Ejercicio 4.1

El valor de E en esta dado por

Determinar el trabajo incremental requerido para mover una carga de 20uC una distancia de 6um.

a) En la direccin de

b) En la direccin de

c) En la direccin de

d) En la direccin de E

e) En la direccin de

Solucin

Q = 20uC =

a.

( ) ( ) ( )

Rta.

b.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Rta.

c.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Rta.

d.

( )

( )

( ) ( ) (( ) )

( ) (( ) )

( )

Rta.

e.

( )

( )

( ) ( ) (( ) )

( ) (( ) )

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

Rta.

4.2) Un campo elctrico esta dado por V/m.

encontrar:

a) Encontrar E en P(5,0,/12)

b) Cunto trabajo se realiza en mover una carga de 2nC a una distancia incremental de 1mm

desde P en la direccin de ?

c) En la direccin

d) En direccin

( )

e) de ( )?

Vector unitario

( )

4.3) Si V/m, encontrar la cantidad de trabajo incremental realizado para mover una

carga de 50uC una distancia de 2mm de:

a) P(1,2,3) hacia Q(2,1,4);

:

(Q-P)=(2,1,4)-(1,2,3)=(1,-1,1)

(

)

b) Q(2,1,4) hacia P(1,2,3)

(P-Q)= (1,2,3)- (2,1,4)=(-1,1,-1)

(

)

Ejercicio 4.4

Se ha visto que la energa necesaria para llevar una carga de desde el origen a lo largo

del eje es directamente proporcional al cuadrado de la longitud de la trayectoria. Si en

, determine sobre el eje como funcin de .

Solucin:

Como la condicin dice que cuando:

4.5) Calcular el valor de

para con A(1,-1,2) y P(2,1,2) utilizando la trayectoria: a)

segmentos de lneas rectos entre los puntos A(1,-1,2) a B(1,1,2) a P(2,1,2); b) segmentos de lnea

rectos entre los puntos A(1,-1,2) a C(2,-1,2) a P(2,1,2).

Desarrollo

a) Tenemos los puntos:

A(1,-1,2)

B(1,1,2)

P(2,1,2)

Para calcular

, analizamos la direccin de la componente en x desde A a P, siguiendo la

trayectoria desde A a B tenemos que x sigue una lnea recta no existe un cambio, pero del punto B a P

existe una variacin en x, con y= 1, analizando la integral tenemos.

[ ]

2

b) Tenemos los puntos:

A(1,-1,2)

C(2,-1,2)

P(2,1,2)

Para calcular

seguimos el mismo procedimiento que el inciso anterior. La trayectoria desde el

punto A a C existe una variacin en x, con un valor de y= -1, ahora analizando la integral tenemos que:

[ ]

-2

4.6.- Determinar el trabajo realizado en llevar una carga de -2uC de (2, 1, -1) a (8, 2, -1) en el campo E=

y + a lo largo de:

a) la parbola

Resolucin:

*

+

* (

)

+

[

|

|

]

[(

)

[ ]]

*

[ ]+

//

b) La hiprbole

y=-

+

*

+

*

+

* (

) (

)

+

*(

)

+

[(

|

|

)

|

]

*(

(

))

(

)+

[

]

//

c) la lnea recta

*

+

* (

)

+

*(

|

|

) |

+

*(

)

+

[

]

//

4.7) Sea .Dado un punto inicial y un punto final , encontrar

utilizando la trayectoria: a) lnea recta ;b)parbola: .

a)

,

Reemplazando

[ ] ( )

|

|

|

+ |

b)

Reemplazando

(

)

(

)

[

] ( )

(

|

|

|

)+ |

[(

) ]

4.8 dado encontrar el trabajo necesario para mover una carga unitaria positiva en

un arco circular centrado desde a hasta

Tenemos el punto inicial

Y el punto final

[ *

+

*

+

]

4.9 Una densidad de superficie uniforme de 20 nC/m2 se encuentra en la superficie de la esfera de un

radio cm en el espacio libre. a) Encontrar el potencial absoluto en

. b) Encontrar dados los puntos y

a) Primero encontramos el flujo elctrico de una esfera de radio .

