muchas estrategias que conducen a una visión sinóptica. Hablar de talesestrategias es, de alguna manera, hablar del método. Proponer un juego de lenguajecomo un objeto de comparación es una de tales estrategias. Hablaremos de estaestrategia en la próxima sección. Llevar un concepto que nos produce dificultades acontextos cotidianos en donde sea posible observar con claridad el papel que des-empeña es otra estrategia. Inventar situaciones absolutamente insólitas en dondepodamos captar, con un golpe de vista, el carácter sui generis de la gramática quenos interesa (proponer, por ejemplo, que podemos imaginar un contexto en el que eslegítimo decir que alguien tiene dolor de muelas en la boca del vecino). Mostrar queuna analogía es inadecuada. Mostrar que un concepto se traslada de un juego delenguaje a otro sin advertir, al mismo tiempo, que el papel que desempeña en cadacaso es diferente. Mostrar que hay conceptos metafísicos que se usan sin el contras-te necesario. Llegar a la fuente de la confusión. Todos ellos son ejemplos de algunasestrategias de elucidación desplegadas por el filósofo. Estas estrategias de elucida-ción conducen, entre otras cosas, a hacer distinciones claras. Estas distinciones, sinembargo, no consisten necesariamente en nuevas proposiciones, en hipótesis detrabajo, o en definiciones. Estas distinciones no amplían el rango de nuestros conoci-mientos: no aportan más información. La tarea de la filosofía no consiste en explicar,por eso ella no puede ampliar el rango de información que tenemos disponible. Elejercicio del filósofo wittgensteiniano consiste esencialmente en aportar elucidaciones.En ese sentido, existe una clara continuidad con la intención general del Tractatus. Lanovedad consiste en haber abandonado tanto un método como una ilusión: el méto-do del análisis y la ilusión de estipular los límites del lenguaje después de prescribirsu esencia. El filósofo wittgensteiniano está interesado en aportar una aclaraciónconceptual, asume de entrada que la investigación filosófica se origina en un estadode confusión, no en un estado de ignorancia que demanda una proposición o unahipótesis adecuada. La filosofía exige de una terapia similar a la empleada por Hertza propósito de las confusiones conceptuales en la mecánica.

Casi todas las confusiones se tejen porque no advertimos de antemano las dis-tinciones que salen a la luz después del análisis gramatical. Una de las distincionesmás frecuentes que solemos pasar por alto es la distinción entre una proposiciónempírica y una proposición gramatical (una regla, una norma de descripción, unaproposición matemática). Sin embargo, no podemos aclarar la distinción por mediode una definición o de una proposición. No podemos decir, por ejemplo, “en unaproposición empírica el predicado enriquece al sujeto”, mientras que “en una propo-sición gramatical el predicado se reconoce ya en el sujeto”. Si queremos saber si una


determinada expresión opera como una proposición empírica, o como una proposi-ción gramatical, debemos observar el papel peculiar que desempeña en el contextoparticular al que pertenece. La vida de la proposición reside en el sistema al quepertenece. “Si se quiere saber lo que significa una proposición, se puede siemprepreguntar: ‘¿cómo sé eso?’, ‘¿sé que hay 6 permutaciones de 3 elementos del mismomodo en que sé que hay 6 personas en este cuarto? No. Por lo tanto, la primeraproposición es de una especie diferente que la de la segunda.” (PR, X § 114). Enmuchas ocasiones la niebla se disipa cuando logramos ver que dos expresiones queparecen pertenecer a la misma familia realmente pertenecen a familias completa-mente diferentes. Muchas veces tomamos una proposición que en un contexto des-empeña el papel de una norma de descripción –“hay objetos”, por ejemplo- como sifuera una proposición descriptiva, es decir como si describiera un estado particularde cosas en el mundo. Después entonces preguntamos: “¿cómo llegamos a descu-brir esto si la expresión, en sí misma parece una proposición primitiva? Es decir:¿cómo llegamos a advertirlo si ella parece resumir la condición primitiva de tododescubrimiento posterior? ¿En qué nos podríamos haber apoyado? Estamos a unpaso de decir: “dado que no podemos fundamentarlo, como solemos hacerlo contoda proposición que tenemos por verdadera, es posible que seamos presos de unailusión. Sostengamos, entonces, que no hay objetos mientras podemos estar segu-ros de su fundamento”.

Es necesario insistir en que la distinción no se puede trazar con nitidez, y aún así,la mayor parte de las confusiones surge al pasar por alto la distinción. El tratamientode esta distinción llegó, quizá, a su mayor grado de madurez en el último conjunto deanotaciones de Wittgenstein recopiladas bajo el título Sobre la certeza. Las proposi-ciones empíricas, en opinión de Wittgenstein, no constituyen una masa homogénea(SC § 213). Algunas expresiones que tienen la forma de una proposición empíricapueden, en un juego particular, sustraerse a toda duda posible, a toda exigencia deverificación, y aún así pueden seguir operando como el gozne que hace posible elmovimiento de todas las demás proposiciones del mismo sistema. Wittgensteinexpresaba esta idea por medio de un hermoso símil: algunas proposiciones empíri-cas se solidifican y funcionan como un canal para las proposiciones empíricas queno están solidificadas y fluyen. Esta relación puede cambiar con el tiempo, y puedeocurrir que las proposiciones solidificadas fluyan y las fluidas pasen a ocupar el lugarde aquellas proposiciones que prefiguran el lecho del río (SC, § 96). Las proposicio-nes pueden, entonces, o bien ser controladas por la experiencia, o bien convertirse enreglas de control para las demás. En el primer caso estamos pensando en el sentidotradicional que le hemos asignado al concepto proposición. En el segundo caso,estamos hablando de proposiciones gramaticales.

Para efectos de producir aclaraciones gramaticales en aquellas prácticaslingüísticas en las que elaboramos esquemas teóricos descriptivos, conviene ade-


lantar algunas distinciones entre las funciones que pueden desempeñar ciertas pro-posiciones. Hacemos esto con el ánimo de evitar ciertos abusos y confusiones quepueden originar preguntas indebidas. Wittgenstein utiliza, en una forma por demásvariada, las siguientes distinciones: proposiciones, hipótesis, normas de descrip-ción, reglas gramaticales. Sin embargo, es importante aclarar que no pretendo serexhaustivo con el espectro de posibilidades que propongo, tan sólo sugiero unaclasificación que nos puede ayudar a aproximarnos a la metodología de aclaraciónconceptual que el filósofo austríaco despliega en ciertos casos. Reservemos, por lopronto, el término proposición para aquellas expresiones que describen un estado decosas en el mundo, aquellas expresiones de la forma: “tal y tal es el caso”. Estamoshablando de las proposiciones en el sentido del Tractatus logico philosophicus. Laproposición tiene sentido cuando reconocemos con claridad el caso que haría de laproposición una proposición verdadera y reconocemos también el caso que la haríafalsa. (El criterio de la bipolaridad sigue siendo un criterio central. De él se desprendeque cuando no podemos decir con claridad cómo sería el mundo si la proposiciónfuese falsa, estaremos advirtiendo la falta de un uso descriptivo de la proposición. Nopodemos decir qué aspecto tendría el mundo si la expresión “hay objetos” fuesefalsa, pues para describirlo tendríamos ya que hacer uso de los objetos en nuestrolenguaje). En este sentido restringido, llamamos proposición a aquello a lo que apli-camos en nuestro lenguaje el cálculo de las funciones de verdad (IF, § 136). Si quere-mos establecer la ausencia de sentido en las llamadas proposiciones metafísicas,podemos poner en evidencia la falta de sentido de la expresión: “no puedo imaginar-me el caso contrario de la proposición”31. El argumento metodológico de Wittgensteinse puede resumir en estos términos: si no puedo imaginar cómo sería de esa otramanera, no puedo tampoco imaginar que sea de esa manera. “No puedo imaginar-me” no es aquí una limitación de mi facultad imaginativa. Veamos el siguiente ejem-plo aclaratorio de Wittgenstein, se trata de uno de los ejemplos más impactantestanto por su sencillez como por el alcance profundo del mismo. Imaginemos la for-mulación: “esta vara tiene una longitud”. Dado que no imaginamos que pudiese serde otro modo, nos gustaría preguntar: “¿para qué decirlo entonces?” Sin embargo,frente a la pregunta: “¿tiene esta vara alguna longitud?” nos sentimos fuertementeinclinados a responder “¡por supuesto!” cuando deberíamos responder: “‘esta varatiene longitud’ no es una proposición pues no reconozco qué sería el caso en caso deser falsa, la expresión desempeña un papel diferente al de describir un estado parti-cular de cosas. En verdad, la expresión estipula una regla de nuestra gramática”. Enlas palabras de Wittgenstein:

...cuando escuchamos las dos proposiciones, ‘Esta vara tiene una longitud’ y‘Esta vara no tiene una longitud’, somos parciales y nos inclinamos por la primera

31 Podemos pensar, por ejemplo, en la formulación cartesiana: “yo pienso, yo existo”.


oración, en lugar de afirmar que ambas carecen de sentido. Pero esta parcialidad seencuentra basada en una confusión: consideramos verificada la primera proposi-ción (y la segunda falsificada) por el hecho ‘de que la vara mida 4m’. ‘Después detodo, 4m es una longitud’, -pero uno olvida que ésta es una proposición gramatical.(GF, I, VI, § 83, p. 251).

La expresión “esta vara no tiene longitud” no describe un posible y sorprendenteestado de cosas en el mundo, de tal manera que “esta vara tiene longitud” puedacontemplarse como un afortunado descubrimiento. En lo sucesivo usaré esta formade expresión: “tal expresión es una proposición (o una hipótesis, o una norma dedescripción, o una regla gramatical)” para resumir la formulación: “tal expresión des-empeña el papel de una proposición (de una hipótesis, de una norma de descripción,o de una regla gramatical) para el caso particular que es objeto de análisis”. Estaaclaración es importante, pues cuando decimos: “tal y tal es una proposición” noqueremos con ello sostener que la expresión es una proposición per se. Ningunaexpresión puede funcionar como una proposición o como una norma de control paratodos los casos posibles. Bien puede ocurrir que una expresión que en un contextofunciona como una proposición descriptiva, funcione en otro contexto como una nor-ma de control.

El caso de las hipótesis es, a mi juicio, uno de los casos más complejos en lametodología wittgensteiniana. “Mañana lloverá” es una hipótesis, no es una proposi-ción32. ¿Qué entendemos cuando creemos advertir el sentido de “mañana lloverá”?33

¿Reconocemos el caso que la haría verdadera o que la haría falsa? Reconocemosclaramente las condiciones que hacen verdadera la proposición “llueve”, pero el casoya no es tan sencillo cuando proferimos: “mañana lloverá”. “Mañana lloverá” no des-cribe un estado de cosas, no es de la forma “tal y tal es el caso”. La expresiónestipula una expectativa. En el lenguaje de Wittgenstein, una hipótesis aporta unesquema para producir proposiciones. Vamos a detenernos a aclarar esta nocióndebido a la importancia que reviste para futuras aclaraciones. “La esencia de unahipótesis es, creo, que da lugar a una expectativa, por cuanto admite una corrobora-ción futura. Esto es, pertenece a la esencia de una hipótesis que su corroboración nosea nunca conclusiva. Si digo que una hipótesis no es verificable de manera definiti-va, eso no quiere decir que haya una verificación de ella a la cual pudiera uno acercar-se cada vez más, sin alcanzarla nunca.” (PR, XXI, § 228). La hipótesis no es unaproposición cuya verdad posea menos seguridad. Si comparamos nuestras expe-riencias con puntos sobre una curva, podremos contemplar la función que describela curva como la adscripción de una expectativa: esta función haría las veces de una

32 En el Tractatus logico philosophicus Wittgenstein emplea el siguiente ejemplo: “Que el sol amanezca mañanaes una hipótesis: y esto significa que no sabemos si amanecerá.” (TLP, 6.36311).

33 En las Observaciones filosóficas dice Wittgenstein: “Si le digo a alguien que hará buen tiempo mañana, él mues-tra que comprendió al no tratar de verificar la proposición ahora.” (PR, III § 27).


hipótesis34. Estos parágrafos de las Observaciones filosóficas conducen, a la manera deuna melodía que nos lleva inexorablemente a una solución, a las siguientes conclusiones:“Una hipótesis es una ley para la construcción de proposiciones. Se podría tambiéndecir: una hipótesis es una ley para la construcción de expectativas. Una proposición es,por así decirlo, un corte de una hipótesis en un determinado lugar.” (PR, XXI, § 228). Debopoder comparar la expectativa con lo que será el caso. Si mañana efectivamente llueve,puedo decir que la proposición “llueve”, proferida al día siguiente de la formulación de laexpectativa y que se ajusta adecuadamente a un estado efectivo de cosas, satisface laexpectativa formulada. Esto no verifica la hipótesis, nos da simplemente una marco deconfianza en ella. El hecho de que yo pueda traducir “mañana lloverá” en la proposición“llueve” proferida al día siguiente, es el que nos permite convertir la expectativa en unretrato, efectivo o no. La hipótesis posee, entonces, un sentido deformado: es un esque-ma general para producir retratos de la realidad. La alusión a la proposición como uncorte transversal de una hipótesis en un determinado lugar fue ampliada por Wittgensteinen las conversaciones con Waissmann. Wittgenstein sostenía:

La hipótesis no es una aserción, sino una ley para la formación de aserciones.Lo que observamos son siempre solamente los ‘cortes’ que hay por toda la forma-ción conjunta que expresa la ley.

Una ley natural no se puede ni comprobar ni refutar. De la ley natural no sepuede decir ni que sea verdadera ni que sea falsa, sino sólo que es ‘probable’, y por‘probable’ se entiende aquí: sencillo, cómodo. Una aserción, en cambio, es verda-dera o falsa, nunca probable.” (WCV, p. 87).

La proposición (la aserción) divide el espacio de posibilidades en sí y en no, lahipótesis estructura un esquema para producir aserciones. No obstante, en la citaanterior se homologan hipótesis y ley natural. La gramática de las leyes naturales es,a mi juicio, más compleja aunque resulte emparentada con la gramática de las hipó-tesis35. Ampliemos la explicación desarrollada por Wittgenstein en las lecciones im-partidas en Cambridge en 1932:

34 Wittgenstein amplía así la explicación: “La hipótesis es una especie de representación de esta realidad, puesto que unanueva experiencia puede empalmar con ella o no, o bien puede hacer necesario que se modifique la hipótesis.” (PR, XXI, § 227).

35 Wittgenstein habla también del papel de una hipótesis en la actividad matemática. No obstante, nos ocupare-mos de dicho aspecto en el capítulo relacionado con la naturaleza de la demostración matemática. Por lo pronto, el lec-tor puede remitirse a la sección V de la segunda parte de la Gramática filosófica.


Una hipótesis va más allá de la experiencia inmediata. Una proposición no. Lasproposiciones son verdaderas o falsas. Las hipótesis funcionan o no funcionan.Una hipótesis es una ley para construir proposiciones, y las proposiciones soninstancias de esa ley. Si ellas son verdaderas (verificadas), la hipótesis funciona; siellas no son verdaderas, la hipótesis no funciona. Podemos decir también que unahipótesis construye expectativas las cuales se expresan en proposiciones y pue-den ser verificadas o falseadas. (WL 1930-1932, p. 110).

Nosotros abandonamos hipótesis con cierta frecuencia. También incorporamosnuevas o corregimos viejas hipótesis. También puede ocurrir que algo que tiene laapariencia de una hipótesis, es decir que funciona como un esquema para producirexpectativas y que en consecuencia puede ser abandonada si la frecuencia con laque se satisfacen las expectativas es definitivamente muy baja, puede funcionarmás bien como una regla de control. En ese caso contamos con una norma dedescripción. Los principios generales de la física: los principios de conservación o demínima acción, por ejemplo, son normas de descripción. Es cierto que ellos tambiénnos proveen con esquemas para producir proposiciones, tal como se ha sugerido enel capítulo anterior. Sin embargo, es más complejo renunciar a una norma de descrip-ción que a una hipótesis. Una hipótesis puede ser abandonada si las proposicionesque permite construir son invalidadas por nuestra experiencia. No ocurre así con lasnormas de descripción. Si una experiencia invalida una norma de descripción, elloserá tomado como un control de la experiencia misma. Si un experimento muestraque la cantidad de energía no se conserva, ello será razón suficiente para sugerir queel investigador ha pasado por alto un aspecto crucial del experimento. En las Obser-vaciones filosóficas Wittgenstein intenta explicar la relación problemática entre hipó-tesis y norma de descripción. No obstante, hay que ser cuidadosos a la hora de sacarconclusiones de la anotación de Wittgenstein: no se trata de una recomendaciónepistemológica. Veamos la aclaración: “Ahora bien, una vez que decidí no desviarmede cierta parte de mi hipótesis, independientemente de la experiencia por describir,entonces ya estipulé un modo de representación y esta parte de mi hipótesis es ahoraun postulado. Un postulado debe ser tal que ninguna experiencia pensable puedarefutarlo, aunque resulte sumamente incómodo aferrarse al postulado.” (PR, XXII, §231). Así las cosas: lo que hoy tomamos como un elemento empíricamente estableci-do de un fenómeno particular, puede convertirse mañana en una definición o en unanorma de control. Podemos pensar, por ejemplo, en los experimentos de Leibniz yHuygens asociados con las colisiones entre cuerpos rígidos. Ellos establecieron empí-ricamente que en cada colisión se conservaba la cantidad mv2, dos siglos más tardeesa conservación se estipuló como una norma de control de la experiencia36. Las nor-

36 Wittgenstein sostiene: “(La fluctuación de las definiciones científicas: lo que hoy vale como un concomitanteempíricamente establecido del fenómeno A, se utilizará mañana como la definición de ‘A’”. (IF, § 79).


mas de descripción son instrumentos del lenguaje con los que hacemos enunciadossobre la realidad. Ellas no constituyen enunciados sobre la realidad, no representanun aspecto particular de la misma. Ellas son medios de representación: pertenecena los sistemas de representación, no a lo representado. No es fácil trazar la distinciónentre proposición empírica, hipótesis y norma de descripción. Tampoco necesitamosuna definición absolutamente precisa. Basta con reconocer en cada situación parti-cular las diferencias: ello sin duda contribuirá a disipar la niebla de la confusión. Enalgunas ocasiones podemos considerar que las proposiciones de la matemáticaoperan como normas de descripción:

La proposición “los ángulos correspondientes son iguales” significa que si almedirlos no resultan iguales, diré que la medición es incorrecta; y “la suma de losángulos de un triángulo es 180 grados” significa que si en una medición de esosángulos se obtiene algo distinto a 180 grados, debe suponerse que se ha come-tido un error al efectuarla. La proposición es entonces un postulado relativo almétodo de descripción de los hechos y, por lo tanto, una proposición de la sin-taxis. (GF, II, III, § 17, p. 629).

Conviene, sin embargo, hacer una aclaración. Si realizo un experimento, como lopretendió Gauss en su tiempo, para determinar si un triángulo efectivamente trazadoa partir de tres estrellas distantes se somete o no a la ley que estipula que susángulos internos deben sumar 180 grados, y obtengo un valor diferente al estipulado,no por ello estoy obligado a concluir que se ha cometido un error positivo al efectuarla medición. Puedo pensar, por ejemplo, que estoy utilizando otro significado para“medir”. Puede ocurrir, como sugiere la teoría de la relatividad de Einstein, que estéefectuando la medición con varas que se deforman en virtud de las propiedadesgeométricas del espacio-tiempo.

Por último, las reglas gramaticales pertenecen al andamiaje del lenguaje. Ellasaportan, por así decirlo, la geometría de nuestro lenguaje. A través de las reglas grama-ticales estipulamos las conexiones internas. Ellas no aportan información acerca delestado del mundo. Ellas constituyen el espacio que hace posible cualquier futura repre-sentación. La gramática estipula a qué llamamos posible y a qué no. El caso de lagramática de los colores, estudiado con atención en el numeral anterior, aporta un claroejemplo acerca del papel particular que desempeña una regla gramatical; aporta tam-bién un ejemplo acerca de la importancia de una visión sinóptica para desentrañar laniebla que produce confusión. “Una mancha en el campo visual no puede ser roja yverde al mismo tiempo” es un buen ejemplo de una regla gramatical (siempre queestemos formulando la expresión en el contexto adecuado). El origen de la mayorconfusión reside en creer que se trata de una proposición descriptiva: esto nos lleva aformular preguntas de la forma “¿qué le impide a una mancha compartir dos colores?”.


Llegamos a creer que la naturaleza se ha empeñado en ocultar un rasgo esencial de sufuncionamiento interno. Queremos llegar al fondo del asunto y emprendemos con ahín-co una profunda investigación. Debido a la premura y a la precipitación perdemos devista que estamos frente a una pregunta mal planteada, no frente a una pregunta muydifícil. Ahora bien, la expresión tampoco es una hipótesis, no funciona como un esque-ma para producir expectativas. La expresión estipula una exclusión gramatical, se en-carga de sacar de circulación a la proposición: “esta mancha es verde y roja”. La reglahace parte del espacio de la gramática de los colores. No todo lo que es expresable enun sistema gramatical es concebible: “esta mancha es roja y verde” es un buen ejem-plo. El hecho de que podamos expresarlo no es una clara indicación de que algopodemos hacer con dicha expresión. De hecho no sabemos qué hacer si quisiéramosdarle algún sentido particular, siempre que estemos restringidos al uso del octaedro decolores. La regla gramatical excluye cierta combinación de palabras de un juego parti-cular. Las proposiciones matemáticas pueden ser vistas como reglas gramaticales, deellas nos ocuparemos en los capítulos relacionados con la demostración matemática.También son reglas gramaticales expresiones de la forma: “no puedo sentir el dolor demuelas de otra persona”, “mis imágenes son privadas”. Dado que no puedo imaginar-me lo contrario, tiendo a pensar que mi capacidad de imaginación es muy limitada oque alguna clase de barrera muy especial impide que yo pueda contemplar las imáge-nes de otro. En este último caso tendemos a asimilar una imposibilidad lógica a unaimposibilidad física. Usamos esta clase de explicaciones contra algo que parece unaproposición empírica, cuando lo que realmente queremos estipular es una exclusióngramatical. La expresión “puedo percibir las imágenes de otro”, no es una proposiciónempírica falsa, ella pretende simplemente excluir de nuestro lenguaje la combinaciónpercibir-las-imágenes-de-otro. “La materia es indestructible”, utilizada en el contexto deun programa de investigación en ciencias naturales, es otra regla gramatical. Ella nodescribe un estado de cosas sorprendente en el mundo, simplemente nos preparapara excluir la expresión “la materia se puede destruir” como una expresión que carecede sentido, no como una falsedad. Descubrir que una expresión, en un contexto dado,opera como una regla gramatical no sólo aporta una visión sinóptica de la geometríadel lenguaje particular, sino que contribuye a desvanecer la tentación que sentimos aformular preguntas indebidas. Advertir que una expresión opera como una regla gra-matical impide que formulemos preguntas acerca de su origen o su fundamentación.La constatación de la presencia de reglas gramaticales nos hace creer que nuestrolenguaje funciona como si tuviésemos que erigir inicialmente la estructura completa delespacio sin usar proposiciones y dentro de esa estructura pudiésemos ya formar todaslas proposiciones correctas (PR, XVI, §177).

El siguiente esquema sintetiza algunos aspectos de la distinción que hemoscomentado. No obstante, hay que apreciar el esquema sin olvidar la exigencia quehace Wittgenstein de advertir que se trata de distinciones de límites borrosos:


Una parte importante de la metodología wittgensteiniana consiste en hacer clari-dad acerca del papel singular que desempeñan nuestras expresiones en contextoslingüísticos particulares. Establecer las distinciones que hemos mencionado, sobretodo en contextos asociados con el ejercicio de la descripción de un estado de co-sas, contribuye a clarificar el uso que hacemos del lenguaje en las prácticas particu-lares que son objeto del análisis. No toda construcción, en un contexto particular, quepor su forma externa es similar a una proposición descriptiva, funciona realmentecomo tal. Aclarar el papel que desempeña cada expresión que tiene una aparienciade proposición empírica es una de las tareas centrales del filósofo wittgensteiniano.Estas distinciones poseen, sin embargo, límites borrosos. Una expresión puede seren un contexto una proposición y en otro contexto puede ser una hipótesis o unanorma de descripción. Las distinciones de ninguna manera estipulan condiciones apriori para la construcción de teorías. No tiene sentido hacer de las Investigacionesfilosóficas un novum organum. Una proposición puede también cambiar con el tiem-po el papel particular que desempeña.

Sentido y verdad son independientes. De no ser así, no podríamos pensar lo queno es el caso. El valor de verdad de una proposición se decide contra la experiencia,o se decide a partir de los criterios previos que lo estipulan (piénsese en el caso delas proposiciones matemáticas). No ocurre así con el sentido. Nosotros indagamossi una proposición es verdadera o no, no indagamos si tiene sentido o no. El sentidonos debe ser familiar desde un comienzo. Este es precisamente uno de los puntosque hará muy difícil la interpretación wittgensteiniana del sentido de las proposicio-nes matemáticas. La familiaridad supone familiaridad con una técnica, con un juego,con una práctica. De ahí que entender un lenguaje signifique dominar una técnica. La

Determinan las exclusio-

nes gramaticales, deter-

minan los límites de sen-

tido y sin-sentido. No son

ni verdaderas ni falsas

Aportan los criterios

de control de la ex-

periencia, no son ni

verdaderas ni falsas

Aportan esquemas para

construir proposicio-

nes. Son acertadas o no

acertadas

Describen un posible

estado de cosas en el

mundo. Poseen el ras-

go de la bipolaridad


proposición guarda un cierto parecido de familia con una expectativa. La expectativasupone que sabemos qué estamos buscando independientemente de que ello ocu-rra o no. “La expectativa”, explica Wittgenstein, “prepara, por así decirlo, un instru-mento de medición mediante el cual se mide el evento cuando éste llega y de mane-ra tal que pueden medirse el uno con el otro, independientemente de que el eventocoincida o no con la marca de graduación esperada.” (PR, III, § 33). Reconocemos elsentido de una oración y sin embargo nos desconcierta el que no podamos darcuenta de ese reconocimiento. Frege sostenía que toda proposición con sentido esta-ba acompañada de un pensamiento. El pensamiento le daba sentido a la oración. Sinembargo, ante la pregunta “¿qué es un pensamiento?” se estrellaba contra innumera-bles dificultades. El pensamiento no puede ser algo objetivo como las piedras ytampoco puede ser algo subjetivo como las ideas. El pensamiento, según Frege,tiene en común con las ideas el hecho de que no puede ser percibido por los senti-dos; y tiene en común con las cosas el que no necesita un propietario para conside-rarse verdadero37. Las preocupaciones de Frege muestran un hombre atormentadocon lo que le es más familiar. Una de las preocupaciones centrales de Wittgensteintiene que ver con llevarnos a terreno familiar, al terreno que nunca debimos abando-nar en virtud de la ilusión filosófica. El pensamiento como un proceso es posible quele interese al psicólogo, al neurofisiólogo, al pedagogo. El filósofo, por el contrario,debe recuperar la paz con el pensamiento: debe llegar a reconocerlo como algoabsolutamente familiar. Dice Wittgenstein en las Investigaciones filosóficas: “‘El pen-samiento, ese ser extraño’ –Pero no nos parece extraño cuando pensamos. El pensa-miento no nos parece misterioso mientras pensamos, sino sólo cuando decimosretrospectivamente: ‘¿Cómo fue posible eso?’ ¿Cómo fue posible que el pensamien-to mismo tratara de este objeto? Nos parece como si con él hubiéramos apresado larealidad.”38 (IF, § 428).

