125 tes is patricia andrade

7/22/2019 125 Tes is Patricia Andrade

1/90

U N IV E R S ID D D E S O N O RD I V I S I N D E C I E N C I A S E X A C T A S Y N A T U R A L E SD E P A R T A M E N T O D E M A T E M T IC A S

E L E M E N T O S D E T E O R D E C O N T IN U O SE H IP E R E S P C IO S

T SISQ u e p a r a o b t e n e r e l t t u l o d e :LICENCIADO EN M ATEM TICAS

Presenta:MARTH A PATRICIAANDRADE ESPINOZAD irector de T esis:CARLOS A . ROBLES CORB ALA

H E R MO SIL L O , SO N O R A, M X IC OO V IEMB R E 2 0 0 5 .


2/90

De dico esta tesis a las personas m s importantes en m i vida:

A m i madre Martha Ofelia Espinoza Vega que es la persona que m s amor, apoyo ypaciencia me a brindado. Que sin su sab idura no hubiera podido terminar esta tesis.

Am i padre Jos Angel Andrade Ruz por todo el amor, apoyo y comprensin que me adado.

A m i hermana Ana Cecilia Andrade Espinoza

A mi herma no Luis Alejandro Andrade Espinoza

Ami hermano Jorge Alberto Andrade Espinoza

A mi hermano Jos Angel Andrade Espinoza.

A m i sobrino Jonathan Alejandro Andrade Rodrigues.


3/90

AGRADECIMIENTO:

Quiero dar un profundo agradecimiento al MC Carlos Alberto Robles Corbal por todasu paciencia y asesoram iento para poder realizar este trabajo, gracias a todo sudesempeoen su trabajo y conocimiento he podido realizar mi tesis.

Quiero agradec er a los integrantes del com it revisor de tesis:DRA. MART HA D. GUZ MN P ART IDA.M. C. EDUARDO T E L L E CHE A ARME NT AM.C. GUILLERMO D VILA RASCNM.C. CARLOS A. ROBLES CORBA L

por las observaciones, comentarios y sugerencias que me hicieron en la conclusin deeste trabajo.

Tam bin agradezco al Departamento de Ma ternaticas de la Universidad de Sonora porhaberm e brindado la oportunidad de hacerme u na profesionista y desarrollar mi gustopor las matemticas.


4/90

nclice generalINTRODUCCIN

PRELIMINARES1.1. Espacios mtricos1.2. Espacios topolgicos1.3. Cerradura, Interior y Frontera.Continuidad y H omeom orfismos 31.5. Conexidad. 61.6. Conjuntos compactos 2CONTINUOS E HIPERESPACIOS92.1. Definicin y ejemplos de Continuos 292.2. Cont inuos Encade nables372.3. Hiperespacios de un continuo X 39LCONVERGENCIA EN 2X52.1 . Definicin y ejem plos de l mites superiores e inferiores 523 .2. Prop iedades de l imite supe rior e inferior53 .3 . Com pacidad y Conexidad de 2-x 1DESCOMPONIBLES E INDESCOMPONIBLES.14.1 . Def inicin y Propiedades de c ont inuos descom ponibles e indescom-pombles714.2. Composantes 744.3. Irreducibilidad. 5

BIBLIOGRAFA2


5/90

INTRODUCCINLa intencin de este trabajo es dar una presentacin basica de la teora deC ontinuos e l l iperespac ios, as como los llamado s Continuos Indescom ponibles.Antes se presenta un captula de preliminars con el objetivo de poder com-prender de form a autocontenida el desarrol lo de este t rabajo . En dicho cap tulo seestudian conceptos y resultados bsicos de E spacios Mtricos.Defin imos un E spacio Mtr ico por (X , c1) , con X un conjunto no vaco , y dondedes una fun cin definida como d:XxX --> R, la cual llamam os distancia o mtricay satisface los siguientes axiomas:d(x,y) 0, x , y E Xd(x,y) = 0 si y slo si x = y, x , y E Xd(x,y)d(y,x) x , y E Xd x,y)d(x, z)-E d(z,, y,z E X.En este prinier captulo tambin vem os algunos conceptos de Espacios TopoIgi-cos, como cerradura, interior y frontera.Es importante estudiar Conexidad y com pacidad. Por lo cual vemos los conceptosy resultados m s importantes para el desarrol lo de esta tesis.Un espacio X es conexo si no existen dos conjuntos abiertos A y B en X novacos tal que X=AUB y ArlB=0 .Un subconjunto A de un espacio m trico es com pacto si toda cubierta por abier-tos de A contiene una subcubierta finita. Un espacio mtrico X es compacto si,como conjunto , X es compacto.Por ejemp lo, el intervalo cenado [0 ,11 considerado com o un subconjunto der ejereal es compa cto. El intervalo abierto (0, 1 )no es compacto porque noes-ern.clo.El eje X, considerado como un sub conjunto del p lano, no es comp acto porque no

II


6/90

Introduccines acotado, pero e l crculo de radio 1 0 8 sobre el or igen es com pacto , esto no esorprendente, pues el mismo teorema de BolzanoWeierstrass establece que en Rlos subconjuntos compa ctos quedan ca racterizados por ser los conjuntos cerrados yacotados.

En el segundo captulo definimos el concepto de Continuo y vemos los ejemploms usua les. Un continuo es un espacio mtrico, conexo y compacto, no degeneradoUna familia { U 1 , U2 , . . .U} de subconjuntos de un espac io mtrico ( X , d) es uncadena simp le en X si se t iene que u,nuk # 0 si y slo si 1jki < L A cadU k sele llama un eslabn de la cadena sim ple. Se dice que una cadena simp lC=2,.. .U,,} conecta a los puntos a y b en X si a E U y b Es ucontinuo X es encatlenable si Ve > O se puede cubrir con una cadena simp le, cuyoeslabones tienen dimetro e , es decir, por una e cadena.Para obtener un hiperespacio, podem os usar cualquier coleccin de subconjun-tos de un continuo X que satisface cierta propiedad topolgica. Hay algunos quepodemos destacar:2x={AcX:A (hy Aescerrado}C (X) = {A E 2X A es conexo} , esto es, C ( X ) e s la familia de subcontinuode X.F,(X){A E 2 xt iene a lo m s n puntos} ,con n E N .Cr,(X) = {A e 2x : A tiene a lo ms n com ponentes}

Una m uy natural pregunta terica sobre hiperespacios que consiste en determinalos hiperespacios 2 x , C (X),X) del intervalo unitario, el continuoms familiar.A estos espacios se les da una mtrica, la mtrica de Hausdo rff. La cual estdefinida en la seccin 2.3Intuitivamente vemos que dos subconjuntos estn cercanos con la mtrica dHau sdorff si y slo si estn emp almados uno e n otro.Com entan distintos especialistas que: Probab lemente el primer resultado en la direccin de calcular 2' fue debido aL. V ietoris cuan do dem ostr (1922)... que si X es un continuo de Peano l, entoncetambin lo es el h iperespacio den uno de sus primeros artculos, Wojdyslaw sk'Es decir, un espacio mtrico compacto, conexo y localmente conexo.


7/90

Introduccinregunt especficamente si el hiperespacio del intervalo unitar io es home omorfo al

cubo de H ilbert. El profesor Kuratowsk i comenta que la conjetura era bien conocidaor toplogos polacos en los 20's .Esto fue resuelto finalmente por S chori y W est y generalizado por Sch ori y Curtisen 19 77 , ellos probaron que:Teorema de Curtis-Schori-West. Si X es un continuo de Peano, entonces:) 2X es el cubo de Hilbert

(X) es el cubo de Hilbert si X es un continuo localmente conexoen el que todos sus arcos tienen interior vaco.) C(X) x 1 es homeomorfo al cubo de Hilbert.

Aunq ue su prueba y mtodos tuvieron xito , s tos eran b astante com plejos .Las tcnicas de la prueba de Cu r t is-Schor i -W est involucran el uso del icado delmites inversos, las maniobras sutiles y com plicadas con refinam ientos de particionesy lo que era, en aquel tiempo, los bastante nuevos resultados acerca de topologa endimensiones infinitas .Un teorem a de identif icacin para el cubo d e Hilbert fue establecido posterior-mente por Toruncczyk lo cual hizo la prueba mucho ms fcil, ver [1] [9] Por lotanto, el problema de identificar el hiperespacio del intervalo unitario (o, de he-cho, el problema de identificar muchos hiperespacios) se redujo a mostrar que elhiperespacio tiene las propiedades enlistadas en las hiptesis de dicho teorema ypor consiguiente es el cubo de H ilbert.Para los espacios en el p lano, y par t icular para grf icas s imples , los hiperespa-cios C(X) fueron invest igados por R . Duda , quin dio muchas c aracter izaciones ymtodos. Ver [2] [9] .Com o captulo 3 presentaremos L-convergencia en 2 x . Sea {A}: 1 una sucesinde subconjuntos de 2x, definimos el l imite inferior de A n y el limite superior deA n de la siguiente forma:Tim inf (A n) = {x E X : > 0, 3/V E N tal que Be (x)n 0 ,Vn > N}

Lim su p (An) = {x E X : V E> 0,BE (x)n A 0, para una infinidad de n' s}


8/90

IntroduccinSea X un continuo, {A n } T 1 una sucesin en 2 X entonces e l lrn inf 24 C h m

sup Anaim infel lim su pon conjuntos cerrados , y l im sup An 0 partoda sucesionTodo esto y un poco m s es para probar que el hiperespacicon la mtrica de Hau sdorff es conexo y compa cto, esto es 2 xes un continuo.Y po r ltimo, com o capitulo 4 estudiaremos continuos descom ponibles e indescomponibles. Ser necesario presentar algunos conceptos y propiedades bsicas parla construccin de dos continuos indescom ponibles, y caracterizar a stos.Un continuo X es descom ponible si X = A U B, donde A y B son subcontinuopropios de X, en caso contrario diremos q ue es indescomponible.Un continuo imp ortantsimo no tan slo por ser indescomponible es el as llamadarcoiris de Kn aster que construiremo s en este captulo.Dos conc eptos que nos sern muy im portantes para la construccin de continuoindescomponibles son Composantes y Continuo Irreducible.Si X es un cont inuo y p e X, la com posante de p es el conjunto de todos lopuntos x de X tales que existe algn subco ntinuo propio de X que contiene a p yx. Si X es un continuo y {p, q} c X, decimos que X es irreducible con respecto p y q si no existe ningn sub continuo propio de X q ue contiene a tales puntos.


9/90

'aptuly1PRELIMINARES

En este captulo abordaremos algunas nociones y hechos bsicos de topologa'general y espacios mtricos, los cuales sern necerarios para comprender los si-gtfientes captulos, la intencin de hacerlo as, es hacer de esta tesis un trabajoautosuficiente.Este captulo consta de 5 secciones, en las cuales estudiaremos definicin ypropiedade s de espacios m tricos, bolas abiertas y vecindades, conjuntos abiertos,conjuntos cerrados, conexidad, espacios localmente conexos, comp acidad y porcom pacidad sucesional.1,1. Espacios mtricosDefinicin 1.1 Un espacio mtrico es una pareja (X, d), donde X es un conjuntono vaco y d una funcin que est definida como d: XxX --> I R llamada distanciao mtrica y satisface los siguientes axiomas:a) d x,y) 0 V x, y E X

cl(x, y) = 0 si y slo si x = y, V x, y E X.e d x,y) = d y,x) V x, y E Xd) x, y < d x,z)-1- d z, y x, y, z E X.

Veam os los ejemplos ms usuales de espacios mtricos, con el primero podem oschecar que a todo conjunto se le puede definir al menos una mtr ica.1.


10/90

1.1 B olas abiertas y vecindadesEjemplo 1.1 Sea X 91,d:X x X +R tal que

si x =;d(x,y) =. . yd es llamada mtrica discreta, llamada as por que separa igualmente cada parde puntos, y (X, d) es un espacio mtrico discreto.

Ejem plo 1.-2 La mtrica Usual en R , donde d : IR xal que d es lafuncion definida por d(x,y) = ix yj para cada x,y EREl conjunto de nmeros com plejos C con la funcin distancia d(z , w) Iz wtambien es un espacio mtrico.

Ejemplo 1.3 El espacio Euclidiano n-dimensionals el conjunto de n-ada(x i , x 2 donde x 4E R pam 2 E {1,2,...,n}. Sea x =..,xny = (y1,y2,...,y) E Rn ,(x,y) = siE(xi yi ) 2ntonces, d es una mtrica eEn R 2 = IR xIR , d (( x i, Y 1 ) , ( x 2, Y2)) ii(x2 x 1 ) 2 + (y2 Vi)2Ejem plo 1 .4 EnEntonces: . Sean x = (x 1 ,( Y 1 , - - -y n ) Ea) d0 : IR xR. n - -> I R tal que d omx - yi es una mtrica en 1Rn.

d1 : Rn xRn > Rtal que dl(Y ,V )= E - yil,entonces d1 esuna mtricenII .

