15 modulo geom ejercicios resueltos[3]

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1 Facultad de Ciencias Básicas, Sociales y Humanas

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1

Facultad de Ciencias Básicas, Sociales y Humanas

Page 2: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

2

MÓDULO DE GEOMETRIA

Material Didáctico para el Estudio de

Geometría

CARLOS MARIO RESTREPO ORTIZ

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS

POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID

MEDELLÍN

2013-02

Page 3: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

3

INTRODUCCION

Geometría (del griego geo, “tierra” y metrein , “medir”), rama de las

matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio.

A la pregunta ¿para qué sirve la Geometría? Podemos dar un gran número de

respuestas, que dependen, principalmente, de las actividades del que la estudia

y de los propósitos de quien la imparte, como ciencia aplicada, podemos decir

que la Geometría es indispensable en el arte, la industria, la topografía, etc.

Esto no significa que un mecánico o un topógrafo aplique los teoremas

estudiados en Geometría de una manera directa, sino que las reglas y métodos

que usa en su trabajo se deducen de las proposiciones geométricas. Si se trata

de un estudiante que desea alcanzar un título profesional, podremos decirle

que dicha ciencia desarrolla las competencias básicas en la interpretación de

situaciones problema, la competencia propositiva en la búsqueda de

alternativas de solución y la argumentación de la validez de dichas propuestas.

El primero que investigó sistemáticamente los principios sobre los que se basa

la Geometría, y que aplicó los métodos de la lógica a su desarrollo sistemático,

fue Pitágoras (569-500 a. de J.C. ), vivio durante varios años en Egipto y

posteriormente se estableció en una colonia griega en el sur de Italia

dedicándose a la enseñanza de la Geometría, Filosofía, y Religión, intentando

basar estas dos últimas sobre principios matemáticos. Su escuela llegó a ser

una especie de hermandad y, finalmente, tuvo carácter de sociedad secreta. El

emblema de la sociedad era la estrella de cinco puntas dibujadas sin levantar la

pluma del papel. En el estudio de las propiedades de esta figura, los pitagóricos

descubrieron también muchas propiedades de los triángulos y de los

pentágonos. De Euclides se sabe muy poco aparte de los hechos de que nació

hacia el año 330 a. de J.C. y murió hacia 275 a. de J.C., que pasó la mayor parte

de su vida en Alejandría y que durante muchos años enseño matemáticas en

aquella Universidad y a discípulos particulares. Se le atribuye la frase de que

"no hay ningún camino real que conduzca al saber". Aunque se sepa tan poco de

la vida de Euclides su obra llena una gran parte en la Historia de las

Matemáticas. Muchos de sus discípulos se hicieron famosos y han dejado

descripciones de sus enseñanzas, de sus descubrimientos y de sus escritos,

habiendo llegado hasta nosotros la mayoría de estos últimos. Escribió libros

sobre muchos temas científicos, pero sus obras más famosas son las de

Aritmética, Álgebra y Geometría, siendo esta última la que sirve

principalmente de fundamento a su celebridad.

Euclides escribió los Elementos en los últimos años de su vida y fueron el

primer libro completo de esa materia. Sistematizaba toda la materia

Page 4: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

4

meticulosamente, enunciaba con gran precisión sus fundamentos, simplificaba

muchos de los enunciados y demostraciones de las proposiciones, y clasificaba,

ordenaba y numeraba todos los principios fundamentales, las definiciones y las

proporciones. También contienen muchas proposiciones originales del mismo

Euclides. Se adoptó inmediatamente como libro de texto, y más tarde se

extendió por todo el mundo. Ha sido traducido a muchos idiomas y ha llegado a

nosotros tal y como Euclides lo dejó, siendo utilizado durante mucho tiempo

como libro de texto, y también como modelo y base de todos los otros libros de

la llamada Geometría Elemental.

En el presente modulo nos dedicaremos especialmente a la solución de

problemas de geometría, no entraremos a trabajar el aspecto teórico, ya que

este se encuentra muy bien contemplado en las notas de clase de nuestro

compañero Carlos Vargas, los ejercicios aquí resueltos hacen parte de los

ejercicios propuestos en dichas notas. Con este trabajo pretendemos dar a

nuestros alumnos una mayor cantidad de ejemplos de la aplicación de los temas

desarrollados en el programa de Geometría.

Agradezco la colaboración de mis compañeros en la realización y revisión de

este trabajo especialmente al docente Carlos Rios.

Page 5: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

5

TABLA DE CONTENIDO

PAGINA

1. NOCIONES BASICAS : LINEA RECTA, SEGMENTOS Y ANGULOS 6

2. TRANGULOS: ELEMENTOS Y CONGRUENCIA 14

3. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD 23

4. CUADRILATEROS 34

5. CIRCUNFERENCIA 44

6. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA 58

7. AREAS 67

Page 6: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

6

UNIDAD 1 Y 2

ELEMENTOS BASICOS DE GEOMETRIA, SEGMENTOS Y ANGULOS

1. ¿Por qué puede afirmarse la existencia de puntos exteriores a un plano?

GRAFICA 1

Puede afirmarse la existencia de puntos exteriores a

un plano asumiendo la existencia del espacio o de la

existencia de otro plano paralelo al primero.

2. ¿Qué garantiza la existencia de mínimo cuatro puntos no coplanares?. Explique.

GRAFICA 2

Podemos garantizar la existencia de mínimo cuatro

puntos no coplanares, al garantizar la existencia de

otro plano en el espacio.

3. ¿Por qué dos puntos siempre son colineales?.

GRAFICA 3

Dos puntos A, B siempre serán colineales porque

podemos garantizar la existencia de una línea que los

une.

4. ¿Tres puntos siempre son colineales?. Ilustre las posibles alternativas.

GRAFICA 4

No podemos garantizar que tres puntos en el

plano siempre sean colineales, en este caso a y

Page 7: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

7

5. ¿Cuántos planos pasan por un punto dado? Ilustre.

GRAFICA 5

Por un punto pasan infinitas rectas, una recta está

contenida en infinitos planos; por lo tanto podemos

asegurar que por un punto pasan infinitos planos.

6. ¿Cuántos planos pasan por tres puntos colineales dados?. Ilustre.

GRAFICA 6

Por tres puntos colineales pasa una sola línea recta;

pero dicha recta está contenida en infinitos.

7. Diga una condición necesaria y suficiente para que dos planos coincidan.

GRAFICA 7

Dos planos , serán coincidentes si tienen tres

puntos comunes. En este caso los puntos A, B, C

pertenecen a los dos planos.