La naturaleza paradójica del pensamiento lleva siempre apareado un sentimientode frustración: no logramos develar el misterio fundamental. La investigaciónwittgensteiniana conduce al punto final: no hay misterio. Wittgenstein presenta lafrustración que he mencionado valiéndose de un hermoso símil (IF, § 430). Es como sidurante mucho tiempo hubiésemos pensado que la naturaleza esencial de una per-sona viva se encontrase en su forma externa. Animados por esa idea, logramosreproducir, con todos los detalles imaginables, un bloque de madera con esa forma.La frustración consiste en reconocer con vergüenza que el bloque sigue muerto, queno se parece en nada a un ser vivo. Usamos nuestro lenguaje sin tropiezos, sinembargo cuando queremos dar cuenta de su esencia nos armamos un completoenredo. Pensamos que los sonidos o los trazos sobre el papel no pueden sintetizar,en sí mismos, la esencia del lenguaje: ellos parecen bloques de madera que simulanla forma de un ser humano sin lograr insuflar su esencia. ¿Qué les hace falta? Frege

37 Véase Frege, Gottlob (1918).38 Véase también, GF, parte I, VII, § 105, p. 301.


responde: “El pensamiento”. Con ello cree haber dado una respuesta cuando lo únicoque hemos dado es un rodeo. Wittgenstein responde: “el signo vive en el uso”. Conesto se quiere decir: “no busques esencias ocultas. Todo yace al descubierto”.Wittgenstein nos invita a contemplar la proposición como un instrumento y el sentidode la misma como su empleo. Si queremos clarificar el sentido de p, debemos mirar,o tener claro, qué estamos dispuestos a hacer con p. Esta tarea no se puede adelan-tar si no tenemos claro el sistema al que pertenece p, la práctica en la que estáinvolucrada la proposición.

El sentido de la proposición, de otra parte, depende del sistema al que pertene-ce. Esta es sin duda una extensión de la máxima fregeana comentada en el capítuloanterior39. Como vimos en el numeral anterior, Wittgenstein abandonó la defensa deun atomismo lógico en favor de una especie de holismo lógico. Entender el sentidode p, en el marco del Segundo Wittgenstein, significa entender las conexiones inter-nas de la proposición con otras expresiones en el contexto de una práctica particular.Creo yo que es así como debemos entender la alusión que conecta el lenguaje connuestras formas de vida. Entender el sentido de p es moverse en los alrededoresgramaticales de la proposición. “Nuestro hablar”, decía Wittgenstein en Sobre lacerteza, “obtiene su sentido del resto de nuestra actuación.” (SC, § 229). En lasObservaciones filosóficas Wittgenstein explora dos acepciones de lo que significaaplicar un cálculo. En una de ellas sugiere que aplicar un cálculo significa proporcio-nar la gramática de un lenguaje. En ese orden de ideas, lo que está permitido oprohibido por las reglas corresponde en la gramática a las palabras “con sentido” y“carente de sentido” (PR, p. 309). En el Tractatus el límite de las proposiciones consentido estaba claramente trazado gracias a las tautologías y las contradicciones.Las discusiones asociadas con la exclusión de los colores condujeron a ampliar lanoción de exclusión lógica. Una regla gramatical estipula el uso que queremos hacerde nuestros conceptos, con ello estipula también las exclusiones: “una mancha nopuede ser roja y verde al mismo tiempo”. La proposición tiene sentido como parte deuna práctica.

Wittgenstein afirma en la Gramática filosófica que el sentido de una proposiciónes el papel que desempeña en el cálculo (GF, Parte I, VI, § 84, p. 253). En este períodode transición Wittgenstein se encontraba particularmente seducido por el símil delcálculo. En el contexto de las Investigaciones filosóficas habremos de ubicar la obser-vación en un contexto más amplio. Diremos, entonces, que el sentido de la proposi-ción es el papel que desempeña en una práctica, en un juego, en una forma de vida,según sea el caso. Con este tipo de formulación Wittgenstein se opone a otra expre-sión que cierra los caminos a la claridad, a una formulación que pretende prescribiruna vía de solución cuando lo único que introduce es confusión. Me refiero a la alter-

39 “Unicamente en el arroyo del pensamiento y la vida tienen las palabras significado”. (RPP2, § 504; Ze, § 173).“Sólo en la praxis de un lenguaje puede tener significado una palabra.” (RFM, VI, § 41).


nativa: “el sentido de una proposición es algo espiritual”. La terapia de Wittgensteinparece avanzar en ésta dirección: no preguntes “¿qué es el sentido de una oración?”,pregunta más bien “¿qué explicación del sentido de una oración puedo aportar?”.Cuando explicamos el sentido de una oración aportamos una estrategia para su uso,aclaramos aquello que estamos dispuestos a hacer con ella.

El sentido de una proposición, es decir el papel que desempeña, se muestra en laproposición insertada en una práctica. No necesitamos expresar el sentido por mediode otra proposición. ¿Qué queremos decir cuando afirmamos: “la proposición no essólo una secuencia de signos, es algo más”? No necesitamos responder a la preguntapostulando una especie de aura para la proposición. ¿Qué nos hace falta cuandoescuchamos una expresión china que no logramos aprehender? Podemos responderde una manera sencilla: “nos hace falta familiaridad con una práctica”. No es necesa-rio que suponga una serie de acontecimientos mentales paralelos que ocurren con laemisión de la proposición para que ella deje de ser una mera secuencia de sonidos. Elsiguiente ejemplo de Wittgenstein muestra las dificultades de la alternativa que pre-tende superponer una segunda realidad representativa sobre la proposición. Conside-remos la expresión: “esta tarde N fue al Senado”. Puedo pensar que la proposición,más que una secuencia de sonidos que hieren mi humanidad, evoca en mí la imagende un hombre en las cercanías del Senado. La imagen de un hombre en las vecinda-des del Senado acompañado de una imagen del Sol en el poniente, denunciando lapresencia de la tarde, y una inscripción de la fecha de hoy (como puede ocurrir enalgunas películas fotográficas). Si en lugar de proferir la proposición, me limito a mos-trar un dibujo de la imagen que ella evoca en mí y la muestro a otra persona como uninstrumento de comunicación, bien puede ocurrir que aquella persona a la que lemuestro mi dibujo responda con un cierto aire de desconcierto: “¿lo que quieres decires que N fue al Senado en las horas de la tarde?” (GF, parte I, VII, § 104, p. 297). Nosvemos obligados a preguntar: “¿qué aclara a qué?”

Hemos indicado que entender el sentido de una proposición implica reconocer elpapel particular que desempeña en una práctica específica. Ahora bien, ¿qué tipo dereconocimiento es éste? Ya hemos advertido parte de la respuesta: sin duda se tratade un reconocimiento de conjunto. Vemos la proposición articulada con otras propo-siciones y con nuestras acciones en el marco de una práctica familiar. Pero no se tratadel reconocimiento como un proceso deliberado: imaginemos una fotografía borro-sa, una fotografía muy vieja, queremos reconocer a una persona particular. Hacemosun esfuerzo especial de concentración, tratamos de eliminar rasgos secundarios.Ese esfuerzo se puede advertir sin dificultad en los gestos que hacemos con nuestracara: acercamos la fotografía, la alejamos nuevamente para cambiar el punto devista, la inclinamos levemente, la mantenemos quieta durante un período extenso,cambiamos la iluminación en ciertos sectores y finalmente proferimos la expresión:“¡ya está! Por fin puedo reconocerlo”. Diríamos entonces que ha tenido lugar un pro-


ceso de reconocimiento. Sin embargo, cuando decimos que entender el sentido deuna proposición es un reconocimiento de conjunto, no estamos hablando de un pro-ceso de reconocimiento similar al anterior. Estamos simplemente tratando de decirque la proposición nos es familiar en el conjunto al que pertenece. Este no es unreconocimiento que se obtiene con esfuerzo, reconocer la familiaridad de la proposi-ción es descansar en lo que vemos. Descansar en lo que vemos significa que nomiramos con insistencia a nuestro alrededor con el temor a que algo nuevo nossorprenda. Imaginemos por el momento a alguien que en cada paso teme que elpiso se va a abrir. ¿Cómo contemplaríamos a lo lejos su conducta? Tendría en susmanos una vara e inspeccionaría a cada paso que el piso se encuentre firmementearraigado. Esa persona tendría una apariencia muy extraña para nosotros. (En ocasio-nes, esa es la imagen que dejan en nosotros los filósofos). Diríamos que aún no haaprendido a confiar, que por alguna razón muy extraña aún no se siente en casa.Cuando algo nos es familiar, no modificamos nuestra manera de verlo, simplementenos arraigamos a esa manera particular de verlo. A propósito de la naturaleza de lasinvestigaciones lógicas dice Wittgenstein: “Queremos entender algo que ya estápatente ante nuestros ojos. Pues es esto lo que, en algún sentido, parecemos noentender.” (IF, § 89) Aquello que sabemos cuando nadie nos pregunta y que ya nosabemos cuando debemos explicarlo es, en palabras de Wittgenstein, algo de loque debemos acordarnos. Quizá por esa razón, la filosofía se ocupa de hacer paten-tes nuestras reminiscencias: “El trabajo del filósofo”, explica Wittgenstein, “es com-pilar recuerdos para una finalidad determinada.” (IF, § 127). Una de las pretensionesen la metodología wittgensteiniana consiste en que nos esforcemos por ver algunoshechos como “protofenómenos” (IF, § 654), que no pretendamos dar explicaciones deaquellas proposiciones que constituyen el andamiaje de todas las proposicionesposibles y que constituyen el espacio geométrico para las proposiciones. Parte de lametodología consiste en llevar aquello que nos parece sorprendente a un contexto enel que deje de ser enigmático. Era éste precisamente el rasgo que a Wittgenstein leinteresaba resaltar de la interpretación de los sueños desplegada por Freud. La inter-pretación de los sueños no debe pretender mostrarnos lo que realmente ocurrió, en elsentido arqueológico; sino que debe dirigirnos a un punto en el cual podamos cam-biar el aspecto del sueño: llevarlo a un contexto en el que deje de ser enigmático(LEPR, p. 120).

El análisis del Tractatus se esforzaba en hacernos patente la forma general de laproposición. Esta era la estrategia para dilucidar la esencia del lenguaje. Esto nosconduce a ver el lenguaje como una jaula. Es como si pretendiéramos que el lenguajede nuestras vidas se ajustara a una esquema absolutamente rígido de tal maneraque si no lo consigue así, esto sería peor para él. El trabajo de exploración queconduce a las Investigaciones filosóficas no es sólo un intento que pretende liberarnosde las clásicas confusiones filosóficas, pretende también liberarnos del peso ago-


biante del Tractatus. En las Investigaciones filosóficas, la vida recupera la palabra: laflexibilidad del lenguaje no se ve como una carga o una incomodidad, se ve, másbien, como una exigencia para el claro funcionamiento del lenguaje. Pero es esamisma flexibilidad la que crea confusiones. Perdemos de vista el papel que desem-peña una proposición en una práctica particular y terminamos asignándole otro.

La transición del primer al segundo Wittgenstein, no es sólo una transformaciónde ideas o una transformación de métodos, es también un cambio radical de metá-foras. El Tractatus está seducido por la metáfora de la pintura, el segundo Wittgensteinlo está por la metáfora de la música40. Es cierto también que en el período de transi-ción Wittgenstein estaba también seducido por la metáfora de la máquina. De hechono es complicado advertir que un ingeniero sintiese una gran inclinación a asimilar sunueva noción del lenguaje como un cálculo a la imagen seductora de un mecanismo.Sin embargo, la imagen de la máquina constriñe el análisis de nuestras prácticascorrientes de la misma manera en que lo hace la imagen del cálculo. No me interesaexplorar tales limitaciones pues resulta, para mis propósitos, más importante aclararel papel tranquilizador que desempeña la metáfora musical.

En el segundo período de creación del filósofo austríaco, entender una oracióntiene que ver más con un elemento de familiaridad que con un ejercicio dedesentrañamiento de una relación proyectiva. En las Investigaciones filosóficas expli-ca Wittgenstein:

Entender una oración del lenguaje se parece mucho más de lo que se cree aentender un tema en música. Pero con ello quiero decir lo siguiente: que entenderuna oración lingüística se acerca más de lo que se cree a lo que usualmente se llamaentender un tema musical. ¿Por qué tienen que desarrollarse justamente de estamanera la intensidad y el ritmo? Quisiéramos decir: ‘Porque sé lo que significa todoesto’. ¿Pero qué significa? No sabría decirlo. Para ‘explicarlo’ podría compararlo conotra cosa que tuviera el mismo ritmo (quiero decir, el mismo desarrollo). (IF, § 527).

Cuando escuchamos una melodía y en cierto sentido entendemos, no sentimosla necesidad ni la tentación de ir más allá. De alguna manera nos sentimos confor-mes, no nos atormenta un cierto estado de inseguridad. Hay muchas cosas que sésin que pueda expresarlo cabalmente en nuestra conceptografía. Una de las expre-siones más bellas de esta distinción se encuentra en el aforismo 78. Se trata de unode los aforismos más profundos y menos comentado por los estudiosos deWittgenstein. Haremos un esfuerzo por resumir los alrededores del aforismo 78.Wittgenstein introdujo la noción de juego de lenguaje en el parágrafo 7, propusodespués varios juegos de lenguaje con el objeto de ofrecer aclaraciones conceptua-les en muchos casos particulares en donde se requería correr la niebla de alguna

40 “Entender una frase musical también puede ser llamado entender un lenguaje.” (RPP2, § 503; Ze, § 172).


confusión filosófica. Después de mostrar la efectividad de la terapia conviene hacerun alto en el camino para preguntar en forma taxativa: “¿qué es un juego de lengua-je?” Esto ocurre a la altura del aforismo 65. El interlocutor wittgensteiniano exhorta alfilósofo a responder dicha pregunta. La pregunta tiene la forma: “¿qué es X?”. Pode-mos optar o bien por aportar una hipótesis, o bien por sugerir una definición, o bienpor recomendar alguna clase de característica común que sea compartida por todoaquello que llamamos “juego”. Si aportamos una hipótesis nuestra investigación dejade ser una indagación gramatical para convertirse en una exploración empírica. Sirecomendamos una definición, éste segundo elemento tendría que ser lo suficiente-mente claro para nosotros antes de establecer la relación. Tendríamos así la sensa-ción de no estar en el punto de partida, podríamos pensar entonces que la lógica nose basta a sí misma. En realidad, la única alternativa que resta para el estudio de unfilósofo es la de procurar una característica común. No obstante, la exploración deWittgenstein lo conduce a una postura negativa: no hay nada que pueda considerar-se en forma absoluta algo común a aquellos fenómenos que denominamos juegos.El filósofo propone más bien la presencia de un cierto parecido de familia entre todosaquellos fenómenos que nos interesa reconocer como juegos. La respuesta del pare-cido de familia es el último recurso ante un interlocutor inquisidor que, a pesar de lasdificultades, exige alguna clase de unidad entre los conceptos. Sin embargo, ¿porqué una respuesta de este estilo tendría que dejarnos satisfechos? Wittgenstein su-giere entonces que se trata, como hay muchos, de un concepto de límites borrosos(IF, § 71). No obstante, ¿por qué íbamos a preferir una estrategia que se fundamentaen una propuesta de límites borrosos a una alternativa de límites claros? El siguientepaso en el argumento wittgensteiniano consiste en mostrar que no hay razón parasentir incomodidades especiales en una propuesta de límites borrosos41. En otraspalabras, el recurso a los parecidos de familia tiene como objeto detener la marchade una investigación que no nos conduce a ningún lugar específico. La discusión secierra en uno de los puntos de máxima tensión: “Compara: saber y decir: Cuántosmetros de altura tiene el Mont-Blanc- cómo se usa la palabra ‘juego’- cómo suena elclarinete. Quien se sorprende de que pueda saberse algo sin poder decirlo quizá estépensando en un caso como el primero. Ciertamente no en uno como el tercero.” (IF, §78). Nuestro grado de insatisfacción con las respuestas de Wittgenstein surge, enprincipio, porque estamos acostumbrados a asimilar el segundo caso con el prime-ro: nos sorprende que alguien use adecuadamente la palabra “juego” y sin embargono pueda explicarlo, de la misma manera que nos sorprende que alguien afirmesaber cuál es la altura del Mont-Blanc y no pueda decir a continuación cuál es. Lainsatisfacción desaparece si reconocemos que el segundo caso se asemeja, másbien, al tercero: no nos sorprende que alguien afirme que sabe cómo suena el clari-

41 “¿Y podría la gente jugar con un concepto rígido? –En tal caso se diferenciaría de nuestro concepto de un modomuy extraño. Pues allí donde todos nuestros conceptos son elásticos, en las vicisitudes de la vida, no podríamos adap-tarnos a un concepto rígido.” (LPP1, § 246).


nete pero se siente incapaz de decir cómo suena, de la misma manera que no ha desorprendernos que alguien afirme saber cómo se usa la palabra “juego” pero en elmejor de los casos sólo nos pueda decir que reconoce ciertos parecidos de familia.

Cuando decimos que sabemos cómo usamos la palabra “juego” no estamoshaciendo alusión a un estado de conciencia que se pueda esclarecer por medio deuna proposición: la gramática de este reconocimiento no es la gramática del recono-cimiento de un estado de conciencia, sino otra. Reconocer cómo suena el clarinetesin poder expresarlo por medio de una proposición es admitir una familiaridad: lafamiliaridad reside en la aprehensión inmediata42.

Hemos dicho que el concepto de proposición constituye ahora una familia deconceptos emparentados entre sí de una manera que no se puede expresar cabal-mente por medio de una proposición. No obstante, la mayor cantidad de confusioneso perplejidades filosóficas surge precisamente a partir de analogías mal estableci-das. Asignamos un papel a una proposición y perdemos de vista que el papel quedesempeña en el contexto particular es completamente diferente. En consecuencia,desatar una confusión en muchos casos significa advertir claramente la función quedesempeña la proposición en el contexto lingüístico que produce la perplejidad. Aho-ra bien, ¿cómo reconocemos entonces cuál es el papel de una proposición en unapráctica determinada? No existe un método universal, aunque sí podemos hablar demúltiples terapias (IF, § 133). El propósito de la filosofía, a la manera de Wittgenstein,consiste en presentar elucidaciones con el objeto de aclarar o disolver confusionesgramaticales. El objetivo último consiste en producir aclaraciones conceptuales. Estohay que repetirlo continuamente so pena de cansar al lector. Es necesario repetirlopues continuamente sentimos la tentación de producir explicaciones. No puede ha-ber nada hipotético en el análisis gramatical, la gramática no le rinde cuentas aninguna realidad. “Toda explicación tiene que desaparecer y sólo la descripción ha deocupar su lugar.” (IF, § 109). La descripción consiste en una ordenación de las co-nexiones internas de los conceptos que participan en una práctica lingüística particu-lar. Cuando contamos con tal ordenación contamos entonces con una visión sinóptica[übersichtliche Darstellung] de la gramática. Esta visión nos permite desatar las con-fusiones. Caminamos por una selva tupida, de repente alguien nota que estamosdando vueltas en círculo y que nuestro recorrido no parece conducirnos a ningún lugarespecífico: hacemos los gestos propios de avanzar hacia una meta clara, pero loúnico que hacemos es dar rodeos. De repente alguien advierte: “¡estamos perdi-dos!” Hacemos un alto en el camino extendemos nuestras cartas de navegación ytratamos de adquirir una visión sinóptica del estado de la confusión. El mapa nosprovee las conexiones internas, aquellas conexiones que perdemos de vista mientrascaminamos desprevenidamente. Podemos, por ejemplo, determinar el lugar dondese creó la confusión: advertir en qué momento perdimos el camino justo. Acto segui-

42 Véase GF, parte I, § 34-37.


do, podemos regresar al lugar de la confusión y retomar el curso del camino como sino hubiese pasado nada43. En ese momento guardamos nuevamente el mapa yretomamos la alegría que produce el ejercicio de caminar sin prevenciones.

El recurso a una visión sinóptica y el uso de la metáfora de la música se encuen-tran, de alguna manera, emparentados. Reconocemos una melodía si advertimos laarticulación de conjunto, si advertimos la conexión armónica de sus elementos. “Siuna proposición ha de tener un sentido definido (y de otro modo es un sin-sentido),debe por completo abarcar –ver de manera sinóptica- su sentido.” (PR, XI, § 122).Una expresión carece de sentido si después de aportar una visión sinóptica de loselementos de la gramática, no logramos ver el papel que le corresponde. “Yo puedosentir el dolor de muelas de otro” carece de sentido. No porque reconozcamos quese trate de una proposición falsa, de una información que a la postre resultó serinapropiada. La expresión carece de sentido pues ella es excluida de nuestros juegospor una regla gramatical. Una regla estipula que tal expresión no desempeña ningúnpapel en los contextos lingüísticos en los cuales informamos acerca de los dolores.Cuando carecemos de una visión sinóptica podemos tener la ilusión que nos condu-ce a creer que descartamos tal expresión porque se trata de una proposición quedebe ser necesariamente falsa, porque creemos que la información que aporta no seajusta adecuadamente a los hechos que pretendemos describir. Perdemos de vistaque la expresión entraña una regla gramatical, no un estado de cosas en el mundo.

3.3 Importancia de los ejemplos

“Hay una cosa oculta en cada cosa que ves.Lo que ves lo ves siempre para ver otra cosa.”

Fernando Pessoa44

Los aforismos del Tractatus, tal como se ha indicado en el capítulo anterior, apor-tan elucidaciones y deben ser leídos en ese sentido. Las anotaciones de las Investi-gaciones y de otras obras posteriores tienen también una intención de clarificaciónconceptual. De hecho en muchos casos es más conveniente, para recoger el espíritudel filósofo austríaco, traducir el verbo erklaren como aclarar y no como explicar45. Apesar de la unidad en la intención de los dos períodos, hemos de advertir que elmétodo es completamente diferente. En el Tractatus Wittgenstein se vale del análisispara estipular los límites del lenguaje y evitar, de esa manera, nuestra seducción portraspasarlos. En las Investigaciones Wittgenstein pretende llevar al lector a un espa-cio de familiaridad en donde no tiene sentido formularse las preguntas que le inquie-

43 “Nosotros reconducimos las palabras de su empleo metafísico a su empleo cotidiano.” (IF, § 116).44 Pessoa, Fernando. (1997). Poesías completas de Alberto Caeiro. Madrid, Editorial Pretextos, p. 219.45 El lector puede encontrar algunas sugerencias importantes a propósito de la traducción del término erklaren en

Fujimoto, Takashi (1972). Dicho artículo, sin embargo, no es lo suficientemente claro a la hora de establecer el estilo deaclaración conceptual que pretende Wittgenstein.


tan en un comienzo; para ello se vale especialmente de ejemplos46. En cualquiera delos dos casos, la filosofía wittgensteiniana no aporta teorías. El punto de partida decualquier investigación filosófica, cree Wittgenstein, es un estado de confusión, no unestado de ignorancia que podemos acallar por medio de la investigación. El método,o, mejor aún, los métodos empleados por Wittgenstein en el segundo período dereflexión son extremadamente originales.

Las afirmaciones, o tesis en caso de que las haya, en las Investigaciones filosófi-cas no deben ser leídas a la manera de proposiciones. No describen un estado decosas en el mundo, no describen el fenómeno del lenguaje, no aportan explicacionespara resolver el problema mente-cuerpo, no sugieren un programa de investigaciónpara resolver el problema de los fundamentos de la matemática, no nos explican quéocurre cuando afirmamos sentir un dolor de muelas. Wittgenstein tampoco enrique-ce nuestros archivos de normas de descripción o reglas gramaticales. Tales afirma-ciones, en caso de que se pudiesen listar, deben ser leídas, al igual que los aforis-mos del Tractatus, como elucidaciones. En una discusión reciente alguien afirmabaque es desafortunado que Wittgenstein en el fondo no defienda nada. Claro quedefiende algo, sostiene que cada uno de los llamados problemas de la filosofía es, ala postre, un problema aparente. De eso se ocupa la filosofía a la manera deWittgenstein y por eso siempre nos da la impresión de que no nos está enseñandonada nuevo. En el Tractatus, Wittgenstein hace uso de expresiones que poseen laforma gramatical de una proposición salvo que deben reconocerse como expresio-nes que carecen de sentido. Si queremos entender el papel particular que desempe-ñan tales aforismos debemos, siguiendo a Cora Diamond, contribuir con una actitudimaginativa. En las Investigaciones, la elucidación procede, en la mayoría de loscasos, por medio de ejemplos. Estos ejemplos conducen al lector a un espacio defamiliaridad en donde el poder inquisitivo desaparece. Ahora bien, cuando la elucida-ción procede por medio de un argumento o de una expresión que hace las veces deuna proposición, ella debe rendir sus frutos de una vez por todas. Cuando la elucida-ción procede por medio de ejemplos es necesario aportar un número muy grande delos mismos. En este caso, la terapia deja ver sus frutos muy lentamente. Esto nospermite entender por qué, después de escribir el Tractatus, Wittgenstein pretendiócerrar definitivamente las puertas de la investigación filosófica: los problemas sehabían resuelto en forma definitiva. También podemos entender por qué, en el segun-do período, Wittgenstein regresa una y otra vez a los mismos ejemplos, una y otravez a los mismos problemas: la nueva metodología no resuelve tales problemas deuna vez para siempre. Por esa razón, creo yo, Wittgenstein estuvo siempre aplazandosu huida definitiva de Cambridge. Con el segundo método es más difícil llevar lafilosofía al reposo.

46 La terapia Wittgensteiniana no está orientada a ofrecer una explicación o un método que tranquiliza en formageneral, su compromiso es algo más radical: recomendar que los problemas filosóficos se podrían desvanecer sólogracias a un modo de vida y pensar transformados (RFM, II, § 23).


No existe un sólo ejemplo en el Tractatus. El único caso ligeramente parecido esel aforismo 6.3751 del cual ya hemos comentado en extenso sus consecuencias. Enlas Investigaciones el asunto se plantea de una manera completamente diferente. Nohay persuasión sin ejemplo; cada aforismo, cada observación remite a un ejemplo47.Por esa misma razón conviene aclarar el papel de los ejemplos en la obra del filósofo.