Para p > 1dpE - yil") , es una mtrica para R n ,que es ei= 1caso del ejemplo 1.3, si p=2)Bo las abiertas y vecindades

D efinicin 1.2 Sea (X, d) un espacio mtrico, x e X ye un nmero rea/ positivoEl conjunto B e (x) = {y E X : d(x, y) < s} es llamado la bola abierta de radio econ centro en x.

i= 1


11/90

1. Conjuntos abiertost tefinicin 1.3 Sea (X, d) un espacio mtrico, denotaremos bola cerrada de centrox y de radio e al siguiente conjunto:

&(x) ={yX : d(x, y) < e}De finicin 1 .4 Sea (X, d) un espacio mtrico. Definimos la esfera de centro x yde radio e al siguiente conjunto:

Se (x) = {y E X : d(x, y) e} .De finicin 1.5 Sea (X, d) un espacio mtrico yxe X. Un subconjunto A C X esllamado vecindad o entorno de x si hay un e > O tal que B e (x) c A.Lerna 1.1 Sea (X, d) un espacio mtrico y x E X. Para cada e >0 , la bola abierta3;(x) es vecindad de cada uno de sus puntos.Demostracin.Sea y E 1 3 6 (x). Vamos a probar que BE (x) es vecindad de y, para esto debemosprobar que existe una n > 0 tal que 1 3, 7 (y) c Be(x). Como

y E Be (x), d(x, y) < e .Elegimos n < e d (x , y). Si xo E 8, (y) entonces

d(x , x 0 ) d(x , y) + d(y, xo) < d(x, y) + n < d(x , y) + e d (x , y) = e .Por lo tanto xo E BE (x). as Bn (y) C Be (x) y BE (x) es vecindad de y.

En general para espacios topolgicos todo conjunto abierto tiene esta propiedad(Teorema 1 5)Co njuntos abiertos

D efinicin 1.6 Un subconjunto A de un espacio mtrico X, decimos que A es unconjunto abierto s, para cada a E A existe e >0 tal que si xEX y d(x, a) < E,entonces x E A. En otras palabras A es un conjunto abierto si es vecindad de cadauno de sus puntos.Teorem a 1.2 Sea A un subconjunto de un espacio mtrico (X, d). A es un conjuntoabierto si y slo si es unin de bolas abiertas.


12/90

1.1 Conjuntos cerradosDemostracin. Supongamos que A es abierto. Entonces para cada a E A existeuna B 6 (a) C A, por lo tanto A = U .86 (a) es unin de bolas abiertas.atoSi A es unin de bolas abiertas, entonces A = U 13 8 a (a),aEIsi x E A , entonces x E B6 a) para alguna a E 1.

13,5.(a) es vecindad de x y como B5 ,,,(a) c A, A es vecindad de x. Asf A esvecindad de cad a uno de sus puntos y por definicin A es ab ierto.Teorema 1 .3 Sea (X , d) un espacio m trico.

Ei vaco es un conjunto abiertoX es un con junto abierto.Si Al, A2,. . . ,An son abiertos, entonces A lfl A2 fl fl A es abierto.

d) Si para cada a E 1 , A es un 'conjunto abierto, entonces Us abierto.aEIEjemplos:1 La s bolas de R son los intervalos abiertos de la forma(xe,x+e) = { yxe


13/90

.2 Espacios topolgicosEl siguiente teorema nos proporciona ejemplos de conjuntos cerrados y nos per-w ite construir otros.

'Teorema 1 4 sea (X , d) un espacio mtrico.X es cerrado

0 es cerradoL a unin f inita de una colerrin de conjuntos cerrados es cerrada.La interseccin de una f amilia de conjuntos cerrados es cerrada.

Dem ostracin. 1 y 2 es consecuencias de las propiedades de conjuntos abiertos ycerrados.3 . y 4 se prueban utilizando las leyes de De'Morgan.Ejemplo 1 .5 L o s c o n j u n t o s finitos e n l a r e c t a r e a l s o n c e r r a d o s .Ejemplo 1.6 El conjunto total siempre es cerrado y abierto en el conjunto total,p o r e j e m p l o e l i n t e r v a l o [ 0 , 1 ] e s c e r r a d o y abierto en el intervalo [0, con la mtricausual de relativa al [0,1] y a s C a m b i e n l o e s e l vaco.

-Ejemplo 1.7 L a unin arbitraria de ce rrados no nec esariamente e s cernida. Porejem plo si unim os los puntos de la forma es decir el conjunto A U { 1} noneNp cerrado a pesar de ser una unin d e c e r r a d o s .

rema i.5 Sea (X , d) un espacio mtrico. S i A ,B son cerrados disjuntos en X ,entonces existen U, V abiertos tal que A C U y B C

2. Espacios topolgicosDefinicin 1.8 Una f amilia rde subconjuntos de X es llamada una to p o l o g a e nX , si satisf ace las siguientes propiedades:

0,XerS i A 1 , A2, ..., A ,Tentoncesn E ri=1


14/90

Si {A i } jarC r , entonces U Eie rDefinicin 1.9 A la pareja (X, r) , donde X es un conjunto y T es una topologaen X, la llamamos espacio topolgico. A los elementos de X los llamamos puntas. Alos elementos de r los llamamos subconjuntos abiertos del espacio topolgico (X, T).Ejemplo 1.8 Sea X = {a, b ,c } , T= {0, X, {a} , {a, b}} es una topologa en X.Ejemplo 1.9 Sea X un conjunto cualquiera y sea T la familia de todos los sub-conjuntos de X, i.e. T =P(X). Entonces T es una topologa en X, llamada latopologa discreta. Sea X un conjunto cualquiera y sea T{0,X}. Entonces Tes una topologa en X, llamada la topologa indiscreta.Ejemplo 1.10- Sea X =sea r, = {o,n{n,n +1} , {n,n+1,n+2},...}.Entonces T n es una topologa en X, para cada n E N.Ejemplo 1.11 Sea X un conjunto cualquiera y sea' = {0}U{ACX:X\A es finientonces T es una topologa en X, llamada la topologa complemento finito ocortnita.

Hem os definido Vecindad, Conjuntos Abiertos y conjuntos Cerrados en un espa-cio mtrico, ahora es importante definirlos en un espacio topolgico.Definicin 1.10 Sea A un conjunto en un espacio topolgico (X, r). Decimos queA es vecindad de un punto x E X 3tfer netICA. Denotaremos e (x) ala familia de vecindades de x, i.e. e (x) ={A C X : A es vecindad de X} .Teorema 16 Un conjunto A es abierto en (X, r) es vecindad de cada unos desus puntos; esto es, V x E A, se tiene que A E E (x).Definicin 1.11 Sea (X, r) un espacio topolgico y A C X. Decimos que A es unconjunto cerrado en X X \ A es un conjunto abierto en X.Teorema 1.7 Sea (X, r) un espacio topolgico. Una caracterizacin para los con-juntos cerrados en X es:

1.2 Espacios topoh5 gicos1 ) AC X es cerracto en X [para toda xEX y V UE r , xEU AUr1A O


15/90

Espacios topolgicosObien, A C Xescerradoeur[Vx EX y VUE e(x)fl ,

stracin.ACX es cerrado en X1=>X\Aes abierto en Xs WEX\A se tiene que X\AEe(x)e*VxEX\21- 3UEr nEUCX\AVxEX\A 3UEr 3XEUAUrIA=0

44- Vxetieneque SUEr 9xEUA UnA=04=> VX E X y V U E T3(xEUA UnA$ (4) setieneque xA.Por tanto tenemosACX es cerrado en Xi:=>[11xEX y VUEr, xEU A unA OxE11]esto es:A C X es cerrado en X g VxEX y VUEe (x)fl T 3 UnAe tiene que x A.

Es decir :ACXescerradoenX


16/90

1.2 Puntos de acumulacinCorolario 1.9 Si X = x lU x 2 , xiy2 mutuamente separados. Entonces caduno de los conjuntos x lx 2 es abiertoy cerrado en X.Por lo tanto, el subespacio A c X es abierto o cenado y A = Al U A2(mutuam ente separados), el argum ento anterior implica que A iyA2 son abiertoso cerrados en X.Puntos de acumulacinDefinicin 1.13 Sea A un subconjunto de un espacto topolgtco X y sea x E X.Decimos que x es un punto de acum ulacin de A, o punto lmite de A, si, y slosi para todo U E e(x) se cumple que U n (A {x}) 0 .D efinicin 1,14 Al conjunto de punt os de acum ulacin de A lo llamamos econjunto derivado de A y lo denotamos con A'. Esto es,A ' = {x E X : x es punto de acumulacin de A} .Teorema 1 .10 Sea (X, r) un espacio topolgico, A c X yxeX. Entonces, paratodo U e(x), se tiene U n A=> x A V xEA '.Demostracin. sea ACX,xeXy supongamos que UnA 0 YUEe(x).Si x E A y a terminamos.Supongamos que x A, entonces

17 n (A - {x}) OVUEe(x).Asi, U n(A { x } ) #OVUEe(x).xEA'.PorlotantoxEA v x A'.=) Sea xeXy supongamos que xEAVrE A'. Probemos que VUEE (x), setiene n. Para x E A', tenemos queU n ( A { x } ) # (1 1e ( x ) .Se sigue que, UnA0VUEE(x).Para x E A, es evidente que xEt/nA VUEE (x), pues x E con x A. Portanto, tambien en este caso se cumple que

UnA$OVUEe(x).Por lo tanto VUEe (x), se tiene U n A 0.


17/90

: .s C erradura , Interior y Fronteraleraa 1 .11 Sea A un subconjunto del espacio topolgico (X,r). Entonces A es ce-rrado A' C A .Teorema 1.12 Sea (X, r) un espacio topolgico y sea A C X . Entonces, A UA' esun conjunto cerrado.Definicin 1.15 Sea (X, un espacio topolgico. Una coleccin E de conjuntosabiertos de X es una base en X para la topologa r VA r 3 A L fD se tieneque A es unin de elementos que pertenecen a 13 .Definicin 1.16 Sea (X, r) un espacio topolgico y sea P C r. Decimos que P esuna subbase para rla familia de intersecciones de subeolecciones finitas de Punida con {X} es una base para r.De modo que si (X,r) es un espacio topolgico y P es una subbase pavo T.entonces A.ETS ny conSg E P.jEJD efinicin 1.17 Sea (X, r) un espacio topolgico y sea Y un subconjunto de X . En-tonces, la topologa en Y , definida por Ty ={YnA:AET}, es llamada topologarelativa por la topologa T E X. Al espacio topolgico ( Y , ry) se le llama subespaciotopolgico de (X, r). si A E ry, entonces A es llamado conjunto abierto en Y yY\A es llamado conjunto cerrado en Y.1.3. Cerradura, Interior y Frontera.

En este captulo abordaremos los conceptos y propiedades m s bsicas de ce-rradura, interior y frontera en un espacio toplogico.Definicin 1.18 Sea (X, r) un espacio topolgico. Definimos la cerradura o ade-herencia de A C X como la interseccin de todos los miembros de la fami-lia de conjuntos cerrados en X que contienen a A; y lo denotamos A , esto es,A=n{B C X :B es cerrado en X y AC 13}.Observacin 1 .13 En seguida se observa que:


18/90

1.3 C erradttra, Interior y Frontera0a)AcTA-yAic-.

Si F es un conjunto cenado que contiene a A, entonces A C A C F. Es decir,A es el cerrado ms pequeo que contiene a A .Si A C B, entonces A C

d) A es cerrado A = A .Teorema 1 14 Para todo conjunto A en un espacio topolgico (X, r) se cumpleCA Y =- A '.

Demostracin. Sabemos que A C A, y com o al toma r derivados se preserva elsentido de la inclusin:A ' C (A)'1)Podem os suponer que (2) ', ya qu e de lo co ntrario, la tesis seria ciertatrivialmente.Tomem os entonces un x E (A)' cualquiera y veam os que x E A' . En efecto, sea S unentorno de x. S contiene infinitos puntos de A , es decir, infinitos puntos de A U A ',y por cada yESn211,

S es tambien entorno de y, pero y E A', de manera que S contiene infinitos puntosde A'. En resumen, S contiene infinitos puntos de A en todo caso, lo cual imp licaque x E A' . Hemos dem ostrado que(A) 'c A ',

que tomando junto con (1) demuestra el teorema.

