1.3.2. propiedades del producto cartesiano

64 Aritmética 65Und. 1 – Teoría de Conjuntos

La forma de construir todos los pares ordenados posibles es escribiendo la 1ra componente, digamos«h» del conjunto A con cada uno de los elementos del conjunto B, luego la 2da componente « t »

A B = {(h; A), (h; L), (h; P), (h; U), (t; A), (t ; L), (t ; P), (t ; U), (j; A), (j ; L), ( j; P), ( j; U), (p; A),

(p; L), (p; P), (p; U), (i; A), ( i; L), ( i; P), ( i; U)}

Obsérvese que no hay dos pares ordenados con los mismos componentes.

1.3.2. Propiedades del producto cartesiano

1ra.- El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo.

A B B A

En particular: A B B A si y solamente si: A = B

Ejemplo.- Sean los conjuntos: A = {1; 3} y B = {a; b; c}. Comprobemos la propiedad: A B B A

Veamos, lo primero que haremos es determinar cada P.C:

a) A B = {(1; a), (1; b), (1; c), (3; a), (3; b), (3; c)}

b) B A = {(a; 1), (a; 3), (b; 1), (b; 3), (c; 1), (c; 3)}

Una inspección de los elementos de cada conjunto nos permite concluir que: A B B A ya que suselementos no son los mismos.

2da.- El número de elementos del producto cartesiano de A × B es igual al producto del número deelementos del conjunto A por el número de elementos del conjunto B.

n A B n A n B

Ejemplo.- Si: A = {h, t, j, p, i} , y , B ={A, L, P, U}

Comprobemos la propiedad del número de elementos del producto cartesiano de A por B.

Inspeccionando los conjuntos se tiene que: n(A) = 5; n(B) = 4

Luego: 4 5 20n A B n A n B

3ra.- Dos pares ordenados son iguales si sus componentes respectivos son iguales.

; ; ;a b c d a b c d

De acuerdo con esta definición, dos pares ordenados son iguales si sus primeras y segundas componen-tes, son iguales respectivamente.

Ejemplo.- Siendo (2x – 5; 6) = (9; 4y – 2), calculemos los valores de «x» e «y ».

Aplicando la propiedad de igualdad de pares ordenados se tiene:

i) 2x – 5 = 9 2x = 14 x = 7

ii) 4y – 2 = 6 4y = 8 y = 2

Un anuncio de una compañía de cosméticosdecía:

«Atrévete a vivir 255 presentaciones distintas»

Se trataba de un estuche cuyo contenido era unjuego de sombras de 8 colores con el cual se pue-den lograr: 28 – 1 = 256 – 1 = 255 combinacio-nes diferentes.

Esta es una prueba de que la teoría de conjuntostiene aplicaciones concretas en la sociedad.

1.3.1. Producto cartesiano

Dados dos conjuntos «A » y «B» se define el producto cartesiano (P.C) de A por B, denotado por: A B,como el conjunto de pares ordenados cuya primera componente le pertenece al primer conjunto A y lasegunda componente le pertenece al conjunto B, es decir:

; A B a b a A b B

Ejemplo.- Sean las ciudades: Huaraz (h), Trujillo ( t ), Juliaca ( j ), Pucallpa (p) e Iquitos ( i) y las regiones:Ancash (A), La Libertad (L), Puno (P) y Ucayali (U). Determinemos el producto cartesiano A B, si:

A = {h, t, j, p, i} , y , B = {A, L, P, U}

El producto cartesiano de A por B estará dado por todos los pares ordenados que se pueden formarteniendo como 1er componente los elementos de A y como segundo componente los elementos de B.Esta formación puede ordenarse mediante el siguiente esquema:

De este esquema se puede prever que el número de pares ordenados a formar viene dado por elproducto 5 · 4 = 20.

6766 Aritmética Und. 1 – Teoría de Conjuntos

1.3.4. Relación binaria

1.3.4A. Definición de relaciónSi a los elementos del conjunto A se le hace corresponder los elementos del conjunto B, se dice queexiste una relación entre A y B.

En general el producto cartesiano de dos conjuntos es una forma de relacionar los elementos de dichosconjuntos.

1.3.4B. Relación binariaSean los conjuntos A y B. Se llama relación binaria de A en B, denotado como R: A B, a todosubconjunto del producto cartesiano A B.

Si la relación R, de A en B, es un subconjunto de A B, entonces se cumple que:

R A B

Asimismo podemos determinar el conjunto R como:

R ; ;x y x A y B

Ejemplos.- Identifiquemos cuál de los siguientes conjuntos corresponden a una relación de A en B, si:

1; 2; 3 y ; ; ; A B a b c d

a) 1R 1; , 2; , 1; , 2; a b d d , sí es una relación por que: 1R A B

b) 2R 2; , 2; , 3; , 3; , 3; b c a e c , no es una relación por que: 3; e A B

c) 3R 1; , 2; , 3; , 1; c d b b , sí es una relación por que: 3R A B

d) 4R 2; , 2; , 3; , 3; , 1; 2c d a b , no es una relación por que: 1; 2 A B

1.3.5. Componentes de una relación

1.3.5A. Conjunto de partidaSe llama conjunto de partida de una relación R: A B, al conjunto A del cual se eligen las primerascomponentes de los pares ordenados.