Aclaremos primero por qué no hay, y no debe haber, ejemplos en el Tractatus. “Lalógica debe bastarse a sí misma” es un máxima de la obra wittgensteiniana. Estovale también para el segundo Wittgenstein, salvo que la imagen de lógica debeentenderse en una forma diferente. Citemos a continuación un reporte de una conver-sación sostenida con Norman Malcolm que da luces acerca del problema que nosinquieta: “Le pregunté a Wittgenstein si él había decidido algo como un ejemplo deun ‘objeto simple’ cuando escribió el Tractatus. Su réplica fue que en ese tiempo supensamiento había sido el de un lógico; y que su ocupación como lógico no consistíaen tratar de decidir si esta cosa o aquella era un objeto simple o una cosa compleja,ese sería un asunto meramente empírico.”48 Ofrecer un ejemplo en el Tractatus seríatanto como contaminar una investigación lógica. Ya sería un indicio grave que unlector necesitara de un ejemplo o de una intuición para entender un asunto de natura-leza lógica. Eso bastaría para indicar que el lector no entiende o no se siente a gustocon el tratado de lógica. Esto pasa con aquellos que no pueden seguir el Tractatusporque les falta un ejemplo claro de un objeto, de un hecho atómico o de una propo-sición elemental. “Si yo no puedo indicar las proposiciones elementales a priori,”explicaba Wittgenstein, “querer indicarlas debe llevar a un obvio sin-sentido.” (TLP,5.5571). Este es uno de los puntos que se encuentra a la base de la incomodidad quesentía Wittgenstein hacia la introducción que preparó Bertrand Russell para el Tractatus.Russell se empeñaba en ilustrar las ideas de Wittgenstein con ejemplos desafortu-nados. El problema no era tanto que los ejemplos fuesen desafortunados sino quecreyese que un ejemplo anclaría la presentación en piso firme. Uno de los ejemplosfavoritos de Russell era el siguiente: “Sócrates era un sabio ateniense” es una propo-sición analizable en “Sócrates era sabio” y “Sócrates era ateniense”.

Ocupémonos ahora del papel de los ejemplos en el segundo Wittgenstein. En elCuaderno azul Wittgenstein se ocupa de lo que él denomina el ansia de generalidadde los filósofos y el desprecio que ello ha suscitado por el caso concreto. “La idea deque para lograr claridad acerca del significado de un término general haya que en-contrar el elemento común a todas sus aplicaciones ha sido una traba para la inves-tigación filosófica, pues no sólo no ha conducido a ningún resultado, sino que hizoademás que el filósofo abandonase como irrelevantes los casos concretos, que sonlos únicos que podrían haberlo ayudado a comprender el uso del término general.”(BBB, p. 19). El ansia de generalidad se origina, entre otras fuentes, al asimilar las

47 Véase Schulte, Joaquim (1989), p.48-9.48 Malcolm, Norman (1984), p. 86.


investigaciones filosóficas a investigaciones científicas. Es precisamente el ansia degeneralidad el que lleva al filósofo a exigir una imagen universal del lenguaje. LasInvestigaciones inician con una cita de las Confesiones de Agustín. No existe un claroconsenso entre los comentaristas acerca del papel que desempeña tal alusión. Agustín,a la manera de un relato autobiográfico, nos cuenta cómo aprendió a usar las pala-bras. Del relato podemos inferir una particular técnica de aprendizaje. Creo que esapresurado sostener que de la cita se infiere la teoría del lenguaje de Agustín49; esmás cauto y prudente si afirmamos que a partir de la cita es posible defender unafigura particular del lenguaje humano. En ese orden de ideas, la cita de Agustín unidaal ansia de generalidad nos llevan a exigir una figura de la esencia del lenguajehumano. Es precisamente contra esta exigencia de una figura del lenguaje, presentetambién en el Tractatus, que reacciona Wittgenstein. En el parágrafo 135 concluye:“¿Pero es que no tenemos un concepto de lo que es una proposición, de lo queentendemos por ‘proposición’? –Sí; al igual que tenemos un concepto de lo queentendemos por ‘juego’. Si se nos pregunta lo que es una proposición ... daremosejemplos y con ellos también lo que puede llamarse la serie inductiva de las proposi-ciones; pues bien es de este modo como tenemos un concepto de proposición.” (IF,§ 135). La noción de una serie inductiva es, sin duda, enigmática y problemática.Hablaremos de ella más adelante. El punto se puede resumir así: no existe unaesencia del lenguaje, no podríamos explicarle a alguien cuál es esa esencia para quea continuación use en forma adecuada el lenguaje, sólo podemos ofrecerle ejemplosque le permitirán dominar una técnica. Al dominio de esa técnica es a lo que llama-mos comprender el lenguaje.

El ansia de generalidad se origina en tres fuentes: i) la tendencia a buscar algocomún en todas las entidades que incluimos bajo un término general. Esta idea seapoya en el hecho de tomar al concepto general como una propiedad común de suscasos particulares y asumir, así, que las propiedades son ingredientes de las cosas.En ese orden de ideas, la filosofía busca esencias, busca algo escondido en lascosas. No obstante, en la vida diaria no operamos así: a nadie se le explica cuál es laesencia del término general “juego” para que él después encuentre instanciacionesdel término en el mundo; nos limitamos a ponerlo en contacto con juegos concretosy después le indicamos: “cosas similares a esta las llamamos ‘juegos’”. ii) Tambiénnos sentimos inclinados a creer que cuando alguien comprende un término general,digamos el caso de una hoja, posee una imagen general de hoja contrapuesta a lasimágenes de hojas particulares. Algo así como un esquema de la forma f[ ], con unespacio vacío que puede llenarse con diversos elementos siempre que encajen sin

49 He escuchado también que Wittgenstein utiliza la cita como un recurso para aludir a su propia teoría del lengua-je defendida en el Tractatus. No hay duda en que hay algunos rasgos compartidos, y que son precisamente esos rasgoslos que centran la atención de Wittgenstein en los primeros parágrafos. Sin embargo no son lo suficientemente com-pletos como para sugerir una homologación estrecha entre las dos imágenes. De la cita de Agustín, por ejemplo, no seinfiere que sólo en el contexto de una proposición tiene un nombre significado. Este elemento sería absolutamente esen-cial para afirmar que la cita de Agustín es una paráfrasis completa de la imagen del lenguaje en el Tractatus.


dificultad. Si f[ ] representa la imagen general de animal, y tratamos de encajar en elespacio vacío el concepto piedra, debemos advertir que el esquema se resiste dealguna manera. Al contrario, si encajamos el concepto liebre la estructura saltará conagilidad para acomodar el concepto sugerido. Este encuadre exige que quien com-prenda el término general vea, por así decirlo, lo que es común a todos los animales.iii) La tercera fuente proviene de la nostalgia que experimenta el filósofo por el métodode la ciencia.

El recurso de Wittgenstein al caso concreto no es el último intento por aferrarnosa lo único que nos queda; no es el camino adoptado en consideración a que no existeotro mejor. “La ejemplificación”, dice Wittgenstein, “no es aquí un medio indirecto deexplicación –a falta de uno mejor.” (IF, § 71). El caso concreto no alude a situacionesempíricas consignadas en una memoria o en un exhaustivo registro de campo. Elcaso concreto se debe articular en una forma de vida para que contribuya a despejarla niebla que impide ver de cerca. En ese sentido, lo decisivo de los casos concretos,a los que el filósofo atribuye la capacidad de clarificar conceptos, es el sistema dereglas al que pertenecen. Los ejemplos no son descripciones de cosas invisibles quedejan contemplar el interior substraido a la observación directa. El ejemplo nos con-duce a un espacio de familiaridad; en ese espacio nos sentimos en casa: no encon-tramos razones para abandonar el hogar. El caso concreto no es un caso particular enla medida en que no se menciona una historia de casos. Tampoco están allí paradespertar, de un golpe, una imagen general adecuada. Los ejemplos wittgensteinianostampoco son ilustraciones de ideas complicadas como puede ocurrir con los ejem-plos de aplicación que se citan en un texto de física: tales ejemplos se presentanpara explorar los alcances de una idea compleja en un ambiente familiar, ellos [losejemplos de los libros de física] desempeñan un papel didáctico. Esta es la lecturaque recomienda Hallet y que encuentro no sólo equivocada sino desorientadora. DiceHallet lo siguiente: “El último Wittgenstein... creyó en el poder ilustrador de los ejem-plos. Por medio de ellos, las cosas que no se pueden expresar convenientementepueden ser mostradas... Así usted adquiere la clase de entendimiento que ningunafórmula general podría darle sin la ayuda de los mismos ejemplos ilustrativos.” (Hallet,G. H. (1970), p. 686). El ejemplo no es la ilustración de una concepto abstracto. Elejemplo wittgensteiniano es un recurso para producir una aclaración conceptual, noes un instrumento didáctico para presentar un concepto abstracto y difícil. Con elejemplo se quiere dar por terminada una exploración, no es el punto de partida paraproferir explicaciones.

La necesidad de un caso concreto, que medie de alguna manera entre los casosparticulares y los términos generales, está presente también en las obras de Berkeley.Berkeley propuso la técnica de los casos concretos para mediar entre los particularesy los universales. Su terapia se encaminó inicialmente a criticar en forma aguda lasideas abstractas generales de Locke. Locke tenía la intención de superar el realismo


aristotélico proponiendo otra solución para el problema de lo Uno y lo Múltiple. Lapregunta profesional podía plantearse en los siguientes términos: ¿qué es lo que nospermite imponer la generalidad a un mundo de particulares, tal como lo hacemos alaplicar las palabras generales? Locke pensaba que el problema era legítimo y exigíauna solución. La solución se encaminaba sobre las huellas que antaño habían dejadolos nominalistas. Los nombres propios no estaban en lugar de casos particularessino de ideas simples. Con el ánimo de no multiplicar por dos las entidades -ideassimples y nombres propios- y dejar así sumido el lenguaje en el ámbito de la inutili-dad, era necesario postular las ideas generales apoyadas en la abstracción. Sinembargo, este procedimiento condujo a la situación paradójica que tanto combatióBerkeley: “Por ejemplo, ¿no se requiere esfuerzo y habilidad para formar la idea gene-ral de un triángulo (que no es de las más abstractas, comprehensivas o difíciles),desde el momento en que no debe ser ni oblicuo, ni rectángulo, ni equilátero, niisósceles, ni escaleno, sino todo eso y a la vez nada de eso en concreto?” (Locke,John (1980), IV, vii, § 9, vol. 2 p.887). La sugerencia de Locke de formar una ideageneral abstracta de triángulo es, bajo la óptica de Berkeley, una aberración. Si al-guien afirma poder adelantar el proyecto de Locke, asegura Berkeley, pertenece a unanaturaleza enteramente diferente a la humana; con él simplemente no podríamosdiscutir estas cuestiones. Sin embargo, si se debilitan las ideas abstractas se confie-re así un duro golpe al programa exitoso de las ciencias matemáticas, pues ellasapoyan su técnica demostrativa en la posibilidad de la abstracción. De lo contrario,¿de dónde podrían entonces obtener la universalidad que pretenden sus proposicio-nes? Citemos en extenso el planteamiento del problema y la solución que aportaBerkeley:

Quizá alguno preguntará: ¿cómo podemos saber que una proposición es cier-ta para todos los triángulos particulares sin que antes la hayamos visto demostradau obtenida de la idea abstracta de triángulo, aplicable por igual a todos ellos? Puesparece que por el mero hecho de que una propiedad determinada se verifique enun triángulo particular no se puede seguir que se dé también en los demás triángu-los que en todo no sean iguales al primero. Por ejemplo: habiendo demostradoque la suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos rectos, siendo eltriángulo rectángulo isósceles, de eso no puedo concluir que suceda lo mismo entodos los demás triángulos que no tienen un ángulo recto y dos iguales. Parece,pues, que, para estar seguro de que esta proposición es universalmente verdade-ra, tendríamos que hacer una demostración particular para cada triángulo particu-lar, lo cual es imposible, o, de lo contrario, y de una vez para siempre, sacar yobtener la demostración de la idea abstracta de triángulo, que a todos convienepor igual y a todos igualmente representa. A lo que respondo que aunque la ideaque tengo presente cuando hago la demostración sea, por ejemplo, la idea de un


triángulo rectángulo isósceles, cuyos lados son de una longitud determinada, pue-do, sin embargo, tener la certeza de que tal demostración es válida para todos lostriángulos rectilíneos, de cualquier especie y magnitud que sean. Y eso es así porqueni el ángulo recto, ni la igualdad ni la longitud de los lados se tienen para nada encuenta al hacer la demostración. Es cierto que en el esquema que yo imagino se danesas circunstancias particulares, pero de ellas no se hace la más ligera mención aldesarrollar la demostración. (Berkeley, G. (1734), Introducción, § 16)

Berkeley usa el término «esquema» y logra salvar la generalidad con una técnicaque, guardadas las proporciones, es similar a la sugerida por Wittgenstein a propó-sito de los casos paradigmáticos. Veamos el ejemplo con atención: dibujemos untriángulo cualquiera:

Tracemos ahora, en uno de los vértices, una paralela al lado opuesto:

Nótese que deliberadamente he dibujado un triángulo diferente al primero parasugerir, maliciosamente, que deseo resaltar la invocación a cualquier triángulo. Ahorabien, α=α‘, β=β‘ y trivialmente γ=γ (para ésta última relación el símbolo “=” carecepor completo de utilidad). En consecuencia se tiene: α+β+γ = α‘+β‘+γ = 180°. Por

α β

γα' β'


último, agregamos el gesto wittgensteiniano “y así sucesivamente”, queriendo desa-fiar con esto al interlocutor para que ensaye con el triángulo que desee. Para ilustrar lageneralidad pretendida del teorema que tanto le preocupa a Berkeley se puede resu-mir la técnica oculta tras la presentación de Wittgenstein: “En realidad, no intentaría-mos explicar a alguien la palabra indicando todos los casos particulares, sino másbien mostrando uno o más casos de ese tipo e insinuando que la palabra no depen-de del caso particular”. (GF, parte II, II, § 6, p. 515) Y más adelante: “Porque si digo:dándonos algunos ejemplos él logra hacernos ver el elemento esencial en ellos ytambién que hagamos caso omiso del resto, eso significa, en realidad, que el restopasa a un segundo plano, se hace, por así decirlo, más pálido (o, ¿por qué no?desaparece del todo) y ‘el elemento común’, digamos, la forma ovalada sola perma-nece en el primer plano.” (GF, parte II, II, § 9, p. 533) El siguiente párrafo tomado delos Principios del conocimiento humano ilustra el paralelismo entre el tratamiento dela generalidad de Wittgenstein y la propuesta de Berkeley:

...un triángulo se define como una superficie plana comprendida por tres líneasrectas; con lo cual este nombre se limita a denotar una cierta idea determinada y nootra. A lo que respondo que en la definición no se dice si tal superficie (triangular)es grande o pequeña, blanca o negra; si se atiende a la mayor o menor longitud delos lados, ni a si éstos son iguales o desiguales, como tampoco a los ángulos queforman, en todo lo cual puede haber gran variedad y, por consiguiente, no hay ideadeterminada alguna que limite la significación de la palabra triángulo. Una cosa esconservar una palabra para la misma definición, y otra hacerla siempre valederapara la misma idea: lo primero es necesario; lo segundo es inútil e imposible.(Berkeley, G. (1734), Introducción, § 18).

Wittgenstein, contrario a Locke, ve que el “problema de los universales” no admi-te solución alguna, no porque considere que el problema como tal supere nuestrasfuerzas. La explicación se debe más bien al hecho de que asume la pregunta: “sinosotros aplicamos uniformemente una palabra a muchas cosas ¿cómo se logra eltruco?” como una pregunta equivocada pues no existe tal truco. El truco, o el arteoculto en lo profundo del alma humana, para usar las palabras de Kant, está com-prendido en todas nuestras actividades, yace al descubierto.

Para aclarar el papel que desempeñan los ejemplos en la obra del segundoWittgenstein conviene considerar dos situaciones diferentes: i) el papel de los ejem-plos en nuestras prácticas cotidianas: ¿cómo le explicamos a alguien el significadode una palabra? o ¿cómo le enseñamos a alguien a seguir una regla? (SC, § 139); ii)el papel de los ejemplos como una terapia de aclaración conceptual. En relación conel primer caso, no aprendemos por lo general el lenguaje por medio de definiciones


o explicaciones. Con el aprendizaje del lenguaje nos hacemos partícipes de unaforma de vida. Cuando estamos aprendiendo el lenguaje no obramos como especta-dores que previamente se han formulado la pregunta: “¿cómo usan ellos el lengua-je?”. Cuando incorporamos el lenguaje en nuestra vida estamos atentos a una formade actuar. Nosotros estamos atentos a los ejemplos. Es precisamente en ese ordende ideas que cuando alguien tiene dudas por el significado de una palabra sueleevocar un caso paradigmático que elimina la incertidumbre: “Lo que aparece antenuestra mente con la palabra caracteriza en todo caso el significado. Pero lo queaparece ante mi mente es un ejemplo, un caso de aplicación de la palabra. Y esteaparecer ante la mente no consiste realmente en que una imagen particular se en-cuentre presente siempre que emito la palabra o la escucho, sino que se me ocurrenaplicaciones de la palabra cuando se me pregunta por su significado.” (GF, parte I, VI,§ 75). Veamos también la recomendación que se sugiere en las Investigaciones:

¿Así pues, explico lo que quieren decir “orden” y “regla” por medio de “regula-ridad”? -¿Cómo le explico a alguien el significado de “regular”, “uniforme”, “igual”?-A uno que, pongamos, sólo habla francés le explicaré esas palabras mediante lascorrespondientes francesas. Pero a quien aún no está provisto de esos conceptosle enseñaré a usar las palabras mediante ejemplos y mediante ejercicios. –Y alhacerlo no le comunico menos de lo que yo mismo sé. (IF, § 208).

Se le muestra al aprendiz colores, longitudes, formas y se le pide que halleobjetos que coincidan con tales muestras; se le puede ordenar también que continúeuniformemente una serie ornamental. Se puede mantener cierta influencia con gestosque ya son reconocidos como aprobación o rechazo. Es importante que en estainstrucción se adquiera familiaridad con las expresiones “etcétera” y “etcétera adinfinitum”. Las expresiones “etcétera ad infinitum”, “y así indefinidamente” no se atie-nen a los objetos o tareas presentadas, sino que pretenden apuntar más allá de ellos.Estos gestos muestran que el final de la serie de ejemplos no es el final de suaplicación. Ahora bien: ¿cómo es que “y así indefinidamente” apunta adecuadamen-te más allá de los ejemplos presentados? ¿Cómo podemos cerrar definitivamente laindeterminación de una regla acudiendo al poder inductivo de unos cuantos ejem-plos? Podríamos responder con Kant que se trata de un arte oculto en lo profundo delalma humana; pero con la interpretación wittgensteiniana no pretendemos explicarun fenómeno difícil de entender, queremos simplemente constatar una práctica arrai-gada en nuestras formas de vida. La dificultad, cree Wittgenstein, no está en encon-trar la solución, sino en reconocer como solución algo que está ante nuestras narices.La dificultad consiste en detenerse en aquello que encontramos plenamente familiar(Ze, § 314). Es precisamente este uno de los puntos en los que nos gustaría contem-plar tales fenómenos como proto-fenómenos (IF, § 654), en los que nos gustaría ver el


trabajo del filósofo como una compilación de recuerdos (IF, § 127). Ahora bien, elinterlocutor, si eso lo tranquiliza, puede perfectamente insinuar que se trata de un arteoculto en lo profundo del alma humana. Puede hacerlo siempre que reconozca queallí termina la investigación o la aclaración conceptual y no pretenda con ello estipularel preámbulo de una investigación más profunda. Es decir, siempre que no exija, apartir del misterio, una crítica de la razón pura.

Ocupémonos ahora del segundo aspecto del uso de ejemplos: los ejemplos comoestrategia de aclaración conceptual. “No aspiro con todos estos ejemplos”, aclaraWittgenstein, “a ninguna totalidad, ni a una clasificación de todos los conceptos psico-lógicos. Sólo pretendo colocar a mi lector de tal manera que sepa arreglárselas en laambigüedad conceptual.” (LPP1, § 686)50. El nombre de “ejemplo” no es el más conve-niente. Es fácil asimilar tal expresión al término “ilustración” o a la idea de exhibir unejemplar de un concepto que resulta muy difícil aclarar por otras vías. El término “casosconcretos” genera también otra confusión. Podemos pensar en la enumeración exhaus-tiva de situaciones particulares en un estudio de casos. El término “caso paradigmáti-co” nos puede hacer pensar en un caso que se ofrece para modelar una situaciónespecífica. Ninguna de tales acepciones logra captar en forma completa el espírituwittgensteiniano del término. Creo que la mejor expresión es, sin duda, “juego delenguaje”, siempre que estemos dispuestos a entender los juegos de lenguaje comoobjetos de comparación. El concepto juego de lenguaje se usa, como era de esperar,en una forma muy variada en la obra del filósofo. No nos interesa hacer un estudiodetallado de las múltiples interpretaciones que se pueden sugerir para el concepto.Nos interesa restringirnos al uso del concepto como elemento de comparación. En elCuaderno azul se mencionó el recurso como la alusión a modos más sencillos deutilizar signos que nos permiten tener una visión más familiar del uso que hacemos delos mismos en nuestro altamente complicado lenguaje ordinario. En ese orden deideas, el estudio de los juegos de lenguaje se vislumbraba como el estudio de ciertasformas primitivas de lenguaje. No obstante, el método cobró una importancia inespera-da y pronto se transformó en un paradigma de la investigación filosófica orientadahacia la clarificación conceptual. En las Investigaciones filosóficas se quiere usar elconcepto para modelar las formas de comunicación entre los seres humanos. El juegode lenguaje es el todo formado por el lenguaje y las acciones con las que está entrete-jido (IF, § 7). En algunas ocasiones los juegos de lenguaje aluden a formas primitivas delenguaje, en otras aluden a las formas de vida que sirven de contexto a nuestro lenguaje(SC § 559), y, en otros casos, se presentan como objetos de comparación: “Nuestrosclaros y simples juegos de lenguaje no son estudios preparatorios para una futurareglamentación del lenguaje –como si fueran primeras aproximaciones, sin considera-

50 Véase también IF, parte II, XI, p. 473.51 Véase también: “Para solucionar estos problemas filosóficos [se refiere a los problemas asociados con la con-

tradicción, pero bien puede extenderse a todos los casos] hay que comparar cosas a las que a nadie se le ha ocurridocomparar aún seriamente.” (RFM, VII, § 15).


ción de la fricción y de la resistencia del aire. Los juegos del lenguaje están más bienahí como objetos de comparación que deben arrojar luz sobre las condiciones denuestro lenguaje por vía de semejanza y desemejanza.” (IF, § 130)51. En el Cuadernoazul se introdujo también el recurso de una tabla como objeto de comparación: cuan-do tenemos dudas acerca de la exigencia de una imagen privada, podemos imagi-nar una tabla física que contiene los códigos que necesito y que sólo yo puedocontemplar. Reemplazar una idea confusa por una estrategia similar que produce elmismo efecto, nos da elementos para adquirir una visión sinóptica. Ya hemos men-cionado que, de acuerdo al filósofo austríaco, el origen de la filosofía reside en unestado de confusión, no en un estado de ignorancia. La filosofía wittgensteiniana noestá orientada a aportar más información, está orientada a desvanecer el estado deconfusión original. Para ello el filósofo requiere de múltiples terapias. Una de ellasconsiste en la comparación del estado de la confusión con otros estados más sim-ples, reales o inventados, en donde es posible renunciar a la actitud inquisitiva inicial.Ese ejercicio de comparación debe permitirnos adquirir una visión sinóptica del len-guaje y con ella una visión acerca del estado y origen de la confusión: “Lo que propor-cionamos”, aclara Wittgenstein, “son en realidad observaciones sobre la historia na-tural del hombre; pero no curiosidades, sino constataciones de las que nadie hadudado, y que sólo se escapan a nuestra noticia porque están constantemente antenuestros ojos.” (IF, § 415).

En algunas ocasiones tales casos son extremadamente extravagantes: mostrar,por ejemplo, que es posible tener dolor de muelas en la boca del vecino con el objetode mostrar las condiciones paradójicas del juego de lenguaje que consiste en adscri-birme estados mentales (BBB, p. 49). En las Observaciones filosóficas Wittgensteinjustifica así el recurso metodológico:

No sólo la teoría del conocimiento no se ocupa de la verdad o la falsedad de lasproposiciones genuinas, sino que el fijarse precisamente en aquellas proposicio-nes cuyo contenido nos parece –desde un punto de vista físico- el más imposiblede ser pensado (por ejemplo, que alguien tenga un dolor en la muela de otro) esinclusive un método filosófico. De este modo, la teoría del conocimiento haceresaltar el hecho de que su dominio incluye todo lo pensable. (PR, § 60).

En otras ocasiones el ejemplo pretende cambiar drásticamente las condicionesdel mundo para evaluar el carácter arbitrario que podrían adoptar algunas reglas quetenemos por necesarias:

Pero no estoy diciendo: si los hechos naturales fueran diferentes, tendríamosotros conceptos. Esto es una hipótesis. No tengo aplicación alguna para ello ytampoco me interesa. Lo único que estoy diciendo es esto: si crees que nuestros


conceptos son los correctos, los apropiados para seres humanos inteligentes, quequien tuviera otros no se percataría de algo de lo que sí nos percatamos nosotros,entonces imagina ciertos hechos naturales generales como algo distinto de lo queson y entonces te parecerán naturales otras formaciones conceptuales diferentesde las nuestras.” (RPP1, § 48).

Véase también SC, § 63. En otras ocasiones la investigación filosófica termina enla formulación de una pregunta. La pregunta desconcertante debe hacer las veces deun juego de lenguaje desconcertante. “Siempre es bueno en filosofía”, recomendabaWittgenstein, “plantear una cuestión en lugar de dar una respuesta a una cuestión.Pues una respuesta a una cuestión filosófica fácilmente puede resultar incorrecta; noasí su liquidación mediante otra pregunta.” (RFM, III, § 5). Así las cosas, muchasveces una pregunta desconcertante desplaza a otra pregunta sin sentido. En el libroSobre la certeza hay varios casos que ilustran esta estrategia. Veamos uno de ellos.Wittgenstein muestra que la expresión “hay objetos físicos” carece de sentido aun-que parezca una proposición empírica con una arrolladora evidencia a favor. Con laintención de llevar al lector a un espacio de desconcierto culmina una de sus investi-gaciones formulando simplemente la pregunta: “¿Y es ésta una proposición empíri-ca: ‘parece que hay objetos físicos’?” (SC, § 35). La investigación termina en unapregunta, el lector debe sacar sus propias conclusiones52. En ocasiones se ofrecenejemplos para desplazar imágenes que mantienen cautiva nuestra imaginación: dadoque los matemáticos tienden a pensar que los símbolos matemáticos se debeninterpretar agregando algo de palabrería –prosa-, alguna clase de gas que recubrelos símbolos, conviene, entonces, producir nuevas interpretaciones para desplazarlas anteriores –producir nuevo gas para expulsar al anterior-. “Yo puedo ocasional-mente producir nuevas interpretaciones, no con el ánimo de sugerir que ellas soncorrectas, sino con el ánimo de mostrar que la vieja interpretación y la nueva sonigualmente arbitrarias. Inventaré una nueva interpretación únicamente para colocarlacara a cara con la anterior y decir ‘Aquí, elige, toma tu elección’. Tan sólo producirégas para expeler al anterior.” (LFM, I, p. 14). No creo que el espectro de posibilidadesse agote en los casos mencionados, pero sí creo que aporta algunas luces acerca dela metodología de clarificación apoyada en ejemplos. El esquema de argumentaciónpor ejemplos se puede sintetizar en los siguientes términos:

AAAAA es una situación problemática en donde se generan preguntas filosóficas.B B B B B es un juego de lenguaje que o bien simplifica las condiciones en las que A se

genera, o cambia las condiciones del mundo para advertir la arbitrariedad de A, o

52 En la remembranza biográfica que Malcolm preparó a propósito del estilo de Wittgenstein, el autor sostiene queen ocasiones el filósofo afirmaba que un buen tratado filosófico debería ser, o bien un compendio de chistes, o bien uncompendio de preguntas sin respuestas. (Malcolm, N. (1958), p. 29).


propone una nueva interpretación para desplazar la interpretación que se proponeen A, o sugiere una situación extravagante para advertir la desorientación produci-da en A, o...