8. ¿Si una recta y un plano tienen dos puntos comunes, la recta puede tener algún punto que no

pertenezca al plano? ¿Por qué?

GRAFICA 8

Observemos la gráfica la recta L y el plano tienen

dos puntos comunes A , B por lo tanto todos los

puntos de la recta son comunes al plano

Page 8: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

8

9. ¿Dos rectas coplanares tienen que ser paralelas?. Ilustre las posibles alternativas.

GRAFICA 9

Dos rectas coplanares no necesariamente tienen que

ser paralelas, pueden tener un punto común y estar en

el mismo plano

10. ¿Dados cuatro puntos no colineales, cuántas rectas pueden trazarse tales que cada una

contenga mínimo dos de ellos?. Ilustre las posibles alternativas.

GRAFICA 10

Si tenemos cuatro puntos A , B, C, D no colineales y no

necesariamente coplanares entonces tendremos como

caso extremo tres puntos coplanares A , B, C y D

externo al plano , desde D podemos trazar tres

líneas dirigidas hacia A, B, C y en el plano podemos

construir otras tres líneas entre A, B, C en total 6

rectas

11. ¿Dados cuatro puntos no coplanares, alguna tripleta de ellos serán colineales?. Explique.

Como podemos observar en la gráfica 10 A, B, C, D no son coplanares y las combinaciones ( )( ) ( ) ( ) están contenidas en diferentes planos y ninguna de las cuatro

posibilidades tiene que ser tres puntos colineales

12. ¿Dados n puntos, ( nZ , n 4), con ninguna cuarteta coplanares, cuántos planos pueden

trazarse tales que cada uno contenga tres de ellos?

Si tomamos con n = 4 con el caso de la gráfica 10 observamos cuatro planos, si tomamos otro punto E

por fuera de los cuatro planos se forma otra serie de planos tomando el punto E con dos puntos de los

anteriores ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) en total 36, si continuamos podemos

formar n +1 planos con cuartetas no coplanares.

13. Dados dos planos paralelos 1 y 2, ilustre dos rectas cruzadas L1 y L2, tales que L1 1 y L2

2.

GRAFICA 11

En la gráfica podemos observar , planos

paralelos , donde además =

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9

14. Dados dos planos 1 y 2 secantes en la recta L, ilustre dos rectas cruzadas L1 y L2, distintas

de L, tales que L1 1 y L2 2 .

GRAFICA 12

en la gráfica 12 podemos observar que

donde y donde

15. Encontrar la medida del suplemento de cada uno de las siguientes ángulos: 100, 80, n, 140,

(180n).

Recordemos que el suplemento de un ángulo es un ángulo cuya medida es por lo tanto

tenemos:

-

-

( )

( ) ( ) 90 +

16. Dados dos ángulos suplementarios, si uno de ellos mide 30° más que el otro, ¿cuánto mide cada

uno?

suplementarios

( ) 180°

2

2 180° - 30°

2

17. Encontrar la medida de un ángulo sabiendo que cuatro veces su medida es igual a cinco veces la

medida de su suplemento.

Recordar:

- Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°

180

= 5veces

180

Page 10: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

10

18. Si la medida del complemento de un ángulo es un tercio de la medida del suplemento del ángulo,

¿cuál es la medida del ángulo?.

Recordar:

- Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°

- Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°

El presente ejercicio podemos solucionarlo generando dos ecuaciones con dos incógnitas y

aplicando los métodos de sustitución o igualación

( ) ( )

( )

Si el resultado obtenido en ( ) lo remplazamos en ( ) obtenemos que

19. Sean OA, OB, OC y OD semirrectas coplanares, tales que AOB=COD y BOC=DOA.

Demostrar que tanto OA y OC como OB y OD, son semirrectas opuestas.

GRAFICA 13

Recordar que dos semirectas opuestas forman un

ángulo de 180°

Dividiendo en ambos términos de la igualdad por 2

os

= 180

Page 11: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

11

20. Sean OX y OY las bisectrices de dos ángulos agudos adyacentes AOB y BOC, tales que

BOCAOB=36. Sea OZ la bisectriz del XOY. Calcular el ángulo que hace OZ con:

a. La semirrecta OB.

b. La bisectriz OK del AOC.

GRAFICA 14

bisectriz de

Bisectriz de BOC

Bisectriz de

Hallar

=

( )

= –

= ( )

= (

( ))

=

la solución del literal b. Se deja al estudiante

21. Sean OX y OY semirrectas opuestas. En un mismo semiplano se trazan las semirrectas OA y

OB y las bisectrices de los ángulos XOA, AOB y BOY. Calcular las medidas de los ángulos,

cuando la bisectriz del ángulo AOB es perpendicular a la recta XY y si las bisectrices de los

ángulos extremos forman un ángulo de 100.

GRAFICA 15

1.

2.

} definición de directriz

3.

4.

}

5. 2 reemplazando ( )

6. 2

Page 12: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

12

22. Las semirrectas consecutivas OA, OB, OC, OD y OE forman cinco ángulos adyacentes

consecutivos. Calcular dichos ángulos si los cuatro primeros son entre sí como 1, 2, 3, 4 y

además OD es la prolongación de la bisectriz del AOB.

GRAFICA 16

1. Bisectriz

2. Datos {

3. ⏟ +

4.

5. (

)

( )

( )

23. Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/3) = (BC/4). Demostrar que: OB = (4OA+ 3OC)/7

=?

1.

4 =3 Por propiedad de las igualdades

4 - 3 = 0

2.

} Resta de segmentos

3. 4( ) -3 ( )= 0 Reemplazando ( ) en ( )

4.

}

Propiedad de las igualdades

Page 13: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

13

24. Dados los puntos O-A-B-C tales que (AB/m) = (BC/n). Demostrar que:

OB = (n OA+ m OC)/(n + m)

Al igual que el ejercicio anterior ejercicio

partamos de

( ) ( )

( ) ( )

Nuevamente

( ) ( )

( ) – ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Page 14: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

14

UNIDAD 3

TRIANGULOS: ELEMENTOS Y CONGRUENCIA

1. En un ABC equilátero, sobre cada lado a partir del vértice y en el mismo sentido, se

toman A', B' y C' con AA'=BB'=CC'. Probar que el A'B'C' es equilátero.

GRÁFICA 17

AFIRMACION RAZON

1

2

3 ´ ( ) ( )

4

5

6

7 ( )

2. En un ABC isósceles de base BC, se trazan las bisectrices de los ángulos B y C, las

cuales se cortan en I. Probar que el BIC es isósceles.

