12_controlcompensadoratrasorlocuscontinuo_v12s01 (1)
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1Ing. Gabriela Ortiz León
Control Automático
Compensador de atraso en el lugar de las raíces
2Ing. Gabriela Ortiz León
Contenido
El compensador de atraso
Cálculo del compensador atraso Con realimentación unitaria Con realimentación no unitaria
Ejemplos y ejercicios
Resumen
Referencias
3Ing. Gabriela Ortiz León
K lead=k C ( s−z0
s− p0)n
∣p0∣>∣z0∣
Compensadores y reguladoresCompensador de adelanto
Compensador de atraso
Compensador adelanto-atrasoCompensador de filtro de muesca
Regulador PID
K lag=s−z0
s− p0
∣p0∣<∣z0∣
K notch=kC
s2+2ζ z ωnzs+ωnz
2
s2+2 ζ pωn ps+ωn p
2
4Ing. Gabriela Ortiz León
Introducción
Problema a resolver. Encontrar una red de compensación adecuada
para un sistema cuyas características de respuesta transitoria es satisfactoria, pero en estado estable el comportamiento no es el deseado
5Ing. Gabriela Ortiz León
Compensador de atraso (1)Objetivo Aumentar la ganancia en lazo cerrado evitando
modificar la respuesta transitoria en forma notable.
La respuesta transitoria no debe ser afectada, por tanto el lugar de las raíces no debe cambiar significativamente en la proximidad de los polos dominantes de lazo cerrado
6Ing. Gabriela Ortiz León
Compensador de atraso (2)La contribución del ángulo de la red de atraso debe ser pequeño para evitar deformar apreciablemente el Lugar de las Raíces
El compensador de atraso deforma el lugar de las raíces desplazándolo hacia la derecha.
7Ing. Gabriela Ortiz León
Dipolo
Para evitar el corrimiento del centroide y mantener la contribución del ángulo del compensador pequeña, para no afectar el comportamiento transitorio, entonces se colocan el polo y el cero muy cerca entre sí y también cerca del origen
8Ing. Gabriela Ortiz León
Desventajas
El cero del compensador cerca del origen provoca un polo en lazo cerrado cerca del origen: Este polo en lazo cerrado y el cero del
compensador generan una larga cola de pequeña amplitud en la respuesta al escalón, por lo tanto el ts aumenta
9Ing. Gabriela Ortiz León
Funcionamiento del compensador de atraso
En altas frecuencias el compensador de atraso tiene ganancia unitaria
En bajas frecuencias la ganancia es:
No importa si llamamos a los ceros y polos z0 y p0 o z1 o p1.
lims →∞
K (s)=lims→∞ ( (s− z1)
( s− p1) )=1 ∣p1∣<∣z1∣
lims →0
K (s)=lims →0 ( (s− z1)
( s− p1) )= z1
p1
>1 ∣p1∣<∣z1∣
10Ing. Gabriela Ortiz León
Ganancia a bajas frecuencias
El término aparecerá multiplicando las constantes de error de posición, velocidad y aceleración (KP, KV o Ka)
K P=lims →0
K (s)G (s)=lims →0 ( (s−zO)
(s− p0)G (s))= z0
p0
lims→0
G (s)=z0
p0
K P
K V =lims →0
( sK (s)G (s))=z0
p0
lims→ 0
( sG (s))=z0
p0
K V
K a=lims →0
( s2 K (s)G (s))=z0
p0
lims →0
( s2 G (s))=z0
p0
K a
z0
p0
11Ing. Gabriela Ortiz León
Procedimiento 1. Obtener el lugar de las raíces del sistema no
compensado
2. En función de las especificaciones de la respuesta transitoria, se sitúan los polos dominantes de lazo cerrado en el lugar de las raíces
3. Calcular la constante de error estático especificada en el problema
12Ing. Gabriela Ortiz León
Procedimiento 4. Determinar el incremento necesario en la
constante de error estático para satisfacer las especificaciones. Esto nos da la relación polo-cero del compensador
5. Determinar el polo y el cero del compensador de atraso que producen el incremento necesario en la constante de error estático sin modificar apreciablemente los lugares de las raíces originales
13Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 1: Compensador de atraso
Un sistema con realimentación unitaria negativa, tiene la siguiente función de lazo abierto:
Obtener un error en estado estacionario menor al 3%
G (s)=5
(s+1)(s+3)
14Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 1: Compensador de atrasoEl error en estado estacionario del sistema sin compensar es:
ess= 0,375
Si compensamos el error en estado estable utilizando solamente una ganancia proporcional:
K=19,4
Resultados de agregar un compensador proporcional simple:
Mp aumenta de un 4% a mas de 50%
Ts 5% aumenta
15Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 1: Compensador de atraso
Compensador de atraso Resolvemos el problema del MP y ts agregando
un compensador de atraso que proporcione la ganancia de 20 sólo en bajas frecuencia
16Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 1: Compensador de atrasoPrimer caso: Debe tener un factor Escogemos
Resultados: El lugar de las raíces se desplaza un poco hacia la
derecha El e
ss disminuye pero el sistema responde muy
lento
z0
p0
=20
K ( s)=s+0,2s+0,01
17Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 1: Compensador de atrasoSegundo caso: Para mejorar la respuesta se debe buscar otra
ubicación del cero del compensador manteniendo
Escogemos
Resultados: El lugar de las raíces se mueve más hacia la derecha
afectando la estabilidad y la respuesta transitoria Respuesta transitoria es satisfactoria
z 0
p0
=20
045.0
9.0)(
++=
s
ssK
18Ing. Gabriela Ortiz León
Compensador de adelanto-atraso
Compensador de adelanto Acelera la respuesta e incrementa estabilidad
Compensador de retardo Mejora la respuesta en estado estable y reduce la
velocidad de la respuesta
La compensación de adelanto-atraso combina las ventajas de los compensadores de adelanto y de atraso
19Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 2 Sintetice un regulador que haga que el sistema tenga
ante una entrada escalón una respuesta con: un sobreimpulso MP entre el 3% y el 10% un tiempo de estabilización tS5% < 3 s Un error de estado estacionario ante escalón entre el 1%
y el 3% Escoja para punto s1 un valor de entre los siguientes:
a) – 1,0 ± j 1,6 b) –1,15 ± j 1,25
c) –1,25 ± j 1,0 d) –1,15 ± j 2,0
3( s+1)( s+1,5)( s+2)
20Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 2: SoluciónEscogemos el punto s1 = – 1,15 ± j 1,25
Cancelamos el polo en –1,5 con z0 = –1,5
El ángulo de la planta reducida en el polo en s = – 1,5, , evaluada en el punto s1 es: –152,63ºEl ángulo a agregar es: ϕpo = ±180º + = [27,37º, -332,63º]
Escogemos el valor ϕpo = 27,37º ya que éste se encuentra entre ±180º.
γ
G (s)
γ
21Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 2: Gráficas con el compensador de adelanto
K lead (s)=1,72s+1,5
s+3,56
22Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 2: Cálculo de la relación z0/p0
Ya que el sistema es tipo 0 y la realimentación es unitaria tenemos
De donde despejamos
Calculamos KP
K P=z0
p0
K P
z0
p0
=K P
K P
K P=lims →0
K lead( s)G (s)=0,7247
23Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 2: Cálculo de K^
Tomando el valor intermedio del 2% para error de estado estacionario y asumiendo que está dado como un valor absoluto, y utilizando la ecuación
Calculamos los valores para el coeficiente de error de posición deseado,
K P=1−e ss
e ss
K P={ 49 ; e ss=0,02−51 ; e ss=−0,02
24Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 2: La gananciaUsamos el valor positivo de
Redondeamos el valor a 68
Escogemos el cero de forma arbitraria en el punto s = -0.5 y calculamos el polo
z0
p0
≥49
0,7247=67,6124
K P
p0=z0
68
K lag=s+0,5
s+0,0074
25Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 2: Final
Como se observa en la grafica punteada, la respuesta es muy lenta. Esto es debido al polo de lazo cerrado creado por el compensador de atraso.Solución, mover el cero hacia la izquierda a -0.9 y recalcular el polo. El resultado se observa en el trazo de línea continua. K ( s)=1,72
s+1,5s+3,56
s+0,9s+0,01324
K lag=s+0,9
s+0,01324
26Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 2: ConclusionesEl compensador de atraso permite corregir el error de estado estacionario en aquellos casos donde el desempeño de un simple regulador proporcional no es satisfactorio.
Hay que escoger la ubicación del cero del compensador de tal manera que los polos de lazo cerrado del sistema no sean excesivamente lentos.
Sistemas tipo 0: Ubicar el cero lo más a la izquierda que se pueda (a la derecha del polo real más lento); sin afectar excesivamente la estabilidad y respuesta transitoria del sistema; o la forma deseada del lugar de las raíces.