Utilizando la frmula de potencial en cualquier punto ubicado a una distancia

b) Los valores de potencial se pueden encontrar localizando las distancia de y

radialmente

(

)

(

)

4.10 Exprese el campo de potencial de una carga lineal finita

a) Con referencia cero en

[ ]

[ (

)]

b) Con en

[ (

)]

c) Puede localizarse la referencia cero en el infinito?

No

Porque?

No, porque tendramos un potencial indefinido (

)

4.11. Una densidad de carga de superficie uniforme de 5nC/m2 esta presente en el plano z=0, otra

densidad de carga de superficie uniforme de 8nC/ m2 esta presente en x=0, z=4 y una carga puntual de

2uC en P(2,0,0). Si V=0 en M(0,0,5), encontrar V en N(1,2,3).

Para la carga puntual tenemos

| |

Para el plano tenemos z=0

Para la superficie tenemos x=0 y z=4.

| |

Por lo tanto

Ya obtenido el valor de la constante se procede hacer el estudio de V en N(1,2,3):

Entonces para calcular Vn tenemos:

( )

( )

( )

Ejercicio 4.12

en coordenadas esfricas. Encontrar el potencial en cualquier punto utilizando

la referencia a) en el infinito; b) en c) en

Solucin:

a)

Evaluando en para hallar C

b)

de la parte (a)

Evaluando en para hallar C

c)

de la parte (a)

Evaluando en para hallar C

4.14.- Dado un campo electrosttico , encontrar la diferencia de

`potencial entre los puntos.

a) (2, -2, -1) y (0, 0, 0)

*

+

Para resolver escogemos una trayectoria a lo largo de la cual el movimiento ocurre en una direccin de

la coordenada. Empezando al origen, primero desplazamos a lo largo del eje de 0 a 2, dnde =0,

luego a lo largo de de 0 a 2, dnde es 2, luego a lo largo de de 0 a -1. Entonces el arreglo es:

|

|

-

[ | |

| |

|

]

b) (3, 2, -1) y (-2, -3, 4)

|

|

-

[ | |

| |

|

]

(1)(5) -2(-5) = 10

Ejercicio 4.15

Dos lneas de cargas uniformes de , cada una se localizan en , y en ,

en el espacio libre. Si el potencial en el origen en 100V, encontrar V en .

Solucin:

Para la primera lnea de carga

es la distancia de la lnea , al punto del campo

| |

Para el origen

Para el punto P

Se evita calcular la constante C1 restando un potencial a otro

(

)

Para la segunda lnea de carga

es la distancia de la lnea , al punto del campo

| |

Para el origen

Para el punto P

Se evita calcular la constante C2 restando un potencial a otro

(

)

4.16. El potencial en cualquier punto del espacio est dado por la expresin donde

son constantes. a) Dnde se encuentra la referencia de potencial cero? b) encontrar la intensidad

del campo elctrico vectorial en cualquier punto

SOLUCION:

a)

( )

Esta condicin se cumplir para

( ) que se cumple si

O se cumple para

que se cumple si

o sus mltiplos

b)

[

]

[

]

[(

) (

) ]

[ ]

4.17.- Dos densidades de carga de superficie uniformes de 6 y 2nC/ estn presentes en y

6cm respectivamente en el espacio libre.

Suponer que V=0 en y calcular V en:

a)

En , V=0; el potencial en 5cm ser la diferencia de potencial entre y

[

|

]

*

(

)+

-[ ] = - 3.024V

-

-

- *

|

|

+

- *

(

)

( )

(

)+

[-5.4953 4.1785] = -9.674V

4.18.- Encontrar el potencia en el origen que produce una lnea de carga que se

extiende a lo largo del eje x desde hasta + , donde Suponer que el punto de referencia

cero est en el infinito.

