1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.Forma Polar

El producto de dos número complejos diferente de cero está dado en la forma polar por el producto de sus valores absolutos y la suma de sus argumentos. El cociente de dos números complejos diferentes de cero está dado por el cociente de sus valores absolutos y la diferencia de sus argumentos.

=Argumento de un número complejo=El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

Forma exponencial

A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar con la forma trigonométrica en vez de con la forma binomica: Sea Z un número complejo cualquiera su representación prdra experesarse de las siguientes maneras:

1.4 forma polar y exponencial de numeros complejos1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NUMERO COMPLEJO

NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR 

Se puede representar un número complejo cualquiera z = a +bi en forma polar, dando su módulo y su argumento. Esta forma tambien se llama forma trigonométrica. 

MÓDULO de un número complejo z es la longitud del vector que lo representa.|z| = rARGUMENTO de un complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real.arg(z) = aPor lo cual z = r (cos ð + isen ð )

Numeros Complejos en Forma Forma BinómicaForma binómica z = a + bi

Operaciones con Numeros Complejos en Forma Polar

MultiplicaciónSe multiplican los módulos Se suman los argumentos 

División Se dividen los módulos Se restan los argumentos

Potencia La potencia es un producto de factores iguales, por tanto la regla es la misma que la de multiplicar. El módulo se eleva a n El argumento se multiplica por n 

Forma Exponencial o de Euler. 

Hay una última forma de expresar un número complejo, es la Forma Exponencial.Un número complejo en forma polar se expresa como z = r(cosa + i sena). Si sustituimos el contenido del paréntesis por la igualdad de Euler:eia = cosa + isenaNos queda z = r•eia.

1.5 TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCION DE RAIZES DE NUMERO COMPLEJO1.5 TEOREMA DE MOIVRE

FÓRMULA DE MOIVRE

Aplicando la propiedad de la potencia de un número complejo, se obtiene la siguiente fórmula llamada Fórmula de Moivre: (cos a + i sen a)n = cos na + i sen naque es útil en trigonometría, pues permite hallar cos na y sen na en función de sen a y cos a.Esta igualdad recibe el nombre de fórmula de Moivre, en honor del matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754).Potencia La potencia es un producto de factores iguales, por tanto la regla es la misma que la de multiplicar. El módulo se eleva a n El argumento se multiplica por n 

Radicación de Números Complejos 

La operación de radicación es inversa a la de potenciaciónPara un único número complejo zn , existen varios complejos z, que al elevarlos a la potencia n, nos da el mismo complejo zn. Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360º.Sea Ra un número complejo y considérese otro complejo R'a', tal que:

Ra = (R' a' )n = ((R' )n )n a'

Aunque esto parece aportar una infinidad de soluciones, nótese que si a k se le suma un múltiplo de n, al dividir el nuevo argumento, éste aparece incrementado en un número entero de circunferencias. Por tanto, basta con dar a k los valores 1, 2, 3, ..., n-1, lo que da un total de n - 1 raíces, que junto a k = 0 da un total de n raíces.

Raíz Cuadrada

Vamos a hallar : 

Primero pasamos z=4+3i a forma polar: z = 4+3i = 536.9º La raíz cuadrada de z, tendrá de módulo la raíz cuadrada del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 2. Las dos soluciones de esta raíz cuadrada son: Si k=0 --> z1=18.4º Si k=1 --> z2=198.4º Si le seguimos dando valores a k = 2, 3, 4, ... veremos que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia. Todas estas operaciones que hemos hecho las puedes ver en la escena, y ver como quedan los vectores, tanto de z como de z1 y z2 

Raíz Cúbica 

Primero pasamos z = 2+4i a forma polar: z = 2+4i = 4.563.4º La raíz cúbica de z, tendrá de módulo la raíz cúbica del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 3. Las tres soluciones de esta raíz cúbica son: Si k=0 --> z1=1.621.1º Si k=1 --> z2=1.6141.1º Si k=2 --> z3=1.6261.1º

Publicado por Hugo   en 07:22 

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1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.Teorema de DeMoivre y Potencias

De la figura 1.1. tenemos dada la representación polar de un número complejo

Donde la formula se usa cuando 

en este caso

En general, para cualquier entero positivo k.

a esto se le conoce como Teorema de DeMoivre aplicable así mismo a las potencias de números complejos

Raíces de un número complejo

Dado un número complejo que se define tal que i2=-1. Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también tenemos (-i2)2=i2=-1, así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los números

reales, decimos que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la raíz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:

es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que  i2=-1, por lo que entonces:

Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad

Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo z, no podemos definir para ser la raíz cuadrada “positiva” de Z.

Para cada número complejo diferente a cero z existen exacto dos números W tales que w2=Z . Por ejemplo, las raíces cuadradas de i son:

y

La definición general de está introduciendo el siguiente punto de rama: si z = r  eiφ es representado en coordenadas polares con −π < φ ≤ π, después fijamos el valor principal a:

Así definido, la función de la raíz es holomorfa en todas partes excepto en los números reales no positivos, donde no es incluso continua. La antedicha serie de Taylor

para  sigue siendo válida para el resto de los números complejos x con |x| < 1.

En general, para un número complejo expresado en forma rectangular, se obtiene:

Donde  (el valor absoluto o módulo del número complejo), y el signo de la parte imaginaria de la raíz coincide con el signo de la parte imaginaria del radicando.

1.6 Ecuaciones polinómicas.Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo

Dados los valores apropiados de los coeficientes an a a0 , esta ecuación tendrá n soluciones reales si que permitirán reescribir el polinomio de la siguiente forma:

Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafían esta regla, ya que su solución, que teóricamente vendría dada por

que no existe en el campo de los reales ya que la raíz cuadrada no está definida para argumentos negativos. 

Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más el concepto de "número", definiendo la unidad imaginaria o i como i = raíz de -1, lo que significaría que la ecuación anterior sí tendría dos soluciones, que serían x1= i y x2= - i.

La introducción de los números complejos permite probar el teorema fundamental del álgebra, que dice que cualquier ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

De esta manera, se define genéricamente un número complejo como un número compuesto por dos partes, una parte real a y una parte imaginaria b, escribiéndose como sigue: z = a + bi.

Por ejemplo, 2-3i, 4+8i, 3-πi, etc. 

Con los números complejos se opera como se operaría con productos de sumas ordinarios, teniendo en cuenta siempre que i2 = -1: (a + bi)(c + di) = ac +adi +bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad+bc)i.

La división es un poco más sofisticada debido a la necesidad de eliminar la unidad imaginaria del de nominador de la fracción:

1.6 ECUACIONES POLINOMICAS1.6 ECUACIONES POLINOMICAS

Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. También se cumple que si z es una raíz entonces su conjugado también es una raíz del polinomio p. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.