Teorema 1 15 Sea (X, un espacio topolgico y sea A un subcojunto de X. En-tonces,A = AU A'.Demostracin. Probamos en el teorema 112 que A U A' es un conjunto cerradoy, claramente, contiene a A. Por tanto,c AUK


19/90

Interior y Froutera1os que tam bien se cump le la contencin contraria, esto es,bs3enrese que ACA' Ccerrado, por definicin, tenemos que A contiene al conjunto de susLe C A T c t1. o tanto,

C C A Y C ; 1 7C

A u 211igualdad deseada,

=AuA'.

16 Sean ( X , d) un espacio m trico y Y C X. Si Y = A U Ef, dondece rrados ajenos relativos a Y entonces nB=OyAnT3=0.km. Com o A es cerrado relativo a Y , tenemos que A = Y n A . De

nB=.71,n(YnB)--(nlinB=AnB- - - - 0 .teAnT3=0.

1.17 Sean A y 13 conjuntos cualesquiera en un espacio mtrico, en-

a que

B=UE.1.19 Sea X un espacio topolg ico . Decim os que x E A es un punto dede A C X tr> x E A . O equivalentem ente, V U E e (x ) , se t iene que


20/90

1.3 Cerradura, Inter ior y Frontera2D efinicin 1.20 Sea X un espacio topolgico. Decimos que x E A es un puntoaislado de A C X 3 U E e(x) tal que U n (A {x}) =D efinicin 1.21 Sea (X, r) un espacio topolgico y sea A un subconjunto de X .Se dice que x E A es un punto interior de A A E e (x) . Al conjunto de puntosinteriores de A lo llamamos interior del conjunto A y lo denotamos . Esto es,A = {x E A : x es punto interior de A}

En consecuencia de la definicin tenemos que tl C A. puede ser vaco sin quelo sea ALe m a 1 . 18 Sea (X, r) un espacio topolgico y sea A un subconjunto de X. En-tonces, A es un conjunto abierto. Adems A es el mximo abierto contenido en A,esto es A= U {B C A : B abierto en X}Teorema 1 19 Sea (X, r) un espacio topolgico y sea A un subconjunto de X.Entonces, A es abierto en X 4 A = A .Observacin 1 .20 Para todo conjunto A de un espacio topolgico (X, r) se verifi-ca: . XA=X .Definicin 1.22 Sea A un subconjunto de un espacio topolgico (X, r). Definimosla frontera de A como el conjunto F,.(A ) = A n X Ob servacin 1.21 La f rontera es un conjunto cerrado, pues es interseccin deconjuntos cerrados.Lem a 1.22 Sea A un subconjunto de un espacio topolgico (X, r) Entonces,

F,. (A ) =n (X (X A ) )Demostracin.

(A) = A n (X A) = (X (X A)) n (X A) = (X (X A)) n (X= )teorema 1 23 Sea A un subconjunto de un espacio topolgico (X, r) . Entonces,


21/90

ufdad y Homeomorfismos3A A )

ado* Fr (A ) c AAng(A)=0.

a de un co njunto no vaco puede m uy bien resultar yaca. Por ejemplo,espacio topolgico discretos Aqu todo subcon junto de X es abierto ytanto, igual a su interior y a su cerradura. De ah que, VAc X , se

F, (A )X 4 4 ) n X X Ar,F (A ) = (X A ) n (X (X A ) )F ( A ) = ( X A ) n A = ( 4 .Continuidad y Homeomorfismosn 1.23 Una funcin f : X Y, donde el dominio X y el rango Y sonpolg icos, es continua en un punto x0E X .44, para toda A E ry c on3 B ETx con xo B tal que f (B ) cA .da 1.24 De la definicin de base de una topologia, resulta que nuPstrade continuidad no se altera si cam biamos en el la la expresin conjuntor elemento bsico.,caso de que X y Y sean espacios m tricos, de lo anterior resulta entonce sY es continua en el punto xperYe>C13 > 0

f 1 3 , 5 x o , ) ) c Be (f (xo))

n 1.24 Sean X y Y espacios topolg icos . Una funcin f : X 1 Y esen X si y slo si, es continua en cada punto de X .


22/90

1.4 Cont inuidad y H omeom orf ismosTeorema 1 .25 Sea funa funcin de un espacio topolgico X en uespacio topolg ico Y . Entonces, las siguientes proposiciones son equivalentes:i) f es continua) Para cualquier abierto U de Y, f (U) es abierto en XPara cualquier ce rrado F de Y, fF) es cerrado en X.Para todo A C X, f CAD C f (A).v) Para todo B C Y , f -1 (B) D f 1(B).Demostracin.)Sea U un abierto en Y. Tomemos x E f - 1 U) . Por hiptesis, f es continua eX. En particular, f es continua en x. Por definicin de continuidad en un puntoexiste un ab ierto V, que contiene a x tal que f (V2 ) C U.

A s , V x C f -1(u)y entonces, resulta que(U )ref-1(U)y, por tanto, f-1 (U)es abierto, pues es unin de conjuntos abiertos.(iii)Sea F un conjunto cerrado en Y . Entonces, \Fes abierto en Y y, por tantof -1 (Y\F) es abierto en X. Pero,

f - (Y \P) = X\ f -1 (P) .As, X\ f- (F) es abierto en X. Por lo tanto, f- /(F) es cenado en X.

(iv)Sea A C X. Observemos que f (A) es un conjunto cerrado en Y . Por hiptesissesigue que f -1 (f (A)) es un conjunto cerrado en X. Adem s claramente, A C

(f(A)) , ya que f (A) C f (A). Pero, A es el menor cerrado que contiene a A ;por tanto,f (A)).Y esto implica que f () C f ( A )


23/90

1.4 Continuidad y H orneomorfismos5Sea B C Y y pongamos A = f -1 (13) Por hiptesis tenemos que

f (A) S f (A). f--' (8))c BfC.74).c.B

4B)( n )i)Sea x E X cua lquiera y sea N un abierto en Y tal que f (x) E N. Entonc es,Y\N = B es cerrado en Y y, por hiptesis, tenemosf- 1 4 9 ))Pero, ya que B es cenado en Y, C- -3 = B), esto es lo mismo queB)B).Por tanto, f B)es cerrado en X, de donde M = X\f- 1 (B)es abierto en Xy contiene a x. Adem4.s , f (M) C 1V . Por lo tanto f es continua en x y como xfue arbitrario, se concluye que f es continua.Definicin 1.25 Sean (X,rz.)y1 7 , Tyespacios topotgicos. Una funcin f :X - Y es llamada u n honwomorfierno 4 .> f e s biyectiva y continuo y, adem s,f-1 tambien es continua. En tal caso que XyY son espacios hom eom orfos y es to

lo denotam os por X - '14. Y Esto lo podem os escribir tambin as:X es horneomorfo a Y 3f : X - + Y y g : Y - - > . 21 continuas,una inversa de la otra ( i.e. f o g = ly y y of= lx)Ejemplo 1.12 Tomemos k con latopologa usual. Entonces f : R (-1, 1) defini-da com o f (x) + ixjes continua, biyectiva y su inve rsa, dada por

f-1(Y) + . 1 y 1tam bien es continua. A s f e s un homeom orf ism o.En general ,s hom eom orf o a la bola unitaria m ediante e l homeom orf ismox 1+donde =2 )fxr


24/90

1.5 Conexidad61.5. Conexidad

A continuacin, este captulo est dedicado al concepto de conexidad, el cualdefiniremos en u n espacio mtrico con el fin de dar una mejor com prensin en eldesarrollo de la teora de continuos. Se tratar de ve r las propiedades m s indis-pensables para temas posteriores.De finicin 1.26 Sea X un espacio mtrico. Diremos que es conexo s, y slo si,no existe ningn par de conjuntos abiertos no vacos A y B en X tal que X = AU By A fl B = 0 . Si X no es conexo entonces X es disconexo.Diremos que un subconjunto E C X es conexo si (E, d) es un espacio mtricoconexo, es decir, no existe ningn par de conjuntos abiertos no vacos A y B en Etal que E A U B y AnB=0.

A partir de la definicin podemos observar que un espacio X es conexo s y slosi los nicos conjuntos abiertos y cerrado s a la vez en (X, d) son el conjunto vaco 0y X. As mismo, la definicin de conexidad es equivalente a pedir que los conjuntosA, B sean cerrados en X en vez de abiertos. De la definicin los conjuntos A y Bmenen ser conjuntos cerrados en X.Podemos ver q ue tamb ien es equivalente a la definicin decir que un espacio Xes COMIKOy slo si, A ,B c X tales que (A n 19) u ( n B) =0, X = AUB.Ejemplo 1.13 Sea X = R con la mtrica usual y Y = [0 , l]Li [2, 3] . Y es disconex o.En efecto,

[ 0 , 1 ] =Y n (-1 , 1{2,3] Y n (-32)tanto [0,1] como 12, 3] son abiertos relativos de Y , adems f O , 1 ] n 1 2,3] = 0 . Porlo tanto Y es disconex o.Teorema 1 .26 Si A y B son conjuntos en (X, d) tales que A es conexo yAc BcA. Entonces B es conexo.Dem ostracin. Supongamos que B es disconexo, entonces B = SU T , donde S yT son conjuntos abiertos relativos ajenos a B. Como A c B, tenemos que , A c S A c T, digamos que A c S por teorema 1 15 , nT =0, como A c S , c -S(ver observacion 1.16) , de donde B nT = 0, lo cual es una contradiccin.Por lo tanto B es conexo.


25/90

1.5 Conexidad7Co rolario 1.27 Si A es un conjunto conexo, entonces es conexo .Dem ostracin. A c A c Ay aplicando el teorema anterior obtenemos lo deseado.Definicin 1.27 Sean (X, d) un espacio mtrico y x , y E X . Una trayectoria de xa yes una funcin continua f : [0,1} -- X tal que f (0) = x y f(1) y. Si todoar de puntos de X pueden ser unidos por una trayectoria, entonces X es conexoor trayectorias o arco-conexo.

.28 Sea X un espacio de Hausdorff, conexo por arcos, s y slo si esconexo por trayectorias.Recordemos que X es conexo por arcos si para cada p, q EX, p q, existea : [0,11 -->X al que a (0) = 1 y a (1) =,q. Observemos que si X es conexo porarcos, entonces X es conexo por trayectorias, pero el reciproco es falso, por ejem plosi tomamos X =[0,1) U {y, z} con la topoIoga relativa de R. y, z O[0,1), luegoX es conexo por trayectorias pero los punto y y z no pueden ser conectados porningn arco en X. Por tanto X no es conexo por arcos.Teorema 1.29 Sean (X,d) un espacio mtrico, A C X y A es arco~wentonces A es conexo.Demostracin.Supongamos que A no es con exo.Entonces, existen 5,T C A am bos abiertos en A, ajenos y no vacos, tales queA=SuT.Sean s ES, t ET. Como A es arco-conexo existe una curva f : [0,1] Af (0) = s y f (1) = t.Sea C = f ([0,1]) C A .Observemos que C es conexo, pues C C n A = (C n s) U (C n T), y

s=f (0) e n s, f(1)ECnT.Sabemos que S = S ln A, S labierto de X, y que T = T1 n A, T1 abierto de X.

cnA,-cns,nAr-cnsiabiertodeanlogamente C n T abierto de C.Por lo tanto C no e s conexo, lo cual es imposible.


26/90

1.5 ConexidadEjemplo 1.14 El continuo sen es la cerradura de F donde F {(x ,sen(1))R2: 0


27/90

Conexidad9para algn

AEY tal que A c T ,Stoaces A n Ao c (S n B) n (T n B) -= 0 ,ual contradice la hiptesis. De manera que

VA E Y tal que A c S lo cual implica B c S, es decir B = B n S, de donde TnB=O y B es conexo porno adm itir disconexin.Corolario 1 .31 Si Y es una fam ilia de conjuntos conex os de (X ,d) tal quefl AA E Y

entonces U A es conexo.A E YTeorema 1 32 Si f es una funcin continua del espacio mtrico conexo X sobree l espacio m trico Y , en tonces Y es conexo.Dem ostracin. Si Y no f uese conexo, entonces habra conjuntos abiertos no vacosA y13 en Y ta les que Y A U B , y AnB = Entonces ,

X = f -1 (Y) f (A U B) = f -1 A ) U f-1 (B )f-1 A ) n 1- 1 (B) =-/- 1 (A n B)= f-1 (0)= 0 .Adem s, como f es continua y sobre,A) y f- 1 (B)son abiertos en X y novacos. Por lo tanto X es disconexo. Lo cual es una co ntradiccin. Por lo tanto Yes conexo.