Solucin:

[

(

)]

* (

)+

El inverso de la tangente cuando vale infinito es

rad/seg.y cuando el inverso de la tangente vale 1

es

rad/seg. Entonces:

*

+

4.19 Una superficie anular de , tiene una densidad de carga de Superficie

no Uniforme

. Encontrar V en si en el infinito.

| |

Donde:

Remplazando tenemos los limites en la integral tenemos

Remplazando

4.20 Una carga Puntual Q se localiza en el Origen. Expresar el potencial en coordenadas

Cartesianas y cilndricas y utilizar gradiente en estos sistemas de coordenadas para encontrar la

intensidad de Campo elctrico. Puede verificarse el resultado convirtindolos a coordenadas

esfricas.

Potencial En C. Cartesianas En C. Cilndricas

[

]

Convertimos la intensidad de campo a coordenadas Esfricas

* ( )

+

*

+

[

]

* ( )

+

*

+

[ ]

* ( )

+

*

+

[ ]

Encontramos E para el caso de coordenadas cilndricas:

[

]

[

]

Convertimos E a coordenadas esfricas

* ( )

+

*

+

* ( )

+

*

+

* ( )

+

Observamos que la expresin de intensidad de campo elctrico da el mismo resultado al convertir a

coordenadas esfricas E en coordenadas Cartesianas y E en coordenadas Esfricas

4.22 Un determinado campo de potencial est dado por en coordenadas

esfricas. Encontrar la carga total contenida dentro de la regin .

[

]

[

]

[ ]

,

|

-

Si se considera que

|

4.23) Se sabe que un potencial esta dado por . Suponiendo condiciones en el espacio

libre, encontrar:

a) E.

b) La densidad de carga volumtrica en

c) La carga total dentro de la superficie cerrada

24) La superficie que define la ecuacin , donde son positivas, es una

superficie equipotencial en la que el potencial es de 200 V. Si | |

en el punto P (7, 25,32) sobre

la superficie, encontrar E en ese punto.

Desarrollo:

La Funcin de potencial ser de la forma V(x,y,z) ya que tenemos componentes rectangulares en la

ecuacin que define la superficie.

+ C1

| |

Evaluando | | en el punto P, tenemos:

| |

| |

Remplazando el valor de | |

y despejando el valor de C, tenemos:

C= 0.322

Obtenido el valor de C, remplazamos en

La constante C1, es necesaria solamente para asegurar un potencial de 200V en el punto P.

EJERCICIO 4.25

Dentro del cilindro el potencial est dado por

a) Encontrar V, E, D y en P (1, 60, 0.5) en el espacio libre.

Primero encontramos V en el punto P:

Ahora podemos encontrar E sabiendo que:

Para coordenadas cilndricas el gradiente es:

Remplazando los valores en la frmula tenemos:

[ ]

[ ]

Con l valor de E podemos encontrar D:

( )

Para determinar pv podemos realizar el siguiente procedimiento

La divergencia en coordenadas cilndricas es:

( )

Remplazando los valores en la frmula tenemos:

[

]

b) Cunta carga se encuentra dentro del cilindro?

Para encontrar la carga podemos realizar la siguiente integral:

|

4.26. Supngase que se tiene un plano conductor imperfecto de forma cuadrada muy delgado de 2 m

de lado, ubicado en el plano z=0 con una esquina en el origen de tal forma que se localice totalmente

dentro del primer cuadrante. El potencial en cualquier punto de la placa esta dado por

a) Un electrn ingresa a la placa por el punto x=0, y=/3 con una velocidad inicial de cero: en

que direccin es su movimiento inicial?

b) Debido a colisiones con partculas de la placa el electrn alcanza una velocidad relativamente

baja y poca aceleracin (el trabajo que el campo realiza en ella se convierte en su mayor parte

en calor). Por lo tanto, el electrn se mueve aproximadamente em lnea recta. en que parte

el electrn abandona la placa y en que direccin se esta moviendo?

Literal a).-

( )

Por lo tanto en la direccin del movimiento inicial es:

Con x=0 , y= /3

( (

) (

) )

(

)

Literal a).-

Para resolver este literal primeramente tenemos que encontrar la lnea de flujo del ejectron.

