1.3 numeros complejos
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IInnssttiittuuttooTTeeccnnoollggiiccooddeeMMiinnaattiittllnn 1
INSTITUTO TECNOLGICO DE
MINATITLNDivisin de Estudios a Distancia
MATERIA: Introduccin a las Matemticas
UNIDAD: 1. Naturaleza de los nmeros
SUBTEMA: 1.3 Nmeros complejos
INTRODUCCIN
El trmino nmero complejo describe la suma de un nmero real y un nmeroimaginario (que es un mltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Losnmeros complejos se utilizan en todos los campos de las matemticas, en muchos de lafsica (y notoriamente en la mecnica cuntica) y en ingeniera, especialmente en laelectrnica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondaselectromagnticas y la corriente elctrica.
Los nmeros complejos son la herramienta de trabajo del lgebra ordinaria, llamadalgebra de los nmeros complejos, as como de ramas de las matemticas puras y aplicadascomo variable compleja, aerodinmica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.
DESARROLLO
El trmino nmero complejo describe la suma de un nmero real y un nmeroimaginario (que es un mltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Losnmeros complejos se utilizan en todos los campos de las matemticas. Los nmeros
complejos son una extensin de los nmeros reales, cumplindose que CR . Enmatemticas, los nmeros constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntosdel plano: el plano complejo.
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En el plano de la figura anterior el eje de las x (abscisas) es suplido por eje de losnmeros reales y el eje de las y (ordenadas) por el eje de los nmeros imaginarios, de talforma que un nmero imaginario tiene 2 partes:
El trmino principal de la parte imaginaria es el trmino i, llamado unidad imaginaria,dicho trmino equivale a:
1i
Por lo que despejando el -1 queda:
12 i
Cuando un nmero complejo solo contiene la parte imaginaria se dice que se tiene unnmero imaginario puro. Se conocen dos formas bsicas para representar un nmerocomplejo:
biaz
ba
),(
EJEMPLO
El nmero complejo (3,4) tambin puede representarse como z = 3 + 4i, yrepresentarse en el plano:
Par ordenadoForma Binomica
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1.3.1 Operaciones con nmeros complejos
Suma o adicin
Si se tienen los nmeros complejos z1= a + bi y z2= c + di; entonces, (a + bi) + (c +
di) = (a + c) + (b + d )i , puesto que a,b,c, d son todos nmeros reales.
Ejemplo
Sumar los nmeros z1= 3 +2i y z2= 4 i. Se debe sumar la parte real de uno con ladel otro, as mismo con las partes imaginarias:
i
i
i
7
4
23
De la misma forma ocurre si estuvieran en forma de pares ordenados:(3,2) + (4,-1) = (7,1)
Resta o sustraccin
Usando los nmeros complejos z1= a + bi y z2= c + di; entonces, z1 - z2=(a +bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d )i.
Ejemplo
Se tienen los nmeros z1= 4 + 5i y z2= 5 - 3i:
i
i
i
31
4
23
+
-
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En forma de pares ordenados:
(3,2) + (4,-1) = (3-4,2-(-1)) = (-1,3)
Multiplicacin
Si se tienen los nmeros complejos z1= a + bi y z2= c + di; entonces, z1z2= (a + bi) (c+ di) = ac + adi + bci + bdi2= (ac - bd ) + (ad + bc)i, puesto que a,b,c, d son todos nmerosreales.
Ejemplo
Se tienen los nmeros z1 = (3+ 2i) y z2= (4 - i)
z1z2= (3+ 2i)(4 - i) = 12 - 3i + 8i - 2i2= (12 + 2) + (-3+ 8)i = 14 + 5i
En forma de pares ordenados:
z1z2= (3, 2)(4 ,- 1) = [(3)(4)-(2)(-1),(3)(-1)+(2)(4)]= 14 + 5i
Conjugado de un nmero complejo
Si z = x + yi es un nmero complejo llamaremos conjugado del nmero z, al nmero
z = x - yi , es decir, al nmero complejo que tiene la misma parte real que z pero la parteimaginaria de signo opuesto.
Ejemplo
Si z = 3+ 2i , entonces z = 3 - 2i y si z = 3 - 2i , entonces z = 3+ 2i .