Proposicin 1 .33 Un conjunto no vaco A en R es conexo si, y slo si, esintervalo.Dem ostracin. Supongase primero que A no es un intervalo. Entonces, para al-gunos puntos a y b en A con a


28/90

L5 Espacios localmente conexos0en el subespacio A, tales que A=XUY y XnY = 0. Por tanto. si A no es unintervalo, entonces no pu ede ser cone xo.A c ontinuacin, supongase que A no es conexo. Entonces, existen conjuntos abiertosno vacos X y Y en el subespacio A tales que

A=XUY y XnY =0.Tom emos aEXybE Y . Podemos suponer que a< b . Demostraremos (a, b) A yque, por tanto, A no es un intervalo. Supng ase que (a, b) c A y, por consiguiente,que [a,b] cA . Sea c = sup (X n [a, b]) . Entonces, c E [a, b] c A , y como X escerrado en el subespacio A , c E X. Aprovechando que b E Y , podemos afirmar quec E Xn [a, b). C o m o X es abierto en el subespacio A, existe un e >0 tal que

c+eEXn [ a , b ) ,lo cual contradice el hecho de que c = sup (X n [a, b])

Com o una aplicacin del teorema anterior:Proposic in 1.34 (Teorema del valor intermedio.) Sea f una funcin continuade un espacio mtrico (X, r) en H2. Si a y b pertenecen a un conjunto conexo A enX y si f (a) < f (b), entonces, para cualquier t E (f (a) , f (b)), existe un puntoc E A tal que f (c) = t.Demostracin. Como f (A) es un conjunto conexo en IR, es un intervalo. Luego sif (a) y f (b) pertenecen a f (A), entonces (f (a) , f (b)) c f (A ) .De finicin 1.28 Diremos que un conjunto A es un arco si es un espacio horneo-morfo al intervalo [ 0 , 1 ] .Teorema 1 35 Si A es un arco en un espacio mtrico, entonces A es conexo.Demostracin. Como A es la imaaen cont inua de un conjunto conexo entambien conexo.Espacios localmente conexosD efinicin 1.29 Decimos que un espacio mtrico (X, d) es localmente conexosi para todo punto x E A y todo entorno S de x, existe un entorno T de x tal queT c S yT es conexo .


29/90

1.5 Espacias localmente conexosteorema 1.36 Si en (X, d) toda bola abierta es un conjunto conexo, entonces(X, d) es un espacio conexo y localm ente conexo .Dem ostracin. Sea x E X y S un entorno cualquiera de x. Com o S es abiertoy x E S, exis te un r > 0 ta l que B, (x)C S; pero B T (x) es un entorno de x y,por hiptesis, conexo. ( X , d) es pues localmente conexo. Para demostrar que X e sconexo, tomemos un x0 E X cualquiera. Es inmediato que

X = U Bn (x0 ) ,nEN

21

sdonde N es el conjunto de los nmeros naturales Ahora bien, cada una de lasB (x 0 ) es conexa y la interseccin de todas ellas no es vaca, ya que x0est entodas. Concluimos que su unin, o sea X es conexo.Definic in 1 .30 Si (X, d) es un espacio mtrico pACX es una componente deX si A es conexo y para cualquier subconjunto conexo B de X tal que A c B setiene que B = A.T eorema 1 . 37 Un espacio mtrico (X, d) es tocatmente conexo si y slo si tascomponentes de todo conjunto abierto son abiertos.Dem ostracin. Supongam os que las componentes de todo conjunto abierto sonabiertos. Sea x E X y S un en torno cualquiera de x. Designemo s por T a lacomponente de S que contiene a x. Entonces T es conexo, T c SyT es un entornod e x por ser abierto en virtud de la hiptesis. O sea que (X, d) es locahnente conexo.Recprocamente, supongamos que (X, d) es localmente conexo y sea A un conjun-to abierto. Consideremos una compo nente C de A y demostremos que es abierto.Tom emos un x E C C A, de donde x E A y por ser A abierto, A es entorno dex. Pero existe un entorno S de x tal que S c A , lo cual implica por ser C unacomponente, que A c C.Ahora b ien, C es evidentemen te la unin de todos los conjuntos abiertos S.nrresoonaientes a cana uno de sus pu ntos. C es, pues, un conjunto abierto por serla unin de abiertos.Corolario 1 .38 La recta real es un espacio conexo y localme nte conexo .Dem ostracin. Una esfera abierta es un intervalo y, en virtud del teorema a nterior,un conjunto conexo. Se aplica entonces el Teorema 1 3 7.


30/90

1.6 Co njuntos compactos21.6. Conjuntos compactosDefinicin 1.31 Sea (X , d) un espacio mtrico. Una f amilia UU x} A e lesubconjuntos de X es una cub ierta de X si X . I .J U, Si U' C UyarnbienA G Ies una cubierta de X , entonen U' es una subcubierta de X Si todos los elem entosde una cubierta U de X son abiertos de X entonce s Tl es una cubie rta abierta deX .D efinicin 1.32 Un subconjunto A de un espacio m trico es compacto si todacubierta por abiertos de A contiene una subcubierta f inita. Un espacio m trico Xes com pacto si, como conjunto, X es com pacto.Teorema 1 .39 ( H eine Borel). Si Y es un subconjunto de le entonces Y es com -pacto si y slo si, Y es ce rrado y acotado (esto es,existe r>0 tal que Y c Br ()).Proposicin 1 .40 Un c onjunto compacto en un espacio m trico e s cerrado y aco-tado.Demostracin.

Sea A un conjunto compacto en el espacio mtrico X. Para verificar que A escerrado, tomemos x E X \ A . Para cada y E A existen vecindades abiertas Ny (x) yN (y) de x y y , respectivamente, con la propiedad de queN (y) n N y (x ) = 0 .

La coleccin { N (y) y E A} es una cubierta de A. Como A es compacto, esta cu-bierta abierta tiene una subcubierta finita{ N (y) : y E F, con F finito}

Entonces, el conjunto n Ny (x) es una vecindad abierta de x que no intersecta conyEFA. Luego X \ A es ab ierto y, por ende, A es cerrado. Para ver que A es acotado,consideremos la cubierta abierta de A

{B i(y) : y E F, con F finito}Por la compac idad tambin contiene una. subcubierta finita que cubre a A. Y porteorema de H eine-Borel A es acotado.


31/90

1 . I3 Conjuntos compactos3Proposicin 1.41 Un conjunto cerrado en un espacio mtrico compacto es com-pacto.Demostracin.Sea A un conjunto cerrado en el espacio mtrico compacto X. Sea {U, : s E S }una cub ierta abierta de A . Si aad imos el conjunto abierto X \ A a la colecin{TL, : s E S}, obtenemos una cub ierta abier ta de X. Como X es compa cto, estacubierta abierta contiene una subcubierta finita deX. Por tanto, al remover X \ A(si est presente) de esta cubierta finita, se produc e una subcubierta finita de lacubierta {U, : s E S} deTeorema 1.42 Sean (X,d) y (Y,dt) espacios mtricos. Si f : X >Y es unafuncin continua y suprayectiva, y X es compacto, entonces Y es compacto.Demostracin. Sea U = { U } AEI una cubierta abierta de Y . Como f es continua,la familia {f (U4)}es una cu bierta abierta de X. Com o X es com pacto, existen) 1 1 7 A2, .- - An E I tales que X =uUx), de dondek=1Y = f (X) = f C J f-1 (U4) =(Jf (f-1 (UA )) C UAt.k-=1- - - -1De aqu tenemos que {A1 , A 2 , . . . A n} e s una subcu bierta finita de Y .Definicin 1.33 Diremos que un espacio X tiene la propiedad de interseccinfinita, si para toda familia de cerrados{C;} iEItal que cualquier nmero finito deellos tiene interseccin no vaca, se cumple que n,EIC; es no vaca.Teorema 1.43 Un espacio X es com pacto si, y slo si, posee la propiedad deinterseccin finita.Demostracin.upongamos que X es compacto y {C,}, E1 una fam ilia decerrados tal que cu alquier nm ero finito de ellos tienen interseccin no va ca. Porcontradiccin. Si nz G / C, = 0 llegam os a una contradiccin. En efecto,

x = x -tei (x - Cz).{ X C i } ;ei es un recubrimiento abierto de X, y por lo tanto, existe un subre-cubrimiento finito {X q, ..., X en} E ntonces,xc) u u(X-c)


32/90

s

1.6 C onjuntos compactos = nC2 n C3nn.

Lo cual contradice nuestra hipotesiaSupong amo s que X tiene la propiedad de interseccin finita. Sea U ={Ui}{un recubrimiento abierto de X. Veam os que si no existiera un subrecubrimiento finito llegaramos a u na con tradiccin, en efecto, para toda subfam ilia finit{ 11 1 , U2 ,eU se t ieneX - 1.11 U U2 UU ) 0.Luego, (X - U)n(X - U2)n...n(X - U),40,

ni E / (X U) 0,se sigue que X -.Teorema 1 .44 La imagen continua de un espacio compacto es compacta.Demostracin. Sea X uu espacio compacto y definamos f como la funcincontinua de X en un espacio mtrico Y. Sea { U3:s E S} una cubierta abierta df (X) . Entonces, {f-1 (11 ) :s E S}es una cu bierta abierta de X. Como X es com pacto, existe una subcub ierta finita

(Us) s S'CS}de X.Entonces, { U s: sE S' C S} es una subcubierta finita de f (X). Por ende, f (X) ecompacto. witDefinicin 1.34 (Espacio de Hausdod) . Para dos puntos diferentes x, y E X Siempre existen vecindades Vx E V (x) y 14/E V (y) que son disjuntas.Definic in 1 .35 (Espacio regular, espacio normal). Un espacio topolgico (X, r)se llama regular, si es de Hausdorff y para cada subconjunto cerrado A cXcada x A existe una vecindad UA V (A) y ViE V (x) que cumplen: uA nvx = 0 . Y llamaremos normal, si es de Hausdorff y para dos subconjuntos cerradosdisjuntos A y B existen siempre vecindades UA E V (A) yV g E V (B) que sondisjuntas.


33/90

Com pacidad Secuencial5enaa 1 .45 Todo espacio topolgico (X,'r) de Hausdmff y compacto. es normal.ostracin. Por 1.41, todo subconjunto cerrado de un compacto es compacto.

1.46 ( de Baire). Sea X un espacio compacto y Hau sdorff no vado.amos que X a-uFn .Entonces F. 0 para algn n E NnEN

ostracin. Supongamos quepara toda n E N. Queremo s probarXu Fn- Para esto, construiremos una sucesin de cerrados no vacos de XnENpropiedad de la interseccin finita. Sea G 9 un abierto no vaco de X. Como-= 0 , entonces tenerno 0 0 \11 e s abierto y no vado. Por la regularidad de X,e un abierto G i , no vaco tal que G lC GoN,F . De la misma manera, dado Gntruimos un abierto Gn 4 . 1 tal queO n+1 C Gn\F+1 C Gnque la sucesin de cerrados {Gn}nE N tiene la propiedad de la inteseccin finita`por la compacidad de X, nD e a q u quenENX, Y \\Gn = u (x\pD uFD U F,..

nENENENENcontradice que X -= nENCom pacidad secuencialcin 1.36 Un espacio mtrico X es secuencialmente compacto si todain en X posee una subsucesin convergente.ma 1.47 Sea {A n n E N } una coleccin de conjuntos compactos tales queC A n + i , n E N. Si U es un conjunto abierto en A ltal que n An C U, entoncesn= 1eNEN tal que A Nc U para cada n > N.tracin.Supongamos que tal N no existe, entonces A lUA2U, en general A na cada n E N. Luego hacemos

