Leyes de la

Dinmica y

aplicaciones

JUSTO ALBERTO MNDEZ

Concepto de fuerza

Son la accin que:

Producen deformacin

en el objeto que recibe

una fuerza

Producen cambio

de movimiento en

el objeto que

recibe una fuerza

Pueden producir

deformacin y

cambio de

velocidad al

mismo tiempo

Algunas caractersticas

Son magnitudes vectoriales

No se poseen, se aplican

Se aplican de un cuerpo a otro

Nunca se encontrar una fuerza aislada

De aqu que se dice: el nmero de fuerzas en un sistema siempre es par

Su unidad de medida es el Newton, que se abrevia [N]

1 [N] = 1 [kg m/s2]

Tambin puede ser en dinas que se abrevia [d]

1 [d] = 1 [g cm/s2]

Primera ley de Newton

y marcos inerciales

En ausencia de fuerzas externas, y cuando se ve

desde un marco de referencia inercial, un objeto en

reposo se mantiene en reposo y un objeto en

movimiento continua en movimiento con una

velocidad constante (esto es, con una rapidez

constante en una lnea recta).

Si un objeto no interacta con otros objetos, es

posible identificar un marco de referencia en el que

el objeto tiene aceleracin cero.

Cantidad de movimiento (p)

Momentum Lineal

Es el producto de la masa de una partcula por su velocidad.

p = m v

Es un vector que tiene la misma direccin y sentido que v y es por tanto tambin tangente a la trayectoria.

Como: v = vx i + vy j + vz k

p = m v = m (vx i + vy j + vz k) = m vx i + m vy j + m vz k

p = px i + py j + pz k

Podemos expresar la ley de Inercia:

Una partcula libre siempre se mueve con

momentum constante

Segunda ley de Newton

La fuerza resultante aplicada a un objeto es igual ala variacin de la cantidad de movimiento conrespecto al tiempo, o lo que es lo mismo, al productode la masa por la aceleracin.

d p d (m v) d vF = = = m = m a

d t d t d t

ya que la masa, al ser constante, sale fuera de laderivada.

En general, suele existir ms de una fuerza por lo que se usa:

F = m a

Deduccin del principio de inercia

En realidad el primer principio, se deduce fcilmente a

partir del anterior: F = m a.

Si la fuerza resultante sobre un cuerpo es nula ( F = 0) a= 0 v = constante.

Tambin puede deducirse:

Si F = 0 dp = 0 p = constante

v = constante.

Impulso mecnico (I).

En el caso de que la fuerza que acta sobre un cuerpo sea

constante, se llama impulso al producto de dicha fuerza por el

tiempo que est actuando.

I = F t = p = m v2 m v1 = m v

El impulso mecnico aplicado a un objeto es igual a la

variacin en la cantidad de

movimiento de ste.

Un tenista recibe una pelota de 55 g de masa con

una velocidad de 72 km/h; y la devuelve en sentido

contrario con una velocidad de 36 km/h. Calcula el

impulso que recibe la pelota y la fuerza media que

aplica el tenista, si el contacto de la pelota con la

raqueta dura una centsima de segundo.

I = F t , o sea que p = m v2 m v1= 0,055 kg (10 m/s) i 0,055 kg 20 m/s i

I = 1,65 i kg m/s

I 1,65 i kg m/s F = = = 165 i N

t 0,01 s

El impulso como la de la fuerza tienen signo negativo pues tienensentido contrario al inicial de la pelota.

Teorema de conservacin de lacantidad de movimiento.

De la propia definicin de fuerza: dpF =

dt

se deduce que si F = 0, ( o F, resultante de todas aplicadas sobre una partcula, es 0, entonces p debe ser constante.

Lo que significa que deben ser constantes cada una de sus componentes cartesianas: px, py y pz, y por tanto tambin las de la velocidad MRU

Un coche de 900 kg de masa parte del reposo y

consigue una velocidad de 72 km/h en 6 s. Calculala fuerza que aplica el motor, supuesta constante.

p = m v2 m v1 = m (v2 v1)

= 900 kg (20 m/s i 0 i) = 18000 i kg m/s

p 18000 i kg m/s F = = = 3000 i N

t 6 s

carro

Principio de accin y reaccin (tercera ley de Newton) Si tenemos un sistema formado por dos cuerpos

que interaccionan entre s, pero aislados de toda fuerza exterior, la cantidad de movimiento total de dicho sistema permanecer constante.

ptotal = p1 + p2 = 0

Si dividimos ambos miembros por t ptotall p1 p2 F = = + = 0 F1 = F2t t t

Es decir, la fuerza que ejercida sobre 1(debido a la interaccin de 2) es igual que la ejercida sobre 2 (producida por 1).