Sistemas tipo 1: Ubicar el dipolo lo más cerca del origen
27Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 3: Realimentación no unitaria
Sintetice un regulador que haga que el sistema tenga ante una entrada escalón una respuesta con: Un sobreimpulso MP entre el 5 % y el 10% Un tiempo de estabilización del 2%, tS2% < 2 s Un error de estado estacionario ante escalón
eSS < 2 %
28Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 3: Selección del punto s1
Con los parámetros encontrados seleccionamos la zona Γ, y el ella el punto s1 = −2,5 +/- j 3
29Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 3: SoluciónCalculamos que el amortiguamiento relativo debe satisfacer 0,59 ≤ ζ ≤ 0,69Calculamos que el producto ζωn ≥ 2Escogemos el punto s1 = -2,5 +/- j 3 El ángulo de la planta evaluada en el punto s1 es: 162,9°El ángulo a agregar es:
Escogemos el valor φ = 17,1º ya que éste se encuentra entre ±180º.
γ
ϕ={ 180°−162,9°= 17,1°−180°−162,9°= −342,9 °
30Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 3: Selección del punto s1
Calculamos un compensador por el método de la bisectriz, con = 50.2°
z0=−∣s1∣
cos (ϕ+θ
2 )cos ( ϕ−θ
2 )=−∣(−2,5+ j3)∣
cos ( 17,1°+50,2°2 )
cos ( 17,1°−50,2°2 )
=−3,4
θ=180°−∢s1
p0=−∣s1∣
cos (ϕ−θ
2 )cos ( ϕ+θ
2 )=−∣(−2,5+ j3)∣
cos ( 17,1°−50,2 °2 )
cos ( 17,1°+50,2 °2 )
=−4,5
kC=1
∣K lead (s1) GO(s1)∣=
1
∣(s1+3,4)
(s1+4,5)
0,5(s1+1)(s1+3)
∣
=23,5
31Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 3: Lugar de las raícesCon el compensador de adelanto aplicado obtenemos
K lead (s)=23,5s+3,4s+4,5
32Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 3: Análisis a ω = 0Colocamos la misma ganancia que tiene el sensor a frecuencia cero (CD) en serie con la entrada. En este caso la ganancia es 0,5.
-
+ y(t)r(t)d(t)
)()(lim0
sGsK leads→
lims →0
H ( s )=0,5
)(lim0
sHs→
0,5
lims →0
K lag (s )
33Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 3: Modelo equivalente con realimentación unitaria
Utilizando álgebra de bloques, al trasladar la ganancia dentro del lazo, se reduce a un sistema con realimentación unitaria.El sistema se trata ahora como cualquier sistema con realimentación unitaria
-
+ y(t)r(t)d(t)
)()(lim0
sGsK leads→
lim H(s)s0 p
zsK lag
s=
→)(lim
0
34Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 3: Cálculo de KP y eSS
Después de aplicar el compensador de adelanto, se calcula el error de estado estacionario actual
El error es del 25,25%, hay que compensar aplicando un compensador de atraso
K P=lims →0
GE( s)=lims →0
[ K lead (s) GO(s)]
K P=lims →0 (23,5
(s+3,4)
( s+4,5)
1(s+1)(s+3)
0,5 )=2,96
ess=1
1+K P
=1
1+2,96=0,2525
35Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 3: Cálculo de eSS
Los valores deseados del coeficiente de error de posición, con son:
El nuevo coeficiente de error después de aplicar el compensador de atraso
K P>{ 49 ; eSS<0,02−51 ; eSS>−0,02
eSS<∣0,02∣
K P=lims →0
[ K lag (s) ] lims → 0
[ K lead (s) G (s) H (s) ]
K P=zp
K P
36Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 3: Encontrando la relación z/p
Despejando y sustituyendo los valores conocidos y usando el valor positivo de
Ubicamos el cero en el punto s = - 0,9 y calculamos el polo con z/p = 17
zp
≥K P
K P
zp
≥492,96
=16,55
K P
K lag=s+0,9
s+0,053
37Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 3: Compensador totalEl precompensador de 0.5 y el compensador de atraso-adelanto constituyen el resultado de la síntesis.
H(s) = 0,5
-
+ y(t)r(t)0,5 Klag(s)Klead(s)
d(t)
)(sG
38Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 3: ResultadosLa respuesta se obtiene con el sistema con un precompensador F = 0,5, igual a la ganancia CD del sensor H(s) y Klag(s) Klead(s).
Respuesta ante escalón
Tiempo [s] (sec)
Am
plit
ud
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Entrada r(t)
Entrada d(t)
ts = 1.65 y = 0.98Mp = 8.2%
39Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 3: ConclusionesLa realimentación no unitaria afecta el cálculo del compensador de adelanto, con su dinámica, y el valor de kC con su ganancia estática
Aplicando una ganancia estática F = H(0) podemos simplificar el sistema a una aproximación con realimentación unitaria.