GRAFICA 18

=* +

AFIRMACION RAZON

1

Page 15: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

15

2 = = = =

( )

3 = = = ( )

4 ( )

3. En un ABC isósceles de base BC, se toman sobre las prolongaciones de los lados BA y

CA los puntos E y D con AE=AD:

Probar que DAB=EAC.

GRAFICA 19

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

4. En un ABC isósceles de base BC, se toman B' y C' sobre AB y AC tales que AB'=AC' y

se trazan B'C y C'B que se cortan en O. Probar que BOB'=COC'.

GRAFICA 20

* +

AFIRMACION RAZON

1

2

3 = ( ) ( )

4

Page 16: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

16

5 =

6 =

7

8 ( ) ( ) ( )

9 ( )

10 ( ) ( ) ( )

5. Sobre los lados AB y AC de un ABC isósceles de base BC, se toman los puntos E y F

tales que AE = AF y se unen con el pie H de la altura relativa a la base. Demostrar que

EHA=FHA y EFH=FEH.

GRAFICA 21

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4 ( ) ( )

5

6

7 ( )

8 ( ) ( ) , ( )

9 ( )

10

11 ( ), ( ) ( )

12 ( )

13 ( )

14 ( )

15 ( )

Page 17: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

17

6. En un ABC rectángulo en A, se traza la bisectriz CD del C, con D sobre AB. Probar

que DB > DA.

GRAFICA 22

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5 ( )

6 ( ) ( ) ( )

7 ( )

8 ( )

7. Sean a, b reales positivos, con a > b. ¿Cuál otra condición deben cumplir para que sean

las medidas de los lados de un triángulo isósceles?.

GRAFICA 23

Determina la hipótesis y la tesis, argumenta

cada una de las afirmaciones.

Page 18: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

18

AFIRMACION RAZON

1 Si los lados iguales miden a

a a + b

2 Si los lados iguales miden b

a + b

8. Dados una recta y dos puntos situados en el mismo semiplano con respecto a ella,

encontrar el camino más corto entre los dos puntos y que pase por la recta dada.

GRAFICA 24

Determina la hipótesis y la tesis

Para resolverlo busquemos en el semiplano

opuesto el B’ talque BD=B’D si unimos A y B’ la

distancia más corta entre ellos es AB’ que corta

a la recta en el punto E, podemos demostrar

fácilmente que EB’=EB luego la distancia más

corta para llegar de A hasta B será:

AE+EB’=AE+EB

Realízalo por afirmación- razón

9. Dados dos puntos y una recta, encontrar sobre ella un punto que equidiste de los puntos

dados. Intuitivamente analizar las posibles alternativas.

GRAFICA 25

Determina la hipótesis y la tesis, argumenta

cada una de las afirmaciones.

Page 19: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

19

AFIRMACION RAZON

1

2

3

10. En un XOY se toman A y B sobre OX y OY. Se trazan las bisectrices de los ángulos

XAB y YBA que se cortan en R. Probar que ROA=ROB.

GRAFICA 26

Determina la hipótesis y la tesis.

AFIRMACION RAZON

1 Tracemos desde R

2

3

4 = ( ) ( )

5

11. Sea OM la bisectriz del XOY. Sobre OX y OY se toman A y B con OA=OB; se unen

A y B con un punto cualquiera C de la bisectriz. Probar que OAC=OBC y AC=BC.

GRAFICA 27

:

Page 20: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

20

AFIRMACION RAZON

1

2 =

3

4

5 ( )

6 ( )

12. Dados dos triángulos ABC y A'B'C' tales que AB=A'B', BC=B'C' y las medianas

AM=A'M', probar que los dos triángulos son congruentes.

GRAFICA 28

AFIRMACION RAZON

1 , BC = B'C'

2

3

4 ( )

5 ( ) ( )

13. Si dos triángulos isósceles tienen las bases y las alturas relativas a ellas

respectivamente congruentes, probar que los triángulos son congruentes.

GRAFICA 29

,

Page 21: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

21

AFIRMACION RAZON

1

2

3

( )

4 ( ) , ,

5 ( )

6 ( ) y

7 ( )

14. Dado un ángulo agudo XOY. Por O y hacia el exterior se levantan OX'OX y

OY'OY. Se toman A, B, C y D sobre OX, OX', OY y OY' tales que OA=OB y OC=OD.

Se trazan AD y BC. Probar que OAD=OBC y AD=BC.

GRAFICA 30

AFIRMACION RAZON

1

2 -

3 ( )

4

5

6 ( )

7 ( )

Page 22: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

22

15. En un ABC ( AB > AC), se traza la bisectriz AD. Se traza la semirrecta DE tal que

ADE=ADC, con E sobre AB. Probar que:

a. DE = DC y AE = AC.

b. AD es la mediatriz de EC.

GRAFICA 31

( ) ( )

AFIRMACION RAZON

1

2

3 AD = AD

4

5 ( )

6 ( )

7

Page 23: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

23

UNIDAD 4

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

1. En un XOY se traza su bisectriz . Por un punto A sobre el lado se traza la paralela a

, que corta a en B. Probar que el AOB es isósceles.

GRAFICA 32

AFIRMACION RAZON

1

2

3 ( ) ( )

4 ( )

2. En un ABC se trazan las bisectrices del B y del C que se cortan en un punto I. Por I se

traza , D sobre y E sobre . Probar que:

a. DBI y ECI son isósceles.

b. Perímetro ADE = AB + AC.

GRAFICA 33

D-I-E

( )

( )

OZ OX

OY OZ

DE ll BC AB AC

Page 24: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

24

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5 ( ) ( )

6 ( ) ( )

7 ( )

8 ( )

9 ( )

10 ( )

11

12 ( )

13 ⏟ + ⏟ ( ) ( )

14

3. En un ABC se prolongan los lados y , tales que AB'=AB y AC'=AC. Probar que

.

GRAFICA 34

B'C'

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5 ( )

6

7 ( ) ( )

BA CA

B'C'll BC

Page 25: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

25

4. Probar que si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, tienen sus lados respectivamente paralelos,

entonces sus bisectrices son perpendiculares.

GRAFICA 35

AFIRMACION RAZON

1

2 AOP

3

4

5

6

7 ( )

8

9 ( ) ( ) ( )

10 ( )

11

12 ( ) ( )

13

14

5. Si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso tienen sus lados respectivamente perpendiculares,

entonces sus bisectrices son paralelas.