1.3.5B. Conjunto de llegadaSe llama conjunto de llegada de una relación R: A B, al conjunto B del cual se eligen las segundascomponentes de los pares ordenados.

1.3.3. Representación gráfica de un P.C

1.3.3A. Diagrama sagital

Es la representación de un producto cartesiano que consiste en presentar a los conjuntos A y B porseparado utilizando flechas dirigidas desde un elemento de A hacia cada elemento de B.

Ejemplo.- Sean los conjuntos:

1; 3 ; ; A y B a b c

Luego el producto cartesiano A B está dado por:

1; , 1; , 1; , 3; , 3; , 3; A B a b c a b c

El diagrama sagital de este producto cartesiano es el que se muestra al lado.

1.3.3B. Diagrama cartesiano

Esta representación consiste en ubicar los elementos de A y B en la abscisa y ordenada, de un planocartesiano, respectivamente de modo que los pares ordenados están dados por los puntos de intersec-ción de todas las líneas verticales y horizontales trazadas desde cada elemento.


1; 2 y ; ; A B p q r


1; , 1; , 1; , 2; , 2; , 2; A B p q r p q r

El diagrama cartesiano de este producto cartesiano es el quese muestra al lado.

1.3.3C. Tabla de doble entrada

Esta representación consiste en colocar a los elementos de cada conjunto en los bordes de un rectángu-lo, de modo que los pares ordenados se anotan en los casilleros correspondientes en el orden estable-cido: primero los elementos de A y a su lado los elementos de B.


1; 2; 3 y ; ; A B a b c


1; , 1; , 1; , 2; , 2; , 2; , 3; , 3; , 3; A B a b c a b c a b c

La tabla de doble entrada de este producto cartesiano es elque se muestra al lado.

En conclusión, todo producto cartesiano puede ser representado por cualquiera de las formas mostra-das aquí.


1.3.6. Regla de correspondencia

Se llama regla de correspondencia de la relación R: A B, a la forma o condición según la cual serelacionan los elementos de un primer conjunto «A» con los elementos de un segundo conjunto «B».

La regla de correspondencia puede estar definida por una cualidad o condición matemática según sea lanaturaleza de los elementos.

Ejemplo 1.- En la relación R 1; , 2; , 3; , 4; , 5; a e i o u ; identifiquemos la regla de corres-pondencia.

Inspeccionando las primeras componentes de los pares ordenados podemos establecer que se trata delos números naturales que van del 1 al 5. Asimismo las segundas componentes son las cinco vocales.

Luego podemos afirmar que los números naturales han sido empleados en su forma ordinal, es decir,para ordenar a las segundas componentes. Así la regla de correspondencia es:

«A cada número ordinal, del 1 al 5, le corresponde una vocal »

Ejemplo 2.- Sea A el conjunto formado por los números 1 y 5 de dos dados, y B el conjunto de losnúmeros 2; 4 y 6 de otros tres dados. Construyamos una relación R de A a B, cuya regla de correspon-dencia es la condición matemática:

« . . . es menor que . . . »

Los conjuntos dados son: A = {1; 5} B = {1; 4; 6}

Luego, según la regla de correspondencia se tiene:

R ; x y x y R = {(1; 4), (1; 6), (5; 6)}

1.3.7. Representación gráfica de una R.B

Una relación binaria, así como un producto cartesiano, también se puede representar por medio de undiagrama sagital, un diagrama cartesiano o una tabla de doble entrada.

Ejemplo.- Mostrar las representaciones de la relación: R ; , ; , ; , ; h A t L j P p U

Reconociendo los conjuntos de partida y de llegada, se tiene: ; ; ; y ; ; ; A h t j p B A L P U

Luego graficamos así:

1.3.5C. Dominio de la relación

Se llama dominio de la relación R: A B, denotado como Dom R, al conjunto cuyos elementos sontodas las primeras componentes de los pares ordenados pertenecientes a la relación.

Dom R = { x | (x ; y) R}

Cada una de las primeras componentes que forman parte de la relación recibe el nombre de «preima-gen».

En general, si R: A B, entonces se verifica que el dominio de R es un subconjunto de A:

Dom R A

Ejemplo.- En la relación R 1; , 2; , 3; , 4; a b c d , identifiquemos el dominio de la relación.

Primero identificamos a las primeras componentes de los pares ordenados:

R 1; 2; 3; 4Dom

1.3.5D. Rango de la relación

Se llama rango de la relación R: A B, denotado como Ran R, al conjunto cuyos elementos son todaslas segundas componentes de los pares ordenados pertenecientes a la relación.

Ran R = {y | (x ; y) R}

Cada una de las segundas componentes que forman parte de la relación recibe el nombre de « imagen».Por dicho motivo el rango de una relación también se llama «conjunto de imágenes» o «contradominio».

En general, si R: A B, entonces se verifica que el rango de R es un subconjunto de B:

Ran R B

Ejemplo.- En base a la relación del ejemplo anterior identifiquemos el rango de la relación.

Primero identificamos a las segundas componentes de los pares ordenados:

R ; ; ; Ran a b c d

Ahora podemos presentar la relación en un solo diagrama:

Donde se puede reconocer que:

«1 es la preimagen de a » o «a es la imagen de 1»

«2 es la preimagen de b» o «b es la imagen de 2»

«3 es la preimagen de c» o «c es la imagen de 3»

«4 es la preimagen de d » o «d es la imagen de 4»


1.3.10. Definiciones básicas

Sea la función f : A B, definimos los siguientes elementos:

1.3.10A. PreimagenSe llama preimagen a cada uno de los elementos de A que está relacionado, por f , con los elementosde B.

