CONTROL ADAPTATIVO DE SISTEMAS NO LINEALES QUE ADMITEN LINEALIZACIN EXACTA. APLICACIN AL SISTEMA GLUCOREGULATORIO HUMANO.Guillermo R. Cocha, Carlos E. DAttellisFacultad Regional La Plata, Universidad Tecnolgica Nacional, La Plata, Buenos Aires, Argentina, gcocha@frlp.utn.edu.ar Grupo de Ing. Clnica U.T.N.; Dto. de Matemtica, Univ. Favaloro; Centro de Matemtica Aplicada, UNSAM, Buenos Aires, Argentina, cdattellis@yahoo.com.ar Resumen: Si un sistema tiene su grado relativo igual al nmero de estados en el entorno de un punto de equilibrio es posible efectuar una transformacin de coordenadas y una realimentacin de estados que convierte al sistema no lineal en uno lineal y controlable. Esta tcnica es aplicada en la regulacin de glucosa en el organismo humano pero, dado que la misma se basa en la cancelacin exacta de los trminos no lineales, cuando aparecen parmetros que son variantes en el tiempo o incertidumbre en los trminos no lineales del modelo, la cancelacin ya no es exacta y el control puede dejar de ser efectivo. Este trabajo presenta una ley de control adaptativo no lineal basado en tcnicas de linealizacin exacta aplicada al problema de regulacin de glucosa en pacientes diabticos por medio de infusin de insulina intravenosa y monitoreo continuo de glucosa. Palabras claves: control no lineal, control adaptativo, diabetes mellitus. 2000 AMS Subjects Classification: 15 Procesamiento de Seales e Imgenes.

1.

INTRODUCCIN

Consideremos un sistema de una entrada y de una salida (1) donde ; , , son funciones suaves. Diferenciando a respecto del tiempo, obtenemos

donde , son las derivadas de Lie sobre , respectivamente. Si ley de control tiene la forma , es decir 1

0

, entonces la

obteniendo el sistema lineal obtiene

. Para el caso en que

0 se diferencia nuevamente la (2) y se (2)

De una manera ms general, si llamamos al entero ms pequeo tal que 0 ; entonces la ley de control ser

0 para

0, , (3)

2, y

(4) Esta ley de control, llamada control por realimentacin por linealizacin exacta presupone el conocimiento en tiempo continuo de los estados [1] y de los parmetros del proceso. Su aplicacin al problema de regulacin de glucosa puede verse en [2]. Los estados del proceso se obtienen a partir del uso de observadores de estado [3], [4] pero subsiste el problema de la variacin temporal de los parmetros. Esta variacin puede llevar a que los trminos no lineales no se cancelen totalmente que es la base de la teora de linealizacin exacta. A fin de considerar este problema se presenta aqu una ley de control adaptativa basada en el trabajo de Sastry e Isidori [5] en el que sugieren el uso de un control con parmetros adaptativos, que hace asintticamente exacta la cancelacin de los trminos no lineales. 2. CONTROL ADAPTATIVO DE SISTEMAS QUE ADMITEN LINEALIZACIN EXACTA

La base de la estimacin on line es la comparacin de la respuesta del sistema observado con la salida del sistema parametrizado , cuya estructura es la misma que el modelo de la planta. Bajo ciertas condiciones de la entrada, decir que , aproxima a implica que se aproxima a que es el vector de parmetros del modelo de la planta. 2.1. SISTEMAS CON GRADO RELATIVO IGUAL A UNO. Sea un sistema de la forma (1) con 0 lo cual implica que el grado relativo es igual a 1. Si podemos escribir a las funciones y en la forma (5) , (6) 1, , ; , 1, , ; son parmetros desconocidos de las funciones conocidas . En un instante de tiempo el valor estimado de las funciones y son respectivamente (7) (8) y de respectivamente en el instante . En consecuencia,

donde y

donde y son los valores estimados de la ley de control est dada por 1

donde

,

son los valores observados de

y de

basados en

donde es el vector de parmetros reales , , es el vector estimado de parmetros, y es el error del parmetro. Entonces, ahora podemos expresar a

donde y

La ley de control usada para el seguimiento es

y la ley de control no lineal resulta ahora 1

2.2. SISTEMAS CON GRADO RELATIVO MAYOR A UNO. Extendiendo los resultados a sistemas que tienen grado relativo con 0 , la ley de control no lineal es 1 donde 0 y

En ausencia de informacin precisa sobre , , , etc. la componente del control que puede ser sintonizada con las herramientas del control lineal est dada por 2.3. APLICACIN AL SISTEMA GLUCOREGULATORIO. El modelo utilizado para el control es el modelo de mnima de Bergman [6], cuya expresin vectorial es 0 0 1

,

(9)

. 0 0

cuyo grado relativo es igual a tres. Para poder expresar a expresar a (9) como 0 0 0 0 0 0 0 0

ya

en la forma (7) y (8) se puede

(10) 1

0

0

1

0 0 1

0

0

1

0 0

(11)

la expresin (10) queda como 0 , 0 con , , 0 0

,

0 ,

,

0

,

0 0 , ,

, 1,

,

0 0

,

y realizando las operaciones y

se obtiene la ley de control adaptativa del sistema glucoregulatorio 1

1

Por ltimo, se realiza la sintonizacin de los componentes lineales. 3. CONCLUSIONES Se presenta aqu una primera aproximacin al problema del control adaptativo de procesos biolgicos, se destaca como resultado interesante que la componente 1 no involucra al parmetro como si ocurre con la versin invariante en el tiempo lo cual simplifica notablemente la sintonizacin del control. En una prxima etapa se compararn las simulaciones realizadas con datos experimentales de mediciones continuas de glucosa, las cuales son extremadamente difciles de obtener.

REFERENCIAS[1] C. DATTELLIS, "Introduccin a los sistemas no lineales de control y sus aplicaciones.", AADECA, 1992. [2] G. COCHA, V. COSTANZA, C. DATTELLIS,. Control No Lineal de la Diabetes Mellitus. Anales de la RPIC, Rosario, 2009. [3] G. COCHA, V. COSTANZA, C. DATTELLIS, Observadores No Lineales en el Control de la Diabetes Mellitus Anales 1 Congreso de BioIngeniera, Costa Rica 2009. Vol 1, 325-331. [4] G. COCHA, M. PODEST, C. DATTELLIS, Regulacin automtica de glucosa en pacientes insulinodependientes. Anales del Congreso de Ingeniera Clnica y Bioingeniera, Paran, Octubre de 2010. [5] S. SARTRY, A. ISIDORY, "Adaptive control of linearizable systems.", IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 34, NO. 11, pp 1123-1131, Noviembre 1989. [6] E. H.C: Morris, B.OReilly, D Streja "A New Bifasic Minimal Model", Proceedings of the 26th Annual International Conference of the IEEE EMBS, San Francisco USA, Septiembre 1-5, 2004.