GRAFICA 36

Page 26: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

26

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4 Tracemos

5

6

7 ( ) ( )

( ) ( )

8

9 90 ( ) ( ) ( ) en ( )

10 2 ( )

11

12 ( )

13 ( ) ( )

14 ( )

15

16

6. Probar que la recta que une los pies de las alturas iguales de un triángulo isósceles, es paralela a

la base.

GRAFICA 37

AFIRMACION RAZON

1

2 =90

3

4

5 ( )

6

7 ( ) ( )

8

9 ( )

Page 27: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

27

10 ( )

11

12 de ( ) ( )

13 =180

14 ( ) ( )

15 ( ) ( )

16 ( )

17

7. Si en un cuadrilátero convexo dos ángulos opuestos son rectos, entonces las bisectrices de los

otros dos ángulos son paralelas.

GRAFICA 38

Podemos observar fácilmente que el ejercicio planteado es similar al ejercicio 5 de dicha

unidad, veamos que la gráfica 36 cobija los mismos elementos (realízalo)

8. En ABC, isósceles de base , se toma un punto cualquiera P sobre , y por los puntos

medios M y N de los segmentos y se trazan y , E sobre y F sobre

. Demostrar que EPF = A.

GRAFICA 39

AFIRMACION RAZON

1

2

3

BC BC

BP PC ME BC NF BC AB

AC

Page 28: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

28

4 ( )

5 ( )

6 6. ( )

7 ( )

8

9 ( ) ( ) ( )

10

11 ( ) ( )

12

9. Si en un triángulo rectángulo, la altura y la mediana relativas a la hipotenusa forman un ángulo de

20°, hallar sus ángulos agudos.

GRAFICA 40

AFIRMACION RAZON

1

2 20

3 ( )

4

5

6

7

8 ( )

9

10 ( )

11 ( )

12

13

14

Page 29: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

29

10. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 30° entonces la mediana y la altura relativas a la

hipotenusa, dividen al ángulo recto en tres ángulos iguales.

GRAFICA 41

Si tenemos presente lo visto al solucionar el ejercicio 9 tenemos que el ADC Isosceles con

ahora si realizamos la suma de los angulos

interiores en el obtenemos que , por lo tanto si realizamos la suma de los

angulos interiores en el obtenemos que y como el recto en A

entonces CAB=90 , con los datos de CAD , obtenemos que necesariamente

DEA=30 Con la explicación anterior realiza la demostración utilizando afirmación-razon.

11. Probar que en todo triángulo rectángulo la bisectriz del ángulo recto es bisectriz del ángulo

formado por la mediana y la altura relativas a la hipotenusa. Construir un triángulo rectángulo

dadas las longitudes de la altura y la bisectriz que parten del vértice del ángulo recto.

Recordemos que la línea más corta desde un punto a una recta es un segmento perpendicular por lo

tanto

GRAFICA 42

AFIRMACION RAZON

1

2

3 ( )

4

5

6 ( ) ( )

7 ( ) ( )

8 ( ) ( )

9 ( )

Page 30: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

30

12. Demostrar que las tres alturas de un triángulo dividen a sus ángulos en ángulos iguales dos a dos.

GRAFICA 43

Podemos observar fácilmente que al trazar las alturas sobre el ortocentro se forman tres

pares de ángulos congruentes por ser opuestos por el vértice y sobre el pie de cada altura

se forman ángulos congruentes de medida de 90 , al realizar la suma de los angulos

interiores igual a 180 podemos obtener la congruencia de los ángulos pedidos (realízalo con

afirmación razón).

13. En un ABC, B=72° y C=30°. Hallar los ángulos que forman:

a. Las alturas de dos en dos.

b. Las bisectrices de dos en dos.

GRAFICA 44

El siguiente ejercicio es fácil de determinar si tomamos los triángulos formados por cada

altura y los ángulos conocidos, aplicando el teorema fundamental de la suma de los ángulos

interiores por ejemplo en el

g=

Page 31: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

31

14. En un ABD se tiene que B=2D. Se traza la altura y se prolonga hasta E con

BE=BH. Se traza la recta que corta a en F. Demostrar que: FHD=FDH y

FAH=AHF.

GRAFICA 45

con

AFIRMACION RAZON

1

2

3 ( )

4

5 2

6

7 ( )

8

9 ( )

10

11 ( )

12 ( ) ( )

AH AB

EH AD

Page 32: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

32

15. En un ABC, isósceles de base , se prolonga tal que CD=AB y se prolonga tal que

BE=BC/2. Se traza la recta , con H punto medio de y F sobre . Probar que:

a. ADB= 1/2 ABC

b. EA=HD

c. FA=FD=FH

d. Si BAC=58°, calcular el valor del AFH y del ADB.

GRAFICA 46

B-C-D ,

a.

b.

c.

d. si

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4 ( )

5

6

( ) ( ) ( )

7

( ) ( ) ( )

8 ( ) ( )

9

10

11

12 ( ) ( )

13

14

15

16

17 si

BC BC AB

EHF BC AD

Page 33: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

33

18

16. En un ABC, rectángulo en A, se prolonga en una longitud igual a AD. Por D se traza

con H sobre y cortando a la recta en I. Probar que .

GRAFICA 47

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

17. ¿En un triángulo isósceles podrá ocurrir que las bisectrices de los ángulos iguales sean

perpendiculares? ¿Por qué?

GRAFICA 48

Determina la hipótesis, la tesis y realízalo por

medio de la afirmación – razón

Si las bisectrices de los ángulos de la base son al mismo tiempo alturas entonces

necesariamente podemos demostrar que son medianas y nos lleva a que también sean

mediatrices; por lo tanto el triángulo isósceles tiene que ser equilátero.

CA

DH BC BC AB CG DB

Page 34: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

34

UNIDAD 5

CUADRILATEROS

1. En un ABC se prolongan Hasta M y N tal que y Se traza

probar que M B y que N

GRAFICA 49

1.

2.

3.

4.

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4 y ACB

2. En un se trazan las diagonales AC y BD que se cortan en “O” .Demostrar que

OAB

GRAFICA 50

AFIRMACION RAZON

1

2

3 ( )

Page 35: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

35

3. Sobre los lados de un XOY dado, se toman los puntos A sobre

( )y se construye

El gr OACB ¿Cuál es el lugar geométrico del vértice C del

GRAFICA 51

:

1.