Entonces tenemos:

Por lo tanto la ecuacin de la lnea de flujo es:

Obtenido esto procedemos a encontrar la en que parte el electron abandona la placa:

Esto se logra evaluando en el punto del electron x=0, y=/3:

Cuando x=0 tendremos:

( (

))

Entonces con y=0; tenemos

Por tanto tenemos q el punto de salida va a ser por (0.69, 0)

Dicho esto tenemos que la direccin de salida va a ser por la componente

4.27) dos cargas puntuales de 1nC en (0, 0, 0.1) y -1nC en (0, 0, -0.1) se encuentran en el espacio libre.

a) Calcular V en P (0.3, 0, 0.4).

| |

| |

| |

| |

(

)

(

)

b) calcular | | en P.

| |

| |

| |

| |

c) supngase que las dos cargas forman un dipolo en el origen, calcular V en P.

4.28. Utilizar la intensidad de campo elctrico del dipolo de la (seccin 4.7, Ecuacin 36) para

encontrar la diferencia de potencial entre los puntos a y b, cada uno de ellos teniendo las mismas

coordenadas r y . En qu condiciones la respuesta cumple con la ecuacin (34) para el potencial

en a?

Ecuacin 34

Si a (el punto final de la ruta) es 90 (el plano xy). Bajo esta condicin, se observa que si b> 90, de

trabajo positivo se realiza cuando se mueve (contra el campo) para el plano xy, y si b

Ejercicio 4.30

Un dipolo para el que se ubica en el origen Cul es la ecuacin de la superficie en

la que ?

Por lo que observamos que ser 0 cuando

Utilizando la identidad y despejando

( (

)) (

(

)) (

(

))

(

)

Observamos que

La ecuacin de la superficie en la que nos dar.

(

)

(

)

(

)

4.31. Un campo de potencial en el espacio libre se expresa como V=20/(xyz)V. a) Encontrar la

energa total almacenada dentro del cubo 1x,y,z2. b) Cul es el valor que se obtendra

suponiendo una densidad de energa uniforme igual a la que hay en el centro del cubo?

a)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

) (

) (

) )

(

(

) (

) (

) )

(

(

) ( (

)

) (

))

(

(

) ( (

) (

)) (

))

(

(

) (

) (

)

(

))

[(

(

) (

) (

)

((

)

))]

[(

(

) (

) (

)

((

) (

)))]

[(

)]

[

]

[

]

b) C(1.5,1.5,1.5)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

4.32 a) Utilizando la ecuacin (36), encontrar la energa almacenada en el campo dipolar en la regin

r>a. b) Por qu no es posible que a se aproxime a cero como lmite?

Solucin:

Ecuacin (36)

[

|

]

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

b) A partir del resultado anterior, una singularidad en la energa se produce cuando a 0. Ms

importante, a no puede ser demasiado pequea, o el campo lejano original utilizada para derivar la

ecuacin (36) (a>> d) no se mantendr, y as la expresin de campo no ser vlida.

4.33) Una esfera de cobre de radio igual a contiene una carga total

distribuida uniformemente de en el espacio libre. Utilice la ley de Gauss

para encontrar D fuera de la esfera. Calcular la energa total almacenada en el

campo electrosttico. Utilizar para calcular la capacitancia de la

esfera aislada.

En donde

(

) (

)

*

+

|

*

+ *

+

*

+ (

)|

*

+ (

)

(

)

4.34 Una esfera de radio a contiene una densidad uniforme de carga volumtrica de .

Encontrar la energa total almacenada aplicando a) la ecuacin (43); b) la ecuacin (45)

Solucin.

Donde:

Para

Para

a) Ecuacin 43

Para

Para

[

]

*

+

*

+

*

+

a) Ecuacin 45

Para

(

)

*

+

Para

(

)

[

]

4.35 Cuatro cargas puntuales de 0.8 nC se ubican en el espacio libre en las esquinas de un

cuadrado de 4cm de lado.

a) Encontrar la energa potencial total almacenada.

[

]

[

]

Como tenemos 4 cargas:

[

]

b) Una quinta carga de 0.8nC este en el centro del cuadrado. Encontrar de nuevo la energa total

almacenada.

La distancia de la quinta carga a