40Ing. Gabriela Ortiz León
Resumen Compensador adelanto-atraso continuo (1)
Se emplea una estrategia que evita al máximo los efectos secundarios de cada parte sobre las otras
El procedimiento debe tomar en cuenta que el modelo es inexacto y que las especificaciones no pueden ser tampoco exactas y recurrir a la iteración
Se debe garantizar que el polo del compensador de atraso no vuelva muy lento al sistema ubicando el cero adecuadamente, dependiendo del tipo de sistema
41Ing. Gabriela Ortiz León
Resumen Compensador adelanto-atraso continuo (1)
Se emplea una estrategia que evita al máximo los efectos secundarios de cada parte sobre las otras
El procedimiento debe tomar en cuenta que el modelo es inexacto y que las especificaciones no pueden ser tampoco exactas y recurrir a la iteración
Se debe garantizar que el polo del compensador de atraso no vuelva muy lento al sistema ubicando el cero adecuadamente, dependiendo del tipo de sistema
42Ing. Gabriela Ortiz León
Resumen Compensador adelanto-atraso continuo (2)
El procedimiento debe tomar en cuenta la realimentación (especialmente el valor estático de H(s), cuando s 0)
Cuando el sensor tiene ganancia o atenuación, es necesario usar un precompensador estático F acompañando al compensador de atraso.
43Ing. Gabriela Ortiz León
Tipo de sistema en tiempo discreto (1)
En tiempo discreto el tipo de sistema es el número de factores (z-1) del numerador de TE(z) o el número de factores (z-1) del denominador de GE(z).
Si i es el exponente de t para la entrada de prueba, entonces la constante de error es Ki
K i=limz →1 [ ( z−1
T )i
D ( z )G ( z ) ]=limz →1 [ ( z−1
T )i
G E( z) ]para i =0,1, 2,…
44Ing. Gabriela Ortiz León
Error normalizado generalizado de estado estacionario
Tipo/entrada
Escalón (i = 0)
r(t) = Aσ(t)
Rampa (i = 1)
r(t) = A tσ(t)
Parábola (i = 2)
r(t)=½ A t2σ(t)
0 ∞ ∞
1 0 ∞
2 0 0
Tipo de sistema en tiempo discreto (2)
11+K P
1K V
1K a
45Ing. Gabriela Ortiz León
Compensador de atraso discreto
Para un sistema tipo 0 compensado podemos calcular el error de estado estacionario con
, donde
Por lo que, escogiendo adecuadamente la ubicación del cero z1 a la derecha del polo dominante, obtenemos el polo p1 como:
K P=limz →1
( K lead ( z) G ( z))
p1=( z1−1)
( K P / K P)+1
e ss=1
1+limz →1
( K lag ( z )K lead ( z)G ( z ))
K P=limz →1
( K lag ( z ) K lead (z ) G ( z ))=1−z1
1− p1
K P
46Ing. Gabriela Ortiz León
Ejemplo 4: Compensador de adelanto-atraso
Encuentre para el sistema en tiempo discreto del ejemplo 1, con la planta G(z), con T = 0,1 s
a) El compensador digital de adelanto, por el método de la bisectriz, que haga que la respuesta de lazo cerrado ante un escalón tenga como características dinámicas:
Un sobreimpulso MP ≤ 10% Un tiempo de estabilización del 2% tS ≤ 1,4 s
Use un punto z1 de los siguientes:1) 0,675 ± j0,5 2) 0,675 ± j0,25 3) 0,7 ± j0,3 4) 0,8 ± j2
b) El compensador digital de atraso, que haga que el error de estado estacionario se encuentre entre el 1% y el 3% ante una entrada escalón.
G ( z )=0,004528 ( z+0,9048)
( z−0,9048) ( z−0,8187)
47Ing. Gabriela Ortiz León
Ejercicios (1)Sintetice un regulador que haga que el sistema tenga ante una entrada escalón una respuesta con: un sobreimpulso menor al 5% un tiempo de estabilización tS2% < 0,8 s Un error de estado estacionario ante escalón < 1%
Escoja un punto s1 de entre los siguientes:a) -5,25 +/- j 5,75 b) -4,5 +/- j 3,75 c) -5,25 +/- j 5,25d) -2,25 +/- j 4 e) -1,5 +/- j 2,25
48Ing. Gabriela Ortiz León
Ejercicios (2)
Resuelva el ejemplo 3; pero con H(s) = 2
Resuelva el ejemplo 3; pero, con H (s)=2
s+2
49Ing. Gabriela Ortiz León
ReferenciasOgata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª Ed., Madrid.
Dorf, Richard, Bishop Robert. „Sistemas de control moderno“, 10ª Ed., Prentice Hall, 2005, España.
Ogata, Katsuhiko. „Sistemas de Control en tiempo discreto“, Prentice Hall, 1996, 2ª Ed., México.