2. ( )

por lo tanto

entonces

asi EOD es un

– n

4. Probar que en un isosceles la diferencia de las distancias desde un punto p sobre

la prolongación de la base a los lados iguales es constante. usa esta propiedad para

hallar el L.G de los puntos tales que la diferencia de sus distancias a dos rectas

secantes dadas sea igual a una medida constante dada

GRAFICA 52

Page 36: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

36

AFIRMACION RAZON

1 s

2 CG

3

4

5

6

7

8

9 ( )

10

11 ( ) ( )

12

5. Demostrar que La mediana de un triángulo está comprendida entre la semisuma y la

semidiferencia de los lados trazados desde el mismo vértice.

GRAFICA 53

| |

AFIRMACION RAZON

1

2 | |

3

Page 37: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

37

6. En un cuadrado ABCD se unen los puntos M,N,P,Q puntos medios de los lados

consecutivos. Probar que resulta un cuadrado.

GRAFICA 54

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6

7

7. Dado un recto en A, sobre los lados AB y AC se construyen los cuadrados ABDE

y ACFG luego se trazan Y s a BC probar que:

a. DD +FF'= BC

b. D-A-F

c. DE y FG concurre en la prolongación de la altura AH

GRAFICA 55

1.

3.

4.

a.

b.

c.

Page 38: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

38

AFIRMACION RAZON

1

2 ( ) '

3

4 ( ) ( )

5

6 ( )

7

8

9 ( )

10 ,

11 ( )

12

13

14 ( )( )

15 de ( )

8. Demostrar que si dos s son cortadas por una transversal las bisectrices de los ángulos

interiores forman un rectángulo.

GRAFICA 56

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4 o ( ) ( )

Page 39: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

39

9. Demostrar que las bisectrices de un gr forman un rectángulo

GRAFICA 57

1.

2.

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6 de ( ) ( )

10. Dado un rombo ABCD desde los vértices B y D se trazan las s BM,BN,DP y DQ a los

lados opuestos que se cortan en E y F demostrar que BFDF es un rombo y que sus s

son iguales a los de ABCD.

GRAFICA 58

1.

2. DP

1.

2.

Para realizar este ejercicio hay muchas variaciones, podemos aprovechar el teorema AAL

para demostrar que los triángulos BMA, ∆DPA,∆DQC,∆BNC son congruentes lo que nos

llevaría a demostrar la congruencia entre los segmentos DM,PB,QB Y ND para permitirnos

llegar a que los triángulos DME, ∆BPE,∆DNF Y ∆BQF también son congruentes

nuevamente por AAL y por lo tanto DEBF es Rombo.

Realízalo utilizando afirmación – razón y demuestra la segunda parte.

Page 40: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

40

11. En un ABC, se toman los puntos medios M, N y P de los lados , y . se

traza la altura y los segmentos , y . Demostrar que MNPH es un

trapecio isósceles.

GRAFICA 59

AFIRMACION RAZON

1

2 ( )

3

4

5 ( ) ( )

6

7 ( ) ( ) ( )

12. Por el punto medio M del lado de un ABC, se traza una recta cualquiera que

corta a en N. Se toma P tal que P–M–N con PM=MN. Demostrar que .

GRAFICA 60

1.

2.

AFIRMACION RAZON

1

2

3 ( )

4

5

6

AB AC BC

AH MN NP MH

AB XY

AC PB AC

Page 41: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

41

13. En un ABC se traza la mediana relativa al lado . Se traza la recta con E punto

medio de y F sobre . Probar que AF=AC/3.

GRAFICA 61

:

1.

2.

3.

AFIRMACION RAZON

1

2 ( )

3

4 ( ) ( )

5 ( )

14. En un paralelogramo ABCD se unen los vértices B y D con los puntos medios de y

respectivamente. Probar que resulta dividida en tres segmentos iguales

GRAFICA 62

AFIRMACION RAZON

1

2

3 ( ) ( )

4 ( )

5

6

7 ( ) ( )

AD BC BEF

AD AC

AD BC

AC

Page 42: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

42

15. En un trapecio isósceles ABCD (AD=BC) se trazan las diagonales y , las bisectrices de los

ángulos DAB y DBA que se cortan en F y las bisectrices de los ángulos CBA y CAB que se cortan

en G. Demostrar que ABFG // .

GRAFICA 63

1.

2.

3.

4.

AFIRMACION RAZON

1

2 ( )

3

( )

4

5 ( )

6

7 ( ) ( )

8 ( )

16. Se prolongan los lados no paralelos de un trapecio ABCD hasta que se corten en E. Se unen los

puntos medios M y N de y , y los puntos medios P y Q de las diagonales y .

Demostrar que MNPQ es un trapecio.

GRAFICA 64

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

AC BD

AE BE AC BD

Page 43: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

43

5

6

7 ( ) ( ) s

8 ( ) ( )

Page 44: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

44

UNIDAD 6

CIRCUNFERENCIA

1. En una C(O; r) se trazan un diámetro y un radio perpendicular a ; se prolonga

a cada lado y en el exterior de la circunferencia en longitudes iguales AE=BD; se trazan y

que cortan a la circunferencia en F y G. Probar que: OFC=OGC.

GRAFICA 65

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4 ( ) ( )

5

6

7

8 ( )

9 =

10

11 = ( )

12

13 ( )

14 ) ( ) ( ) ( )

AB OC AB AB

CE

CD

Page 45: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

45

2. Desde el vértice A de un ABC equilátero, se traza el arco menor de la circunferencia que pasa

por B y C; se toma sobre este arco el punto D y se trazan y . Demostrar que la recta

que une el punto medio del radio con el punto medio de es perpendicular a la recta que

une el punto medio con el punto medio de .

GRAFICA 66

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5 ( )

6

7 ( )

8 ( ) ( ) ( )

9

DB DC

AB DC

AC DB

Page 46: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

46

3. Considerar una C(O; r) y una C(O'; r') tangentes en un punto A; se trazan en la C(O; r) una

cuerda y en la C(O';r') la cuerda . Probar que .

GRAFICA 67

( ) ( )

AFIRMACION RAZON

1 1.

2 ( )

3 ( )

4

5

6 ( )

7 ( )

8

9

10

11 ( )

12 +2 ( ) ( )

13 ( ) ( )

14

15 ( )

16

AM AN AM OM O'N

Page 47: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

47

4. Por el punto medio O de un segmento se traza una recta cualquiera ; se toma B'

simétrico de B con respecto a y se traza con el punto N sobre . Probar

que es tangente a la circunferencia de diámetro .

GRAFICA 68

,

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5 ( ) ( )

6 ( )

7

8

9 ( )

10

11 ( )

5. Se traza una cuerda que corta a dos circunferencias concéntricas, a la menor en A y B y a la

mayor en C y D. Demostrar que = y = .

