Analisis Dinamico de un Mecanismo de Manivela Biela

Corredera.

Jose Marıa Rico MartınezDepartamento de Ingenierıa Mecanica.

Campus Irapuato-Salamanca, Universidad de Guanajuato.Comunidad de Palo Blanco.

CP 36885, Salamanca, Gto., MexicoE-mail: jrico@salamanca.ugto.mx

1 Introduccion.

Estas notas tienen como objetivo mostrar la solucion del analisis dinamico de un mecanismo planode manivela biela corredera e ilustrar, mediante este ejemplo sencillo, las diferentes tareas del analisisdinamico de maquinaria.

2 Analisis Cinematico del Mecanismo de Manivela Biela Co-

rredera.

Frecuentemente, el analisis dinamico de cualquier maquina inicia con el analisis cinematico del, o delos, mecanismo(s) que constituyen la maquina. Este caso, no es la excepcion, de manera que en estaseccion se analiza con relativa profundidad el analisis cinematico de un mecanismo de manivela bielacorredera. Para tal fin, se obtendran las ecuaciones correspondientes al analisis de posicion, velocidady aceleracion del mecanismo.

Considere el mecanismo de biela manivela corredera mostrado en la figura 1. La ecuacion del lazodel mecanismo esta dado por

�a2 + �a3 = �e + �s. (1)

Si se seleccionan los angulos asociados a los vectores, θe = 270◦, θ2, θ3, θs = 0◦, a partir del semiejepositivo X , las componentes escalares de la ecuacion (1), a lo largo de los ejes X y Y estan dadas por

a2 Cθ2 + a3 Cθ3 = e Cθe + s Cθs

a2 Sθ2 + a3 Sθ3 = e Sθe + s Sθs (2)

o, substituyendo los valores de los angulos θs y θe, se tiene que

a2 Cθ2 + a3 Cθ3 = s

a2 Sθ2 + a3 Sθ3 = −e (3)

Debe notarse que los parametros del mecanismo son e, θe, a2, a3, θs, mientras que las variables sonθ2, θ3 y s. Mas aun, si el eslabon motriz es el eslabon 2, el angulo θ2 aun cuando es una variable, es

1

Figure 1: Mecanismo de Manivela Biela Corredera.

un dato conocido y necesario para realizar el analisis de posicion, de modo que las dos ecuaciones (3)cuya solucion constituye el analisis de posicion estan dadas por

f1(θ3, s) = a2 Cθ2 + a3 Cθ3 − s = 0f1(θ3, s) = a2 Sθ2 + a3 Sθ3 + e = 0 (4)

La matriz Jacobiana asociada a este sistema de dos ecuaciones con dos incognitas esta dada por

J(θ3, s) =

[∂f1∂θ3

∂f1∂s

∂f2∂θ3

∂f2∂s

]=

[ −a3 S θ3 −1a3 C θ3 0

]. (5)

Es importante notar que el determinante de la matriz jacobiana esta dado por

|J(θ3, θ4)| = a3 C θ3. (6)

Debe notarse que la matriz Jacobiana es singular cuando

C θ3 = 0 o θ3 ∈ {90◦,−90◦}.Los valores de θ3 = 90◦ o θ3 = −90◦ corresponden a posiciones de puntos muertos, que indican loslımites del movimiento de la manivela, o eslabon 2.

Con las ecuaciones (4, 5) es posible realizar el analisis de posicion del mecanismo de manivela bielacorredera. Suponga ahora que se ha realizado el analisis de posicion del mecanismo de manivela bielacorredera, derivando las ecuaciones (4), con respecto al tiempo se obtienen las ecuaciones correspon-dientes al analisis de velocidad del mecanismo de manivela biela corredera. Estas ecuaciones estandadas por

g1(ω3, s) = −a2 Sθ2 ω2 − a3 Sθ3 ω3 − s = 0g1(ω3, s) = a2 Cθ2 ω2 + a3 Cθ3 ω3 = 0 (7)

Debe notarse que, una vez resuelto el analisis de posicion del mecanismo de manivela biela corre-dera, las ecuaciones (7) representan un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incognitas, ω3 y s.

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Este sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como[ −a3 S θ3 −1a3 C θ3 0

] [ω3

s

]=

[a2 Sθ2 ω2

−a2 Cθ2 ω2

](8)

Debe notarse que la matriz de coeficientes de la ecuacion (8) es la misma matriz jacobiana delsistema no lineal de ecuaciones asociada al analisis de posicion del mecanismo. Por lo que, excepto enun caso —cuando los resultados del analisis de posicion coinciden de manera exacta con una posicionde puntos muertos, lo cual es altamente improbable—, si el analisis de posicion tiene solucion, entoncesel analisis de velocidad del mecanismo tiene una solucion unica.