Según esta definición, la preimagen es cada uno de los valores que puede tomar la variable indepen-diente «x ».

1.3.10B. ImagenSe llama imagen a cada uno de los elementos de B que está relacionado, por f , con los elementos de A.

A la imagen de una función también se le llama recorrido, en referencia al hecho de que son todos losvalores que puede tomar la variable dependiente «y ».

Ejemplo.- Del ejemplo anterior: f = {(1; 9), (3; 4), (5; 3)}

a) Las preimágenes son: 1; 3 y 5

b) Las imágenes son: 9; 4 y 3

1.3.11. Dominio y rango de una función

Sea la función f : A B, definimos los siguientes conjuntos:

1.3.11A. Dominio de la funciónEl dominio de la función f , denotado por Df , es el conjunto de elementos de A para los cuales lafunción está definida, es decir, que están relacionadas, por f , con los elementos de B.

El dominio se constituye en un subconjunto de A, formado por todas las preimágenes.

Df = {x A|(x ; y)f }, Df A

1.3.11B. Rango de la funciónEl rango de la función f , denotado por Rf , es el conjunto de elementos de B para los cuales la funciónestá definida, es decir, que están relacionadas, por f , con los elementos de A.

El rango es en un subconjunto de B formado por todas las imágenes.

Rf = {y B|(x ; y)f }, Rf B

Ejemplo.- En el ejemplo anterior, el dominio y el rango son:

Df = {1; 3; 5}, además: {1; 3; 5} {1; 3; 5; 7; 9}

Rf = {9; 4; 3}, además: {9; 4; 3} {9; 4; 3; 0; -2; -5}

Siendo la función un tipo de relación, la podemos representar por medio de un diagrama sagital, paresordenados, diagrama cartesiano, tabla de doble entrada, etc. Visualicemos el siguiente diagrama sagital:

1.3.8. Relación inversa

Sea R: A B una relación, se define la relación inversa de R, denotada por R -1, como la relación de Ben A formada por los pares ordenados (b; a) tal que (a; b)R.

Esto significa que la relación inversa de R, es la relación que se forma invirtiendo el orden de todos lospares ordenados de R. En símbolos se denota así:

R -1 = {(x ; y)|(y ; x) R}

El exponente « -1» no tiene nada que ver con la potencia, esta es sólo una notación convencional.

Ejemplo.- Determinemos la relación R -1, si:

R = {(1; a), (1; b), (1; c), (3; a), (3; b), (3; c)}, es una relación.

Según la definición de relación inversa, debemos invertir el orden de los elementos de los pares orde-nados de R. Veamos:

R -1 = {(a; 1), (b; 1), (c; 1), (a; 3), (b; 3), (c; 3)}

donde cada par de la relación inversa se ha obtenido así:

(1; a) (a; 1) , (1; b) (b; 1) , (1; c) (c; 1)

(3; a) (a; 3) , (3; b) (b; 3) , (3; c) (c; 3)

1.3.9. Función

1.3.9A. Definición

Sean los conjuntos A y B. Se llama función de A en B, denotado como f : A B, a una relación segúnla cual se hace corresponder a cada elemento de A un único elemento de B.

; ;f x y x A y B

Según esta definición, en una función no hay dos pares ordenados con la misma primera componente.

Si al elemento «x » de A le corresponde, según f , un elemento «y » de B, se denota así: y = f (x )

Ejemplo.- Sean los siguientes conjuntos: A = {1; 3; 5; 7; 9}, B = {9; 4; 3; 0; -2; -5} y la función:

f = {(1; 9), (3; 4), (5; 3)}. Se pide identificar:

a) Los elementos «x » de A que se relacionan, por f , con B.

Estos son: x {1; 3; 5}

b)Los elementos «y » de B que se relacionan, por f , con A.

Estos son: y {9; 4; 3}

c) Todas las relaciones y = f (x ) que se pueden establecer son:

f (1) = 9 ; f (3) = 4 ; f (5) = 3


01.- Determina por extensión los siguientes productoscartesianos A B:

a. A = {2; 3}, B = {0; 1; 5}

..................................................................

b. A = {x | 3 < x < 6}

B = {x | -2 < x < 1}

..................................................................

02.- Analiza cada producto cartesiano y determina porcomprensión los conjuntos que componen cada producto:

a. A B = {(3; 2); (3; 4); (3; 6); (5; 2); (5; 4);

(5; 6); (7; 2); (7; 4); (7; 6)}

A = ...........................................................

B = ..........................................................

b. A B = {(5; s); (5; o); (5; n); (10; s); (10; o);

(10; n); (15; s); (15; o); (15; n); (20; s)}

A = ...........................................................

B = ..........................................................