Divisin
Si se tienen los nmeros complejos z1= a + bi y z2= c + di; entonces, la divisin denmeros complejos se realiza mediante la multiplicacin y divisin por el conjugado deldenominador:
2
2
22
2
1
z
iadbcbdac
dc
iadbcbdac
dic
dic
dic
bia
dic
bia
z
z
Ejemplo
Dados los nmeros z1= 23i y z2= -1 +2i
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iz
z
ii
i
i
i
i
i
i
z
z
5
1
5
8
5
4362
21
22132312
21
21
21
32
21
32
2
1
22
2
1
Modulo y argumento de un numero complejo
Sea z = (a,b) = a + bi un nmero complejo cualquiera. Llamaremos mdulo delnmero complejo z:
z = 22 ba
El mdulo se interpreta como la distancia al origen del nmero z . Por otra parte,llamaremos argumento del nmero complejo z = a + bi , al ngulo comprendido entre el eje x
y el radio vector que determina a z . El argumento de z se denota por arg(z) y se calcula
mediante la expresin:
a
baz tanarg
Modulo y argumento de un numero complejo
Ejemplo
Calcular el modulo y el argumento del numero complejo z1= 5 -2i
385.525 22 z
19.3388.21
5
2tan)arg( az
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Races Complejas
Si el discriminante de la ecuacin ax2 + bx + c = 0 es negativo, debe sustituirse elsigno negativo por i2y de esa forma se obtienen las races complejas de la ecuacin.
Ejemplo
Resolver la ecuacin x2- 2x + 6 = 0
Aplicando la frmula de la ecuacin cuadrtica:
2
202
2
2442
20
61422 2
x
iii
x 512
522
2
202
2
202 2
Entonces para el polinomio de segundo orden existen 2 races:
ix 511 y ix 512
FORMA TRIGONOMETRICA O POLAR DE UN NMERO COMPLEJO
La forma trigonomtrica de un nmero complejo se establece observando el tringuloamarillo de la Figura 3:
Forma trigonometrica de un nmero complejo
De esta grafica se obtuvo:
z = 22 ba
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a
baz tanarg
Adems puede deducirse:
cosryr
yCos
rsenyrySen
Al sustituir en la forma binomica
isenrirsenryixyxz coscos,
O abreviando
rcisz
Ejemplo
Calcular la formula trigonomtrica del numero complejo z1= 7 -3i
615.737 22 z
8.33619.23
7
3tan)arg( az
Sustituyendo
8.336615.78.3368.336cos615.7 cisisenz
Multiplicacin de nmeros complejos en su forma trigonomtrica
Sean u = r cisy v = s cis, entonces u v = (rs)cis (+ ) . En otros trminos:
isenrsuv cos o
cisrsuv
Comprobando:
scisrcisuv
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cisrsisenrs
isensensensenrs
isensenisenisenrs
isenisenrs
ciscisrs
cos
coscoscoscos
coscoscoscos
coscos
2
Ejemplo
Sea 302cisu y 205cisv al multiplicar:
.
5010
5050cos10
20302030cos25
cisuv
isenuv
isenuv
Potencia de un numero complejo y la formula de Moivre
insennrncisrz nnn cos
De forma que cuando r = 1
insennisen n coscos Esta es la ecuacin llamada formula de Moivre
Ejemplo
Elevar el numero z1= 5 cis 53 al cubo
159125533533cos5331 cisisenz
FORMA EXPONENCIAL DE UN NMERO COMPLEJO
Para esta forma se utiliza la llamada formula de Euler:
isenei cos
De la forma trigonometrica se tiene:
isenrz cos
Al sustituir la formula de Eulerqueda:
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irez
A la cual se le llama forma exponencial.
Ejemplo
Transformar el numero complejo z1= 5
3i a su forma exponencial
22 35 r 03.32996.305
3tan
a
De modo que su forma exponencial es:
iez 03.3291 34
Multiplicacin y divisin de nmeros complejos en su forma exponencial
Sean
i
reu yi
sev
iii erssereuv
i
i
i
es
r
se
re
v
u
Ejemplo
Sea 302cisu y 205cisv multiplicar y dividir en su forma exponencial:
5020302030 102552 iiii eeeeuv
102030
20
30
5
2
5
2
5
2 iii
i
eee
e
v
u
REFERENCIAS
[1] Algebra; Baldor, Aurelio; 1997; Publicaciones Cultural.[2] Algebra para universitarios; Alvarado Garca, Rodolfo; 2001; Editorial Esfinge.[3] Aritmtica y algebra; Sada Garca, Mara Teresa; 2001; Ediciones DGTI.[4] Algebra; Acosta Snchez, Raymundo; 2006; Ediciones DGTI.