A = { A n\U : n E N } ,


34/90

1.6 Com pacidad Secuencialque es una coleccin de cerrados no vacos tal que cada subcoleccin finita de A tieneinterseccin no vaca, se sigue q ue A n\U0por caracterizacin de compacidadn= 1y adem s la coleccin deiene la propiedad d e interseccin finita. Sea p E0000n An\U se tiene que p E (}A n ypsU. Por lo tanto n An Z U.n= 1= 1= 1Teorema 1 .48 Un espacio mtrico compacto es secuencialrnente compacto.Dem ostracin. Sea X un espacio mtrico compacto y sea {x,4 77 1 una sucesin enX. Supngase que {xn} cino tiene ninguna subsucesin convergente; es decir, que{x,}' 1 . carece de pun tos lmite. Entonces, para cada x E X, existe una vecindadabierta N (x) que contiene solamente un nmero finito de trminos deacoleccin {N (x) : x E X}

es una cubierta abierta de X y por ende, tiene una subcubierta finita. Esto impli-ca que {x47 1 tiene slo un nm ero finito de trminos; po r tanto, no puede serverdadera la hiptesis de que {xn} a _ 1 no tiene ninguna subsucesin converge nte.Definicin 1.37 Sea (X, d) un espacio mtrico, A C Xs totalemente acotadosi para cada e >0 existe una coleccin finita de puntos2, .. .x n } C X tal que7 1A C_u B (x i ) .Proposicin 1.49 S ea (X, d) un espacio mtrico secuencialmente compacto. En-tonces X est totalmente acotado.Demostracin.Supngase que X no est totalmen te acotado. Entonces existe un e > 0 tal que,para cada coleccin finita {x, : i = 1 ,} existe un punto x E X tal que,d (x, x,) >para cada i = 1, ..., k .* )Por consiguiente podemos construir una sucesin (y n ) con la propiedad de qued(y,y,n )ara m n.Sea x E X, para {xi1, ..., k} existe un punto y E X tal que d (y, x) > E.Sea y l= x, y2 = y. Ahora,2} por (*) existe y 3 E X tal qued ( y3 , Y i)d (Ya, y2)> e


35/90

1.13 Compacidad Secuencial7procediendo inductivamente podemos hallar (y n ) sucesin en X tal que

d ( y , y m ) _ e Vm n,es decir (yn ) no posee u na subsucesin convergente y, por tanto, X no es secuen-camente compacto.Definic in 1 .38 Sea (X , d) un espacio mtrico y A C X . Direm os que A es acotadosi diam (A) 0 /36 (x) C U s o .Podemos elegir k suficientemente grande, k >a a xnE 1 3 (x) , asBJ ( ) C fis (x) CUn

Lo cual es una contradiccin, pues estamos suponiendo que Bi (x) no esta contenidaen Ut.Lema 1.51 Sea X un espacio m trico secuencialm ente c om pacto y {(1,: s E S}una cubierta abierta de X . Entonc es ex iste b > 0 tal que todo subcon junto A C X ,diam (A ) < est contenido en a lg n


36/90

1.6 C ompacidad Secuencial8D emo stracin. Por el lema anterior, existe n E N 3 I x E X .131 (x) C Ut)donde U5 x) es un abierto de la cubierta dada. Tomem os


37/90

Captulo 2CONTINUOS EHIPERESPACIOS

En el capitulo anterior hemos estudiado algunas propiedades de espacios mtri-cos, compacidad y conexidad, estos conceptos nos ayudar en la comprensin deteora de continuos, que a continuacin abordaremos en este captulo.2.1. Definicin y ejemplos de Continuos

Daremos la definicin de Continuo e hiperespacos y veremos los ejemplos msusuales. As como tambien presentaremos una de las tcnicas ms importantes paraobtener ejemplos de continuos usando la interseccin anidada. Y estudiaremos a losllamados continuos encadenables.Definicin 2.1 Uncontinuo es un espacio mtrico, no degenerado, compacto yconexo. Un subcontnuo es un continuo el cual est contenido en un espaco.Ejemplo 2.1 Un arco es un continuo pues es homeomorfo a un intervalo cerrado.V e r figura 2 .

2 9


38/90

2.1 Ejemplos de Continuos

figura 2.Ejemplo 2.2 Cualquier espacio que sea homeomorfo a = x E Rn+1 : 1 1 x 11= 1}es llamado una n-esfera. En particular 1-esfera es llamada curva cerrada simple.Toda n-esfera es un continuo. Ver figura 3. Y D = {x E IIFn: .1x11 < 1}. Ver figura4. Toda n-esfera es un continuo y Dnon continuos.

fgura 3.

figura 4.Ejemplo 2.3 La paleta. Tomemos {(x,y) E R2 : x 2 + y2= 1}U ([1, 2] x {0 }) , la


39/90

1 nemplos de Continuos1ta ; esto es p = S iU([1, 2] x {0} ) Es un continuo. Ver figura 5.o-figura 5.

Ejemplo 2.4 El continuo sen y es la cenodura de F, dondeF= {(x,sen(x)) E2 : 0 < < i}Entonces el continuo sen1 = F U {(0, y) E R2: -1 < y < 1} Ver figura 6.

figura 6 .Ejemplo 2.5 El crculo de Varsovia: Tomemos el continuo X de sen sy conside-remos un arco Y del punto (0, 1) al punto (27r,1) de tal forma que

X n Y = {(0, 1), (27r, I)} .Entonces Z=XUY es llamado el Circulo de Varsovia. Ver figura 7.


40/90

2.1 Ejemplos de Continuos2figura

Ejemplo 2 .6 El Triodo Simple T. Es el continuo que formamos con la unin detres segmentos (arcos) unidos por un punto que es el punto extremo de cada uno deellos (segmentos). Este lo podemos expresar por T ([-1, x {0} )u({0} x [0,1]) ver figura 8.

figura 8.

En general el n-odo simple es el continuo que consta de n-segmentos de longituduno pegados en el punto extremo de cada uno de los segmentos.Ejemplo 2 .7 El Abanico Armnico. Consideremos X = : n E N} U {0} y tome-mos el cono de X, el cual lo denotamos como cono (X) , entonces cono (X) es uncontinuo. En otras palabras si consideramos que X c Il8 2sobre el eje de las abscisas


41/90

2.1 Ejemplos de Continuos3y p = (0,1) e 2 entonces el cono(X) es la unin de los egmentos rectilineos quevan de p a cada uno de los elementos de X. Ver figura 9.figura 9.

Ejemplo 2 .8 El Abanico de Cantor. Sea C el conjunto de Cantor contenido en, (0,1) y nase los puntos de C al punto p = (1,1) del mismo modo que se hizo en elejemplo anterior, ver figura 10.

figura 10.

A continuacin veremos el uso del criterio de intersecciones anidadas para obte-eiemplos interesantes de continuos, par ello observemos que:.emplo 2.9 Para cada ne N, sea

Xn=[0, 11 x {0, 1] \ ( 3 , 2 )x0}}observemos que cada X es un subconjunto conew de 1 8 2 , peron Xn=[0 , x {0} U {1 ,1] x {0} ,


42/90

2.1 E jemplos de Co ntinuos-4el cual no es conexo.

(0 ,1 )1,0)x 1l121,1/2)0 )1 ,1 3 , 0 ) ( 2/8 ,9) (1, )

f igura 11.El ejemplo anterior nos dice que la interseccin anidada de conjuntos conexos nonecesariamente es conexa. Pero si agregamos la hiptesis de compacidad a cada unode los intersectados se obtienen resultados positivos, lo cual m ostrar el siguienteteorema.

Teorema 2.1 Si {X}Z i es una sucesin de subcoratinuos de un espacio m tricoCC( Y , d) , tal que para toda n c N, X,H 4 C X, entoncess un continuo.n= 1Dem ostracin. Sea X = X,,, cada Xn es un cerrado en Y (por quen = iY y cada Xn escompacta por lo tanto cada X n es un cerrado en Y), y com o lainterseccin de cerradas es cerrada, X es cerrado en Y. Por lo tanto X es compacto.Ahora como X es compacto entonces cualquier familia de subconjuntos cerrados deY con la propiedad de interseccin finita tiene intereccin no vaca, por lo que

Asf que slo falta ver que X es conexo.Supongamos que X no es conexo, entoncesX = AU B, donde A y B son cerrados ajenos de X,

por lo tanto A y B son compactos por teorema 1 41 Podem os encontrar abiertosdisjuntos V y W de Y de tal forma que Ac V y BCW.


43/90

plos de Continuos5te n N tal que X c V U W . De donde

)c,,,,= x,inv)u xnnw).AuB=XcX. se tiene que

xn nv o y x,i nw so,este implica que X n no es conexo, esta contradiccin mu estra qu e

2.10 La curva Universal de Sterpinskidos dividiendo el cuadrado So = [0,11 x [0,11 en nueve cuadrados con-o r c u u n o s= So\ (- -) x (- -)3'33'371 22ente , dividimos cada uno de los restantes ocho cuadrados en nueve cuadra-entes y llamamos S2 al continuo qu e se o btiene al quitar el interior dede los ocho cuadrados centrales. Continuando de esta manera, definimos. sea S = S , , , m i tontamo, liamado la cuna de Sierpinski.

71=1

-01112-012/31/421114:113aQa--111119111:11711Cla-aa gcanC l g0120001211-Clia 3 4 4 : 1 arig-11 a a 4112 13figura 12.

2.11 La curva universal de Menger .


44/90

Ejemplos de C ont inuosConsideremos primero el cubo M0 , 1 ]x [0, 1] x [0 , Dividamos cada una

de las caras de M en nueve cuadrados congruentes y hagamos un agujero atravsdel interior de cada cuadrado central, esto nos da un continuo M1 . dividamos cadauno de los restantes cuarenta y ocho cuadrados en nueve cuadrados congruentes yhaganmos un agujero atravs del interior de los cuadrados centrales, de esta maneraobtenemos un continuo M 2.Repetimos este proceso para obtener continuos M. La curva universal de Mengeres, por definicin C OMn , M es un continuo.nz--1El trmino universal se refiere en este caso, al hecho de que A l contiene una copia

topolgica de cualquier espacio mtrico separable de dimensin uno.En el siguiente dibujo se ilustra el tercer paso de la construccin de la curva deUniversal de Menger.

Ilanaer Udversal Curve

figura 13 .

Teorem a 2.2 Sea X un continuo y Z un subcontinuo de X. Si XZ=A UBentonces Z U A y Z U B son subcontinuos de X.Dem ostracin. Sea X Z=A U B, donde A y B estan mutuamente separados.Como X Z es abierto, por corolario 1.8 tenemos que A y B son abiertos. AdemsXA=ZUB, por lo que Z U B es cerrado


45/90

Co inuos Ehesdenables7Supongamos que Z u B no es conexo Entonces existen dos cerrados no vacos y

ajenos H y K tales que ZuB=HuK.Como Z es conexo e igual a (Z nII) U (Z n K) y estos son dos cerrados ajenos,tenemos que uno de ellos es vaco. Por Io tanto podemos asumir que Z= (Z n II) ypor tanto Z c H . Pero como H y K son ajenos la contencin anterior implica queK cB.Ahora, sean ri = AUHy x 2KEntoncesX (X Z)u c (AuB)u Z = Au(ZuB). Au(HuK)= (AuffluK,de donde X = x iU x 2 .Adems H y K son no vacos, por lo que x 1y2no son vacos.Por otra parte, ya sabemos que H y K estn mutuamente separados. Y comoK c B , se t iene que K y A tambin estn mutuam ente separados, ya que A ylo son.Por lo tanto xy y x2estn mutuame nte separados. Pero esto contradice laconexidad de X, por lo que se tiene que Z U /3 es un subcontinuo de X.Exactam ente igual se prueba que 2 U A es un subcontinuo de X.

Lema 2.3 Sea X un continuo. Si D es un subcontinuo propio de X entonces existeun subcontinuo C de X tal que C D y Dc C.Dem ostracin. Com o D es propio, existe un punto y e X D. Dado que X esregular, existe un abierto U tal que DC UC UC X {y} D enotemos per C a lacomponente de U que contiene a D .Por el teorema de los golpas de la frontera tenemos que C n F(U) Como Ues abierto yDc U es claro que D fl F, (U0, por Io cuat D 3L C. Por ta definicinde C es claro que D C C, por Io cual concluimos que el teorema e s cierto. a2.2. Continuos Eneadenables.

Como una primera caracterizacin de continuos vamos a estudiar un poco de losllamados continuos encadenables.D efinicin 2.2 Una familia {U1,U2,-..Un} de subconjuntos de un espacio mtrico(X, d) es una cadena simpte en X si se tiene que UJn Uksi y slo si


46/90

2.2 Continuos Encaden abiesDefinicin 2.3 Una cadena simp le C de conjuntos abiertas en un(X, es llamada e cadena si el dimetro de cada eslabn de CDefinicin 2.4 Un espacio mtrico es encadenable si Ve >0cadena que cubre a X. Si a, b E X entonces X es encadenablecada e > 0 , existe una e c ade n aue cubre a Xy b EEjemplo 2.12 El intervalo 1 = [0, es encadenable de 0 a 1 ./ 1 1 1 1 / 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M I1 1 1 1 1 1 1 1 1 ~ 1 1 1 1 W I F

figura 14.Ejemplo 2 .13 El conjunto de dos puntos {0 ,1} ,con la topologa relatcadenable.

f lf igura 15.Ejemplo 2 .14 El intervalo abierto (0,1) es encadenable, pero nodeaubpara cualquiera a, b e 0 ,1 )

f igura 16.