GRAFICA 69

( ) ( )

AB XY

XY B'N OB' XY

NB AB

AC BD AD BC

Page 48: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

48

AFIRMACION RAZON

1 ( )

2 ( )

3 ( )

4 ( )

5

6 ( )

7 ( )

8 ( )

9 ( ) ( ) ( )

10 ( )

11

12 ( )

6. En una C(O; r) se trazan dos radios y y una cuerda perpendicular a la bisectriz

del AOB; corta a en F y a en G. Demostrar que: MF=NG y FA=GB.

GRAFICA 70

( )

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4 ( ) ( ) ( )

5 ( )

6

7 ( ) ( )

8 ( )

9

10 ( ) ( )

11 ( )

OA OB MN

MN OA OB

Page 49: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

49

7. Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') se cortan en A; se une A con el punto medio M de

y se traza la perpendicular a en A que corta a la C(O; r) en B y a la C(O'; r') en C.

Demostrar que AB=AC.

GRAFICA 71

Determina la hipótesis y la tesis

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4 ( )

5

6

7

8

8. Probar que la cuerda más pequeña que pasa por un punto interior a una circunferencia es

perpendicular al diámetro que pasa por dicho punto.

GRAFICA 72

Determina la hipótesis y la tesis

OO'

AM

Page 50: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

50

Tracemos pasando por P, ya que por P pasa una única cuerda perpendicular en dicho

punto, Tracemos cualquier otra cuerda que pase por P en este caso . Desde O podemos

trazar donde se estara formando el ∆ rectángulo ∆ OMP donde es decir

que la cuerda esta mas cerca al centro que a la cuerda por lo tanto por corolario

sabemos que la mayor de dos cuerdas desiguales es la más próxima al centro y

recíprocamente. Por lo tanto

Ahora realízalo utilizando afirmación - razón.

9. En una C(O; r) se trazan dos radios perpendiculares y y en el mismo sentido con

respecto a los radios se trazan dos cuerdas iguales AM=BN. Demostrar que ellas son

perpendiculares.

GRAFICA 73

Determina la hipótesis y la tesis

Observemos que al prolongar los segmentos se cortan en un punto P por lo tanto

es un ángulo exterior cuya medida es la semidiferencia entre los arcos y ,

sabemos que radios y además luego tenemos dos triángulos

congruentes por el teorema LLL, . Continuando tenemos que

lo que implica que con donde

⋀ por ser ángulos centrales; por lo tanto:

( )

(( ) ) por resta de arcos

( ) Operaciones entre reales

( ( ) ( ) Propiedad asociativa

( )

( )

Por lo tanto

OA OB

Page 51: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

51

10. Probar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es isósceles.

GRAFICA 74

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5 ( ) ( )

6 ( )

11. En una C(O;r) se tienen dos cuerdas y perpendiculares a un diámetro ; se trazan

y . Probar que la recta que une los puntos medios de y es perpendicular al

diámetro .

GRAFICA 75

AFIRMACION RAZON

1 CC'

2 CC'D'D es trapecio

3 base media

CC' DD' AB

CD C'D' CD C'D'

AB

Page 52: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

52

4

5

6

7 ( ) ( )

8 ( )

12. En un ABC acutángulo se traza las alturas y . Probar que la circunferencia de

diámetro pasa por los pies D y E de las alturas. Si el BAC=64°, calcular el ADE.

GRAFICA 76

determina la tesis

Si tomamos como diámetro entonces la circunferencia de diámetro es todos los

puntos que forman un ángulo de 90° tomando como extremos A y B por arco capaz; por lo

tanto E a dicha circunferencia y por lo tanto D a dicha circunferencia ya

que .

Realiza la segunda parte

13. Hallar el lugar geométrico del centro de un rombo si uno de sus lados está fijo en alguna

posición.

GRAFICA 77

determina la hipótesis y la tesis

AD BE

AB

Page 53: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

53

Si dejamos como lado fijo el segmento podemos trazar la semi-circunferencia con

diámetro que pasara por I. si desplazamos I hasta el puntoI′ sobre la circunferencia

AI B=90 por lo tanto si prolongamos AI′ y BI′ hasta C′ y D′ respectivamente tal que

AI′=C′I y BI′=I′D′ se forma siempre un rombo de lados iguales . De acuerdo a lo anterior

el lugar geométrico estará siempre en la semicircunferencia de radio AB

14. Dos circunferencias son tangentes exteriores en un punto A. Se trazan las secantes y

. Probar que .

GRAFICA 78

( ) ( )

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4 ( ) ( ) ( )

5

6

7

8

9 ( ) ( ) ( )

10

11

12 ( ) ( ) ( )

13

14

BAC

B'AC' BB' CC'

Page 54: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

54

15. Sea I el centro de la circunferencia inscrita en un ABC, rectángulo en A. Probar que es

el lado del cuadrado que se puede inscribir en la circunferencia que pasa por los tres puntos B,

I y C.

GRAFICA 79

1. Determina la hipótesis y la tesis

2. Argumenta las afirmaciones

Si es el lado del cuadrado inscrito entonces el ángulo desde el centro de la

circunferencia ( ) tendría que medir 90 CIB=180 -( ) donde (2 ) ∆ABC

( ) inscrito

16. Por un extremo A de un diámetro de una C(O; r) se traza una cuerda ; y por el extremo

B se traza la tangente a la circunferencia. Se traza la bisectriz del CAB que corta a la

cuerda en F, a la circunferencia en H y a la tangente en D. Demostrar que BD=BF y

FH=HD.

GRAFICA 80

( )

( )

BC

AB AC

BC

Page 55: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

55

AFIRMACION RAZON

1

inscrito

2

3 ( ) ( )

4

5

6 ( ) ( )

7

8

9

10

11 ( ) ( )

12 ( )

13 ( )

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

17. Encontrar los ángulos de un cuadrilátero inscriptible ABCD, si la diagonal hace con los

lados y ángulos de 45° y con la diagonal un ángulo de 70°.

GRAFICA 81

AC

AB AD BD

Page 56: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

56

AFIRMACION RAZON

1 ( )

2 ( )

3 ( )

4

5

6

7

8

9

10

11

( )

12

( )

18. Se tiene un cuadrilátero MNPR inscrito en una circunferencia, y el cuadrilátero circunscrito

ABCD, cuyos lados , , y , son tangentes a la circunferencia respectivamente en N, P, R y M.

Demostrar que AD+BC=DC+AB.