Finalmente el interlocutor, en virtud de la comparación con B, abandona laspreguntas que le incomodan en A. Si ello no ocurre, puede, a la postre, prepararsepara un nuevo ejemplo CCCCC. El proceso puede así reiniciarse cuantas veces seanecesario.

La argumentación wittgensteiniana no disuelve dogmáticamente todas las con-fusiones reconocidas bajo el título de problemas filosóficos. La clarificación concep-tual wittgensteiniana debe practicarse en cada caso particular. A pesar de la proliji-dad de la obra del filósofo, Wittgenstein se ocupó tan sólo de un reducido número deproblemas filosóficos. Es tarea de las nuevas generaciones de filósofos, interesadosen extender el ejercicio de la aclaración conceptual, hacer evidente el estado deconfusión gramatical que anida en el interior de problemas filosóficos no advertidosni atendidos por el autor.

Conviene aclarar un punto esencial. Los ejemplos no están allí para presentarle allector las ideas que ya están claras en la mente de Wittgenstein. Los ejemplos cons-tituyen la misma estrategia de exploración del filósofo. A través de tales ejemplosWittgenstein logra ver con claridad los problemas que a él, como a cualquiera de losmortales, le atormentan sin piedad. Wittgenstein explora al mismo tiempo que escri-be. No reporta resultados. De ahí que el libro Investigaciones filosóficas bien podríahaberse titulado, haciendo honor al profundo respeto que Wittgenstein sentía porAgustín, Confesiones filosóficas. Stanley Cavell, interesado en el estilo del filósofoaustríaco, ha llamado especialmente la atención sobre el hecho de encontrar dosvoces en las Investigaciones filosóficas53. De un lado, la voz de la tentación, aquellavoz que nos seduce una y otra vez a transgredir los límites, a extender las analogíaso a exigir univocidad. De otro lado, la voz de la corrección siempre dispuesta a poneren evidencia los abusos. El libro en su totalidad puede seguirse como una contiendaequilibrada. Una contienda que evita los senderos del dogmatismo. En las Investiga-ciones filosóficas el autor no está en contienda con otros sistemas filosóficos, aunquesea posible identificar posibles interlocutores en la historia del pensamiento –Descar-tes, Kant, James, Platón, Hegel, Frege, Russell-, el autor está en contienda consigomismo. Pretende, por su propia cuenta, llevar la filosofía al reposo. El métodowittgensteiniano podría considerarse, bajo muchos aspectos, como un métodocaleidoscópico. Cuando miramos a través de un caleidoscopio observamos los obje-tos en una cierta distribución llamativa; después giramos levemente el instrumento yaquellos objetos que están al frente cambian drásticamente su configuración. Pode-

53 Cavell, Stanley (1996), p. 55.


mos, de esa manera, contemplar desde otra perspectiva insospechada aquellosobjetos con los que estamos familiarizados. Los ejemplos wittgensteinianos nosobligan a descubrir conexiones que solemos pasar por alto.

Sinteticemos los resultados del presente capítulo. Nos ocupamos en un comien-zo de algunas de las razones que determinaron un relativo desmantelamiento delTractatus. Nos interesaba especialmente las cuestiones relacionadas con el abando-no de la independencia lógica de las proposiciones elementales y las limitacionesimpuestas por la sintaxis sobre los conceptos de necesidad e imposibilidad lógica.Exploramos después los lineamientos generales de un nuevo método de aclaraciónfilosófica orientado especialmente por la exigencia de una visión sinóptica de nuestrolenguaje. Este concepto de visión sinóptica ha de ser fundamental a la hora de desen-trañar el papel de una demostración matemática. Por esa razón quisimos explorar endetalle un ejemplo más sencillo de aclaración conceptual apoyado en la exigencia deuna visión sinóptica. Nos referimos al caso de la gramática de los colores. Explora-mos después las transformaciones esenciales en relación con la naturaleza de laproposición. La proposición es vista ahora como una familia de estructurasemparentadas. Estudiamos algunas distinciones que posibilitan una visión sinóptica.No obstante, advertimos la naturaleza flexible de tales distinciones. Señalamos laindependencia entre sentido y verdad y la manera como el sentido de una proposi-ción está articulado con el sistema al que pertenece. Se introdujo también el concep-to de familiaridad para explicar en qué medida la investigación de clarificación pre-tende llevar la filosofía al reposo. Por último nos ocupamos del papel de los ejemplosen la nueva metodología wittgensteiniana. En particular, hemos resaltado especial-mente su uso como objetos de comparación. Contamos, entonces, con las herra-mientas preliminares que nos permiten ocuparnos del problema general asociadocon la exigencia de fundamentos.

“El navegante que se encuentra cerca de la orilla puede decirse:‘Dirijámonos hacia ese montículo, hacia ese cabo, hacia esa torre.’

Pero llega un momento en que se aleja de la costay sólo puede orientarse por las lejanas estrellas

y la brújula, que le enseñan el camino que debe seguir.Tanto las estrellas como las brújulas nos han sido dadas”.

León Tolstoi1

“Lo que hay que aceptar, lo dado –podríamos decir- son formas de vida”.Ludwig Wittgenstein2

El problema de la exigencia de fundamentos tiene en filosofía muchas variantesy varias formas de presentación. Como quiera que se enfoquen las cosas el proble-ma puede plantearse más o menos en los siguientes términos: ¿qué nos hace pen-sar que nuestras formas de representación son las correctas o, en el peor de loscasos, las más adecuadas? El problema puede restringirse o adoptar formas localesadecuadas a ciertas regiones epistemológicas. Así las cosas, una es la preocupa-ción del matemático interesado por los fundamentos, otra es la preocupación delfísico, del biólogo, del historiador y del filósofo quien encara la pregunta más abstrac-ta posible. Este problema puede conducir a tres alternativas posibles: (i) hay unasuerte de realidad que me obliga a ver las cosas tal como las vemos (el constreñi-miento es exterior); (ii) soy yo quien prescribe que es correcto o adecuado ver lascosas en la forma en que las vemos (el constreñimiento es interior); (iii) nada meobliga a ver las cosas como las vemos. En el segundo caso no estamos pensando enuna forma de relativismo anclado en la máxima: “el hombre es la medida de todaslas cosas”, sino en una alternativa trascendental al estilo kantiano. La exploraciónwittgensteiniana cierra las puertas tanto para (i) como para (ii). Lo hace, sin embargo,

CAPITULO 4WITTGENSTEIN:

ACERCA DE LA EXIGENCIADE FUNDAMENTOS

1 Tolstoi, León. La Sonata a Krautzer. En Obras Selectas, Tomo III, Ediciones Aguilar, Madrid 1981, p. 354.2 IF, parte II, XI, p. 517.

apoyado en una estrategia bastante original: no quiere mostrar que las tesis de (i) y(ii) son falsas. Su intención es mostrar que carecen de sentido. Es decir, responden ala expectativa originada por una investigación aparente. Entender cabalmente estaestrategia nos permite a su turno entender por qué adopta Wittgenstein una versiónmoderada de (iii). Quiero decir moderada pues Wittgenstein no defiende ni proponealguna variante de relativismo. Los sistemas en los que nuestras proposiciones des-criptivas cobran sentido no son un punto de partida más o menos arbitrario, comoexige el relativista, sino que son el elemento vital de la argumentación (SC, § 105).Entender cabalmente tal estrategia nos permite también vislumbrar con una mayorclaridad la posición de Wittgenstein frente al programa de Hilbert.

Nuestros ejercicios descriptivos están apoyados en ciertas prácticas al margende las cuales ya no es legítimo formular ninguna duda. Quiero restringirme especial-mente a las confusiones que surgen en el ámbito de la construcción de teorías. Todasnuestras investigaciones exigen una unidad de criterios gramaticales. Pero estos cri-terios no dan cuenta de ninguna realidad ni se fundamentan en un acto de introspec-ción. Más allá de estas prácticas no podemos ir. Pero ellas no operan como el funda-mento inamovible, sino que es el hecho de girar alrededor de ellas lo que les da elcarácter aparente de inmovilidad. La investigación de Wittgenstein, como tratamosde recomendar en el capítulo anterior, desea hacer patente lo que está ante nuestrosojos, no pretende mostrar que lo inconmovible yace de alguna manera oculto. Aque-llo que desea mostrar Wittgenstein no se puede hacer patente por medio de propo-siciones. La expresión “hay objetos” nos muestra algo patente y presente en todasnuestras investigaciones. Nuestro error, en cuanto filósofos que queremos establecerlas condiciones absolutas que permiten aferrarnos a cierta proposición, consiste encreer que “hay objetos” es una proposición que nos ilustra una verdad superpoderosa.Dicha expresión, en palabras de Wittgenstein, es sólo un intento frustrado de expre-sar lo que no se puede expresar de ese modo (SC, § 37). Nuestra vida se apoya enciertas convicciones3, como veremos más adelante. Después tratamos de expresartales convicciones por medio de proposiciones y forjamos la ilusión no sólo de unsuperconocimiento sino de una investigación que pretende erigirse en la condiciónde todo conocimiento posible. La distinción entre decir y mostrar vuelve a ser elcentro de las preocupaciones. En este caso, a diferencia de la exploración que ade-lantamos en el segundo capítulo, la distinción ni se apoya en un rasgo del simbolismoni obedece a unos límites claramente prefigurados.

En el primer capítulo hemos presentado las pretensiones del programa de Hilberty las consecuencias filosóficas que Gödel pretendía derivar a partir de su teorema.Hemos hecho esto para ilustrar el tipo de prosa que suele acompañar a la actividadmatemática y que ha de convertirse en el blanco de las críticas de Wittgenstein. En el

3 Esta no es la palabra más acertada pues no se trata de advertir una serie de principios de los cuales estamosplenamente convencidos (SC, § 103). No obstante haremos uso de ella de la misma manera en que Frege se valía deexpresiones inadecuadas en su conceptografía con el ánimo de producir en nosotros elucidaciones.


segundo capítulo ilustramos la argumentación wittgensteiniana presente en el Tractatusy que permite contemplar la falta de sentido de las proposiciones de la matemática.Ilustramos también la actitud y la intención elucidatoria de la filosofía de Wittgenstein.En el tercer capítulo exploramos las variaciones en la noción de sentido a raíz delcambio de perspectiva en la obra de Wittgenstein. Exploramos especialmente laimportancia del sistema, la independencia entre sentido y verdad para el caso de lasproposiciones efectivamente descriptivas, la importancia de una visión sinóptica orien-tada a desentrañar confusiones filosóficas y el papel de la elucidación por ejemplos.El conjunto de reflexiones presentadas hasta el momento nos permite explorar lanueva perspectiva de Wittgenstein frente al sentido de las proposiciones matemáti-cas. No obstante, debemos ocuparnos en primer lugar de la perspectiva del autorfrente a la exigencia de fundamentos. En este caso ampliaremos el análisis de lasreglas gramaticales sugerido en el capítulo anterior. Mostraremos también que lamasa de reglas gramaticales es una masa heterogénea. Por último, haremos unosbreves comentarios, a la manera de corolarios, acerca de la actitud de Wittgensteinfrente al programa de Hilbert. Todo esto antes de encarar detenidamente el problemade la demostración matemática y su relación con el sentido de tales proposiciones.

4.1 El problema de los fundamentosCuando pensamos en el contraste entre el Wittgenstein del Tractatus y el

Wittgenstein de las Investigaciones y Sobre la certeza, hemos de atender, entre otrascosas, la diferencia radical que existe en cuanto a la consideración acerca de lo quenos ha sido dado. Pasamos de los posibles estados de cosas a las formas de accióno juegos de lenguaje. La pregunta por los fundamentos de una disciplina, de unaproposición o de una convicción suele conducirnos, como si se tratara de un espejis-mo, a buscar sin descanso un punto firme desde donde podamos divisar el sistemacompleto sin percibir, en principio, ninguna incomodidad. No es de extrañar, enton-ces, la figura de Frege, quien refiriéndose a la seguridad de las matemáticas insistíaen preguntar qué sostiene tan firmemente arraigada esa roca ante la inutilidad de losesfuerzos por moverla4. La posición de Wittgenstein frente a la pregunta por los fun-damentos es, sin duda, una posición difícil de entender, dado que estamos acos-tumbrados a oír o a esperar una respuesta diferente. Estamos dispuestos a oír algode la siguiente naturaleza: “nuestra seguridad se funda en el conocimiento absoluta-mente seguro que tenemos a propósito de...”; o, “nuestra seguridad se funda en laposibilidad siempre presente de someter a verificación tal conjunto de proposicio-nes”; o, “aunque no pueda hallar un fundamento sólido y seguro procurare compor-tarme como si lo tuviera”; o, “debes conformarte con la probabilidad, realmente nun-ca estarás seguro”. Tales respuestas, aunque apunten en direcciones completamente

4 La observación de Frege dice así: “Después de que uno se haya convencido de la inconmovilidad de una rocaante la inutilidad de los esfuerzos para moverla, se puede preguntar qué es lo que la sostiene con tanta firmeza.” Frege,Gottlob (1884) § 2.


diferentes, se identifican en reconocer que la pregunta que indaga por los fundamen-tos últimos es, de alguna manera, una pregunta legítima. La respuesta de Wittgenstein,si es que podemos llamarla una respuesta, debilita precisamente ese marco com-partido por las alternativas anteriores. Es decir, debilita la posibilidad de la preguntamisma.

Las exploraciones wittgensteinianas poseen la virtud de provocar desconciertoy perplejidad en el lector o en el auditorio. No te enseñan o sugieren un camino quepodrías seguir, tan sólo te llevan a un marco de desconcierto en el que te vesobligado a reaccionar y a revisar muchas veces la forma como has planteado lapregunta que te incomoda. El siguiente aforismo, por ejemplo, ilustra la actitud deWittgenstein hacia la preocupación obsesiva por establecer los fundamentos últi-mos de algunas de nuestras creencias o convicciones: “No aprendo explícitamentelas proposiciones que para mí son incuestionables. Puedo descubrirlas posterior-mente como el eje en torno del cual gira un cuerpo. El eje no está inmóvil en elsentido de que haya algo que lo mantenga fijo, sino que su inmovilidad está deter-minada por el movimiento en torno de él.” (SC, §152). Cuando pensamos en unaconstrucción, imaginamos que la estabilidad de la obra dependerá, en forma casiexclusiva, de la seguridad con la que se arraigan sus cimientos. Es difícil renunciara tal idea, entre otras razones porque no es del todo injustificada. Queremos pen-sar, sin embargo, que podemos extender sin más la analogía para dar cuenta de lasolidez estructural de edificios intelectuales como la matemática o la física. Pre-guntamos, entonces, a la manera de Frege, ¿cuál es la naturaleza última de loscimientos de la matemática que ha hecho posible que el sólido edificio resulte paranosotros inamovible?. O preguntamos también, a la manera de Kant, ¿cómo sonposibles los juicios sintéticos a priori? O, a la manera de Descartes, ¿cuál es elpunto firme a partir del cual puedo derivar, como si se tratara de una sucesión deperlas encadenadas, todas las proposiciones que tengo por verdaderas? Así lascosas, una metáfora nos conduce irremediablemente a una pregunta, que a prime-ra vista parece bien planteada. Siguiendo la recomendación de Wittgenstein en susLectures on the foundations of mathematics, debemos procurar una transformaciónradical en la forma de asumir la analogía. Esto es, estamos frecuentemente inclina-dos a decir: “todas estas cosas aunque parecen diferentes, son exactamente lomismo”, ahora debemos procurar imponernos la siguiente máxima: “todas estascosas, aunque parecen la misma, son realmente diferentes”. Wittgenstein no per-mite que se imponga la metáfora, o mejor, la imagen del edificio sólidamentearraigado en piso firme. Para ello deja, más bien, que en su pensamiento se impon-gan otras imágenes que recomiendan un cambio de perspectiva. Veamos un ejem-plo: “He llegado al fondo de mis convicciones. Y casi podría decirse que estefundamento es sostenido por el resto del edificio.” (SC, § 248). El fundamento ya noes el soporte del edificio; es precisamente la solidez del edificio en su conjunto la


que determina el papel sustancial que le asignamos al fundamento5. Noinmovilizamos un punto para que el sistema gire con comodidad en torno a él. Es elmovimiento el que nos permite contemplar de una manera particular ese punto cen-tral: “Lo que se mantiene firme”, complementa Wittgenstein, “lo hace no porqueintrínsecamente sea obvio o convincente, sino porque se sostiene en lo que le rodea.”(SC, § 144). Cuando Anaximandro, veinticinco siglos atrás, propuso que la Tierra nonecesitaba ningún soporte adicional, que ella se encontraba, por decirlo de algunamanera, autosostenida en el centro del universo, no estaba con ello aportando unconocimiento adicional que debía sumarse al conjunto de verdades establecidas.Estaba sugiriendo un cambio de perspectiva. No estaba resolviendo un problema,estaba eliminando una pregunta. Las gigantescas tortugas egipcias que sostenían laTierra, o el agua de Tales que servía de soporte a la misma, no aparecen ya antenuestros ojos como hipótesis que, aunque plausibles, tuvimos que abandonar enalgún momento; aparecen, más bien, como curiosidades que surgieron al no existirclaridad acerca de la dinámica de la investigación. En otras palabras, son respuestasa una pregunta que nunca debió formularse. Ahora bien, con las preguntas de Frege,Kant y Descartes conviene practicar una terapia similar a la formulada porAnaximandro6.

Exploremos, en un comienzo, de dónde proviene la exigencia de un fundamento.Una respuesta tan tosca y simple como acertada se nos impone: la exigencia provie-ne de la posibilidad ilimitada de preguntar. O, en otras palabras, no advertimos cuán-do hay que suspender la actitud inquisitiva. La habilidad que hemos adquirido paraponer en duda nuestras convicciones y que resulta a la postre demasiado útil encircunstancias cotidianas, nos envuelve en una trampa cuando nos sentimos conderecho a extender sin más los alcances del ejercicio de la duda. Dado que enciertos contextos es legítimo que me pregunte o ponga en duda si hay o no alguienen el cuarto vecino, imagino también que puedo poner en duda la existencia o noexistencia de objetos en el espacio físico. En el segundo caso estoy haciendo unaextensión indebida de un ejercicio que si se mantiene en un contexto adecuado notiene por qué suscitar en mí perplejidad alguna. ¿Cuáles son entonces los límitesnaturales de la duda? Con seguridad la expresión “límites naturales” provoca aquíalguna incomodidad y conviene hacerle frente desde el comienzo. Queremos pensaren la posibilidad de imaginar contextos en los que la duda es legítima y contextos enlos que imaginar la duda nos obligaría a cambiar todos nuestros esquemas, todasnuestras convicciones, así como nuestras prácticas más arraigadas. En una mañana

5 En las Observaciones sobre los fundamentos de la matemática Wittgenstein acude a metáforas descritas en ellenguaje de la arquitectura. Con el ánimo de aclarar el papel de la proposición de Cantor según la cual 2ℵo>ℵ0 Wittgensteinsugería la siguiente figura: “Provisionalmente se trata de una pieza de arquitectura matemática que pende en el aire,que parece, digamos, un arquitrabe, pero que ni es soportada por nada ni soporta nada.” (RFM, II, § 35).

6 Algunos fragmentos en la obra de Wittgenstein sugieren esta analogía estrecha con Anaximandro. Véase, por ejemplo,la diferencia que cita Wittgenstein entre sistemas basados en principios –similares a casas que descansan sobre los murosmás bajos- y sistemas derivados de ellos –similares a casas que flotan como objetos celestes- (GF, II, III, 12).


corriente, delatado por el sudor inexplicable sobre mi cara, despierto con un ciertosentimiento de ansiedad provocado por la duda, despierto pensando en la posibili-dad de que mi mano no exista. Si esto ocurre en la habitación de un hospital, un díadespués de haber sido sometido a una intervención quirúrgica después de una graveaccidente motociclístico, he de concluir que mi estado de duda y de zozobra estámás que justificado. Debo provocar un cierto estado de compasión en los demáscuando se percatan de que al observar con perplejidad los vendajes que cubren mimano se delata mi deseo de ver a través de ellos para confirmar si aún existe la manointacta. Ahora bien, si ese sentimiento de duda está provocado por la práctica dealguna clase de meditación filosófica, no podría, entonces, resistirme a pensar quese trata de una excentricidad; más aún si se ajusta al siguiente esquema: dado quelos sentidos me han engañado alguna vez, bien podría ocurrir que ahora me impulsena creer que esta mano que veo y que creo que me pertenece no exista; y dadotambién que en muchas ocasiones he soñado con viva intensidad estar combatiendocontra monstruos mitológicos, bien podría ocurrir que ahora sueñe con una manodispuesta a obedecer las órdenes que provienen de mi voluntad. Este no sería ya uncontexto legítimo de duda, y si antes de firmar un cheque expreso mi duda y expongolos argumentos que me conducen a ella, no podría hacer otra cosa más que desper-tar la ira más impaciente. El ejemplo ilustra dos situaciones que nos permiten con-trastar entre un contexto legítimo de duda y un contexto en el que se abusa de lasposibilidades del ejercicio de la duda.

La duda está motivada por el temor al error. Sin embargo, conviene distinguir,como lo hace Wittgenstein, entre un error y una perturbación mental. Aquel que sos-pecha que 12x12 no es 144, puede armarse con lápiz y papel y desvanecer, a conti-nuación, el temor al error. Pero aquel que sospecha que toda su vida ha habladoalemán creyendo que había estado hablando español ha de sufrir una perturbaciónmental. Los contrastes entre contexto legítimo y contexto ilegítimo, o entre error yperturbación mental están presentes a lo largo de toda la exploración wittgensteinianaen Sobre la certeza. En los aforismos 219 y 220 explora Wittgenstein la noción dehombre razonable. Allí dice lo siguiente: “Para mí, como hombre razonable, no puedeexistir duda alguna al respecto [se refiere a la posibilidad de haber estado alguna vezen la estratósfera]. -Es así-. El hombre razonable no tiene ciertas dudas.” (SC, §§ 219-220) ¿A qué se refiere Wittgenstein con la alusión a un hombre razonable? La primeratentación que hay que evitar es precisamente la de hacer alguna alusión al hombre debuen sentido explotada por Descartes en el Discurso del Método. El hombre razona-ble no es el que hace un uso adecuado de una virtud que avizoramos como esenciala la naturaleza humana, el que se siente en posesión de un don divino. Cada uno denosotros pertenece a una comunidad unida por los lazos tendidos por la unidad deacción que nos convoca. El hombre razonable es el que pasa desapercibido en lacomunidad. Esta explicación obviamente pretende resaltar el contraste entre el hom-


bre razonable y el perturbado mentalmente. No llamamos hombre razonable a aquelque dice no admitir o que alberga dudas acerca de aquellas cuestiones que seencuentran íntimamente arraigadas en nuestras formas de acción compartidas. Quiensostiene, por ejemplo, que tiene buenas razones para pensar que el mundo pudo sercreado hace 5 minutos. El hombre razonable comparte con nosotros la lógica denuestras investigaciones. Esto significa que se comporta de tal manera que no poneen duda ciertas cosas, que reconoce que la exploración que pretende eliminar unaduda legítima pertenece ya a un juego que ha puesto algunas cuestiones al margende toda duda. Esas cuestiones se expresan ya en nuestra forma compartida deactuar. “Mi vida”, dice Wittgenstein, “se basa en darme por satisfecho con muchascosas.” (SC, § 344) El hombre razonable es aquel que se da por satisfecho con lasmismas cosas que satisfacen a la comunidad a la que pertenece. La duda quepretende dudar de todo no es, stricto sensu, una duda legítima. Este es precisamen-te uno de los resultados de la revolución copernicana que pretende Wittgenstein enSobre la certeza: no es el conocimiento seguro el que exige el ejercicio previo de unaduda metódica; es la posibilidad de la duda la que exige un estado previo de segu-ridad. Aquello que se ha puesto precisamente al margen de toda duda se expresa enla unidad que se da en nuestra acción. El químico profesional que mezcla un par desustancias en una probeta puede encontrarse agobiado por una cantidad importantede dudas o interrogantes; está, por ejemplo, expectante frente a la reacción, no sabequé puede ocurrir o, al menos, puede tener serias dudas al respecto. Sin embargo,no puede empezar por poner en duda que lo que tiene en sus manos es una probeta,que tan pronto como vierta los líquidos en ella, ninguno de ellos se resistirá a descen-der ni atravesará las paredes de la probeta. Si tuviera dudas al respecto no podría-mos llamarlo uno de los nuestros, diríamos o bien que sufre de una perturbaciónmental, o bien que no comparte con nosotros la lógica de nuestras investigaciones7.