03.- Sean los conjuntos:

A = {0; 2; 4} B = {1; 3; 5}

D = C = {x | 0 x < 4}

E = {3} F = {x | 2 < x 5}

Determina y escribe el número de elementos de los si-guientes productos cartesianos:

a. n(A B) = ________ b. n(B A) = ________

c. n(B C) = ________ d. n(C B) = ________

e. n (A A) = n(A2) = ________

f. n[(A F) B] = ________

04.- Completar adecuadamente las siguientes proposi-ciones para que su valor de verdad sea verdadero:

a. Si A B es igual a ______ los conjuntos A y ______son iguales.

b. El producto cartesiano ______ se define como el con-junto de _____ ordenados (a; b) tal que ____ y b B.

c. Si los conjuntos A y B son unitarios entonces A B______ es unitario.

d. Si A es un conjunto vacío y B no lo es entonces A Bes ______.

e. Si M N y N M entonces M N es ____ que N M

05.- Calcula el valor de «r » y «t» si cada caso es unaigualdad de pares ordenados:

a. (3r; 10) = (18; t – 3)

...........................................................

b. 64 30; 16 ; -3r t

...........................................................

06.- En base a las siguientes gráficas determina por ex-tensión cada uno de los productos cartesianos represen-tados:

a.

...........................................................

b.

...........................................................

« » « »

Obsérvese que el dominio de la función es un subconjunto del conjunto de partida A. Asimismo, elrango de la función es un subconjunto del conjunto de llegada B.

1.3.12. Valor funcional

Se llama valor funcional al número que se obtiene cuando se reemplaza la variable «x » de la función« f » en la regla de correspondencia, por un valor dado «a » siempre que a Df .

De este modo queda establecido que evaluar una función es determinar el valor que ésta posee para unvalor dado de su dominio.

Con frecuencia una función queda descrita mediante una fórmula que especifica la forma de calcular elnúmero f (x ) en términos del número «x ».

Si « f » es una función de «x » y «a » es un valor de su dominio, entonces la expresión f (a ) representa elvalor obtenido al reemplazar «x » por «a » en la regla de correspondencia de la función. A este procesose denomina evaluación de la función.

En adelante el símbolo f ( ) se puede considerar como una operación a realizar siempre que se inserteun número o expresión dentro del paréntesis.

Ejemplo 1.- Sea la función « f » cuya regla de correspondencia es: f (x ) = 3x – 2. Determinemos losvalores de f (1) y f (4).

a) Evaluemos para x = 1: f (1) = 3(1) – 2 f (1) = 1

b) Evaluemos para x = 4: f (4) = 3(4) – 2 f (4) = 10

Ejemplo 2.- Para la función « f », cuya fórmula es f (x ) = x2 – 2x + 3, donde x . Determinemos f (-2)y f (5).

a) Evaluemos para: x = -2

f (-2) = (-2)2 – 2(-2) + 3 = 4 + 4 + 3

f (-2) = 11

b) Evaluemos para: x = 5

f (5) = (5)2 – 2(5) + 3 = 25 – 10 + 3

f (5) = 18


Prob. 01Sean los conjuntos: A = {2a | a; 1 a 3}

B b/2|b ;6 b 8

Calcular: n( A B) + n(A) + n(B)

A) 9 B) 15 C) 21 D) 18 E) 6

Determinamos los conjuntos por extensión:

A = {2; 4; 6} 73; ; 42

B

Según la teoría expuesta se sabe que:

n(A B) = n(A)· n(B)

n(A B) = 3 · 3 = 9

Ahora lo que piden:

n(A B) + n(A) + n(B) = 9 + 3 + 3

n(A B) + n(A) + n(B) = 15

Prob. 02Sean los conjuntos: A = {1; a}, B = {3; b}

Si: A B = {(n; m), (1; b), (5; 3), (a; 7)},

calcular: m + n + a + b

A) 19 B) 25 C) 20 D) 8 E) 16

Determinamos A B con los dos primeros datos:

A B = {(1; 3), (1; b), (a; 3), (a; b)}

Este conjunto debe ser igual al siguiente conjunto:

{(n; m), (1; b), (5; 3), (a; 7)}

Comparando convenientemente los elementos deambos conjuntos se tiene:

n = 1 ; m = 3 ; a = 5 ; b = 7

Ahora calculamos lo que nos piden:

m + n + a + b = 3 + 1 + 5 + 7 m + n + a + b = 16

Prob. 03Sean los conjuntos: A = {4; 5; 6} B = {7; 8}.Si: (m; n)A B, calcular «m + n», si «m» esmáximo y «n» es mínimo.

A) 11 B) 13 C) 8 D) 9 E) 10

Determinamos A B y luego identificamos el parordenado que verifica la condición dada.

Efectuando la operación A B, se obtiene:

A B = {(4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (6; 7), (6; 8)}

Si (mmáx; nmín) A B, reconocemos que:

(m; n) = (6; 7) m = 6 n = 7

Como piden: m + n = 6 + 7

m + n = 13

Prob. 04Sabiendo que un número natural mayor que unose llama primo cuando sólo es posible dividirloentre él mismo y la unidad, se propone:Sea el conjunto: A = {a | a es primo a 10},calcular el número de elementos de A A.

A) 9 B) 15 C) 21 D) 18 E) 6

Para determinar el número de elementos queposee A A = A2, debemos saber cuáles son suselementos o la regla de correspondencia de es-tos. Para ello procedemos así:

c.

AA 1 2 3

123

...........................................................