47/90

Iliperespaelos de un continuo X92.3. Hiperespacios de un continuo XDefinicin 2.5 Un hiperespaeio de un continuo X es una coleccin de subcon-juntos de un continuo X que satisface c ierta propiedad topolg ica.

Los hiperespacios de un continuo X ms estudiados son:2x={ACX:A(OyAescerrado}.C (X) = {A E2x : A es conexo} .F,,(X)-=2xtiene a lo ms n puntos} , n E N .C . ( X ) = { A E 2x: A tiene a lo ms n com ponentes}Do tamos a estos hiperespacios de una m trica a partir de la mtrica d de X .Definicin 2.6 Sea X un c o n tinu o, A C X . L a Nube de Radio e y centra enA , denotada por N (e, A ) es el siguiente conjuntoN(eA) = {x EX:3 aE A, d (x, a) < .

Teu renta 3.4 N ( 5 ,4 )3,(a),aEADemostracin. SeaxEN(e,A), entonces, 3 a E A tal que d (a, x) < e, entonces,x E B e (a) para algn a EA, entonces,x e UB(a) . E ASi x E U B, (a) , entonces 3 a E A tal que x E B , (a) , entonces , 2 a E A tal queac Ad (a, x) < e, entonces, x e N(e,A).


48/90

Observacin 2.5 Sea X un continuo y A C X; entonces N e, A) es un conjuntoabierto.Definicin 17 La mtrica de Hausdorff para 2 x ). H : 2xx 2x> It tal que

11(A ,B)=inf{s>0:A CN(E,B)ABCN(E,A)}, para A, B e 2x.Teorema 2.6 H A, B) es una mtrica para 2 , llam ada la m trica de H ausdadf .Demostracin.a) H esta bien definida:

Sea A, B E 2x. Com o A (4 entonces, existe ao E A. Como B es cerrado yB C X, con X compacto, entonces B es compacto, por lo que B es acotado, i.e.exis te xo E X y 5 > 0 ta l que B C B s (xo) Sea e = d (ao, x 0 ) +5 , asB C (ao) C N ( E , A ) ,

para b E B, tenemos quedao) c l ( a o , xq) d (xo, b) 0:A CN(E,13)ABCN(E,A)}0,pues e 2 esta en l y c omo este conjunto es acotado inferiormente por el cero, existeel nfimo; inf {s >0:A CN(E,B)ABCN(E,A )}.acotado inferiormente por el cero). Con esto probamo s que H (A, B) est biendefinida

Por tanto

2.3 H iperespacios de un continuo X0


49/90

AyBE 2x , H(A,B)>0 pues H ( A , B ) es el nfimo de puros tnninos'vos.todo A y B E 2xcerrados y no vacos del continuo X,

ne H(A, B) H(B, A) pues en la definicin de H, A y B juegan papelesB

B entoncesH A, B) = inf {e > 0 : A C N ( s, B ) A B C N(E,A)} = O .

amos H(A,B)= 0. Tenemos que demostrar que B c A y que A c B .B. Como A es cerrado entonces, As es suficiente probar quetomemos > 0 , tal que /35 (b)nA 0.

4>0=11(A ,B)=Mf{e>0:A CN(e,B)A BCN(e,A )} ,

entonces A C N(e, B) C N(6, B) AB C N(e, A) c N 5, B),N ( 6 , A ) , as existe ao E A tal que d(b, ao) < 6 , es decir, ao E B 8 (b) por lo

138(b)nA 8 .A . De m anera similar probamos A C B . Por lo tanto

. 1 1 ( A , B) =00. Si A C N(e,C) y)ACN(s+8,B).


50/90

2.3 Hiperespacios de un continuo XDemostracin. Sea a E A. Par dem os trar A C N (E + (5 ) . Si a E A C N(E,C)entonces existe c E C tal que d(a, e) < e, as mismo, como cECC N(6, B)entonces existe b E B tal que d(b, e) < 5, as tenemos qued(a,b) < d(a, e) + d(e, b) < + 5,

por lo tanto, para a E A e xiste b E B tal que d(a, < e +8 , entoncesA c N(E + 6, B ).

Ah ora probarem os la desigualdad del tr iangulo.Sean A,B,C E 2x1 1 ( A , C ) + H ( C , B ) = inf {e >O: AC N (e, C) ACCN (e, A)}

+inf {45 >0 :C C N(8,B) A C N(5,C)}

= inf {E + 5> 0: A C N (e , A CCN(e, A) A C C N(8, B) A BCN(5, C)}>inf{e+S>0:ACN(E+6,B) A BC N(e+5,A)}= inf {A > 0 : A C N(A,B) A B C N(A, A)} H A,Por lo tanto il(A,H(C, B) >H(A, B).Teorema 2.8 Sea X un cont inuo; A , B E 2xy r > 0. Entonees H(A , B) < r si ys lo si A C N (r, B) ABCN(r,A).

Demostracin. =)- memos En como siguenf 1s >0 : A c N(s, B) A B c N(e, A)}


51/90

2,3 Hiperespacios de un continuo X3Tomemosr e{e>0.:Ac N(e,B) AB cN(e,A)} ,por propiedad de nfimo, resulta lo siguiente;

inf {s > 0 : A CN (e, B) ABCN (e , A)} < r,Por lo tanto H (A, B) c r.

Acont inuacion most raremos algunos m odelos de hiperespacios de un con t inuo.Ejemplo 2.15 Sea X = [0,1] = I, ealculemos el hiperespacio

C (X) = {A C.$ q, cerrado y conexo } .C (X) queda representado por subintervalos de la forma [a, b) tales que0 < a < b


52/90

figura 18.

[0,11

*perespacios de un continuo X

0(X)5 1 5 4 1 P 1H1/2,1)(1/2,1)

4

En efecto,El intervalo [ O , 1 1 queda representadog [ 0 , 1 . 1 )1,1).Los conjuntos de un slo punto [a, a]la base del tringulo.9 (fa , ai) a) (a,0)Los intervalos de la forma [ O , bj quedan representados en

izquierda del tringulo.g ([0, bj)2 b = 2x.Los intervalos de la forma [a, quedn representados enlinea lateral derecha.g ( ja , 11) = ( 1 1-11 ,1y = 1 x.Los conjuntos de 1 a forma que contienen al conjunto { 1 , 1 1de la siguiente manera; (vease en la siguiente figura). la linea recta laterael tringulo como laquedan representaden el tringulo por el punto),quedn representados como la recta que e


53/90

12Y Y e ,on b > ya>0, adems1 a +b4Por tanto < x< s yL os intervalos de ta forma que contienen al conjunto3 / 4 1 quedan representadosen el tring ulo de da siguiente m anera;fa, bj c 1-1,1] , entonces a>4 yb< 2 por lo que b a


54/90

C X )filib11)=01.1)

01,11I T I 4 1117--(413(1,1)

1.3 kliperespa cios de un continuo XVease figura 20.figura 20.

El punto (0,1) representa al conjunto [0,1] y los puntos de la diagonal representan a los conjuntos de un solo punto.Ejemplo 2 .16 A hora veamos un m odelo de F2 (X). Sea X = S Ila 1esfera,ecastraremos el hipe respacio F2 (S/2)

L os e lemen tos de F2 (S 1 )on subcon juntos de 2xcona lo ms 2 puntos, i .e.F2 (8 1 )=- {{P, q} 2x: p, q E S I }Sean p, q E S', al par {p, q} le asociamos el arco menor {pa} y a l punto meden el arco lo den otarem os por m tp ay . De f in am os

: F2 (8 1 )-->R2al que cp ({p,n { p , q } ( 1 . + long t p , o)) .L a im agen de es ta asociac in es e l conjunto

B = {(x,e2 1l)lf - 1 +ir}que representa un a nillo en el plano. Y seria una representacin perfecta paF2 (S I)i no fuera por que no es funcin, pues a las parejas de puntos antipodase les pueden asociar dos puntos diferentes en B, que tambien son antipodas encirculo externo de B , es decir, en el sig uiente conjunto

{(x,y) E R 2 : ] 1 ( x , y ) I {+ ir} .


55/90

os de un continuo X7m obtener una representacin correcta de F2 (S1 ),lo que tenemostificar das parejas de puntos antipodos en el crculo externo deharemos un corte a B, corte que volveremos a pegar despus deen la que estaba para no alterar las propiedades topolgicas de B.cer siguiendo los pasos ilustrados acontinuacin. -31it.

figura 21.

de Hiperespscios que tau solo mensionaremos( Ver [2j) son los

7 Si x=0 ,11 2fo, x [o,uego para cada nEN,X contieneFi Shori probaron en 1977 queC ( [ 0 , o 0 , 1 1o, x0 , ;1Sea X el Triodo simple T; Se calcula C (7') .0,0) y1,0,0), e2 = (0,1,0), es = (0,0,1) elementos de R3 .C (T) que contiene a O es de la forma A = O ( a e i ) U 0 ( b g 2 ) U 0 ( c 0 3 ) ,1]y, 6 (a p 1 ) es el segmento que une a O con a e i . Obsrvese quea cada terna (a,b,c) E [0,1] 3e asocia el subcontinuo A = 0 (a gi ) U


56/90

2.3 Hiperespacios de u n cont inuo X8O (bg 2 ) U 0 ( c g 3 ) de C (T) es una funcin continua e biyeetiva. Entonces el cubo [0,113tiene una eopia en C (T) .De hecho el hiperespacio C (T) es homeomorfo a la fig siguiente.

figura 22 .Ejemplo 2 19 Llamemosle P a la paleta, S a la ci rcunferencia de la paleta, L asu arco y v al punto donde se intersectan S yL .Tenemos entonces tres clases de subcontinuos, a saber: los que estan contenidosen S, los que estn contenidos en L y los que tienen el punto v.Las dos primeras clases ya sabemos como representarlas, la primera terminasiendo un disco y la segunda un tringulo. Ahora analicemos a un subcontinuo Aque tenga a v. Este conjunto est formado por la parte que tiene en S (A fl S) yla que tiene en L (Ann . Notemos que A n S es un subcontinuo de S que tieneal punto v. A la coleccin de todos los subcontinuos de S que contienen a v serepresenta por una f igura en forma de corazn (relleno), ver [27 .Ahora notemos que A rl L es un subcontinuo de L que contiene a v. A la colec-cin de tales subcontinuos ya sabemos que se le puede representar como un arco.Entonces cada subcontinuo A de P que contenga av lo podernos representar c o m ouna pareja (A fl S , A fl L) , su primera coordenada se representa como un punto delcorazn y la segunda como un punto de un arco. Notemos que los dos conjuntos sonindependientes en el sentido de que podemos modificar alguno de los dos conjuntosAOS o Ar1L sin alterar el otro y seguir teniendo un subcontinuo de P que contienea v.De manera que la familia de todos esos subcontinuos A puede representarse comoel producto de un corazn y un arco. Es decir, corno un cilindro en forma de corazn.A este cilindro hay que aadirle el disco que representa a los subcontinuos de P queestn contenidos en S y a los que estn contenidos enL. Los primeros forman undisco. Un subcontinuo que pertenezca a este disco y al cilindro en forma de corazn


57/90

2.3 Hiperespacios de un continuo X9tiene que ser un subcontinuo de S que contenga a v y, por supuesto, su interseccincon L consta slo de v. Por lo tanto dicho subcontinuo tiene que estar representadoen un corazn contenido en el disco y tambin en una de las bases del cilindro. Demanera que para aadirle el disco al cilindro slo hay que pegrselo en su base.Similarmente se puede ver que el tringulo que representa a los subcontinuoscontenticks en L debe pegarse al cilindro en la forma en que se representa en laiguiente figura la cual ya contiene a todo et modelo de C (P)C(P)

figura 23.

mplo 2.20 El hiperespacio C (X) del continuo arcoiris de Knaster es homeo-Morfo a su cono.

X C O O

ttOiriSde K n a s t e rfigura 24.

pie 2.21. En su tesis doctoral, Ann M. Dilks construy un modelo para e lspacio C (X) del continuo que tiene forma de ocho, es decir, del continuo queiene de unir dos circunferencias por un punto. Ver 121.


58/90

si, y slo si {a, b} C J1Esto muestra que

{a, b} E F2 (.71) n F2 (I2){a,b} C J2, es dectir, si

{ a , b} CJ2 = L3,

2.3 Riperespacios de un continuo X

ochofigura 25.

Ejemplo 2.22 Consideremos el triodo simple Y formado por tres arcos L1, L2 y L 3que se intersectan por pares en el punto v que es un punto extremo de cada uno deellos. Podemos considerar los arcos J =-- L 2 U L 3, -72 = L 1 U L3y J31 UL2 . Y asabemos que F (h) es un tringulo. Notemos que si a, b E Y, entonces a pertenecea algn y b pertenece a algn Lk (podria ser que j = k).De modo que {a,14 pertenece a algn Esto muestra queF2 (Y) -= F2 (.4) U F2 (J2) U F2 (.-1 3)

De manera que si sabemos cmo pegar los conjuntos F2endremos un mo-delopara F2 (Y) . Notemos queF2 (.4) n F2 (12) = F2 (I 3) .