7 Dada la fuerte y clara influencia de Frege sobre Wittgenstein quiero citar en extenso un parágrafo del Grundgesetzeder Arithmetik donde Frege introduce la figura de una perturbación mental. Con el ánimo de distinguir claramente entreleyes lógicas y leyes psicológicas, Frege construyó el siguiente profundo argumento. “Yo entiendo por leyes lógicas noleyes psicológicas del sostener como verdadero, sólo las leyes del ser verdadero. Si es verdadero que estoy escribiendoesto en mi cuarto el 13 de julio de 1893, que silba el viento en el exterior, entonces esto resulta verdadero aún si alguienmás tarde sostuviese esto como falso. Si ser verdadero es entonces independiente de ser reconocido como verdaderopor alguien, entonces las leyes de la verdad no son leyes psicológicas, sino hitos apostados en una base eterna, quenuestro pensamiento puede pasar de lado pero no echar fuera... Desde luego, la concepción de las leyes lógicas deErdman es bastante diferente. El duda de su validez absoluta y eterna y quiere restringirlas a nuestro pensamiento tal ycomo él se encuentra en el presente. ‘Nuestro pensamiento’ puede en verdad únicamente significar pensamiento hu-mano tal y como es conocido a la fecha. De acuerdo con esto queda abierta la posibilidad de descubrir humanos u otrosseres quienes juzgan contradiciendo nuestras leyes lógicas. ¿Qué diríamos si esto ocurriese? Erdmann diría: allí se veque esos principios no son universalmente válidos. Seguramente! –si se supone que aquellas son leyes psicológicas,entonces sus expresiones lingüísticas deben dar a conocer la clase de seres cuyo pensamiento es empíricamente go-bernado por ellas. Yo diría: Hay entonces seres que no reconocen inmediatamente ciertas verdades tal como lo hace-mos nosotros, tienen que atenerse talvez a un largo camino de inducción. ¿Pero qué ocurriría si fueran encontrados se-res cuyas leyes del pensamiento contradicen directamente las nuestras y en consecuencia frecuentemente llegaran aresultados contrarios en la práctica? Los lógicos psicológicos podrían únicamente reconocer esto y decir: aquellas le-yes son válidas para ellos, estas lo son para nosotros. Yo diría: aquí nosotros tenemos una clase de locura hasta ahoradesconocida para nosotros. Alguien que entiende las leyes lógicas como prescribiendo cómo debe alguien pensar, comoleyes del ser verdadero, no como leyes naturales del sostener como verdadero para los seres humanos, preguntará: quiénestá en lo correcto. ¿Cuáles leyes lógicas del sostener como verdadero están de acuerdo con las leyes del ser verdade-


En este caso, sugiere Wittgenstein, no podríamos convencerle de que se encuentraen un error sino persuadirle para que adopte nuestra particular forma de actuar. Elhombre razonable no pretende explorar más allá de lo que ha quedado al margen dela duda. No lo hace, no por una especie de ingenuidad o precipitación en su manerade juzgar. Simplemente no lo hace. El no hacerlo pertenece a la lógica de nuestrasinvestigaciones. Si alguien afirma que “la Tierra existe desde hace tan sólo 5 minutos”no muestra con ello que posee una teoría muy peculiar acerca del mundo. Muestracon ello que no entiende el sentido de la proposición que profiere. Hay enunciados,como veremos más adelante, que aportan el criterio para afirmar que quien los pro-fiere entiende tales enunciados (SC § 80).

La duda está motivada por el temor al error. Eso es cierto. Sin embargo el con-cepto de error supone ya un marco de referencia que hace posible un criterio dedecisión. La duda se torna ilegítima cuando pretendemos extenderla a dicho marcode referencia. Hablamos de error sólo en aquellos lugares en los que se ha prescritoun marco de seguridad para juzgar. Si tú sospechas que 124x218 no es 27032, quepuedes, al cotejar dicha expresión, cometer un error, debes admitir de antemano unmarco de referencia que te permita salir del estado de duda. Puedes, por ejemplo,confiar en el reporte de una calculadora. No obstante, aún podrías albergar algunaclase de desconfianza dado que las variables electrónicas con las que opera el apa-rato definitivamente no están bajo tu control, o dado que la etiqueta que encuentrasen la parte posterior del aparato reza así: made in Taiwan. Puedes, en consecuencia,decidirte a tomar el toro por sus cuernos. Te armas con lápiz y papel y transcribes elsiguiente arreglo de números:

124 x 218 992

124 248

27032

ro?” (Frege, G. (1893), p. xvi (p. 203), el subrayado es mío). No me interesa estudiar en qué sentido la crítica de Frege a Erdmannse puede extender a Wittgenstein (de hecho Wittgenstein no defiende alguna clase de relativismo como el que se insinúaen el caso de Erdmann), tampoco me interesa la réplica de Wittgenstein a la supuesta absoluta universalidad e indepen-dencia de las leyes lógicas en Frege. ¿Qué diría Frege si cada uno de los miembros de las diferentes comunidades declaraal otro de loco o hereje? Aunque Wittgenstein está de acuerdo con Frege en que tendríamos que tratar al contrincante deloco, no cree, como talvez sí lo hace Frege, que podamos ofrecerle argumentos absolutamente contundentes para demos-trarle que se encuentra en un error. A lo sumo podríamos persuadirlo de adoptar nuestra particular imagen del mundo. Haydos puntos que quiero resaltar y en los que creo que tanto Wittgenstein como Frege coinciden. En primer lugar, aquello quellamamos leyes lógicas no son leyes psicológicas, no son leyes que describen el pensamiento correcto. Para Frege son le-yes del ser verdadero y para Wittgenstein son reglas gramaticales (no quiero, sin embargo, ahondar en la diferencia). Ensegundo lugar, si encontramos a alguien que afirma contradecir las leyes lógicas (bien sean ellas leyes del ser verdadero, oreglas gramaticales), hemos de reconocer en él una clase de locura hasta ahora desconocida para nosotros. O, en laspalabras de Wittgenstein, diríamos de él que no es un hombre razonable. Hay, sin embargo, una gran diferencia. MientrasWittgenstein defiende la autonomía de la gramática sin que ello implique una defensa de alguna forma de relativismo a lamanera de Erdmann, Frege defiende algún tipo de constreñimiento que nos obliga ajustarnos a ciertas leyes lógicas y no aotras. Para Wittgenstein la gramática está autosostenida, como se desprende claramente del seguimiento de Sobre la Cer-teza, mientras para Frege la lógica responde a un tipo de realidad platónica.


En este caso controlas todos los criterios de decisión. Si aún así quieres poner enduda que la cifra inmediatamente después de la primera línea sea 992, o, en otraspalabras, no estás seguro que 8x4 sea 32, diremos entonces que no compartes connosotros el marco de referencia. En ese momento no existe un recurso exterior alcálculo mismo que te cure de tu obstinación. Es cierto que puedo desplegar unacantidad no despreciable de recursos didácticos para que abandones tu terquedad.Puedo, por ejemplo, dibujar el siguiente esquema e invitarte a contar:

x x x x x x x xx x x x x x x xx x x x x x x xx x x x x x x x

Con estas prácticas no te estoy convenciendo, te persuado a que reconozcas elmarco de referencia compartido que te permitirá abandonar el estado de duda inicial.Si aún así te obstinas en la duda, debo pensar que aún no dominas el juego de lamultiplicación. Es posible que me anime, entonces, a buscar en ti una etiqueta querece: Made in Mars.

Nadie puede pedirnos aquí que justifiquemos la esencia del cálculo. “¡Calcula-mos así!” debe ser una respuesta suficiente. Claro que podemos imaginar unacomunidad que calcula ajustándose a reglas totalmente diferentes. Ese ejercicioconviene hacerlo para mostrar que, de alguna manera, los dos sistemas son igual-mente arbitrarios. En otras palabras, calculamos así, no porque esa sea la formacorrecta de calcular, o porque algún acontecimiento externo o interno ejerza sobrenosotros alguna clase de coerción que nos impone la forma correcta de calcular.“Calculamos así” es la expresión de una decisión. El término decisión puede hacer-nos pensar equivocadamente en un estado psicológico. No se trata de eso y debe-mos esforzarnos, nuevamente, por subrayar más las diferencias que las semejan-zas. Cuando me dispongo a asistir a una reunión, suelo ubicarme al frente de unconjunto de trajes, hago algunos cálculos relacionados con el tipo de personas queasistirá a la reunión y las circunstancias de la misma y, finalmente, tomo una deci-sión. Es claro para mí que he podido tomar una decisión diferente. Una evaluacióninterna, por decirlo de alguna manera, me condujo a la decisión. Cuando se trata deun cálculo, como el que hemos explorado a manera de ejemplo, es claro que noexiste tal evaluación interna: no contemplamos varios cálculos, como trajes en unaarmario, para evaluar posteriormente cuál es el más conveniente. ¿Cuál es, enton-ces, el parecido de familia que pretende subrayar Wittgenstein? No hay nada queme obligue a calcular de una manera más bien que de otra; aún así calculo de unamanera más bien que de otra. Aunque podría calcular de otra forma, aún así no lohago. Calculo regularmente de la misma manera. La gramática del cálculo exige


una unidad en los criterios y en la aplicación. Si cada vez que voy a realizar unasuma o una multiplicación me ajusto a criterios diferentes o aplico las reglas de unamanera enteramente caprichosa, no hay duda que el cálculo perdería por completosu utilidad. La gramática del cálculo exige, pues, una uniformidad en la aplicación.Ahora bien, la uniformidad no me es impuesta por la presión que ejerce sobre míalguna clase de sucesos o situaciones externas al cálculo mismo, no surge de lapresión deliberada que la comunidad ejerce sobre mí, tampoco es el resultado deuna juiciosa inducción: dado que siempre me he topado con un esquema similar alsiguiente:

x x xx x x

confiaré entonces en que 2x3 es 6.La uniformidad en la aplicación del cálculo hace parte de lo que nos ha sido

dado. Si he de seguir siendo considerado un hombre razonable, he de admitir que enlos contextos de aplicación de un cálculo no puedo separarme a voluntad de lasreglas y criterios compartidos por la comunidad. Pero no se trata de un ejercicio queme obliga a someter la voluntad a los criterios de la conveniencia. Se trata simple-mente de que la posibilidad de cuestionar tales criterios no se plantea en ningúnmomento. Es como si una decisión me mantuviese firmemente arraigado a las prác-ticas de vida compartidas por una comunidad. No me convenzo inicialmente de laconveniencia de las prácticas para edificar, a partir de ellas, la unidad de acción.

El aforismo 49 en Sobre la certeza introduce el término decisión a propósito de loscálculos. Sin embargo, lo introduce con una timidez tal que puede dar origen a mayo-res malentendidos. Dice Wittgenstein: “Pero, recuerda: incluso mi consideración deque el cálculo está firmemente establecido no es más que una decisión con unafinalidad práctica.” (SC, § 49). El complemento “... con una finalidad práctica” es elque puede dar origen a un malentendido. Podemos, por ejemplo, pensar que esta-mos estableciendo una analogía con la elección de un traje para una reunión social.Es decir, optamos por tal cálculo porque se ajusta a las exigencias de nuestrasnecesidades prácticas. Si el cálculo no se ajustara a nuestras necesidades prácticasposiblemente ya lo habríamos abandonado o lo habríamos conservado en calidad decálculo estéril. Hay que advertir que una cantidad inmensa de cálculos matemáticospertenece a esa categoría de cálculos estériles. Aunque el cálculo se ajuste a nues-tras necesidades prácticas allí no reside su fundamento. Lo interesante en el aforis-mo de Wittgenstein reside en el hecho de resaltar que la solidez del cálculo no tras-ciende una decisión. En los aforismos recogidos en las Observaciones sobre losfundamentos de la matemática el tratamiento es de hecho más completo. Veamosen extenso la formulación que aparece en la parte VI:


“Tengo un determinado concepto de la regla. Si se la sigue en este sentido,sólo puede llegarse de este número a este otro.” Esta es una decisión espontánea.Pero ¿por qué digo ‘tengo que’ si se trata de una decisión mía? Bueno ¿es que nopuedo tener que decidirme? Que se trate de una decisión espontánea, ¿no signi-fica sólo: así actúo; ¡no preguntes los motivos!? Dices, tienes que; pero no puedesdecir qué es lo que te obliga. Tengo un determinado concepto de la regla. Sé lo quetengo que hacer en cualquier caso particular. Sé, esto es, no dudo: lo tengo claro.Digo: “Obviamente”. No puedo ofrecer motivo alguno. Si digo: “Yo decido espon-táneamente”, eso no quiere significar, naturalmente: considero qué número seríaaquí el mejor y me decido entonces por... (RFM, VI, § 24).

En ese orden de ideas, cuando Wittgenstein habla de una decisión en el contextoque estamos comentando, no hace alusión a un estado psicológico. El término alu-de, más bien, a una condición lógica de nuestras investigaciones. Se trata de otraforma de decir: “en este punto no puedes formular más preguntas, yo tampoco tepuedo ofrecer más respuestas.” Nada me constriñe, nada me obliga. Y, aún así, nome aparto de la uniformidad que exige la aplicación del cálculo, me mantengo, pordecirlo de alguna manera, en el lecho del río. Esto es lo más parecido a una conductaanimal. No hay razones que impongan sin restricción mi forma de actuar. Siempreque puedas imaginar una justificación extravagante para la duda, puedes hacerlo,puedes pensar, si así lo deseas, que un genio maligno te ha hecho creer que provie-nes del encuentro afortunado de dos seres humanos cuando en realidad una cigüeñate ha transportado desde un almacén de bebés que han sido creados en serie.Aunque puedo formular esa clase de hipótesis y puedo construir narraciones o ficcio-nes que de alguna manera tranquilizan mi espíritu porque lo conducen a un punto enel que no se siente tentado a formular más preguntas, no por eso llamamos a taleshipótesis el fundamento de nuestra acción. La experiencia tampoco se ha encargadode poner en evidencia que mi forma de actuar es la más adecuada, la confianza enuna ley de inducción no es una metamáxima que impone una especie de control decalidad sobre nuestras aseveraciones. La confianza en que mañana se repetirán losefectos siempre que las circunstancias sean parecidas no es el fundamento de nues-tra acción, es parte de la misma, es decir, forma parte del conjunto de expectativasque acompañan al hombre razonable. Si en verdad albergara alguna duda acerca dela posibilidad de que el Sol vuelva a iluminarnos al día siguiente, tendría, en conse-cuencia, que tomar medidas radicales, me aprovisionaría en el supermercado, porejemplo, de una cantidad importante de linternas. “En este punto,” insiste Wittgenstein,“quiero observar al ser humano como a un animal: como a un ser primitivo al que leatribuimos instinto pero no razonamiento. Como un ser en estado primitivo. No noshemos de avergonzar de una lógica que es suficiente para un modo primitivo decomunicación. El lenguaje no ha surgido de un razonamiento.” (SC, § 475)


Volvamos al sistema de referencia. Algunos párrafos atrás señalamos que elconcepto de error supone un marco de referencia que aporta los criterios de decisión.“Cualquier prueba,” señala Wittgenstein, “cualquier confirmación y refutación de unahipótesis, ya tiene lugar en el seno de un sistema. Y tal sistema no es un punto departida más o menos arbitrario y dudoso de nuestros argumentos, sino que pertene-ce a la esencia de lo que denominamos una argumentación. El sistema no es elpunto de partida, sino el elemento vital de los argumentos.” (SC, § 105). Si no haysistema, no hay investigación. No hay investigación que nos conduzca a inmovilizarun sistema, pues toda investigación supondría ya un sistema inmovilizado. “La Tierrareposa sin soporte alguno en el centro del universo”, he ahí la condición de nuestrasinvestigaciones. El sistema de referencia hace parte de lo dado. En este punto en-contramos, sin duda, una transformación radical entre la postura sostenida en elTractatus logico philosophicus y la postura de las reflexiones ulteriores. El Tractatusestá caracterizado por la defensa radical de una forma de atomismo lógico. “Unsigno característico de una proposición elemental es que ninguna proposición ele-mental puede estar en contradicción con ella.” (TLP, 4.211), “De una proposición ele-mental no se puede inferir ninguna otra.” (TLP, 5.134), “De ningún modo es posibleinferir de la existencia de un estado de cosas la existencia de otro estado de cosasenteramente diferente de aquel.” (TLP, 5.135). La proposición figura la realidad, y lohace a la manera de una escala aplicada a la misma. Sólo que únicamente lospuntos extremos tocan al objeto que ha de medirse. El esquema de la regla en suconjunto y el esquema de la realidad permanecen, por así decirlo, distantes. Lasprimeras incomodidades frente al Tractatus surgieron precisamente después de ad-vertir la urgente necesidad de hacer referencia al sistema completo antes que aferrar-se a la naturaleza supuestamente autosuficiente de la proposición elemental. El sen-tido de una proposición, como hemos mostrado en el capítulo anterior, no se puedeentender al margen del sistema al cual se encuentra incorporado. El sistema aportael hálito vital de las proposiciones.

El recurso al sistema como el espacio vital de la argumentación se hizo mássólido en las obras tardías del filósofo austríaco. El sistema incorpora algo más queun conjunto de proposiciones. El sistema incorpora las reglas internas de transforma-ción, las reglas gramaticales, las cuestiones inmovilizadas, los criterios de aplica-ción, las normas de descripción, etc. “No aprendemos”, dice el filósofo, “la prácticade los juicios empíricos mientras aprendemos reglas; lo que se nos enseña sonjuicios y sus conexiones con otros juicios. Lo que nos llega a parecer verosímil es unatotalidad de juicios.” (SC, §140) La totalidad de juicios implica también un entramadode prácticas compartidas y una relativa uniformidad en la acción. “Cuando empeza-mos a creer algo,” prosigue el filósofo, “lo que creemos no es una única proposiciónsino todo un sistema de proposiciones. (Se hace la luz poco a poco sobre el conjun-to).” (SC, §141). Nuestra vida transcurre así en una enmarañada red de sistemas.


Estos sistemas constituyen la atmósfera vital de nuestros intercambios. Nos move-mos de un sistema a otro y lo hacemos con tal naturalidad que muchas veces loúltimo que percibimos es la presencia vital del sistema: realizamos cálculos mate-máticos, predecimos tanto las condiciones climáticas como los comportamientosde personas cercanas, reconocemos colores, distinguimos animales y objetos, fabri-camos utensilios, etc.

¿Cómo incorporamos entonces tales sistemas al trasfondo de nuestras prácti-cas? Así como está formulada, la pregunta exige varias aclaraciones. No estamosindagando por una cuestión psicológica, sociológica o antropológica. De hecho tam-poco nos interesa la historia. No hay duda en que habrá elementos de esas esferasque contribuirían a una comprensión más profunda. No nos interesa aportar una teo-ría explicativa. Ello nos obligaría a articular una serie de hipótesis y tendríamos enton-ces que desvirtuar la naturaleza de nuestra investigación que, de entrada, ha de versecomo una investigación conceptual. No queremos poner en orden una serie de he-chos, queremos poner en orden el uso que hacemos de ciertos conceptos. Quere-mos poner orden en el uso de ciertos conceptos circunscritos a ciertas prácticasparticulares, con una intención terapéutica, no con una intención prescriptiva ometodológica. Lo hacemos así para aclarar alguna situación conflictiva en la queaparece algún problema filosófico. La intervención del filósofo wittgensteiniano seorigina, como lo hemos dicho varias veces, en un estado de confusión, no en unestado de ignorancia. La pregunta, que hemos formulado al comienzo del párrafo, esuna pregunta de carácter lógico. Y aquí nuevamente la palabra lógico alude a unaacepción no estándar del término. Estamos hablando de las condiciones en las quefunciona una gramática particular. En ese sentido es también una pregunta de carác-ter filosófico. Y aquí filosófico posee también una acepción particular. No hacemosaquí referencia a establecer alguna clase de condiciones de posibilidad, o algunaclase de estrategias o algoritmos de corte epistemológico, ni a reflexionesfenomenológicas. Queremos, más bien, llevar la filosofía al reposo a través de unejercicio de clarificación conceptual. En el marco de las preocupaciones deWittgenstein, una investigación lógica, una investigación filosófica concebida a sumanera, y una investigación gramatical son la misma cosa. Todas pretenden disolveruna confusión conceptual. Todas pretenden desvanecer ciertas preocupaciones des-pués de advertir que, en algunos casos, estamos abusando de una analogía, o apli-cando un concepto en un contexto inadecuado, o estamos tan sólo reclamando unanueva notación cuando creemos estar haciendo un descubrimiento, o estamos obse-sionados por asignarle a todo sustantivo alguna clase de objeto, etc.

La pregunta que hemos formulado en el párrafo anterior exige, pues, una primerarespuesta de carácter negativo. No incorporamos tales sistemas por medio de unainvestigación, tampoco lo hacemos, por lo general, por medio de una enseñanzadeliberada. Con la expresión enseñanza deliberada nos referimos a una práctica ajus-


tada al siguiente esquema: dado que hay diferentes formas posibles para contar ydado que nuestra comunidad ha encontrado que ésta es la más aconsejable, convie-ne entonces que aprendamos el siguiente esquema de conteo: 1, 2, 3, 4, 5,... Sinduda hay enseñanza y parte de ella debe ser deliberada, pero lo que no es deliberadoes establecer el contacto con el sistema como si de antemano pudiésemos explicar,fundamentar o validar la hipotética elección. La pregunta tampoco puede resolversede una manera unívoca. Nuestro lenguaje opera con y exige conceptos flexibles. Nopodremos trazar divisiones nítidas. Nuestros acercamientos deben tener la forma deexploraciones heurísticas que permitan, en algunas ocasiones, correr la niebla quenos incomoda. Imaginemos, por lo pronto, dos casos que exigen aproximacionesdiferentes. Un niño aprende de un lado a jugar ajedrez y, de otro lado, a contar losobjetos que hacen parte de una agrupación. En los dos casos se da una especie deenseñanza deliberada. Sin embargo conviene más subrayar las diferencias. En elprimer caso se le enseña al niño un conjunto de reglas explícitas. El niño advierte confacilidad que el alfil ha podido moverse de una manera diferente, que si se mueve endiagonal es porque se ha prescrito un movimiento particular. En el segundo caso seprocede de tal manera que el niño no ve posibilidades abiertas, se le enseña a seguirla secuencia: 1, 2, 3, 4, 5,... El no advierte la posibilidad de contar de una maneradiferente así como reconoce que el alfil ha podido moverse de otra manera. Cuandoel niño cuenta está también aprendiendo el significado de la palabra contar, cuandoel niño aprende a jugar ajedrez está enriqueciendo el significado de la palabra juego.

Una forma parcial de resolver la pregunta puede plantearse en los siguientestérminos: incorporamos los sistemas valiéndonos de ejemplos8. La postura deWittgenstein hacia los ejemplos, como lo hemos mostrado en el capítulo anterior,cambió diametralmente. Cambió tanto que cada una de sus obras posteriores puedeverse como un catálogo completo de ejemplos. Cada aforismo de Sobre la certeza,Zettel, Investigaciones filosóficas, Observaciones sobre los fundamentos de la mate-mática y otros escritos posee, como fondo de la elucidación, una referencia a un casoconcreto -un ejemplo-. Wittgenstein se expresaba así en uno de los aforismos enSobre la certeza: “Las reglas no son suficientes para establecer una práctica; tam-bién necesitamos ejemplos. Nuestras reglas dejan alternativas abiertas y la prácticadebe hablar por sí misma.” (SC, § 139). Recapitulemos un poco el problema. Nues-tras prácticas transcurren en una intrincada red de sistemas que yacen allí como eltrasfondo de las mismas. Estos sistemas no se construyen a partir de investigacio-nes, consensos, acuerdos por conveniencia, ni por decreto. Aquellos sistemas dereferencia forman parte de todo lo que un miembro de la comunidad incorpora en suaprendizaje. El aprendizaje modela la aplicación de un sistema de reglas, cierra lasposibilidades que las reglas dejan abiertas. En las Investigaciones filosóficasWittgenstein había planteado la paradoja que tanto sorprendió a Kripke, a saber, una

8 “Los ejemplos son signos decentes, no basura ni manipulación.” (GF, parte II, 9, p. 535).


regla no puede determinar en forma absoluta ningún curso de acción, en otras pala-bras, una regla no define de manera unívoca su aplicación (IF, § 201). Seguir la regla esuna práctica. Sin embargo las reglas no son suficientes para establecer de manerauniforme una práctica. Los ejemplos, según creo entender a Wittgenstein, contribuyena determinar la aplicación unívoca de las reglas. Hacemos aquí mención a uno de lospapeles de los ejemplos comentado en el capítulo anterior, a saber: los ejemplos sonrecursos para explicar el significado de una palabra o el ejercicio de seguir una regla9.

A propósito de la pregunta que continúa sin solución, es decir: ¿cómo incorpora-mos los sistemas de referencia como el trasfondo de nuestras prácticas?, el puntocentral se puede sintetizar en la siguiente anotación: “El juego de lenguaje primitivoque se le enseña al niño no necesita ninguna justificación; los intentos de justificacióndeben ser rechazados.” (IF, parte II, XI, p. 461). Es precisamente por eso que nohablamos de una enseñanza deliberada aunque en muchos aspectos el procesocoincide con una enseñanza de tal tipo. En el numeral XI de la segunda parte de lasInvestigaciones filosóficas Wittgenstein introduce una distinción entre dos usos de lapalabra ver. Uno de ellos hace alusión a la experiencia que ante la pregunta “¿quéves?” va acompañada de la respuesta: “veo esto”, en tanto que el otro uso hacealusión a la experiencia que ante la misma pregunta va acompañada de la respuesta:“veo esto bajo el aspecto de...” Deseo sostener, aunque los verbos que usaré posi-blemente no son los más adecuados, que el ejercicio de incorporar o asimilar unsistema como trasfondo de nuestra acción se asemeja de una manera muy estrechaal segundo uso de ver, es decir, a la experiencia de ver bajo un aspecto10. Cuando unniño aprende nuestras técnicas de contar, sumar o multiplicar incorpora una forma dever bajo un aspecto. Wittgenstein ilustra la distinción que quiere señalar a partir delsiguiente ejemplo: si observamos los siguientes trazos:

i)

ii)

9 En este punto deseo expresar una incomodidad manifiesta con la argumentación wittgensteiniana: para eliminarla posible indeterminación de la regla, el autor parece recomendar una inducción a partir de unos pocos casos. Sólo apartir de unos pocos casos de seguimiento de la sucesión: 2, 4, 6, 8,...,100, me siento con la autoridad para pensar queel individuo podrá continuar la sucesión sin problemas más allá de 100. Así las cosas, no hacemos más que constatar,usando las palabras de Kant, un arte oculto en lo profundo del alma humana.

10 Esta es una extensión de la noción ver bajo un aspecto que debe estudiarse más detenidamente. Wittgenstein haceun análisis muy cuidadoso de dicha noción en el ámbito de la percepción. No obstante el numeral XI de la segunda partede Investigaciones filosóficas encara después casi todos los típicos problemas wittgensteinianos: el acceso privilegiado arepresentaciones privadas, el origen del significado de las palabras, el caso del seguimiento de las reglas, la naturalezagramatical de las investigaciones psicológicas que propone el autor y la extensión de este tipo de investigación al ámbitode la filosofía de las matemáticas. El numeral presenta también una buena introducción a los temas que Wittgenstein asumiráen Sobre la certeza. En síntesis, la sección que estamos estudiando es un excelente compendio de los problemas que leinteresan al filósofo y es también una excelente introducción a los temas que le ocuparán. No es de extrañar entonces quepodamos extender la noción a otros lugares en donde pueda prestar un servicio de clarificación. Lo haremos, sin embargo,a la manera de una hipótesis heurística sin pretender una análisis exhaustivo de la extensión que proponemos.


Notamos que ii) aparece más ordenada que i), ii) es más fácil de copiar que i). ii) esobservada bajo un aspecto que es para nosotros enteramente familiar; en tanto que i),a pesar de tratarse de un trazo que en esencia no debería distinguirse de ii), no puedeobservarse bajo el aspecto de... Algo similar podemos decir de aquel que intentaseguir la serie de los números pares más allá de 100. Un niño a) procede de la siguien-te manera: 96, 98, 100, 102, 104,.... Otro niño b) lo hace de la siguiente manera: 96, 98,100, 104, 108,... Los dos contemplan la sucesión bajo un aspecto diferente. Nada meobliga a seguir la serie de acuerdo a a) más bien que de acuerdo a b); sin embargo, hesido adiestrado en una técnica que me hace ver la serie bajo el aspecto que se exhibeen a). “¿Pero cómo es posible que se vea una cosa de acuerdo con una interpretación?–La pregunta lo presenta como un hecho singular; como si aquí se hubiera forzado algoa tomar una forma que en realidad no le convenía. Pero aquí no ha habido ningúnpresionar ni forzar.” (IF, Segunda parte, XI, p. 461). Observar bajo el aspecto de... seimpone como una práctica natural, nada nos constriñe, nada nos obliga.