07.- Sean los conjuntos: A x 2 x 6

B x 1 x 7

Indica con (S) o (N) si los siguientes conjuntos son o no,respectivamente, relaciones de A en B.

a. Q = {(3; 9); (5; 3); (1; 3)} ______

b. R = {(5; 3); (4; 6); (4; 12)} ______

c. S = {(2; 3); (4; 2); (5; 5)} ______

d. T = {(3; 1); (6; 1); (0; 5)} ______

e. U = {(5; 0); (4; 3); (3; 6); (2; 5)} ______

08.- Dados los siguientes diagramas sagitales, se pideen cada caso:

i. Identificar y encerrar con una línea los elementos deldominio y del rango.

ii. Determinar, por comprensión, la relación de cadacaso.

a.

R = ...............................................

b.

R = ...............................................

09.- Se pide determinar, por extensión, el dominio yrango de cada relación.

a. A = {1; 2; 3; 4}

B = {3; 4; 5; 6}

R = {(x; y) A B | y = x + 1}

Dom R = ...............................................

Ran R = ................................................

b. A = {1; 2; 3}

B = {5; 7; 8; 9}

R = {(x; y) A B | y = 8 – x }

Dom R = ...............................................

Ran R = ................................................

10.- Determinar, por extensión, la relación inversa -1Rde cada caso:

a. R1 = {(2; 3); (1; 4); (5; 7)}

11R = { ............................................. }

b. R2 = {(7; 2); (7; 3); (-3; 2)}

12R = { ............................................. }


Del conjunto «R» reconocemos que:

R-1 = {(n; 3), (m; -1)}

Luego: Dom (R-1) = {n; m}

De acuerdo con el dato se sabe que Dom (R-1)sólo tiene un elemento, luego se trata de un con-junto unitario y por consiguiente se debe cum-plir que: n = m = 8

Como piden: m nFn

8 88

F

F = 2

Prob. 09Determine, la suma de los elementos del rango dela siguiente relación, si:

R = {(x; y) | x {0; 1; 2} y = 3x + 1}

A) 21 B) 12 C) -8 D) 5 E) -9

Determinamos los elementos de «R» evaluandoasí:

x = 0 y = 3(0) + 1 y = 1

x = 1 y = 3(1) + 1 y = 4

x = 2 y = 3(2) + 1 y = 7

Luego la relación es: R = {(0; 1), (1; 4), (2; 7)}

De aquí se deduce el rango de R:Ran R = {1; 4; 7}

Finalmente piden la suma de los elementos deeste conjunto:

S = 1 + 4 + 7 = 12

Prob. 10

Sea: f(x) = x 2 + 1, cuyo diagrama sagital es:

determine la suma de los elementos del rango de« f »A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

La función quedará determinada si logramos cal-cular los valores de m y n. Utilizando la regla decorrespondencia de « f» y los datos se tiene:

f (-1) = (-1)2 + 1 m = 2

f (3) = (3)2 + 1 n = 10

Luego la función, es: f = {(-1; 2), (3; 10)}

Df = {-1; 3}

Nos piden la suma de estos elementos:

-1 + 3 = 2

Prob. 11Determine el dominio de la relación R si:

R = {(a; b) | «a» es un divisor positivo de «b» b = 18}

A) {1; 2; 3; 6; 9; 18} B) {1; 3; 5; 9; 18}

C) {2; 3; 5; 6; 9; 12} D) {1; 3; 5; 6; 10}

E) {1; 2; 3; 6}

Nuestra estrategia consistirá en determinar elconjunto R, lo cual exige que identifiquemos pre-viamente a todos los divisores del elemento «b».Identificamos todos los divisores de b = 18, reco-nociendo qué números enteros positivos dividenexactamente a 18. Estos son:

1; 2; 3; 6; 9; 18

Entonces la relación «R» queda determinada así:

R = {(1; 18), (2; 18), (3; 18), (6; 18), (9; 18), (18; 18)}

Por último identificamos las preimágenes queforman el dominio de la relación y que estándadas por las primeras componentes de la rela-ción:

Dom R = {1; 2; 3; 6; 9; 18}

Dado que la variable «a» es menor que 10, consi-deramos que es posible determinar el conjuntoA por extensión:

A = {2; 3; 5; 7}

Luego por teoría se sabe que:

n(A2) = n(A A) = n(A)· n(A)

n(A A) = 4· 4

n(A A) = 16

Prob. 05Sea el conjunto: A = {1; 2; 3; 4;.....; n}

Si: n(AB) = 20 y B = {-1; -2}, calcular «n».

A) 16 B) 18 C) 10 D) 6 E) 15

Analizando el conjunto A podemos reconocerque el valor de cada elemento está relacionadocon su correspondiente número ordinal. Luegoel valor de «n» coincide con el número de ele-mentos de A.

Como n(A B) = n(A)· n(B) y n(B) = 2

Pero por datos se tiene que: 20 = n(A)· 2

n(A) = 10

Luego: A = {1; 2; 3; 4; .....; 10}

n = 10

Prob. 06Sea la relación: A = {(a; 2a) | a ; 3 a < 7},elabora su diagrama sagital y da como respuestala cantidad de líneas que salen del conjunto for-mado por las primeras componentes.A) 8 B) 4 C) 5 D) 3 E) 0

Calculamos A por extensión:

como: 3 a < 7 a { 3; 4; 5; 6}

Entonces: A = {(3; 6), (4; 8), (5; 10), (6; 12)}

Finalmente el diagrama es:

De donde se pueden reconocer 4 líneas quesalen del conjunto de las 1ras componentes.