GRAFICA 82

Determina la hipótesis y la tesis

Sabemos que los segmentos tangentes desde un mismo punto exterior son congruentes es

decir :

por suma de segmentos tenemos:

( ) ( )

si tenemos presente el primer paso y sustituimos obtenemos:

=

Page 57: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

57

Si agrupamos.

+ ( ) ( )

Obtenemos

Page 58: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

58

1. En un ΔABC cualquiera se trazan las alturas AJ y CH que se interceptan en I.

Demostrar que: IA.IJ = IC.IH

GRAFICA 83

( ) ( ) ( )( )

AFIRMACION RAZON

1 °

2

3

4

5

6 ( )( ) ( )( )

2. En una circunferencia C(O,R) se traza un diámetro AB, se toma un punto P tal que A-O-P-

B , se levanta PC perpendicular a AB que corta a C(O,R) en E (P-E-C) y se traza AC que

corta a C(O,R) en D (A-D-C). Demostrar que AB . AP = AD . AC

GRAFICA 84

UNIDAD 7

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

Page 59: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

59

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4 ( )( ) ( )( )

3. Demostrar que el segmento tangente común a dos circunferencias tangentes exteriores

y no congruentes es media proporcional entre los diámetros de las circunferencias.

GRAFICA 85

Determina los elementos de la hipótesis y la

tesis

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4 ( )

5

6

7

8

9 ( ) ( )

10

11

12

13

14

15

16

17

Page 60: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

60

18

( )

19

20

21

igualación ( ) ( )

22

23

4. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia, se toma un punto cualquiera E

sobre el arco BC y D punto de intersección entre AE y BC, Demostrar que:

AC . DE = DC . BE

GRAFICA 86

( )

AFIRMACION RAZON

1 AxB

2

3

4

5 ( )( ) ( )( )

Page 61: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

61

5. Una persona de 180 cm. de estatura camina hacia un tanque esférico que reposa sobre el piso.

Cuando está a una distancia de 500cm. Del punto de contacto del tanque con el piso, su cabeza chaca

con el tanque. ¿Cuánto mide el radio del tanque?

GRAFICA 87

Podemos observar que AD=DC y representa

la altura de la persona, mientras que OC

equivale al radio, de donde aplicando el

Teorema de Pitágoras obtenemos:

( )

6. Se toma un triángulo ABC y se traza una recta que corta a los lados AC y AB del

triángulo en E y H respectivamente; se trazan AD, BK y CR perpendiculares a la recta y se

prolonga CB hasta cortarla en L. Demostrar que 1CL

BL

BH

AH

AE

CE

GRAFICA 88

1. Podemos determinar que los triángulos y son semejantes, de donde

2. Podemos determinar que los triángulos y son semejantes, de donde

3. Podemos determinar que los triángulos y son semejantes, de donde

4. Si tomamos las tres igualdades correspondientes y multiplicamos lado a lado

Page 62: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

62

obtenemos

(

) (

)(

)

7. La hipotenusa de un triángulo mide 60u y la altura sobre ella 12u. Calcular la medida de

los catetos y su proyección sobre la hipotenusa.

GRAFICA 89

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6

7

8. En una circunferencia C(O,r), AB = 10u y CD = 6u son cuerdas paralelas y la distancia

entre ellas es de 4u; encuentre el radio de la circunferencia

GRAFICA 90

En este ejercicio podemos trazar el

segmento MN que pase por el centro de la

circunferencia y sea perpendicular a ambos

segmentos.

Por lo tanto con los dos triángulos isósceles

formados podemos aplicar el teorema de

Pitágoras

Y sabiendo que

Resuélvelo siguiendo el análisis

Page 63: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

63

9. En un triángulo ABC Isósceles de base BC, se traza CD perpendicular a AB. Demostrar

que AB2 + AC2 + BC2 = BD2 + 2AD2 + 5CD2

GRAFICA 91

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6

7

10. Si CD es la bisectriz interior del ángulo C en un triángulo ABC y AC = b, BC = a , AB = c,

AC 2 . Demuestre que abac 2

GRAFICA 92

Determina la hipótesis y la tesis del

ejercicio

Por medio de la información suministrada tenemos que CD=m (¿Por qué?)

Si aplicamos el teorema de la bisectriz obtenemos que

donde por propiedades de

las proporciones

También podemos concluir que (¿Por qué?) lo que nos lleva a

Retomando

si sustituimos n obtenemos que √

Page 64: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

64

11. Se tiene un triángulo cualquiera ABC. D y E dividen a BC en tres partes iguales, o es el

punto medio de BC y H el pie de la altura relativa a BC. Si CB = a, CA = b, y AB = c ; hallar

AO, HO, AE y AD en función de a, b y c.

GRAFICA 93

Para resolver el siguiente ejercicio podemos establecer que CD=DE=EB=1/3CB=a/3,

también tenemos que OD=OE=1/6CB=a/6 y OC=OB=1/2CB=a/2.

1. Ahora encontremos el valor de AH por medio del cálculo de la altura en función del

semiperimetro p

√ ( )( )( )

2. Hallemos AO mediana en función de a, b y c

( )

3. Tomando el recto en H hallamos OH por Pitágoras ya que AO y AH son

conocidos.

4. Con todo lo anterior podemos tomar el rectángulo en H con AH conocido y

HE=OE-OH, aplicando el teorema de Pitágoras. Con todo lo anterior halla AD

Page 65: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

65

12. Demostrar que si se traza un segmento tangente y uno secante a una circunferencia C(O,r) desde

un mismo punto exterior a ella, el segmento tangente es media proporcional entre el segmento

secante y su parte exterior.

GRAFICA 94

El siguiente ejercicio es muy fácil de resolver,

primero veamos que (¿Por qué?)

Lo que nos lleva a que (¿Por qué?)

De donde

( ) ( )( )

realízalo argumentando cada paso

13. Se tiene un triángulo isósceles ABC de base BC inscrito en una circunferencia C(O,r), se

traza un segmento AE cualquiera, con E sobre el arco CB y que corta a BC en D demostrar

que AB2 = AE . AD

GRAFICA 95

Para demostrar este ejercicio tracemos BE y

BC, sabemos que y podemos

observar también que

(¿Por qué?).

Lo anterior nos lleva a que (¿Por

qué?).

De donde podemos concluir que ( ) ( )( )

realízalo argumentando cada paso

14. En un Triángulo ABC rectángulo en C se inscribe un cuadrado DEFG con DE sobre la

hipotenusa (A-D-E-B). Demostrar que AD . EB = DG . FE y que DE es media

proporcional entre AD y EB.