Podemos explotar la analogía más allá. Podemos valernos de otro ejemplo igual-mente agudo de Wittgenstein. “Miro un animal; me preguntan: ‘¿Qué ves?’ Respon-do: ‘Un conejo.’ –Veo un paisaje; de repente pasa corriendo un conejo. Exclamo ‘¡Unconejo!’. Ambas cosas, el parte y la exclamación, son expresiones de la percepcióny de la vivencia visual. Pero la exclamación lo es en un sentido distinto al parte. Se nosescapa. –Está asociada a la vivencia de manera análoga a como lo está el grito dedolor.” (IF, Segunda parte, XI, p. 453). Construyamos ahora la analogía. El profesorescribe en el tablero la sucesión: 2, 4, 6, 8, 10, de repente da la vuelta y pregunta alprimer incauto que encuentra: “¿qué sigue?”. El incauto se toma su tiempo y respon-de: “12”. En otra ocasión el incauto, mientras un balón de fútbol rebota sobre susrodillas, repite la sucesión: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Quiero pensar que el primer “12” es unparte, en tanto que el segundo es una exclamación. El segundo se nos escapa. En elprimer caso el incauto se ve obligado a considerar, o a tener en cuenta la estructurageneral de la sucesión. En el segundo caso nada de eso está presente. La primerarespuesta parece una respuesta pausada, medida, estudiada. En tanto que la se-gunda respuesta está muy cerca de una conducta instintiva o animal. Cuando sigoespontáneamente y en silencio la secuencia, no pretendo con ello informarme conti-nuamente acerca del estado de mis reflexiones o consideraciones. La espontaneidadcon la que sigo la secuencia está allí como el trasfondo contra el cual transcurre miactividad. Cuando el niño está aprendiendo a seguir la serie de los números parespuede en unos casos decir: 2, 4, 6, 8, 10, 11; en otros: 2, 4, 6, 8, 10, mm!...12,podríamos decir que aún no logra ver la serie bajo un aspecto particular. No es queeste aprendiendo a decirla espontáneamente, simplemente la espontaneidad no seha instalado aún en su forma de actuar.

Nuestros procesos de aprendizaje transcurren también de una manera espontá-nea. Nuestros primeros tutores no empiezan por estipular con claridad aquellos ele-


mentos que permanecerán al margen de toda duda para proceder a continuación atejer con, o a construir a partir de ellos. Nadie, en calidad de tutor, aclara primero cuáles el lugar gramatical de cada convicción, de cada norma de descripción, de cadaproposición etc.. El lugar gramatical de las reglas o de las normas de descripción seva afianzando a través de los ejemplos. En el momento menos pensado dominamosya con maestría una técnica. Los números de la serie se nos imponen sin dificultad.Creemos que hay algo que impone la seguridad inefable con la que repetimos laserie cuando en realidad lo único sorprendente es la espontaneidad con la que nosexpresamos. Esa espontaneidad consolida aquello que nos es dado. Eddy Zemachen su libro The reality of meaning and the meaning of ‘reality’ se ha encargado desubrayar el papel que juega la noción wittgensteiniana del ver bajo un aspecto en lasolución de algunas paradojas asociadas con la noción de significado, especialmen-te las paradojas que tanto desconcertaron a Kripke. A propósito de la enseñanza, elautor señala: “Cuando aprendemos nuestro primer lenguaje, todos nosotros somosciegos-al-significado; reaccionamos al estímulo como si fuéramos adiestrados, sinentendimiento. Más tarde conseguimos una imagen de la ‘vida’ de la palabra; enton-ces no sólo reaccionamos a las palabras sino que también las comprendemos.”11

Podemos hacer una paráfrasis a propósito de la manera como aprendemos a contar.Al comienzo somos ciegos-al-conteo, respondemos mecánicamente al estímulo comosi estuviésemos ávidos de alguna recompensa, más tarde vemos una agrupación deobjetos bajo el aspecto de un conjunto numerable. En ese momento la técnica, porasí decirlo, se ha apoderado de nosotros. Comprendemos la sucesión, es decir,dominamos una técnica, justo en el momento en el que no nos sentimos obligados adesentrañar su mecanismo. Cuanto más nos concentramos en las maniobras quedebemos ejecutar para conservar la bicicleta en movimiento estable, más nos trope-zamos contra el pavimento.

La exigencia de fundamento generalmente proviene de la duda asociada con eltemor al error. Sin embargo, sólo admitiremos algo como un error si podemos reco-nocer el sistema al que pertenece, es decir, si hay un sistema que estipula los crite-rios de decisión que permiten, a su vez, desvanecer las dudas originales. Sólo pode-mos hablar de un error cuando podemos reconocer el lugar que ocupa en el sistema,es decir, cuando podemos advertir qué reconoce de antemano la persona que dicepoder estar equivocada. Aquel que no reconoce nada de antemano, que no admiteningún criterio, es una persona que no comete errores. Los sistemas de referenciaconstituyen el trasfondo o el espacio vital de nuestras argumentaciones. No los adop-tamos porque nos hayamos convencido de su carácter inamovible en virtud de algu-na clase de investigación o metaargumentación. Su aparente inmovilidad no puedeser contemplada por fuera o al margen del sistema mismo. “Pero no tengo mi ima-gen del mundo porque me haya convencido a mí mismo de que sea la correcta; ni

11 Zemach, Eddy M. (1992), p. 36.


tampoco porque esté convencido de su corrección. Por el contrario, se trata del tras-fondo que me viene dado y sobre el que distingo entre lo verdadero y lo falso.” (SC, §94). Tocamos piso firme cuando encontramos una práctica que se repite con ciertauniformidad en el seno de una comunidad. En nuestro caso, por ejemplo, contamosde acuerdo a ciertos patrones que nos encargamos de repetir, organizamos los colo-res de acuerdo a criterios gramaticales compartidos, reaccionamos de manera uni-forme ante las muestras de dolor que exhibe otra persona, asistimos puntualmente alas citas convenidas con otras personas, etc. Aunque la gramática de estas prácti-cas puede estar en efecto sometida a ciertas reglas o puede ser contemplada comosi lo estuviera, por lo general, no asumimos tales reglas después de una estrictaenseñanza deliberada o después de un acto de sometimiento de la voluntad. Tampo-co las adoptamos porque alguna clase de realidad externa a la gramática nos lasimponga de una manera incontestable. Esta situación deja abierta una especie deindeterminación de la regla. No hablamos aquí de una nueva forma de escepticismofilosófico, como sugiere Kripke12. Si nada puede constreñir el uso de las reglas, pien-sa Kripke, entonces no existe nada que determine si es correcta o no su aplicación.Seguir la regla de esta manera: 8, 9, 10, 11, 12,... no podría distinguirsesustancialmente de seguirla así: 8, 9, 10, 12, 14,... No obstante lo anterior, aplicamoslas reglas con la regularidad que demanda la unidad de nuestras formas de vida. Losejemplos que se aportan en el aprendizaje de los juegos pueden contribuir a clausu-rar la indeterminación de la regla. Clausuran tal indeterminación no porque impongano ilustren la manera correcta de aplicar las reglas, sino porque establecen una formade ver bajo un aspecto que cierra las puertas a cualquier interpretación ulterior. Así lascosas, la aplicación esperada de la regla se vuelve una práctica espontánea. “Lapráctica de usar la regla”, dice Wittgenstein, “muestra también qué es un error en suutilización.” (SC, § 29).

Después de la síntesis anterior, volquemos ahora nuestra atención sobre el anda-miaje interno de los llamados sistemas de referencia. No es fácil caracterizarlos deuna manera unívoca. De hecho, posiblemente es equivocado pretender tal caracteri-zación. Podemos, si es el caso, hablar de un aire de familia compartido. Nuestrosjuegos de lenguaje transcurren en medio de una red abigarrada de sistemas dereferencia. Cada uno de estos sistemas, a su vez, reúne en su interior una seriecompleja de elementos no homogéneos. Este es el primer elemento que debemosresaltar a propósito del tema que nos interesa: la falta de homogeneidad en loselementos que constituyen un sistema de referencia. Aquí también debemos subra-yar un contraste con la perspectiva que se defiende en el Tractatus. No hay duda queen el Tractatus logico philosophicus el concepto de proposición está bien delimitado,“La proposición es una figura de la realidad. La proposición es un modelo de larealidad tal como la pensamos.” (TLP, 4.01), (TLP, 4.031). Aquellas expresiones que

12 Kripke, Saúl (1982).


poseen la forma gramatical de una proposición –por ejemplo, “7 es un número pri-mo”, “hay objetos físicos”, “llueve o no llueve”- pero cuyo análisis revela que no setrata de expresiones descriptivas, que no pueden fijar la realidad en Sí o en No, soncatalogadas sin ambigüedades o bien como pseudoproposiciones, o bien como ex-presiones que carecen de sentido. La naturaleza de la proposición advertida en elTractatus se desdibuja completamente en el marco de las reflexiones tardías delfilósofo austríaco. De hecho, tal como lo hemos mostrado en el capítulo anterior, enlas Investigaciones filosóficas y en Sobre la certeza, el concepto de proposición noestá bien delimitado (SC, § 320). El lenguaje ya no es visto como la totalidad de lasproposiciones (TLP, 4.001). La diferencia entre proposición empírica y proposición dela lógica ya no puede advertirse a través de un rasgo sintáctico, no se trata de ladiferencia entre proposiciones y tautologías, sino que debe advertirse a través delpapel que cada una de ellas desempeña en el juego de lenguaje particular que seesté considerando. Ninguna expresión puede ser considerada como una proposiciónlógica per se; así como ninguna expresión puede considerarse como una proposicióndescriptiva per se. Quiero entonces insistir en que cuando uso la formulación “tal y talregla gramatical”, o “tal y tal proposición lógica”, o “tal y tal proposición” estoy alu-diendo al uso peculiar de tal expresión en el contexto particular que es objeto delanálisis gramatical. No quiero con ello fijar un uso perenne para una expresión aisladade todo contexto.

En el capítulo anterior propusimos, aunque advertimos el carácter borroso de loslímites, que podíamos hablar de proposiciones, hipótesis, normas de descripción yreglas gramaticales. Hicimos esto con el objeto de resumir algunas categorías deanálisis empleadas por Wittgenstein y que pueden resultar de suma importanciacuando queremos adelantar aclaraciones gramaticales exigidas a raíz de algunasconfusiones que resultan en el ejercicio de sugerir esquemas descriptivos (teoríascientíficas). El análisis cuidadoso de Sobre la certeza no sólo reafirma la convicciónde que el concepto de proposición no abriga una masa homogénea de elementos,sino que sugiere también que el concepto de regla gramatical es así mismo unconcepto que reúne elementos heterogéneos. El análisis que presentamos a conti-nuación enriquece la propuesta sugerida en el capítulo anterior. Usamos el término“proposición lógica” para referirnos al uso que hacemos en ciertos contextos de aquellasexpresiones que a pesar de la similitud en su forma gramatical con una proposición,operan como reglas inmovilizadas.

Algunas proposiciones lógicas describen una estructura conceptual. Pensemos,por ejemplo, en el caso de la gramática de los colores aportada en el capítulo ante-rior. Pero ésta descripción no puede hacerse por medio de proposiciones. La descrip-ción muestra lo que está permitido y lo que está prohibido gramaticalmente. Uno delos ejemplos que sugiere Wittgenstein es el siguiente: “No podemos habernos equi-vocado en el cálculo 12x12=144” (SC, § 43). Si tuviésemos alguna duda al respecto


estaríamos así evidenciando que aún no dominamos una técnica particular, es decir,que aún no dominamos por completo el ámbito general en el cual puede afirmarsesin dubitación que 12x12 es 144. La proposición “12x12=144” es una proposiciónmatemática, en tanto que “no podemos habernos equivocado en 12x12=144” no loes. La primera es una regla correspondiente a la manipulación de unos símbolos, entanto que la segunda describe una posición que no estamos dispuestos a abando-nar. La segunda describe, entonces, una situación gramatical. “No podemos haber-nos equivocado en 12x12=144” significa que si alguien pusiese en evidencia algunasituación empírica que me sugiriese revisar el cálculo, aún así podría aferrarme a larespuesta, “calculamos así y punto!” “No puedo equivocarme en esto; y si sucede lopeor, convertiré mi proposición en una norma”. (SC, § 634). Podemos comparar laexpresión con “no puedo haberme equivocado, Raúl estaba en la conferencia”. Nome aferraría a esta segunda expresión al extremo de inmovilizarla como una norma.En el primer caso sí lo haría. Allí se cifra una diferencia capital entre las dos expresio-nes. La expresión “no puedo” juega un papel diferente en los dos casos. Ante unasituación que sugiriese una revisión podríamos traducir la segunda expresión en laforma: “por algún momento creí que Raúl estaba en la conferencia”. No podemoshacer lo mismo con la primera expresión, no podemos decir: “por algún momentocreí que 12x12 era 144”. En un caso “no puedo” hace alusión a una imposibilidadlógica, en tanto que en el otro “no puedo” hace alusión a una seguridad psicológica,algo así como “podría jurar que vi a Raúl en la conferencia; si no era Raúl se tratabade alguien muy parecido”. Podemos subrayar el contraste en otros términos: la pri-mera imposibilidad tiene la forma de una prescripción, la segunda tiene la forma deuna aseveración. La segunda es falseable, la primera no. Alguien puede explicarmeque Raúl tiene un hermano gemelo, que mi confusión se originó porque creí ver aRaúl cuando en realidad estaba en contacto visual con su hermano, etc. Nadie po-dría, sin embargo, explicarme que estuve todo el tiempo confundido con 12x12=144,que en realidad he debido adoptar otro resultado. En ese caso habría tenido queabandonar todos mis cálculos, tendría que cambiar de gramática, por decirlo dealguna manera. “No podemos habernos equivocado en 12x12=144” estipula de algu-na manera los límites de la gramática asociada con la multiplicación, define aquelloque está al margen de toda duda en el juego de la multiplicación. A estos principiosles corresponde, como sugiere Wittgenstein, una ley natural del “mantener comoverdaderos” (SC, § 172). En estos casos el error se excluye lógicamente.

Algunas proposiciones metodológicas describen mi imagen del mundo. Y nue-vamente esta descripción no se hace por medio de proposiciones. Si alguien estáinteresado en describir la imagen del mundo que subyace a una teoría científicaparticular, puede, por ejemplo, hacerlo por medio de proposiciones que a la postrese convierten en hipótesis. Es decir, formulamos transitoriamente algunas proposi-ciones que estamos dispuestos a abandonar ante cualquier seria dificultad empírica.


Si queremos, por ejemplo, prescribir la imagen del mundo que subyace a la TeoríaCinética de los Gases, aportaremos las siguientes descripciones: 1) un gas estáformado de partículas llamadas moléculas, 2) las moléculas se mueven al azar yobedecen las leyes de la mecánica de Newton, 3) el número total de moléculas esdemasiado grande, 4) el volumen de las moléculas es una fracción sumamentepequeña del volumen ocupado por el gas, 5) no obran fuerzas apreciables sobrelas moléculas salvo durante un choque, y 6) los choques son elásticos y de dura-ción insignificante. Cuando Wittgenstein habla de describir mi imagen del mundono está haciendo alusión a una lista de suposiciones o proposiciones más o menosplausibles, como ocurre con el ejemplo anterior. Se trata más bien de subrayaraquellas proposiciones empíricas cuya verdad pertenece a nuestro sistema de re-ferencia, es decir aquellas proposiciones que si se tuvieran por falsas me obliga-rían a abandonar todas mis convicciones y mis prácticas más arraigadas; aquellasproposiciones que si tuviese que fundamentar tendría que apoyarme en proposicio-nes aún más débiles. “Las proposiciones que describen esta imagen del mundo”,aclara Wittgenstein, “podrían pertenecer a un suerte de mitología. Su función essemejante a la de las reglas del juego, y el juego también puede aprenderse de unmodo puramente práctico, sin necesidad de reglas explícitas.” (SC, § 95). Quetales proposiciones pertenezcan a una clase de mitología significa que están másallá de lo justificado o lo justificable y que se aprendan de un modo práctico signi-fica que hacen parte de todo lo que no se menciona y que nosotros nos tragamoscuando por primera vez nos hacemos partícipes de los juegos de lenguaje que sepractican en la comunidad a la que pertenecemos. “Hay un planeta a tal distanciadel Sol” y “aquí hay una mano” parecen proposiciones con la misma gramática,parecen desempeñar el mismo papel en nuestros juegos de lenguaje. Sin embargono es así y conviene resaltar la diferencia. La primera funciona como una hipótesis;en tanto que para la segunda expresión hay contextos en los cuales funciona comouna hipótesis, caso en el cual no conviene subrayar alguna diferencia, y hay contex-tos en los que definitivamente no funciona como una hipótesis. Si digo “aquí hayuna mano!”, mientras observo algo que parece una mano cuando excavo en unárido terreno buscando indicios claves a propósito de una civilización antigua, esclaro que formulo una hipótesis. En tanto que si digo “aquí hay una mano!” mien-tras contemplo con aires de introspección mi mano y pretendo con ello convencer-me de la existencia de objetos físicos en el mundo, es claro que mi expresión ya noes una hipótesis con un grado de evidencia superior a cualquier otra hipótesis quepueda imaginar. Veamos el caso con otro par de ejemplos. Puedo decir: “la Tierraexiste hace más de 100 años”, también puedo decir: “la Tierra existe hace más de4 mil millones de años”. La primera expresión pertenece a la mitología que descri-be nuestra imagen del mundo, la segunda expresión es una hipótesis. Las dosexpresiones tienen la forma “la Tierra existe hace x años”, sin embargo desempe-


ñan un papel completamente diferente dependiendo del valor que le asignamos ax. Si x se reemplaza por 4000000000 es perfectamente plausible que imaginemosuna circunstancia que falsee la proposición sin que me vea obligado a cambiarradicalmente mi imagen del mundo. Si, al contrario, x se reemplaza por 100 años o5 minutos, ya no es posible falsear la proposición sin verme obligado a cambiar porcompleto mi imagen del mundo. Sin cambiar, por ejemplo, la convicción que tengosegún la cual debo mi origen a un encuentro fortuito, que de hecho toma más decinco minutos, entre dos seres humanos que me antecedieron. Este ejemplo per-mite también ilustrar que la línea divisoria entre proposiciones metodológicas yproposiciones en el seno de un sistema es una línea borrosa. Pues, ¿cuál sería elvalor de x que me permitiría pasar de una proposición metodológica a una hipóte-sis? 1000 años? 1000000 años? No existe tal valor, y pretender que lo hay sólomuestra que no he entendido la gramática de nuestras investigaciones. “En uno uotro momento”, aclara Wittgenstein, “se ha de pasar de la explicación a la meradescripción.” (SC, § 189)

Algunas proposiciones aportan reglas de control, en tanto que otras pertenecen ala red de proposiciones controladas por la experiencia13. La proposición “la Tierra noexiste hace más de 4000000000 años” es una proposición controlada por la experien-cia. Si quiero confiar en ella debo, por ejemplo, considerar la vida media de algunoselementos radiactivos y medir el nivel de radiación de algunos fragmentos de rocasque considere tan antiguos como la Tierra misma. En cambio, ¿qué me serviría deevidencia para “la Tierra no existe desde hace más de cinco minutos”? Si pudieseadmitir algo como evidencia tendría que abandonar toda mi imagen del mundo. “LaTierra existe hace más de cinco minutos” no está sin más de acuerdo con los hechos.Esta clase de proposición más bien nos muestra lo que significa estar de acuerdocon los hechos. Por esa razón deben ser vistas como reglas de control más quecomo proposiciones sometidas al control de la experiencia.

Hay, por ejemplo, -complementa Wittgenstein- investigaciones históricas einvestigaciones sobre la forma y también sobre la edad de la Tierra, pero no sobresi la Tierra ha existido durante los últimos cien años. Evidentemente, muchos denosotros hemos escuchado testimonios y tenemos noticias de este período pornuestros padres y abuelos; pero, ¿no pueden haberse equivocado? –Se dirá: “Ton-terías, ¡cómo puede haberse equivocado toda esa gente!” Pero, ¿es eso un argu-mento? ¿No se trata sólo del rechazo de una idea y, quizá, de la determinación deun concepto? Dado que, si hablo aquí de un error posible, con ello cambia el papelque ‘error’ y ‘verdad’ juegan en nuestras vidas. (SC, § 138).

13 En la Gramática filosófica sostenía Wittgenstein lo siguiente: “Que una proposición empírica sea verdadera yotra falsa no es una parte de la gramática. Lo que corresponde a la gramática son todas las condiciones (el método)necesarias para comparar la proposición con la realidad. Es decir, todas las condiciones necesarias para la compren-sión (del sentido).” (GF, I, IV, § 45, p. 169).


“El metro de París mide un metro” es una regla de control, no es verdadera nifalsa, pues no sabríamos qué la validaría ni qué la falsearía. En cambio “El monteEverest mide 8200 metros” es una proposición sometida a los controles de la expe-riencia14.

Algunas proposiciones se constituyen en normas de descripción. “La Tierra exis-te hace más de 50 años”. Si no admito sin más esta proposición, no puedo entoncesdar crédito a quienes pretender establecer hechos objetivos a propósito de un dicta-dor llamado Hitler. Estas proposiciones pertenecen al andamiaje15 de nuestras inves-tigaciones aunque no se lleguen a formular explícitamente en el ámbito de las mis-mas. Cuando hablamos de Napoleón, Cristobal Colón, Alejandro Magno, etc., damospor sentado que la Tierra existía desde entonces; no lo mencionamos en ninguno denuestros relatos de la misma manera en que sí nos vemos obligados a mencionar,por ejemplo, la existencia de América cuando hablamos de Cristobal Colón. “Améri-ca, o algo parecido, existe” puede ser un supuesto, una hipótesis en la cabeza deCristobal Colón. No podemos decir lo mismo de “la Tierra existe”, y eso no significaque Colón le diera crédito a “la Tierra no existe”. Si tú quieres llamar a “la Tierra existe”un supuesto, puedes hacerlo siempre que lo distingas de “hay un planeta más allá dePlutón”. “La Tierra existe” es una proposición empírica que se ha inmovilizado paraque puedan fluir las proposiciones que constituyen nuestras investigaciones. Ellaestá en el fondo de todas nuestras investigaciones históricas, geográficas, biológi-cas, geológicas, meteorológicas, etc. Sin embargo ninguna de tales investigacionesla mencionan como una de sus premisas. De hecho no es una premisa.

Algunas proposiciones muestran el significado de “estar de acuerdo con loshechos” (SC, § 203). Podemos formular el caso de una manera más completa. Pode-

14 La siguiente anécdota ilustra parcialmente el uso de una proposición como una norma de control. Una niña de 7años recibió un fuerte golpe en la cabeza y escuchó que el medico le decía a sus padres: “Aunque el golpe fue fuerte,parece que la niña no perdió el conocimiento”. La niña, preocupada, procedió a repetir mentalmente algunas tablas demultiplicar para poner efectivamente en evidencia que no había perdido el conocimiento.

15 Las proposiciones lógicas constituyen el andamiaje de nuestras investigaciones. Este principio se sostiene tantoen el Tractatus logico philosophicus como en Sobre la certeza. En TLP sostiene Wittgenstein: “Las proposiciones lógi-cas describen el armazón [Gerüst] del mundo o, mejor, lo presentan. No ‘tratan’ de nada, presuponen que los nombrestienen significado, y las proposiciones elementales, sentido; y ésta es su conexión con el mundo....” (TLP, 6.124). Se pue-de comparar esta formulación con: “Sin embargo, son ellas [las proposiciones metodológicas] las que dan forma a nues-tras consideraciones y a nuestras investigaciones. Es posible que alguna vez hayan sido objeto de controversia. Perotambién es posible que desde tiempos inmemoriales pertenezcan al andamiaje [Gerüst] de todas nuestras considera-ciones. (Todo ser humano tiene padres).” (SC, § 211). La diferencia radical reside en la forma como se podrían instanciartales proposiciones. En TLP Wittgenstein está pensando en las tautologías, en expresiones de la forma “llueve o no llueve”,está pensando en el orden a priori del mundo, al menos así lo formula en sus Notebooks: “El gran problema alrededordel cual ronda todo lo que yo escribo es: ¿existe un orden a priori en el mundo, y si es así en qué consiste?” (NB, p. 53e).De hecho es interesante preguntarse cómo es posible que una expresión que no dice nada, es decir que no posee con-tenido fáctico, pueda aspirar a presentar el armazón del mundo. Aunque las tautologías no dicen nada, ellas son parteesencial del simbolismo, estipulan de alguna manera los límites del lenguaje. Quizá en ese sentido se habla del anda-miaje del mundo. De otra parte en Sobre la certeza Wittgenstein piensa en expresiones de la forma “ningún ser humanoha estado en la Luna”, expresiones que de cualquier manera podrían someterse a controversias que eventualmente po-drían dar lugar a inmovilizar incluso las proposiciones contrarias. “Ningún ser humano ha estado en la Luna” en ciertoscontextos describe un estado de cosas. En otros contextos estipula una exclusión gramatical, establece lo que ha que-dado al margen de la duda y que, en consecuencia, ha de operar como una regla de control. Puede pensarse también enexpresiones que perfilan los límites de los juegos de lenguaje. Las tautologías muestran lo que es de por sí invariante,mientras que las normas de descripción pretenden mostrar lo que de por sí se ha puesto al margen de la duda.


mos decir, por ejemplo, que algunas proposiciones determinan el significado de losconceptos involucrados.

La gramática -sostenía Wittgenstein en el denominado período de transición-no tiene que rendirle cuentas a ninguna realidad. Las reglas gramaticales determi-nan el significado (lo constituyen) y, de esa manera, no son responsables de nin-gún significado siendo también, en esa medida, arbitrarias. No puede haber unadiscusión de si éstas u otras reglas son las correctas para el uso de la palabra ‘no’(es decir, si son las adecuadas para su significado). Porque, sin estas reglas, lapalabra no tiene todavía un significado; y si modificamos las reglas, la palabra tieneotro significado (o ninguno) y, en tal caso, lo mismo daría también cambiar la pala-bra. (GF, I, X, § 133, p. 361).