Prob. 07

Sea la relación: R = {(2; a), (c; 8), (-1; b)}

Si se sabe que: R-1 = {(-3; 2), (d; 7), (4; -1)},

calcular: P = (a + b)c + d

A) 32 B) 16 C) 8 D) 1 E) 27

Determinamos la inversa de R:

R-1 = {(a; 2), (8; c), (b; -1)}

Igualando este conjunto con el dato:

R-1 = {(-3; 2), (d; 7), (4; -1)}

De lo cual se deduce que:

a = -3; d = 8; c = 7; b = 4

Como piden: P = (a + b)c + d

P = (-3 + 4)7 + 8 = (1)15

P = 1

Prob. 08

Sea la relación: R = {(3; n), (-1; m)},

Si: Dom (R-1) = {8}, calcular: m nF n

A) 1 B) 1/3 C) 6 D) 4 E) 2


Prob. 16

Sea la relación: R = {(a; b) | a; b a + b = 5}

Determine el dominio de la relación.

A) {0; 1; 2; 3; 4; 5} B) {1; 2; 3; 4; 5}

C) {0; 1; 2; 3; 4} D) {1; 2; 3; 4}

E) {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

Calculamos la relación R:

R = {(0; 5), (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1), (5; 0)}

Podemos visualizar que:

Dom R = {0; 1; 2; 3; 4; 5}

Prob. 17

Si: (m – 2; 5) = (5; n + 3), calcular: «mn».

A) 7 B) 21 C) 14 D) 28 E) 9

Sabemos que dos pares ordenados son igualescuando poseen los mismos componentes enton-ces se debe de cumplir que:

m – 2 = 5 m = 7

5 = n + 3 n = 2

m· n = 14

Prob. 18

Si el conjunto: A = {(a + 1; b), (3; 2)}, es unitario;calcular: a2 – ab + b2.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

Si el conjunto «A» es unitario, esto quiere decirque:

(a + 1; b) = (3; 2)

Luego, si los pares ordenados son iguales, secumple que:

a + 1 = 3 a = 2

b = 2

Nos piden: a2 – ab + b2 = 22 – (2)(2) + 22

a2 – ab + b2 = 4

Prob. 19

Si el conjunto A tiene 5 elementos y el conjunto Btiene 3 elementos, ¿cuántos elementos tiene A × B?

A) 5 B) 3 C) 8 D) 15 E) 12

Sabemos que: n(A B) = n(A)· n(B)

Reemplazando: n(A B) = 5· 3

n(A B) = 15

Prob. 20

Con respecto al problema anterior, ¿cuántos ele-mentos tiene el conjunto (B × A) – (A B), sabien-do que (A × B) (B × A) = ?

A) 15 B) 0 C) 5

D) 3 E) No se puede determinar

Si (A × B) (B × A) = ; esto quiere decir que Ay B son conjuntos disjuntos.

Luego:

B A A B B A

Nos piden: n(B A) = 3· 5

n(B A) = 15

Prob. 12

Sean los conjuntos: A = {3; 4; 5; 6} y

B = {m, n, p, q, r}

Si: A B = B A, calcular: n(A B)

A) 16 B) 17 C) 18 D) 20 E) 24

Si A B = B A; entonces esto quiere decir queA B y B A tendrán los mismos e igual númerode elementos.

Con lo cual: n(A) = n(B) = 4

Luego: n(A B) = n(A)· n(B)

n(A B) = 4· 4 = 16

Prob. 13

En la figura, se muestra una relación:

Determine la relación por comprensión.

A) R a;a | a ; 1 a 6B) R 2a; a | a ; 0 a 8C) R a;2 a | a ; -1 a 0D) R a; a | a ; 1 a 4 E) R 2a; a | a ; 1 a 4

Los elementos de la relación son:

1; 1 , 2; 2 , 3; 3 , 4; 2R

Como: 1 1 y 2 4

La relación se puede colocar de la siguiente ma-nera:

1; 1 , 2; 2 , 3; 3 , 4; 4R

Luego: ; | ; 1 4R a a a a

Prob. 14

Sea la relación: R = {(4; -1), (a; 3), (b; 7), (c; -10)}

Si: Ran (R -1) = {a}, calcular: a b cQ aa

A) 2 B) -1 C) 1 D) 3 E) -2

Calculamos la relación: R-1

R-1 = {(-1; 4), (3; a), (7; b), (-10; c)}

Podemos visualizar que: a = b = c = 4

Nos piden: 4 4 4 44

a b cQ aa

Q = -1

Prob. 15

Sea la relación: M = {(n – 1; 2n) | n ; 0 n < 3},determine la imagen, de aquella preimagen nula.

A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) 5

Calculamos los valores que toma «n»:

n {0; 1; 2}

M = {(-1; 0), (0; 2), (1; 4)}

Hacemos un diagrama sagital:

Nos piden la imagen del cero, la cual es 2.


Prob. 21

Dados los conjuntos:A = {x | 3 x 6}

B = {x | x [-1; 4]}Calcular el área que determina la gráfica de A × B.