Ahora observemos que F2 (L3) es un subtringulo de F2 (J1) y de F2 .12) . De man-era que tenemos que pegar F2 (J1) y F2 (J ) por ese subtringulo. En la siguientefigura se ilustra cmo se deben pegar F2 (..71) , F2 (J2) y F2 (J3) y el resultado decomo se pegan.


59/90

5 1.3 Hiperespacias de un continuo X

figura 26 .


60/90

Captulo 3L-CONVERGENCIA EN 2X

Anteriormente hemos expresado la mtrica de Hausdorfr para 2 xen trmi-nos de conjuntos abiertos en X. Ahora vamos a dar una descripcin apropiada deconvergencia con respecto a la mtrica de Hausdorff.3.1. Definicin y ejemplos de limites superiores einferioresDefinicin 3.1 Sea { A n } O iuna sucesin de elementos de 2r. Se define el

inferior de A t, y el tinzite superior de A t z de la siguiente forma:Lim inf (A ,) {x E X : VE > 0, 3 N EN tal que 13,(x)n An0 ,Vn > N}Lim sup(A .)= {x E X :Ve > 0, 49$ ( x )ns 0ara una infinidad de n's}Mientras que el Lim inf (An) satisface la propiedad en cue stin, para toda lacola de la sucesin {A} 1 1 ,es suficiente que para el Lim sup (A,t ) la satisfaga parauna infinidad de n's.

Ejemplo 3.1 Sea el continuo X = {(x, y) :0 < x


61/90

3.1 Definicin y Ejemplos de Limites superiores e Inferiores3Al

A 2A 4

Lim inf An = [1, 2 x {0 }Li711 sup A n [0,3 X {0 }Com o lo muestra la figura 27.

figura 27.Ejemplo 3.2 Sea X = {(z,y) 1 1 1 2 : 0 < x < 3 , < y < 1}, IlefiniinoVn

[2 31x{t} sI n es toparA n= [0 1]x{ n es parEntonces por definicin,Lim inf . / 1 , 1 --- 0, yL im a su p[O, 1j U [2, 3} x {0 }Veam os su comportamiesito en la figura 28. {44.}Z-1


62/90

D efinicin y Ejem plos de Lim ites superiores e Inferiores4A l

A 3A 2

figur

plo 3.3 Para n E N, Definimos la surenn {A.} 1 1 E 2Xn E N por:An = [O, 1] X { 7-:

Iim inf A n =lim sup[0,1] x {0} .Vease la figura 29.

Al

figura 29.


63/90

3.2 Propiedad es de Lirai tes superiores e Inferiores53.2. Prop ied ad es d e l mite su per ior e infer ior .Proposicin 3.1 Sea X un continuo, {A}: 1 una sucesi n en 2 k entonces:

lim inf A t, C l im supA y,lim inf 1 1 ,4 y el lim sup A,, son conjuntos cerrados.c ) lim supara toda sucesinn {Aa} r_1Demostracin.a) Sea x E im infor demostrar que x E lim supor definicintenemos que existe N e N tal que

B E (x)nA nV nN ,por lo tanto, .13, x)nara una infinidad de n's.Por tanto x E lim supPor demostrar tam lim sup A. Sea x E /am sup A n y e >0 ,entonceslim sup A n n Be (x)$ 0,de modo qu e existeup A n n Be (x) X,entonces z E 8 (x) i.e. existe>0 tal que B8 (z) g_ BE (x) ,(i))Ahora como z e lim sup Animplica que B ( z ) n $ 0 para una infinidad deDe aqu que B8 (Z) n A. 0 para una infinidad de n's. Por lo tanto x E lim supY por tanto lim sup es un conjunto cerrado enLa demostracin de que el lim inf A es un conjunto cerrado en X es anafty_a la anterior.

c) Por demostrar que lim supV 1A , i }_ C 2xSea2x,tzas A r, 0V n E N, es cerrado en XnG N. Elegimos f annt ie { A n } 7 - 1Como X es compacto, entonces, existe una subsucesin { andrde { an}'1 talesque a k > x. Dado e > 0 existe k E N tal que ank E B E (x) V k E K. De aqu queB, (x) nAn para una infinidad de n` s. Por tanto x e dina sup An. Con estoprobamos que l im sup A , 5 L 0.


64/90

3 .2 Propiedades de Lim ites superiores e InferioresProposicin 3 .2 Sea { A n } :1 1 C 2x,

x E lim inf A,, si y slo si existe una sucesin {x} :1de Xyx, E A, para toda n E N .b) x e lira sup A T , si y slo si existe una sucesin de numerosn 2 x y x , E A n Vn EN. Por>0 3NEINtalque d(x, x) N.As que 1 3 e (x)n A nfl V n > N, por lo tanto x E lim inf An.

talque x,, * xnaturales n 0 , como x E im inf An , existe N E N tal que Be (x)nA nb V n > N.e manera que para cada n > N, existe an E A n tal que d(x, an ) < e, perod(x, x) = min {d(x, y) : y E A n } < d(x, a) < e, Vn > N.

e manera que d(x, x) < e, Vn > N, por lo tanto xx.b)upongam os que existe una sucesin de nmero naturales n, < n 2< yt intos Xn kE An k para toda k E N tal que xk -->x.para todo e >0 , entonces x E


65/90

3 .2 Propiedades de Lim ites superiores e Inferiores7lm supea e > 0 existe K E N tal quee si k > K, esto implicaque .13E(x) n A nara k >K,de manera que B E (x) n A, 0para una infinidad de n s , por lo tanto x E lims u p A n Supongamos que x E lim supA, entonces para todo e >0 ,Be(x) nara una infinidad de n's.As tomemos e . . 8 1 (x) n A n0ara una infundad de n s .Sea nl N tal quexny E B i (x) n A ,, entonces d(xn < 1xni E A niPara eentoncesBi(z)n A 0ara una infinidad de n's.Entonces podemos elegir n2 > n1 tal que

B i (x) n.2Escogemos xn 2 E B h (x) n An2 , entonces

ti(x,,,,x)y xn.,EAContinuando este proceso inductivamente:3 naturales n1 n2


66/90

g . Prordeda des de Lintes superiores e InferioresDettsestradn. Supongamos que A converge con la mtriea de con la mtrica

Hausdorif a un A E 2x . Demostraremos que tim inf A = A = hitn supt o o r io l e s s u f ic i e n t e mostrar queA C Irn inf A.lim su p A C A .Sea e e A. Sea e > 0, comoitausderff, entonces is hin AA e 2xeon la mtrica de

Parae>0 3NeNat que H(A ,A ) < e u>N.Por teorema 2.8 tenemos que A C Me, A) y A C Me,A ).Sean> Na E N(e,A). Esto implica que existe x E A tal que d(x, a) < e. Dem a n e r a q u ee(a), por tanto

A n Be(a) 0 t1n 3 N ,Por lo tanto a en.b)Supongemos quesupo e s t c o n t e n id o en A , entones existe x E Xtal que e lim supxonio A, A es eermdo en X, entoucesexime e > 0 tal que /14$11Attors bien, contox e ini sup entone esexiste e > o dese eustplira que 13(x)rIAara una infinidad de ra is. Dadoque A converge a .4 con la mbiea deorff, existe N e N tal queA r , C) 1t A C N(; A) para toda n N .Entonces podemos eingirM S al queB f (x) n Am,entonces, sea z Ex ) n A M , entonces

d(z,x)


67/90

de Limes superiora inferioned(x, a) e con a E A ,Por tanto Bcx) intersecta a A, lo que am tradice la eleccin de E. Por lotanto concluirom qua

litn A .= Aim inf A A y lim supAt ,PrmitedariesSupongamos Iim iuf A = l im sup A , por demostrar Hm A = A am l amtrica de H ausdarft. Sea A = 1im sups A # 0 Y A e s cernada, i.e. A 2x.Sea e >0, probemos quea) Fa istei E N tal cpre A C N(e, A,,) V n1 3 ) E x ie t e / k f 2tal que(e,A) Vn 1142Dem:a) obeervezneo que la fauuta {/9 1 (e) ; e E A} eeuna cu bierta abierta para A, Ycomo A es cerrado no vado am tenido ea el matpacto X A a s compacto, eatencesmiste uacubrimiento finito, esto es, existe mEN Y si, as, as, a,,, E A tal queABi(ai)tiBi(a2)U...

L e .A CUB(li).4= 1

A =A,J={zEz:V e>0, 3 N Nal que B e (x) nn> N}y a, Auego dado > 0 ta l que B A (ai) n A,,n > astpara eada i E {1 , 2, ..., rn} exiete N, E N tal que9 1 Atni(a)nAi 0,sea M 1= Max {N t, N2 , ,N=} , asi dada n > M I i E {1, 2,}, ettouee sB i ( 4 4 ) n A , 70. tride: A C N z , A) V n > Ml . efecto, Sean > 1 1 1 1 ya E C) 1 3 1 (a i ) = . 3 1E {1, 2 , m} ta l que a E B; (a;), i.e.d(a, 4 2 0


68/90

3.2 Propiedad es de Lim ites supe riores e InferioresAdem s para las n > M 1 existe x E B; (a i ) nuego

c i t a , x)cl(a,a ) +d(a i , x) < + 5 -1=por lo tanto d(a,x) M Ilo que prueba a).b) Supongamos que b) es falsa, esto es V N E N, Ens> N 3 An%N(e,24),asi para N = 1 3 n/ > 1 tal que A, N ( e , A ) ,para

N = n1 + 1 3 n2> n/ tal que .A,N(e,A).As de manera inductiva, existe una sucesin de numeras naturales n 1 < n2 M2.Ya probam os a) y b) con lo cual hacemosN = Max {A 4 .1 M2}


69/90

3.3 Compacidad y Conexidad de 2x8ntonces para n > N, tenemosA C N (e,A, )N(e,A ) H(A , An) < e si n >N.Por lo tanto lim A nE 2x con la mtrica de Ilausdorff.Teorema 3.4 S e an {A }::1 1 on sucesiones en C X) tal que limy lim B = B. Enton ces lim AUB) A U.13.3.3. Compacidad y Conexidad de 2x.

Definicin 3.2 Sea { a}una suces in en X, d) diremos que es de Cauehy, siy sao si, V e > 0 3 N EN g si n,m > N, entonees ia a inj< e .Teorema 3 5 Sea {A} C 2x una s u e e s i o n d e C a u e h y e n e l h i p e r e s p a e i o 2xd e lcon tin uo X , e n ton ce s { A } n 1 1o n v e r g e c o n l a mtrica de Hausdorff a un Ao E 2x.D em ostracin. Por el teorema anterior, el nico candidato a ser him A es Ao, y.110 E 2x. Ahora,

hin40 44 . lirn Irn sup A nr- A o ,as para ver que-- A 0 con la m trica de Flansdorff es suficiente ver quehm , sup A nC hm 271f A,ya que la otra contencin siempre es verdade ra. Sea x E /irn sup A n . Por demostrarate >0, 3NENtarqueSt (x)nAn e Vn ^ N.i.e. x E lim infComo2xes una sucesin de C auchy, entonces darlo 2 > O3 IV E N(4 41,, Am) Nya que satisfaga que 1 3 1 x) n A m os dado n > N


70/90

anos H(A, A .) < zi Mo, n >N. Entonces A m oC N An ). Ahora bien:Sea y E M0 n B2 (x),entonces y e A m o(1, An),

y E /3 2 (x), i.e. d(x,y) 0, y un subconjunto J C U, J infinito, entonc es existe otrosubconjunto inf ini to JiC J tal que H(An, A r) < eVn, rDemostracin. Sea E > 0 , J C N, J infinito. Como X es compacto existe rn E INTy x i , x 2 , x 3, n E X taies que {13 t (x , ) }n 1ubre a X. ( X =U 111(x,)),zEXX = /3 2 (x i )ti B.; (x 2 ) U u /3 5 ( x m )(x1).

ra bien: Para cada n e J (Jes numerable) definimos{i E {1,2,3,...,rn} : A i nE ( xi )}

k 2 = {i1,2,3,...,m} : A2 n131 (x i)) }general k n . =i, 3, ...,m} : An n /3 1 (x,)C 2 A , An C X y n o no vaco, cerrado en X Vn E l3. Por la compacidadde X X=3(x,). , = 1k w sestan bien definidas, pues An C X por compacidad Y n E N . Luego

3 Com pacidad y Conexidad de 2 X2Por compacidad n E N 3 i Y , iz, ia, i, 3AC1 3 1 ( x i i )Ahora, sea H =F : F C {I, 2, 3 , m}} , as H tiene 2 elementos. C onsideremos la funcin f :


71/90

3.3 Compacidad y Conexidad de ZX3j --+ H 3 f (n) kn . f esta bien definida por la compacidad de X, pues los kn,,estan bien definidos. Observem os que J = U{k} ) C J : k E H} , es decir,J=U f - 1 { } )c o n( k) CJV k el l.kellAs como Jes infinito y Jes una u nin finita de conjuntos f ( { k } )onk e H, eso quiere decir que3k EHD f - 1 { k } )es infinto y f41({k})C J.Definamos J={k}), as Jies infinito yestaen H.