Si, por alguna razón definitivamente extraña, llegamos a descubrir que efectiva-mente el mundo fue creado con todo y mis recuerdos hace tan sólo 5 minutos, ya nosabríamos entonces qué significa estar de acuerdo con los hechos, tendríamos quecambiar por completo nuestra noción de correspondencia con los hechos. No proce-demos de la siguiente manera: dado que “el mundo fue creado hace más de cincominutos” está de acuerdo con los hechos, entonces confiaremos plenamente en loestipulado por la proposición. Procedemos más bien así: “el mundo fue creado hacemás de cinco minutos” muestra lo que significa la máxima “estar de acuerdo con loshechos”. Con la verdad de tales enunciados se prueba que los comprendo (SC, §80); si insisto en que la Tierra pudo haber sido creada hace sólo 5 minutos, muestrocon ello que no entiendo lo que significa “estar de acuerdo con los hechos”. “Si todohabla a favor de una hipótesis”, explica Wittgenstein, “y no hay nada que hable encontra de ella, -¿es objetivamente segura? Podemos llamarla así. Pero ¿está de acuer-do sin restricciones con el mundo de los hechos? En el mejor de los casos, nosmuestra el significado de ‘estar de acuerdo’.” (SC, § 203). “Estar de acuerdo con loshechos” es algo que aprendemos a reconocer sin que alguien nos diga en algúnmomento: “te vamos a enseñar lo que significa ‘estar de acuerdo con los hechos’”,como sí puede ocurrir con expresiones como “estupefacto”, por ejemplo. Ahora bien,¿significa esto que la autonomía de la gramática nos permite desentendernos de lanaturaleza? La respuesta categórica es: “No!” Si no hubiese ciertas regularidades enla naturaleza muchos de nuestros juegos de lenguaje perderían completamente suutilidad. Si los objetos apareciesen y desapareciesen sin que pudiésemos advertirninguna regularidad, la sucesión de los números naturales no nos auxiliaría en elcontrol que mantenemos sobre tales objetos. El ejercicio del conteo habría perdidosu utilidad. Esto significa que en nuestras investigaciones nos interesa, de algunamanera, el estado de la naturaleza. Lo que queremos subrayar es que no es talestado el fundamento de nuestros esquemas. Nos gustaría decir: “todas las expe-


riencias muestran que la Tierra existe hace más de cinco minutos”. Sin embargo,también nos gustaría saber cómo lo logran, pues la proposición que mencionamosforma parte de una determinada interpretación de las experiencias. En otras pala-bras, ante la expresión: “todas las experiencias muestran que la Tierra existe hacemás de 5 minutos”, nos hace falta un criterio que nos sirva de referencia para enten-der: “la experiencia muestra que...”. Pasamos por alto que la proposición que quere-mos someter a la prueba de la experiencia es realmente uno de los criterios quenecesitaríamos para adelantar la tarea. “El que yo considere a esta proposición comoalgo verdadero con seguridad absoluta es también una característica de mi interpre-tación de la experiencia.” (SC, §145). El círculo paradójico se puede ver así: la expe-riencia muestra que aquí hay un planeta desde hace más de 5 minutos; sin embargo“aquí hay un planeta desde hace más de 5 minutos” es un criterio que nos muestra elsignificado de “coincidir con los hechos”. Por lo tanto, ¿cómo vamos a pedirle a laexperiencia que realice una tarea para la que no está preparada? Así las cosas, lapropuesta wittgensteiniana guarda un cierto parecido de familia con la máxima deKant según la cual: si bien todo conocimiento se apoya en la experiencia no todo él sefunda en ella. Allí donde jugamos a asignar un valor de verdad a una proposiciónnecesitamos de un criterio para tener por verdadero. “Aquí hay un planeta...” puedeser uno de esos ejemplos16. Aquí podemos recordar que Descartes también exigíaun criterio para el tener por verdadero.

Una expresión que estipule el significado de un término suele verse, a la luz delas categorías diseñadas por la filosofía, como una proposición analítica. En esesentido se ve también, en forma peyorativa, como una proposición de nivel secunda-rio, una proposición que tan sólo estipula una convención o que sólo autoriza unasustitución. Sin embargo, dicha prevención hacia lo que Wittgenstein a veces llamaproposiciones gramaticales sólo consigue ocultar el papel que tales expresiones des-empeñan en la marcha efectiva de nuestros juegos de lenguaje. Mantenemos fija laidea en que nuestras proposiciones o bien son verdades de razón, o bien son verda-des de hecho; o bien son analíticas, o bien son sintéticas. Queremos encapsularnuestras expresiones en categorías rígidas cuando ellas transcurren con la movilidady flexibilidad que exigen nuestras prácticas. Olvidamos que el espectro de proposi-ciones está lleno de tonalidades de gris. Morris Lazerowitz en un excelente artículo17

ilustra, a partir de un ejemplo, una de las maneras como Wittgenstein entiende unaexpresión que estipula el significado de un término. A continuación presentamos unasíntesis del argumento de Lazerowitz. Consideremos las siguientes tres proposicio-nes:

16 “El uso de ‘verdadero o falso’ tiene algo que nos confunde porque es como si me dijera ‘está o no está de acuer-do con los hechos’; y se podría preguntar qué es, aquí, ‘acuerdo’. ‘La proposición es verdadera o falsa’ sólo quiere decirque ha de ser posible decidir a favor o en contra de ella. Pero con ello no se proporciona el tipo de fundamento que co-rresponde a tal decisión.” (SC, § 199-200).

17 Lazerowitz, Morris, (1972), pp. 233-270.


(1) Un camello es un herbívoro.(2) Un camello es un animal.(3) La palabra ‘animal’ aplica allí donde quiera que la palabra ‘camello’ aplica18.

(3) es una proposición acerca del uso de la palabra ‘camello’, en tanto que (1) esuna proposición acerca de lo que la palabra ‘camello’ denota. (2) no es ni acerca dela palabra ‘camello’ ni acerca de lo que la palabra denota en (1). Lo que conocemoscon (1), en caso de ser verdadera, es algo acerca de camellos; lo que conocemoscon (3), es algo acerca del uso de algunas palabras. En los dos casos conocemosalgo adicional a nuestra comprensión de las frases. Algo muy diferente ocurre con(2). Entenderla es equivalente a conocer un hecho acerca de un uso verbal, aunqueeste hecho no es expresado por la frase. En ese sentido (2) comparte el contenidocon (3). No obstante (2) comparte su forma gramatical con (1), esto es, las palabrasse usan en un contexto ontológico que hace que en los dos casos tengamos laimpresión de referirnos a objetos en el mundo. El contenido verbal de (3) es explícito,mientras que, según el autor, el contenido verbal de (2) está oculto, se esconde envirtud de la similitud con la forma gramatical de (1). En otras palabras, (2) parecedescribir un estado de cosas en el mundo, así como lo hace (1); cuando en realidaddescribe el uso lingüístico de los términos ‘camello’ y ‘animal’, pero no lo hace a lamanera de (3). En (2) no se habla de las palabras pero sí del uso gramatical de losconceptos; se dice, por ejemplo, cómo usamos la palabra ‘animal’ dado que sabe-mos ya cómo usar la palabra ‘camello’. Sin embargo las palabras se usan más no semencionan. De otra parte, sabemos cómo verificar (1), sabemos también cómo apli-car (3), sin embargo no sabríamos qué hacer si alguien nos pide verificar (2) o definirel contexto de aplicación de (2). Alguien puede aún responder e insistir de la siguien-te manera: “podemos verificar (2) si observamos que un camello se mueve en formaindependiente, es decir, si notamos que está animado”, a lo que podemos responderque aquello sólo muestra que has decidido denominar con el término ‘animal’ a todoaquello que se mueve independientemente. Estás adoptando una nueva notación, noestas haciendo un descubrimiento de la biología.

Podemos presentar el caso con otro ejemplo. “Rojo es un color primario” es unode los ejemplos más citados por Wittgenstein para ilustrar una proposición gramati-cal. Parece una proposición empírica similar a “un camello es herbívoro” y completa-mente diferente a “allí donde se aplica la palabra ‘rojo’ podemos igualmente aplicar lapalabra ‘color primario’”. La proposición oculta entonces que se trata de una reglagramatical. “Rojo es un color primario”, atendiendo al uso prescrito para el octaedrode los colores descrito en el capítulo anterior, no es una proposición empírica, lo que

18 La afirmación es correcta siempre que se restrinja a las situaciones en las que se usan las palabras, no a lassituaciones en las que se mencionan. De lo contrario seríamos presas fáciles de las paradojas que a propósito de ladistinción uso/mención tanto le encantan a Quine. No podemos decir: “dado que ‘camello’ empieza por ‘c’, ‘animal’ tam-bién empieza por ‘c’”.


ella muestra no es susceptible de una validación experimental, de una seguridadaportada por algún proceso de introspección o de una argumentación a priori; tam-poco es el resultado de una cuidadosa investigación, bien sea física, fisiológica ofenomenológica. Con la proposición no se describe un estado de cosas en el mundo,tan sólo se inmoviliza un punto en nuestra gramática. Con la proposición fijamos elsignificado de “color primario”. La gramática no describe el mundo, describe el len-guaje, describe una situación conceptual. Aquí la palabra “describe” debe entender-se por oposición a “explica”. “La gramática no dice cómo tiene que estar construidoel lenguaje para que cumpla su propósito, para que influya en los seres humanos detal y cual manera. Sólo describe el uso de los signos, pero no lo explica en modoalguno.” (IF, § 496).

Algunas proposiciones se sellan oficialmente como incontestables (SC, § 655).El ejemplo que tiene Wittgenstein en mente alude al caso de las proposiciones ma-temáticas. Una proposición matemática es también una regla gramatical, no es unaproposición empírica, de hecho tampoco describe alguna clase de realidad ni física,ni mental, ni platónica, por decirlo de alguna manera. En ese orden de ideas “2+2=4”desempeña más o menos el mismo papel que “la Tierra existe hace más de 100años”. Si tuviéramos que abandonar alguna de ellas tendríamos que cambiar tam-bién toda nuestra imagen del mundo. Las dos proposiciones forman parte de lasexpresiones que describen el fundamento de nuestros juegos de lenguaje. Esta for-mulación, a pesar de que respeta el espíritu wittgensteiniano, debe leerse con algu-na precaución. En primer lugar, no se trata de “proposiciones” en el sentido corrientedel término; de hecho, no sabríamos qué las puede falsear, no sabríamos a quéllamar una verificación de las mismas. En segundo lugar, y esto está relacionado conlo anterior, no son descripciones en el sentido corriente del término, no dan cuenta deun estado de cosas en el mundo; ellas aportan, más bien, normas de descripción ocriterios de significación. Describen una situación lingüística (conceptual), no un esta-do de cosas. Y, por último, no aportan el fundamento en el sentido corriente deltérmino. Es cierto que son expresiones que se han puesto al margen de la duda, perono porque nos hayamos convencido de ellas o porque alguna clase de condiciónextragramatical ejerce sobre nosotros alguna clase de coerción inevitable, sino por-que hacen parte de lo dado. Para expresarlo con las palabras de Wittgenstein, estánallí como nuestra vida. En fin, ahora queremos resaltar una diferencia. Recordemos lamáxima: “estas cosas aunque parecen la misma son realmente diferentes”.

Podríamos decir -explica Wittgenstein- que las proposiciones de la matemáti-ca están fosilizadas. –La proposición ‘Me llamo ...’ no lo está. Pero quien, como yo,tenga pruebas abrumadoras también considerará que esta última es indiscutible. Yno por falta de reflexión. Puesto que el hecho de que la evidencia sea abrumadoraconsiste, precisamente, en que no necesitamos someternos a ninguna evidencia


en sentido contrario. De modo que nos encontramos en este punto con un apoyosimilar al que hace indiscutibles las proposiciones de la matemática. (SC, § 657).

Las dos proposiciones son, como toda proposición gramatical, atemporales. “Mellamo ...” no está al margen de la duda mientras una evidencia en contra me obligue arevisar la proposición, no es que nosotros confiemos temporalmente en ella, así elgrado de confianza sea el máximo grado de confianza que podamos imaginar. Aún así,si me viera forzado a reconocer alguna evidencia en contra, me aferraría a la expresiónconvirtiéndola en una norma. A pesar del carácter atemporal de las proposiciones gra-maticales, Wittgenstein introduce en el aforismo 96 de Sobre la certeza la metáfora dellecho del río que sugiere la posibilidad de que algunas de nuestras proposicionessolidificadas entren a formar parte de las proposiciones que fluyen. De hecho uno de losejemplos más citados por el autor tuvo que entrar a formar parte, dieciocho años mástarde, de las proposiciones que podían ser puestas en duda. Me refiero a la proposición“ningún hombre ha estado en la Luna”. “Podríamos imaginar que algunas proposicio-nes, que tienen la forma de proposiciones empíricas, se solidifican y funcionan comoun canal para las proposiciones empíricas que no están solidificadas y fluyen; y tam-bién que esta relación cambia con el tiempo, de modo que las proposiciones quefluyen se solidifican y las sólidas se fluidifican.” (SC, § 96). Ahora bien, el aforismo 657agrega a la noción de proposición solidificada, la noción de proposición fosilizada.Podemos entonces sospechar que la masa de proposiciones gramaticales no es tam-poco una masa homogénea. De hecho hemos ilustrado en el presente capítulo diferen-tes papeles asociados con las proposiciones gramaticales. Pero ahora nos estamosrefiriendo a una diferencia de grado: hay proposiciones más solidificadas que otras, alextremo que existen proposiciones fosilizadas en tanto que otras no lo están. Algunaspodrían llegar a cambiar con el tiempo, en tanto que otras se han inmortalizado defini-tivamente, por decirlo de alguna manera. Si entiendo bien a Wittgenstein, podríamosilustrar el caso con una lista de proposiciones gramaticales19 ajustadas a una relaciónde orden que establezca cuál es más susceptible de una variación en el papel lógicoque desempeña y cuál definitivamente parece inamovible. Hagamos un intento:

(1) “ningún hombre ha estado en la Luna”,(2) “la Tierra existe hace más de 1000 años”,(3) “me llamo ....”,(4) “todo ser humano tiene un par de progenitores”,(5) “la Tierra existe hace más de 50 años”,(6) “la Tierra existe hace más de 5 minutos”,(7) “2+2=4”.

19 No podemos perder de vista que el calificativo de proposición gramatical depende también del contexto de laformulación. El calificativo no alude a la sintaxis o a la semántica de la expresión. No podemos calificar a una expresiónde proposición gramatical sin hacer claro el contexto en el que se enuncia.


¿Qué ocurre entonces con las proposiciones matemáticas? ¿De dónde provienesu fosilización? Podríamos intentar una respuesta en los siguientes términos. Si unmatemático introduce una variación en las reglas y reúne los suficientes argumentospragmáticos para convencernos acerca de la conveniencia de adoptar, digamos, laexpresión “2+2=5”, con eso no está haciendo un descubrimiento de alguna clase,estaría, más bien, introduciendo un nuevo cálculo. No descubre un error en nuestroscálculos tradicionales. Sugiere más bien un nuevo cálculo sin modificar la antiguanotación. Podríamos, con el ánimo de evitar confusiones, sugerirle una nueva bateríade recursos simbólicos, sugerirle, por ejemplo, la notación: “2⊕2=5”, así como enotros casos contamos con la notación: “23=8”. El caso se parece definitivamente alsiguiente: “el alfil se mueve en diagonal”. Alguien puede sugerirnos una nueva regla.Puede decir, por ejemplo, “el alfil se mueve en diagonal, pero nunca más de 3 casi-llas”, o también, “el alfil se mueve en diagonal, pero nunca más de 8 casillas”. En elprimer caso está sugiriendo un juego completamente diferente. Nadie cuestiona elderecho a formularlo. Pero deberíamos invitarlo a nombrar el juego con un nombrediferente a “ajedrez”. Si la persona insiste en que su juego es el verdadero ajedrez,tomaremos la precaución de abandonar la discusión porque no es claro a dóndepueda conducir. En el segundo caso, no está introduciendo ninguna modificación aljuego. Podríamos entonces advertirle que ha pasado por alto que el tablero de aje-drez no cuenta con una diagonal que supere las ocho casillas, que su modificaciónsólo introduce una retórica inútil, que si aún así insiste en publicar esa regla en susmanuales de ajedrez, no podremos de ninguna manera oponernos aunque advertire-mos su inutilidad práctica. Si la persona insiste y pretende ampliar el tablero deajedrez, de nuevo será absolutamente claro que desea sugerir un nuevo juego, casoen el cual regresamos al tratamiento anterior.

4.2 Wittgenstein y el programa de HilbertPara el caso del programa de Hilbert la pregunta por los fundamentos, haciendo

una paráfrasis del estilo de presentación discutido en la sección anterior, se puedeplantear así: ¿qué me lleva a confiar en la propuesta de este u otro sistema formal siestoy interesado en replicar las verdades de la teoría de números? En este caso eltemor al error que hemos comentado en la sección anterior es análogo al temor a lacontradicción. Si un comentarista quiere dilucidar la postura particular de Wittgensteinfrente al programa de Hilbert se topará en forma ineludible con un conjunto enmara-ñado y oscuro de anotaciones en muchos casos desconcertantes. Adoptaré comoestrategia preliminar no pretender seguir literalmente muchas de tales anotaciones yharé lo posible por capturar su sentido orientado por las aclaraciones sugeridas en lasección anterior.

La actitud de Wittgenstein frente al programa de Hilbert, si atendemos literal-mente algunos de sus comentarios, podría describirse con los calificativos de ambi-


gua, ingenua, descuidada. Ahora bien, si tratamos de desentrañar dicha actitud orien-tados por la perspectiva general de Wittgenstein frente al problema de los funda-mentos podremos encontrar, incluso, algunas coincidencias con la perspectiva deGödel. Recordemos que Gödel reaccionó en forma airada, y no sin razón, frente aalgunos aforismos de las Observaciones sobre los fundamentos de la matemáticaque tuvo la oportunidad de leer en forma aislada. “El pasaje entero que usted cita”,contestaba Gödel ante una petición de Karl Menguer, “me parece –dicho sea depasada- un sinsentido. Repárese, por ejemplo, en el ‘supersticioso temor de losmatemáticos a las contradicciones’20.”21 ¿Está Wittgenstein realmente interesado ensugerir que el temor a la contradicción se apoya en una superstición? Creo que esposible defender que la actitud de Wittgenstein hay que configurarla y entenderla apartir de su actitud general frente a la exigencia de fundamentos, de donde se deriva,a la manera de un corolario, su particular posición frente al programa de Hilbert.Veamos, en primer lugar, algunos rasgos que dificultan la interpretación deWittgenstein.

Algunos aforismos parecen descalificar la preocupación de los matemáticos porla posibilidad de hallar una contradicción en sus cálculos. Después de atender laposibilidad de que surja una contradicción en Principia Mathematica, el aforismo 11del apéndice III de RFM termina con la pregunta: “Bien, entonces hay una contradic-ción. ¿Importa algo?” (RFM, apéndice III, § 11). La formulación de Wittgenstein obvia-mente exaspera al matemático. Claro que al matemático le importa y le preocupahallar una contradicción en Principia Mathematica. Aquello mostraría que el sistemano cumple lo que había prometido. En algunas ocasiones Wittgenstein quiere hacer-nos creer que el temor a la contradicción surge porque somos propensos a conside-rar la contradicción como una enfermedad (RFM, III, § 80; VII § 11; LFM, XXI, p. 209;GF, II. III, §14). Definitivamente creo que este no es el caso en el programa de Hilbert.La intención de Hilbert es construir un sistema formal que replique, en forma no trivial,todas las verdades de la teoría de números. Ahora bien, para asegurarnos de que elprograma replica en forma no trivial tales verdades, debemos garantizar que no po-demos derivar la proposición “1≠1”. Si ello ocurre, diremos simplemente que el siste-ma formal no cumple la tarea que le habíamos encomendado. No tenemos por quéreaccionar ante ello como si hubiésemos detectado una terrible enfermedad. Si en-contramos una contradicción en Principia Mathematica no diremos que hemos en-contrado una terrible enfermedad que contamina nuestra forma de hacer matemáti-ca. Diremos simplemente que el cálculo que se pretendía ofrecer para un propósitoparticular no llena los requisitos que le exigíamos previamente.

La preocupación de Hilbert ante una posible contradicción es una preocupacióntécnica que hace referencia a un sistema formal particular. No se trata del temorgeneralizado ante la contradicción. Temor estigmatizado por Wittgenstein. El filósofo

20 Posiblemente Gödel se refiere a RFM, Apéndice III § 17.21 Citada en Wang, Hao (1991), p. 92.


austríaco quiere mostrarnos que en muchos casos el temor a la contradicción se origi-na en una superstición. Pero se equivoca si pretende hacer de ésta una máxima gene-ral. Ante la exigencia del matemático: “¡no debes permitir que circule una contradic-ción!” Wittgenstein cree a veces que se puede responder con posibles casos deaplicación de contradicciones en diversos juegos de lenguaje: de un objeto en movi-miento podríamos decir que está y no está en determinado lugar (RFM, VII, § 11); laexpresión “sal del salón y no salgas del salón” podría significar, en cierto contexto,“abandona el salón en forma vacilante” (LFM, XVIII, p. 175). Diseñar ingeniosamentetales contextos de aplicación no significa que el temor a la contradicción se apoye enuna superstición. En las conferencias de 1939 Wittgenstein propuso el siguiente ejem-plo: imaginemos un juego en el que le decimos a alguien “siéntate y no te sientes” y élresponde sentándose dubitativamente. Wittgenstein propone con el ejemplo, aunquede ello no estoy del todo seguro, mostrar una extraña situación en la que una contradic-ción aparentemente tendría un buen uso. Recordemos la intención de Wittgenstein alidear situaciones exóticas: llevarnos a una situación que nos obligue a ver las cosasdesde otro punto de vista. En estos casos particulares Wittgenstein intenta cambiarnuestra imaginería frente a la contradicción. Este tipo de divagación produjo una airadareacción de parte de Turing: “Nosotros estabamos discutiendo la ley de contradicciónen conexión con el uso que se le da en el lenguaje ordinario, no en conexión con unlenguaje modificado en una forma arbitraria tal como a usted le gusta proponer” (LFM,XIX, p. 185). Creo que Wittgenstein comete un error al insinuar que todos los cálculosson iguales. El cálculo que sugiere Hilbert es muy diferente a los juegos de lenguaje enlos que una expresión de la forma “p y no p” puede tener un uso determinado. En otraspalabras, dado que puedo idear un juego particular en el que “p y no p” tiene un usoparticular, no por eso puedo imaginar que Hilbert puede darle un uso adecuado a “1≠1”en su sistema. Creo que Wittgenstein22 exagera al creer que Hilbert pretende instauraruna forma de duda cartesiana en las matemáticas, una forma de duda que nos parali-zaría hasta no encontrar una demostración de consistencia.

En otras ocasiones Wittgenstein sugiere la posibilidad de inmiscuirse, en formadespreocupada, al interior de un cálculo y reaccionar ante una contradicción sólo en elmomento de toparnos con ella23. Veamos de cerca la estrategia: “Pero ¿es falsodecir: ‘Bien, yo sigo mi camino. Si veo una contradicción, entonces es el momento de

22 Esta es, al menos, la lectura que recomienda Wright acerca de Wittgenstein: “Repetidamente [Wittgenstein] pa-rece presentar lo que equivaldría a una clase de duda cartesiana acerca de la certeza de las matemáticas.” (Wright, C.(1980), p. 312). Para sostener esto Wright se vale de pasajes que aluden claramente al genio maligno de Descartes (RFM,I, § 136). El comentarista aclara a continuación: “Wittgenstein no está recomendando un escepticismo acerca de la cer-teza matemática, está más bien intentando exponer lo que considera una incoherencia en la actitud de aquel que piensaque una prueba de consistencia hace cosas de alguna manera más seguras.” (Op. cit., p. 313). Esta postura de Wrightobscurece el hecho de que Wittgenstein pretendía, más bien, demostrar la ininteligibilidad de las tesis escépticas enprincipio atribuibles a Hilbert. No quería, como sí pretendía Gödel, debilitar el espíritu de izquierda de Hilbert fracturándolopor dentro. Hilbert esperaba que una prueba de consistencia desvaneciera las pretensiones escépticas. Gödel pretendíaque la imposibilidad de aportar dicha prueba fuese el argumento decisivo contra el escéptico. Wittgenstein, contrario alos dos matemáticos, deseaba poner en evidencia la ininteligibilidad de la exigencia formulada por el escéptico.

23 Véase, por ejemplo, PR, apéndice 2, p. 319; GF, II, III, 14.


hacer algo.’? -¿Significa esto: no hacer matemática realmente? ¿Por qué no ha de seresto calcular? Continúo tranquilamente este camino; si llegara a un precipicio intenta-ría dar la vuelta. ¿No es esto caminar?” (RFM, III, § 81). Un filósofo que pretende queenfaticemos más las diferencias que las similitudes, no puede repentinamente suge-rir una similitud entre calcular evitando una contradicción y caminar evitando un preci-picio. No podemos decirle al matemático que quiere construir una nueva geometríamodificando el quinto postulado de Euclides que no se preocupe por una posiblecontradicción oculta salvo si ella se hace manifiesta. Un sistema formal que pretendereplicar, de una manera no trivial, las verdades de la teoría de números pero albergauna contradicción puede seguir siendo considerado un cálculo. No obstante, sería uncálculo inútil pues no lograría satisfacer la condición de su creación. Nadie pretendesostener que un cálculo que alberga una contradicción no es ya un cálculo. Pero loque sí se sostiene es que un cálculo que alberga una contradicción no puede replicar,en forma no trivial, las verdades de la teoría de números. No sólo buscamos unsistema que replique “2+3=5”, también queremos un cálculo que no replique “2+3≠5”.El argumento: “puedo seguir sin preocuparme por una contradicción y sólo intervenircuando encuentre efectivamente una” no invalida el que me imponga como tareasugerir un cálculo en el que procure evitar de antemano la presencia de “1≠1”. Asícomo Wittgenstein recomienda resaltar las diferencias cuando encontramos concep-tos que parecen exigir un tratamiento análogo, igualmente debemos resaltar las dife-rencias cuando nos encontramos con usos diversos de aquello que parece ser lamisma actividad. En ese orden de ideas, está bien que el tendero no se preocupeante la posibilidad de que exista una contradicción oculta en nuestros cálculos yespere pacientemente a tomar una decisión sólo en el momento en el que se presen-te el inconveniente. Pero no por eso hemos de exigir la misma conducta de parte delmatemático. Los dos hacen un uso muy diferente del cálculo que afirman compartir.Cuando el matemático se preocupa por una contradicción oculta no tiene en su mirauna posible aplicación –no está pensando en las dificultades de un tendero quepretende llevar sus cuentas en orden24-. Es precisamente por esa razón que en mu-

24 Paul Bernays tiene una reserva crítica similar frente a la metodología de Wittgenstein: “Wittgenstein arguye comosi las matemáticas existieran únicamente para los propósitos de amas de casa”. (Bernays, Paul (1986), p. 176). La rese-ña de Bernays acerca de los comentarios de Wittgenstein sobre las proposiciones de la matemática adolece de la mis-ma fragilidad que hemos comentado en repetidas ocasiones en la presente investigación: no contextualiza las observa-ciones de Wittgenstein en el marco general de sus intenciones filosóficas. Bernays, como muchos matemáticos, estámás interesado en pescar imprecisiones matemáticas, que sin duda las hay, en los argumentos del filósofo. Bernays noestablece conexiones con las Investigaciones filosóficas ni tampoco con Sobre la certeza. Una muestra de la falta declaridad en la comprensión global de las intenciones del filósofo puede advertirse en el hecho de pretender hacer deWittgenstein un defensor de las teorías asociadas con el finitismo estricto. Si Wittgenstein optara por defender algunaversión de teoría fundacionalista, no habría forma de reconciliar dicha actitud con la declaración expresa en las Investi-gaciones filosóficas que dice lo siguiente: “La filosofía no puede en modo alguno interferir con el uso efectivo del len-guaje; puede a la postre solamente describirlo. Pues no puede tampoco fundamentarlo. Deja todo como está. Deja tam-bién la matemática como está y ningún descubrimiento matemático puede hacerla avanzar.” (IF, § 124). En ocasionesWittgenstein recrea ejemplos que se apoyan en argumentos finitistas, en otras ocasiones se apoya en argumentosintuicionistas, logicistas o formalistas. En todos estos casos conviene advertir las intenciones terapéuticas de los ejem-plos del filósofo. En otras palabras, mientras no tengamos claridad acerca de la metodología general de Wittgensteinsomos propensos a interpretar mal sus anotaciones.


chas ocasiones el matemático puede encontrar que las anotaciones de Wittgensteinhan equivocado el blanco. Hilbert no propone que suspendamos nuestros cálculoshasta no haber construido un sistema formal que, por un lado, replique formalmentetodas las verdades de la teoría de números y que, al mismo tiempo, tenga el sufi-ciente poder para mostrarnos que no puede albergar contradicción alguna. En estesentido creo que la actitud de Hilbert posee cierto parentesco con la actitud de Des-cartes: la intención no es aplazar nuestra creencia en la existencia del mundo exterior,sino buscar la forma de asentarla en piso firme. Esto deja en nosotros la impresiónde que Wittgenstein elabora una caricatura de Hilbert para proceder a continuación adesmantelarla a su antojo.