Principio de accin y reaccin (tercera ley de Newton) (cont). Al actuar las dos fuerzas sobre cuerpos distintos

ejercer, en general efectos tambin distintos (aceleraciones distintas).

Por ejemplo, la fuerza con la que nos atrae la Tierra (Peso) tiene el mismo mdulo y sentido contrario que la Fuerza con nosotros atraemos a la Tierra.

Es evidente, en este caso que mientras la Tierra ejerce sobre nosotros un efecto apreciable (aceleracin de la gravedad), el efecto de 60 o 70 kp que ejercemos sobre la Tierra es absolutamente despreciable.

Conservacin de la cantidad de movimiento en dos cuerpos.

Ya hemos visto que si F= 0, p debe ser constante.

En el caso de que la interaccin sea un choque: pantes = pdespus

m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v2

En el choque elstico v1 y v2

(velocidad con que salen rebotados los objetos) son distintos.

En el choque inelstico v1 = v2

. (los dos objetos salen juntos incrustado el uno en el otro)

Un revlver cuya masa es de 0,80 kg dispara una bala cuya masa esde 0,016 kg con una velocidad de 700 m/s. Calcular la velocidad deretroceso del revlver.

Inicialmente tanto la bala como elrevlver se encuentran en reposo ysu momentum total es cero. Despusde la explosin la bala se desplazahacia adelante con un momentum

p1 = m1v1 = (0,016 kg) x (700 m s-1) = 11,20 m kg s-1

El revlver debe entonces retroceder con momentum igual pero opuesto.

Por consiguiente debemos tener tambin :

p2 = 11,20 m kg s-1 = m2v2 ya que m2 = 0,80 kg,

11

2 0,1480,0

20,11

skg

mkgsv

Un boliche de 8 g lleva una velocidad constante de 4 m/s, y

golpea una bola de madera de 200 g que est en reposo.

Si como resultado del choque el boliche sale rebotado con

una velocidad de 2 m/s, calcula la velocidad con que

comienza a moverse la otra bola.

m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v2

(8 g.4 m/s) i + (200g.0) i = 8 g (2 m/s) i + 200 g

v2

Despejando v2 obtenemos:

32 gm/s i + 16 gm/s iv2 = = 0,24 i m/s

200 g

Un automvil cuya masa es de 1000 kg sube por un camino cuya inclinacin

es de 20. Determinar la fuerza que ha de ejercer el motor si el auto debe

moverse (a) con movimiento uniforme, (b) con aceleracin de 0,2 m s-2.

Encontrar tambin en cada caso la fuerza ejercida sobre el automvil por el

caminoCarro

W sen

W Cos

W=m.g

Designamos la masa del automvil porm ;Fuerzas: peso w = mg, dirigidohacia abajo; la fuerza F debido almotor hacia arriba, y la fuerza Ndebido al camino en direccin perpen-dicular a F. El movimiento a lo largode la direccin X satisface la ecuacin

F mg sen =ma F =m(a + g sen )

El auto no tiene movimiento lo largo del eje Y,

N -mg cos = 0 N=mg cos

Notamos que la fuerza N debido al camino es independiente de la aceleracin del auto e,

introduciendo valores numricos, es igual a 9210 N.

Pero la fuerza F debido al motor depende de la aceleracin del auto. Cuando el auto se

mueve con velocidad constante, a = 0, y F mg sen ;en nuestro ejemplo es 3350 N.

Cuando se mueve con la aceleracin de 0,2 m s-, entonces F =3550 N.

T

P

1. Una bola de masa 10 Kg se encuentra suspendida y en reposo como lo

muestra la figura. Calcule la tensin a la que est sometida la cuerda.solucin

1. Determinemos las fuerzas que

actan sobre el cuerpo

2.Ahora hagamos un

diagrama del cuerpo libre

T

P

3. Observamos que las fuerzas actan solamente

sobre el eje de las y, y que el sistema se

encuentra en reposo, por lo tanto:

0Fy 0PT

PT

gm.T

98N)s

m8(10kg).(9.T

2

O sea

Por lo tantoDe donde

Despejando

MOVER

2. Dos masas se encuentran unidas como lo muestra la figura. La m1=7Kg y la m2=2Kg.Calcule la aceleracin con que se mueve el sistema y la tensin de la cuerda suponiendoque no hay rozamiento entre las superficies.

solucin 1. Fuerzas que actan sobre cada cuerpo

1m

2m

1m 2m

N

1P

T

T

2P

MOVIMIENTOM

OV

IMIEN

TO

xF yF yFxF

.amT 1

0PN 1

.amPT 22

Para m1 Para m2

NO HAY(1) (2) (3)

Sustituyendo (1) en (3) .amP.am 221 221 P.am.am 221 P)ma.(m

)m(m

Pa

21

2

)m(m

g.ma

21

2

2

22

s

m17,2

9Kg

s

m19,6Kg.