= f - 1 { k } )f ( { k } ) =J JjCJ.keitAfirmacin: (A n , 2 4 , . ) < 2Vrt, r E JI..En efecto: Seax,EX:iEk},uego C$GyG es cerrado, es decir,G E 2x .Sea n E Ji ={k}) con k E H, entonces,

H (A n,G) 5Si n E Ji = f - 1 { k } )(n) = k, pero f (n) = k r, =- k . Es decir quek = {t E {1 ,2,3, ..., rn} :A n n B i x ,)G = {x i: i k}Por lo tanto G= {x iEX : An n4 }as para G.85.(xi)entonces 3 a E A n d(A, xi ) R wiuo

p ( A )x {ct (a, b) : a,b E A } r n h a {d (a, b) : a,b E A}Finalmente definimos p : 2 A - > R por p (A) -= E ' 1 / 42 1 A ) .Teorema 3.13 Si A y B son subcontmuos de X tales que A C B, p : C (X) >[ 0 , 1 1es una funcin de Whitney y t e [p (A), p (B)1, entonces existe C E C (X) tal queAcCcBy p (C) = t.Demostracin. Sea A =[t,n)n{Dec(x):AcDcB} El conjuntoes cerrado en C (X) y, por tanto, compacto; adems es diferente del vaco puespertenece a l. De manera que alcan7 a su minimo en A, es decir,existe E E A tal que p (E) < p (D) para toda D E .


77/90

3.3 Compacidad y Conexidad de 2 X9Hacemos =12-'([t,1])n{D C (X): A c Dc E}De nuevo, al igual que A, B es compacto y, como A pertenece a (y entonces0), tenemos que p alcanza su m ximo en B . Es decir existe un elemento F E Btal que p (D ) . p (F) para toda D E B.Si ocurriera que p (E) t o p(F) t, ya podramos porponer al conjunto C. Portanto, podemos suponer que p (F) < t < p (E) . Como F C E, tenemos que F C E.Por el teorema 3.10 existe G E C (X) tal que ACFGEC B. Entoncesp (F) < p (G) < p(E) Si t


78/90

3.3 C ompacidad y Conexidad d e 2 X7orolario 3 .16 El hiperespacio 2xes conexo por arcos.Demostracin. Como hemos observado los espacios conexos por arcos tambinson conexos p or trayectorias, por lo cual es suficiente probar qu e 2 X es conexo portrayectorias.Esto es, cualquier elemento A E 2 x puede ser conectado con el elemento X poruna trayectoria dentro de 2 x .Sea pues A E 2x y elijamo s un punto a E A. Por el teorema 3 .14 tenemos queexiste un arco ordenado en C (X) de {a} a X. En particular existe una funcincontinua a : [0,1] C (X) tal que a (0) = {a} y a (1) = X. Definamos

: [ O , 1 ] - -> 2x port) A U a (t)Observemos que

)8(0)=AUa(0)=AU{a}=A y1) =AUa(1)=AUX= X.Slo nos fal ta probar que probar que f i es continua para concluir que es unatrayectoria de A a X en 2X ( es claro que todo elemento de la forma fi (t) pertenecea 2x ) .Tomem os una sucesin de nmeros { t, t }O 1 de [0, 11 convergente a un nmerot E [0,1] . Por la continuidad de a, tenemos qu e hirn a (tn) = a (t), y es claro vernu e lirn (AU a (tr,)) = A U a ( t)Por tanto lirnfi (tn)t)Por lo tanto /3 es continua y con sto terminam os la demostracin del corolario. Corolario 3 .17 2xs un continuo con la mtrica de Hausdorff .


79/90

Captulo4DESCOMPONIBLES EINDESCOMPONIBLES.

En este captulo presentamos propiedades y conceptos bsicos de continuos de-scomponibles y para la construccin de dos contnuos indescomponibles estudiaremosconceptos de Composante e irreducibilidad.4.1. Definicin y Propiedades de continuos de-scom ponibles e indescomponibles.D efinicin 4.1 Un continuo X es descomponible si X = A U B, donde A y 13son subcontinuos propios de X.Y diremos que un continuo X es indescomponible si no es descomponible.

A simple vista este concepto nos confunde pensando que todos los continuos sondescomponibles, pero en realidad existen muchos continuos indescomponibles. Porlo que a continuacin nos enfocaremos en presentar algunas propiedades, conceptosy dos ejemplos de continuos indescomponibles.Ejemplo 4.1 Un arco es un continuo descomponible.Ejemp lo 4.2 La paleta. Tomemos {(x, y) EI[^ 2 : x 2 +y2 =1} U ([1, 2] x {0 }) , lapaleta; esto es p = 8 1 U ([1, 2] x {0}) .Es un continuo descomponible.Ejemplo 4.3 1-esfera es llamada curva cerrada simple. ,S 1 esun continuo descom-ponible .

7 1


80/90

4.1. D efinicin y P ropiedades de Continuos Descomponibles eIndescomponibles2Ejemplo 4.4 El continuo sen z es la cerradura de F donde F = { (r, sen(1)) ER 2 : 0 < x < 1}. Entonces el continuo sen1 = F U {(0, y) ER : -1


81/90

4.1 Definicin y Propiedades de C ontinuos DescIndescomponlblesI r X A e s d i s e e m e x o .

Existen dos conjuntos mutuame nte separados y no vacos 11 yX A = E T U K . Por teorema 2.2 tenemos que AULT y A U K sonsupropios de X, y ademsX--XA)UA--t(HUK)UA=(AUFOU(AuK).En cada caso se tiene que X e s la union de dos subcontinuos propios, por lotanto X es descompon ible.El siguiente es un ejemplo de un continuo indescomponible.

Ejemplo 4.6 E s t e c o n t in u o i n d e s c o m p t v a i b l e e s c o n o c i d o c o m o arroiris d e K n a s t e r .Se construye de la siguiente manera:Sea C es el conjunto de cantor de tercios intermed ios, c o n s i d e r e m o s e l s u b c o n -junto Cox {0} d e R.hora construiremos todas las serniebrunferencias en12 con centro (1,0) g que pasa por a l g u n o de los puntos de Co , entonces a la uninde tale l i n f e r e n c i a s I la m m o s l e X o .A hora considerem os todas las semicirrunferencias en 2 2on coordenadas nop o s i t i v a s c o n c e n t r o e n e l p u n t o (1,0)gpor e x t r e m o puntos d e Co, d e n o t e m o s p o ra la unin de estas sernicircunfereracias. Seguimos el proceso inductivamente, paraeadaneN,aX coma la unin de las sem icircunf erencias en 2 2 con coordenadasno positivas que tienen por e x t r e m o pares de puntos de C o y c entro a ( 3 t 'Entonces, el coroin's de K naster se define como X = X o U U X . Tenem os

neNque todo srubcontinuo propio de X es un arco cuy o interior en X es vaco. Por elteorema anterior resulta que X e s i n d e s c o m p o n i b l e .En la siguiente figura 30 se muestran los primeros pasos en su construccin.

71\1,1

t, \s:\

figura 0 -


82/90

4.2 Com posantes44.2. Composantes

Acontinuacin estudiaremos el concepto de composante, que est relacionadocon las propiedades que estamos trabajando.Definicin 4.2 Si X es un continuo y p E X, la composante de p es el conjuntode todos los puntos x de X tales que existe algn subcontinuo propio de X quecontiene a p y x.Observacin 4.2 Si tomamos un conjunto K composante, no quiere decir que to-dos los puntos que le pertenecen lo sean.

Por ejemp lo, si X = f0 ,11, la composante de 0 es el subconjunto (0,1), la com-posante de 1 es (O, y la de c ualquier punto distinto de 0 y 1 es el intervalo [0,1].Por otra parte la com posante de p es la u nin de los subcontinuos propios de Xcontienen a p. Por ser unin de conexos con -un punto en comlin, tenmos quelas composantes son conexas.Teorema 4.3 Si K C.3 alguna composante del anitinuo X, el conjunto K es densoy conexo.Demostracin. Sea p E X y K la com posante de p. Por la ob servacin anterior,tenemos que K es conexa. Ahora supongamos que KX. Entonces, ya que K e sconexo tenemos que K es un subcontinuo propio y no vaco ( contiene a p) de X.Por lema 2.3 exis te un subcont inuo propio H de X ta l que KC H y KHPero entonces H es un subcontinuo propio de X que contiene a p, por lo que pordefinicin de K debemos tener que H C K, lo cual implica que H = K, que es unacontradiccin. Por tanto, esto quiere decir que K es denso.Teorema 4.4 Si X es descomponible, X es composante de alguno de sus puntos.Demostracin. Sean A y B dos sub contimios propios, no vacos de X, tal queX ---AUB. Entonces tenemos que

A n B,A nh ,de lo contrario tendramos que si


83/90

4.3 Irreducibilidad5X sera disconew o. Tornemos xeArlByK la composante de x. Como A y B sonsubcontinuos propios de X que contiene a x, tenemos queAc K y Bcde donde X AuBcKy por lo tanto K = X.4.3. Irreducibilidad.

En esta seccin estudiaremos un concepto que est muy relacionado con el con-cepto de comp osante y con la propiedad que estamos estudiando.Definicin 4.3 Si X es un continuo y {p, q} C X, decimos que X es irreduciblecon respecto a p y q si no existe ningn subcontinuo propio de X que contiene atales puntos.Ejemplo 4. '7 El intervalo es irreducible entre O y 1.Ejemplo 4.8 El continuo s e n - ;e s irreducible entre {0 } 4-1 , 11 y el punto (27r, 1 ) .lborema 4.5 Sean X un continuo yp EX. Entonces X es irreducible respectoa p y algn otro elemento de X si y slo si la cornposante de p es un subconjunto

igualmente, si X es irreducible respecto a p y q, cada uno de esos puntos nopertenece a la composante del otro:Corolario 4.6 Si el continuo X es irreducible respecto a {p,q}, entonces las c o m -posantes de p y de q son subconjuntos propios de X y distintos entre s

Veam os ahora que los continuos descomponibles y no irreducibles tienen exac-tamente una composante.Proposicin 4.7 Sea X un continuo descomponible y no es irreducible, entonenX posee exactamente una composante. (que es X mismo).


84/90

4.3 Irreductbilidad6Demostracin. Por el teorema 44, X es composante de algun o de sus puntos. Ypor el teorema 4 5 X no tiene composantes propias. Por lo tanto X es su nicacomposante. Ahora veamos la propiedad para los irreducibles.Proposcin 4.8 Si X es un continuo descomponible e irreducible, e ntonce s Xposee exactame nte tres com posantes .Demostracin. Sea X un contanuos descomponible e irreducible respecto a {p, q} .Aplicando el teorema 4 4, resulta que X es com posante, y por el corolario 4.6 ten-emos que las composantes de p y de q son subcontinuos propios de X y sondistintos ent re s .Ya tenemos 3 composantes de X distintas entre V amos a probar que estas 3son todas sus composantes.Sea r un elemento de X y sea K composante de r. Verem os que K es uno delos subconjuntos que acabamos de naeasionar. Supongamos que K X. Entoncesexiste y E X K .Com o X es descomponible, posee subcontinuos propios A y B tales que

X =AUB.A y B no pueden contener a am bos puntos p y q, ya qu e X es irreducible respectoa este par, por lo que resulta que p E A yqB. Asumamos que r E A.Dad o que A es subcontinuos propio de X y contiene a r, A c K, de donde sesigue que p E K. Supongamos que q E K . Entonces existe un subcontinuo propio Dtal que {r, q} C D .Recordemos que { p , r} C A. Como y K, ningn subcontinuo propio contiene a{r, y} , por tanto tenemos qu e ylAy ylDEntonces

rEAnD yOAUDy {p,q} A UD,lo cual quiere decir que A LI D es un subcontinuo propio de X que con

125 tes is patricia andrade

Documents