Podemos adiestrar a alguien en una técnica particular y esperar que reaccioneadecuadamente ante la orden: “tráeme un x”. También lo podemos adiestrar pararesponder a la orden “tráeme un x y tráeme un y”, y a la orden “tráeme un x pero no metraigas un y”. Este juego de lenguaje puede funcionar sin tropiezo alguno, excepto eldía en que le damos la orden: “tráeme un x, pero no me traigas un x”. En este casosentimos que la contradicción nos paraliza. Podríamos a continuación desplegar unatécnica adicional para instruir al interlocutor para que excluya este tipo de órdenes. Notenemos la obligación de pensar que el juego anterior estaba viciado en virtud de queno habíamos detectado aún la posibilidad de que albergase una contradicción. Esteejemplo ilustra más claramente la actitud de Wittgenstein frente a la contradicción. Lapregunta que nos aqueja es: ¿podemos extender este tratamiento sin más al casoformulado por el programa de Hilbert? Mi respuesta categórica es: ¡No!

La contradicción nos paraliza. Tan pronto nos topamos con una contradicción obien abandonamos el cálculo que estabamos tratando de construir –esto podría dar-se en el caso de hallar una contradicción en Principia Mathematica-, o bien modifica-mos las reglas agregando una regla que prohiba la contradicción –en el ejemplo delpárrafo anterior habríamos podido agregar la orden: “tráeme x, pero no me traigas y,siempre que x≠y”-, o bien ideamos un nuevo uso para la contradicción –cuandoalguien dice “sal y no salgas del cuarto” nosotros procedemos a salir en forma vaci-lante-, etc. No podemos pensar en adoptar la misma actitud en relación con juegosdiversos en los que aparece en forma explícita una contradicción. Wittgenstein usacon frecuencia el ejemplo de los estatutos del protocolo de un país ficticio: unacláusula estipula que el vicepresidente debe sentarse siempre cerca al presidente endías de fiesta; en tanto que otra cláusula estipula que el vicepresidente debe sentar-se en medio de dos mujeres. Podemos imaginar también que la dificultad hubiesepasado inadvertida pues casualmente el vicepresidente siempre se enfermaba endías de fiesta. Una vez advertida la dificultad que envuelven los estatutos podemosproceder a establecer una estipulación ad hoc para salvar la incomodidad. Podemos,por ejemplo, exigir que el presidente sea siempre de sexo femenino. Lo que nopuede pretender Wittgenstein es que adoptemos la misma estrategia cuando se


trata de una contradicción en un cálculo matemático. No podemos decir: “confíen enel cálculo. Cuando derivemos ‘1≠1’ adoptaremos una estipulación ad hoc que salve ladificultad”. En matemáticas no podemos conformarnos con la pobre idea de ir arre-glando las cargas en el camino.

Estos casos pueden conducirnos a formular la pregunta: “bien! ¿por qué nofunciona la contradicción?”. Nos sentimos, entonces, inclinados a buscar una res-puesta, a encontrar algo que nos constriña y nos obligue a erradicar la contradicción.Cuando Wittgenstein propuso la notación veritativo funcional en el Tractatus, siguien-do, entre otras cosas, a Frege, no pretendía con ello explicar por qué no funciona lacontradicción. Pretendía ofrecer un simbolismo para la proposición, no su explicación(LFM, XVIII, p. 177). En las discusiones con Turing acerca de la contradicciónWittgenstein pretende acallar una pregunta desconcertante, pretende que abandone-mos la actitud inquisitiva. “Nosotros comparamos la mayoría de las veces una con-tradicción con algo que nos atasca. Yo diría que aquello que nosotros damos y con-cebimos como una explicación de por qué una contradicción no funciona es sólo otraforma de decir que nosotros no queremos que funcione.” (LFM, XIX, p. 187). Lo queestá en juego parece ser, entonces, una decisión. Sin embargo, debemos recordarlas anotaciones al sentido que Wittgenstein le da a la noción de decisión en estoscasos. No nos convencemos de una verdad particular, sino que nosotros calculamosasí como si nos hubiésemos decidido a hacerlo de esa manera.

Después de leer con atención las incomodidades de Wittgenstein frente a laexigencia de una demostración de consistencia es posible advertir que el filósofoestá tratando de decirnos algo importante salvo que ha equivocado por completo laforma que ha elegido para comunicárnoslo. Por eso el matemático profesional sienteque las anotaciones de Wittgenstein tan sólo le atañen tangencialmente. Al fin decuentas, ¿qué tienen que ver las preocupaciones del matemático con los problemasprácticos de un tendero, o con comunidades exóticas que calculan en términos abso-lutamente ininteligibles para nosotros? Wittgenstein se obsesiona por el cálculo in-corporado en una forma de vida –eso está bien-, pero ¿acaso los cálculos que reco-mienda Hilbert no están también involucrados en la forma de vida de una comunidadparticular? Wittgenstein sospecha que la exigencia de una demostración de consis-tencia está mal fundamentada. Pero se equivoca al pensar que basta con ofrecerrelatos psicológicos o antropológicos, o con denunciar que se funda en una supersti-ción para con eso debilitar los programas de investigación que persiguen tal demos-tración. Si contáramos con un sistema formal cuya traducción replica una parte finitae importante de las verdades de la teoría de números y, al mismo tiempo, contára-mos con una demostración de consistencia que hace uso de las mismas herramien-tas del sistema, no hay duda en que contaríamos con un instrumento muy valioso.Sabríamos, por ejemplo, que no hay manera de derivar complicaciones de la forma“1≠1”. Ahora bien, la pregunta importante se puede formular así: ¿es posible adelan-


tar tal prueba con las herramientas del sistema? La respuesta de Gödel es máspoderosa que la respuesta de Wittgenstein. Gödel reconoce las particularidades dela pregunta de Hilbert, se inmiscuye en su sistema hasta los tuétanos, reconoce lasparticularidades y condiciones del problema mismo. En otras palabras muestra queno es posible adelantar tal demostración inmerso en el juego mismo que se propone.Así las cosas, mientras las anotaciones de Wittgenstein, con su tono antropológico,tocan apenas tangencialmente las preocupaciones del matemático, las demostra-ciones de Gödel llegan al corazón del matemático.

Después de advertir que la respuesta de Gödel a la pregunta anterior es máspoderosa, pues reconoce las herramientas del programa de Hilbert para fracturarlodesde el interior, podemos reorientar la pregunta en estos términos: ¿es necesarioexigir una prueba de consistencia con las herramientas del sistema? En este caso larespuesta de Wittgenstein, a pesar de la tosquedad con la que se formula, es, a mijuicio, más poderosa que la de Gödel. Gödel reconoce la necesidad de la exigencia,y asume, así mismo, que la prueba de imposibilidad muestra no sólo las limitacio-nes del formalismo, sino que sospecha también, como lo hemos visto en detalle enel primer capítulo, la no independencia de la razón en la construcción del conocimien-to matemático. Wittgenstein, como hemos tratado de mostrar en la sección anterioral referirnos a problemas ajenos al razonamiento matemático, pretende evitar el pasoque nos conduce a una exigencia de fundamentos. “Mi propósito”, aclara el filósofo,“es cambiar la actitud frente a la contradicción y frente a la prueba de consistencia.(No, mostrar que esta prueba me muestra algo sin importancia. ¡Cómo podría, ade-más, ser así!)” (RFM, III, § 82). Una prueba de consistencia, como las hay parasistemas formales menos poderosos que Principia Mathematica o sistemas afines,sin duda nos muestra algo de suma importancia25. Cuando Wittgenstein formula, entérminos toscos, su posición frente a la contradicción, pretende que nosotros cam-biemos de actitud. No pretende que abandonemos una postura teórica para adoptarotra. No sugiere que incorporemos en nuestros esquemas conceptuales una máximaque rece: “no es necesario hacer tanto escándalo por una contradicción, nosotrospodríamos convivir con ella”. Es muy importante que hagamos lo posible por evitardicha lectura. Es cierto también que una lectura desprevenida y ligera puede fácil-mente conducirnos en esta dirección. ¿Qué cambio de actitud recomiendaWittgenstein? Nuestros juegos de lenguaje, así como nuestros cálculos, no estánasentados en tierra absolutamente firme. Su firmeza, por decirlo de alguna manera,se deriva de la organización del conjunto. Ahora bien, no contemplamos dicha orga-nización desde otro punto de vista, simplemente vivimos en ella. Tanto Wittgensteincomo Gödel, creo yo, coinciden en una actitud hacia el programa de Hilbert: uncálculo no puede darnos información ni decidir acerca de los fundamentos de lamatemática (PG, II, III, § 12). No es un cálculo el que nos da derecho a hacer matemá-

25 Véase por ejemplo las pruebas aportadas por Herbrand.


tica tal como lo hacemos. Wittgenstein y Gödel difieren, no obstante, en el siguientepunto: Gödel piensa que es la intuición matemática, soportada en la idea de unarealidad matemática independiente, la que nos da ese derecho; Wittgenstein creeque la aparente indagación por dicho derecho está asentada en la falta de una visiónsinóptica de nuestra gramática. El filósofo no pretende sugerir un cálculo que puedadarle cabida a la contradicción, pretende, más bien, mostrarnos que la necesidad deevitar la contradicción no está fundamentada en un constreñimiento exterior.

Si contáramos con una prueba de consistencia, ella nos mostraría que carece desentido querer producir una contradicción en el cálculo particular. Así como una prue-ba de geometría euclidiana nos muestra que no tiene sentido que nos empeñemosen construir un triángulo cuya suma de ángulos internos supere dos rectos. Igualmen-te, la prueba de la imposibilidad de la demostración de consistencia de un sistemaimpide que contemplemos el sistema como si no hiciésemos parte de él.

Si ocurre que sólo la prueba de consistencia me permite fiarme del cálculo yGödel tiene razón, me refiero al teorema de incompletitud, no podremos, entonces,fiarnos del cálculo. Ahora bien, Gödel cree que a pesar de la prueba de imposibilidadde una demostración de consistencia podemos, aún así, confiar en el cálculo, puesuna realidad independiente nos constriñe de alguna manera. Wittgenstein, por suparte, cree que a pesar de la prueba de imposibilidad de una demostración deconsistencia podemos, aún así, confiar en el cálculo sin necesidad de postular ningu-na clase de constreñimiento. Mientras Gödel responde: “confiamos porque una rea-lidad se me impone en la intuición”, Wittgenstein responde: “así calculamos”26.

Relacionemos: a) obtener una demostración, con las herramientas del sistema,de la imposibilidad de hallar una contradicción, y, b) construir un heptágono regularcon regla y compás. La prueba de la imposibilidad de b) cambia nuestra perspectivade las construcciones con regla y compás, de hecho cambia nuestra investigacio-nes: suspendemos nuestros intentos de construcción y logramos ver con claridadpor qué fallaron nuestros intentos anteriores. ¿Por qué no íbamos a esperar que unaprueba de imposibilidad de a) cambiara igualmente nuestra perspectiva de la arit-mética? En el caso b) ya no buscamos cierta construcción con regla y compás; en elcaso a) ya no buscamos cierta demostración. Sin embargo, mientras en el caso b)buscábamos una construcción a todas luces posible, en el caso a) buscábamos unademostración innecesaria. Queríamos exigirle a la gramática una prueba interna desu validez.

En algún sentido las actitudes de Wittgenstein y de Gödel hacia la pregunta deHilbert coinciden. Ambos muestran una limitación del programa. No obstante, mien-tras Gödel asume la legitimidad de la pregunta y muestra la imposibilidad de respon-der afirmativamente, Wittgenstein pretende debilitar la misma formulación de la pre-

26 Agrego a continuación un comentario que el profesor Fernando Zalamea ha formulado a esta parte de la investi-gación: “y la matemática moderna responde: ‘confiamos porque las redes estructurales de consistencia relativa se aco-plan bien entre sí’.”


gunta. Wittgenstein adelanta diversas estrategias encaminadas a debilitar tal formu-lación. Algunas de dichas estrategias, como hemos anotado en algunos ejemplos,desafortunadamente poseen una carga antropológica que termina por desatender elblanco principal27. Gödel muestra las limitaciones del programa participando en eljuego propuesto, pero intenta a continuación fisicalizar la investigación: postula unaultrarealidad que constriñe nuestro intelecto en una dirección particular. Wittgenstein,al contrario, interpreta el teorema de incompletitud como la expresión de una exclu-sión gramatical. De esto nos ocuparemos en el último capítulo de la presente inves-tigación. El temor al error, comentado en la sección anterior, es análogo al temor a lacontradicción. Sin embargo, es la clarificación de la gramática y no el aporte de nuevainformación lo que desvanece el temor a la contradicción. El teorema de Gödel apor-ta, precisamente, esa clarificación.

La proposición matemática posee la facultad de sorprendernos. Estamos incli-nados a preguntar: ¿qué clase de ultrarealidad describe que logra insuflar el tipo denecesidad que reconocemos en ella? Cuando realmente deberíamos preguntar: ¿cuáles el papel que desempeña en nuestra gramática? “El pedestal, sobre el que paranosotros está la matemática, lo ha conseguido ésta gracias al papel concreto quesus proposiciones desempeñan en nuestros juegos de lenguaje.” (RFM, VII, § 6). Loque muestra la proposición matemática se sustrae a la duda. No podemos investigarel motivo de esta peculiar exigencia pues para ello nos haría falta un criterio. Lainvestigación de Hilbert parece una investigación encaminada a aportar los criterios.La demostración de Gödel cierra los caminos que pretenden una fundamentaciónformalizada, en tanto que las anotaciones de Wittgenstein tranquilizan el poder inqui-sitivo de la razón. Así como los egipcios preguntaban “¿qué sostiene a la Tierra?” yAnaximandro introducía una forma de presentación que anulaba la pregunta; de lamisma manera, los matemáticos han preguntado “¿qué sostiene a la matemáticacon tanta firmeza?” y Wittgenstein ha tratado de introducir una forma de presentaciónque anula la pregunta. La actitud de Wittgenstein frente al programa de Hilbert pue-de, quizá, resumirse en una de sus intervenciones en las conferencias dictadas enCambridge en 1939: “A partir de una cita de Hilbert: ‘Nadie nos expulsará del paraísoque Cantor ha creado’ yo diría: ‘Yo no soñaría con expulsar a alguien de este paraíso’.Trataría de hacer algo completamente diferente: trataría de mostrar que no hay talparaíso.” (LFM, XI, p. 103). En otras palabras, Wittgenstein trata de mostrarnos que

27 En las Observaciones sobre los fundamentos de la matemática Wittgenstein explica así su peculiar estrategia:“Veremos la contradicción a otra luz completamente diferente si consideramos su aparición y sus consecuenciasantropológicamente, por así decirlo, que si la miramos desde la exasperación matemática. Es decir, la veremos de otromodo si intentamos nada más describir cómo la contradicción influye en los juegos de lenguaje; que si la miramos desdeel punto de vista del legislador matemático.” (RFM, III, § 87). Wittgenstein califica la actitud de Hilbert con la expresiónexasperación matemática y pretende que nosotros renunciemos a dicha exasperación aportando ejemplos antropológicos.He tratado de mostrar que Wittgenstein, en cierto sentido, equivoca el blanco. Nosotros podemos renunciar a la exaspe-ración matemática sólo si logramos tener una visión clara de la gramática que está en juego y esta visión clara se obtie-ne si nos sumergimos en las exigencias del programa de Hilbert. La exasperación a la que alude Wittgenstein tiene quever con la intención del matemático de estructurar las reservas frente a la contradicción como si pudiésemos imaginarque se trata de una supercerca tendida ante nuestra vista para impedir que contemplemos más allá.


estamos seducidos por una imagen que persigue la rigidez absoluta. Quiere, enton-ces, llevarnos de regreso al terreno áspero. No obstante lo anterior, Wittgenstein noestá interesado en desenmascarar alguna clase de error presente en las demostra-ciones particulares de Cantor o de otros matemáticos. Quiere, más bien, atacar lasimágenes que suelen acompañar tales resultados. Es decir, desenmascarar la prosaque acompaña la presentación de un resultado matemático.

¿Qué quiere hacer Wittgenstein con los ejemplos exóticos acerca de la contradic-ción? No pretende que abandonemos aquellos cálculos que han evitado, como enuna composición de filigrana, la presencia de contradicciones. No quiere que reem-placemos esos cálculos por otros invadidos de contradicciones. Quiere mostrarnosque no es necesario concebir un fundamento a priori para querer evitar la contradic-ción. Nosotros evitamos la contradicción en nuestros cálculos. Pero esto hace partede la esencia del cálculo, no estamos con ello tratando de satisfacer una exigencia ala que nos vemos obligados. Wittgenstein crea ficciones con nuevas lógicas y nue-vas formas de hacer matemáticas para rescatar el carácter arbitrario de cada una deellas, incluida aquella que subyace a todas nuestras formas de vida. No obstante, nolo hace para mostrarnos que todo vale, no lo hace para recomendarnos que incorpo-remos otros cálculos. Nuestros cálculos funcionan en orden, nada en ellos está, porprincipio, contaminado. La metodología de Wittgenstein hace parte de una estrate-gia general dirigida a que abandonemos una pregunta. Wittgenstein no quiere ofre-cernos, por decirlo de alguna manera, el camino correcto; quiere, más bien, querecuperemos la calma con el camino que transitamos. Quiere, como lo hemos dichomuchas veces, llevar la filosofía al reposo.

Nosotros aprendemos el lenguaje inmersos en una forma de vida que exige unentramado muy complejo de interacciones sociales. Aprendemos, por ejemplo, acondenar la contradicción en el ejercicio de aquello que llamamos argumentación.Después de un tiempo, y sólo después de un tiempo largo, hacemos un alto en elcamino y nos preguntamos: ¿qué nos hace condenar en forma tan vehemente lacontradicción? Nos gustaría observar el lenguaje por encima de cualquier forma devida para poder explicar las peculiaridades de nuestro uso. Nadie quiere renunciar allenguaje, pero de repente nos gustaría valernos del lenguaje para justificar el uso quehacemos de él. Estamos cómodamente sentados en una silla y de repente quisiéra-mos levantar la silla sin poner los pies sobre la Tierra: “descansa con tranquilidad,nunca lograrás mover la silla de esa manera. De otra parte, ¿para qué quieres mover-la?”. ¿Qué nos obliga a calcular así más bien que de otra manera? Cuando Wittgensteinmuestra que podríamos concebir otras formas de calcular, muestra con ello que larespuesta “¡calculamos así!” advierte una condición infranqueable. Esto, sin duda,está mal expresado. Lo que quiero decir se puede, quizá, expresar de mejor maneraasí: actuamos en concordancia con la ley de no contradicción, no porque algo, cual-quiera que sea su naturaleza, nos constriña de una manera tal que no nos deje otra


salida. “Actuamos así” es nuestro criterio de racionalidad. Esto no significa que dadoque somos racionales es por eso que condenamos la contradicción. Esto significamás bien lo siguiente: “condenamos la contradicción”, a eso lo llamamos racionali-dad. Las leyes lógicas son el paradigma de necesidad, no es que las leyes lógicas,entre otras propiedades, posean la peculiar virtud de la necesidad. La necesidad nose les impone como una característica. La imagen de la lógica como unsupermecanismo rígido nos mantiene cautivos. Vemos el movimiento de las maneci-llas del reloj. Nos sorprende su regularidad. Destapamos el reloj y encontramos todasuerte de engranajes y movimientos acompasados. Decimos entonces: “ya todoestá claro, la regularidad de las manecillas era una expresión de la rigidez del meca-nismo”. Ahora bien, también podríamos esforzarnos en contemplar las cosas así:llamamos regularidad al movimiento de las manecillas del reloj. Tal movimiento esnuestro criterio. Destapamos el reloj y observamos los engranajes, pero ahora deci-mos: “¡que interesante!, también hay regularidad en los engranajes”. Si nos topamoscon personas que se niegan a aceptar la ley de no contradicción o la ley de identidad,diremos de ellas que no se comportan como hombres razonables, en los términosdesarrollados en la sección anterior. Diremos, siguiendo a Frege, que aquellas perso-nas manifiestan una clase de locura hasta ahora desconocida para nosotros.

Wittgenstein considera un caso muy interesante para ilustrar la situación queestamos discutiendo (LFM, XX, p. 197). La sociedad condena a un hombre a la penade muerte después de un delito particular. Con el tiempo ocurre que algunos juecescondenan efectivamente a la pena capital a aquellas personas que han cometidodelitos afines, mientras que otros jueces actúan en forma más indulgente y eluden lapena capital. Esto me permite hablar de jueces inexorables y jueces indulgentes. Enestos casos nos sentimos inclinados a expresarnos de la siguiente manera: “la ley locondena a muerte ya sea que el juez lo condene o no”. En estos casos decimos quela ley es absolutamente inexorable. Esto nos induce a pensar en una suerte de super-rigidez. Así mismo, nos gustaría pensar en una especie de super-rigidez asociada alas leyes lógicas: “tú puedes darle un uso a una contradicción, si así lo deseas, perola lógica lo prohibe en forma inexorable”. La exigencia de una ley inexorable surge, eneste caso, por un uso superlativo al que nos vemos inclinados. Esta inclinación haciaun uso superlativo nos hace creer que podemos hallar las reglas para describir elrazonamiento lógico de la misma manera que intentamos hallar las leyes para descri-bir la mecánica celeste. Quisiéramos hallar una explicación que nos obligue a reac-cionar ante una contradicción de la misma manera que podemos concebir una leyque obliga a un planeta a acelerar hacia el Sol en proporción con el inverso del cuadra-do de la distancia al Sol.

Las leyes lógicas, en particular la ley de no contradicción, no expresan opinio-nes o convicciones. No dicen algo de lo cual tenemos que llegar a convencernos enalgún momento de nuestra formación. Ellas no son análogas, por ejemplo, a las


proposiciones que describen nuestra actitud heliocéntrica. No necesitamos argu-mentos convincentes para incorporar la ley de no contradicción en nuestro lenguaje,pues, por un lado, la misma ley aporta una condición para aquello que llamamosuna argumentación, y, por otro lado, nosotros solemos usar argumentos para moti-var la acción o para convencer. Cuando exigimos argumentos para convencernosde las bondades de la no contradicción le estamos pidiendo a la serpiente que sedevore su propia cola.

Cuando, consciente o inconscientemente, incorporamos las leyes lógicas en nues-tro lenguaje, estamos aceptando una técnica de organización correspondiente a nues-tros juegos de dar razones. En el fondo, el único fundamento que resta es la unidadde nuestra acción. Si trazamos la recta que une dos puntos

y después le pedimos a alguien que haga lo mismo, puede ocurrir que éstapersona responda con la figura:

No podemos mostrarle de una manera inexorable que ha hecho un uso por prin-cipio equivocado de lo mismo. Lo único que podemos hacer es persuadirle de adop-tar nuestro uso peculiar de lo mismo. En ese momento él verá las cosas bajo unaspecto similar al nuestro. No por eso diremos que lo hemos convencido o lo hemosobligado a adoptar nuestra convención. En ese momento diremos tan sólo que com-partimos una técnica, diremos que hay entre nosotros la unidad de acción que haceposible la subsiguiente comunicación. En otras palabras: pensar de acuerdo conotras leyes lógicas no significa estar en conflicto con la experiencia o desatender lalegalidad inexorable de la razón; significa, simplemente, pensar de otra manera.Aquella persona que usa las leyes lógicas de una manera diferente a la nuestrasimplemente no comparte con nosotros los esquemas que hacen posible nuestracomunicación. Diremos, simplemente: “esta persona no es uno de los nuestros”.

Hemos tratado de mostrar ciertos parentescos entre la posibilidad de estar equi-vocados frente a la proposición “la Tierra existe hace más de 5 minutos” y frente alcálculo “2+3=5”. En el primer caso imaginamos la posibilidad de haberle dadocrédito a una proposición empírica que podría, de todas maneras, falsearse. En elsegundo caso, advertimos la posibilidad de que exista una contradicción oculta en elsistema. En el primer caso buscamos una proposición que no pueda falsearse enningún contexto empírico; en tanto que en el segundo caso buscamos una prueba deconsistencia. Hemos sugerido, siguiendo a Wittgenstein, que ninguna de las dos

preocupaciones se desvanece aportando más información. Lo que se necesita, enlos dos casos, es un ejercicio de clarificación de la gramática. Un ejercicio que pongaal descubierto el papel que desempeña cada una de las proposiciones en nuestrosjuegos de lenguaje y en nuestros cálculos. Este ejercicio, como hemos tratado demostrar, conduce a desestimar las preguntas que originan la perplejidad. En el pri-mer caso hemos visto que hay proposiciones que constituyen el significado de “estarde acuerdo con los hechos” y es precisamente eso lo que les permite constituirse ennormas de control de la experiencia y distinguirse de expresiones controladas por laexperiencia. Una vez llegamos a las normas de control de la gramática se agota,entonces, la posibilidad de una exigencia de fundamentos. En ese momento debe-mos reconocer nuestras formas de vida como aquello que nos es dado en formainexorable. En el segundo caso, hemos mostrado, en primer lugar, que el teorema deincompletitud de Gödel aporta una clarificación de la gramática ya que muestra, conlas herramientas del programa de Hilbert, las limitaciones de las exigencias del pro-grama. También mostramos, en segundo lugar, que el origen de la inexorabilidad dela proposición matemática está arraigado, como en el caso anterior, en nuestrasformas de acción. No obstante, estos dos últimos puntos se han mostrado sólo deuna manera esquemática. En los siguientes capítulos abordaremos el problema enuna forma más detallada. Nos ocuparemos, en primer lugar, de la naturaleza de lademostración en la consolidación de la inexorabilidad de la matemática.

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