2Kg)(7Kg

)s

m(2Kg).(9,8

a

Despejando Factorizando

Despejando a:

Sustituyendo a=2,17 en (1)2s

m

15,19N)(7Kg)(2,17T 2sm

3. En la figura se muestran dos masas m1 = 3 Kg y m2 = 5 Kg colgando de los extremos deun hilo que pasa por la garganta de una polea sin rozamiento. Calcular la tensin del hiloy la aceleracin con que se mueve el sistema.

MOVER

solucin 1. Fuerzas que actan sobre cada cuerpo1m 2m

1P

2P

MO

VIM

IENTO

xF yF yFxF

.amPT 11

.amPT 22

Para m1 Para m2

NO HAY(1) (2)

T

1m

2m

T

NO HAY

11 P.amT

.amPP.am 2211 1221 PP.am.am .gm.gm.am.am 1221

)mg.(m)ma.(m 1221 )m(m

)mg.(ma

21

12

2

22

s

m45,2

)(8Kg

.(2Kg)s

m9,8

)3kg(5Kg

3Kg).(5Kgs

m9,8

a

Despejando T en (1) Sustituyendo en (2) Trminos semejantes

FactorizandoDespejando a

Como P=m.g

Ahora hallemos la tensin (T) en (1)11 P.amT

Despejando T en (1)

.gm.amT 11

g).(amT 1

)s

m9,8

s

m3Kg.(2,45T

22

36,75NT

Como P=m.g

Factorizando

Una bola de billar choca a una velocidad de

4 m/s con otra bola igual que est parada. Despus del choque, la

primera bola se mueve en una direccin que forma 30 con la inicial, y

la segunda con 60 con la direccin inicial de la primera. Calcula elmdulo de la velocidad final de cada bola.

m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v2Descomponiendo la ecuacin vectorial en dos escalares:En X m (4 + 0) m/s = m [v1 cos 30 + v2 cos (-60)]

4 m/s = 0,866 v1 + 0,5 v2

En Y m (0 + 0) m/s = m [v1 sen 30 + v2 sen (-60)] 0 m/s = 0,5 v1 0,866 v2

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas obtenemos: v1

= 1,732 m/s ; v2 = 2 m/s

Fuerza de rozamiento (Fr)

Es la fuerza que aparece en a superficie de

contacto de los cuerpos, Depende de:

Los tipos de superficie en contacto.

La fuerza normal N de reaccin de la superficie

sobre el objeto (normalmente igual en mdulo a

PN excepto que se aplique una fuerza no

horizontal sobre el mismo).

No depende de:

La superficie (cantidad).

Tipos de fuerza de rozamiento

Esttico: Es igual a la fuerza necesaria para iniciar un movimiento

Cuando un cuerpo est en reposo y se ejerce una fuerza lateral,

ste no empieza a moverse hasta que la fuerza no sobrepasa un

determinado valor (Fre).

La fuerza de rozamiento se opone y anula a la fuerza lateral mientras

el cuerpo est en reposo.

Cintico o dinmico: Es la fuerza que se opone a un cuerpo en movimiento (Frc).

Es algo menor que Fre (en el mismo caso).

Clculo de Fr

Fre(mxima) = e N Frc = c N

En donde e y c son los coeficientes de rozamiento esttico y dinmico respectivamente, que dependen ambos de la naturaleza de las superficies en contacto y N es la normal (perpendicular a).

La normal N es la fuerza de reaccin de la superficie de deslizamiento sobre el objeto debido a la PN y al resto de componentes perpendiculares al movimiento.

Calcular las fuerzas de rozamiento esttico ycintico al arrastrar una caja de 5 kg con

una fuerza de 20 N aplicada a una cuerda

que forma un ngulo con el suelo de 30,

sabiendo que e = 0,15 y c = 0,12. Se

mover la caja?P

N F

Fx

Fy 30

Fr

F = 20 N se descompone en:

Fx = 20N cos 30 = 17,3 N; Fy = 20N sen 30 = 10,0 N

N = P Fy = 5 kg 9,8 m/s2 10 N = 39 N

Fre= e N = 0,15 39 N = 5,85 N

Frc = c N= 0,12 39 N = 4,68 N

S se mover hacia la derecha, pues Fx > Fre

Calcular la aceleracin de la

caja del ejemplo anterior:

m = 5 kg F = 20 N, = 30,

d = 0,12.

Calculamos todas las componentes de las fuerzas existentes:

Fx = 20N cos 30 = 17,3 N; Fy = 20N sen 30 = 10,0 N

Fy = 0 N = P Fy = 5 kg 9,8 m/s2 10 N = 39 N

Frd = d N = 0,12 39 N = 4,68 N

Una vez que sabemos que Fx> Fre, aplicamos: Fx = m a; 17,3 N 4,68 N = 5 kg a

17,3 N 4,68 N a = = 2,528 m s2.