La solucion del analisis de velocidad del mecanismo de manivela biela corredera esta dada por

ω3 =

∣∣∣∣ a2 S θ2 ω2 −1−a2 C θ2 ω2 0

∣∣∣∣a3 C θ3

= −ω2a2

a3

C θ2

C θ3(9)

y

s =

∣∣∣∣ −a3 S θ3 a2 S θ2 ω2

a3 C θ3 −a2 C θ2 ω2

∣∣∣∣a3 C θ3

= ω2 a2S(θ3 − θ2)

C θ3(10)

Derivando las ecuaciones (7), con respecto al tiempo, se obtienen las ecuaciones correspondientesal analisis de aceleracion del mecanismo de biela manivela corredera. Estas ecuaciones vienen dadaspor

h1(α3, s) = −a2 Sθ2 α2 − a2 Cθ2 ω22 − a3 Sθ3 α3 − a3 Cθ3 ω2

3 − s = 0h1(α3, s) = a2 Cθ2 α2 − a2 Sθ2 ω2

2 + a3 Cθ3 α3 − a3 Sθ3 ω23 = 0. (11)

De nueva cuenta, si previamente se han resuelto los analisis de posicion y velocidad del mecanismode biela manivela corredera, las ecuaciones (11) representan un sistema lineal de dos ecuaciones condos incognitas α3, s. Este sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como[ −a3 S θ3 −1

a3 C θ3 0

] [α3

s

]=

[a2 Sθ2α2 + a2 Cθ2 ω2

2 + a3 Cθ3 ω23

−a2 Cθ2α2 + a2 Sθ2 ω22 + a3 Sθ3 ω2

3

](12)

De nueva cuenta, la matriz de coeficientes de la ecuacion (12) es la misma matriz jacobiana delsistema no lineal de ecuaciones asociada al analisis de posicion del mecanismo. Por lo que, exceptoen un caso, si el analisis de posicion tiene solucion, entonces el analisis de aceleracion del mecanismotiene una solucion unica.

En forma simbolica, la solucion del analisis de aceleracion viene dado por

α3 =

∣∣∣∣ a2 Sθ2α2 + a2 Cθ2 ω22 + a3 Cθ3 ω2

3 −1−a2 Cθ2α2 + a2 Sθ2 ω2

2 + a3 Sθ3 ω23 0

∣∣∣∣a3C θ3

(13)

y

s =

∣∣∣∣ −a3 S θ3 a2 Sθ2α2 + a2 Cθ2 ω22 + a3 Cθ3 ω2

3

a3 C θ3 −a2 Cθ2α2 + a2 Sθ2 ω22 + a3 Sθ3 ω2

3

∣∣∣∣a3C θ3

(14)

3

3 Determinacion de las Aceleraciones de los Centros de Masasde los Eslabones.

Una vez realizado el analisis cinematico del mecanismo de manivela biela manivela, es necesariodeterminar las aceleraciones de los centros de masas de los eslabones del mecanismo. Considere laFigura 2 que muestra los vectores desde una revoluta hasta el centro de masas de los eslabones.

Figure 2: Vectores Adicionales Para la Localizacion de los Centros de Masas de los Eslabones de unMecanismo de Manivela Biela Corredera.

Las aceleraciones de los centros de masas de los eslabones estan dadas por

�aG2 = �α2 × �rG2 − ω22 �rG2 (15)

�aG3 = �α2 × �a2 − ω22 �a2 + �α3 × �rG3 − ω2

3 �rG3 (16)�aG4 = �aC (17)

donde

�a2 = a2x i + a2y j = a2

(C θ2 i + S θ2 j

)(18)

�a3 = a3x i + a3y j = a3

(C θ3 i + S θ3 j

)(19)

�rG2 = rG2x i + rG2y j = rG2

[C (θ2 + φ2) i + S (θ2 + φ2) j

](20)

�rG3 = rG3x i + rG3y j = rG3

[C (θ3 + φ3) i + S (θ3 + φ3) j

](21)

4 Analisis Dinamico de un Mecanismo de Manivela Biela Co-

rredera.

En esta seccion, se realizara el analisis dinamico del mecanismo manivela biela corredera medianteel metodo de Newton-Euler, este es el metodo estudiado en los cursos elementales de Dinamica. Elmetodo de Newton-Euler no es necesariamente el mas eficaz, pero es el que, por el momento, todosestamos familiarizado.

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Figure 3: Diagramas de Cuerpo Libre de los Eslabones de un Mecanismo de Manivela Biela Corredera.

El metodo consiste en dibujar el diagrama de cuerpo rıgido para cada uno de los eslabones de lamaquina. La Figura 3 muestra los diagramas de cuerpo libre de los eslabones de un mecanismo demanivela biela corredera. Debe notarse que se ha aplicado la tercera ley de Newton de manera quelas reacciones en los dos elementos de los pares cinematicos del mecanismo son iguales y de sentidoscontrarios, ademas aparecen los pesos de los eslabones y la fuerza Fw que representa el negativo de lafuerza que el piston debe ejercer sobre la resistencia a vencer. Es importante hacer notar que el pistono corredera del mecanismo se ha modelado de manera que el centro de masas G4 coincida con el puntoC, la revoluta entre los eslabones 3 y 4, esta suposicion permite simplificar de manera significativa elproceso de solucion.