GRAFICA 96

otro ejercicio fácil de realizar estableciendo

que

Luego establecemos las proporciones

correspondientes teniendo presente que

realízalo argumentando cada paso

Page 66: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

66

15. Los radios de dos circunferencias concéntricas son 26u y 10u , calcular la longitud de la

cuerda de la mayor que es tangente a la menor.

GRAFICA 97

Observa que (¿Por qué?).

Luego aplicando el teorema de Pitágoras

podemos hallar AP=PB

realízalo argumentando cada paso

16. El diámetro de una circunferencia mide 20u. ¿En cuánto habrá que prolongarlo para que

la tangente trazada desde el punto obtenido tenga igual longitud que el diámetro?

GRAFICA 98

Para resolver este ejercicio recuerda:

Si desde un punto P exterior a una

circunferencia se trazan una tangente , y una

secante , entonces el segmento tangente es

media proporcional entre la secante completa y

su segmento externo, es decir:

PT

PAB

2PA x PB PT

Page 67: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

67

UNIDAD 8

AREAS SOMBREADAS

1. En un triángulo equilátero se inscribe una circunferencia de radio R y otra de radio r

tangente a dos de los lados y a la primera circunferencia, hallar el área que se

encuentra adentro del triángulo y fuera de las circunferencias, en función de R.

GRAFICA 99

El triángulo ABC es equilátero por lo tanto

A= B= C =60 , el OPA=90 ya que

es tangente a la circunferencia.

Teniendo presente lo anterior

lo cual nos lleva a determinar que el

triángulo AOP es de 30 de

donde obtenemos 2 r

( ) =

4

=

= (√

)

(√

)

= .

=

=

Page 68: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

68

2. Para cada caso calcular el área sombreada en función de R

GRAFICA 100

Si el triángulo BCD es equilátero

Si aplicamos el teorema de Pitágoras al triangulo o el teorema

obtenemos que:

ya que

si aplicamos el teorema del baricentro

al triangulo que contiene a la circunferencia menor; por lo tanto

( √

)

Page 69: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

69

3. Calcular el área sombreada en función de I

GRAFICA 101

AB=BC=CD=DA=

Comencemos por hallar en el triangulo rectangulo donde

Aplicando el teorema de Pitágoras

podemos demostrar facilmente que los triangulos BCG y el triangulo BPC

son semejantes, lo que implica:

Ahora conociendo y aplicando el teorema de Pitágoras podemos hallar

el segmento ¯PC

Ahora tenemos que los triangulos

(√

)

Page 70: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

70

5. Calcular el área sombreada en función de I

GRAFICA 102

El segmento AB=2r ,

Aplicando el teorema de Pitágoras en el

(2r)² = (

) (

)

si tenemos

( √ )

Con estos datos hallemos el área sombreada

AS = A cuadrado-2A circunferencia- 4 A triangulo DEC

AS = -2 (√

) -2X²

AS = -

-2

( √ )

AS = (

(

) )

Page 71: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

71

5. calcular el área sombreada en función de I

GRAFICA 103

Si tomamos el triángulo ABC equilátero,

podemos observar que todos los triángulos

interiores son congruentes y equiláteros de

lado por lo tanto el área sombreada

será igual a seis veces el área del triangulo

BDE

Por teorema

h= √

(

)

AS = 6 A

AS = ( )(

)

AS = √

AS = 0.29

6. calcular el área sombreada en función de I

GRAFICA 104

Si tomamos los cuadriláteros ABHI , BCED

,ACFG como cuadrados donde el es

equilátero, entonces el área formada por los

tres triángulos isósceles congruentes

equivale al área sombreada, por lo tanto el

FCE será igual a:

Si tomamos el triángulo FCE tendremos

X = √

A (√ )(

)

A √

AS = 3 A

AS = √

Page 72: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

72

7. en la figura el ángulo XOY es recto el arco AO tiene radio “a” y el arco MN radio “a”, con

centro en “M” y ”O”. Halle el área de la región circular MPA.

GRAFICA 105

Podemos observar fácilmente que el triángulo

OMP es equilátero

H=√

por lo cual el área del triángulo equivale a:

A √

si tomamos el área entre los arcos OP y PM

con sus respectivas cuerdas tendremos

A₁=A₂= A sector circular – A

A₁=A₂=

( √ )

AS=

AS=

[

+

AS=

( √ )

AS= ( √ )

Page 73: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

73

8. calcular el área sombreada en función de I

GRAFICA 106

Si analizamos la gráfica podemos determinar que

el polígono regular en cada uno de sus vértices

forma ángulos de 120 , es decir que cada sector

equivale a un tercio de la circunferencia.

Por lo tanto el área sombreada equivale a la

diferencia entre el área del hexágono y dos

veces la circunferencia de radio R= √

, por lo

tanto:

AS = A hexágono – 2A circunferencia

AS =( )(√ ₂)

-2 (

)

AS = √

AS =

( √ )

AS = 1.02

9. Demostrar que T = N+M, si AB es perpendicular a BC

GRAFICA 107

Tenemos que el área T = A

N + M =

(

)

(

)

(

)

N + M =

(

)

(

)

(

)

(

)

N + M =

( )

( )

( )

N + M =

(( ) ( ) ( ) ) ⏟

N + M =T

Page 74: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

74

10. hallar el área sombreada en función de D

GRAFICA 108

Podemos observar fácilmente que el área

sombreada equivale al doble de la diferencia

entre la semicircunferencia de radio

equivalente a la tercera parte del diámetro y

la semicircunferencia de radio equivalente a

la sexta parte del diámetro es decir:

AS = 2*

(

)

(

) +

AS = (

)

AS = (

)

AS =

AS = 0.26 D

11. demuestre que P₁ = P₂

GRAFICA 109

Asumimos que ABCD es un paralelogramo por lo

tanto ,

Asumimos que E-O-G, F-O-H son colineales y donde

EG

Por lo tanto EODH y FBGO son paralelogramos.

Con los datos anteriores podemos demostrar

fácilmente que

y

Por lo tanto dichas áreas son iguales

A

A ₂

( ) ( ) ₂

0 + 0 + P₁ = P₂

P₁ = P₂

Page 75: 15 Modulo Geom Ejercicios Resueltos[3]

75

12. AB = a, AC perpendicular a BC. Demuestre que el área sombreado sobre la hipotenusa es

igual a la suma de las áreas sobre los catetos.

GRAFICA 110

A₁ =

(

)

( )

A₂ =

(

)

( )

A³ =

(

)

( )

A₁ =

*( )

( )

+

A₁ =

( )

( )

A₁ = A₂ + A³