5 kg

P

N F

Fx

Fy 30

Fr

Planos inclinados.

Puede descender sin necesidad de empujarlo si PT > Fre.

Si arrastramos o empujamos con una fuerza F haca abajo, descender si F + PT > Fre.

Si arrastramos o empujamos con una fuerza F haca arriba: Ascender si: F > Fre + PT No se mover si: PT Fre F Fre + PT Descender si F < PT Fre

Recordad que Fr tiene siempresentido contrario al posible movimiento.

P

PN

PT

F

Se mover un bal de 100 Kg situado en una superficie

inclinada 15 con la horizontal, sabiendo que e y d valen 0,30 y 0,28 respectivamente.

PT = P sen = 980 N sen 15 = 253,6 N

PN = P cos = 980 N cos 15 = 946,6 N

Al no existir otras fuerzas oblicuas: N = PN (sentido contrario)

Fre= e N = 0,30 946,6 N = 284 N

Como PT < Fre el bal no se mover.

No se mueve hacia arriba porque Fre no toma su valor mximo P

PN

PT

Fr

Qu fuerzas habr que realizar a) hacia abajo, b)

hacia arriba, para que el bal comience a

moverse? c) Con qu aceleracin se mover si se

empuja hacia abajo con una fuerza de 100 N. Datos: m = 100 kg, = 15, e = 0,30 y d = 0,28

PT = 253,6 N ; PN = N = 946,6 N; Fre= 284 N

a) Fmnima (abajo) >

284 N 253,6 N = 30,4 N

b) Fmnima (arriba) >

284 N + 253,6 N = 537,6 Nc) Frd = d N = 0,28 946,6 N =

265,0 N

F = 100 N + 253,6 N 265,0 N

= 88,6 N = 100 kg a

a = 0,886 m s2

P

PN

PT

FreFmn

P

PN

PT

Fre

Fmn

P

PN

PT

Fre

F

Dinmica de cuerpos

enlazados. Clculo de

aceleracin y tensin. La accin que ejerce un

cuerpo sobre otro se traduce en la tensin de la cuerda que los enlaza, que es lgicamente igual y de sentido contrario a la reaccin del segundo sobre el primero.

Se aplica la 2 ley de Newton a cada cuerpo por separado, obtenindose una ecuacin para cada uno con igual a.

P1

P2

T

T

N

Cul ser la aceleracin del

sistema y la tensin de la

cuerda suponiendo que hay

movimiento y que m1 = 5 kg

y m2 = 2 kg y d vale 0,08?

Cuerpo 1: T Frd = m1 a T d m1 g = m1 a

Cuerpo 2: P2 T = m2 a m2 g T = m2 a

2 kg 9,8 m/s2 0,08 5 kg 9,8 m/s2 = (5 kg + 2 kg) a

2 kg 9,8 m/s2 0,08 5 kg 9,8 m/s2a = = 2,24 m/s2

5 kg + 2 kg

T = 5 kg 2,24 m/s2 + 0,08 5 kg 9,8 m/s2 = 15,12 N

Fr

1

m2

Se mover el sistema de la

figura y en caso de que lo

haga hacia qu lado?

Datos: m1 = 6 kg ; m2 = 2 kg ;

e = 0,12; d = 0,10; = 30.

Calculamos el valor numrico de todas las fuerzas implicadas:

P1T = P1 sen 30 = 6 kg 9,8 m/s2 0,5 = 29,4 N

P1N = P1 cos 30 = 6 kg 9,8 m/s2 0,866 = 50,9 N

P2 = 2 kg 9,8 m/s2 = 19,6 N

Fre = e N = e PN = 0,12 50,9 N = 6,1 N

Como P1T > P2 + Fre (29,4 N > 19,6 N + 6,1 N)

Se mover hacia la izquierda.

1

P1P2

T

TN

P1N

P1T

Calcular la aceleracin del

sistema y la tensin de la

cuerda del ejemplo anterior.

Datos: m1 = 6 kg ; m2 = 2 kg ;

e = 0,12; d = 0,10; = 30.

P1T = 29,4 N; P1N = 50,9 N; P2 = 19,6 N

Frd = d N = d PN = 0,10 50,9 N = 5,1 N

1: P1T T Frd = m1 a 29,4 N T 5,1 N = 6 kg a

2: T P2 = m2 a T 19,6 N = 2 kg a

29,4 N 5,1 N 19,6 N = (6 kg + 2 kg) a29,4 N 5,1 N 19,6 N

a = = 0,59 m/s26 kg + 2 kg

T = 2 kg 0,59 m/s2 + 19,6 N = 20,8 N

1

P1P2

T

TN

P1N

P1T