Las ecuaciones de Newton-Euler para cada uno de los eslabones del mecanismo son

1. Para la manivela

ΣFx = M2 aG2x FAx − FBx = M2 aG2x (22)ΣFy = M2 aG2y FAy − FBy − M2 g = M2 aG2y (23)

ΣTAz = IA α2 TA k + �rG2 ×(−M2 gj

)+ �rB/A ×

(−FBx i − FBy j

)= IA α2 k (24)

donde esta ultima ecuacion puede escribirse como

TAk +{

rG2

[C (θ2 + φ2) i + S (θ2 + φ2) j

]}×

(−M2 gj

)+

{a2

(C θ2 i + S θ2 j

)}×

(−FBx i − FBy j

)= IA α2 k

o, en forma reducida, en dos diferentes versiones

TA − M2 g rG2 C (θ2 + φ2) + a2 (−FBy C θ2 + FBx S θ2) = IA α2. (25)TA − M2 g rG2x − a2x FBy + a2y FBx = IA α2. (26)

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2. Para la biela

ΣFx = M3 aG3x FBx − FCx = M3 aG3x (27)ΣFy = M3 aG3y FBy − FCy − M3 g = M3 aG3y (28)

ΣTG3z = IG3 α3 �rB/G3 ×(FBx i + FBy j

)+ �rC/G3 ×

(−FCxi − FCy j

)= IG3 α3 k (29)

donde esta ultima ecuacion puede escribirse como{−rG3

[C (θ3 + φ3) i + S (θ3 + φ3) j

]}×

(FBx i + FBy j

)+

{[a3 C θ3 − rG3 C (θ3 + φ3)] i + [a3 S θ3 − rG3 S (θ3 + φ3)] j

}×

(−FCx i − FCy j

)= IG3 α3 k

o, en forma reducida, en dos diferentes versiones,

−rG3 C (θ3 + φ3) FBy + rG3 S (θ3 + φ3) FBx

− [a3 C θ3 − rG3 C (θ3 + φ3)] FCy + [a3 S θ3 − rG3 S (θ3 + φ3)] FCx = IG3 α3. (30)−rG3x FBy + rG3y FBx − (a3x − rG3x)FCy + (a3y − rG3y)FCx = IG3 α3 (31)

3. Para la corredera

ΣFx = M4 aG4x FCx − Fw = M4 aG4x (32)ΣFy = M4 aG4y FCy − FDy − M4 g = 0 (33)

(34)

Es importante notar que para la corredera, eslabon 4, no se presenta la ecuacion de ΣTG4 = 0,pues todas las fuerzas pasan por el punto G4. El analisis dinamico conduce a un sistema lineal de 8ecuaciones con 8 incognitas, dadas por FAx, FAy, TA, FBx, FBy, FCx, FCy, FDy. el cual puede resolversede manera muy simple mediante computadora digital.

Este analisis dinamico se conoce como Analisis Dinamico Directo, y se define como: Cono-cida la geometrıa del mecanismo o maquina, conocida la o las variables de entrada ysus primera y segunda derivadas, conocidas las propiedades masicas e inerciales de loseslabones del mecanismo, determine las reacciones en los pares cinematicos del mecan-ismo o maquina y el (o los) torques o fuerzas motrices necesarios para la operacion delmecanismo o maquina.

Los resultados de este analisis dinamico directo constituyen los datos iniciales para realizar elanalisis de esfuerzo en los eslabones de una maquina o para seleccionar el tipo y dimensiones de loscojinetes, planos o de rodamientos, que deben instalarse en las revolutas de la maquina. Desafortu-nadamente, en los programas integrados de analisis dinamico y de esfuerzos de maquinaria, tales comoAdams c© o Ansys c© esta fase no es transparente para el usuario; es decir el usuario no percibe queestos calculos se estan realizando y en ocasiones no tiene control sobre el proceso de solucion.

Existe otro tipo de analisis dinamico conocido como Analisis Dinamico Inverso, y se de-fine como: Conocida la geometrıa del mecanismo o maquina, conocidas las propiedadesmasicas e inerciales de los eslabones del mecanismo, y conocidas el (o los) torques ofuerzas motrices necesarios para la operacion del mecanismo o maquina, determine elmovimiento de la maquina; es decir determine, como funcion del tiempo, la posicion dela maquina; es decir la posicion de cada uno de los eslabones de la maquina. Debe notarseque si se conocen las posiciones de los eslabones de la maquina, es facil determinar las velocidades yaceleraciones de los eslabones.

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Desafortunadamente, la solucion del analisis dinamico inverso requiere la solucion de una o variasecuaciones diferenciales, usualmente no lineales, o bien la solucion de sistemas de ecuaciones diferen-ciales y algebraicas. Es decir sistemas de ecuaciones diferenciales cuya solucion debe ademas satisfacerun sistema de ecuaciones no-lineales, este es un problema bastante mas complicado que los que hemosresuelto hasta la fecha.

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