A) 22 2 B) 6 2 C) 15 2

D) 12 2 E) 8 2

Determinamos los conjuntos por extensión:

A = {3; 4; 5; 6}

B = {-1; 0; 1; 2; 3; 4}

Luego, el conjunto producto es:

3; -1 , 3; 0 , 3; 1 , 3; 2 , 3; 3 , 3; 44; -1 , 4; 0 , 4; 1 , 4; 2 , 4; 3 , 4; 45; -1 , 5; 0 , 5; 1 , 5; 2 , 5; 3 , 5; 46; -1 , 6; 0 , 6; 1 , 6; 2 , 6; 3 , 6; 4

A B

Haciendo la gráfica del producto cartesianoA B, tenemos:

Área = 3· 5 = 15

Prob. 22

Con respecto al problema anterior, calcular el áreaque determina la línea envolvente de B × A.

A) 6 2 B) 12 2 C) 22 2

D) 15 2 E) 25 2

Calculamos el conjunto B A

-1; 3 , -1; 4 , -1; 5 , -1; 60; 3 , 0; 4 , 0; 5 , 0; 61; 3 , 1; 4 , 1; 5 , 1; 62; 3 , 2; 4 , 2; 5 , 2; 63; 3 , 3; 4 , 3; 5 , 3; 64; 3 , 4; 4 , 4; 5 , 4; 6

B A

Hacemos la gráfica del producto cartesiano B A

Área (B A) = 5· 3 = 15

Prob. 23

Sean los conjuntos: A = {1; n; 3} B = {m; 3}.Si: n(A × B) = 2, determine el mayor valor de:

m + n

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

Calculamos el conjunto A B:

A B = {(1; m), (1; 3), (n; m), (n; 3), (3; m), (3; 3)}

Para que el conjunto A B tenga sólo 2 elemen-tos se deduce que m = 3 y «n» podrá ser 1 ó 3.

Como nos piden (m + n)máx , entonces:

m + n = 6

Prob. 24

Sea el conjunto: A = {1; 4; 9; 16; ..........; n}Si: n(A × B) = 200 y n(B) = 10, calcular: n

A) 10 B) 15 C) 20 D) 40 E) 400

Sabiendo que: n(A B) = n(A)· n(B)

200 = n(A)· 10

n(A) = 20

Los elementos de «A» son de la forma:

t (m) = m2

t (20) = 202 = 400

n = 400

Nos piden: 400n

20n

Prob. 25

Sea F(x) = 2x – 3. Además:

Determine la relación si: F(-2) = b – 5

F(2) = a – 1

A) {(-2; 2), (2; -2)} B) {(2; -2), (-2; 0)}

C) {(-2; 1), (2; 0)} D) {(-2; 1), (2; 2)}

E) {(-2; 3), (2; 4)}

Según la regla de correspondencia:

F(x) = 2x – 3

F(-2) = 2(-2) – 3 = -7

-7 = b – 5

b = -2

F(2) = 2(2) – 3 = 1

1 = a – 1

a = 2

Luego la relación es:

R = {(-2; 2); (2; -2)}

Prob. 26

Sea H( x ) x y además:

Determine la relación «R».

A) {(3; 5), (2; 1)} B) {(3; 1), (2; 5)}

C) {(3; 2), (5; 1)} D) {(2; 5), (3; 4)}

E) {(3; 5), (3; 4)}

Utilizando la regla de correspondencia:

( )H x x

H(9) = 9 = 3

H(4) = 4 = 2

Luego la relación es:

R = {(3; 5), (2; 1)}


A) 23 B) 24 C) 25

D) 26 E) 27

10.- Respecto de la relación R:

Indicar verdadero (V) o falso (F): El dominio es {2; 3; 4; 5} El rango es {6; 7} El conjunto de llegada es B.

A) FFV B) FVV C) FFF

D) VFF E) VVV

11.- Siendo: (a + b; a – b) = (25; 17), calcular a · b.

A) 63 B) 84 C) 72

D) 96 E) 64

12.- F = {(x; y) | y = 2x – 1} es una relación condominio: Dom F = {2; 3; 4; 5}. Calcular la suma deelementos del dominio de F -1.

A) 14 B) 22 C) 25

D) 26 E) 24

13.- G = {(x; y) | x + 2y = 12} es una relación conrango: Ran G = {3; 1; 4; 5}. Calcular la suma deelementos del Dom G.

A) 20 B) 22 C) 24

D) 26 E) 28

14.- Si: A = {x | x < 5} y

B = {x | 2 < x < 6}

¿Cuántos elementos tiene A B?

A) 12 B) 15 C) 18

D) 14 E) 24

15.- Del problema anterior, obtener la relaciónR = {(x; y) A B | x + y = 6}. Calcular la suma deposibles valores de: 2x + 3y.

A) 24 B) 36 C) 32

D) 48 E) 42

16.- El conjunto A tiene 8 elementos y el conjuntoA B tiene 72 elementos. ¿Cuántos elementos tieneel conjunto B?

A) 3 B) 8 C) 9

D) 6 E) 18

17.- Sea el conjunto A = {0; 1}, el número de ele-mentos de A A es:

A) 1 B) 2 C) 4

D) 8 E) 16

18.- Dado el conjunto: B = {0; 1; 2}; el número deelementos de B B es:

A) 8 B) 10 C) 12

D) 9 E) 16

19.- ¿Cuál es el dominio de la siguiente relación R?

R = {(7; 3), (5; 2), (7; 4), (7; 1)}

Dar como respuesta el número de elementos de estedominio.

A) 3 B) 0 C) 2

D) 1 E) 4

20.- Dado los conjuntos: G = {x | -6 < x < 2}

H = {x | -5 < x < 0}

¿cuántos elementos tiene el conjunto G H?

A) 20 B) 24 C) 28

D) 21 E) 32

21.- Si: A = {3; 4; 5; 6} y B = {6; 7}, determinar:

(A B) B

01.- Indicar verdadero o falso según corresponda:

I. Si A B B A A B

II. ( ) ( ) ( ) n A B n A n B

III. Si R es una relación de A en B, entonces:

R A B

A) FVF B) VFV C) FFF

D) FVV E) VFF

02.- Sabiendo que R es una relación, tal que:

R = {(1; 3), (0; 1), (4; 3), (2; 2), (3; 5)},

se afirma:

I. Dom R = {0; 1; 2; 3; 4}

II. Ran R = {1; 2; 3; 4; 5}

III. R-1 = R

¿Cuáles son verdaderas?

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III

D) I y II E) II y III

03.- Sabiendo que: (a + 3; 7) = (8; b), el valor de:

a + b es:

A) 12 B) 13 C) 14

D) 15 E) 16

04.- Si: (a + b; 2a – 1) = (8; 9), el valor de «b» es:

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

05.- Si: (2a + 1; 3a + b) = (13; 20), el valor de:

a + b es:

A) 8 B) 10 C) 12

D) 6 E) 14

06.- Si se cumple que: 3 22 1; 5 7; 2 yx ,

calcular: x + y

A) 5 B) 6 C) 7

D) 8 E) 9

07.- Dados los conjuntos: A = {-2; 3} y

B = {x | 0 < x < 3}Calcular: A B

A) {(1; -2), (1; 3), (2; -2), (2; 3)}

B) {-2; 3; 1; 2}

C) {-2; 0; 1; 2; 3}

D) {(-2; 1), (-2; 2), (3; 1), (3; 2)}

E) {(-2; 0), (-2; 2), (3; 0), (3; 2)}

08.- Calcular la suma de elementos del dominio dela relación R:

A) 12 B) 20 C) 11

D) 10 E) 14

09.- Si A y B son conjuntos, tales que:

A B = {(4; 9), (5; 7), (6; 8)}

Calcular la suma de elementos del conjunto B.

84 Aritmética

A) {(3; 6), (3; 7), (4; 6), (4; 7), (5; 6), (5; 7)}

B) {(6; 6), (6; 7), (7; 6), (7; 7)}

C) {(3; 6), (3; 7), (4; 6), (4; 7), (5; 6)}

D) {(6; 6), (7; 6)}

E) {(6; 6), (6; 7)}

22.- Dados los conjuntos: S = {10; 12; 14; 16; 18}T = {3; 5; 7; 9}

Determinar la relación:R = {(x; y) S T | y = x /2}

A) {(10; 5), (14; 7), (18; 9)}

B) {(14; 7), (16; 8), (18; 9)}

C) {(16; 8), (18; 9), (20; 10)}

D) {(5; 10), (7; 14), (9; 18)}

E) {(10; 5), (12; 6), (16; 8)}

23.- En A = {4; 5; 6; 7} se define la relación:R = {(x; y) | x + y es par}

Si B = {1; 2; 3; 4}, calcular el número de elementosde «R».

A) 9 B) 8 C) 10

D) 7 E) 5

24.- Como sabemos, una moneda tiene dos lados:cara (C) y sello (S). Se lanza un dado y una mone-da, anotándose el resultado en la forma (x; y) donde«x» es el resultado de la moneda e «y» el del dado.¿Cuántos elementos tiene la relación?

R = {(x; y) | y es un número que divide al 6}

A) 6 B) 3 C) 4

D) 8 E) 9

25.- En un centro comercial, la persona encargadade cobrar la adquisición de determinados artículosregistra el precio unitario y la cantidad adquiridapor el cliente, en la forma (p; q) respectivamente.Si «p» está expresado en soles, tomando los valoresde: A = {3; 5; 7} y «q» pertenece al conjunto:B = {6; 12; 18}; obtener el número de:

R = {(p; q) A B | p · q > 45}

A) 6 B) 5 C) 4

D) 7 E) 8

26.- Sean los conjuntos: A = {2x | x ; 1 x < 5}

B = {3x | x ; x 6}

Calcular: n(A B) + n(A) + n(B)

A) 20 B) 25 C) 28

D) 30 E) 39

27.- Sean los conjuntos: A = {2; 3; 4} y

B = {8; 9}

Si (m; n) A B, calcular «m + n» si «m» es máxi-mo y «n» es mínimo.

A) 9 B) 10 C) 11

D) 12 E) 13

28.- Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 4; .....; m},n(A B) = 24 y B = {-2; -3; -4}. Calcular «m»

A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 12

29.- Sea la relación: R = {(3; a), (c; 10), (-4; b)}

R-1 = {(-5; 3), (d; 9), (6; -4)}

Calcular: a + b + c + d

A) 18 B) 19 C) 20

D) 21 E) 22

03A

11B

04C

12E

20C

05A

13B

21E

29C

06C

14B

22A

15D

23B

24D

02A

01B

10B

19C

28B

17C

25B

18D

26E

27D

09B

07D

08D

16C

1.3.2. propiedades del producto cartesiano

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